ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR SÃO CRISTÓVÃO III TERCEIRA ETAPA LETIVA / 2011

PROVA DE MATEMÁTICA I – 3ª SÉRIE – MANHÃ COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

PROFESSOR: ___________________________ DATA: ____________

NOTA:

NOME: GABARITO Nº: ______ TURMA: _______

ESTA PROVA VALE 3,5 PONTOS.

NÃO SERÃO ACEITAS RESPOSTAS SEM AS DEVIDAS JUSTIFICATIVAS.

QUESTÃO 1 (Valor: 1,0)

Encontre o quociente e o resto da divisão de p(x) = x

– 4x

– x + 4 por g(x) = x

– 3x – 4.

Solução. Utilizando o método da chave, temos:

x

– 4x

– x + 4 x

– 3x – 4 – x

+ 3x

+ 4x x – 1 – x

+ 3x + 4

x

– 3x – 4

0 Quociente: q(x) = x – 1

Resto: 0

QUESTÃO 2 (Valor: 0,5)

Calcule o valor de a para que o polinômio p(x) = 2x

– x

+ ax – 3 seja divisível por h(x) = x – 4.

Solução 1. Pelo teorema do resto, se p(x) é divisível por (x – 4) então p(4) = 0.

Substituindo, temos:

4 a 109 0 109 0) a4

4(p

109 a4 3a 4 16 128 3) 4(a )4(

)4(2

)4(p ^{3 2}









 

 

















 .

Solução 2. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini e igualando o resto a zero, temos:

4 2 – 1 a – 3 2 7 28 + a 109 + 4a

1

O resto deve ser nulo:

4 a 109 0

109 a

4      .

QUESTÃO 3 (Valor: 1,0)

Encontre o conjunto solução da equação x

– 2x

+ x

+ 2x – 2 = 0, sabendo que duas de suas raízes são -1 e 1.

Solução. Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini duas vezes o grau do quociente será dois. As outras raízes serão encontradas pela fórmula que resolve a equação do 2º grau.

1 1 – 2 1 2 – 2 –

1

1 – 1 0 2 0 1 – 2 2 0

O quociente é q(x) = x

– 2x + 2. Encontrando as raízes desse polinômio, temos:

 









 

 



 



 







 

i 1 x

i 1 x 2

i2 2 2

4 2 2

8 4 2 )1(2

)2 )(1(

4 )2 ( )2 x (

2 1 2

.

S = {1- i, 1 + i, - 1, 1}.

QUESTÃO 4 (Valor: 1,0)

Encontre o conjunto solução da equação x

- 9x

+ 23x – 15 = 0 sabendo que suas raízes estão em progressão aritmética.

Solução 1. Há três raízes: r. s e t. Como estão em PA, s = (r + t)/2  r + t = 2s.

A soma das raízes vale (r) + (s) + (t) = (r + t) + (s) = (2s) + (s) = 3s. Pela relação de Girard, S = -(-9)/1 = 9. Logo, 3s = 9  s = 3 (uma das raízes). Aplicando Briot-Ruffini, temos:

3 1 – 9 23 – 15 1 – 6 5 0 O quociente é Q(x) = x

– 6x + 5 = 0. Resolvendo, vem:

2

 



 



 



 



 

 

 









 

2 1 4 x 6

2 5 4 x 6

2 16 6 2

20 36 6 )1(

2

)5 )(1 (4 )6 ( )6 x (

2 2 1

.



 .

Solução 2. A soma dos coeficientes da equação é zero (1 – 9 + 23 – 15 = 0). Logo 1 é raiz.

Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos:

1 1 – 9 23 – 15 1 – 8 15 0 O quociente é Q(x) = x

– 8x + 15. Resolvendo, vem:

 



 



 



 



 

 

 









 

2 3 2 x 8

2 5 2 x 8

2 4 8 2

60 64 8 )1(

2

) 15 )(1 (4 )8 ( )8 x (

2 2 1

.



 .

3