Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.

(1)

Conjuntos enumeráveis e não enumeráveis.

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

[email protected]

‡

(2)

(3)

Sum ´ario

3

(4)

(5)

Cap´ıtulo 1

Conjuntos enumer ´aveis e n ˜ ao enumer ´aveis

1.1 Conjuntos finitos

m

Defini ¸c ão 1 (Conjunto finito). Um conjunto A é dito finito, quando ele é vazio ou existe uma bĳe¸cão f : In → A para algum n. Se o conjunto é vazio dizemos que ele possui zero elementos e no segundo caso A possui n elementos.

No caso de A finito com n elementos, podemos denotar por |A| =n ou ]A = n, n é chamada de cardinalidade de A e a fun¸cão f é dita ser uma contagem dos elementos de A.

Em geral se A est´a em bĳe¸c˜ao com B, denotaremos tal fato por A∼B.

b

Propriedade 1. A rela¸cão ∼ é de equivalência.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. A rela¸cão é reflexiva, pois A está em bĳe¸cão com A pela fun¸cão identidade f que associa x em x.

2. Se A está em bĳe¸cão com B então B está em bĳe¸cão com A, pois basta tomar a fun¸cão inversa.

5

(6)

3. Se A está em bĳe¸cão com B e B está com bĳe¸cão com C, então A está em bĳe¸cão com C. Existe fun¸cão bĳetora f : A → B e fun¸cão bĳetora g : B → C, então a fun¸cão g◦f é uma bĳe¸cão entre A e C.

b

Propriedade 2. Se A_k ∼B_k ent˜ao Y∞

k=1

Ak∼ Y∞

k=1

Bk.

ê Demonstra ¸c ão. Consideramos a bĳe¸cão f_k : A_k → B_k e definimos a fun¸cão f :

Y∞ k=1

A_k → Y∞

k=1

B_k com f((x_k)) = (f_k(x_k)). A fun¸cão é injetora, pois dados dois elementos (x_k) 6= (y_k) supondo que f(x_k) = f(y_k) vale (f_k(x_k)) = (f_k(y_k)) o que implica fk(xk) = fk(yk) ⇒ xk = yk o que é absurdo, então a fun¸cão é injetora. Da mesma forma ela é sobrejetora, pois um elemento (y_k) de

Y∞ k=1

B_k, existe x_k tal que f_k(x_k) =y_k, da´ı f(x_k) = (f_k(x_k)) = (y_k) e a fun¸c˜ao ´e sobrejetora.

$

Corol ´ario 1. Existe bĳe¸c˜ao entre I_n e I_n, por exemplo f(x) =x. LogoI_n possui n elementos.

b

Propriedade 3. Seja f : A → B uma bĳe¸cão. Se um dos conjuntos é finito então o outro também é finito.

ê Demonstra ¸c ão. Sem perda de generalidade, se A é finito, existe uma bĳe¸cão de g:I_n →A (para algum n natural), da´ı a composi¸cão f◦g :I_n →B é uma bĳe¸cão entre I_n e B, da´ı B é enumerável e possui n elementos.

b

Propriedade 4. Sejam a∈A e b∈B. Se existe uma bĳe¸cão f:A→B então existe uma bĳe¸cão g:A→B tal que g(a) =b.

ê Demonstra ¸c ão. Vale que f(a) =y para algum y em B, como f é sobrejetiva, existe x em A tal que f(x) = b, definimos uma fun¸cão g :A →B tal que g(a) = b , g(x) =y e g(t) =f(t) para todo t6=x, a, essa fun¸cão é uma bĳe¸cão.

(7)

1.1. CONJUNTOS FINITOS 7

b

Propriedade 5. Se A está contido propriamente em In então não existe bĳe¸cão de A em I_n. Não existe bĳe¸cão de um conjunto finito com um conjunto próprio.

ê Demonstra ¸c ão. Seja D= {n ∈N |∃A (In, f:A →In seja bĳe¸cão}, vamos mostrar que tal conjunto é vazio por indu¸cão sobre n. Tal conjunto não possui o elemento 1, pois não existe bĳe¸cão do vazio em I₁ = {1}, que é o único subconjunto próprio nesse caso. Suponha que n não perten¸ca a esse conjunto vamos mostrar que n+1=n₀ também não pertence. Suponha por absurdo que n₀∈D logo existe bĳe¸cão entre A e I_n₀. Se n₀ ∈ A então existe bĳe¸cão g : A → I_n₀ tal que g(n₀) = n₀ logo a restri¸cão g|A\{n₀} → I_n₀₋₁ é uma bĳe¸cão o que contraria o fato de n₀−1 ∈/ D. Se n₀ ∈/ A então existe b ∈ A tal que f(b) = n₀ da´ı a restri¸cão f|A\{b} → I_n₀₋₁ é uma bĳe¸cão, valendo A ⊂ In₀−1 da´ı A\ {b} ⊂ In₀−1, o que novamente contraria o fato de n₀−1∈/D .

$

Corol ário 2. Se A⊂I_n e existe bĳe¸cão entre A e I_n então A=I_n pois A não pode ser subconjunto próprio de I_n.

b

Propriedade 6. Seja A finito. Existe uma bĳe¸cão g: I_n →A para algum n, pois A é finito, a fun¸cão f:A→A é injetiva ou sobrejetiva ⇔ g⁻¹◦f◦g :I_n→I_n

´e injetiva ou sobrejetiva, respectivamente.

⇒).Se f é injetiva ou sobrejetiva então g⁻¹◦f◦g:I_n→I_n é injetiva ou sobrejetiva, por ser composi¸cão de fun¸cões com essas propriedades.

⇐). Seja g⁻¹◦f◦g :I_n→I_n sobrejetiva vamos mostrar que ftamb´em ´e sobrejetiva.

Dado y ∈ A vamos mostrar que existe x ∈ A tal que f(x) = y. Como g : In → A é sobrejetiva então existex₁ ∈I_n tal queg(x₁) =ye pelo fato de g⁻¹◦f◦g ser sobrejetiva então existe x₂∈I_n tal que g⁻¹(f(g(x₂))) =x₁=g⁻¹(y) como g⁻¹ é injetiva segue que f(g(x₂)) =y logo f é sobrejetiva.

Se g⁻¹◦f◦g é injetiva então f é injetiva. Sejam x, y quaisquer em A, existem x₁, x₂ ∈ I_n tais que g(x₁) = x, g(x₂) = y. Vamos mostrar que se f(x) = f(y) então x=y.

(8)

Sef(x) =f(y)ent˜aof(g(x₁)) =f(g(x₂))eg⁻¹(f(g(x₁))) =g⁻¹(f(g(x₂)))comg⁻¹◦f◦g segue que x₁=x₂ que implica g(x₁) =g(x₂), isto ´e, x=y.

b

Propriedade 7. Seja A um conjunto finito. f : A → A ´e injetiva ⇔ ´e sobrejetiva.

⇒).

Consideramos o caso f : In → In, se f for injetiva então f : In → f(In) é uma bĳe¸cão com f(I_n) ⊂I_n. f_n não pode ser parte própria de I_n pois se não f⁻¹(I_n) →I_n seria bĳe¸cão de um conjunto com sua parte própria, logo f(I_n) = I_n e f : I_n → I_n é bĳe¸cão.

⇐). Se f for sobrejetiva ent˜ao para cada y∈In (imagem) podemos escolher x∈In

(dom´ınio) tal quef(x) =y e da´ı definirg :I_n→I_n tal que g(y) =x, g é injetiva, pois f é fun¸cão, logo pelo resultado já mostrado g é bĳetora, implicando que f também é.

b

Propriedade 8. Seja A ⊂ I_n . Se existir f uma fun¸c˜ao injetora f : I_n → A ent˜ao A=In.

ê Demonstra ¸c ão.f:I_n →f(I_n) é bĳe¸cão, como f(I_n)⊂ A⊂I_n e f(I_n) não pode ser subconjunto próprio então f(I_n) =I_n implicando A=I_n.

b

Propriedade 9. Se existir bĳe¸c˜ao f:Im →In ent˜ao m =n.

ê Demonstra ¸c ão. Se n ≥ m então como I_m ⊂ I_n e f é injetiva, segue da proposi¸cão anterior que Im = In, logo m = n. No caso de m ≥ n temos que f⁻¹ :I_n →I_m é injetora e como I_n ⊂I_m, pela propriedade anterior segue que I_n =I_m, da´ı n=m em qualquer dos casos.

ê Demonstra ¸c ão.[2] Se um deles fosse o menor, digamos n, então haveria bĳe¸cão com um conjunto próprio, absurdo.

$

Corol ário 3 (Unicidade da cardinalidade). Se existem duas bĳe¸cõesf:I_n →A e g :I_m →A então m=n. Pois a fun¸cão g◦f:I_n →I_m é uma bĳe¸cão entre I_n e

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I_m.

Esse resultado garante que a cardinalidade associada a um conjunto ´e ´unica.

b

Propriedade 10. Se existem bĳe¸c˜oes f : I_n → A e g : I_n → B, com B ⊂ A ent˜ao A=B.

ê Demonstra ¸c ão.Existe bĳe¸cão h:A→B, sendo h=g◦f⁻¹ e ambos conjuntos são finitos, se B não fosse A haveria bĳe¸cão de um conjunto finito com sua parte própria, o que seria absurdo.

Não existe bĳe¸cão de um conjunto finito A sobre uma parte própria B⊂A.

b

Propriedade 11. Todo subconjunto de um conjunto finito ´e finito.

ê Demonstra ¸c ão. Lembre que estamos usando a nota¸cão I_n={1, . . . , n}. Vamos provar primeiro que se A é finito e a∈A então A\ {a} é finito.

Existe uma bĳe¸cão f:I_n →A tal que f(n) =a. Se n =1 então A\ {a}=∅ logo o conjunto é vazio (então finito). Se n >1 então existe a bĳe¸cão f|I_n−1 →A\ {a} , logo A\ {a} é finito.

Provaremos agora o caso geral por indu¸cão. Se A = ∅ ou A = {a} então seus subconjuntos são finitos. Suponha então que vale para um conjunto comnelementos, vamos provar que vale para um conjunto qualquer com n+1 elementos B .

Tome um subconjunto qualquerX⊂B, se X=B nada temos a demonstrar, porém se X 6=B, então existe a ∈B tal que a /∈X, logo X⊂B\ {a}, X é subconjunto de um conjunto com n elementos então ele é finito .

b

Propriedade 12. Se B ´e finito e A⊂B ent˜ao |A|≤|B|.

ê Demonstra ¸c ão. Faremos o caso de B = In. Como A é subconjunto de um conjunto finito então ele é finito, seja então|A|=m, supondo por absurdo quem > n vale I_n ( I_m e de A⊂I_n ( I_m segue que A( I_m, isto é, A é subconjunto próprio de I_m, porém como |A|=m, existe bĳe¸cão entre I_m e A, absurdo! pois não pode existir bĳe¸cão entre um conjunto finito e sua parte própria.

(10)

Seja f:A→B.

b

Propriedade 13. Se A é finito e f é sobrejetora então B é finito.

ê Demonstra ¸c ão. Para cada y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y, da´ı definimos g: B→A tal que f(g(y)) = y. g é injetora g(B)⊂ A, logo g(B) é finito e g:B→g(B) bĳe¸cão, implicando que B é finito.

b

Propriedade 14. Se B é finito e f é injetora, então A é finito.

ê Demonstra ¸c ão. Temos que a imagem defporA é subconjunto deB,f(A)⊂B, como B é finito, então f(A) também é finito, por ser subconjunto de um conjunto finito, tem também que f:A→f(A) é uma bĳe¸cão, logo A é finito.

b

Propriedade 15. Um subconjunto A de N ´e finito ⇔ ´e limitado.

ê Demonstra ¸c ão. Se A é finito, então X

k∈A

k = p é um n úmero natural, logo vale x ≤ p para qualquer x ∈ A. Se A é limitado, então todos seus elementos são menores que um certo p, então A⊂I_p, como I_p é finito segue que A é finito.

b

Propriedade 16. Se A e B são finitos e disjuntos com |A| = n e |B| = m então A∪B é finito com |A∪B|=m+n.

ê Demonstra ¸c ão. Existem bĳe¸cões f : In → A, g : Im → B. Definimos h : I_m+n→A∪B como h(x) =f(x) se 1≤x≤n e h(x) =g(x−n) se 1+n≤x ≤m+n (1≤x−n≤m), como h é bĳe¸cão segue o resultado.

Vamos provar com mais detalhe que h realmente ´e uma bĳe¸c˜ao.

• h ´e injetora. Suponha por absurdo que existem n₁ < n₂ tais que h(n₁) =h(n₂). 1. N˜ao pode valer que ambos n₁ e n₂ pertencem a {1,· · · , n}, ou ambos per-

tencem a {n+1,· · · , n+m}. No primeiro caso h(n₁) =h(n₂) =f(n₁) =f(n₂),

o que n˜ao pode acontecer pois f ´e injetora. No segundo caso, ter´ıamos h(n₁) =h(n₂) =g(n₁−n) =g(n₂−n),

(11)

novamente, n˜ao poder´ıamos ter pois g ´e injetiva.

2. Caso n₁∈{1,· · · , n} e n₂ ∈{n+1,· · · , n+m}, ter´ıamos h(n₁) =f(n₁)

| {z }

∈A

=h(n₂) =g(n₂−n)

| {z }

∈B

,

da´ı A e B possuem elemento em comum, o que n˜ao pode acontecer pois s˜ao conjuntos disjuntos. Logo h deve ser injetora.

• h ´e sobrejetora. Seja y∈A∪B, ent˜ao y∈A ou y∈B.

1. Se y∈ A, existe x ∈I_n, tal que f(x) =y=h(x), pois 1≤x ≤ n. Ent˜ao, A pertence a imagem de h.

2. Se y ∈B, existe x ∈I_m, tal que h(x) =y =h(x+n), pois 1 ≤x ≤m logo 1+n≤x+n≤n+m. Ent˜ao, B pertence a imagem de h.

3. Nenhum outro elemento além de A ou B pertencem a imagem de h, pois dado x ∈ In+m então h(x) se obtém aplicando f(x) ou h(x−n), isto é, possui valor em A∪B.

b

Propriedade 17. Se A e B são conjuntos finitos não necessariamente disjuntos vale a rela¸cão

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|. Onde |A| ´e o n ´umero de elementos de A.

ê Demonstra ¸c ão. Escrevemos A como a união disjunta A= (A\B)∪(A∩B), da´ı |A|−|A∩B|=|A\B| agora escrevemos A∪B= (A\B)∪B, união disjunta logo

|A∪B|=|A\B|+|B| usando a primeira express˜ao segue que

|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|.

(12)

$

Corol ´ario 4. Podemos deduzir a identidade para trˆes conjuntos

|A∪B∪C|,

tomamos B⁰ =B∪C em

|A∪B⁰|=|A|+|B⁰|−|A∩B⁰|

de onde segue

|A∪B∪C|=|A|+

|B|z }| {+|C|−|B∩C|

|B∪C| −|A∩[B∪C]|= usando tamb´em que A∩[B∪C] = [A∩B]∪[A∩C],

=|A|+|B|+|C|−|B∩C|−||[A∩B]{z∪[A∩C]}|

|A∩B|+|A∩C|−|A∩B∩C|

=|A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C|

logo

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|B∩C|−|A∩B|−|A∩C|+|A∩B∩C|

b

Propriedade 18 (Princ´ıpio da inclusão- exclusão). Sejam nconjuntos finitos (A_k)ⁿ₁, seja I o multiconjunto das combina¸cões das interse¸cões desses nconjuntos, então

|

n

[

k=1

A_k|=X

K∈I

|K|(−1)ⁿ^k onde onde n_k é o n úmero de interse¸cões em K.

b

Propriedade 19. Sejam (A_k)ⁿ₁ conjunto finitos dois a dois disjuntos, onde

|Ak|=mk ent˜ao |

n

[

k=1

Ak|= Xn

k=1

|Ak|= Xn

k=1

mk.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Indu¸c˜ao sobre n.

(13)

b

Propriedade 20. Se A e B são finitos e disjuntos com |A| = m e |B| = n então A×B é finito com |A×B|=m.n.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Podemos escrever A×B =

n

[

k=1

Ak onde Ak = A×{Bk} com

|Ak|=m, logo

|A×B|=|

n

[

k=1

A_k|= Xn

k=1

|A_k|=m.n.

b

Propriedade 21. Sejam (Ak)ⁿ₁ com |Ak| = mk ent˜ao | Yn

k=1

Ak| = Yn

k=1

|Ak| = Yn

k=1

m_k.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por indu¸c˜ao sobre n.

b

Propriedade 22. Se |A|=m e |B|=n ent˜ao |F(A;B)|=n^m.

ê Demonstra ¸c ão.[1] Faremos o caso em que A=I_m. As fun¸cões de F(I_m;B) são m uplas, sendo que em cada coordenada existem n possibilidades de elementos

F(Im;B) = Ym

k=1

B

da´ı

|F(I_m;B)|=| Ym

k=1

B|= Ym

k=1

|B|=n^m.

No caso geral mostramos que existe uma bĳe¸c˜ao entre F(I_m;B) e F(A;B) logo tais conjuntos possuem a mesma quantidade de elementos.

ê Demonstra ¸c ão.[2] Por indu¸cão sobre m. Para m = 1. A = {a₁} e B = {b₁,· · · , bn}, temos n fun¸cões fk(a₁) = bk, ∀ k ∈ In. Suponha a validade para um conjunto A⁰ qualquer com m elementos, vamos provar para A com |A| = m +1.

Tomamos a∈A, da´ı A\ {a}=A⁰ possui m elementos, logo |F(A⁰, B)|=n^m, podemos estender cada f_t⁰ : A⁰ → B para f : A → B de n maneiras diferentes, tomando f(a) =bk, k∈In, logo temos no total nn^m =n^m+1 fun¸c˜oes .

(14)

b

Propriedade 23. Seja |A|=n ent˜ao |P(A)|=2ⁿ.

ê Demonstra ¸c ão. Por indu¸cão sobre n, se n = 1, então A = {a₁} possui dois subconjuntos que são ∅ e {α₁}. Suponha que qualquer conjunto qualquer B com n elementos tenha |P(B)|=2ⁿ, vamos provar que um conjunto C com n+1 elementos implica |P(C)| =2ⁿ⁺¹. Tomamos um elemento a ∈ C, C\ {a} possui 2ⁿ subconjuntos (por hipótese da indu¸cão), s_k de k = 1 até k =2ⁿ, que também são subconjuntos de C, porém podemos formar mais 2ⁿ subconjuntos de C com a união do elemento {a}, logo no total temos 2ⁿ +2ⁿ =2ⁿ⁺¹ subconjuntos de C e mais nenhum subconjunto, pois não temos nenhum outro elemento para unir aos subconjuntos dados.

1.2 Conjuntos infinitos

m

Defini ¸c ão 2 (Conjunto infinito). Um conjuntoA, não vazio, é infinito quando para qualquer n natural não existe bĳe¸cão de A com I_n , isto é, um conjunto é infinito quando ele não é finito.

$

Corol ário 5. N é infinito, pois é ilimitado.

b

Propriedade 24. Se A é infinito então existe fun¸cão injetiva f:N→A.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Podemos definir f indutivamente. Tomamos inicialmente x₁ ∈ A e definimos f(1) = x₁ e para n ∈ N escolhemos x_n+1 ∈ A\

n

[

k=1

{x_k} definido f(n+1) =x_n+1. A\

n

[

k=1

{x_k} nunca é vazio pois A é infinito. f é injetora pois tomando

m > n tem-se f(n)∈

m−1

[

k=1

{x_k} e f(m)∈A\

m−1

[

k=1

{x_k}.

(15)

1.2. CONJUNTOS INFINITOS 15

$

Corol ário 6. Existe fun¸cão injetiva de um conjunto finito B num conjunto infinito A, usamos o mesmo processo do exemplo anterior, mas o processo para depois de definir a fun¸cão |B| pontos.

b

Propriedade 25. Sendo A infinito e B finito existe fun¸c˜ao sobrejetiva g : A→B.

ê Demonstra ¸c ão. Existe fun¸cão injetiva f : B → A, logo f : B → f(B) ⊂ A é bĳe¸cão, possuindo inversa g⁻¹ : f(B) → B. Considere a fun¸cão f : A → B definida como f(x) =g⁻¹(x) se x ∈f(B) e f(x) =x₁ ∈B se x /∈f(B), f é fun¸cão sobrejetiva.

b

Propriedade 26. Um conjunto A é infinito⇔ possui bĳe¸cão sobre uma parte própria.

⇐).Se existe uma bĳe¸cão sobre uma parte própria então o conjunto não pode ser finito, então ele é infinito.

⇒). Supondo agora que A seja infinito vamos mostrar que existe uma bĳe¸cão sobre um das suas partes próprias . Sejam f : N → A injetiva com f(n) = x_n e o conjunto B = A \ {x₁}. Definimos g : A → B por g(x) = x se x 6= x_n ∀ n ∈ N e g(x_n) =x_n+1, com isso cada x_n+1 e x∈A\ {x₁} pertencem a imagem da fun¸cão, além disso a fun¸cão é injetiva, logo temos uma bĳe¸cão do conjunto por uma das suas partes próprias.

$

Corol ário 7. O resultado anterior nos garante que um conjunto é finito ⇔ não possui bĳe¸cão com sua parte própria.

b

Propriedade 27. Se A é infinito e f:A→B é injetiva então B é infinito.

ê Demonstra ¸c ão. f:A→f(A) é bĳe¸cão e f(A)⊂B é infinito, logo B é infinito , B não pode ser finito, pois todo subconjunto de um conjunto finito é finito. f(A) não pode ser finito, pois se fosse A estaria em bĳe¸cão com um conjunto finito logo seria finito.

(16)

b

Propriedade 28. Se B é infinito e f:A→B é sobrejetiva então A é infinito.

ê Demonstra ¸c ão. Dado y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y e com isso definimos a fun¸cão g : B → A tal que g(y) = x, g é injetiva então pelo resultado anterior segue que A é infinito.

Z

Êxemplo ^1. Êxiste ^g^:^N^→^N sobrejetiva tal que g⁻¹(n) é infinito para cada n∈N.

Seja f : N → N definida como f(n) = k se n ´e da forma n = p^α_k^k onde p_k

é o k-ésimo número primo e f(n) = n caso contrário, f é sobrejetiva e existem infinitos n∈N tais que f(n) =k para cada k natural.

b

Propriedade 29. Se A⊂B e A é infinito então B é infinito.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Se B fosse finito ent˜ao A seria finito.

Z

^Exemplo ^2. ^Exprimir ^N ⁼ ^[^∞

k=1

N_k onde os conjuntos s˜ao infinitos e dois a dois disjuntos.

Tome Nk+1 = {p^α_k^k, αk ∈ N onde pk o k-´esimo primo} e N₁ = N\

∞

[

k=2

Nk, cada um deles é infinito, são disjuntos e sua união dá N.

1.3 Conjuntos enumer ´aveis

m

Defini ¸c ão 3 (Conjunto enumerável). Um conjunto A é dito enumerável quando ele for finito ou existir uma bĳe¸cão deNem A. Nessas condi¸cões podemos dizer também que o conjunto é contável ou numerável.

(17)

1.3. CONJUNTOS ENUMER ´AVEIS 17

m

Defini ¸c ão 4 (Enumera¸cão). • SeAfor finito, em bĳe¸cão com In, dizemos que uma enumera¸cão de A é uma bĳe¸cão f:I_n →A.

• Se A for infinito, em bĳe¸cão com N, dizemos que uma enumera¸cão de A é uma bĳe¸cão f:N→A.

b

Propriedade 30. Todo conjunto A ⊂ N é enumerável e existe uma única bĳe¸cão crescente x:N→A.

ê Demonstra ¸c ão. Se A é finito então A é enumerável. Se A é infinito podemos enumerar seus elementos da seguinte maneira x₁ =minA, x_n+1=minA\

n

[

k=1

{x_k}, da´ı

A=

∞

[

k=1

{x_k}

pois se existisse x∈A tal que x 6=x_k da´ı ter´ıamos x > x_k para todo k que é absurdo, pois nenhum conjunto infinito de n úmeros naturais é limitado superiormente. A fun¸cão x definida é injetora e sobrejetora. Vamos mostrar agora que ela é a única bĳe¸cão crescente entre A e N. Suponha outra bĳe¸cão crescente f : N → A. Deve valer f(1) = x₁, pois se fosse f(1) > x₁ então f não seria crescente. Supondo que vale f(k) = x_k ∀ k ≤ n ∈ N vamos mostrar que f(n+1) = x_n+1, não pode valer f(n+1) < x_n+1 com f(n+1) ∈ A pois a fun¸cão é injetora e os poss´ıveis termos já foram usados em f(k) com k < n+1, não pode valer f(n+1) > x_n+1 pois se não a fun¸cão não seria crescente, ela teria que assumir para algum valor x > n+1 o valor de x_n+1, a única possibilidade restante é f(n+1) = x_n+1 o que implica por indu¸cão que x_n =f(n)∀n∈N.

b

Propriedade 31. 1. Se f : A → B é injetiva com B enumerável então A também é enumerável.

2. Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.

(18)

1. ComoB é enumerável existe uma bĳe¸cãog:B→N, da´ıg◦f:A→N é injetiva, logo bĳe¸cão com sua imagem que é um subconjunto de N, portanto enumerável, disto segue que A é enumerável.

2. Se B ´e enumer´avel e A⊂B, podemos definir f:A→B com f(x) =x∀x ∈A, f

é injetora, como B é enumerável, então A também é enumerável pelo primeiro item .

$

Corol ário 8. Se f : A → B é sobrejetiva e A é enumerável então B também

é enumerável. Pois, para qualquer y ∈ B escolhemos x ∈ A tal que f(x) = y e definimos g:B→A, g(y) =x,g é injetiva eA é enumerável, então pelo resultado anterior B é enumerável.

Z

Êxemplo ^3. ^{O conjunto} Â dos subconjuntos (não incluindo vazio) de N disjuntos dois a dois é enumerável. Definimos f:A→N com f(B) =min{B} onde B é um subconjunto de N não vazio, tal fun¸cão é injetora, pois B é disjunto com qualquer elemento de A, como f é injetora A é enumerável.

Z

Êxemplo ^4. ^f ^: ^N^×^N ^→ ^N definida como f(m, n) = 2^m−¹(2n−1) é uma bĳe¸cão. Dado um número natural n qualquer, podemos escrever esse n úmero como produto dos seus fatores primos

n= Yn

k=1

p^α_k^k =2^α¹. Yn

k=2

p^α_k^k

como os primos maiores que 2 são ´ımpares e o produto de ´ımpares é um número

´ımpar então n = 2^m(2n−1). Agora vamos mostrar que a fun¸cão é injetora seja f(m, n) =f(p, q)

2^m(2n−1) =2^p(2q−1)

se m 6= p os n úmeros serão diferentes pela unicidade de fatora¸cão (2s−1 não

(19)

possui fatores 2 pois sempre é ´ımpar), então devemos ter m = p, da´ı segue que n=q e termina a demonstra¸cão.

$

Corol ário 9. N×N é enumerável. Outra maneira de mostrar que N×N é enumerável é mostrar uma fun¸cão injetora como f(m, n) =2^m3ⁿ.

b

Propriedade 32. O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Se A e B são enumeráveis então existem sobreje¸cões f:N→ A, g: N→B da´ı h:N×N →A×B dada por h(m, n) = (f(m), g(m)) é sobrejetiva, como N×N é enumerável segue que A×B é enumerável.

F Teorema 1. Todo conjunto infinito A, cont´em um subconjunto infinito enumer´avel.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Definimos A=A₀ e tomamos um elemento qualquer x ∈A, definindo x₁ =x e A₁ =A₀\ {x₁} , a seguir definimos recursivamente x_n+1 como um elemento em A_n e A_n+1 =A_n\ {x_n+1}.

x₁∈A₀, A₁ =A₀\ {x₁}

x_n+1 ∈A_n, A_n+1=A_n\ {x_n+1}, n∈N

o conjunto dos elementos x_n definidos dessa maneira, ´e um conjunto infinito enumer´avel, de elementos contidos em A.

b

Propriedade 33. Se cada conjunto A_k é enumerável então A =

∞

[

k=1

A_k ´e enumer´avel.

ê Demonstra ¸c ão. Para cada k ∈ N existe sobreje¸cão f_k :N →A_k, definimos a sobreje¸cãof:N×N→Adefinindof(n, m) =f_n(m), a primeira coordenada nlocaliza o conjunto A_n na reunião e da´ı f_n :N→A_n é sobrejetiva, logo para qualquer y∈A_n existe m∈N tal que fn(m) =y então f é sobrejetiva.

(20)

b

Propriedade 34. A união de dois conjuntos enumeráveis é enumerável, em geral a união de um número finito de conjuntos enumeráveis é enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Dados os conjuntos enumeráveis A₁ e A₂, sabemos que existem fun¸cões f₁ : N → A₁ e f₂ : N → A₂ sobrejetivas, então definimos a fun¸cão f: {1,2}×N→A₁∪A₂ por f(n, m) =f_n(m) tal fun¸cão é sobrejetiva, como {1,2}×N

é enumerável segue que A₁ ∪A₂ é enumerável. Para o caso geral da união de n conjuntos enumeráveis (Ak)ⁿ₁, podemos proceder por indu¸cão ou tomar a fun¸cão g:I_n×N→

n

[

k=1

A_k com g(n, m) =f_n(m) que ´e sobreje¸c˜ao da´ı

n

[

k=1

$

Corol ário 10. Q é enumerável, pois podemos definir A_n = {x

n, x ∈ N} (para n∈N fixo) que é enumerável, da´ı os racionais positivos podem ser escritos como a união

Q⁺ =

∞

[

k=1

A_k

da mesma forma B_n ={−x

n , x ∈ N}, logo os racionais negativos s˜ao enumer´aveis pois

Q⁻ =

∞

[

k=1

Bk

e os racionais s˜ao enumer´aveis pois Q=Q⁻∪{0}∪Q⁺.

Podemos enumerar os racionais positivos com a seguinte fun¸c˜ao f : N → Q com

f(1+k+ n

2

) = n−k 1+k

com k=0 at´e k=n−1. Em especial tomando n−k=p e k+1=q temos

f(q+ (p+q−1)(p+q−2)

2 ) = p

q.

Podemos enumerar todos racionais, com a seguinte fun¸c˜ao g : N → Q dada

(21)

por g(1) =0,

g(2+2 n

2

+k) = n−k

k+1 k=0 at´ek=n−1 e g(2+2

n 2

+k+n) = −n−k

k+1 k=0 at´ek=n−1.

Tais fun¸cões não são injetivas, porém são sobrejetivas, logo temos bĳe¸cão de um subconjunto de N em Q, o que implica Q ser enumerável.

Figura 1.1: Uma enumera¸cão dos racionais positivos. No esquema da direita, podemos perceber melhor um padrão da sequência.

Para deduzir as expressões, podemos fazer o seguinte: Primeiro, interpolamos a posi¸cão dos números inteiros que aparecem na sequência.

Segundo, a partir desse inteiro vá formando as fra¸cões somando 1 no denominador e retirando um do denominador até chegar ao inverso do número da primeira fileira, quando chegar nele , pule para o próximo inteiro.

$

Corol ário 11. Z é enumerável, pois podemos escrever Z=N∪{0}∪(−N) onde

−N={−x |x∈N}, e os conjuntos em que Z foi decomposto s˜ao enumer´aveis.

(22)

Figura 1.2: Uma enumera¸c˜ao dos racionais.

b

Propriedade 35. Sejam B enumerável e f:A→B tal que ∀y∈ B, f⁻¹(y) é enumerável, então A é enumerável.

A= [

y∈B

f⁻¹(y)

então A é união enumerável de conjuntos enumeráveis, da´ı A é enumerável.

b

Propriedade 36. N^s = Ys

k=1

N=N× · · · ×N ´e enumer´avel.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Consideramos a fun¸c˜ao f : N^s → N dada por f(x_k)^s₁ = f(x₁,· · · , x_s) =

Ys k=1

p^x_k^k tal fun¸cão é injetiva pela unicidade de fatora¸cão com fatores primos.

b

Propriedade 37. O produto cartesiano finito de conjuntos enumeráveis é enumerável.

(23)

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja Ys

k=1

A_k o produto cartesiano dos conjuntos A_k enu- meráveis, então para cada k existe uma fun¸cão f_k: N→A_k que é sobrejetiva, então definimos a fun¸cão f:N^s →

Ys k=1

A_k dada por

f(x_k)^s₁ = (f_k(x_k))^s₁ ,isto ´e,

f(x₁,· · · , x_s) = (f₁(x₁),· · · , f_s(x_s)) como tal fun¸cão é sobrejetiva e N^s é enumerável segue que

Ys k=1

$

Corol ário 12. Se X é finito e Y é enumerável, então F(X, Y) é enumerável.

Basta considerar o caso de X=I_n, ent˜ao F(X, Y) = Yn

k=1

Y =Yⁿ, que ´e enumer´avel.

Z

Êxemplo ^5. ^{O conjunto} Â⁼^{â⁺^b^√^p^|^{a, b} ^∈^{Q, p}^∈^N^} é enumerável.

Se √

p é inteiro, então o conjunto é o conjunto dos racionais , que é enu- merável, caso contrário segue uma demonstra¸cão.

A fun¸c˜ao Q×Q → A dada por f(a, b) = a+b√

p é uma bĳe¸cão. Se a 6= a⁰ então f(a, b)6=f(a⁰, b⁰), pois

a+b√

p6=a⁰+b⁰√

p⇔a−a⁰ 6= (b⁰−b)√ p se b⁰ =b vale pois a−a⁰ 6=0, se b⁰−b6=0 tamb´em vale pois a−a⁰

b⁰−b 6=√

ppor de um lado ser n ´umero racional e do outro um n´umero irracional. Se b6=b⁰ tem-se

a+b√

p6=a⁰+b⁰√

p⇔a−a⁰ 6= (b⁰−b)√ p vale pois da mesma maneira a−a⁰

b⁰−b n˜ao pode ser irracional. Logo ´e injetiva.

Temos também que a fun¸cão é sobrejetora, logo é uma bĳe¸cão.

(24)

Z

Êxemplo ^6. ^Z é enumerável, podemos dar a seguinte enumera¸cão para Z, f:N→Z tal que f(n) = n−2

2 se n ´e par e f(n) = −n+1

2 caso n seja ´ımpar.

$

Corol ário 13. O conjunto dos n úmeros racionais Q é enumerável pois Z×Z^∗

é enumerável e a fun¸cão f:Z×Z^∗ →Q dada por f(m, n) = m

n ´e sobrejetiva.

b

Propriedade 38. Toda cole¸cão de intervalos não degenerados dois a dois disjuntos é enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Seja A o conjunto dos intervalos não degenerados dois a dois disjuntos. Para cada intervalo I ∈A escolhemos um n úmero racional q e com isso definimos a fun¸cão f : A → Q, definida como f(I) = q, tal fun¸cão é injetiva pois os elementos I 6= J de A são disjuntos , logo não há possibilidade de escolha de um mesmo racional q em pontos diferentes do dom´ınio, logo a fun¸cão nesses pontos assume valores distintos . Além disso Podemos tomar um racional em cada um desses conjuntos pois os intervalos são não degenerados e Q é denso. Como f:A→Q é injetiva e Q é enumerável então A é enumerável.

1.3.1 O conjunto das partes finitas de um conjunto enumer ´avel

´e enumer ´avel

b

Propriedade 39. P_n ={A⊂N| |A|=n} ´e enumer´avel.

ê Demonstra ¸c ão. Definimos a fun¸cão f:P_n → Nⁿ da seguinte maneira: Dado A = {x₁ < x₂ < · · · < x_n}, f(A) = (x₁,· · · , x_n). Tal fun¸cão é injetiva pois dados A={x_k, k∈ I_n} e B= {y_k, k ∈I_n} não pode valer x_k = y_k para todo k, pois se não os conjuntos seriam iguais.

Se trocamos N por outro conjunto X enumerável o resultado também vale, basta definir uma fun¸cão f : P_n → Xⁿ e g : X → N injetiva, enumeramos um subconjunto finito qualquer com n elementos A ⊂ X como A ={x₁,· · · , x_n} onde g(x₁) < g(x₂)<

· · ·< g(xn) e definimos f(A) = (x₁,· · · , xn).

(25)

$

Corol ário 14. o conjunto P_f dos subconjuntos finitos de N é enumerável pois P_f=

∞

[

k=1

P_k

é união enumerável de conjuntos enumeráveis. O mesmo vale trocando Npor um conjunto enumerável qualquer A.

b

Propriedade 40. O conjunto dos polinômios com coeficientes racionais é enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Seja P_n o conjunto dos polinômios com coeficientes racionais de grau ≤n a fun¸cão f:P_n →Qⁿ⁺¹ tal que

f(

Xn k=0

a_kx^k) = (a_k)ⁿ₁ = (a₀,· · · , a_n)

é uma bĳe¸cão. Como Qⁿ⁺¹ é enumerável por ser produto cartesiano finito de conjuntos enumeráveis, segue que P_n é enumerável.

Sendo A o conjunto dos polinˆomios de coeficientes racionais, vale que A=

∞

[

k=1

P_k

portanto A é união enumerável de conjuntos enumeráveis , sendo assim A é enu- merável.

m

Defini ¸c ão 5 (N úmero algébrico). Um n úmero real (complexo) x é dito algébrico quando é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.

b

Propriedade 41. O conjunto dos n úmeros algébricos é enumerável.

ê Demonstra ¸c ão.[1] Enumeramos A = {P₁, P₂,· · · , P_n,· · ·}, o conjunto dos po- linômios com coeficientes inteiros, definimos B_k como conjunto das ra´ızes reais de Pk, então vale que

A=

∞

[

k=1

B_k

(26)

como cada B_k é finito A fica sendo união enumerável de conjuntos finitos, então A

´e enumer´avel.

ê Demonstra ¸c ão.[2] Seja B o conjunto dos algébricos e A o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros. Para cada algébricoxescolhemos um polinômio P_x tal que P_x(x) =0.

Definimos a fun¸c˜ao f : B → A tal que F(x) = P_x. Dado P_x ∈ F(B), temos que o conjunto g⁻¹(Px) dos valores x ∈ B tal que f(x) = Px ´e finito pois |{z}Px

=y

possui um n ´umero finito de ra´ızes e da´ı tem-se

B= [

y∈f(B)

g⁻¹(y)

logo B é união enumerável de conjuntos enumeráveis ( no caso finitos), então B é enumerável.

$

Corol ário 15. Existem n úmeros reais que não são algébricos, pois se todos fossem algébricosRseria enumerável. Todo elemento de R é raiz de um polinômio de coeficientes reais. P(x) = x

c−1 com c6=0 em R, tem raiz x=c. Em especial 0

´e raiz de G(x) =x.

m

Defini ¸c ão 6 (N úmeros transcendentes). Os n úmeros reais que não são algébricos são ditos transcendentais

b

Propriedade 42. O conjunto dos n úmeros algébricos é denso emR, pois todo racional é algébrico, o racional b

a ´e raiz do polinˆomio com coeficientes inteiros ax−b=P(x)

ax−b=0 ⇔ax=b⇔x= b

a. E Q ´e denso em R.

(27)

b

Propriedade 43. Seja A enumerável e B=R\A, então para cada intervalo (a, b), (a, b)∩B é não enumerável, em especial B é denso em R.

Com esse resultado garantimos que o complementar de um conjunto enumer´avel ´e denso em R.

ê Demonstra ¸c ão. Sabemos que (a, b) é não enumerável, escrevemos (a, b) = [(a, b)∩A]∪[(a, b)∩(R\A)] = [(a, b)∩A]∪[(a, b)∩B],

sabemos que (a, b)∩A é enumerável se (a, b)∩B também o fosse, chegar´ıamos no absurdo de (a, b) ser enumerável, por ser união finita de conjuntos enumeráveis , portanto (a, b)∩B é não enumerável e B é denso em R.

Z

Êxemplo ^7. Um conjunto pode não ser enumerável e também não ser denso em R, como (a, b).

$

Corol ário 16. O conjunto T dos n úmeros transcedentais é não enumerável e denso em R. Pois A o conjunto dos n úmeros algébricos é enumerável, T =R\A, como complementar dos n úmeros algébricos T é não enumerável e denso em R.

b

Propriedade 44. Para cada f : N → N seja A_f = {n ∈ N | f(n) 6= 1}. O conjuntoMdas fun¸cões, f:N→Ntais queA_f é finito é um conjunto enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Seja B_n o conjunto das f : N → N, tais que |A_f| = n, vamos mostrar inicialmente que B_n é enumerável. Cada f:N→N é uma sequência (f(1), f(2), f(3),· · · , f(n),· · ·), os elementos de B_n são as sequências que diferem da unidade em exatamente n valores. Para cada elemento f de B_n temos n termos diferentes de 1, que serão simbolizados por

f(k₁), f(k₂),· · · , f(k_n)onde k₁< k₂ <· · ·< k_n definimos g:B_n →Nⁿ como

g(f) = (p^f(k_k₁ ¹⁾, p^f(k_k₂²⁾,· · · , p^f(k_k ⁿ⁾

n )

(28)

onde cada p_t é o t-ésimo primo. A fun¸cão definida dessa forma é injetora, pois se vale g(f) =g(h) então

(p^f(k_k₁ ¹⁾, p^f(k_k₂²⁾,· · · , p^f(k_k ⁿ⁾

n ) = (q^f(k

10) k₁⁰ , q^f(k

20)

k₂⁰ ,· · · , q^f(k_k0ⁿ⁰⁾ n ) por unicidade de fatora¸c˜ao em primos segue que qt =pt e kt =k_t⁰ ∀ t.

Agora escrevemos M=

∞

[

k=1

B_k é uma união enumerável de conjuntos enumeráveis, portanto o conjunto das fun¸cões f:N→N tais que A_f é finito é enumerável.

b

Propriedade 45. Todo conjunto infinito se decompõe como união de uma infinidade enumerável de conjuntos infinitos, dois a dois disjuntos.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Todo conjunto X infinito possui um subconjunto infinito enumer´avel E = {b₁, b₂,· · · , b_n,· · ·}, tomamos b_2k = x_k e formamos o conjunto A = {x₁, x₂,· · · , x_n,· · ·}. Definimos B_k = {x^α_p^k

k, α_k ∈ N}, onde p_k ´e o k-´esimo primo e B₀ =A\

∞

[

k=1

Bk, cada um desses conjuntos B₀, B₁,· · · ´e infinito e todos s˜ao disjuntos, vale A=

∞

[

k=0

B_k , definimos B₋₁= (E∪X)\A que ´e infinito e disjunto com todo outro B_k, com isso temos

X=

∞

[

k=−1

B_k

que é uma união enumerável de conjuntos infinitos disjuntos.

1.4 Conjuntos n ˜ ao enumer ´aveis

Nem todo conjunto é enumerável. Vamos mostrar que existe um conjunto que não pode ser enumerado.

b

Propriedade 46. O conjunto X das sequências (x_n) tais que dado n, x_n=0 ou x_n=1 é não enumerável.

Vamos supor por absurdo que tal conjunto seja enumerável com a enumera¸cão s : N → X , tal que dado v natural associamos a sequência s_v = (x_v_(n)). Podemos

(29)

1.4. CONJUNTOS N ˜AO ENUMER ´AVEIS 29

então tomar o elemento y= (y_n), definido da seguinte maneira: y_n 6=x_n_(n), podemos tomar y_n dessa maneira pois se para n fixo vale x_n_(n) = 0 escolhemos y_n = 1, se xn(n) =1 escolhemos yn =0, da´ı tem-se que y6=sv para todo v natural, logo y não pertence a enumera¸cão, o que é absurdo. Logo a sequência é não enumerável.

b

Propriedade 47. P(N) é não enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Definimos a fun¸cão f : X → P(N) (onde X é o conjunto de sequências de elementos 0 ou1 ) da seguinte maneira para cada sequência (xk), definimos f(x_k) = V = {k | x_k 6= 0}. Tal fun¸cão é bĳe¸cão pois dadas duas sequências distintas (x_k) e (y_k) então existe k tal que x_k 6= y_k , sem perda de generalidade, y_k =0 então k /∈f(y_k) e k∈ f(x_k) logo as imagens são distintas. A fun¸cão também

é sobrejetiva pois dado um subconjunto V ⊂N a ele está associado a sequência (xk) onde x_k=0 se k /∈V e x_k=1 se k∈V.

Como tal fun¸cão é bĳe¸cão e X é não enumerável, segue que P(N) também é não enumerável.

b

Propriedade 48. Existe bĳe¸cão entre intervalos fechados. Seja um intervalo A = [a, b] e um intervalo B = [c, d] (supondo d 6= c e b 6= a) então a fun¸cão f(x) =c+ (d−c)(x−a)

b−a é uma bĳe¸cão entre os conjuntos A e B. Primeiro vamos mostrar que é injetiva f(x) =f(y)⇒x =y

c+ (d−c)(x−a)

b−a =c+ (d−c)(y−a)

b−a ⇒(d−c)(x−a)

b−a = (d−c)(y−a)

b−a ⇒x =y agora que ´e sobrejetora, dado y em [c, d] encontrar x tal que f(x) =y

c+ (d−c)(x−a)

b−a =y⇔ (y−c)(b−a)

d−c +a=x . O mesmo vale para intervalos abertos.

(30)

m

Defini ¸c ˜ao 7. Sejam A e B dois conjuntos, simbolizaremos por F(A, B) o conjunto de todas as fun¸c˜oes f:A→B.

F Teorema 2 (Cantor). Sejam A um conjunto arbitrário e B um conjunto con- tendo pelo menos dois elementos, então nenhuma fun¸cão f : A → F(A, B) é sobrejetiva.

ê Demonstra ¸c ão. A fun¸cão f:A→F(A, B) associa a um elemento de x de Aa um elemento y de F(A, B), que por sua vez é uma fun¸cão de A em B, y:A→B, que denotaremos por f_x = y. Para mostrar que f não é sobrejetiva, temos que mostrar que existe z em F(A, B) tal que para nenhum x∈A vale f_x =z.

Definiremos z :A→B da seguinte maneira, para todo x∈A fixo temos que fx(x)

é um elemento de B, como B possui no m´ınimo dois elementos, então associamos z(x) a um elemento diferente de f_x(x), assim as fun¸cões(imagens da fun¸cão) z e f_x são distintas para todo x (pois diferem em um elemento) , logo f: A→ F(A, B) não pode ser sobrejetiva.

$

Corol ário 17. Não existe Bĳe¸cão entre A e F(A, B), onde A é um conjunto arbitrário e B possui pelo menos dois elementos. Pois uma bĳe¸cão é uma fun¸cão que é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva, porém não existe fun¸cão sobrejetiva entre esses conjuntos.

Tomando A =N e B como acima conclu´ımos que não existe bĳe¸cão entre N e F(N, B), logo F(N, B) é não enumerável. F(N, B) =

Y∞ k=1

B é o produto cartesiano infinito , pois F(N, B) é o conjunto das fun¸cões deN em B (sequências de elementos em B),

Y∞ k=1

B é o conjunto das sequências de elementos em B também. Então se B possui mais de 1 elementos o produto cartesiano infinito é não enumerável.

Se B é enumerável infinito segue também que o produto cartesiano infinito é não enumerável.

(31)

b

Propriedade 49. Existe bĳe¸c˜ao entre P(A) e F(A,{0,1}). Os elementos de P(A) s˜ao subconjuntos de A.

ê Demonstra ¸c ão. Seja a fun¸cão C : P(A) → F(A,{0,1}), chamada de fun¸cão caracter´ıstica, definida como: Dado V ∈ P(A), C_V deve ser uma fun¸cão de A em {0,1}, definimos então CV(x) =1 se x ∈V e CV(x) =0 se x /∈V.

Tal fun¸cão é injetiva, pois sejam V 6=H elementos de P(A) então C_V é diferente de C_H, pois existe, por exemplo, x₁ ∈ H tal que x₁ ∈/ V e x₁ ∈A e vale C_V(x₁) = 0 e C_H(x₁) =1, logo as fun¸cões são distintas.

A fun¸cão é sobrejetiva, pois dado um elemento y de F(A,{0,1}), ele deve ser uma fun¸cão de A em {0,1}, então existe um subconjunto V que contém todos x ∈ A tal que y(x) = 1 e para todo x ∈ L =A\V tem-se y(x) = 0, tal fun¸cão é a mesma que C_V. Logo a fun¸cão é bĳetora.

$

Corol ário 18. Não existe bĳe¸cão entre os conjuntos A e P(A), pois não existe fun¸cão sobrejetiva entre A e F(A,(0,1)) essa última que está em bĳe¸cão com P(A).

Em especial n˜ao existe bĳe¸c˜ao entre N e P(N).

b

Propriedade 50. O intervalo [0,1] não é numerável.

ê Demonstra ¸c ão. Há infinitos racionais no intervalo [0,1], então tal conjunto não é finito. Usaremos também que todo real x ∈[0,1] admite uma representa¸cão da forma

x= X∞

k=1

a_k10^−k com a_k ∈A={0≤s≤9, s ∈N.}

Suponha uma numera¸c˜ao x:N→[0,1], onde xn=

X∞ k=1

a(n,k)10^−k agora seja b_k, com b_k 6=0,9, a_(k,k), definimos

y= X∞

k=1

b_k10^−k

(32)

y não possui duas representa¸cões decimais e y 6= x_n para todo n, pois possuem representa¸cões decimais distintas. Logo qualquer numera¸cão omite um número real no intervalo, assim [0,1] não é enumerável.

$

Corol ário 19. Qualquer intervalo [a, b] é não enumerável, pois existe bĳe¸cão entre [a, b] e [0,1]. E da mesma maneira (a, b) não é enumerável, pois se fosse [a, b] = (a, b)∪{a}∪{b} seria enumerável.

Da mesma maneira [a, b) e (a, b] são não enumeráveis.

b

Propriedade 51. Se A é não enumerável e A⊂B entãoB é não enumerável.

ê Demonstra ¸c ão. Se B fosse enumerável então A⊂B deveria ser enumerável.

$

Corol ário 20. R é não enumerável, pois (0,1)∈R e (0,1) é não enumerável.

Z

^Exemplo ^8. Mostrar uma bĳe¸c˜ao entre os conjuntos [0,1] e (0,1). Definimos o conjunto A = { 1

n+1 | n ∈ N} e B = A∪{0}∪{1}. Definiremos com isso uma fun¸c˜ao f: [0,1]→(0,1) que seja bĳetora . Definimos f|B como f(0) = 1

2, f(1) = 1 3 e f( 1

n+1) = 1

n+3 paran∈N, sua imagem é o conjuntoA. Tal restri¸cão é injetora.

Definimos também f|[0,1]\B com f(x) = x, essa restri¸cão também é injetora, como as restri¸cões são disjuntas e sua união dá [0,1] tem-se que a fun¸cão f é injetora.

Agora, dado x ∈(0,1), se x ∈ A então existe y∈B tal f(y) = x, se x ∈(0,1)\A, então f(x) =x o que mostra que a fun¸cão é sobrejetora, logo bĳetora.

Como existe bĳe¸cão entre [0,1] e (0,1) então (0,1) é não enumerável, pois pelo que mostramos [0,1] não é enumerável.

Generalizamos o exemplo anterior

(33)

Z

^Exemplo ^9. ^Seja ^C um conjunto infinito, construir uma bĳe¸c˜ao entre C e C\ {|a₁, a₂, a₃, a{z₄,· · · , a_p}}

=T

, isto é, construir uma bĳe¸cão entre C e C menos um n úmero finito de pontos. Tomamos A = {a_p+1, a_p+2,· · ·} ⊂ C conjunto formado por elementos distintos de C e tal que T∩A=∅, podemos tomar A dessa maneira pois C infinito possui subconjunto enumerável. Definimos B = {a₁, a₂,· · · , a_p}∪ {a_p+1, a_p+2,· · ·}={a₁, a₂,· · · , a_p, a_p+1, a_p+2,· · ·}.

Definimos f restrita `a B como

f(a₁) =a_p+1, f(a₂) =a_p+2, f(a₃) =a_p+3,· · ·, f(a_t) =a_p+t

como A e T são disjuntos, tal aplica¸cão é fun¸cão, sua imagem é A e a fun¸cão é tal que sua restri¸cão é injetiva.

Definimos agora f restrita `a C\B como f(x) =x, ela ´e injetiva e tem imagem C \B. Logo fica definida f de (C \B) ∪ B = C com imagem (C \B) ∪ A = C\ {a₁, a₂,· · · , ap} sendo injetiva e sobrejetiva, logo bĳetiva.

Com isso conseguimos bĳe¸c˜ao entre C e C\ {a₁, a₂,· · · , a_p} onde C ´e infinito.

É necessário que C seja infinito, pois se C fosse finito não ter´ıamos bĳe¸cão do conjunto com sua parte própria.

Por exemplo, bĳe¸cão entre [0,1] e (0,1) nesse caso tiramos 0 e 1. Bĳe¸cão entre [0,1] e (0,1], tiramos o 0. Bĳe¸cão entre [0,1] e (0, 1

2)∪(1

2,1) tiramos trˆes pontos 0, 1

2 e 1.

Z

^Exemplo ^10. Vamos dar um exemplo de bĳe¸c˜ao entreCum conjunto infinito e C\ {|b₁, b₂, b₃,{z· · · , b_n,· · ·}}

=T

onde esse último conjunto é infinito, se tal conjunto fosse finito não seria poss´ıvel construir bĳe¸cão, pois ter´ıamos bĳe¸cão entre conjunto infinito e finito, o que é absurdo. Definimos A = {a₁, a₂, a₃,· · · , a_n,· · ·} ⊂ C A∩T =∅, B=A∪T ={a₁, a₂, a₃,· · · , a_n,· · · , b₁, b₂,· · · , b_n,· · ·}, a restri¸cão de

(34)

f `a B como

f(b₁) =a₁, f(b₂) =a₃, f(b₃) =a₅,· · · , f(b_t) =a_2t−1 f(a₁) =a₂, f(a₂) =a₄, f(a₃) =a₆,· · · , f(a_k) =a_2k a fun¸cão definida assim é injetiva e sua imagem é A.

Definimos agora f restrita à C\B como a identidade, f(x) = x, ela é injetiva e sua imagem é C\B. Tal fun¸cão é definida em (C\B)∪B = C tem imagem (C\B)∪A=C\T, sendo injetiva e sobrejetiva logo bĳe¸cão.

Com isso conseguimos construir uma bĳe¸cão entre C um conjunto infinito e C\T conjunto infinito onde T é enumerável (finito ou infinito).

Por exemplo, constru´ımos bĳe¸cão entre R e R\Q o conjunto dos irracionais, R em R\Z, etc. Em geral o conjunto retirado T não pode ser não enumerável, pois C pode ser infinito enumerável.

Daremos outra demonstra¸cão de que o conjunto dos números reais é não enu- merável.

ê Demonstra ¸c ão. Existe fun¸cão injetiva f:N→R, por exemplo a de lei f(n) = n. Iremos mostrar agora que não existe fun¸cão sobrejetora deNemR, logo nenhuma dessas fun¸cões pode ser bĳetora. Construiremos uma sequência (A_k) decrescente de intervalos limitados e fechados tais que f(n) ∈/ A_n ,∀ N, logo dado um n úmero real c ∈

∞

\

k=1

(que tem existˆencia garantida pelo teorema de intervalos encaixados), vale que f(n) 6= c para qualquer n, pois se fosse f(n) = c∈ I_n, implicaria f(n) ∈ I_n que

é absurdo. Nesse caso f não pode ser sobrejetora. Dado f(1) fixo tomamos A₁ tal que f(1) ∈/ A₁. Supondo que f(k) ∈/ A_k, ∀ k ∈ I_n, temos dois casos a considerar, f(n+1) ∈/ A_n, da´ı tomamos A_n =A_n+1, caso contrário, f(n+1)∈ A_n = [a_n, b_n], da´ı um dos extremos do intervalo deve ser diferente de f(n+1), digamos a_n, nesse caso podemos tomar an = a_n+1 e an < b_n+1 < f(n+1), logo f(n+1) ∈/ A_n+1 = [a_n+1, b_n+1] que conclu´ı a demonstra¸cão.

Podemos provar de outra maneira que (0,1) é não enumerável, pois se fosse (n, n+1) seria enumerável e da´ı (n, n+1] também, porém

R= [

x∈Z

(x, x+1]