Modelagem e Simulação Numérica da Radiação Sonora de um Cilindro Infinito Pulsante

DE MINAS GERAIS

Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação

Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional

Modelagem e Simulação Numérica da Radiação Sonora de um Cilindro Infinito

Pulsante

Aluno: Emerson de Sousa Costa

Orientadora: Profª. Dra. Ester Naves Machado Borges Co-Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Pós-Graduação em Modelagem

Matemática e Computacional

Modelagem e Simulação Numérica da Radiação Sonora de um Cilindro Infinito

Pulsante

Dissertação de Mestrado, submetida ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional.

Aluno: Emerson de Sousa Costa

Orientadora: Profª. Dra. Ester Naves Machado Borges Co-Orientador: Prof. Dr. Márcio Matias Afonso

Costa, Emerson de Sousa

C837m Modelagem e simulação numérica da radiação sonora de um cilindro infinito pulsante. – 2008.

72 f.

Orientadora: Ester Naves Machado Borges

Dissertação (mestrado) – Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.

1. Método matemático – Teses. 2. Métodos de simulação I. Borges, Ester Naves Machado. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. III. Título.

CDD 519.6

Dedicatória

Para meu pai (in memorian), todos meus familiares e amigos.

Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, a Deus, por ter me dado força, paciência, persistência, determinação, conforto e paz necessárias à conclusão de mais uma etapa da minha formação acadêmica.

A professora Ester Naves Machado Borges pela orientação inestimável, pela amizade e confiança depositada em mim, além da paciência em todos os momentos de dúvidas.

Ao professor Márcio Matias Afonso pela orientação sempre presente, críticas construtivas e valiosas contribuições ao meu trabalho.

Aos demais professores pelo apoio na realização deste trabalho e aos colegas de mestrado pelo companheirismo e amizade.

À minha mãe, minhas irmãs e irmão pelo carinho e pelas palavras de incentivo que não me deixaram desanimar nunca.

A todos os colegas das escolas, que incentivaram e ajudaram no desenvolvimento deste trabalho. Em especial à Nedina, Marcílio e Donizete que tiveram tolerância e me apoiaram em todos os momentos.

Por fim, aos não menos importantes, demais amigos e familiares pelo apoio.

Agradeço de coração a todos vocês.

“O conhecimento é o processo de acumular dados;

a sabedoria reside na sua simplificação."

Martin H. Fischer

Resumo

Neste trabalho é obtida a solução da equação diferencial de onda acústica radiada por um cilindro infinito pulsante em um meio livre e homogêneo. A solução analítica é encontrada utilizando-se o Método de Separação de Variáveis e os resultados obtidos são comparados com os da literatura. A formulação e implementação da equação de onda que é regida pelo operador diferencial de Helmholtz, são obtidas utilizando-se o Método dos Elementos de Contorno (MEC). A transformação da equação de Helmholtz em Equação Integral de Contorno, bem como sua solução, é apresentada de forma detalhada no texto. O Método de Elementos de Contorno apresenta grande aplicação na solução de determinados problemas acústicos em campo aberto, em relação aos métodos diferenciais. Este método reduz a dimensão do problema, simplificando com isso os dados de entrada a serem trabalhados e reduzindo o tempo computacional utilizado.

Palavras-chave: Radiação; Acústica; Elementos de Contorno; Modelagem.

Abstract

This paper obtained the solution of differential equation of acoustic wave radiated by an infinite cylinder in a pulsating half free and homogeneous. The analytical solution is found using the method of separation of variables and results are compared with those of literature.

The formulation and implementation of the wave equation that is governed by the spread of Helmholtz, are obtained using the Boundary Element method (BEM). The transformation of the Helmholtz equation in the Boundary Integral equation and its solution is presented in detail in the text. The Boundary Element Method has a great application in the solution of the problem of acoustic radiation in open fields, when compared with the differential methods.

The BEM reduces the size of the problem because it simplifies the input data to be worked and reduces the computational time used.

Keywords: Radiation; acoustics; Boundary Element; Modeling.

Conteúdo

INTRODUÇÃO 1

1.1 − Considerações Gerais 1

1.2 − Objetivos 3

1.2.1 - Objetivo Geral 3

1.2.2 - Objetivos Específicos 3

1.3 − Organização do Trabalho 4

EQUAÇÃO DE HELMHOLTZ PARA MEIOS ACÚSTICOS 5

2.1 - Equação Linear da Onda Acústica 5

2.1.1 - Equação de Estado 6

2.1.2 - Equação de Continuidade 8

2.1.3 - Equação de Euler 8

2.1.4 - Equação Linear da Onda 9

2.2 – Equação de Helmholtz 11

2.3 – Solução Analítica da Equação de Helmholtz 12

2.4 – Sumário 22

TÉCNICAS NUMÉRICAS 23

3.1– Técnicas Numéricas Diferenciais 23

3.2 – Técnicas Numéricas Integrais 25

3.3 – Sumário 27

A EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO 28

4.1– Introdução 28

4.2– Equação Integral de Contorno 28

4.3 – Equação Integral no Contorno 32

4.4 – O Coeficiente c, termo livre do sinal de integração 35

4.6– Discretização e Colocação 40 4.7 – Derivada da solução fundamental em relação a normal nv

46 4.8 – Cálculo dos Elementos não Singulares das Matrizes G e H 48 4.9 – Cálculo dos Elementos Singulares das Matrizes G e H 49

4.10 – Sumário 51

RESULTADOS NUMÉRICOS E COMPARAÇÕES 52

5.1 – Resultado Analítico e Comparações 52

5.2 – Resultado Numérico e Comparações 54

5.3 – Sumário 61

CONCLUSÃO GERAL E PROPOSTA PARA TRABALHOS FUTUROS 62

6.1 − Conclusão Geral 62

6.2 − Propostas para trabalhos futuros 63

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 64

ANEXO A 66

ANEXO B 69

ANEXO C 70

ANEXO D 71

Função Delta de Dirac e Solução Fundamental 71

ANEXO E 72

Lista de Tabelas

Tabela 5.1 – Comparação de resultados 53

Tabela 5.2 – Resultados para discretização com 8 elementos 55 Tabela 5.3 – Resultados para discretização com 16 elementos 56 Tabela 5.4 – Resultados para discretização com 32 elementos 57 Tabela 5.5 – Resultados para discretização com 64 elementos 58 Tabela 5.6 – Resultados para discretização com 128 elementos 59 Tabela 5.7 – Resultados para discretização com 256 elementos 60 Tabela B1 – Valores de xi e wi para integração gaussiana, utilizando-se 10

pontos de Gauss 69

Tabela E.1 – Nós e respectivos elementos 72

Lista de Figuras

Figura 2.1 – Cilindro infinito de raio r = a 13 Figura 2.2 – As coordenadas cilíndricas (r, ψ, z) 14 Figura 4.1 – Representação do domínio e dos contornos 30 Figura 4.2 – Representação do domínio sobre um contorno 2D 33 Figura 4.3 – Malhas compostas de diferentes tipos de elementos 38 Figura 4.4 – Malhas com o mesmo número de elementos 38 Figura 4.5 – Aproximação realizada por elementos contínuos e descontínuos 39 Figura 4.6 (a) – Elementos de contorno: elementos constantes 39 Figura 4.6 (b) – Elementos de contorno: elementos lineares 39 Figura 4.6 (c) – Elementos de contorno: elementos quadráticos 40

Figura 4.7 – Contorno discretizado 41

Figura 4.8 – Elemento Linear 45

Figura 4.9 – Sistema de coordenadas no elemento 45 Figura 5.1 – Comparação de resultados implementados 53 Figura 5.2 – Ilustração bidimensional da discretização do cilindro em 12

elementos 54

Figura 5.3 – Representação gráfica dos resultados obtidos com a discretização

com 8 elementos 55

Figura 5.4 – Representação gráfica dos resultados obtidos com a discretização

com 16 elementos 56

Figura 5.5 – Representação gráfica dos resultados obtidos com a discretização

com 32 elementos 57

Figura 5.6 – Representação gráfica dos resultados obtidos com a discretização

com 64 elementos 58

Figura 5.7 – Representação gráfica dos resultados obtidos com a discretização

com 128 elementos 59

Figura 5.8 – Representação gráfica dos resultados obtidos com a discretização

com 256 elementos 60

Simbologia

CARACTERES LATINOS

Variável Descrição Unidade

s adensamento em um ponto -

R constante dos gases [J/kgK]

F força [N]

β módulo adiabático (coeficiente de expansão volumétrica do fluido) - rr

posição de equilíbrio de uma partícula de fluido em (x, y, z) [m]

p pressão acústica em um ponto [Pa]

P0 pressão de equilíbrio no fluido [Pa]

P pressão instantânea em um ponto [Pa]

r raio do cilindro [m]

z e y

xˆ,ˆ , ˆ representam vetores unitários nas direções x, y e z, respectivamente. [m]

T temperatura em graus Celsius [°C]

TK temperatura em Kelvin [K]

t tempo [s]

ur

velocidade da partícula de fluido [m/s]

c velocidade de fase da onda [m/s]

CARACTERES GREGOS

Variável Descrição Dimensão

ρ0 densidade de equilíbrio do fluido [kg/m³]

ρ densidade instantânea em um ponto [kg/m³]

ξ^r deslocamento da partícula de fluido em relação à

posição de equilíbrio [m]

ω freqüência angular [rad/s]

φ potencial de velocidade [m/s]

OPERADORES

Variável Descrição

∂i

∂/ derivada parcial

( )* =div( )*

⋅

∇ divergente

( )* =grad( )*

∇ gradiente

( )*

∇2 Laplaciano

* norma de um vetor ou matriz

RELAÇÕES ENTRE CARACTERES

Variável Descrição

0 0

ρ ρ ρ−

=

s adensamento em um ponto

z y

x _{y z}

xˆ ξ ˆ ξ ˆ

ξ

ξr = + +

deslocamento da partícula de fluido em relação à posição de equilíbrio

z z y y x x

rr = ˆ+ ˆ + ˆ

posição de equilíbrio de uma partícula de fluido em (x, y, z)

P0

P

p= − pressão acústica em um ponto

Tk

T+273.15= temperatura em graus Celsius

z u y u x t u

u _{x y z}r

r

r = + +

∂

= ∂ξ ˆ ˆ velocidade de partícula

LISTA DE ABREVIATURAS

Abreviação Descrição

EI Equação Integral

EIC Equações Integrais de Contorno MDF Método das Diferenças Finitas MEC Método dos Elementos de Contorno MEF Método dos Elementos Finitos

Capítulo 1

Introdução

_________________________

1.1 − Considerações Gerais

O som pode ser definido como uma variação da pressão ambiente detectável pelo sistema auditivo e o ruído como um som sem harmonia. Um mecanismo bastante comum para gerar sons consiste em fazer vibrar uma estrutura. Estruturas vibrantes movimentam ciclicamente as moléculas do ar ao seu redor, gerando localmente regiões de concentração e de rarefação destas, o que provoca variações de pressão.

A propagação sonora ao ar livre é normalmente estudada em termos de três componentes: a fonte sonora, a trajetória de transmissão e o receptor. Primeiramente, a fonte emite uma certa potência sonora, gerando um nível sonoro que pode ser medido nas proximidades da fonte. A partir daí, o nível sonoro é atenuado à medida que o som se propaga, entre a fonte e o receptor, ao longo de determinada trajetória.

A modelagem da radiação acústica é de fundamental importância para se compreender a propagação das ondas acústicas e, conseqüentemente, desenvolver mecanismos para atenuação de ruídos acústicos. Para estimativas de níveis de pressão sonora, em certas ocasiões, é preciso conhecer os níveis de potência sonora das fontes em questão. É este o caso, por exemplo, quando se deseja determinar o nível de pressão sonora gerado pelo maquinário de um ambiente industrial e o nível de pressão sonora devido ao tráfego de uma rodovia, entre outros.

Ondas acústicas em fluidos não viscosos, como ar e água, são ondas longitudinais, isto é, as moléculas do fluido se movem para frente e para trás na direção de propagação da onda, produzindo regiões adjacentes de compressão e de rarefação.

Na análise que se segue, são feitas algumas suposições necessárias para o estudo da propagação do som em fluidos na sua forma mais simples. Dentre elas, tem-se que os efeitos das forças gravitacionais são considerados desprezíveis; o fluido é homogêneo, isotrópico e perfeitamente elástico e as ondas são de amplitude relativamente pequena, de modo que as variações na densidade do meio são pequenas quando comparadas com seu valor de equilíbrio.

O termo partícula de fluido é utilizado para identificar um elemento de volume, grande o suficiente, para conter um número muito grande de moléculas, de forma que este possa ser considerado como um meio contínuo, contudo pequeno o bastante para que todas as variáveis acústicas possam ser consideradas constantes ao longo deste elemento de volume.

Neste trabalho é mostrada a solução analítica da equação de onda para um cilindro infinito que está vibrando (expandindo e contraindo) uniformemente na direção radial com amplitude constante. Essa solução encontrada é então comparada com a literatura. Uma formulação numérica para este problema também é apresentada, utilizando-se a forma direta do Método dos Elementos de Contorno.

Atualmente, o Método de Elementos de Contorno é um dos métodos mais avançados e é utilizado especialmente para o tratamento de problemas envolvendo meios infinitos e semi- infinitos. Uma das grandes vantagens desse método é que ele permite a redução da dimensão do problema, diminuindo o número de equações utilizadas, permitindo a solução apenas no contorno, sem necessidade de se analisar todo o domínio.

1.2 − Objetivos

1.2.1 - Objetivo Geral

O objetivo deste trabalho é fazer uma modelagem analítica e numérica de um cilindro infinito pulsante que está vibrando uniformemente na direção radial com amplitude constante.

A modelagem numérica deste problema é feita a partir da formulação direta do Método dos Elementos de Contorno.

1.2.2 - Objetivos Específicos

● Realizar um estudo teórico e numérico sobre a equação de onda radiada por um cilindro infinito pulsante.

● Comparar os resultados obtidos na implementação, utilizando-se o Método de Elementos de Contorno, aos resultados de Yoon, (1990) e Papini, (1999).

1.3 − Organização do Trabalho

A estrutura do trabalho apresenta, inicialmente, no Capítulo 2, a formulação analítica da radiação acústica de um cilindro infinito pulsante. Logo após é descrita a implementação da formulação analítica.

No Capítulo 3 é apresentada uma breve introdução dos métodos numéricos que são comumente utilizados.

No Capítulo 4 são desenvolvidos os conceitos básicos de Equações Integrais e do Método de Elementos de Contorno, empregados neste trabalho.

No Capítulo 5 são apresentados os resultados analíticos e numéricos e estes são comparados com os resultados obtidos na literatura.

No Capítulo 6 são apresentadas a conclusão geral e perspectivas de futuros trabalhos.

Capítulo 2

Equação de Helmholtz para Meios Acústicos

______________________________

Neste capítulo é apresentada a dedução da Equação de Helmholtz para o fenômeno de radiação acústica. Esta equação será obtida a partir da Equação Linear da Onda.

2.1 - Equação Linear da Onda Acústica

A equação que descreve o fenômeno da radiação acústica é obtida utilizando-se as equações de estado, de conservação da massa e da conservação da quantidade de movimento, na presença de um sinal acústico, segundo Ziomek, (1995). Para obter a formulação analítica da radiação acústica, devem ser feitas algumas suposições:

• Os efeitos das forças gravitacionais são desprezíveis;

• O fluido é homogêneo, isotrópico e perfeitamente elástico;

• Efeitos dissipativos devido à viscosidade ou condução de calor não estão presentes;

• A amplitude de onda sonora é relativamente pequena, de modo que as variações na densidade do meio são pequenas quando comparadas com seu valor de equilíbrio.

Estas suposições são necessárias para se estudar a propagação de som em fluidos na sua forma mais simples. Experimentos mostram que uma análise deste tipo descreve adequadamente os fenômenos acústicos mais comuns.

2.1.1 - Equação de Estado

Para meios fluidos, a equação de estado relaciona grandezas físicas que descrevem o comportamento termodinâmico de um fluido. Por exemplo, para um gás perfeito tem-se

TK

r

P=ρ , (2.1)

que relaciona a pressão instantânea P (em Pascal-Pa), a densidade instantânea ρ (kg/m³) e a temperatura absoluta T_K (Kelvin). A grandeza _



 



=  M

r R é a constante específica do gás e depende da constante universal dos gases R e do seu peso molecular M. Para o ar, R≈ 287 J/kg.K.

Processos acústicos são aproximadamente isentrópicos (adiabáticos e reversíveis). A condutividade térmica do fluido e os gradientes de temperatura da perturbação (onda acústica) são pequenos de forma que a troca de energia térmica entre camadas adjacentes do fluido pode ser desprezada. Nessas condições, a entropia do fluido permanece aproximadamente constante. O comportamento acústico de um gás sob essas condições é descrito pela equação adiabática de estado descrita por

γ

ρ ρ 







=

0

P0

P , (2.2)

onde γ é a razão entre os valores específicos à pressão e volume constantes. Para que as perturbações acústicas do fluido sejam consideradas adiabáticas, não pode haver troca de energia térmica entre elementos adjacentes do fluido. Isto significa que a condutividade térmica do fluido e que os gradientes de temperatura da perturbação devem ser pequenos o bastante para que não ocorra fluxo térmico significante durante o tempo da perturbação. Isso ocorre nas freqüências e amplitudes de interesse em acústica, Kinsler et al., (1982).

Se o fluido não se comporta como um gás perfeito, a equação que descreve seu comportamento é mais complicada. Neste caso, a relação isentrópica entre pressão e

densidade de flutuação é determinada experimentalmente. Esta relação pode ser representada utilizando-se uma expansão em série de Taylor

( ) ( ) ...

2

1 2

2 0 2 0

0

0 0

+

 −









∂ + ∂

 −









∂ + ∂

= ρ ρ

ρ ρ

ρ _ρ ρ _ρ

P P P

P . (2.3)

Na expressão acima, as derivadas parciais são constantes determinadas para compressão adiabática e para a expansão do fluido em torno de sua densidade de equilíbrio.

Se tais flutuações são pequenas, somente o termo de ordem mais baixa em (ρ−ρ₀) é considerado. Assim, obtém-se uma relação linear entre a flutuação de pressão e variação de densidade

( )

0 0

0 ρ

ρ β ρ⁻

=

−P

P , (2.4)

onde β é o módulo adiabático ou coeficiente de expansão volumétrica do fluido, dado por

0

0

ρ ρ

ρ

β _









∂

= ∂P

. (2.5)

Pode-se definir o adensamento s em um ponto, como a razão entre a variação de densidade e seu valor de equilíbrio,

0 0

ρ ρ ρ−

=

s e a pressão acústica p como a variação da pressão em relação a seu valor de equilíbrio,p= P−P₀. Dessa maneira pode-se reescrever a equação (2.4) em termos da pressão acústica p e do adensamento s,

s

p≈β . (2.6)

A restrição essencial é que o adensamento s deve ser muito pequena, s <<1, Kinsler et al., (1982).

2.1.2 - Equação de Continuidade

Para relacionar o movimento do fluido com sua compressão ou expansão, precisa-se de uma função que relacione a velocidade ur

da partícula do fluido com sua densidade instantânea ρ.

Considera-se um fenômeno de transporte de massa através de um elemento de volume infinitesimal de fluido, fixo no espaço. A equação de continuidade relaciona a taxa de crescimento ou decrescimento de massa no interior desse elemento de volume com o fluxo de massa através da superfície fechada que o envolve e tem a seguinte expressão

( )

. =

∇

∂ +

∂ u

t

ρ r

ρ . (2.7)

Como a densidade instantânea ρ pode ser expressa em função do adensamento )

1

0( +s

= ρ

ρ , pode-se usar o fato que ρ₀ é constante no espaço e no tempo, e que s é muito pequena, isto é, s <<1, para expressar a equação acima da seguinte maneira:

0

=

⋅

∇

∂ +

∂ u

t

s r

, (2.8)

que é a equação da continuidade linearizada.

2.1.3 - Equação de Euler

Para fluidos reais, a existência de viscosidade e o fato de que processos acústicos não são perfeitamente adiabáticos introduzem termos dissipativos. Entretanto, uma vez que os efeitos da condutividade térmica na equação de estado foram considerados desprezíveis, pode-se também ignorar os efeitos da viscosidade e considerar o fluido como sendo não viscoso.

A equação da conservação da taxa de variação de quantidade de movimento relaciona a pressão acústica p com a velocidade ur

instantânea da partícula, para um fluido adiabático e não viscoso, isto é, os efeitos da viscosidade do fluido podem ser desprezados.

Dessa maneira obtém-se a equação de Euler (equação de força) que é a equação de movimento para fluidos invíscidos:

t p u =−∇

∂

∂r

ρ0 . (2.9)

2.1.4 - Equação Linear da Onda

Aplicando-se o operador divergente em ambos os lados da equação (2.9), obtém-se

t p

u ₂

0 =−∇



 





∂

⋅ ∂

∇ r

ρ , (2.10)

onde ∇² é o operador Laplaciano.

Derivando-se a equação (2.8) em relação ao tempo e usando o fato de que

( ) _



 





∂

⋅ ∂

∇

∂ =

⋅

∇

∂

t u t

uv v

, (2.10-a)

obtém-se

2 0

2

=



 





∂

⋅ ∂

∇

∂ +

∂

t u t

s r

. (2.11)

As equações (2.10) e (2.11) podem ser combinadas numa única equação:

2 0

2 s

p ∂

=

∇ ρ . (2.12)

Usando-se a equação de estado (2.6) para eliminar o adensamento s, obtém-se

2 2 2

2 1

t p p c

∂

= ∂

∇ , (2.13)

onde a constante c, definida como

ρ0

= β

c , (2.14)

é denominada velocidade de fase (propagação) da onda acústica no meio.

A equação (2.13) é a equação linear de onda para a propagação sonora em meios homogêneos e sem perdas.

Para fluidos não viscosos, a velocidade da partícula é irrotacional, ∇×ur=0 . Isto significa que ela pode ser expressa como o gradiente de uma função escalar φ, denominada potencial de velocidade,

φ

∇

= ur

. (2.15)

O significado físico deste importante resultado é que a excitação acústica de um fluido invíscido não envolve fluxo rotacional: efeitos como tensões cisalhamento ou turbulência não estão presentes. Em fluidos reais, para os quais a viscosidade é finita, a velocidade de partícula não é irrotacional em todos os pontos do fluido. Na maioria dos processos acústicos, a presença de pequenos efeitos rotacionais limita-se à vizinhança ao redor dos contornos e exerce pouca influência sobre a propagação do som.

Substituindo-se a equação (2.15) na equação (2.9), obtém-se

0 =0



∂ +

∇ φ p

ρ . (2.16)

Verifica-se que a expressão entre parênteses na equação (2.16) pode ser escolhida nula, caso não haja excitação acústica, Kinsler et al., (1982). Dessa forma, tem-se que

p t

∂

− ∂

= φ

ρ₀ . (2.17)

Substituindo-se a equação (2.17) na equação (2.10), obtém-se a equação de onda linearizada, expressa em termos do potencial de velocidade de onda acústica:

2 2 2

2 1

t c ∂

= ∂

∇ φ

φ . (2.18)

2.2 – Equação de Helmholtz

Para se obter a solução da equação (2.18), supõe-se que o potencial de velocidade

( )t rv ,

φ tem dependência harmônica no tempo e pode ser escrito da seguinte forma

( )

( )

φ ,r r

= . (2.19)

Na equação (2.19), φ_f representa a parte espacial do potencial de velocidade e ω representa a freqüência angular da perturbação. Substituindo-se a equação (2.19) na equação (2.18) obtém-se a Equação de Helmholtz linear, tridimensional, homogênea, em coordenadas cilíndricas, independente do tempo para um meio sem perdas, expressa em termos do potencial de velocidade da onda acústica

( )

( )

2 + =

∇φ_f r κ φ_f r , (2.20)

onde

λ π κ = ²π = ²

c

f , (2.21)

λ f

c= . (2.22)

Para meios homogêneos, o valor de c (velocidade de fase) é constante.

2.3 – Solução Analítica da Equação de Helmholtz

Neste trabalho, considera-se um cilindro de raio r = a cuja superfície está vibrando uniformemente na direção radial com uma amplitude de Vo metros por segundo, numa freqüência de f Hertz, representado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Cilindro infinito de raio r = a

Considera-se ainda que o problema obedece a condição de contorno de Neumann

( )r em r a u

r =V = =

∂

∂φ ₀ v ,

. (2.23)

Na Equação de Helmholtz (2.20), utiliza-se o operador Laplaciano ∇² em coordenadas cilíndricas (r, ψ, z), devido à simetria do problema e dessa forma, f( )^r

φ r é o potencial de velocidade no ponto (^r,ψ,^z).

Fig. 4 – As coordenadas cilíndricas (r, ψ, z) Figura 2.2 – As coordenadas cilíndricas (r, ψ, z)

A solução da equação (2.20) é obtida utilizando-se o método de separação de variáveis, isto é, supondo-se que a solução pode ser escrita da seguinte forma:

( )r _f(r z) R( ) ( ) ( )r Z z

f φ ψ ψ

φ v = , , = Ψ

. (2.24)

Substituindo a equação (2.24) na equação (2.20) obtém-se

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) Z( )z dz

d z k Z

d d r r

dr R d r r rR dr R

d r

R ²

2 2 2

2 2

2

2 1 1 1

1 Ψ + =−

+ Ψ

+ ψ

ψ

ψ . (2.25)

Como o lado esquerdo da equação (2.25) é função de r e ψ, e o lado direito é função de z, esta igualdade só se verifica se ambos os lados forem iguais a uma constante, isto é,

( ) ²₂ ( ) ²

1

kz

z dz Z

d z

Z =

− , (2.26)

onde k_z² é chamada de constante de separação. A equação (2.26) pode ser reescrita como

( ) ² ( ) 0

2 2

= +k Z z z

dz Z d

z , (2.27)

que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea, que tem como solução exata

z ik Z z ik Z

z

z B e

e A z

Z( )= ⁻ + , (2.28)

onde

AZ ^e B_Z são constantes em geral complexas, cujos valores são determinados a partir das condições de contorno. Se k_z é positivo o primeiro termo na equação acima representa uma onda plana viajando no sentido positivo de z, enquanto o segundo termo representa uma onda plana viajando no sentido negativo de z.

Retornando à equação (2.25), observamos que o lado esquerdo desta deve também ser igual a k_z². Assim,

( ) ( )

( ) ( )

( ) ²₂ ( ) ^{2 2}

2 2

2 1 1

1

kz

d k d r r

drR d r r rR dr R

d r

R Ψ + =

+ Ψ

+ ψ

ψ

ψ . (2.29)

Multiplicando-se por r² ambos os lados da equação acima, obtém-se

( ) ( )

( ) ( )

( ) ²₂ ( ) ^{2 2 2 2}

2 2

2 1

kz

r r d k

r d drR

d r R r r dr R

d r R

r Ψ + =

+Ψ

+ ψ

ψ

ψ , (2.30)

ou

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )ψ ψ

ψ Ψ

−Ψ

=

− +

+ ₂

2 2 2 2 2

2

2 1

d r d

k k r dr R

d r R r r dr R

d r R

r

z . (2.31)

Fazendo-se

(

)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )ψ ψ

ψ Ψ

−Ψ

= +

+ ₂

2 2

2 2

2

2 1

d r d

k r dr R

d r R r r dr R

d r R

r

r . (2.32)

Como o lado esquerdo da equação acima é função somente de r e o lado direito é função de ψ, esta igualdade só se verifica se ambos os lados forem iguais a uma constante, isto é, se

( ) ²₂ ( ) ²

1 n

d

d Ψ =

−Ψ ψ

ψ

ψ . (2.33)

Na equação acima n² é chamada de constante de separação. Multiplicando-se ambos os lados da equação (2.33) por Ψ( )ψ obtém-se

( ) ² ( ) ⁰

2 2

= Ψ +

Ψψ ψ

ψ ⁿ

d

d , (2.34)

que é uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, homogênea, que tem como solução exata

ψ ψ ψ

ψ =Aψe ⁱⁿ +B eⁱⁿ

Ψ( ) ⁻ , (2.35)

ou, utilizando-se a fórmula de Euler,

( ψ) ( ψ)

ψ =A_ψ n +B_ψsen n

Ψ( ) cos . (2.36)

Na equação (2.36) A_ψ ^e B_ψ são constantes em geral complexas, cujos valores são determinados impondo-se as condições de contorno.

Finalmente, o lado esquerdo da equação (2.32), deve ser igual a n². Com isso,

( ) ( )

( ) ( ) ^{2 2 2}

2 2 2

n r k r dr R

d r R r r dr R

d r R

r

r =

+

+ . (2.37)

Multiplicando ambos os lados da equação acima por ( )

r2

r

R obtém-se

( ) 1 ( ) 2 ² ( ) 0

2 2

 =



 



 −

+

+ Rr

r k n r dr R

d r r dr R

d

r 2 , (2.38)

onde kr²=

(

)

O próximo passo é transformar a equação (2.38) em uma equação diferencial de Bessel, que tem solução exata conhecida.

Seja R(r) uma função g( )k_rr tal que

( )r g(k r)

R = _r . (2.39)

Desta forma,

( ) ( )

dr r k r dg drR

d _r

= . (2.40)

Fazendo-se k_rr=u tem-se que

dr du du

d dr

d = . Assim,

( ) ( )

dr du du

u r dg drR

d = , (2.41)

ou

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(k r)

d r k k dg r dr k

d r k d

r k r dg drR

d

r r r r r

r =

= . (2.42)

Isto é,

( ) ( )

(k r)

d r k k dg r drR

d

r r

= r , (2.43)

e também

( ) ( ) ( ) ( ) ( )^2,

2 2 2 2

2

r k d

r k g k d du

g k d du k d dr dg du k d du

u k dg dr r d drR

d dr r d dr R

d

r r r r

r r

r =



=

 

= 





=

= (2.44)

ou

( ) ( )

( )²

2 2 2

2

r k d

r k g k d r dr R

d

r r

= r . (2.45)

Substituindo-se na equação (2.38) as equações (2.43), (2.44) e (2.45) na equação (2.38) obtém-se

2 0

2 2 2

2 2  =







 −

+

+ g

r k n du dg r k du

g

k_r d ^r _r . (2.46)

Dividindo-se a equação acima por k_r² obtém-se

0 1 1

2 2

2 2

2

 =











 − +

+ g

r k

n du

dg r du k

g d

r r

. (2.47)

Como u = k_rrverifica-se que a equação (2.47) é uma equação diferencial de Bessel

0 1 1

2 2 2

2

 =







 − +

+ g

u n du

dg u du

g

d . (2.48)

A solução exata da equação (2.48), para valores arbitrários de n é dada por:

( )u A J ( )u B Y ( )u

g = _{r n} + _{r n} , (2.49)

ou

( )u A H ( )u B H ( )u

g = _{r n}⁽¹⁾ + _{r n}⁽²⁾ , (2.50)