Centro de Tecnologia e Ciências Instituto de Física Armando Dias Tavares
Ricardo Rodrigues Gomes
Cosmologias não homogêneas em coordenadas observacionais:
uma abordagem usando classificação invariante
Rio de Janeiro
2015
Cosmologias não homogêneas em coordenadas observacionais: uma abordagem usando classificação invariante
Dissertação apresentada, como requisito par- cial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientador: Prof. Dr. James Ewan Faskin Skea
Rio de Janeiro 2015
CATALOGAÇÃO NA FONTE UERJ/ REDE SIRIUS /CTC/D
Bibliotecária: Denise da Silva Gayer CRB7/5069
Autorizo, apenas para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação, desde que citada a fonte.
___________________________________________________ ____________________________
Assinatura Data
G633 Gomes, Ricardo Rodrigues.
Cosmologias não homogêneas em coordenadas observacionais: uma abordagem usando classificação invariante / Ricardo Rodrigues Gomes. – 2015.
85 f.: il.
Orientador: James Ewan Faskin Skea.
Dissertação (mestrado) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Física Armando Dias Tavares.
1. Cosmologia -Teses. 2. Relatividade geral (Física) - Teses.
3. Princípio da equivalência ( Física )- Teses. 4. Espaço e tempo - Teses.
I. Skea, James Ewan Faskin. II.Universidade do Estado do Rio de Janeiro. Instituto de Física Armando Dias Tavares. III. Título.
CDU 524.8
Cosmologias não homogêneas em coordenadas observacionais: uma abordagem usando classificação invariante
Dissertação apresentada, como requisito par- cial para obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação em Física, da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 07 de Janeiro de 2015.
Banca Examinadora:
Prof. Dr. James Ewan Faskin Skea (Orientador) Instituto de Física Armando Dias Tavares – UERJ Profa. Dra. Maria de Fatima Alves da Silva
Instituto de Física Armando Dias Tavares – UERJ Prof. Dr. Cesar Augusto Linhares
Instituto de Física Armando Dias Tavares – UERJ Prof. Dr. Marcelo Evangelista de Araujo
Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Dr. Felipe Tovar Falciano
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas
Rio de Janeiro 2015
Aos meus pais, e às minhas avós.
Ao meu avô Elias Gomes (in memoriam).
À minha melhor amiga e futura esposa, Gabriele dos Santos Trajano, e família.
Agradeço primeiramente a Deus por todas as beçãos que me deu.
Agradeço a Coordenação de Aperfeiçoamento Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo suporte financeiro ao longo dos dois anos deste projeto.
Agradeço a minha esposa e toda minha família por todo apoio, compreensão, amor e carinho. Obrigado por terem sido compreensivos com minhas ausências durante todo esse tempo.
Agradeço aos meus amigos, irmãos que a vida me deu, que tanto estiveram do meu lado e me ajudaram crescer a cada dia mais, nunca me deixando desanimar.
E por último e não menos importante, agradeço a meu orientador Prof. Dr. James (Jim) Skea por toda paciência, dedicação e perseverança imensas.
tudo com muito amor e com muita fé em Deus que um dia você chega lá. De alguma maneira você chega lá.
Ayrton Senna
GOMES, R. R. Cosmologias não homogêneas em coordenadas observacionais: uma abordagem usando classificação invariante. 2015. 85 f. Dissertação (Mestrado em Física) – Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.
Este trabalho tem como finalidade usar o método da equivalência para encontrar as relações funcionais entre os coeficientes de métrica de um espaço-tempo não homogêneo descrito por Ellis, cujo tensor energia-momento corresponde a poeira – especificamente a solução IIaii – nas coordenadas do artigo original, e o modelo equivalente escrito em coordenadas observacionais. Uma vez que o espaço-tempo de Ellis é um caso particular dos espaço-tempos com poeira, não se trata de um problema de equivalência no sentido tradicional, quando compara-se duas métricas com a intenção de simplesmente descobrir se ou não representam o mesmo espaço-tempo. Nesse tipo de problema, a resolução da equivalência (ou não) se reduz à questão de se um conjunto de equações são algebrica- mente consistentes. No caso estudado, temos que decidir se um conjunto de equações diferenciais, com a transformação de coordenadas, é consistente. No problema em mão, descobrimos que a maneira mais eficiente de resolver a questão de equivalência foi incluir no processo os coeficientes de Newman-Penrose. Embora não façam parte dos tradicionais Escalares de Cartan, mostramos como, com os devidos cuidados, podem ser utilizados na solução do problema de equivalência.
Palavras-chave: Coordenadas Observacionais. Problema de Equivalência. Classificação invariante.
GOMES, R. R. Inhomogeneous cosmologies in observational coordinates: an approach using invariant classification. 2015. 85 f. Dissertação (Mestrado em Física) – Instituto de Física Armando Dias Tavares, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2015.
The main intention of this work is to use Cartan’s Equivalente Method to deter- mine the equations relating the metric coefficients of a a dust-filled nhomegenous space- time described by Ellis - specifically his solution IIaii, which is a slight generalisation of the Lemaître-Tolman model – in the original coordinates with the equivalent space-time described in observational coordinates. Since Ellis’s space-time is a particular case of the metric for dust perfect fluid cosmologies in observational coordinates, we do not have an equivalence problem in the traditional sense, which results in the solution of a set of al- gebraic equations, but a trickier problem for which the consistency of a set of differential equations (including the coordinate transformation) must be determined. Along the way we find that it is more efficient to use, in part, the Newman-Penrose coefficients to help solve the problem. Though there are not Cartan scalars in the traditional sense, se show how, with due care, they can be incorporated into the solution of an Equivalence Problem.
Keywords: Observational Coordinates. Equivalence problem. Invariant Classification.
Figura 1 - Diagrama original de Hubble e Mapa da RCF pelo telescópio PLANCK 16 Figura 2 - Diagrama de coordenadas observacionais. . . 21 Figura 3 - Difeomorfismo. . . 57
CSE Convenção de Somatório de Einstein FLRW Friedman-Lemaître-Robertson-Walker
LT Lemaître-Tolman
Mpc Mega parsec
PC Princípio Cosmológico RCF Radiação Cósmica de Fundo S-S Szekeres-Szafron
ΛCDM Λ Cold Dark Matter
INTRODUÇÃO . . . 12
1 COSMOLOGIA DE UNIVERSOS NÃO HOMOGÊNEOS . . . . 14
1.1 Introdução . . . 14
1.2 O modelo padrão e o Princípio Cosmológico . . . 14
1.3 Modelagens não homogêneas do universo . . . 16
2 COSMOLOGIA OBSERVACIONAL . . . 18
2.1 Introdução . . . 18
2.2 O modelo observacional . . . 18
2.3 O conjunto de coordenadas e a métrica observacional . . . 19
3 MODELOS NÃO HOMOGÊNEOS ESFERICAMENTE SIMÉ- TRICOS . . . 24
3.1 Modelo de Lemaître-Tolman . . . 24
3.2 As famílias de modelos Szekeres-Szafron. . . 26
3.3 O modelo de Ellis caso IIaii . . . 27
4 FORMALISMO DE TÉTRADAS EM RELATIVIDADE GE- RAL . . . 30
4.1 Transformações de tétradas . . . 31
4.2 Derivadas direcional e covariante . . . 31
4.3 Tétradas de Newman-Penrose e Espinores . . . 33
5 ESPINORES COVARIANTES . . . 35
5.1 Representações do grupo de Lorentz . . . 35
5.2 Espinores na forma covariante . . . 36
5.3 Estrutura simplética dos espaços de espinores . . . 37
5.4 Métrica × Estrutura simplética . . . 39
5.5 Decomposição dos espinores de curvatura . . . 41
5.6 Classificação de espinores totalmente simétricos . . . 45
5.7 Espinores e o Formalismo de Newman-Penrose . . . 48
6 O PROBLEMA DE EQUIVALÊNCIA . . . 56
6.1 Introdução . . . 56
6.2 Problema de equivalência em n-édras. . . 57
6.3 O teorema da equivalência . . . 59
6.4 Os grupos de isometria e isotropia . . . 64
7 APLICAÇÃO E RESULTADOS . . . 66
7.1 Introdução . . . 66
7.2 Impletamentação e desenvolvimento das métricas em SHEEP . . 67
7.3 Análise dos componentes espinoriais . . . 70
CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 79 REFERÊNCIAS . . . 81 APÊNDICE A– Código fonte das métricas usadas em SHEEP/CLASSI 83
INTRODUÇÃO
O modelo atualmente dado como padrão da Cosmologia pressupõe que em primeira aproximação o universo seja homogêneo e isotrópico está de acordo com o que chamamos do Princípio Cosmológico (PC). Esta descrição, portanto, somente deve ser válida em largas escalas, uma vez que é possível observar uma vastidão de estruturas como galáxias, aglomerados de galáxias, filamentos, que não aparentam nenhum tipo de homogeneidade espacial em relação ao universo. Observações indicam que, em escalas maiores de 300 Megaparsecs (Mpc) (1 parsec é aproximadamente 3x1022m), o PC é válido e, portanto, a métrica do espaço-tempo tem componentes que independem da posição e é determinada a menos de uma função e de um parâmetro. Dessa forma, pode ser imediato pergun- tarmos: “até que ponto o PC pode estar interferindo na interpretação das observações cosmológicas?". Ou até “como fazer uma modelagem do universo em pequenas escalas, uma vez que, neste limite, o PC não é válido". No Capítulo 1 deste trabalho faremos uma breve abordagem sobre a cosmologia não homogênea, mostrando os problemas do atual modelo padrão e introduzindo discussões sobre modelos alternativos, instigando o leitor a se interessar por modelos que tenham o mínimo de hipóteses em sua formulação.
Uma formulação alternativa aos modelos cosmológicos com esse excesso de suposi- ções surgiu no programa de cosmologia observacional ideal, de Elliset al, em 1985. Neste, os autores se propõem a discutir um modelo baseado no caminho “inverso"do usualmente tomado em cosmologia. A formulação cosmológica padrão sugere quais observações devem ser feitas e faz previsões sobre como estas quantidades devem se comportar. No programa de cosmologia observacional propõe-se analisar as observações astronômicas e astrofísicas em primeiro lugar, verificando o que estas implicam na geometria e conteúdo material do espaço-tempo. Faremos um breve estudo sobre as coordenadas observacionais, pro- postas por Ellis, no Capítulo 2, analisando as características particulares do sistema de coordenadas proposto e a construção da métrica observacional.
Além do modelo de cosmologia observacional de Ellis, existem claro, os modelos que abrem mão totalmente do PC em sua formulação; isto é, abrem mão da imposição da homogeneidade em todo o universo. No Capítulo 3 deste trabalho, analisaremos alguns modelos cosmológicos não homogêneos como os Modelos de Leimaìtre-Tolman, de Szekeres e de Ellis, observando algumas consequências interessantes desta abordagem, como a possibilidade de abrir mão de um fluido exótico agindo diretamente para a expansão acelerada do universo.
Porém, todas essas modelagens para o universo são baseadas na Teoria da Relati- vidade Geral de Einstein. Esta teoria gravitacional, que representa a gravidade através de um tensor métrico, fornece um sistema de equações que relacionam geometria e conteúdo material do espaço-tempo. Devido à não linearidade dessas equações, a solução deste
sistema nem sempre é simples de ser encontrada. Em 1962, Newman e Penrose desen- volveram um formalismo que visava auxiliar a resolução destas equações de campo. De uma maneira geral esta formulação consiste em um referencial adaptado aos autovetores do tensor de Weyl do campo gravitacional de um espaço-tempo, facilitando os cálculos quando este campo é algebricamente especial, mesmo assim exigindo desagradáveis cál- culos algébricos. No Capítulo 4 faremos um estudo sobre o formalismo de tétradas e suas aplicações em Relatividade Geral, visando dar a base para compreender o formalismo de Newman-Penrose, isto é, uma “tétrada” (ou díada) espinorial. Para isso é necessário um conhecimento básico sobre espinores e sua aplicação em RG, que será o assunto do Capítulo 5.
O objetivo desta dissertação, em resumo, é utilizar o conhecimento obtido sobre os espinores e seu comportamento frente às transformações de Lorentz, para solucionar de uma forma diferente da usual o Problema da Equivalência entre duas métricas em RG: a métrica de coordenadas observacionais e a métrica de Ellis não homogênea caso IIaii. O problema de equivalência, como será mostrado no Capítulo 6, consiste em determinar se dois elementos de linha representam ou não o mesmo espaço-tempo localmente. A solução deste problema foi encontrada por Cartan, em 1946, aprimorada por Brans, em 1965, e Karlhede em 1980 afirmando que, para responder a essa questão, os componentes dos espinores relacionados à curvatura deverão ser calculados em um base canônica. Compa- rando esses componentes nos dois espaços-tempo, podemos obter um sistema de equações algébricas, as quais, se forem consistentes, comprovam a equivalência local entre os dois elementos de linha. Neste trabalho, portanto, vamos tentar solucionar este problema de uma outra forma.
Tendo em conta os conhecimentos sobre espinores de curvatura e os coeficien- tes de Newman-Penrose, usaremos a classificação invariante das métricas, nos valendo da isotropia de rotação encontrada nas duas métricas, para inferir quais coeficientes de Newman-Penrose dos espaços-tempo se comportam como escalares de Cartan, e o efeito da rotação sobre os demais coeficientes. Por serem objetos mais ‘simples’, isso acaba ajudando tanto na identificação da relação entre os coeficientes da métrica quanto na transformação de coordenadas. Enfim, resolvemos a solução do problema de equivalência entre as métricas sem utilizar as usuais funções de estrutura da relatividade geral, mas utilizando a igualdade dos escalares de Cartan, e os coeficientes de Newman-Penrose na classificação invariante.
Para alcançar nosso objetivo, como os cálculos dessas quantidades são muitas vezes grandes e tediosos (sujeitos a muitos erros), foi usado o programa Sheep/Classi, instalado em Scientific Linux para realizar os cálculos de toda classificação invariante das métricas.
No capítulo 7 mostramos os cálculos das quantidades necessárias para a solução do pro- blema e revisamos os resultados obtidos. Por fim são apresentadas as considerações finais do trabalho e nossas futuras perspectivas de pesquisa.
1 COSMOLOGIA DE UNIVERSOS NÃO HOMOGÊNEOS
1.1 Introdução
O leitor poderia se perguntar: “por que estudar modelos não homogêneos?". Mas possivelmente seria mais apropriada a pergunta: “por que não?!".
O modelo de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW), que considera uni- versos homogêneos e isotrópicos, é realista e obtém resultados satisfatórios em primeira aproximação para geometria e física do universo, possuindo generalizações simples. Po- rém sabemos, pela existência de heterogeneidades no Universo (galáxias, planetas, seres humanos) que o Universo não é completamente homogêneo nem isotrópico. Daí vem a principal motivação para o estudo de modelos não homogêneos.
Como neste trabalho estaremos interessados em analisar a equivalência entre duas métricas não homogêneas, neste capítulo será discutido brevemente o Princípio Cosmo- lógico, o qual rege o modelo padrão, mostrando suas bases e brechas. Posteriormente introduziremos a base dos modelos cosmológicos não homogêneos utilizando o modelo de Lemaitre-Tolman (LT), 1934. Para um estudo mais aprofundado nesta área é interessante um estudo do livro Inhomogeneous Cosmological Models, Krasinski, 1997 (KRASINSKI, 2006)
1.2 O modelo padrão e o Princípio Cosmológico
O modelo cosmológico padrão consiste num modelo descrito com base na relativi- dade geral para descrever a dinâmica do universo em larga escala . Em sua forma mais popular, fornece uma descrição da evolução do universo desde o Tempo de Planck, apro- ximadamente 10−43s após sua suposta origem até os dias de hoje e se assenta basicamente em alguns pilares como o Princípio Cosmológico (PC) e a consideração de que em larga escala o conteúdo do universo pode ser aproximado de um fluido perfeito.
O PC afirma que não existem posições privilegiadas no universo ou seja, em qual- quer instante de tempo, as características básicas em qualquer região do universo são as mesmas e todas as direções espaciais são equivalentes. De forma mais precisa, o PC estabelece que a distribuição de matéria-energia do universo é isotrópica e homogênea.
A homogeneidade reflete o fato de que o universo parece ser o mesmo e possuir as mes- mas características físicas em todos os pontos do espaço. Isotropia significa que a mesma evidência observacional pode ser encontrada em qualquer direção no universo em que olhemos. Podemos notar que isotropia em mais de um ponto do espaço implica imedia- tamente em homogeneidade (MUKHANOV, 2005). Observações indicam que o PC pode
ser considerado válido, ou pelo menos uma boa aproximação, em escalas maiores que 300 Mpc.
O PC pode ser considerado como uma extensão do princípio de Copérnico, (D’INVERNO, 1992) que afirma que a Terra não está no centro do sistema solar, ou seja não ocupa uma posição privilegiada no universo. Porém, mesmo não sendo válido em escalas menores, foram usadas extrapolações das leis físicas locais, servindo assim como importante ponto de partida para o estudo da cosmologia, inferindo diretamente a forma da métrica mais simples que descreve o espaço-tempo associado ao universo: os modelos FLRW.
O sucesso do modelo padrão se baseia em três principais pilares observacionais:
o diagrama de Hubble, evidenciando a expansão do universo através do desvio para o vermelho. A detecção da Radiação Cósmica de Fundo em microondas, como espectro de corpo negro. E a abundância de elementos leves, de acordo com a teoria da nucleossíntese.
O diagrama de Hubble foi a primeira evidência observacional de que o universo estava aparentemente se expandindo. Hubble foi pioneiro, nas décadas de 20 e 30, a observar o desvio para o vermelho da luz (redshift) emitida pelas galáxias detectando que o comprimento de onda de um feixe luminoso de uma fonte no momento da emissão é menor que o comprimento de onda observado por um detector na Terra. Esse fenômeno deveria ocorrer devido a uma velocidade de recessão das galáxias, assim, o universo estaria se expandindo.
O fortalecimento da ideia de que o modelo estaria no caminho certo pode ser creditado à detecção da Radiação Cósmica de Fundo (RCF), por Penzias e Wilson, em 1965, (PENZIAS; WILSON, 1965) que revelou observacionalmente que o universo era isotrópico com confortável precisão. (VICENTE, 2012) Hoje, diferentes observações como das distribuições de radiogaláxias e explosões de raios gama, corroboram a validade da hipótese de isotropia sobre nossa linha de universo. Contudo, é importante atentar que a isotropia observada se refere somente da nossa linha de universo, o que não implica em homogeneidade.
A verificação da homogeneidade dependeria estritamente da observação de isotro- pia em mais de um ponto, sobre linhas de universo distintas, o que é suposto através da extrapolação do Princípio de Copérnico. A suspensão da hipótese de Copérnico é exa- tamente o que chama-se no início deste texto de “busca pelo desconhecido". Representa admitir que a isotropia observada pela RCF é insuficiente para forçar homogeneidade em toda geometria do espaço, alterando possivelmente algumas medições e interpreta- ções de importantes observáveis cosmológicos, como redshift das galáxias, por exemplo (MAARTENS et al., 1996).
Baseado no abandono dessa hipótese, surgem os modelos de universos não homo- gêneos, como o modelo de Lemaître-Tolman (LT), que inclui como um caso particular os modelos FLRW.
Figura 1 - Diagrama original de Hubble e Mapa da RCF pelo telescópio PLANCK
(a) (b)
Legenda: (a) Diagrama original do artigo publicado por Edwin Powell Hubble mostrando o aumento da velocidade de recessão das galáxias de acordo com sua distância. (b) Mais recente mapa da RCF de acordo com os dados do Telescópio Planck, 2013.
Fonte: HUBBLE, 1929, f. 172. e ADE et al, 2014, f. 46
1.3 Modelagens não homogêneas do universo
Com o advento da tecnologia nas observações cosmológicas, a situação das mo- delagens do universo mudou drasticamente. Os primeiros dados coletados pelo WMAP (ENQVIST, 2008), dados de Supernovas distantes, da distribuição de galáxias e de aniso- tropias da RCF no modelo FLRW poderiam nos levar a uma imagem altamente contra- ditória do universo. Neste quadro teríamos como melhores ajustes para densidade média de matéria os valores: RCF ΩM ∼ 1; Distribuição de Galáxias ΩM ∼ 0,3; Supernovas tipo IA ΩM ∼0, o que seria um grande problema para o modelo.
Para sanar essa discrepância entre os dados foi (re)introduzida às equações de Einstein a constante cosmológica Λ ou a energia do vácuoωΛ, gerando a possibilidade de expansão acelerada do universo na teoria.
No entanto, embora os modelos ΛCDM se encaixem bem às observações cosmoló- gicas, não há um perfeito entendimento teórico da origem do que seria essa “constante cosmológica” ou a sua magnitude. Para físicos de partículas, que passaram longos pe- ríodos tentando provar que o valor dessa constante deveria ser zero, o tremendamente pequeno valor desta, que só agora começa a reger o comportamento do universo, é um pe- sadelo teórico (ENQVIST, 2008). Existe ainda um grande número de modelos de energia escura que buscam uma explicação dinâmica para Λ, mas nenhum deles comprovadamente convincente.
Diante de tais dificuldades, parece razoável abandonar a hipótese de homogenei- dade perfeita do universo predita nos modelos FLRW. Além do mais, não é tão difícil imaginar não homogeneidades no universo: não existem apenas aglomerados de galáxias, mas também grandes vazios. Devido ao fato de a Relatividade Geral ser uma teoria não
linear, mesmo pequenas não homogeneidades locais com grande densidade poderiam ge- rar uma evolução cosmológica diferente das obtidas usando perturbações em um fundo FLRW.
Na verdade, as consequências potencialmente interessantes das heterogeneidades já foram reconhecidas no momento inicial em que os modelos homogêneos e isotrópicos do universo foram estudados, mas o seu impacto sobre a dinâmica global do universo ainda é em grande parte desconhecido (KRASINSKI, 2006). Então surge a pergunta: poderia a aceleração do universo ser apenas um truque da luz? Uma má interpretação que surge devido à simplificação do universo não homogêneo inerente ao modelo FLRW? Há alguns anos, heterogeneidades foram invocadas como possíveis culpadas para a aparente acele- ração da expansão do universo. Afinal, uma vez que não podemos observar a expansão média do universo diretamente, somente o desvio para o vermelho e o fluxo de energia luminosa que vem a partir de uma fonte, sua aceleração média é também uma medida in- direta (decorrente do fato de que para os modelos perfeitamente homogêneos é necessário energia escura para um bom ajuste).
Nos modelos não homogêneos não há razão, à priori, para supor que uma expansão acelerada é obrigatória para ajustar os dados. Para isso seria desejável o estudo dos efeitos da heterogeneidade a partir de um observável direto no modelo cosmológico e infelizmente na presença de heterogeneidades genéricas essa tarefa se tornaria praticamente impossí- vel. Por isso, para estudar os efeitos iniciais de um modelo nesses moldes, é necessário um estudo de toy models, o mais simples é o modelo de Lemaître-Tolman esfericamente simétrico, não homogêneo. Atualmente existe uma variedade imensa de modelos não homogêneos para cosmologia.
No Capítulo 2 veremos uma abordagem diferente para a formação de um modelo cosmológico proposta em (ELLIS et al., 1985). Neste artigo, Ellis busca caracterizar em detalhes um modelo cosmológico utilizando o mínimo de hipóteses iniciais possível, definindo um novo conjunto de coordenadas conveniente para observações e utilizando observações astronômicas para limitar características do espaço-tempo e matéria do uni- verso.
Mais à frente os modelos de Leimaître-Tolmann, Szekeres e Ellis (caso IIaii)(ELLIS, 1967) são exemplos interessantes a serem analisados neste trabalho, com maior enfoque no último.
2 COSMOLOGIA OBSERVACIONAL
2.1 Introdução
As coordenadas observacionais definidas em (ELLIS et al., 1985) têm como objetivo caracterizar em detalhes como as observações cosmológicas podem ser utilizadas para determinar a geometria do espaço-tempo cosmológico, nos interessando em particular na geometria de regiões substancialmente distantes da nossa presente posição no espaço- tempo. A grande diferença do conceito de coordenadas observacionais está na ênfase feita, na questão abordada: “O que pode ou não ser descrito em cosmologia tendo somente as observações como base?".
Em princípio, o programa de Cosmologia Observacional de Ellis visa interpretar as observações astrofísicas e confrontá-las com as previsões teóricas dos modelos cosmológicos sem introduzir nenhuma hipótese, ou seja, assumindo não conhecer nada em relação às leis da dinâmica que determina a estrutura do espaço-tempo em larga escala. Em suma, assume-se então que as quantidades observacionais podem ser medidas com precisão infinita e, com base nisso, espera-se conseguir deduzir a métrica e os componentes da matéria somente a partir das observações.
Contudo, uma possível e interessante proposição seria examinar em detalhes a forma que as observações podem ser usadas para determinar diretamente a estrutura do espaço-tempo assumindo que sua dinâmica é governada pelas Equações de Einstein.
Neste capítulo apresentaremos formalmente as Coordenadas Observacionais, vi- sando construir o melhor modelo possível que minimize limitações sobre o que se pode medir e verificar, em cosmologia, uma teoria completa para a compreensão da natureza do universo. O leitor que desejar mais detalhes do programa de Cosmologia Observacional proposto por Ellis deve utilizar como leitura (ELLIS et al., 1985).
2.2 O modelo observacional
Antes da definição do conjunto de coordenadas observacionais, para a formulação de um modelo cosmológico completo, é importante a caracterização de alguns “ingredien- tes” básicos de um modelo para cosmologia, como o espaço-tempo, conteúdo material do universo e a natureza das observações que estaremos interessados.
Supomos aqui que o espaço-tempo consiste numa variedade M de matéria com métricag. Portanto, através do usual elemento de linha,ds2 =gijdxidxj a métrica deter- mina a geometria do espaço-tempo e, a partir de suas derivadas, podem ser determinadas as conexões e curvatura deste. É importante frisar que a assinatura da métrica adotada
neste trabalho será: (+,−,−,−).
Já para o conteúdo material do universo, a matéria e radiação são dispostas na sua forma usual para um fluido perfeito. O tensor momento-energia Tab é o responsável por ceder toda a informação sobre a matéria contida no espaço-tempo e relacioná-la com a geometria através das equações de Einstein. Em geralTab para um fluido perfeito se dá através da densidade de energiaµe uma pressão isotrópica pna forma
Tab = (µ−p)uaub+pgab , (1)
com a 4−velocidade normalizada como uaua = 1.
É possível observar então que a formulação total do conteúdo material depende somente de uma equação de estado para estar completa, relacionando todos os componentes de matéria e radiação.
A constituição do espaço-tempo portanto é dada por uma única família de linhas de campo com velocidades uα, representando as linhas de universo dos observadores. Dessa forma em termos das coordenadas locais, a 4−velocidade será dada por: ui = dxdτi.
Sobre as observações vamos nos restringir à escalas cosmológicas. O conjunto de coordenadas definido por Ellis, é centrado na linha de universo C da nossa galáxia, que passa pelo ponto q (“aqui e agora") e na família de cones de luz passados C−(q).
Dessa forma o tensor métrico g determinará os cones de luz locais nos quais faremos as observações. Em q poderemos receber informações somente de eventos do universo que sejam causalmente conectados com o passado de nossa galáxia, ou seja, passado deq.
Assim, o diferencial do conceito das coordenadas observacionais é permitir através desse modelo limitar a matéria e geometria do espaço-tempo levando em consideração os dados das observações astronômicas, verificando quais os vínculos observacionais o modelo tem que obedecer para ser consistente.
2.3 O conjunto de coordenadas e a métrica observacional
As coordenadas observacionais {xi} = {w, y, θ, φ}, conforme já dito, são coorde- nadas centradas na linha de universo C de nossa galáxia, assumindo que esta é uma geodésica no momento das observações, e na família de cones de luz passados de nossa galáxia C−(q). Essas podem ser caracterizadas da seguinte forma (ROVEDA, 2002) (1) x0 ≡ w. As superfícies {w = constante} representam os cones de luz passados dos eventos ao longo deC. Escolhemoswde modo que esta coordenada meça o tempo próprio ao longo deC, ou seja, w|C =t|C e denotamos w=w0 correspondendo ao que chamamos
de ponto q (”aqui e agora").
Nos próprios cones, C−(q), temos o campo vetorial geodésico nulo k, cujas curvas integrais são as geodésicas geradoras do coneC−(q). Sendo v um parâmetro afim dessas geodésicas, então:
k= ∂
∂v ⇔ ki = ∂xi
∂v, (2)
onde ki ≡w,i , kiki = 0 .
ComoC é uma congruência tipo-tempo, com vetor tangente ua= dxa
dt , (3)
temos que:
kiui =w,iui =uiδi0 =u0 = dw
dt = 1 +z . (4)
(2)x2 ≡θ ex3 ≡φ. Faz com que as geodésicas que geram o cone de luz sejam dadas por {θ, φ: constantes} na superfície{w= constante}, consequentemente
θ,iki = 0 =φ,iki , (5)
onde, tendo a liberdade de uma rotação rígida no ponto q0 em C, as coordenadas θ e φ representarão as coordenadas esféricas com respeito ao nosso sistema de coordenadas de referência.
(3) x1 ≡ y. A coordenada y representará sempre a distância sob as geodésicas nulas.
Ou seja, tanto como distância espacial de C, quanto a diferença temporal à q. É um parâmetro ao longo das geodésicas que geraC−(q), tal que y= 0 emC.
Além do parâmetro afim v, y poderá ser escolhida como o redshift z, a distância de área r0 ou qualquer uma dessas possibilidades no cone inicial w = w0 e depois sendo comóvel com o fluido, ou seja, y,iui = 0. Assim, quando uma dessas escolhas é feita, y é univocamente definida em todos os cones de luz. Onde cada uma dessas escolhas pode ser adequada à problemas específicos.
Portanto, em termos dessas escolhas:
ki =w,i e w=x0 ⇒ki =δ0i , w,iki = 0⇒ δi0ki = 0 ⇒ k0 = 0 , θ,iki = 0⇒ δ2iki = 0 ⇒ k2 = 0 , φ,iki = 0⇒ δ3iki = 0 ⇒ k3 = 0 .
(6)
Figura 2 - Diagrama de coordenadas observacionais.
Legenda: Coordenadas observacionais{w, y, θ, φ}.
Fonte: ELLIS et al, 1985, f. 3. Adaptado pelo autor.
Comoki = dxdvi, de acordo com 6, temos k1 = dxi
dvδ1i = dy dv = 1
β
!
. (7)
onde β > 0 mede a taxa de variação da coordenada y em relação ao parâmetro afim v, quando as outras coordenadas são mantidas constantes.
Dessa forma é possível notar que qualquer evento pode ser localizado pelo conjunto de coordenadas {xi} = {w, y, θ, φ}, atentando ao fato de que esse conjunto não cobre necessariamente todo o espaço-tempo, mas sim toda parte que é observável a partir da linha de universoC definida.
Então, os componentes da métrica observacional geral sem simetrias podem ser calculados diretamente das definições feitas até aqui. De 2, temos que
kaka= 0 ⇒ w,igijw,j = 0 ⇒ g00= 0 . (8)
Além disso, ki =gijkj, então, da primeira linha de 6 e 7, vem gi0 = 1
βδ1i . (9)
onde para os outros componentes temos simples operações indiciais. Portanto, é possí- vel escrevermos o tensor métrico covariante para coordenadas observacionais geral sem
simetrias na forma:
gij =
α β v2 v3
β 0 0 0
v2 0 h22 h23 v3 0 h23 h33
. (10)
Note que os componentes da métrica podem ter interpretações geométricas ime- diatas. A forma de g1j mostra que kj ≡ w,j é o campo de vetores de geodésicas nulas, com β sendo relacionado com o parâmetro afim v através da equação como vimos. E as curvas onde (v, θ, φ) são constantes são aquelas onde o vetor tangente é ∂/∂w. A direção e magnitude desses vetores tangentes é caracterizada na métrica pelos produtos escalares g0j. Ou seja,
α= ∂
∂w
!
· ∂
∂w
!
; β = ∂
∂v
!
· ∂
∂w
!
; v2 = ∂
∂θ
!
· ∂
∂w
!
; v3 = ∂
∂φ
!
· ∂
∂w
!
.
(11) A geometria intrínseca das superfícies nulas é representada também no tensor mé- trico pelos componentes gκλ, (κ, λ= 1,2,3), com componentes não nulas gIJ =hIJ, com I, J = 2,3.
Enquanto a forma de métrica posta acima implica que as superfícies{w=constante}
sejam nulas, isso ainda não garante que essas superfícies nulas são o cone de luz passado de uma geodésica na linha de universo C. Assim, podemos identificar características im- postas no comportamento limite dos componentes do tensor métrico próximo de C. Em resumo, quando o parâmetro afim v ou a distância r são escolhidos como coordenada y temos:
limy→0α =−1 , lim
y→0β = 1 , lim
y→0
vI/y2= 0 , lim
y→0
hIJdxIdxJ/y2=dΩ2. (12) Unindo essas condições com a forma da métrica, isto implica que as superfícies nulas{w=constante}são sim os cones nulos de uma geodésica tipo tempo em C, sendo w o tempo próprio ao longo da linha de universo e θ e φ direções baseadas em tétradas propagadas paralelamente ao longo de C.
Para o caso esfericamente simétrico, o qual estamos interessados em analisar neste trabalho, como os parâmetrosv2 =v3 = 0 (conforme possível visualizar em 11 ), a métrica
observacional toma forma geral como (ARAÚJO; STOEGER, 1999):
gij =
A2(w, y) −A(w, y)B(w, y) 0 0
−A(w, y)B(w, y) 0 0 0
0 0 −C2(w, y) 0
0 0 0 −C2sin2θ
. (13)
gerando o elemento de linha:
ds2 =A2(w, y)dw2−2A(w, y)B(w, y)dwdy−C2(w, y)dθ2 −C2(w, y) sin2θdφ2 , (14) onde assumimosy como uma coordenada comóvel ao fluido, portanto, a 4−velocidadeua fica dada porua =−A−1(w, y)δ0a, mantendo-se todas as liberdades quanto a escolhas da coordenada y citadas anteriormente.
A liberdade das coordenadas que preserva a forma observacional da métrica é dada a partir dew e y,
w→w˜ = ˜w(w) , y →y˜= ˜y(y) dw˜
dw 6= 06= d˜y dy
!
. (15)
A primeira se dá devido à liberdade para escolha de w como qualquer parâmetro de tempo ao longo de C, isto é, ao longo da linha de universo de nossa galáxia emy = 0.
Isso pode ser feito através da escolha de A(w,0)6= 0. A segunda corresponde à liberdade já dita de escolherycomo qualquer parâmetro de distância nula em um cone de luz inicial, emw=w0. Dessa forma, essa escolha é ”arrastada"para outros cones de luz pelo fluxo do fluido, o qualy é escolhido comóvel. Então, usa-se essa liberdade de escolher ydefinindo
A(w0, y) = B(w0, y). (16)
Por fim, é interessante especificar as condições centrais dos coeficientes da métrica A(w, y),B(w, y) e C(w, y), isto é, seus comportamentos quando y→0, que são
A(w, y)→A(w,0)6= 0 , B(w, y)→B(w,0)6= 0 , C(w, y)→B(w,0)y= 0 , Cy(w, y)→B(w,0).
(17)
Dessa forma, possuimos a modelagem completa do universo em coordenadas ob- servacionais, podendo definir todos os observáveis cosmológicos dentro do cone de luz passado: comoredshift, distância de área do observador e contagem numérica de galáxias.
3 MODELOS NÃO HOMOGÊNEOS ESFERICAMENTE SIMÉTRICOS
Como já foi dito no Capítulo 1, modelagens não homogêneas do universo são bas- tante comuns e sempre despertaram interesse da comunidade científica. Neste capítulo vamos dar uma descrição mais detalhada somente de três modelos: o modelo Leimaître- Tolman (TOLMAN, 1934), Szekeres (SZEKERES, 1975) e Ellis IIaii (ELLIS, 1967) uma vez que estes envolvem importantes interpretações astrofísicas e cosmológicas. Em (KRA- SINSKI, 2006) é possível observar mais de 700 referências na literatura de modelos não homogêneos.
3.1 Modelo de Lemaître-Tolman
O modelo LT esfericamente simétrico não homogêneo é um dos pioneiros de uni- verso não homogêneos. Embora não seja realista, este modelo pode ser de grande utilidade quando visto como um perfeito laboratório teórico.
A grande vantagem do modelo LT é ser exato. Com alto grau de simetrias, o modelo se torna interessante pelo menos por dois principais motivos. Em primeiro lugar, ele serve como um campo de testes simples para os efeitos da falta de homogeneidade no ajuste dos dados cosmológicos (sem energia escura). Em segundo lugar, a natureza da aceleração efetiva do universo neste modelo pode ser mais transparente que nos modelos homogêneos.
Assumindo um universo isotrópico, mas não homogêneo, preenchido de poeira (p= 0) e curvaturak = 1. Em coordenadas comóveis, a métrica de Lemaître-Tolman tem a forma:
ds2 =dt2−S2(t, r)dr2−R2(r, t)dθ2+ sin2θdφ2 , (18) onde S(t, r) e R(t, r) são funções que dependem do tempo e espaço. Podemos observar que a métrica homogênea de FLRW é um caso especial desta quando escolhemos
S(r, t)→ a(t)
√1−kr2 , R(r, t)→a(t)r . (19)
Dessa forma, os componentes do tensor de Einstein ficam definidos pelo conjunto de equações
−2 R00
RS2 + 2R0S0 RS3 + 2
R˙S˙ RS + 1
R2 + R˙ R
!2
− R0 RS
!2
= 8πT00 , (20)
deT10 = 0, vem R˙0 =R0
S˙
S , (21)
2 R¨ R + 1
R2 + R˙ R
!2
− R0 RS
!2
= 8πT11 (22)
e
− R00 RS2 +
R¨ R +
R˙S˙
RS +R0S0 RS3 +
S¨
S = 8πT22 = 8πT33 . (23)
Portanto, temos somente duas equações diferenciais independentes, eqs 21 e 23. Podendo facilmente integrar a equação 21 de forma obter
S(r, t) =α(r)R0(r, t), (24)
onde α(r) depende somente de r. Redefinindo α(r) = 1/q1 + 2E(r), com E < 1, é possível escrever a métrica de LT, dada pela equação 18, em sua forma mais usual, isto é,
ds2 =dt2− (R0(t, r))2
1 + 2E(r)dr2−R2(t, r)dθ2+ sin2θdφ2 , (25) com k sendo associado à curvatura das hipersuperfícies t constante.
Da primeira integral das equações independentes de Einstein, podemos tirar a expressão
R˙2 = 2E(r) + 2M(r) R +8π
3 ΛR2 , (26)
onde podemos analisar a evolução do modelo, sendoE(r) uma função não negativa.
Uma consequência interessante do modelo é a alteração na noção de aceleração.
Através da combinação das equações independentes acima é possível obter a expressão:
2 3
R¨ R +1
3 R¨0
R0 =−4π
3 ρM . (27)
Esta implica claramente que a aceleração total, representada pelo lado esquerdo, é nega- tiva, o que geralmente representa uma inconsistência com as observações. Porém, essa situação não exclui a possibilidade de termos aceleração radial ¨R0(r, t) > 0, que poderia ter implicações diretas na interpretação das observações cosmológicas (ENQVIST, 2008).
Dessa maneira, sabendo que o modelo FLRW é um subcaso do modelo LT podemos
ver que o Princípio Cosmológico pode ser resgatado em LT interpretando que o modelo é como uma ”ilha"isolada em um background FLRW. Essas ilhas LT podem estar em quantidades consideráveis neste fundo, porém em larga escala a modelagem do universo pode parecer homogênea, sendo não homogênea em escalas menores (KRASIŃSKI, 1998).
Assim, o PC não gera uma inconsistência com os modelos LT.
Fora essas aplicações, existem outras muitas para os modelos LT que não serão abordadas neste trabalho, como formação de buracos negros, de aglomerados de galáxias e interpretação de supernovas.
3.2 As famílias de modelos Szekeres-Szafron
Os modelos de Szekeres-Szafron são definidos pelas seguintes propriedades:
1. Eles obedecem as equações de Einstein com fluido perfeito.
2. As linhas de fluxo do fluido perfeito são geodésicas e não rotativas.
3. As hipersuperfícies ortogonais às linhas de fluxo são conformalmente planas.
4. O tensor Ricci dessas hipersuperfícies tem dois de seus autovalores iguais.
5. O tensor de cisalhamento tem dois de seus autovalores iguais.
Imediatamente da propriedade 2 temos que, em coordenadas comóveis, a pressão depende somente do tempo. Portanto, uma equação de estado bariônica, bastante usual em astrofísica, reduz a métrica Szafron à FLRW. As únicas soluções não triviais da família S-S que podem ser razoavelmente aplicadas à cosmologia são as métricas de Szekeres, nas quais temos universo preenchido de poeira (fluido perfeito com pressão zero). Este é um bom modelo para fases posteriores de evolução do universo, quando a gravitação já desempenha um papel dominante.
A métrica das soluções de Szekeres é dada por:
ds2 =dt2−e2α(t,x,y,r)dr2−e2β(t,x,y,r)
dx2+dy2 . (28)
Como na equação 28 as coordenadas são comóveis então a 4−velocidade uµ=δµ0, porém para as soluções de Szekeres existem duas famílias distintas: quando β,r = 0 ou β,r 6= 0.
A primeira é, ao mesmo tempo, a generalização dos modelos de Friedmann e Kantowski-Sachs (KANTOWSKI; SACHS, 1966), mas essa família não tem aplicações na cosmologia, portanto, não será discutida nesta seção.
Para a segunda família, as funções da métrica são dadas por eβ = Φ(t, r)eν(r,x,y) ,
eα =h(r)Φ(t, r)β,r ≡h(r) (Φ,r+ Φν,r) ,
e−ν =A(r) (x2 +y2) + 2B1(r)x+ 2B2(r)y+C(r) ,
(29)
onde Φ(t, r) é a solução da equação de Einstein integrada, análoga à equação 26, Φ2,t =−k(r) + 2M(r)
Φ + 1
3ΛΦ2 , (30)
tendo Λ 6= 0 como constante cosmológica, eh(r), M(r), k(r), A(r), B1(r), B2(r) e C(r) funções arbitrárias que obedecem a expressão:
g(r) .
= 4AC−B12−B22= 1
h2(r) +k(r), (31)
onde g(r) é definida dessa forma, arbitrária e somente em função de r.
A definição de g(r) é feita no intuito de que seu sinal determine a geometria das superfíciest constante e r constante. A geometria pode ser esférica, plana ou hiperbólica quando g >0, g = 0 oug <0, respectivamente.
Outra função com importantes interpretações ék(r). O sinal de k(r) determina o tipo de evolução quando Λ = 0. Analisando a equação 30 com k > 0 = Λ, o modelo se expande a partir da singularidade inicial e então recolapsa para uma singularidade final.
Se k = 0 = Λ temos um caso intermediário, equivalente ao plano do modelo de FLRW.
Já, se k <0 = Λ o modelo estará sempre em expansão.
Porém, podemos ver da última equação do lado direito da definição deg(r), equa- ção 31, que o sinal dek(r) influencia diretamente no sinal deg(r). Como o termo 1/h2(r) é sempre positivo, temos que: se g > 0 (geometria esférica), as três possibilidades de valor de k são possíveis. Seg = 0 (geometria plana),k tem que ser necessariamente não positivo, ou seja, podemos ter evoluções parabólicas ou hiperbólicas. Já parag <0 (geo- metria hiperbólica), k necessariamente tem que ser negativo, sendo evolução hiperbólica a única possibilidade. Como a geometria dos dois últimos casos é muito complicada de ser compreendida, estas não foram aplicadas em cosmologia.
O modelo quasi-esférico de Szekeres já foi bastante investigado, e possui grande espectro de aplicações no estudo do universo recente, na formação de estruturas e em observações da radiação cósmica de fundo, entre outras que podem ser encontradas em (??).
3.3 O modelo de Ellis caso IIaii
No artigo (ELLIS, 1967) Ellis faz uma análise geral e detalhada de diversos mo- delos cosmológicos, analisando suas caracterísicas em relação à homogeneidade, torções e cisalhamentos. A métrica a qual estamos interessados assume um modelo não homogêneo, com cisalhamento e torção nulos, onde todos os coeficientes da métrica possam depender das coordenadas radial e temporal. Esse modelo é dado pela métrica do Caso IIaii.
A métrica exposta no caso IIaii de Ellis é uma generalização daquela representada pela equação 18, pois além de considerar poeira e constante cosmológica Λ 6= 0, Ellis, escreve a solução explicitamente para curvatura nula, positiva ou negativa, isto é, = 0,±1.
A métrica de Ellis tem expressão genérica inteiramente análoga à dada pela equação 18, ou seja,
ds2 =dt2−X2(t, r)−S2(t, r)dr2−S2(t, r)dθ2+f2(θ)dφ2 . (32) Assim, os componentes do tensor de Eistein para esta são também análogos ao do caso de LT, podendo redefinir X(r, t) = S0(r, t)/q+ 2E(r). Portanto, a métrica ganha forma utilizada em (KRASINSKI, 2006)
ds2 =dt2− (S0(t, r))2
+ 2E(r)dr2−S2(t, r)dθ2+ sin2θdφ2 , (33) onde
= +1 , f(θ) = sinθ para simetria esférica, = 0 , f(θ) =θ para simetria plana , =−1, f(θ) = sinhθ para simetria hiperbólica ,
(34)
eE(r) é uma função arbitrária de r.
A partir da primeira integral das equações de Einstein, redefinindoa0(r) =q+ 2E(r), é possível obter a expressão
S˙2 =a20(r)−+ 2M(r) S + 1
3ΛS2 , (35)
onde pela primeira vez, vemos a curvatura aparecer explicitamente na equação para derivada temporal do coeficiente da métrica.
É importante observar que somente a escolha de = +1 permite que FLRW seja um subcaso da métrica de Ellis. Ou seja, exerce em Ellis o mesmo papel desempenhado porg na métrica de Szekeres, sendo a métrica de Ellis um caso limite de Szekeres quando eν,z = 0 e as coordenadas{x, y}são transformadas nas coordenadas quasi-esféricas{θ, φ}.
Sendo assim, podemos fazer a identificação:
{z,Φ, k,4AC−B12−B22}={r, S,−2E, } . (36) O objetivo desse trabalho é exatamente a realização desse tipo de identificação.
Estamos interessados em relacionar esses modelos não homogêneos com a métrica geral em coordenadas observacionais, exposta no Capítulo 2. Para resolver esse problema usa-
remos o problema de equivalência entre referenciais em Relatividade Geral, que utiliza o formalismo de tétradas e espinores em Relatividade Geral
4 FORMALISMO DE TÉTRADAS EM RELATIVIDADE GERAL
Uma tétrada é um conjunto de eixos que formam uma base {˜γi} do espaço de covetores ou, equivalentemente, formam uma base{−→γi} do espaço de vetores. Em geral, os eixos dependem do ponto xµ do espaço-tempo em que são definidos. (STEWART;
STEWART, 1993). O caso mais comum são as tétradas ortogonais ou lorentzianas nas quais os eixos formam um referencial localmente inercial em cada ponto, tal que os pro- dutos escalares entre os eixos, digamos, −→γi · −→γj = ηij. De forma geral, a métrica em tétradas pode ser definida como:
−
→γi · −→γj =γij (37)
Para prosseguir analisando as tétradas é necessária a definição de um objeto que transforme componentes de um referencial de tétradas em um referencial de coordena- das, −→g µ. Esse objeto é chamado de vierbein (”quatro pernas”, em alemão), e pode ser representado por uma matriz 4×4 com 16 componentes independentes,eµi. Assim:
−
→γi =eiµ−→gµ , ˜γi =eiµg˜µ , (38) onde o primeiro índice devierbein será sempre o índice referente à tétrada eeiµé o inverso matricial deeiµ, tal que:
eiµeiν =δµν , eiµejµ =δji . (39)
Com isso, pode-se inverter 39 para obter:
−
→gµ =eiµ−→γi , ˜gµ=eiµγ˜i . (40)
O elemento de linha pode ser reescrito como:
ds2 =gµνdxµdxν = (−→gµ· −→g ν) = γijeiµejνdxµdxν =γijγ˜i⊗γ˜j , (41) de onde:
gµν =γijeiµejν . (42)
No formalismo de tétradas existem dois tipos de índices: os referentes às tétradas e os referentes às coordenadas. Similarmente ao que é feito com os índices de coordenadas, usamos a métrica de tétradasγij e a sua inversa γij para subir e descer índices referentes a tétrada. A partir de agora nesta dissertação iremos omitir as setas e til sobre as bases
de vetores e covetores por motivo de simplicidade.
4.1 Transformações de tétradas
É interessante trabalhar com transformações que preservem alguma propriedade da tétrada, por exemplo, sua ortogonalidade. Todas as tétradas apresentadas neste capítulo, incluindo lorentzianas, tem lei de transformação na forma:
γi →γi0 =Lji0γj , (43)
ondeLji0 é uma transformação de Lorentz. Que, em geral, podem ser diferentes em cada ponto. Essas transformações giram os eixos γk em cada ponto mantendo o sistema de coordenadasxµ invariantes. Para tétradas ortonormais, a matriz de transformação tem a forma já conhecida da Relatividade Restrita. Em geral, um tensor de tétradas, Ak0lm0···0n0···
é um objeto cujos componentes se transformam de acordo com:
Ak0lm0···0n0··· =Lka0Ll0b· · ·Lcm0Ldn0 =Aab···cd··· . (44) Onde aqui é importante lembrarmos que não é só porque um objeto possui índices que ele é um tensor. Para isso é necessário que este obedeça a lei de transformação apropriada.
4.2 Derivadas direcional e covariante
No formalismo de tétradas, o análogo da derivada parcial é a derivação direcional que é a projeção da derivada na direção de um dos eixos da tétrada. A derivada direcional,
∂i, é escrita como:
∂i ≡γigµ ∂
∂xµ =eiµ ∂
∂xµ . (45)
onde é importante notar que ∂i é um 4−vetor de tétrada e independente do sistema de coordenadas, diferente de ∂x∂i. Em geral as derivadas direcionais não comutam, de forma que podemos definir o comutador como:
[∂i, ∂j]≡eiµ∂ejν
∂xµ
∂
∂xν −ejν∂eiµ
∂xν
∂
∂xµ =dkji−dkij∂k , (46) onde dkij ≡ ekµejν∂e
µ i
∂xν é a chamada derivada de vierbein e não é um tensor de tétradas (não se transforma como um).
A derivada covariante de tétrada, ∇i, é completamente análoga à derivada covari-
