ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

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COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III PRIMEIRA ETAPA LETIVA / 2009

PROVA DE MATEMÁTICA II – 2ª SÉRIE – SEGUNDA CHAMADA COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

A sequência (2, x

1

, x

2

,..., x

k

, 50) é uma progressão aritmética de razão r < 2/3. Sabendo-se que entre 2 e 50 foram colocados k termos, determine o valor mínimo de k.

Solução. Considerando que “k” termos foram inseridos (interpolados) entre 2 e 50, a PA passa a contar com (k + 2) elementos. Escrevendo a forma do termo geral, temos:

1 ). 48

1 ( 2 50 ).

1 2 ( 2 ).

1

( ₂

1             

 _

r k r k r

k a

r n a

a_n _k

. A condição imposta para a

razão recai numa inequação:

73 2

146 2 2 3 144

2 1

48        

  k k k

r k

Logo, o menor valor para “k” é 74. A razão para esse valor seria

25 16 75 48 1 74

48  

  r

Verificando:

2 48 !

25 .16 75 2 25 50

).16 1 74 ( 2

50        ok

. PA com 76 termos.

Sejam as funções reais definidas por f(x) = 2x + 5 e f(g(x)) = x.

a) determine a lei de g(x);

Solução. Aplicando a lei da função f(x) em g(x) e comparando com o valor indicado, vem:

2 )( 5 5) ))(( (.2

5) (.2 ))((

52 )( 







 

 









 x

xg x xx xg

gf

xg xgf x xf

OBS: Repare que se f(g(x)) = x, então f e g são inversas. De fato, calculando g(f(x)), vem:

1

(2)

x x x x

g xf g x xf xg x



 

 





 

 







 

2 2 2

5 5 )5 2 2(

)) ((

5 2 )(

2 )( 5

b) determine o valor de

^f ^g^¹⁽³⁾^.

Solução. Se a inversa de g(x) é f(x),

^f ^g^¹⁽³⁾^ ^f⁽^f⁽³⁾⁾^ ^f⁽²⁽³⁾^⁵⁾^ ^f⁽¹¹⁾^²⁽¹¹⁾^⁵^²⁷

Dadas as funções reais definidas por

2 5 ) 3

(  x x

f

e

4 ) 1 )(

( x

x g

f   

, determine a lei da função g(x).

Solução. Aplicando a lei da função f(x) em g(x) e comparando com o valor indicado, vem:

6 )( 11 10 1 )(

4 .6 1 2

5 )(

.3 4

))( 1 (

2 5 )(

))( .3 2 (

5 )( 3

xg x x

x xg xg

xg x f

xg xg x f

xf          

 



 



 

 



Seja f(x) uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros e que associa a todo inteiro PAR, o valor zero; e a todo inteiro ÍMPAR, o triplo de seu valor.

Por exemplo, f(32) = 0 e f(7) = 21.

Calcule o valor de f(1) + f(2) + ... + f(101).

Solução. A função definida no problemas possui a lei:

 





 

) ( ,3

) ( )( ,0

ímpar x x

par

xf x . Como “x” varia de

1 a 101, calulamos o número de pares e ímpares.

i) Há um total de (101 – 1 + 1) números.

ii) Há um total de

¹ ⁵⁰

2 2 100  

números pares.

iii) Há um total de 101 – 50 = 51 números ímpares.

2

(3)

Logo a soma pedida é: 3 + 0 + 9 + 0 + 15 + ... + 303, onde na verdade a soma será da PA com valores: a

1

= 1; a

51

= 303; n = 51.

Aplicando a fórmula da soma, temos:

⁽¹⁵³^).(⁵¹⁾ ⁷⁸⁰³ 2

) 51 ).(

306 ( 2

51 ).

303 3 (

51    

 S

3