9ano MATEMÁTICA COMPREENSÃO E PRÁTICA ÊNIO SILVEIRA. material de divulgação. MANUAL DO PROFESSOR. versão submetida à avaliação.

ÊNIO SILVEIRA

MATEMÁTICA

COMPREENSÃO E PRÁTICA

Componente curricular:

MATEMÁTICA

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MANUAL DO PROFESSOR

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MANUAL DO PROFESSOR

5

edição São Paulo, 2018

Componente curricular: MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

COMPREENSÃO E PRÁTICA ÊNIO SILVEIRA

Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará.

Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza.

Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.

ano

o

9

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio

Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.

Obra em 4 v. para alunos do 6^o ao 9^o ano.

Componente curricular: Matemática.

Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.

18-16948 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA.

Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510

Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br

2018 Impresso no Brasil Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo

Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Romenig da Silva Ribeiro Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita Preparação de texto: Mariane Genaro

Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula Coordenação de produção: Patricia Costa

Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Mariza de Souza Porto

Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: DKart/Getty Images

Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva Editoração eletrônica: Teclas Editorial

Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Ilustrações de vinhetas: Shutterstock

Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco

Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Bruno, Viviane Oshima Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues

Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro

Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa

Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio

Matemática : compreensão e prática : manual do professor / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018.

Obra em 4 v. do 6^o ao 9^o ano.

Componente curricular: Matemática.

Bibliografia.

1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.

18-16950 CDD-372.7 Índices para catálogo sistemático:

1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964

1 3 5 7 9 10 8 6 4 2

Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA.

Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510

Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br

2018 Impresso no Brasil Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo

Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Daniela Santo Ambrosio, Maria Cecília da Silva Veridiano, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva Ribeiro

Assistência editorial: Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita, Márcia Roberta dos Santos Pires da Silva, Maria Aparecida Costa Bravo

Preparação de texto: Mariane Genaro

Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula Coordenação de produção: Patricia Costa

Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Mariza de Souza Porto

Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: Michael H/Stone/Getty Images

Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho

Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Eliazar Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá Belluomini Editoração eletrônica: MRS Editorial

Ilustrações de vinhetas: Shutterstock Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco

Revisão: Cárita Negromonte, Leila dos Santos, ReCriar editorial Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues

Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M.

Buzzinaro

Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa

Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento:

III

Sumário

Orientações gerais

• Apresentação . . . .IV

• Objetivos gerais da coleção . . . .V

• Organização da coleção . . . .VI

• Matemática escolar . . . .VIII

• Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . .IX

• Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 9^o ano . . . .XI

• Unidades temáticas de Matemática . . . .XV

• O trabalho interdisciplinar na escola . . . .XVII

• A utilização da história da Matemática . . . .XVIII

• As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . .XVIII

• O papel do erro na aprendizagem . . . .XIX

• Avaliação de aprendizagem . . . .XX

• Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . .XXI

Orientações para o desenvolvimento das unidades

Unidade I

Capítulo 1 Potenciação e radiciação com números reais . . . .10

Capítulo 2 Matemática financeira . . . .36

Capítulo 3 Segmentos proporcionais e semelhança . . . .53

Unidade II

Capítulo 4 Fatoração e equações do 2^o grau . . . .82

Capítulo 5 Função afim . . . .126

Capítulo 6 Função quadrática . . . .156

Unidade III

Capítulo 7 Relações métricas no triângulo retângulo . . . .176

Capítulo 8 Circunferência, arcos e ângulos . . . .210

Capítulo 9 Polígonos regulares . . . .237

Unidade IV

Capítulo 10 Vistas ortogonais e volumes . . . .259

Capítulo 11 Construção de gráficos estatísticos . . . .278

Capítulo 12 Probabilidade e estatística . . . .297

IV

Orientações gerais

APRESENTAÇÃO

Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental.

Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem.

Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, de que a escolha do livro didático deve ser feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na organização e gestão de suas aulas.

Esta coleção foi reformulada para atender aos requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados.

Além disso, apresentamos sugestões de leituras que permitirão a você, professor, aprofundar-se em suas reflexões.

O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer de que o objetivo da aprendizagem escolar é a formação humana integral e que por esse motivo é necessário levar em consideração a vida pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)¹ defende que a escola deve promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, sejam de ordem científica.

Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área que estuda os processos de ensino e de aprendizagem e da Matemática; ou seja, partimos da compreen- são de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola.

Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)², os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer mate- mático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado para continuar seus estudos.

1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, v. 14, n. 26, FE/Unicamp, jul./dez. 2006.

2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.

V

OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO

Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo es- colar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas competências gerais e específicas e nas habilidades estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular.

Destacamos que, de acordo com a BNCC:

É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e na formação de atitudes e valores.

Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular

1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiên cias que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade.

7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas.

9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

VI

Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para cada área do conhecimento. As de Matemática são:

1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a  diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.

ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO

Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades compostas de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento.

A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que os alunos reflitam sobre o que aprenderam.

A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.

VII

Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números naturais: os alunos já possuem algum conhecimento adquirido nos anos anteriores; retomá-los permite ao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno.

Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são or- ganizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo;

em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras habilidades e competências.

Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contex- tualizar alguns assuntos.

Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoa- valiação e a criatividade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. A seção é dividida em três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e

"Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados.

Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apresentadas anteriormente no capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. O “Aplicando”

traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC.

Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos.

Além de favorecer sobretudo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo.

O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma compe- tência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.

VIII VIII

Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

• o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado;

• a pesquisa individual ou coletiva;

• a elaboração, em grupo, do produto proposto;

• a apresentação e exposição do produto;

• a reflexão sobre a atuação do grupo e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspec- tos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários.

Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor ‒ Digital, que apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atua- ção do professor, entre outras sugestões. Apresenta ainda um projeto integrador para ser desenvolvido em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece a compreensão do conteúdo.

Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade de uso dos recursos do Material do Professor ‒ Digital.

MATEMÁTICA ESCOLAR

Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvi- mento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)³ comprova a importância da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma:

Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática como componente curricular. (p. 1)

A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem:

a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resul- tam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)⁴ chama de transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição (nesse caso, a escola).

3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em:

<http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/6058>. Acesso em: 21 ago. 2018.

4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M. A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.

IX IX

6^o ano

Unidades Capítulos Habilidades

I

1 Números naturais e sistemas de numeração EF06MA01 e EF06MA02 2 Operações com números naturais EF06MA03 e EF06MA12 3 Figuras geométricas espaciais EF06MA17 e EF06MA18

II

4 Igualdades e desigualdades EF06MA14

5 Múltiplos e divisores EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06

6 Frações EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15

7 Números decimais EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11

III

8 Porcentagem EF06MA13

9 Figuras geométricas planas EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27

10 Ampliação e redução de figuras EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23

IV 11 Grandezas e medidas EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29

12 Probabilidade e estatística EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34 Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas

instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado.

Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.

APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS

A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistema- tizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano.

Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos (seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos quanto para iniciar a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade.

O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos:

o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permita a construção de significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento.

A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das compe- tências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes.

Para isso, sugere-se que cada unidade, composta por dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre.

No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta na coleção à realidade de suas turmas.

Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental.

X

8^o ano

Unidades Capítulos Habilidades

I

1 Conjuntos numéricos EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11

2 Potenciação e radiciação EF08MA01 e EF08MA02

3 Sistemas de equações do 1^o grau EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08

II

4 Ângulos e transformações geométricas EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18

5 Polígonos EF08MA15 e EF08MA16

6 Probabilidade EF08MA03 e EF08MA22

III

7 Triângulos e quadriláteros EF08MA10 e EF08MA14

8 Área, volume e capacidade EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21

9 Equações do 2^o grau EF08MA06 e EF08MA09

IV

10 Grandezas e proporcionalidade EF08MA12 e EF08MA13

11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27

12 Gráficos estatísticos EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27

7^o ano

Unidades Capítulos Habilidades

I

1 Números inteiros EF07MA03 e EF07MA04

2 Múltiplos e divisores EF07MA01

3 Retas e ângulos EF07MA23

II

4 Frações EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09

5 Números racionais EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12

6 Linguagem algébrica e regularidades EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18

III

7 Porcentagem e juro simples EF07MA02

8 Proporcionalidade EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17

9 Transformações geométricas EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21

IV

10 Grandezas e medidas EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32

11 Figuras geométricas planas EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33

12 Probabilidade e estatística EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37

XI

9^o ano

Unidades Capítulos Habilidades

I

1 Potenciação e radiciação com números reais EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18

2 Matemática financeira EF09MA05

3 Segmentos proporcionais e semelhança EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14

II

4 Fatoração e equações do 2^o grau EF09MA09

5 Função afim EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08

6 Função quadrática EF09MA06

III

7 Relações métricas no triângulo retângulo EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16

8 Circunferência, arcos e ângulos EF09MA11

9 Polígonos regulares EF09MA15

IV

10 Vistas ortogonais e volumes EF09MA17 e EF09MA19

11 Construção de gráficos estatísticos EF09MA21 e EF09MA22

12 Probabilidade e estatística EF09MA20 e EF09MA23

QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 9

ANO

Na sequência, focamos o quadro do 9^o ano, estabelecendo relações entre alguns objetos de conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores, indicados após cada quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, de leitura, de vídeo, de atividade extra etc.

Unidade I (1^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 1 Potenciação e radiciação

com números reais Números Necessidade dos números reais para medir qualquer segmento de reta.

Números irracionais: reconhecimen- to e localização de alguns na reta numérica. (1)

(EF09MA01) Reconhecer que, uma vez fixada uma unidade de comprimento, existem segmentos de reta cujo comprimento não é expresso por número racional (como as medidas de diagonais de um polígono e alturas de um triângulo, quando se toma a medida de cada lado como unidade).

(EF09MA02) Reconhecer um número irracional como um número real cuja representação decimal é infinita e não periódica, e estimar a localização de alguns deles na reta numérica.

Potências com expoentes negativos

e fracionários. (2) (EF09MA03) Efetuar cálculos com números reais, inclusive potências com expoentes fracionários.

Números reais: notação científica e

problemas. (3) (EF09MA04) Resolver e elaborar problemas com números reais, inclusive em notação científica, envolvendo diferentes operações.

XII

Unidade I (1^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 1 Potenciação e radiciação

com números reais Grandezas e medidas Unidades de medida para medir distâncias muito grandes e muito pequenas.

Unidades de medida utilizadas na informática. (4)

(EF09MA18) Reconhecer e empregar unidades usadas para expressar medidas muito grandes ou muito pequenas, tais como distância entre planetas e sistemas solares, tamanho de vírus ou de células, capacidade de armazenamento de computadores, entre outros.

2 Matemática financeira Números Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos. (5)

(EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.

3 Segmentos proporcionais

e semelhança Geometria Demonstrações de relações entre

os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. (6)

(EF09MA10) Demonstrar relações simples entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

Semelhança de triângulos. (7) (EF09MA12) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.

Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras:

verificações experimentais e demonstração.

Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais. (8)

(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

(1)

• Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações — 7^o ano.

• Dízimas periódicas: fração geratriz — 8^o ano.

(2)

• Potenciação e radiciação — 8^o ano.

(3)

• Notação científica — 8^o ano.

(4)

• Problemas envolvendo medições — 7^o ano.

• Notação científica — 8^o ano.

(5)

• Porcentagens — 8^o ano.

(6)

• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 7^o ano.

(7)

• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos — 7^o ano.

• Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros — 8^o ano.

(8)

• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos — 7^o ano.

• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 7^o ano.

• Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 9^o ano.

XIII

Unidade II (2^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 4 Fatoração e equações do

2^o grau Álgebra Expressões algébricas: fatoração e

produtos notáveis.

Resolução de equações

polinomiais do 2^o grau por meio de fatorações. (9)

(EF09MA09) Compreender os processos de fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais do 2^o grau.

5 Função afim Álgebra Funções: representações numérica,

algébrica e gráfica. (10) (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

Razão entre grandezas de espécies

diferentes. (11) (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. (12)

(EF09MA08) Resolver e elaborar problemas que envolvam relações de proporcionalidade direta e inversa entre duas ou mais grandezas, inclusive escalas, divisão em partes

proporcionais e taxa de variação, em contextos socioculturais, ambientais e de outras áreas.

6 Função quadrática Álgebra Funções: representações numérica,

algébrica e gráfica. (13) (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.

(9)

• Equação polinomial de 2^o grau do tipo ax² 5 b — 8^o ano.

(10), (11) e (12)

• Valor numérico de expressões algébricas — 8^o ano.

• Associação de uma equação linear de 1^o grau a uma reta no plano cartesiano — 8^o ano.

• Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais — 8^o ano.

(13)

• Valor numérico de expressões algébricas — 8^o ano.

• Equação polinomial de 2^o grau do tipo ax² 5 b — 8^o ano.

Unidade III (3^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 7 Relações métricas no

triângulo retângulo Geometria Relações métricas no triângulo retângulo.

Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração.

Retas paralelas cortadas por transver- sais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais. (14)

(EF09MA13) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.

(EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.

Distância entre pontos no plano

cartesiano. (15) (EF09MA16) Determinar o ponto médio de um segmento de reta e a distância entre dois pontos quaisquer, dadas as coordenadas desses pontos no plano cartesiano, sem o uso de fórmulas, e utilizar esse conhecimento para calcular, por exemplo, medidas de perímetros e áreas de figuras planas construídas no plano.

XIV

Unidade III (3^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 8 Circunferência, arcos

e ângulos Geometria Relações entre arcos e ângulos na

circunferência de um círculo. (16) (EF09MA11) Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.

9 Polígonos regulares Geometria Polígonos regulares. (17) (EF09MA15) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular cuja medida do lado é conhecida, utilizando régua e compasso, como também softwares.

(14)

• Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos — 7^o ano.

• Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 7^o ano.

• Demonstrações de relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal — 9^oano.

(15)

• Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados — 6^o ano.

• Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem — 7^o ano.

(16)

• A circunferência como lugar geométrico — 7^o ano.

• Área do círculo e comprimento de sua circunferência — 8^o ano.

(17)

• Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero — 7^o ano.

• Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares — 8^o ano.

Unidade IV (4^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 10 Vistas ortogonais

e volumes Geometria Vistas ortogonais de figuras

espaciais. (18) (EF09MA17) Reconhecer vistas ortogonais de figuras espaciais e aplicar esse conhecimento para desenhar objetos em perspectiva.

Grandezas e medidas Volume de prismas e cilindros. (19) (EF09MA19) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de volumes de prismas e de cilindros retos, inclusive com uso de expressões de cálculo, em situações cotidianas.

11 Construção de gráficos

estatísticos Análise de gráficos divulgados

pela mídia: elementos que podem induzir a erros de leitura ou de interpretação. (20)

(EF09MA21) Analisar e identificar, em gráficos divulgados pela mídia, os elementos que podem induzir, às vezes propositadamente, erros de leitura, como escalas inapropriadas, legendas não explicitadas corretamente, omissão de informações importantes (fontes e datas), entre outros.

Leitura, interpretação e representação de dados de pesquisa expressos em tabelas de dupla entrada, gráficos de colunas simples e agrupadas, gráficos de barras e de setores e gráficos pictóricos. (21)

(EF09MA22) Escolher e construir o gráfico mais adequado (colunas, setores, linhas), com ou sem uso de planilhas eletrônicas, para apresentar um determinado conjunto de dados, destacando aspectos como as medidas de tendência central.

XV

Unidade IV (4^o bimestre) Capítulos Unidades temáticas

da BNCC Objetos de conhecimento da

BNCC correlacionados Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido 12 Probabilidade e

estatística Análise de probabilidade de

eventos aleatórios:

Eventos dependentes e independentes. (22)

(EF09MA20) Reconhecer, em experimentos aleatórios, eventos independentes e

dependentes e calcular a probabilidade de sua ocorrência, nos dois casos.

Planejamento e execução de pesquisa amostral e apresentação de relatório. (23)

(EF09MA23) Planejar e executar pesquisa amostral envolvendo tema da realidade social e comunicar os resultados por meio de relatório contendo avaliação de medidas de tendência central e da amplitude, tabelas e gráficos adequados, construídos com o apoio de planilhas eletrônicas.

(18) e (19)

• Prismas e pirâmides: planificações e relações entre seus elementos (vértices, faces e arestas) — 6^o ano.

• Plantas baixas e vistas aéreas — 6^o ano.

• Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida convencionais mais usuais — 7^o ano.

• Volume de cilindro reto. Medidas de capacidade — 8^o ano.

(20) e (21)

• Leitura e interpretação de tabelas e gráficos (de colunas ou barras simples ou múltiplas) referentes a variáveis categóricas e variáveis numéricas — 6^o ano.

• Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados — 7^o ano.

• Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados — 8^o ano.

(22)

• Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável. Cálculo de proba- bilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) — 6^o ano.

• Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências — 7^o ano.

• Princípio multiplicativo da contagem. Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral — 8^o ano.

(23)

• Coleta de dados, organização e registro. Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações — 6^o ano.

• Pesquisa amostral e pesquisa censitária. Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações

— 7^o ano.

• Pesquisas censitária ou amostral. Planejamento e execução de pesquisa amostral — 8^o ano.

UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA

No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temá- tica Números, espera-se que o aluno perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irra- cionais e reais.

A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois apresentar o sistema de nu- meração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreen- são dos resultados obtidos na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo de ensino e de aprendizagem.

Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual.

Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos processos de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos conteúdos dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, mas não devem se constituir em abor- dagem principal.

O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve ser retomado e aprofundado nos Anos Finais.

De acordo com a BNCC:

XVI

Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, in- vestigar a regularidade de uma sequência numérica, in- dicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É neces- sário, portanto, que os alunos estabeleçam conexões en- tre variável e função e entre incógnita e equação. As téc- nicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos.

Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabi- lidade e estatística), podem contribuir para o desenvolvi- mento do pensamento computacional dos alunos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa.

A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o trabalho com as funções: a introdução das letras como variá- vel, como incógnita ou como símbolo pode ser trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos.

A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente favorecida pelo uso de ambiente computacional.

O papel da Geometria é fundamental na construção do co- nhecimento matemático pelo aluno. O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação dese- jável entre a Geometria plana e a Geometria espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geométricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos.

Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da percepção espacial, dos deslocamentos no plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno.

O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino

Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um cenário de construção da cidadania.

A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamen- te seus conhecimentos para análise estatística desses dados co- letados. O objetivo será sempre responder a um questionamento por meio da análise desses dados.

Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, o estudo da proba- bilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor tem a possibilidade de utilizar tanto ma- teriais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres (por exemplo, o GeoGebra).

O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados de experimentos aleatórios.

A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam for- nece importantes elementos para decisões no campo pessoal, nutricio- nal, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em processos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação.

Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os instrumentos de medida.

Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta:

As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão da realidade.

Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e das relações entre elas

‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integra- ção da Matemática a outras áreas de conhecimen- to, como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui ainda para a consolidação e ampliação da no- ção de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico.

XVII

O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA

No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Mate- mática não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curri- culares. Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos interdisciplinares na escola.

Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos.

O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado”⁵. Essa formulação, embora tenha em vista especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores.

Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e Dufour⁶ observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamen- te se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as di- ferentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da desintegração do saber disciplinar.

Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social.

Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desen- volvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo Ribeiro Nogueira⁷:

Uma atitude interdisciplinar

É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a interdisciplinaridade;

deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume uma atitude interdisciplinar.

"... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao diálogo ‒ ao diá- logo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante a possibilidade de desvendar no- vos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82) Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a hipótese de que o aprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores essenciais à construção do conhecimento.

5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32.

6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002.

7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo:

Érica, 2010.