Problema de estoque e roteirização com empacotamento bidimensional

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Problema de estoque e roteirizac¸˜ao com empacotamento bidimensional

Pedro Henrique Del Bianco Hokama Universidade Federal de S˜ao Carlos

hokama@ic.unicamp.br

Fl´avio Keidi Miyazawa Universidade Estadual de Campinas

fkm@ic.unicamp.br

Reinaldo Morabito Neto Universidade Federal de S˜ao Carlos

morabito@ufscar.br

RESUMO

Neste trabalho investigamos o problema de estoque e roteirização com empacotamento bidimensional, no qual precisamos atender pedidos de diversos clientes em um horizonte de planejamento. Os pedidos contêm múltiplos produtos distintos e, para as entregas, são utilizados múltiplos ve´ıculos de uma frota homogênea. Tanto os produtos como os contêineres dos ve´ıculos são retângulos bidimensionais. O problema pode ser diretamente aplicado no transporte de bens e ainda não foi investigado na literatura.

Trata-se de um problema NP-Dif´ıcil, que envolve ainda encontrar empacotamentos para cada uma das rotas executadas pelos ve´ıculos, sendo esse também um problema NP-Dif´ıcil. Pro- pomos um algoritmo branch-and-cut, que utiliza programação linear inteira e programação por restrições para encontrar boas soluções para o problema. Testes computacionais foram executados em instâncias de pequeno e médio porte e mostram que o modelo h´ıbrido proposto é capaz de gerar soluções em tempos razoáveis.

PALAVRAS CHAVE. Problema de estoque e roteirizac¸˜ao, Problema de empacotamento, Al- goritmo h´ıbridos.

ABSTRACT

In this paper we investigate the inventory-routing problem with two-dimensional loading, in which it is required to attend orders from several clients in a planning horizon. The orders contains multiple products, and the deliveries are performed by multiple vehicles from a homoge- neous fleet. Products and the containers attached to the vehicle are two-dimensional rectangles.

The problem is highly applicable in the transport of goods and has not yet being investigated in the literature.

This is a NP-Hard problem, that requires to find a packing for each one of the routes performed by the vehicles, which is also a NP-Hard problem. We propose a branch-and-cut algorithm, using integer linear programming and constraint programming to find solutions to the problem. Computational tests were performed in small and medium sized instances and show that the proposed hybrid model is a able to find solutions in reasonable computational time.

KEYWORDS. Inventory-Routing Problem. Conteiner Loading Problem. Hybrid Models.

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Introduc¸˜ao

Estamos investigando métodos para encontrar boas soluções para o problema de estoque e roteirização com empacotamento bidimensional (Inventory-Routing Problem with Two-dimensional Loading- IRP2D). Nesse problema um fornecedor precisa atender as demandas de seus clientes (ou de seus próprios pontos de vendas) em um determinado horizonte de planejamento utilizando um ou mais ve´ıculo. Tanto os produtos como os contêineres são considerados em formato bidimensional retangular, caso comum no empacotamento de itens grandes ou frágeis, ou ainda de produtos trans- portados em paletes. O objetivo do problema é minimizar os custos de deslocamento dos ve´ıculos e, para cada rota, encontrar um empacotamento dos itens dentro do contêiner. O empacotamento deve permitir que em cada visita os itens entregues possam ser retirados em um único movimento sem a necessidade de se remanejar os itens restantes.

O problema de estoque e roteirização na sua versão unidimensional (Inventory-Routing Problem- IRP). foi primeiramente apresentado por [Bell et al., 1983], desde então o problema foi investigado com várias variantes. Recomendamos o trabalho de [Coelho et al., 2013] em home- nagem aos trinta anos do problema, onde os autores apresentam uma revisão bibliográfica do IRP e suas variantes. No trabalho de [Coelho e Laporte, 2013] os autores apresentam algoritmos exa- tos para a resolução de diversas variantes do problema. Já no trabalho de [Archetti et al., 2007], heur´ısticas são apresentadas para o IRP.

Problemas que envolvem roteamento e empacotamento j´a foram estudados na literatura.

Para o problema de roteamento de ve´ıculos com empacotamento bidimensional um dos primeiros e principais trabalhos é apresentado por [Iori et al., 2007]. Mais recentemente o problema foi tra- tado por [Hokama et al., 2016] que apresenta um algoritmobranch-and-cututilizando programação linear inteira e programação por restrições. Em ambos os trabalhos no sub-problema de empacotamento bidimensional, rotações dos itens não são consideradas.

Dentro da tipologia apresentada por Coelho, estamos inicialmente interessados no problema de estoque e roteirização restrito, com horizonte de planejamento finito, de um fornecedor para muitos clientes, com roteamento múltiplo (onde cada rota pode atender mais de um cliente), entrega flex´ıvel (onde a quantidade de produtos entregue não é fixa) frota homogênea com múltiplos ve´ıculos, além da restrição de empacotamento. A figura 1 apresenta um exemplo de instância com três clientes e dois per´ıodos no horizonte de planejamento, os itens precisam ser entregues até o per´ıodo em que são apresentados.

Figura 1: Exemplo de uma instância com três clientes e horizonte de planejamento de tamanho 2, os c´ırculos coloridos representam os clientes e próximo a eles os itens dos pedidos em cada per´ıodo. O c´ırculo branco representa o depósito e próximo a ele os ve´ıculos dispon´ıveis.

Por se tratar de um problema novo, não existem resultados ou instâncias na literatura para esse problema, por isso comparamos as soluções obtidas apenas pela distância da relaxação linear.

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As instˆancias foram geradas aleatoriamente baseadas nas instˆancias para o problema roteamento de ve´ıculos.

Na próxima sessão explicamos o problema formalmente seguido pela formulação em programação linear inteira que estamos considerando para o problema. Posteriormente descrevemos o funcionamento do algoritmo de branch-and-cut proposto, incluindo o modelo de programação por restrições (Constraint Programming- CP) que utilizamos para resolver o problema de empacotamento bidimensional. Por fim apresentamos os resultados computacionais obtidos com esse algoritmo, as conclusões e poss´ıveis desdobramentos dessa pesquisa.

Definic¸˜ao do problema

O problema de estoque e roteirização com empacotamento bidimensional (IRP2D), é bas- tante relevante para a distribuição e armazenamento de produtos que possuem alguma forma defi- nida. Contrastante com a versão clássica do problema que considera apenas uma dimensão dos produtos, o que em geral é suficiente para transporte de gases, l´ıquidos e objetos em que o peso

é mais restritivo que a forma deles, mas não é suficiente no transporte de produtos como caixas e paletes.

Na versão do problema que estamos interessados, consideramos que existem diferentes produtos, com diferentes dimensões, que precisam ser entregues (múltiplos produtos). Para realizar as estregas está dispon´ıvel um certo número de ve´ıculos que podemos usar (múltiplos ve´ıculos), estes são padronizados em possuem as mesmas dimensões (frota homogênea).

Os clientes possuem pedidos (notas fiscais) que são compostos por diversos itens que devem ser entregues até um determinado per´ıodo de tempo. Prática comum no transporte de cargas, esse pedido é indivis´ıvel e deve ser entregue em um único caminhão (no-split). A razão disso é que geralmente um pedido deve ser fechado em uma única nota fiscal que pelas leis brasileiras devem transitar junto aos produtos nela contidos. Formalmente o IRP2D recebe como entrada:

• Um grafo n˜ao direcionado completo,G= (V, E), ondeV ={0, . . . ,|V|}.

• Um fornecedor representado pelo v´ertice0∈V.

• Uma func¸˜ao de custo para as arestas do grafo,c:E →Q.

• Um conjunto de v´erticesV⁰ =V\{0}representando os clientes.

• Uma lista de produtosB ={0, . . . ,|B|}oferecida pelo fornecedor.

• As dimens˜oes(l¹_b, l_b²)do itemb∈B, que pode ser rotacionado.

• Uma ´area m´aximaAv, em cada clientev∈V⁰para estoque dos produtos.

• Um horizonte de planejamentoT.

• Uma demandad^b_v,t em cada clientev ∈ V⁰ de quantos itens do tipob ∈ B o cliente deseja receber at´e o per´ıodot.

• Um conjunto deKve´ıculos com um contˆeiner de dimens˜oes(W, H), com uma porta em um dos lados.

O objetivo é encontrar uma solução de custo m´ınimo que deve atender as seguintes carac- ter´ısticas:

1. O fornecedor ´e um grande dep´osito e para todos os efeitos os estoques de produtos nele podem ser considerados ilimitados.

2. Cada ve´ıculo ´e capaz de atender uma rota por per´ıodo, saindo e retornando ao fornecedor, atendendo `a um subconjunto de clientes.

3. O estoque de cada cliente não pode ultrapassar a área de seu depósito.

4. As demandas de um cliente em um dado per´ıodo são consideradas um único pedido, e devem ser entregues em um único caminhão.

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5. Cada cliente só pode receber a visita de no máximo um caminhão por per´ıodo, contendo um ou mais pedidos.

6. Os itens de uma rota devem ser empacotados no contˆeiner do ve´ıculo, podendo ser rotacio- nados 90 graus.

7. As dimensões do contêiner não podem ser ultrapassadas.

8. Os itens n˜ao podem se sobrepor.

9. Em cada visita os itens devem ser descarregados com um único movimento em direção a porta do contêiner (restrição de descarregamento).

A Figura 2 apresenta uma solução ótima para a instância do problema apresentado na Figura 1.

Figura 2: Exemplo de solução ótima para a instância apresentada na Figura 1. No primeiro per´ıodo são utilizados dois ve´ıculos, um contendo os pedidos do primeiro per´ıodo para o cliente azul (mais a esquerda) e vermelho (mais acima), o outro ve´ıculo entrega todos os pedidos do cliente verde (mais a direita). No segundo per´ıodo apenas um ve´ıculo é necessário para entregar os pedidos restantes.

Formulac¸˜ao

Para formular o problema vamos considerar que as demandasd^t_v,bde um mesmo cliente em um mesmo per´ıodo são dadas por um único pedidoφ. O pedidoφdeve ser entregue ao cliente v(φ)no per´ıodo t(φ)ou em qualquer per´ıodo anterior, desde que o conjunto de produtos já esto- cados no cliente não exceda o limite permitido. Para simplificar a notação, considere também que d^b_φ=d^b_v(φ),t(φ). O conjunto de todos os pedidos é representado pelo s´ımboloΦ.

Considere Φ(t) = {φ ∈ Φ|t(φ) ≤ t}, o conjunto de pedidos que podem ser atendidos no per´ıodo t e Φ(v, t) = {φ ∈ Φ|v(φ) = vet(φ) ≤ t}, o conjunto de pedidos do cliente v que podem ser atendidos no per´ıodot. Uma determinada sequência de clientes com determinados pedidos associados a cada um deles, é chamado de rota. Uma rota é dita inviável se não existe um empacotamento dos respectivos produtos que respeite as restrições consideradas. O conjunto de todas as rotas inviáveis é definido comoR.

Iremos considerar as seguintes variáveis: Sejax^tk_e uma variável que indica o número de vezes que a arestaeé percorrida pelo ve´ıculokno per´ıodot. A variável bináriay₀^tk assume valor 1 se o ve´ıculokexecuta uma rota no per´ıodote 0 caso contrário. Enquanto a variávely_v^tkassume valor 1 se o ve´ıculokvisita o clientevno per´ıodote 0 caso contrário. Sejaq_φ^tkuma variável binária que assume valor 1 se o ve´ıculokatende o pedidoφno per´ıodot.

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min P

e∈E

P

k∈K

P

t∈T

c_ex^tk_e , (1)

subject to

P

b∈B

P

φ∈Φ(t)

(d^b_φl¹_bl²_b)q^kt_φ ≤W H y^kt₀ , k∈K, t∈T, (2) P

t≤t(φ)

P

k∈K

q_φ^tk = 1, φ∈Φ (3)

q_φ^tk ≤y_v(φ)^tk , φ∈Φ, k∈K, t∈T, (4) P

φ∈Φ(v,t)

P

k∈K

P

t⁰≤t

P

b∈B

(d^b_φl¹_bl²_b)q_φ^kt⁰ ≤A_v, v∈V⁰, t∈T, (5) P

e∈δ(i)

x^tk_e = 2y_i^tk, i∈V, k ∈K, t∈T, (6) P

e∈δ⁰(V)

x^tk_e ≤ P

i∈V

y_i^tk−y^tk_m, V ⊂V, t∈T, k∈K, m∈ V, (7) P

e∈R

x^tk_e + P

φ∈D

q_φ^tk ≤ |R|+|D| −1, (R, D)∈ R, (8) x^tk_e ∈ {0,1}, e∈E\δ(0), k∈K, t∈T, (9) x^tk_e ∈ {0,1,2}, e∈δ(0), t∈T, (10) y^tk_i ∈ {0,1}, i∈V, k∈K, t∈T, (11) q_φ^tk ∈ {0,1}, φ∈Φ, k∈K, t∈T. (12) As desigualdades (2) garantem que em cada per´ıodot, a soma das áreas dos itens dos pedidos atendidas pelo ve´ıculoK, não ultrapasse a área do contêiner, como veremos, essa desigualdade

é redundante com a (8), mas é mantida por questão de performance.

As desigualdades (3) garantem que todo pedido ser´a atendido exatamente uma vez, por um

único ve´ıculo. As desigualdades (4) garante que um pedido de um cliente só pode ser atendido por um ve´ıculo que o visita. As desigualdades (5) garantem que a área utilizadas por todos os pedidos já atendidos mas em estoque no cliente não ultrapasse a área máxima dispon´ıvel. As desigualdades de (6) e (7) garantem o grau e a conectividade das rotas. As desigualdades (8) garantem que a solução não contenha nenhuma rota inviável. As demais linhas garantem a correta atribuição das variáveis.

Algoritmo branch-and-cut para o IRP2D

Na formulação apresentada, as linhas (7) e (8) apresentam cada uma um número exponencial de desigualdades, por essa razão, para qualquer instância não trivial é inviável inserir todas essas desigualdades no modelo. Propomos então um algoritmobranch-and-cutonde essas desigualdades não são inseridas inicialmente. Ao invés disso resolvemos o modelo sem essas restrições, que cha- mamos de modelo relaxado, utilizando um resolvedor de programação linear. O resolvedor utiliza um algoritmobranch-and-boundpara encontrar soluções inteiras para o modelo relaxado, chamare- mos essas desoluções parciais. Sempre que o resolvedor encontra uma solução parcial, verificamos se ela viola alguma das desigualdades da linha (7) ou (8). Caso uma violação seja detectada, inseri- mos a desigualdade violada como umalazy constraint, que eliminará a solução infact´ıvel. Então o modelo é re-otimizado.

Umalazy constraint é uma desigualdade que necessariamente deve ser satisfeita para a corretude de uma solução, porém como raramente ela é violada podemos deixar para adiciona-la ao modelo somente quando for necessária. No nosso caso de todas as desigualdades (uma quantidade exponencial) apenas algumas são violadas durante a resolução do modelo. A solução final devolvida pelo resolvedor não pode violar nenhuma das desigualdades. Para verificar se uma solução parcial viola uma dessas desigualdades precisamos de um algoritmo que as verifique.

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Dois tipos de violações acontecem no modelo relaxado. A primeira é a presença de sub- ciclos, que não passam pelo depósito. Esse caso é conhecido na literatura por ocorrer na maioria dos modelos descritos para o problema do caixeiro viajante. Detectado um sub-ciclos que passa pelos vérticesV ∈ V mas não passa pelo depósito, realizado pelo ve´ıculokno per´ıodo t, adicionamos para cadam∈ Va desigualdade:

X

e∈δ⁰(V)

x^tk_e ≤X

i∈V

y_i^tk−y_m^tk, V ⊂V, t∈T, k∈K,

Essa desigualdade tamb´em foi utilizada nos trabalhos de [Coelho e Laporte, 2013]

Quando nenhum sub-ciclo é detectado, ainda é necessário verificar cada uma das rotas daquela solução parcial possui um empacotamento viável. Descobrir se um determinado conjunto de itens pode ser empacotado em um contêiner também é um problema NP-Dif´ıcil, e por isso não se conhece um algoritmo de tempo polinomial que resolva o problema de forma exata. Nesse trabalho estamos propondo uma modelagem em Programação por Restrições (Constraint Programming - CP) para resolver esse problema. O modelo deve permitir a rotação em 90 graus dos itens, bem como garantir que os itens podem ser descarregados em um único movimento na direção da porta do contêiner.

Modelo em CP para o problema do empacotamento: Seja P o conjunto de coordenadas de discretização no eixoX, eQo conjunto de coordenadas de discretização no eixo Y. Seja ainda D_i=l¹_i, l_i²as dimensões do itemi.

Considere as variáveis inteirasx_i ey_i que indicam a posição(x_i, y_i) onde o itemiserá posicionado. E as variáveis inteirasw_i,h_ique indicam as dimensões do itemiparalelas ao eixoX e ao eixoY respectivamente, de acordo com a rotação do item. Note que as variáveisxi eyiaqui não tem relação com as variáveis de roteamento. Atribu´ımos aos dom´ınios das variáveis:

x_i∈P, y_i∈Q, w_i ∈D_i, h_i ∈D_i. (13) As restrições necessárias para garantir que os itens não ultrapassam o limite do contêiner são dadas por:

x_i+w_i≤W, y_i+h_i ≤H. (14)

Além disso para garantir a não sobreposição de itens, para cada par de itensi, jque pertencem ao mesmo cliente, ou seja, que a ordem de descarregamento entre eles é indiferente, adicionamos a seguinte restrição de não sobreposição:

xi+wi ≤xj ou yi+hi≤yj ou yj +hj ≤yi ou xj +wj ≤xi. (15) No caso de itens de diferentes clientes, considerando que o itemideve ser descarregado antes do itemj, adicionamos a seguinte restric¸˜ao:

xi+wi≤xj ou yj+hj ≤yi ou xj+wj ≤xi. (16) Além disso como permitimos rotações, ou seja, w_i e h_i são intercambiáveis, se l_i¹ 6= l_i² então adicionamos:

w_i 6=h_i. (17)

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Resultados Computacionais

Todo o código foi implementado em linguagem c++, compilado e executado em ambiente linux. O resolvedor de programação linear inteira utilizado foi o Gurobi 7.0.2, o resolvedor de programação por restrições foi o CP Optimizer 12.5. Todo o código e intâncias estão dispon´ıveis em http://www.hokama.com.br/irp2d sbpo/.

Foram geradas instâncias considerando 5, 10 e 15 clientes. Os itens foram gerados de maneira semelhante aquela utilizada por [Iori et al., 2007] para o problema de roteamento. Quatro classes de instâncias foram geradas, são elasr ∈ {2,3,4,5}Em cada em cada per´ıodo, o número de itens que cada cliente demanda é uniformemente sorteado em[1, r].

O número de diferentes tipos de itens distintosBvariando emB ={5,10,15}. O número de ve´ıculos dispon´ıveis é considerado aquele necessário para atender as demandas se apenas 50%

da área útil do caminhão for utilizada. O número de per´ıodos considerados foi de 3, 5 e 7. As dimensões do ve´ıculo sãoW = 20eH = 40. E as dimensões dos itens seguem o trabalho de [Iori et al., 2007]

As tabelas 1, 2 e 3 apresentam os resultados obtidos para as instâncias com três, cinco e sete per´ıodos respectivamente. O tempo limite para a resolução foi de 600 segundos, sendo que para verificar se uma rota possui um empacotamento viável, são permitidos ao resolvedor de programação por restrições 10 segundos.

Tabela 1: Resultados para um horizonte de planejamento de tamanho 3

V’ = 5 V’ = 10 V’ = 15

gap(%) time(s) gap(%) time(s) gap(%) time(s)

Class 2 B = 5 0,00 1,12 0,00 224,3 41,92 -

B = 10 0,00 0,86 0,00 107,08 36,47 -

B = 15 0,00 0,37 0,81 - 39,91 -

Class 3 B = 5 0,00 1,58 19,31 - 48,23 -

B = 10 0,00 0,82 17,53 - 42,24 -

B = 15 0,00 1,16 21,44 - 45,86 -

Class 4 B = 5 0,00 1,31 0,00 114,18 29,70 -

B = 10 0,00 1,2 9,68 - 42,85 -

B = 15 0,00 0,91 16,88 - 35,50 -

Class 5 B = 5 0,00 1,88 0,00 25,37 15,58 -

B = 10 0,00 0,91 0,00 21,32 11,82 -

B = 15 0,00 2,5 0,00 38,12 16,73 -

Conclus˜oes

Propomos um algoritmobranch-and-cutpara o problema de estoque e roteirização com empacotamento bidimensional, e para o nosso conhecimento esse é o primeiro trabalho a aborda- lo. Os resultados computacionais indicam que essa é uma abordagem viável para o problema, sendo capaz de obter soluções, ainda que com um gap, para todas as instâncias testadas. O modelo apresentado pode contemplar diversas melhorias, como por exemplo, quebra de simetrias, cortes utilizados em problemas de roteamento, restrições redundantes para o problema de empacotamento.

Além disso o modelo permite agregar, com certa clareza, outras restrições comuns na prática, como janelas de tempo, restrições de capacidade (peso) dos ve´ıculos, restrições de balanceamento de carga no empacotamento etc.

Referˆencias

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V’ = 5 V’ = 10 V’ = 15

Class 2 B = 5 0,00 2,63 23,65 - 55,59 -

B = 10 0,00 173,23 38,76 - 58,54 -

B = 15 0,00 79,8 27,73 - 60,70 -

Class 3 B = 5 0,00 178,77 23,21 - 49,41 -

B = 10 0,00 12,99 28,15 - 49,69 -

B = 15 0,00 243,56 26,41 - 45,98 -

Class 4 B = 5 0,00 2,15 27,49 - 59,77 -

B = 10 0,00 7,39 33,73 - 61,70 -

B = 15 0,00 72,52 34,08 - 61,21 -

Class 5 B = 5 0,00 4,98 7,55 - 46,79 -

B = 10 0,00 4,37 10,32 - 43,25 -

B = 15 0,00 13,1 10,15 - 38,55 -

V’ = 5 V’ = 10 V’ = 15

Class 2 B = 5 7,58 - 26,34 - 63,63 -

B = 10 10,34 - 29,56 - 56,97 -

B = 15 7,81 - 24,63 - 63,78 -

Class 3 B = 5 0,00 101,67 54,13 - 73,87 -

B = 10 11,60 - 61,43 - 71,95 -

B = 15 12,89 - 64,24 - 74,96 -

Class 4 B = 5 9,19 - 53,84 - 59,13 -

B = 10 0,00 294,58 55,87 - 66,42 -

B = 15 19,06 - 47,94 - 55,20 -

Class 5 B = 5 0,00 87,59 27,27 - 50,70 -

B = 10 0,00 62,2 23,90 - 43,46 -

B = 15 0,00 203,12 25,28 - 46,38 -

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pii/S0957417415007009.

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