Problemas de valores de contorno envolvendo o operador biharmônico

Problemas de valores de contorno envolvendo o

operador biharmônico

Problemas de valores de contorno envolvendo o

operador biharmônico

Vanderley Alves Ferreira Junior

Orientador: Prof. Dr. Ederson Moreira dos Santos

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Março de 2013

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: / /

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

F383p

Ferreira Junior, Vanderley Alves

Problemas de valores de contorno envolvendo o operador biharmônico / Vanderley Alves Ferreira Junior; orientador Ederson Moreira dos Santos. --São Carlos, 2013.

92 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2013.

1. Operador biharmônico. 2. Condições de contorno de Dirichlet, Navier e Steklov. 3. Função de Green. 4. Preservação de positividade. 5. Problemas

Agradecimentos

Agradeço a Deus por ter me sustentado e guiado durante a realização deste trabalho e pelas pessoas incríveis que Ele pôs em meu caminho.

A minha querida esposa Marine, sem você eu nunca teria terminado. Obrigado por acreditar em mim e por lutar ao meu lado todos os dias.

Aos meus pais Vanderley e Luci e aos meu sogros Valdir e Elenice, que apesar da distância sempre se fizeram presentes com seu apoio, carinho e orações.

Ao meu orientador, professor Ederson, por ter me ajudado sempre que precisei ao longo destes dois anos.

Aos demais professores com quem tanto tenho aprendido, em especial ao professor Fredy Suárez.

À CAPES pelo apoio financeiro.

Com

abelhas

ou

sem

abe-lhas,

os problemas

interes-santes da Matemática têm,

para o pesquisador, a doçura do

mel.

Resumo

Estudamos o problema de valores de contorno

  

∆2_{u = f em Ω,}

Bu = 0 em ∂Ω,

em um aberto limitado Ω _⊂ RN, sob diferentes condições de contorno. As questões de

existência e positividade de soluções para este problema são abordadas com condições de contorno de Dirichlet, Navier e Steklov. Deduzimos condições de contorno naturais através do estudo de um modelo para uma placa com carga estática.

Estudamos ainda propriedades do primeiro autovalor de ∆2 _{e o problema semilinear}

  

∆2_{u = F(u) em Ω,}

u = ∂u

∂ν = 0 em ∂Ω,

para não-linearidades do tipo F(t) =|t|p−1_{t, p6= 1, p >0. Para tal problema estudamos}

Abstract

We study the boundary value problem

  

∆2_{u = f inΩ,}

Bu = 0 in∂Ω,

in a bounded open Ω ⊂ RN under different boundary conditions. The questions of

existence and positivity of solutions for this problem are addressed with Dirichlet, Navier and Steklov boundary conditions. We deduce natural boundary conditions through the study of a model for a plate with static load.

We also study properties of the first eigenvalue of ∆2 _{and the semi-linear problem}

 



∆2_{u = F(u) inΩ,}

u = ∂u

∂ν = 0 in∂Ω,

for non-linearities likeF(t) =_|t_|p−1_{t, p 6= 1, p >0. For such problem we study existence}

and non-existence of solutions and its positivity.

Sumário

Introdução 1

Notações 3

1 Modelos de ordem quatro 5

1.1 Caso unidimensional . . . 5

1.2 O Laplaciano de uma função sobre uma curva de nível . . . 7

1.3 Caso bidimensional . . . 12

2 Problemas lineares 15 2.1 A condição de Dirichlet . . . 19

2.2 A função de Green . . . 21

2.2.1 A função de Green da bola unitária B . . . 22

2.2.2 A função de Green dos limaçons de Pascal . . . 23

2.3 A condição de Navier . . . 26

2.4 A condição de Steklov . . . 28

2.5 Problemas de autovalor . . . 36

3 Uma classe de problemas semilineares 47 3.1 Problema subcrítico . . . 48

3.1.1 O caso sublinear . . . 49

3.1.2 O caso superlinear . . . 51

3.1.3 Solução de energia mínima . . . 55

3.2 Resultados de não-existência . . . 61

A Espaços de funções 69 B Cálculo em espaços de Banach 75 B.1 Funcionais diferenciáveis . . . 75

B.2 Exemplos . . . 79

C Pontos críticos de um funcional 87

Introdução

O operador biharmônico é definido por∆2 _{= ∆(∆), onde∆denota o operador}

Lapla-ciano.

A equação ∆2_{u = f, conhecida como equação da placa, precisa ser complementada}

com condições de contorno apropriadas para que se obtenha problemas matematicamente bem postos e com significado físico. Nesta dissertação estão apresentados resultados sobre a existência e positividade de soluções de problemas de valores de contorno do tipo

  

∆2_{u = f em Ω,}

Bu = 0 em ∂Ω,

além de problemas semilineares como

  

∆2_{u = F(u) em Ω,}

Bu = 0 em ∂Ω,

para algumas classes de não-linearidadesF e para diferentes condições de contornoB. Muitas técnicas para problemas envolvendo operadores elípticos de ordem dois não podem ser aplicadas a problemas de ordem superior devido à falta de um princípio do máximo, e porque para u _∈ H2_{(Ω), em geral |u| 6∈H}2_{(Ω). Estudamos situações em que}

o biharmônico possui a propriedade de preservação de positividade e quais propriedades de problemas de ordem dois são mantidas.

Por se tratar de uma equação de ordem 4, há diversas escolhas possíveis de conjuntos de condições de contorno apropriadas do ponto de vista matemático. Para mais detalhes veja [3].

Em analogia ao caso do operador ∆ em que as condições mais estudadas são as de Dirichlet, Neumann e Robin, que possuem significado físico, para o operador biharmônico estudamos as condições de Dirichlet, Navier e Steklov. Cada uma possui particularidades

2 Introdução

que serão comparadas nos Capítulos 2 e 3.

No Capítulo 1 estudamos dois modelos da teoria da elasticidade para derivar condições de contorno naturais para os problemas de contorno envolvendo o biharmônico.

O segundo capítulo trata do problema linear sob as condições de contorno de Dirichlet, Navier e Steklov, abordando existência de soluções e preservação de positividade. Veremos por exemplo que a equação permite, sob condições de Navier e Steklov, uma decomposição em um sistema de equações de ordem dois. Sob estas condições o biharmônico preserva positividade. Por outro lado, sob condição de Dirichlet esta propriedade é perdida em alguns domínios. Estudamos ainda as propriedades do primeiro autovalor do biharmônico sob cada condição de contorno e sua relação com a preservação de positividade.

No Capítulo 3 estudamos existência e não-existência de soluções para uma classe de problemas semilineares, com não-linearidade do tipo

F(u) = |u|p−1_u,

Notações

1. N dimensão do espaço.

2. C, c constantes positivas.

3. Ω denota um aberto não-vazio contido em RN.

4. ∂Ωdenota a fronteira de Ω,∂Ω = Ω\Ω.

5. A é o fecho do conjunto A⊂X na topologia de X.

6. B ⊂RN é a bola unitária aberta centrada em ₀, isto é, _{B =B1(0)}.

7. Br(x)⊂RN é a bola aberta de raior >0e centrox;Br(x) ={y∈RN;kx−yk< r}. 8. Br(x) é a bola fechada de raio r >0e centro x.

9. SN

r é o conjunto de todos os y∈RN tais que kyk=r. 10. ν denota o vetor normal exterior à fronteira de Ω.

11. ui =

∂u ∂xi

denota a derivada parcial de u em relação à i-ésima coordenada.

12. Du denota o gradiente de u.

13. ∆u=

N

X

i=1

uii é o Laplaciano de u.

14. ∆2u= ∆(∆u) =−∆(−∆u) =

N

X

i=1

N

X

j=1

uiijj é o biharmônico de u.

15. ∂u

∂ν é a derivada de una direção do vetor normal à fronteira ν.

16.

Z

Ω

F dx denota a integral de Lebesgue da função F no conjunto Ω.

4 Notações

17.

Z

∂Ω

F dS denota a integral de Lebesgue de F : Ω −→ R na medida _{(N − 1)}

dimensional de ∂Ω.

18. C0_{(Ω) é o espaço das funções contínuas em Ω.}

19. _Ck_{(Ω), para k}

∈ N é o espaço das funções _{u : Ω −→} R com derivadas de ordem _k

contínuas emΩ.

20. C∞_{(Ω) =} \

k≥1

Ck

(Ω).

21. Cc∞(Ω) é o espaço das funções u∈ C

∞

(Ω) com suporte compacto contido em Ω.

22. C0

0(Ω) é o espaço das funções u∈ C0(Ω) que se anulam na fronteira de Ω.

23. H1(Ω) é o espaço de Sobolev de funções u _∈ L2_{(Ω) que possuem derivadas fracas}

em L2_{(Ω); ver Apêndice A.}

24. H2(Ω) é o espaço de Sobolev de funções u ∈ H1_{(Ω) que possuem derivadas fracas}

em H1_(Ω).

25. H₀j(Ω), j _{∈ {}1,2_} é o fecho de_C∞

c (Ω) em Hj; ver Apêndice A.

26. T(u) é o traço de u∈H1_{(Ω); ver Teorema A.7.}

27. X denota um espaço de Banach,H denota um espaço de Hilbert.

28. X∗ é o espaço dual do espaço de Banach X.

29. _|t_|= max_{t,₋t_} é o módulo det _∈R.

30. t+ = max{t,0}, t− = max{−t,0}, t∈R.

31. δij é o operador δ de Dirac, δij = 1 se i=j eδij = 0 se i6=j.

32. _{k k} denota a norma no espaço de BanachX.

(a) _kx_k=

N

X

i=1

x2_i !1

2

, se x= (xi)∈RN.

(b) kuk= Z

Ω

(∆u)2dx 1

2

, se u∈H₀2(Ω) ouu∈H2(Ω)∩H₀1(Ω).

(c) kukp =

Z

Ω|

u|p

dx 1

p

, seu∈Lp(Ω),1≤p <∞.

Capítulo

1

Modelos de ordem quatro

Neste capítulo estudamos dois modelos que levam a problemas de valores de contorno de ordem quatro, um para uma viga e o análogo para uma placa bidimensional. A partir da análise dos funcionais de energia chegamos às condições de contorno naturais para o operador biharmônico.

1.1 Caso unidimensional

Considere uma viga ideal unidimensional de comprimentoL, inicialmente posicionada horizontalmente, sobre a qual é posta uma certa carga de peso atuando na vertical. Esta viga pode ser representada pelo gráfico de uma funçãou: [0, L]_−→R, de modo que_u(t)

representa a variação da posição do ponto correspondente da viga em relação ao equilíbrio.

A energia elástica acumulada na viga deve-se à resistência ao aumento de comprimento e à resistência à flexão, isto é, envergar-se. Um modelo para a energia elástica desta viga é

JE(u) =

Z L

0

p

1 +u′_(x)2_{−1 +} u ′′_(x)2

(1 +u′_(x)2₎3

p

1 +u′_(x)2

dx, (1.1)

onde o primeiro termo representa a variação de comprimento de arco e o segundo repre-senta a curvatura.

Se os extremos da viga puderem se mover livremente na direção horizontal, então não ocorre aumento de comprimento e o primeiro termo pode ser ignorado. Neste caso,

6 Modelos de ordem quatro

denotando p: [0, L]_−→R a carga sobre a viga, a energia mecânica da viga seria

J(u) = Z L

0

u′′(x)2

(1 +u′_(x)2₎3

p

1 +u′_(x)2_−p(x)u(x)

dx. (1.2)

Uma função u _∈ H2_{([0, L])∩H}1

0([0, L]) minimizando J seria uma aproximação para a

posição de equilíbrio da viga, sob estas hipóteses. Observe que se a curva é parametrizada por γ(x) = (x, u(x)), então u′′(x)2

(1 +u′_(x)2₎3 é a curvatura no ponto γ(x). Para deformações

pequenas, isto é, assumindo u′ ≈0, podemos aproximar a energia da viga por

J(u) = Z L

0

1 2u

′′_(x)2

−p(x)u(x)

dx. (1.3)

Suponha que u_{∈ C}4_{([0, L]). Então para toda funçãov ∈ C}2_{([0, L]),}

J′(u)v = Z L

0

(u′′(x)v′′(x)−p(x)v(x))dx

= u′′(x)v′(x)L

0 −

Z L

0

(u′′′(x)v′(x) +p(x)v(x))dx

= u′′(x)v′(x)L

0 −u ′′′

(x)v(x)L

0 +

Z L

0

u(4)(x)−p(x)v(x) dx. (1.4)

Assim, com certas condições de fronteira impostas, os termos de fronteira se anulam e obtemos a equação de Euler-Lagrange para este funcional,

u(4) =p(x).

Assim, as condições de fronteira apropriadas são:

 



u(0) = u(L) = 0,

u′(0) = u′(L) = 0, (1.5)

  

u(0) = u(L) = 0,

u′′(0) = u′′(L) = 0,

(1.6)

  

u′(0) = u′(L) = 0,

u′′′_{(0) = u}′′′_{(L) = 0,} (1.7)

  

u′′_{(0) = u}′′_{(L) = 0,}

u′′′(0) = u′′′(L) = 0.

1.2 O Laplaciano de uma função sobre uma curva de nível 7

A condição de contorno correspondente à viga engastada é (1.5), conhecida como condição de Dirichlet. Para a viga articulada, temos a condição de Navier (1.6). A condição (1.8) representa uma viga livre para se mover verticalmente nas extremidades, e a condição (1.7) um mecanismo que permite movimento vertical, mas impede que ela incline-se nas extremidades. Para mais detalhes veja [12, p. 3].

As condições podem aparecer combinadas. Por exemplo, um modelo para uma viga que está engastada em uma extremidade e livre na outra seria

    

   

u(4) _{= p(x) em (0, L),}

u(0) = u′(0) = 0,

u′′_{(L) = u}′′′_{(L) = 0.}

(1.9)

Esta viga é conhecida como viga em balanço ou cantilever.

1.2 O Laplaciano de uma função sobre uma curva de

nível

Sejam Ω ⊂ R2 um aberto, _{u ∈ C}2_(Ω). Suponha que _{p = (x0, y0) ∈ u}−1₍₀₎ e que

Du(p)₆= 0. Nesta seção mostramos que

∆u(p) = ∂

2_u

∂ν2(p) +k(p)

∂u ∂ν(p),

ondek é a curvatura da curva de nível u−1(0) e ν é o vetor normal a esta.

A condiçãoDu(p)6= 0nos garante que em uma vizinhança de p, u−1_{(0) é de fato uma}

curva.

Proposição 1.1. Se Ω _⊂ R2 _{é um aberto, p ∈ Ω, u é uma função de classe C}1_(Ω),

u(p) = 0 e Du(p) ₆= 0, então existem um aberto A _⊂ Ω, um intervalo I _⊂ R _{e uma}

aplicação γ :I −→Ω de classe C1_{, tal que γ(I) =A∩u}−1_(0).

Demonstração. Esta proposição é um caso particular do teorema função implícita, veja

por exemplo [16, p. 295].

Teorema 1.2. Se Ω _⊂ R2 _{é um aberto, u ∈ C}2_{(Ω), p = (x0, y0) ∈ u}−1_{(0) e Du(p) 6= 0,}

então

∆u(p) = ∂

2_u

∂ν2(p) +k(p)

∂u

8 Modelos de ordem quatro

Demonstração. Pela Proposição 1.1 acima, existem I _⊂ R aberto e _{γ : I −→ Ω}, de

classe _C1_{, uma parametrização de u}−1_{(0) em uma vizinhança de p. Considere a função}

ψ :J −→Ω, onde J ⊂I,0∈J, com coordenadas ψ = (f, g), as quais são as soluções de

  

f′_{(t) = −u}

y(f(t), g(t)), com f(0) =x0,

g′_{(t) = u}

x(f(t), g(t)), com g(0) =y0.

Tal solução existe e é de classe _C1_{; veja [11, Teorema 1.9].}

Agora, definindo m=u◦ψ e tomando s∈J, podemos calcular

m′(s) = ux(ψ(s))f′(s) +uy(ψ(s))g′(s)

= ux(ψ(s))(−uy(ψ(s))) +uy(ψ(s))ux(ψ(s))

= 0.

Logom é constante, ou seja,ué constante sobre a imagem deψ. Comou(ψ(0)) =u(p) = 0, segue queu−1_{(0)⊃ψ(J). Concluímos então que ψ é uma parametrização para a curva}

u−1_{(0) em uma vizinhança de p.}

Usando a parametrização ψ, podemos calcular a curvatura em função de u e de suas derivadas, usando a expressão da curvatura de [8, p. 25]:

k(s) = det(ψ

′_{(s), ψ}′′_(s))

kψ′_(s)k3

= f

′_(s)g′′_(s)−f′′_(s)g′_(s)

(f′2_{(s) +g}′2_(s))32

= −uy(ψ(s)) (uxx(ψ(s)) (−uy(ψ(s))) + (uxy(ψ(s))) (ux(ψ(s))) (u2

x(ψ(s)) + (−uy)2(ψ(s)))

3 2

+

−ux(ψ(s)) (−uyy(ψ(s))ux(ψ(s)) +uy(ψ(s))uxy(ψ(s)))

(u2

x(ψ(s)) + (−uy)2(ψ(s)))

3 2

= u

2

y(ψ(s))uxx(ψ(s))−2ux(ψ(s))uy(ψ(s))uxy(ψ(s)) +u2x(ψ(s))uyy(ψ(s))

kDu(ψ(s))_k3 .

O vetor normal à curva ν(s)é ortogonal ao tangente ψ′(s). Por outro lado,

(ψ′(s), Du(ψ(s))) =₋uy(ψ(s))ux(ψ(s)) +uy(ψ(s))ux(ψ(s)) = 0,

1.2 O Laplaciano de uma função sobre uma curva de nível 9

λν(s), onde_|λ_|=_kDu(ψ(s))_k. Escolhendoν de modo queλ =_kDu(ψ(s))_k, temos

∂u

∂ν(ψ(s)) = (Du(ψ(s)), ν(s)) =λ(ν(s), ν(s)) =λ=kDu(ψ(s))k.

Calculando ∂

2_u

∂ν2(ψ(s)), obtemos

∂2_u

∂ν2(ψ(s)) = D

2_{u(ψ(s))(ν, ν)}

= u

2

x(ψ(s))uxx(ψ(s)) + 2ux(ψ(s))uy(ψ(s))uxy(ψ(s)) +u2y(ψ(s))uyy(ψ(s))

kDu(ψ(s))_k2 .

Por fim obtemos nosso resultado

∂2u

∂ν2(ψ(s)) + k

∂u

∂ν(ψ(s)) =

= u

2

y(ψ(s))uxx(ψ(s))−2ux(ψ(s))uy(ψ(s))uxy(ψ(s))

kDu(ψ(s))_k

kDu(ψ(s))_k3 +

+(u

2

x(ψ(s))uyy(ψ(s)))kDu(ψ(s))k kDu(ψ(s))_k3 +

u2

x(ψ(s))uxx(ψ(s)) kDu(ψ(s))_k2 +

2ux(ψ(s))uy(ψ(s))uxy(ψ(s)) +u2y(ψ(s))uyy(ψ(s)) kDu(ψ(s))_k2

= u

2

y(ψ(s))uxx(ψ(s))−2ux(ψ(s))uy(ψ(s))uxy(ψ(s)) +u2x(ψ(s))uyy(ψ(s))

kDu(ψ(s))k2 +

+u

2

x(ψ(s))uxx(ψ(s)) + 2ux(ψ(s))uy(ψ(s))uxy(ψ(s)) +u2y(ψ(s))uyy(ψ(s)) kDu(ψ(s))_k2

= u

2

y(ψ(s))uxx(ψ(s)) +u2x(ψ(s))uyy(ψ(s)) +u2x(ψ(s))uxx(ψ(s))

kDu(ψ(s))_k2 +

+u

2

y(ψ(s))uyy(ψ(s)) kDu(ψ(s))_k2

= u

2

x(ψ(s)) +u2y(ψ(s))

(uxx(ψ(s))) + u2x(ψ(s)) +u2y(ψ(s))

(uyy(ψ(s))) kDu(ψ(s))k2

= kDu(ψ(s))k

2

kDu(ψ(s))k2 (uxx(ψ(s)) +uyy(ψ(s))) = ∆u(ψ(s)).

Observação 1.3. Sejam Ω um aberto radialmente simétrico em relação a zero e u uma função radial tal queu(x) = U(_kx_k). O teorema acima nos dá a conhecida fórmula

∆u(x) =U′′(kxk) + N −1

kxk U

′

10 Modelos de ordem quatro

De fato, sejam u: Ω _⊂ R2 _−→R_{, x∈ Ω,kxk =r > 0}, tais que _{u(y) = U(kyk)}, _U de

classe _C2_{. Localmente, a curva de nívelU(r) é uma parte da esfera}

Sr ={y∈R2;kyk=r}, quandoDu(x)₆= 0. A curvatura deSré constante e vale

1

r, e o vetor normal éν(y) = y

ky_k.

Calculando a derivada normal de u em x, temos

∂u

∂ν(x) = limt→0

u(x+tν)−u(x) t

= lim

t→0

U(kx+tνk)−U(kxk) t

= lim

t→0

U(_kx_k+t)₋U(_kx_k) t

= U′(_kx_k).

Por definição ∂2u

∂ν2(x) =D

2_{u(ν, ν) =}

N

X

i,j=1

uij(x)

xixj

kx_k2, como u é radial podemos

calcu-lar as derivadas parciais

ui(x) =U′(x)

xi

kx_k, uij(x) = U

′′_(x)xixj kx_k2 +U

′_(x)δijkxk2−xixj kx_k3 .

Agora vamos calcular a segunda derivada normal

D2u(ν, ν) =

N

X

i,j=1

U′′(x)x

2

ix2j kx_k4 +U

′ (x) N X i,j=1 δij

xixj kx_k3 −

N

X

i,j=1

x2

ix2j kx_k5

!

=U′′(x) +U′(x)

1

kxk−

1

kxk

=U′′(x). (1.12)

Deste modo ∂2u

∂ν2(x) = U ′′₍

kx_k), e (1.10) se torna (1.11).

Para uma função radial u : Ω _⊂ RN _−→ R, _{N ≥ 3}, considere _{x ∈ Ω}, _{r = kxk > 0},

com Du(x)6= 0 e

SN

r ={y∈R N_;

ky_k=r_},

como antes, u−1_(kxk)∩B

R=SrN ∩BR,onde BR=BR(x), R >0.

Considere uma base ortonormal deRN da seguinte forma_{{ν(x), v2(x), ..., vN(x)}}, onde

os vetores vi(x),1< i≤N são tangentes a SR em x, e ν(x) =

x

kx_k é o vetor normal.

1.2 O Laplaciano de uma função sobre uma curva de nível 11

1< i≤N, ui =u

πi∩Ω

, isto é,

ui(a, b) =u(aν(x) +bvi(x)).

As funções ui cumprem

∆ui(a, b) =

∂2_u

∂ν2(aν(x) +bvi(x)) +

∂2_u

∂v2

i

(aν(x) +bvi(x)), (1.13)

e em particular

∆ui(r,0) =

∂2_u

∂ν2(x) +

∂2_u

∂v2

i

(x).

Note agora que SN

r ∩πi =Sr, assim podemos aplicar a identidade (1.10) em ui,

∆ui =

∂2_u

∂ν2 +k

∂u ∂ν.

De fato,

k(a, b)_k2 =a2+b2 =_kaν(x)_k2+_kbvi(x)k2 =kaν(x) +bvi(x)k2,

por ortogonalidade. Assim,(a, b)_∈Sr se, e somente se,aν(x) +bvi(x)∈SrN, e além disso

ui(a, b) = u(aν(x) +bvi(x)) =U(kaν(x) +bvi(x)k) = Uk(a, b)k,

e portantoui é radial.

Comparando (1.13) e (1.11) vemos que

∂2_u

∂v2

i

(x) = k∂u ∂ν =

1 rU

′_{(r), (1.14)}

com igualdade para cada i∈ {2, ..., N}. Aplicando (1.14) podemos calcular

∆u(x) = ∂

2_u

∂ν2(x) +

N

X

i=1

∂2_u

∂v2

i

(x)

= U′′(r) + (N ₋1)1 rU

′_(r)

= U′′(r) + N −1

r U

′_{(r), (1.15)}

12 Modelos de ordem quatro

1.3 Caso bidimensional

Em dimensão dois podemos considerar um modelo análogo para uma placa fina e plana, à qual é aplicada uma carga de forças verticais. Permitindo que os pontos na ex-tremidade da placa se movam horizontalmente, não haverá aumento da área da superfície da placa. Desprezando então a energia elástica devida à dilatação da placa, um modelo aproximado para a energia mecânica da placa é

J(u) = Z

Ω

1 2(∆u)

2_{+ (1}

−σ)(u2₁₂₋u11u22)−f u

dx, (1.16)

onde Ω ⊂ R2 é um aberto que representa a placa no estado sem a ação da carga, _{f :}

Ω_−→Ré a força aplicada, _{u: Ω−→}R é a variação vertical em relação ao equilíbrio e _σ

é uma contante relacionada ao material constituinte da placa, chamada razão de Poisson. Para metais o valor de σ é aproximadamente 0.3 e usualmenteσ ∈(0,0.5), mas em geral temos ₋1< σ <1; veja [12, p. 5].

O gráfico deué uma superfície. No lugar do termo representando a curvatura da viga em (1.2), temos

1 2(∆u)

2_{+ (1}

−σ)(u2₁₂₋u11u22)≈

1

2(k1+k2)

2_{+ (1}

−σ)k1k2,

onde k1 e k2 são as curvaturas principais do gráfico de u,

k1+k2

2 é a curvatura média e k1k2 é a curvatura Gaussiana; para mais detalhes veja [8, Definition 6, p. 146]. Para a

aproximação acima assumimos que _kDu_k é pequeno, isto é,_kDu_{k ≈}0.

A busca de pontos críticos deste funcional nos leva a investigar a equação

J′(u)v = 0, _∀ v _{∈ H},

onde _H é um espaço de Hilbert apropriado onde J está bem definido e que também depende das condições de contorno. Além disso, verifica-se que

J′(u)v = Z

Ω

(∆u ∆v+ (1₋σ)(2u12v12−u11v22−u22v11)−f v) dx.

1.3 Caso bidimensional 13

mesmo espaço de funções. Temos então

Z

Ω

(∆u∆v) dx = Z ∂Ω ∆u∂v ∂ν dS− Z Ω (D(∆u)Dv) dx = Z ∂Ω ∆u∂v ∂ν dS− Z ∂Ω ∂

∂ν(∆u)v

dS+ Z

Ω

(∆2u v)dx

= Z ∂Ω ∆u∂v ∂ν dS+ Z Ω

(∆2u v) dx. (1.17)

Por outro lado, empregando o Teorema 1.2, obtemos

Z

Ω

(2u12v12−u11v22−u22v11) dx =

Z

∂Ω

(u12v1ν2+u12v2ν1−u11v2ν2−u22v1ν1)dS

−

Z

Ω

(u122v1+u112v2−u112v2−u122v1) dx

= Z

∂Ω

(u12v1ν2+u12v2ν1−u11v2ν2−u22v1ν1)dS

= Z

∂Ω

(u12ν1ν2+u12ν1ν2−u11ν22−u22ν12)kDvk

dS = Z ∂Ω

(2u12ν1ν2−u11ν22−u22ν12)

∂v ∂ν dS = − Z ∂Ω

(u11(ν12+ν22) +u22(ν12+ν22)−u11ν12+

−u22ν22−2u12ν1ν2)

∂v ∂ν dS = ₋ Z Ω

∆u₋ ∂

2_u ∂ν2 ∂v ∂ν dS = ₋ Z Ω k ∂u ∂ν ∂v ∂ν dS. (1.18)

Para u=v = 0 em ∂Ω, temos então ∂v

∂ν =kDvk e

J′(u)v = Z

Ω

(∆2u−f)v dx+ Z

∂Ω

∆u−(1−σ)k ∂u ∂ν

∂v

∂ν dS. (1.19)

Para a placa engastada, assumimos também que ∂u

∂ν se anula sobre ∂Ω, e podemos

supor o mesmo para ∂v

∂ν. Com isso a integral sobre a fronteira deΩem (1.19) se anula, e

chegamos a _Z

Ω

(∆2u₋f)v dx= 0, _∀ v _{∈ H},

com v = ∂v

14 Modelos de ordem quatro

Isso nos permite concluir que se um ponto crítico de J for de classe _C4_{(Ω), será uma}

solução do problema com condições de contorno de Dirichlet

 



∆2_{u = f(x) em Ω,}

u = ∂u

∂ν = 0 em ∂Ω.

(1.20)

Se por outro lado a placa estiver articulada, não temos a condição sobre ∂v

∂ν, e o termo

de fronteira nos fornece a última condição de contorno que é

∆u₋(1₋σ)k∂u

∂ν = 0 em ∂Ω.

Assim, um ponto crítico de classe C4_{(Ω) é uma solução do seguinte problema de Steklov}

  

∆2_{u = f(x) em Ω,}

u = ∆u−(1−σ)k∂u

∂ν = 0 em ∂Ω.

(1.21)

Para mais detalhes sobre a interpretação da condição de contorno de Steklov, veja [14, p. 412].

Se assumirmos que a curvatura da fronteira do aberto Ωnão contribui para a energia ou que σ = 1, obtemos a condição de contorno ∆u = 0 em ∂Ω, que nos dá o problema com condição de Navier _

 

∆2_{u = f(x) em Ω,}

Capítulo

2

Problemas lineares

Neste capítulo estudamos a equação

∆2u=f(x), (2.1)

onde a função f é conhecida e u é a incógnita, complementada por uma condição de contorno homogênea. Na Seção 2.5 estudamos os autovalores do operador biharmônico sob cada condição de contorno.

Considere inicialmente o problema linear com condição de Dirichlet

 



∆2_{u = f(x) em Ω,}

u = ∂u

∂ν = 0 em ∂Ω,

(2.2)

no aberto Ω⊂RN limitado, onde _ν é o vetor normal exterior à fronteira de_Ω e a função

f : Ω_−→Ré dada.

Outras condições de contorno consideradas serão

  

∆2_{u = f(x) em Ω,}

u = ∆u= 0 em ∂Ω,

(2.3)

chamado problema com condição de Navier, e

  

∆2_{u = f(x) em Ω,}

u = ∆u₋a∂u

∂ν = 0 em ∂Ω,

(2.4)

16 Problemas lineares

a condição de Steklov, onde a:∂Ω_−→R.

Uma solução clássica para o problema (2.2), ou (2.3) ou (2.4) é uma função u _∈

C4_{(Ω) satisfazendo a equação diferencial pontualmente em Ω e as respectivas condições}

de contorno em cada ponto de∂Ω.

Vamos definir a noção de solução fraca para estes problemas. Para isso, suponha que

u_{∈ C}4_{(Ω) satisfaz}

  

∆2_{u = f(x) em Ω,}

u = 0 em ∂Ω.

Multiplicando a primeira equação por uma função v ∈ C2_{(Ω) que se anula em ∂Ω, isto é,}

v _{∈ C}2_{(Ω)∩ C}0

0(Ω) e integrando em Ω, obtemos

Z

Ω

(∆2u−f)v dx= 0.

Como u também se anula na fronteira de Ω, duas integrações por partes na equação nos levam a

0 = Z

Ω

(∆2uv₋f v) dx

= Z

Ω

(−(D(∆u), Dv)−f v)dx

= Z

∂Ω−

∆u∂v ∂ν dS+

Z

Ω

(∆u∆v−f v)dx. (2.5)

Se u é uma solução clássica de (2.2), então assumimos também que a função teste v

satisfaz ∂v

∂ν = 0 em ∂Ω, e o termo de fronteira em (2.5) se anula. Além disso, a integral

sobre Ω é bem definida para

u, v ∈H₀2(Ω), f ∈L2(Ω).

Definição 2.1. Seja f _∈ L2_{(Ω). Uma solução fraca de (2.2) é uma função u ∈ H}2 0(Ω)

tal que

Z

Ω

(∆u ∆v−f v) dx= 0, ∀ v ∈H₀2(Ω). (2.6)

Para uma solução clássica de (2.3), temos ∆u = 0 em ∂Ω, logo o termo de bordo de (2.5) também se anula. Observando novamente que a integral é bem definida para

u, v ∈H2_{(Ω) e f ∈L}2_{(Ω) chegamos à seguinte definição de solução fraca.}

Definição 2.2. Uma solução fraca de(2.3) é uma u_∈H2_(Ω)∩H1

17

v _∈H2_(Ω)∩H1 0(Ω),

Z

Ω

(∆u ∆v₋f v) dx = 0. (2.7)

Para o problema de Steklov (2.4), usando a última condição de contorno obtemos

Z

Ω

(∆u ∆v−f v)dx−

Z

∂Ω

a∂u ∂ν

∂v

∂ν dS = 0.

Suponha que ∂Ω tem classe _C2_{, de modo que o vetor normal ν é contínuo e}

dife-renciável. Para v ∈ H2_{(Ω), 1 ≤ i ≤ N, temos} ∂v

∂xi ∈

H1(Ω). Logo é bem definido

T

∂v ∂xi

∈L2(∂Ω) e definimos

∂v ∂ν =

N

X

i=1

νi T

∂v ∂xi

,

ondeT é o operador traço do Teorema A.7 e νi é a i-ésima coordenada deν.

Definição 2.3. Uma solução fraca do problema (2.4) é uma u_∈H2_(Ω)∩H1

0(Ω), tal que

Z

Ω

(∆u ∆v₋f v) dx₋ Z

∂Ω

a∂u ∂ν

∂v

∂ν dS = 0, (2.8)

para toda funçãov _∈H2_(Ω)∩H1 0(Ω).

Teorema 2.4. Seja Ω⊂RN _{um aberto limitado.}

• Se existe uma solução fraca de (2.2), então ela é única.

• Se ∂Ω é de classe _C2 _{e existe uma solução fraca de (2.3) , então ela é única.}

Demonstração. Sejam u, w _{∈ H} soluções fracas de (2.2) ou (2.3), onde _H = H2

0(Ω) ou

H=H2_(Ω)∩H1

0(Ω), respectivamente. Em ambos os casos, veja os teoremas A.11 e A.13,

temos

Z

Ω

(∆(u₋w))2dx=_ku₋w_k2. (2.9)

Agora aplicando a definição de solução fraca a v =u−w, temos

Z

Ω

∆u∆(u₋w) dx= Z

Ω

f(u₋w) dx= Z

Ω

18 Problemas lineares

que nos dá _Z

Ω

(∆(u₋w))2 dx= 0.

Por (2.9), segue que _ku₋w_k= 0 e assim u=w em _H.

Para a condição de Steklov o argumento é o mesmo, porém precisamos de hipóteses sobre a; veja a Seção 2.4.

Observação 2.5. Se existir solução clássica para qualquer dos problemas considerados,

então necessariamente f deve ser contínua emΩ. Por outro lado, para estudar a

existên-cia de soluções fracas podemos considerar uma classe bem maior de funções f, conforme

observado acima.

Observe que as soluções clássicas também são soluções fracas. Considere o problema (2.2) com u∈ C4_{(Ω) e tomev ∈ C}∞

c (Ω). Multiplicando a equação por v e integrando por partes em Ω, obtemos

Z

Ω

(∆u ∆v₋f v) dx= 0, _∀ v _{∈ Cc}∞(Ω).

Agora como u∈ C4_{(Ω) e u=Du = 0em ∂Ω, então u∈H}2

0(Ω), pois Ω é limitado. Além

disso, definindo ϕ:H2

0(Ω) −→R, por ϕ(v) =

Z

Ω

(∆u ∆v₋f v)dx obtemos um funcional

linear limitado em H2

0(Ω). De fato, como H02(Ω) está imerso em L2(Ω) continuamente,

|ϕ v_{| ≤ k}u_kkv_k+_kf_k2kvk2 ≤Ckvk.

Como ϕ zera no subespaço denso Cc∞(Ω), segue ϕ ≡ 0 em H02(Ω). Mas então u é uma

solução fraca.

Reciprocamente, provada a existência de solução fraca para f ∈ L2_{(Ω), o passo}

seguinte é verificar se a solução fraca obtida é também uma solução clássica quando

f é regular. Este é um problema usualmente chamado de resultado de regularidade. Por hora suponha que u ∈ H2

0(Ω) seja uma solução fraca de (2.2) com f ∈ C0,α(Ω), para

algum 0< α <1e que u_{∈ C}4_{(Ω). Temos pelo Teorema A.7 que a continuidade de u nos}

dá u= ∂u

∂ν = 0 em ∂Ω. Por contradição, suponha que exista x∈Ω com ∆

2_{u(x)> f(x).}

Como u_{∈ C}4_{(Ω), temos que ∆}2_{u∈ C}0_{(Ω) e comof é contínua, vai existir A⊂Ω aberto}

com ∆2_{u−f >0 emA. Tomeϕ ∈ C}∞

c (Ω), com supp ϕ ⊂A,ϕ ≥0em A, ϕ= 1 em uma bola Br(x)de centro x e raior >0. Integrando, temos

Z

Ω

(∆u∆ϕ₋f ϕ) dx= Z

Ω

(∆2u₋f)ϕ dx = Z

A

(∆2u₋f)ϕ dx_≥ Z

Br(x)

2.1 A condição de Dirichlet 19

Como _C∞

c (Ω) está imerso em H02(Ω), u não é uma solução fraca de (2.2), o que é uma

contradição.

Analogamente, podemos mostrar que não existex∈Ωtal que∆2_{u(x)< f(x). Assim,}

∆2_{u(x) = f(x)para todox∈Ωeu=} ∂u

∂ν = 0sobre∂Ω. Portantoué uma solução clássica

de (2.2).

Para definir o que entendemos por preservação de positividade, considere o problema de valor de contorno linear _

 

∆2_{u = f, em Ω,}

Bu = 0, em ∂Ω, (2.10)

onde_Bu é uma das condições de contorno consideradas neste capítulo.

Definição 2.6. Dizemos que (2.10) tem a propriedade de preservação de positividade se para qualquerf ≥0 a solução u de (2.10) satisfaz u≥0.

2.1 A condição de Dirichlet

Sejaf _∈L2_{(Ω). Como introduzido na Definição 2.1, uma solução fraca de (2.2) é um}

ponto crítico do funcional

J(u) = Z

Ω

1 2(∆u)

2_{−f u}

dx, u∈H₀2(Ω).

Podemos escreverJ =K ₋L, onde

K(u) = 1 2

Z

Ω

(∆u)2 dx, L(u) = Z

Ω

f u dx.

Pelo Teorema A.15, L é um funcional linear contínuo em H2

0(Ω). Pelo Exemplo B.16, L

é de classe C2_.

Por outro lado, pelo Teorema A.11,

K(u) = 1 2kuk

2_{, u}

∈H₀2(Ω).

Logo, pelo Exemplo B.18,Ké de classeC2_{. Pela Proposição B.15,J é de classeC}2_{. Vamos}

provar que J possui um único ponto crítico.

Teorema 2.7. SeΩ_⊂RN _{é aberto, limitado ef ∈L}2_{(Ω), então existe uma única solução}

20 Problemas lineares

Demonstração. Queremos aplicar o Teorema C.4 ao funcional J. Seja f _∈ L2_{(Ω), temos}

então

Z

Ω

f u dx ≤ kfk2kuk2 ≤Ckfk2kuk,

pelo Teorema A.15. Temos portanto

J(u)≥ 1

2kuk

2_−Ckfk

2kuk=kuk

1

2kuk −Ckfk2

, (2.11)

e desta desigualdade obtemos a coercividade de J. De fato, dado M _∈ N tome _{R0 =}

2Ckfk2+ 1 >0. ParaR ≥R0, temos

R

2 −Ckfk2 > R0

2 −Ckfk2 = 1 2.

Assim se R= max_{2M, R0}, então kuk> R implica em (2.11)J(u)≥M.

Vamos agora verificar a semicontinuidade inferior por sequências de J na topologia fraca. Tome (uk) ∈ H₀2(Ω) e suponha que uk ⇀ u ∈ H₀2(Ω). Então, em particular,

L(uk)−→L(u).Pela Proposição B.4, K(u)≤lim inf

k→∞ K(uk),e por fim

J(u) = K(u)₋L(u)_≤lim inf

k→∞ K(uk)−klim→∞L(uk) = lim infk→∞ J(uk).

Pelo Teorema C.4, existe u _∈ H2

0(Ω) mínimo global de J. Este ponto mínimo é um

ponto crítico pela Proposição C.1, e assim é uma solução fraca de (2.2). A unicidade decorre do Teorema 2.4.

O problema (2.2) não pode ser reescrito como um sistema de equações de ordem dois, e portanto não podemos empregar diretamente muitas das técnicas desenvolvidas para equações de ordem dois para este tipo de problema. Para estudar a questão da preservação de positividade podemos analisar a função de Green, porém precisamos nos restringir a domínios onde ela é conhecida explicitamente.

A questão da propriedade de preservação de positividade está relacionada ao sinal da função de Green, se ela existir. De fato, suponha que existe uma função de Green GΩ

associada ao problema (2.10), conforme a Definição 2.9 abaixo e∂Ωé de classeC4,γ_{, para} algum γ ∈(0,1]. Assim, dada f ∈L2_{(Ω), a soluçãou de (2.10) é}

u(x) = Z

Ω

2.2 A função de Green 21

Se a função GΩ é positiva em Ω×Ω\ {(x, x);x ∈ Ω}, então dada qualquer f

não-negativa, teremos

u(x) = Z

Ω

GΩ(x, y)f(y)dy ≥0, ∀x∈Ω,

o que prova a propriedade de preservação de positividade. Além disso, se f 6= 0, então

f >0em um conjunto de medida positiva. Se parax∈Ω, tivermos para todoy ∈Ω\{x}, a desigualdade GΩ(x, y)>0, teremos u(x)>0 para todox∈Ω, pois

u(x) = Z

Ω

GΩ(x, y)f(y) dy >0.

Por outro lado, suponha que a função de Green assuma algum valor negativo, isto é, existem x0, y0 ∈ Ω, x0 6= y0, tais que GΩ(x0, y0) < 0. Neste caso (2.10) não tem

a propriedade de preservação de positividade. De fato, como GΩ é contínua em uma

vizinhança de (x0, y0), existe r > 0 tal que para todo z ∈ Br(y0), GΩ(x0, z) < 0, com

r > 0 escolhido de modo que _|x0 −y0| > r. Tomando uma função ϕ ∈ Cc∞(Ω) tal que

ϕ≥0 e suppϕ =Br(y0), obtemos um par(u, ϕ)satisfazendo (2.10), com ϕ ≥0e

u(x0) =

Z

Ω

GΩ(x0, z)ϕ(z) dz =

Z

Br(y)

GΩ(x0, z)ϕ(z) dz <0.

Como ϕ ∈ C∞

c (Ω), por [12, Theorem 2.19] temos u ∈ C4,γ(Ω), em particular u é con-tínua em uma vizinhança de x0. Concluímos que u muda de sinal, logo ∆2 não preserva

positividade neste caso.

2.2 A função de Green do operador biharmônico sob a

condição de Dirichlet

Vamos definir a função de Green para o operador biharmônico em um determinado domínioΩ⊂RN sob condição de contorno de Dirichlet. Para isto, vamos definir a solução

fundamental para o biharmônico.

Definição 2.8. A solução fundamental para o operador ∆2 _é

FN(x) =

 



CNkxk(4−N), se N 6∈ {2,4},

CNkxk(4−N)(−log(kxk), se N = 2,ou N = 4,

22 Problemas lineares

A solução fundamental cumpre ∆2_F

N(x) = 0 para todo x 6= 0 em RN e é de classe C∞_(RN _{\ {0}). Definimos a função de Green através desta solução fundamental.}

Definição 2.9. A função de Green de ∆2 _{em Ω é uma função}

GΩ : Ω×Ω\ {(x, x);x∈Ω} −→R,

tal que GΩ(x, y) = FN(kx−yk) +h(x, y) e h(x,·) é a solução do problema

     

    

∆2

yh(x, y) = 0 em Ω,

h(x, y) = −Fn(|x−y|) em ∂Ω,

∂ ∂vy

h(x, y) = ₋ ∂ ∂vy

Fn(|x−y|) em ∂Ω.

Aqui ∂

∂νyF(x, y) =

P2N

i=N+1Fi(x, y)νi(y) denota a derivada na direção normal à fron-teira deΩda função F(x,·)no pontoy. Do mesmo modo,∆yF(x, y) = P2_i=N_N+1Fii(x, y). Lembramos que o espaço Ck,γ_{(Ω) é o conjunto das funções emC}k,γ_{(Ω) tais que todas} as suas derivadas de ordem aték são Hölder-contínuas com expoente0< γ _≤1, veja [10, p. 240].

Proposição 2.10. Se Ω_⊂RN _{é um aberto limitado com fronteira C}4,γ_{, então}

GΩ ∈ C4,γ(Ω×Ω\ {(x, x);x∈Ω}).

Demonstração. Veja [12, Proposition 4.7].

Em geral é impossível determinar a função de Green de um domínio Ω arbitrário. Nas próximas subseções estudamos dois casos onde a função de Green é conhecida, a bola unitária de RN e os limaçons de Pascal.

2.2.1 A função de Green da bola unitária

B

O seguinte lema, devido a Boggio [5, p. 126], nos dá a fórmula para a função de Green deB, ondeB ⊂RN representa a bola unitária aberta de RN.

Lema 2.11. A função de Green para   

∆2_{u = f em B,}

u = ∂u

∂ν = 0 em ∂B,

2.2 A função de Green 23

é positiva, e é dada por

GN(x, y) =KN|x−y|4−N

Z [xy]

1

(ν2−1)ν1−N dν, (2.13)

onde a constante KN é positiva e depende somente de N e [xy] =

|x|y−

x

|x_|

|x₋y_| .

Demonstração. Veja [12, Lemma 2.27] e também [5, p. 126].

Note que gN(t) = (t2 −1)t1−N é uma função crescente em (0,∞), com gN(1) = 0. Defina [xy] = ||x|y−

x

|x||

|x−y| . Assim, se [xy] > 1, temos a integral que define GN calculada

sobre um intervalo onde gN é positiva e portanto

GN(x, y)>0.

Por outro lado, se 0<[xy]<1, então gN é negativa, enquanto

Z [xy]

1

gN(ν)dν =−

Z 1

[xy]

gN(ν)dν >0

e portanto GN(x, y) > 0. Por fim se [xy] = 1, a integral é nula assim como GN(x, y), e concluímos que

GN(x, y)≥0, ∀ x, y ∈B, x6=y.

2.2.2 A função de Green dos limaçons de Pascal

Considere agora a família de domínios

Ωa={(ρcosθ−a, ρsinθ); 0 ≤ρ≤1 + 2acosθ}, a ∈[0,1/2]

chamados limaçons de Pascal. Quandoa= 0temos a bola unitária de R2 e quando_a= 1

2

temos o cardióide.

O limaçon Ωa é a imagem de B pela transformação conformeηa :B −→Ωa, definida por

24 Problemas lineares

ou em coordenadas cartesianas

ηa(x1, x2) = (x1+a(x12−x22), x2+ 2ax1x2).

A função de Green emΩa é definida através de ηa,

GΩa(ηa(x), ηa(y)) =Ga(x, y),

onde Ga:B×B \ {(x, x);x∈B} −→R é dada por

Ga(x, y) =

a2_s2_r2

16π R2

r2 −1−log

R2

r2 −

a2

1₋2a2

r2

s2

R2

r2 −1

2!

, (2.14)

er=kx−yk,R= ((1−x1y1−x2y2)2+(x2y1−x1y2)2)

1

2 es= ((x

1+y1+1_a)2+(x2+y2)2)

1 2. Para uma prova de queGa define a função de Green de ∆2 em Ωa, veja [9, p. 10].

Lema 2.12. Sejam p, q ∈B, tais que p6=q e 0< a < b≤ 1 2.

• Se Ga(p, q)<0, então Gb(p, q)<0.

• Se Gb(p, q)>0, então Ga(p, q)>0.

Demonstração. Observe inicialmente que r e R não dependem de a e

s2(a) =

p1+q1+

1 a

2

+ (p2+q2)2. (2.15)

Sejam p, q _∈ B, p ₆= q tais que Ga(p, q) < 0. Trocando por constantes o que não depende de a nesta desigualdade, obtemos

a2s2(a)C

D₋ a

2

1₋2a2

1 s2_(a)E

<0, (2.16)

D < a

2

1₋2a2

1 s2_(a)E,

D E <

a2

1₋2a2

1

s2_(a), (2.17)

onde a2_s2_{(a)C foi simplificado por ser positivo.}

Denotando M(b) = b

2

1−2b2

1

s2_(b), queremos mostrar que para b > a, M(b) >

2.2 A função de Green 25

Calculando a derivada de M, obtemos

M′(a) = 2a (1−2a2₎2

1 s2_(a) +

a2

1−2a2(−2s

−3_(a)s′_(a))

= 2a

(1₋2a2₎2

2 (1₋2a2_)s4_(a)

p1 +q1+

1 a

.

Agora p, q _∈B, logo _kp_k<1, _kq_k<1 e _|p1|<1, |q1|<1. Comoa ≤ 1₂, então 1_a ≤2.

Assim

p1+q1+

1 a ≥0,

e só temos igualdade se p1 =q1 =−1. Neste caso teríamos p =q = (−1,0), mas p6= q,

logo p1 +q1+a1 ≥0.

Logo M é crescente para b∈(0,1/2]e para b > a,

M(b)> M(a)> D E.

Esta desigualdade implica Gb(p, q)<0.

Para o segundo item, se Gb(p, q)>0, procedendo como em (2.17) chegamos a

M(b)< D E.

ComoM é crescente, dado qualquer a em (0,1/2], se a < b, então

D

E > M(b)> M(a),

e concluímosGa(p, q)>0.

Teorema 2.13. Existe a0 ∈(0,1/2), tal que GΩa é positiva se, e somente se, a ≤a0.

Demonstração. Seja A = _{t _∈ [0,1/2]; a função de Green é postiva emΩt}. Pela

fór-mula de Boggio 0 ∈ A, enquanto pelo Lema 2.12 A é um intervalo fechado. De fato, se

t _∈ A, então dados p, q _∈ B, p =₆ q, vale Gt(p, q) >0. Se s < t, aplicando o Lema 2.16,

Gs(p, q)>0, e assim s∈A, provando queA é um intervalo.

Por outro lado, W = [0,1/2]\Aé aberto em[0,1/2]. Set∈W, então existe p, q ∈B, com p₆=q tais que Gt(p, q)<0. Se s > t, então novamente pelo Lema 2.12 Gs(p, q)<0, es∈W. Como M é contínua, como na demonstração do Lema 2.12 temos

26 Problemas lineares

logo existe ε > 0, tal que em (t₋ε, t+ε) ainda temos M(s)> D

E. Logo (t−ε, t+ε)∩ [0,1/2]⊂W, eW é um aberto. Consequentemente A é fechado.

Definindo

a0 = supA

temos então A= [0, a0],W = (a0,1/2].

Tomandop0 = (0.3,0.9), q0 = (0.3,−0.9)∈B verifica-se que

R2

r2 −1−log

R2

r2

− r

2

2s2

R2

r2 −1

2

<0,

na verdade, aproximadamente −4.74233, assim G1

2(p0, q0) < 0 e

1

2 ∈ W. Vemos então

que a0 <

1

2 e existe um intervalo onde a função de Green de Ωa muda de sinal.

Para uma prova de que a função de Green em Ωa é não-negativa para a ∈

0,√6/6

e muda de sinal em √6/6,1/2; veja [9, Theorem 3].

2.3 A condição de Navier

Para a condição de Navier consideramos o problema (2.3) com f _∈L2_(Ω).

Teorema 2.14. SeΩ_⊂RN _{é um aberto limitado com fronteira de classe C}2 _{ef ∈L}2_(Ω),

então existe uma única solução fraca de (2.3).

Demonstração. As soluções fracas de (2.3) são os pontos críticos do funcionalJ :H2_(Ω)∩

H1

0(Ω)−→R definido por

J(u) = Z

Ω

1 2(∆u)

2_{−f u}

dx, u∈H2(Ω)∩H01(Ω).

Este funcional é bem definido para f _∈L2_{(Ω), e pelo Teorema A.13, as hipóteses em}

Ω nos dão

J(u) = 1 2kuk

2

−

Z

Ω

f u dx.

Novamente temos a desigualdade

J(u)_≥ 1 2kuk

2

− kf_k2kuk,

2.3 A condição de Navier 27

H1

0(Ω). Pelo Teorema C.4 temos a existência de um ponto mínimo global, que é ponto

crítico de J, poisJ _{∈ C}1_(H2_(Ω)∩H1 0(Ω)).

Nesta definição de solução fraca não está inclusa a condição ∆u = 0 na fronteira de

Ω. Ela pode ser verificada reescrevendo (2.3) em forma de um sistema de equações de segunda ordem:

  

−∆u=w, −∆w=f em Ω,

u=w= 0 em ∂Ω. (2.18)

Se f _∈L2_{(Ω), então existe uma única solução fraca para o problema}

  

−∆w = f em Ω,

w = 0 em ∂Ω,

isto é,w∈H1 0(Ω) e

Z

Ω

(Dw Dv₋f v)dx= 0, _∀ v _∈H₀1(Ω);

veja por exemplo [4].

Agora novamente, como H1

0(Ω) está imerso em L2(Ω), w∈L2(Ω) e existe uma única

solução fracau0 ∈H01(Ω) para o segundo problema

  

−∆u0 = w em Ω

u0 = 0 em ∂Ω.

Assim existe uma solução(u0, w)∈H01(Ω)×H01(Ω)para o sistema (2.18), que

chamare-mos de solução de sistema para (2.3). Como ∂Ω é de classe C2_{, por [2, Theorem 1.1]}

u0 ∈H2(Ω). Podemos calcular

Z

Ω

f v dx = Z

Ω

Dw Dv dx=

N

X

i=1

Z

Ω

wivi dx

= ₋ Z

Ω

wXvii dx=

Z

Ω

28 Problemas lineares

onde foi usada a definição de derivada fraca. Novamente

Z

Ω

w(−∆v) dx = Z

Ω

D(u0) D(−∆v)dx=

N

X

i=1

Z

Ω

(uo)i(−∆v)i dx

= − N

X

i=1

Z

Ω

(u0)ii(−∆v)dx =

Z

Ω

∆u0 ∆v dx, (2.20)

com as igualdades (2.19) e (2.20) valendo para todo v _{∈ C}∞

c (Ω). Mas então u0 é uma

solução fraca, e pela unicidade do Teorema 2.4, u0 =u.

Mas−∆u0 =w∈H01(Ω), logo no sentido do traço u0 cumpre −∆u0 = 0 em ∂Ω.

A decomposição em sistema também é interessante para mostrar que o problema (2.3) preserva positividade. De fato, sejam f ∈ L2(Ω), f ≥ 0 e (u0, w) ∈ (H2(Ω)∩H01(Ω))×

(H2_(Ω)∩H1

0(Ω)) a solução de sistema de (2.3), aplicando o Corolário A.19,w ≥0 em Ω,

outra aplicação do Corolário A.19 dá u_≥0 em Ω.

2.4 A condição de Steklov

Nesta seção consideramos o seguinte problema com condição de contorno homogênea no aberto Ω_⊂RN

  

∆2_{u = f em Ω,}

u = ∆u−a∂u

∂ν = 0 em ∂Ω,

(2.21)

onde f : Ω−→R e_{a :∂Ω−→}R são funções conhecidas.

O teorema a seguir, [12, Theorem 5.22], é o principal resultado desta seção.

Teorema 2.15. Sejam Ω⊂RN _{um aberto limitado com fronteira C}2_{, N ≥2e b :∂Ω−→} R _{contínua e não-negativa. Então existem δ1,b ∈}R_{, δc,b ∈}R_{∪ {−∞}, com δc,b <0< δ1,b,}

tais que para toda a :∂Ω_−→R _contínua:

1. Se a _≥ δ1,bb, f ≥ 0, f 6= 0 em L2(Ω), então não existe solução fraca não-negativa de (2.21).

2. Se a=δ1,bb, então (2.21) com f = 0 admite uma solução fraca u1,b positiva em Ω, tal

que ₋∆u1,b >0 em Ω e

∂u1,b

∂ν <0 em ∂Ω. A menos de múltiplos, u1,b é única.

3. Se a_≤δ1,bb, mas a=6 δ1,bb, então para toda f ∈L2(Ω) existe uma única solução fraca

de (2.21). Além disso:

2.4 A condição de Steklov 29

(b) Se a > δc,bb e f ≥ 0, f 6= 0, então existe cf > 0, tal que u(x) ≥ cfdist(x, ∂Ω).

Além disso, ₋∆u_≥0 em Ω se, e somente se, a_≥0 em ∂Ω.

(c) Se a < δc,bb, então existe f ∈ L2(Ω), f ≥ 0, f 6= 0, tal que a solução u de (2.21)

não é não-negativa.

Para provar o Teorema 2.15 precisaremos do Lema 2.16.

Lema 2.16. Dada a : ∂Ω _−→ R _{contínua, a ≤ δ1,bb, a6= δ1,bb, existe ε >0 tal que para}

toda u∈H2_(Ω)∩H1 0(Ω),

Z

Ω

(∆u)2 dx−

Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2

dS ≥ε Z

Ω

(∆u)2 dx. (2.22)

Demonstração. Observe que para todau_∈H2_(Ω)∩H1

0(Ω), temos

Z

Ω

(∆u)2 dx_≥δ1,b

Z ∂Ω b ∂u ∂ν 2 dS, isto é, Z Ω

(∆u)2 dx₋ Z

∂Ω

δ1,bb

∂u ∂ν

2

dS _≥0. (2.23)

Primeiramente observe que (2.22) é trivialmente satisfeita com ε= 1 no caso em que

a≤0em ∂Ω.

No caso em que a < δ1,bb e existe x0 ∈∂Ω tal que 0< a(x0), tome

ε= min{δ1,bb(x)−a(x);x∈∂Ω} max_{δ1,bb(x);x∈∂Ω}

>0.

Observe que ε < 1, pois δ1,bb(x0)−a(x0) < δ1,bb(x0). Observe também que para todo

x_∈∂Ω, δ1,bb(x)−a(x)≥εδ1,bb(x), ou seja, a≤(1−ε)δ1,bb. Assim

Z

Ω

(∆u)2dx−

Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2

dS =ε Z

Ω

(∆u)2dx+ (1−ε) Z

Ω

(∆u)2dx−

Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2 dS ≥ε Z Ω

(∆u)2dx+ (1−ε) Z

Ω

(∆u)2dx−

Z

∂Ω

(1−ε)δ1,bb

∂u ∂ν 2 dS =ε Z Ω

(∆u)2dx+ (1₋ε) Z

Ω

(∆u)2dx₋ Z

∂Ω

δ1,bb

∂u ∂ν 2 dS ! ≥ε Z Ω

(∆u)2dx. (2.24)

30 Problemas lineares

Definaeb = 1 2

b+ a

+

δ1,b

. Assimeb:∂Ω_−→R é contínua, não-negativa,

e_b= 1 2b+

1 2

a+

δ1,b ≤

1 2b+

1

2b=b em ∂Ω

e

eb(x1) =

1

2b(x1) + 1 2

a(x1)

δ1,b

< b(x1).

Aplicando a primeira parte do Lema 2.25, existemu1, u2 ∈H2(Ω)∩H01(Ω) tais que

u1 = min

u∈H2_(Ω)∩H1 0

Jb(u), u2 = min

u∈H2_(Ω)∩H1 0

J_eb(u).

Temos ainda

δ1,b=Jb(u1)≤Jb(u2)< Jeb(u2) =δ1,eb.

Colocando ε = 1₋ δ1,b δ_1,eb

>0, temos

a≤a+ =δ1,b(2eb−b)≤δ1,beb = (1−ε)δ_1,ebeb. (2.25)

Por fim,

Z

Ω

(∆u)2dx₋ Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2

dS =ε Z

Ω

(∆u)2dx+ (1₋ε) Z

Ω

(∆u)2dx₋ Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2 dS ≥ε Z Ω

(∆u)2dx+ (1−ε) Z

Ω

(∆u)2dx−

Z

∂Ω

δ_1,ebeb

∂u ∂ν 2 dS ! ≥ε Z Ω

(∆u)2dx. (2.26)

Consideremos agora o último caso, isto é, quando a+ _{= δ}

1,bb e a− 6= 0. Neste caso temoseb= 1

2(b+b) =b. Vamos substituirJb por

Ja− b (u) =

R

Ω(∆u)

2_dx+R

∂Ωa − ∂u

∂ν

2

dS R

∂Ωb

∂u ∂ν

2

dS .

Definindo δ₁a,b− para Ja

−

b como em (2.44), o mesmo argumento mostra que existe ua

− 1,b ∈

H2_∩H1

0(Ω) que minimiza Ja −

b . Temos então

δa−

1,b =J a− b (u

a−

1,b)≥Jb(ua

−

1,b)≥Jb(u−1, b) =δ1,b.

Como ∂u1,b

∂ν 6= 0 em ∂Ω, se u

a−

2.4 A condição de Steklov 31

outro lado, se não existir λ_∈ R_{\ {0}} tal que _ua−

1,b =λu1,b, então a segunda desigualdade é estrita, poisδ1,b é simples; veja o Lema 2.25. Em qualquer caso,δa

−

1,b > δ1,b. Tome então

ε= 1₋ δ1,b δa− 1,b

, (2.27)

e observe que0< ε < 1. Assim,

Z

Ω|

∆u|2_dx−

Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2 dS = Z Ω|

∆u|2_dx+

Z ∂Ω a− ∂u ∂ν 2 dS− Z ∂Ω

δ1,bb

∂u ∂ν 2 dS ≥ Z Ω|

∆u|2_{dx+ (1−ε)}

Z

Ω|

∆u|2_dx+

Z ∂Ω a− ∂u ∂ν 2 dS − Z ∂Ω

δa−

1,bb

∂u ∂ν 2 dS ! ≥ε Z Ω|

∆u_|2dx. (2.28)

Prova do Teorema 2.15. Seja Ω⊂RN um aberto limitado com fronteira _C2,_{N ≥2}.

Prova do item 1. Sejam a > δ1,bb, δ1,b definido em (2.44), f ∈ L2(Ω), f ≥ 0, f 6= 0, suponha que u ∈ H2_(Ω)∩H1

0(Ω) é uma solução fraca de (2.21), u ≥ 0, tome v = u1,b minimizador deJb. Temos

0< Z

Ω

f u1,b dx=

Z

Ω

∆u ∆u1,b dx−

Z

∂Ω

a∂u ∂ν

∂u1,b

∂ν dS

≤

Z

Ω

∆u∆u1,b dx−

Z

∂Ω

δ1,bb

∂u ∂ν

∂u1,b

∂ν dS = 0,

contradição. Note que a primeira igualdade vem da positividade de u1,b no item 2, e a última porque u1,b é solução fraca de (2.21) comf = 0 e a=δ1,bb.

Prova do item 2. Será provado no Lema 2.25.

Prova do item3. Vamos empregar o Teorema C.4 e o Lema 2.16. De fato, comoa≤δ1,bb,

a6=δ1,bb, existe ε >0, tal que

Z

Ω

(∆u)2dx₋ Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2

dS _≥ε Z

Ω

32 Problemas lineares

para todau_∈H2_(Ω)∩H1

0(Ω). Assim, pela Desigualdade de Hölder (Teorema A.2)

J(u) _≥ ε Z

Ω

(∆u)2dx₋C_kf_k2kuk2 =εkuk2−Ckfk2kuk, (2.29)

pelo Teorema A.13. A desigualdade (2.29) nos permite concluir que J é coercivo. O funcional J é de classe C1_{, pelos Exemplos B.16 e B.17. Para aplicar o Teorema C.4,}

vamos mostrar que J é semicontínuo inferiormente por sequências na topologia fraca. Para isso precisaremos da compacidade do operador traço T.

Seja (uk) ∈H2(Ω)∩H01(Ω), tal que uk ⇀ u ∈H2(Ω)∩H01(Ω), pela Proposição B.4,

sabemos que

lim inf

k→∞ kukk

2 _{≥ kuk}2_.

Como o operador traço é compacto [1] e (uk) é limitada em H2(Ω)∩H₀1(Ω), existe uma subsequência ainda denotada (uk) tal que

1_≤i_≤N =_⇒T ∂uk ∂xi −→T ∂u ∂xi

em L2(∂Ω).

Assim, ∂uk ∂ν = N X i=1 T ∂uk ∂xi

νi −→

∂u ∂ν em L

2_(∂Ω),

e como a_{∈ C}(∂Ω),

Z ∂Ω a ∂u ∂ν 2

dS = lim

k→∞ Z ∂Ω a ∂uk ∂ν 2 dS, (2.30)

pois a limitado, implica

Z

∂Ω

a(·)dS é funcional linear contínuo em L1_{(∂Ω). Por fim,}

lim inf

k→∞ J(uk) = lim infk→∞

Z

Ω

(∆uk)2dx−lim inf k→∞ Z ∂Ω a ∂uk ∂ν 2

dS₋lim inf

k→∞

Z

Ω

f uk dx

≥ lim inf

k→∞ kukk 2 − Z Ω a ∂u ∂ν 2

dS₋ lim

k→∞

Z

Ω

f uk dx≥J(u). (2.31)

Pelo Teorema C.4, existe um ponto crítico de J, solução de (2.4). Para provar a unicidade, sejam u, v _∈H2_(Ω)∩H1

0(Ω) duas soluções fracas de (2.4), temos

Z

Ω

(∆(u₋v))2dx₋ Z

∂Ω

a

∂(u₋v) ∂ν

2

2.4 A condição de Steklov 33

Mas w=u₋v _∈H2_(Ω)∩H1

0(Ω), logo usando (2.23) e a < δ1,bb, temos

Z

Ω

(∆(w))2dx₋ Z

∂Ω

a

∂(w) ∂ν

2

dS _≥ Z

Ω

(∆(w))2dx₋ Z

∂Ω

δ1,bb

∂(w)

∂ν 2

dS >0,

sew₆=λu1,b, para todo λ∈R\ {0}.

Por outro lado, se w=λu1,b, λ 6= 0, então

Z

Ω

(∆(w))2dx= Z

∂Ω

δ1,bb

∂(w)

∂ν 2

dS

e _Z

∂Ω

(δ1,bb−a)

∂(w)

∂ν 2

dS =λ2 Z

∂Ω

(δ1,bb−a)

∂u1,b

∂ν 2

dS >0,

poisa < δ1,bb em um conjunto aberto em ∂Ω, e pelo item 2,

∂u1,b

∂ν 6= 0 em todo o bordo.

Mas isto é uma contradição e portantow= 0, ou u=v.

Para provar o item 3.(a), sejam

A=_{s _∈R_{; ∀ f ∈L}2_{(Ω),∀ a∈ C(∂Ω),}

se a≥sb, f ≥0 e existe usolução de (2.4), então u≥0 em Ω},

e tome δc,b = infA. Note que 0 ∈ A, pois se u ∈ H2(Ω)∩H01(Ω) é solução de (2.4) e

f ≥ 0, a ≥ 0, então decompondo (2.4) como sistema, o princípio do máximo (Corolário A.19) nos dá

−∆u_≥inf

∂Ω(−∆u)≥0.

Logo como u= 0 em ∂Ω, outra aplicação do princípio do máximo leva a

u≥inf

∂Ωu= 0.

Por outro lado, se s ∈ A e δ1,b > t > s, então claramente t ∈ A, pois se a ≥ tb > sb e

f _≥0, então a solução u é não-negativa e t_∈A. Dessa forma,

A⊃(δc,b, δ1,b),

onde o ínfimo é tomado como sendo −∞, se A não é limitado inferiormente.

Pela definição de δc,b, a < δc,bb implica a existência de f ∈L2(Ω), f ≥0, f 6= 0, com a solução de (2.4)u6>0, o que prova o item(c).