Aula no 30: Comprimento de Arco. Trabalho. Pressão e Força Hidrostática.
Objetivos da Aula
• Denir comprimento de arco;
• Denir o trabalho realizado por uma força variável; • Denir pressão e força exercidas por um uido.
1 Comprimento de Arco
Suponha que tenhamos uma curva C denida pela equação y = f(x), onde f é contínua em [a, b], como ilustrado abaixo:
Se a curva fosse poligonal, poderíamos calcular seu comprimento somando os comprimentos dos seg-mentos que a formam, mas no caso acima, não podemos proceder dessa forma. Como sabemos calcular o comprimento de poligonais, então podemos aproximar a curva por uma poligonal e assim, teríamos uma aproximação para o comprimento da curva. Sendo assim, subdividimos o intervalo [a, b] em n subinter-valos de comprimento ∆x com extremidades a = x0, x1, ..., xn = b e tomamos os pontos Pi = (xi, yi),
i = 1, 2, ..., n. Ao ligar os pontos P1, P2, ..., Pn obtemos uma poligonal como abaixo:
Sabendo que a distância entre os pontos Pi−1= (xi−1, yi−1) e Pi = (xi, yi) é dada por
|Pi−1Pi| =
p
(xi− xi−1)2+ (yi− yi−1)2
então o comprimento da poligonal é dado por Li =
n
X
i=1
que é uma aproximação para o comprimento L da curva. Aumentando a quantidade de pontos que compõem a poligonal, temos uma aproximação cada vez melhor para o valor de L. Desse modo, podemos denir
L = lim n→+∞ n X i=1 |Pi−1Pi|
Agora, sabemos que ∆x = xi− xi−1 e tomando ∆y = yi− yi−1, temos que
|Pi−1Pi| =
p
(xi− xi−1)2+ (yi− yi−1)2=
p
(∆x)2+ (∆y)2
Pelo Teorema do Valor Médio para a função f no subintervalo [xi−1, xi], descobrimos que existe um
número ci ∈ (xi−1, xi) tal que
f (xi) − f (xi−1) = f0(ci)(xi− xi−1) yi− yi−1 = f0(ci)(xi− xi−1) ∆y = f0(ci)∆x Logo, |Pi−1Pi| = p (∆x)2+ (∆y)2 = p(∆x)2+ [f0(c i)]2(∆x)2 = ∆xp1 + [f0(c i)]2
Logo, o comprimento da curva y = f(x) pode ser denido por L = lim n→+∞ n X i=1 p 1 + [f0(ci)]2∆x = Z b a p 1 + [f0(x)]2dx
Esta integral existe desde que f0 seja contínua em [a, b].
Denição 1 (Comprimento de Arco). Se f0 for contínua em [a, b], então o comprimento da curva y = f(x),
a ≤ x ≤ bé: L = Z b a p 1 + [f0(x)]2dx.
Se usarmos a notação de Leibniz para as derivadas, podemos escrever a fórmula do comprimento de arco da seguinte forma:
L = Z b a s 1 + dy dx 2 dx.
Exemplo 1. Encontre o comprimento de arco da curva y = 2x + 1, com 1 ≤ x ≤ 4. Solução: Temos que:
L = Z 4 1 p 1 + 22dx = L = Z 4 1 √ 5 dx = 3 √ 5. Exemplo 2. Encontre o comprimento de arco da curva, y = x2, com 0 ≤ x ≤ 4.
Solução: Temos que:
L = Z 4 0 p 1 + 4x2dx = Z 4 0 p 1 + (2x)2dx
Fazendo 2x = tg(u), temos que dx = sec2(u)
Segue que: Z
p
1 + 4x2dx = 1
4(sec(u)tg(u) + ln | sec(u) + tg(u)|) = 1 4(2x p 1 + 4x2+ ln(p1 + 4x2) + 2x) + C Portanto: Z 4 0 p 1 + 4x2dx = 1 4(2x p 1 + 4x2+ ln(p1 + 4x2) + 2x) 4 0 ≈ 16, 82. Exemplo 3. Encontre o comprimento de arco da curva, y = ln(sec(x)), com 0 ≤ x ≤ π
4. Solução: Temos que:
L = Z π 4 0 q 1 +tg2(x) dx = Z 4 0 sec(x) dx = [ln | sec(x) +tg(x)|] π 4 0 = ln( √ 2 + 1).
2 Trabalho
Considere um corpo rígido sobre a qual atua uma força ~F , sendo o movimento do corpo retilíneo e no sentido da força:
Quando aumentamos a velocidade do corpo aplicando uma força sobre ele, podemos dizer que transfe-rimos energia para o corpo. Sendo assim, trabalho W é a energia transferida de um objeto para outro por meio de uma força. Quando a energia é transferida para o objeto, o trabalho é positivo (W > 0). Quando a energia é transferida do objeto, o trabalho é negativo (W < 0). Logo, realizar trabalho signica transferir energia.
Se a força ~F que atua sobre o corpo é constante, o módulo do trabalho é obtido pelo produto escalar W = F · ~~ d
W = F d cos θ,
sendo F o módulo do vetor força, d o módulo do vetor deslocamento e θ o ângulo entre os vetores. Porém, como estamos considerando que eles têm a mesma direção e sentido, obtemos:
W = F d.
Se a força é medida em Newtons (N) e o deslocamento em metros (m), então a unidade do trabalho é newton-metro (N m), que é também chamada de Joule (J).
Exemplo 4. Aplica-se uma força horizontal constante de 40 N para empurrar uma caixa pesada por uma distância de 5 m. Qual o trabalho realizado?
Solução: Temos que:
W = F d = 40 · 5 = 200J.
Considere agora uma partícula que se move ao longo de uma reta sob a ação da força variável e contínua F (x). Queremos determinar o trabalho realizado por esta força para deslocar a partícula de um ponto x = a ao ponto x = b.
Como a força é variável, não podemos aplicar a fórmula de trabalho dada acima. Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades x0, x1, x2, ..., xn e com larguras iguais a
∆x = b − a n .
Se Wi é o trabalho realizado pela força para deslocar a partícula no intervalo [xi−1, xi], então
W =
n
X
i=1
Wi
E o problema recai em calcular uma aproximação para Wi. Para tal, escolhe-se em cada subintervalo
um ponto arbitrário:
x∗1 ∈ [x0, xi], x∗2∈ [x1, x2], x∗3 ∈ [x2, x3], ..., x∗n∈ [xn−1, xn]
e assumimos que, para deslocar a partícula ao longo do intervalo [xi−1, xi], a força é constante e igual a
F (x∗i). Assim: Wi ≈ F (xi).∆x e W ≈ n X i=1 F (x∗i).∆x.
Note que, quanto menor for ∆x, melhor será esta aproximação. Assim, deni-se: W = lim n→∞ n X i=1 F (x∗i).∆x ! = Z b a F (x) dx. Exemplo 5. Uma partícula é movida ao longo do eixo x por uma força que mede
F (x) = 10 (1 + x)2 N
em um ponto a x metros da origem. Calcule o trabalho realizado para mover a partícula da origem até 9 metros.
Solução: Como a força que atua sobre a partícula a x metros da origem é dada por F (x) = 10
(1 + x)2,
para deslocá-la do ponto x = 0 ao ponto x = 9, realiza-se o trabalho dado por: W = Z 9 0 10 (1 + x)2 dx = − 10 (x + 1) 9 0 = 9 J. Exemplo 6. A Lei de Hooke arma que a força necessária para manter uma mola esticada x unidades além de seu comprimento natural é proporcional a x, isto é, F (x) = kx, onde k > 0 é a constante elástica da mola. Suponha que 2J de trabalho sejam necessários para esticar uma mola de seu comprimento natural de 30 cm para 42 cm. Quanto trabalho é necessário para esticar a mola de 35 cm para 40 cm?
Solução: Pela lei de Hooke, a força que atua sobre a mola é dada por F (x) = kx, onde x é o comprimento da mola além de 0,3 m, que é seu comprimento natural. Como esta força é variável, então o trabalho necessário para esticar a mola de 0,35 m a 0,40 m (x = 0, 05 m a x = 0, 10 m) é dado por:
W = Z 0,10 0,05 kx dx = k 2x 2 0,10 0,05 = 375k · 10−5J Resta então determinar o valor da constante k da mola. Como
2 = Z 0,12 0 kx dx = k 2x 2 0,12 0 ⇒ k = 1 36 × 10 4. Assim: W = 375 × 10−5× 1 36 × 10 4≈ 1, 04J.
3 Pressão e Força Hidrostática
Outra aplicação muito importante do cálculo integral à física e à engenharia é o cálculo da força que um uido exerce sobre uma superfície.
Denição 2 (Pressão). Se uma força de módulo F for aplicada a uma superfície de área A, então denimos a pressão P exercida pela força sobre a superfície como sendo
P = F A.
Suponha que uma placa horizontal na com área de A metros quadrados seja submersa em um uído de densidade ρ quilogramas por metro cúbico a uma profundidade h metros abaixo da superfície do uído. O uido diretamente acima da placa tem volume V = Ah, assim, sua massa é m = ρV = ρAh. A força exercida pelo uído na placa é, portanto:
F = mg = ρgAh em que g é a aceleração da gravidade. Sendo assim:
P = F
A = ρgh.
Um princípio importante da pressão de uídos é o fato vericado experimentalmente de que em qualquer ponto no líquido a pressão é a mesma em todas as direções. Assim, a pressão em qualquer direção em uma profundidade h em um uido com densidade de massa ρ é dada por:
P = ρgh
Isso nos ajuda a determinar a força hidrostática contra uma placa vertical, parede ou barragem em um uido. Este não é um problema simples, porque a pressão não é constante, mas aumenta de acordo com a profundidade.
Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido de densidade ρ, e que a parte submersa da superfície se estenda de x = a até x = b, ao longo da parte positiva do eixo x. Para a ≤ x ≤ b, seja w(x) a extensão da superfície e h(x) a profundidade do ponto x.
A ideia básica para resolver este problema é dividir a superfície em faixas horizontais, cujas áreas possam ser aproximadas por áreas de retângulos. Essas aproximações de áreas, nos permitirão criar uma soma de Riemann que aproxime a pressão total na superfície. Tomando um limite das somas de Riemann, obteremos uma integral para F .
Denição 3. Suponha que uma superfície plana esteja imersa verticalmente em um uido com densidade ρ, e que a parte submersa sa superfície se estenda de x = a até x = b ao longo do eixo x cujo sentido positivo seja para baixo. Para a ≤ x ≤ b, suponha que w(x) seja a extensão da superfície e que h(x) seja a profundidade do ponto x. Denimos, então, a força do uido sobre a superfície por
F = Z b
a
ρgh(x)w(x) dx.
Exemplo 7. A face de um dique é um retângulo vertical com altura de 100 pés e extensão de 200 pés. Encontre a força total que o uido exerce sobre a face, quando a superfície da água está no nível do topo do dique. Considere o peso especíco do uido igual a 62, 4 lb/pé3.
Solução: Introduzimos um eixo x com origem na superfície da água, conforme mostra a gura abaixo:
Em um ponto x sobre esse eixo, a extensão do dique é de w(x) = 200 pés e a profundidade h(x) = x pés. Assim: F = Z 100 0 200.62, 4.x dx = 12480 Z 100 0 x dx = 12480 x 2 2 100 0 = 62.400.000lb. Exemplo 8. Uma placa com o formato de triângulo isósceles, com base de 10 pés e altura 4 pés, é imersa verticalmente em óleo de máquina, conforme mostra a gura a seguir. Encontre a força F que o uido
Solução: Vamos introduzir um eixo x, conforme mostra a gura abaixo.
Por semelhança de triângulos, a extensão da placa, em pés, a uma profundidade h(x) = x + 3 pés, satisfaz w(x) 10 = x 4 ⇒ w(x) = 5 2x. Assim: F = Z 4 0 30.(3 + x). 5 2x dx = 75 Z 4 0 (3x + x2) dx = 75 3x 2 2 + x3 3 4 0 = 3400lb. Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 6.4, 8.1 e 8.2 do livro texto.
Sugestão de exercícios