S´ olidos
E. Marques de S´a DMUC, Maio 2007
1. Planifica¸c˜ao e constru¸c˜ao dos cinco s´olidos plat´onicos 2. Planifica¸c˜ao e constru¸c˜ao de s´olidos arquimedianos
Truncar um s´olido significa extrair uma parte dele que resulte de sec¸c˜ao por um plano. O ensino da planifica¸c˜ao de s´olidos truncados exige alguns cuida- dos resultantes do facto de existirem alunos (do secund´ario. . . e do superior!) com grandes dificuldades de percep¸c˜ao tridimensional. Uma vez conhecida, memorizada e interiorizada a planifica¸c˜ao duma pirˆamide, n˜ao deve ser dif´ıcil perceber o que acontece `a planifica¸c˜ao quando a dita pirˆamide ´e truncada por um plano paralelo `a base. Note que apenas devem considerar-se, a este n´ıvel, pirˆamides regulares, com a base e plano de truncatura perpendiculares ao eixo. Truncaturas por planos obl´ıquos s˜ao dif´ıceis de planificar, pois n˜ao ´e nada ´obvia a maneira de calcular os comprimentos das arestas resultantes.1 Uma vez entendido o caso da pirˆamide, pode passar-se ao de um s´olido regular ao qual se trunca um s´o v´ertice. De facto, localmente2 truncar um v´ertice acaba por ser, no essencial, o mesmo que truncar uma pirˆamide, tanto nos s´olidos propriamente ditos quanto nas suas planifica¸c˜oes.3
Chama-se s´olido ou poliedroplat´onico a um poliedro convexo que tem como faces pol´ıgonos regulares todos iguais entre si. Os plat´onicos s˜ao 5, como sabe. Chama-se s´olido ou poliedro arquimediano a um poliedro convexo que tem como faces pol´ıgonos regulares de duas ou mais esp´ecies, os quais se disp˜oem em redor de cada v´ertice do mesmo modo que se disp˜oem em redor de qualquer outro v´ertice.
H´a 13 arquimedianos com nomes `as vezes complicados. Desses 13, h´a 7 que resultam de truncaturas de plat´onicos, nomeadamente: cuboctaedro, icosido- decaedro, cubo truncado, dodecaedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado4 e tetraedro truncado.5
1Excepto no caso das pirˆamides triangulares, claro!
2I.e., olhando apenas para esse v´ertice e para uma pequena regi˜ao vizinha.
3Note que, quando faz uma truncatura pouco ‘profunda’ num v´ertice dum s´olido qual- quer, o que se ‘deita fora’ ´e uma pequena pirˆamide que tem como v´ertice o v´ertice truncado.
4A bola de futebol!
5Os 6 que faltam tˆem nomes sonantes: pequeno rombicosidodecaedro,grande rombicosi-
Pirˆamide truncada
Pense numa pirˆamide regular `a qual foi truncado o v´ertice “superior”, por um plano perpendicular ao eixo.
Esboce, em perspectiva, a pirˆamide truncada.
Esboce uma planifica¸c˜ao da pirˆamide. Represente a truncatura na pla- nifica¸c˜ao.
Tetraedro truncado
Esboce uma planifica¸c˜ao do tetraedro com todos os v´ertices trunca- dos. Ver´a que cada face triangular do tetraedro se transforma num hex´agono.
Fa¸ca a planifica¸c˜ao de modo a que os 4 hex´agonos sejam regulares.
Trata-se do arquimediano tetraedro truncado.
Cubo truncado
Esboce, em perspectiva, um cubo ao qual foi truncado um v´ertice.
Esboce uma planifica¸c˜ao do cubo e represente, nela, a truncatura.
Esboce uma planifica¸c˜ao do cubo com todos os v´ertices truncados.
Fa¸ca a truncatura de modo a transformar cada face do cubo num oct´ogono regular. Obt´em o arquimedianocubo truncado.
Fa¸ca a truncatura um pouco mais funda, de modo a transformar cada face do cubo numoutro quadrado. Obt´em o arquimedianocuboctaedro.
Octaedro truncado
Siga um processo an´alogo para o octaedro.
dodecaedro,pequeno rombicuboctaedro,grande rombicuboctaedro,cubo achatado edodecae- dro achatado (afei¸coado seria melhor. . . ).
3. Planifica¸c˜ao e constru¸c˜ao de s´olidos “cumulados”
Poliedro cumulado6´e um poliedro ao qual se “acrescenta”, em cada face, uma pirˆamide que tem por base a dita face. Em geral, quando a face ´e regular escolhem-se pirˆamides regulares com alturas adequadas ao efeito pretendido.
Por exemplo, se cumular todas as faces dum plat´onico com pirˆamides todas da mesma altura,h, que seja ‘muito grande’ relativamente `a aresta do plat´onico escolhido, obter´a um ´optimo enfeite para ´arvore de Natal.
Tetraedro cumulado. . . tetr´apodo
Pense em assentar, em dada face dum tetraedro, uma pirˆamide trian- gular regular cuja base ´e a dita face. Esboce a planifica¸c˜ao do tetraedro e, depois, substitua uma face pelas trˆes faces da tal pirˆamide.
Fa¸ca o mesmo para cada face. Planifique e construa.
Em certas obras de engenharia (protec¸c˜ao de tipo quebra-mar, por exemplo), em barragens policiais, etc., utilizam-se tetr´apodos, que n˜ao s˜ao mais do que tetraedros cumulados (ou, nalguns casos, s´olidos que resultam da cumula¸c˜ao dum tetraedro com troncos de cone em vez de pirˆamides). A vantagem do tetr´apodo ´e a sua caracter´ıstica f´ısico-geom´etrica de manter sempre um espig˜ao vertical quando se assenta num plano horizontal.
Cubo cumulado e dodecaedro rˆombico
Pense em colocar em cada face de um cubo de aresta 1, uma pirˆamide quadrangular regular cuja base ´e essa face do cubo e cuja altura ´eh(a mesma altura para todas as pirˆamides).
Problema de geometria elementar. Que valor deve ter h para que o poliedro obtido tenha 12 faces? Uma vez escolhido esseh, que forma e que propor¸c˜oes ter˜ao essas faces?
Planifique e construa.
Outros poliedros cumulados [Invente. . . ]
6A designa¸c˜ao ´e a utilizada em l´ıngua espanhola. Utiliza-la-ei at´e encontrar outra melhor.
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Fora da colec¸c˜ao dos arquimedianos e cumulados, vamos construir o seguinte prisma que servir´a de suporte a um rel´ogio de sol equatorial (a definir mais tarde).
Prisma triangular
Planifique e construa um prisma, cuja base ´e um triˆangulo rectˆangulo com ˆangulos de 40 e 50 graus. (A latitude m´edia de Coimbra ´e de 40◦120N.)
4. Esqueletos de pol´ıgonos e poliedros
Defini¸c˜ao 1. Esqueleto dum poliedro [dum pol´ıgono] ´e o agregado cons- titu´ıdo pelos seus v´ertices e arestas, articulados entre si como no poliedro [no pol´ıgono], retendo cada aresta o seu comprimento.
Num grafo cada aresta une dois v´ertices mas n˜ao possui comprimento determinado. Num esqueleto, cada aresta une dois v´ertices e tem com- primento bem determinado. Mas os ˆangulos entre arestas n˜ao fazem parte do esqueleto. Matematicamente, um esqueleto ´e um grafo em que cada aresta tem um n´umero positivo associado: o seu comprimento.
H´a uma teoria muito extensa deste tipo de objectos, tamb´em chamados grafos ponderados, ou redes. As redes rodovi´aria, ferrovi´aria, de auto- estradas s˜ao exemplos importantes que tˆem como modelos matem´aticos grafos ponderados. Cada aresta pode ser ponderada de v´arios modos, conforme o objectivo do modelo a construir: pela distˆancia a percor- rer, pelo custo dos bilhetes, pelo consumo em gasolina e pneus (uma estrada em mau estado implica agravamento de custos), etc.. Cada caminho duma rede tem o seu comprimento, ou peso, ou custo. Uma actividade interessante, e de enorme alcance pr´atico, ´e a determina¸c˜ao dos caminhos mais curtos entre dois v´ertices duma rede. . .
Problema 1. Nem todo o grafo ponderado ´e esqueleto dum pol´ıgono ou dum poliedro. Justifique esta afirma¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2. Um esqueleto diz-se r´ıgido se existe um ´unico pol´ıgono ou poliedro que o tem como esqueleto.
Por exemplo, o esqueleto dum quadrado n˜ao ´e r´ıgido, pois qualquer losango com lado igual ao do quadrado tem o mesmo esqueleto que o quadrado.
E muito f´acil perceber que´ os ´unicos pol´ıgonos com esqueleto r´ıgido s˜ao os triˆangulos. Porquˆe?
Problema 2. De entre os seguintes poliedros, quais s˜ao os de esqueleto r´ıgido?
• Prismas, pirˆamides, troncos de pirˆamides;
• Tetraedro, Cubo, Octaedro, dodecaedro, icosaedro;
• Um s´olido plat´onico com um v´ertice truncado.
5. Coment´ario
A aquisi¸c˜ao de competˆencias nos dom´ınios da percep¸c˜ao do espa¸co bi- e tridi- mensional pode fazer-se de muitos modos, principalmente pela manipula¸c˜ao de um report´orio razoavelmente numeroso de objectos interessantes, pela sua constru¸c˜ao e observa¸c˜ao de forma met´odica, pela sua classifica¸c˜ao. Essas competˆencias s˜ao determinantes numa sociedade cada vez mais voltada para a visualiza¸c˜ao e digitaliza¸c˜ao de objectos tridimensionais, para a percep¸c˜ao espacial, para as ciˆencias do espa¸co. As dificuldades que sentimos nesta mat´eria em alunos dos ensinos secund´ario e superior deve-se, na quase totali- dade, a deficiˆencias muito graves nas filosofias, programas e metodologias do nosso ensino b´asico.