1 Princípio do Máximo

1 Princípio do Máximo

Esse conteúdo foi desenvolvido por Pontryagin et al (1962). Começaremos estudando os casos mais simples para esse problema, sem nos preocuparmos com algumas questões relacionados a regularidade. Começaremos apresentando um problema simples de controle ótimo e usaremos o princípio do máximo para solucioná-lo:

V = Z T

0

V(s(t), c(t), t)dt (1)

s.a

˙

s=f(s(t), c(t), t) (2)

s(0) =s0 e s(t) =st (3)

Normalmente a variável que está na restrição exposta por uma equação diferencial é denominada a variável de estado. Em outras palavras, representa o quanto essa variável em particular oscila de acordo com uma variação no tempo. Para o nosso exemplo a variável de controle (ou escolha) é c(t). Temos também quet denota o horizonte temporal. Como nos problemas de otimização estática, usaremos uma variável denominada de coestado π(t)que terá um funcionamento similar (ou análogo ao nosso multiplicador de Lagrange. Desse modo, construiremos uma função chamada de Hamiltoniano, para o problema expresso pelas equações de (1) a (3).

H(s(t), c(t), π(t), t) =V(s(t), c(t), t) +π(t)f(s(t), c(t), t) (4)

Teorema:

Uma solução ótima para o problema naterior é a tripla (s(t), c(t), π(t)) que deve satisfazer as seguintes condições:

(i) c(t) maximiza H(s(t), c(t), π(t)), tal que:

∂H

∂c(t)= 0; (5)

(ii) As variáveis de estado e coestado satisfazem o par de equações diferenciais:

˙ s= ∂H

∂π(t) (6)

˙

π=− ∂H

∂s(t) (7)

Com as condições “terminais” expressas em (3) usando a definições de Hamiltoniano (4) e as equações (5)-(7) teremos:

∂V

∂c(t)+π(t) ∂f

∂c(t)= 0 (8)

˙

s(t) =f(s(t), c(t), t) (9)

˙

π(t) =− ∂V

∂s(t)−π(t) ∂f

∂s(t) (10)

1.1 Derivação das Condições de Primeira Ordem

Temos o seguinte problema de maximização intertemporal:

maxct

V(0) = Z T

0

u(c_t, k_t, t)dt

s.a.

(a) ˙k_t=g[k, c_t, t]

(b)k₀ (condição inicial)

(c)k_Te^−¯rTT ≥0

A condição(c)indica a quantidade de capital deixada no último momento é positiva ou zero.

V(0) →Função valor emt= 0

¯

r_T →taxa de desconto k˙_t →variável de estado c_t →variável de controle

Imagine que os multiplicadores de Lagrange pudessem ser utilizados para solucionarmos o problema de maxi- mização anterior:

L= Z T

0

u(c_t, k_t, t)dt+ Z T

0

[λ_t(g[k_t, c_t, t]−k_t)]dt+ψk˙ _Te^−¯r^T_T

λ_té o multiplicador associado com 1.aeψo multiplicador associado com 1.c. Se tivéssemos o Lagrangeano convencional, tomaríamos as derivadas parciais e igualaríamos a zero. O problema surgirá quando for necessário tomar a derivada de ˙k_t em relação a k_t. Um modo mais simples de solucionar este problema é integrar por partesRT

0 v_tk_tdt:

∂kv

∂t = ˙kv+ ˙vk Se integrarmos ambos os lados dessa expressão encontramos

Z T

0

∂kv

∂t = Z T

0

kvdt˙ + Z T

0

˙ vkdt

Z T

0

∂kv

∂t =k_Tv_T−k₀v₀

Rearranjando a expressão anterior:

k_Tv_T−k₀v₀− Z T

0

˙ vkdt=

Z T

0

kvdt˙ Então o Lagrangeano toma a seguinte forma:

L= Z T

0

(u(c_t, k_t, t) +λ_tg[k_t, c_t, t])dt−k_Tλ_T+k₀λ₀+ Z T

0

λ˙_tk_tdt+ψk_Te^−rTT

Definindo H(c_t, k_t, t) =u(c_t, k_t, t) +λ_tg[k_t, c_t, t]

L= Z T

0

[H(c_t, k_t, t) + ˙λ_tk_t]dt−k_Tλ_T+k₀λ₀+ψk_Te^−rTT As CPOs:

∂H

∂c =∂u

∂c+λ∂g

∂c = 0

∂H

∂k =∂u

∂k+λ∂g

∂k+ ˙λ= 0

∂H

∂k =− ˙ λ=∂u

∂k+λ∂g

∂k

∂L

∂k_T =−λ_T+ψe^−rTT = 0

λ_T =ψe^−rTT A condição de folga do Kuhn-Tucker nos diz que

k_Tλ_T = 0

k_Tψe^−rTT = 0

λ_Tk_T = 0

No instante T o valor do capital é igual a zero, porque seu preço sombra vale zero λ_{T .} Para o horizonte infinito a derivação é análoga trocando T por ∞. No entanto a condição de folga de Kuhn-Tucker deve ser substituída por

t→∞limλ_tk_t= 0

1.2 Alguns exemplos de aplicação do teorema

Veremos um exemplo numérico para apresentarmos o princípio do máximo:

V = Z 1

0

ln[64s]dt s.a s˙= 4s(1−c)

com s(0) = 1 e s(1) =e²

H(s, c, π) =ln4cs+π[4s(1−c)]

∂H

∂c = 1

4cs4s−4sπ= 0 (11)

∂H

∂s =−π˙ = 1

4cs4c+π4 (1−c) (12)

∂H

∂π = ˙s= 4s(1−c) (13)

Por (11) teremos que c=_4πs¹ substituindo esse resultado nas outras equações obteremos:

π˙ =−1 s−4π

1− 1

4πs

(14)

s˙= 4s

1− 1 4πs

(15) simplificando a equação (14) teremos:

˙ π=−1

s−4π

4πs−1 4πs

π˙ =−1 s−4πs

s +1 s

˙

π=−4π 14⁰ integrando (14’) teremos:

Z ∂π

∂t

∂t π =−4

Z dt

lnπ=−4t

π=ce^−4t (15)

π(t) =π(0)e^−4t Então teremos

˙

s= 4s−1 π

˙

s= 4s− e^4t π(0)

˙

s= 4s=− e^4t π(0)

a(t) =−4

b(t) =− e^4t π(0)

Passe todos os termos de spara o lado esquerdo e multiplique pelo fator integrantee^−4t:

˙

se^−4t−4se^−4t= 1 π(0) Note que a derivada dese^−4té:

˙

se^−4t−4se^−4t Portanto a integral da expressão acima deve ser:

se^−4t

se^−4t= −t π(0)+c

−t π(0)+c=

Z 1 π(0)dt sabemos que s(0) = 1

se⁻⁴⁽⁰⁾=− 0

π(0)+c= 1

1 =c

s(1) =e²

s(1) = 2⁴

− 1 π(0)+ 1

e⁻²= 1 + 1 π(0) Temos que :

1

e²−1 = 1 π(0)

π(0) = 1

e⁻²−1 ≈1.156

s=e^4t−0,865te^4t Sabemos que

c(t) = 1

4πs= 1

4.62−4t

V = Z 1

0

ln(4cs)dt

= Z 1

0

ln 4

4πss

dt

= Z 1

0

ln 1

π(0)e^−4t

dt

V = Z 1

0

[ln(0.865) + 4t]dt=

tln(0,865) + 2t²¹

0≈1.855 Exemplo.

Consumo ótimo com fator de desconto.

Desejamos maximizar

V = Z T

e^−δtlnc(t)dt s.a s˙(t) =rs−c(t)

s(0) =s0 e s(T) =sT Teremos que:

H(s(t), c(t), t) =e^−δtlnc(t) +π(t) [rs(t)−c(t)]

∂H

∂c =e^−δt1

c−π= 0 (16)

∂H

∂s =−rπ= ˙π (17)

∂H

∂π =rs(t)−c(t) = ˙s (18)

Usaremos a equação (17) para encontrarmos uma solução geral paraπ:

Z ∂π

∂t 1 π=

Z

−rdt

lnπ=−rt+c₁

π=c₁e^−rt (19)

c₁=π(0) Usando (19) em (16) teremos

e^−δt

c =π(0)e^−rt

e^+t(r−δ)π(0)⁻¹=c(t) = (5) Em (18)

˙

s=rs−e^t(r−δ)(π(0))⁻¹

s˙−rs=−e^t(r−δ)(π(0))⁻¹

˙

se^−st−e^−rtrs=−(π(0))⁻¹e^−tδ

se^−st= e^−δt δπ(0)+A Usando as condições iniciais teremos:

s(0) =s0 s0 =A+ (π(0))⁻¹

s(T) =sT sT=Ae^rT+e^(r−δ)T Sπ(0)

A=sT e^−rT−s0e^−δT 1−e^δT

Para não termos valores negativos para o consumo, é necessário que

s0e^rT > sT

Exemplo. Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans de crescimento usando uma função de utilidade da família CARA.

u(c_t) =−(1 α)e^−αct

max u₀= Z ∞

0

u(c_t)e^−θtdt

s.a.

k˙ =f(k_t)−c_t−nk_t

H_t=u(c_t)e^−θt+µ_t[f(k_t)−nk_t−c_t]

Fazendo λ_t=µ_te^θt

H_t= [u(c_t) +λ_t(f(k_t)−nk_t−c_t)]e^−θt

H_c= (−1

α)e^−αc(−α)e^−θt(−λ_t)e^−θt= 0 e^−αc=λ_t (1)

λ_t=µ_te^θt

(derivando em rela¸c˜ao ao tempo)

λ˙ = ˙µe^θt+µθe^θt

→Utilizando a condição do hamiltoniano

˙

µ=−H_k

˙

µ=e^−θtλ_t[f⁰(k_t)−n]

→Substituindo na equação de ˙λ

λ˙ =e^−θtλ_t[−f⁰(k_t) +n]e^θt+ (λ_t e^θt)θe^θt λ˙ =λ_t[−f⁰(k_t) +n] +λ_tθ λ˙ =λ_t[θ+n−f⁰(k_t)] (2)

11) Controle ótimo:

→Condição de transversalidade

k→∞limktu⁰(ct)e^−θt= 0 (3)

→Combinando as equações (1) e (2) para eliminar a variável de co-estadoλt

→Derivando a equação (1) em relação ao tempo

e^−αc=λ_t (1)

−αce˙ ^−αc= ˙λt (1⁰)

→Substituindo estas relações na equação (2)

−αce˙ ^−αc=e^−αc[θ+n−f⁰(k_t)] (2⁰)

→BOX→Elasticidade de substituição

σ(c_t) =−u⁰(c_s)/u⁰(c_t) c_s/c_t

∂[u⁰(c_s)/u⁰(c_t)]

∂[(c_s/c_t)]

⁻¹

Se tomarmos o limite da expressão acima, comosconverge parat teremos:

σ(c_t) =−u⁰(c_t) u⁰⁰(c_t)c_t

→Utilizando esta relação em (2⁰), no entanto devemos primeiramente multiplicar a equação por _c¹

t:

−α˙ce^−αc1

c_t=e^−αc1

c_t[θ+n−f⁰(k_t)]

˙ c

c_t = e^−αc

−αe^−αcc_t(−[f⁰(k_t)−θ−n]) (2⁰⁰)

˙ c

c_t =σ(c_t)[f⁰(k_t)−θ−n]

11) A partir da equação (2⁰⁰) podemos fazer algumas simplificações:

˙ c

c_t= e^−αc

−αe^−αcc_t(−[f⁰(k_t)−θ−n])

˙ cc_t

c_t = e^−αc

e^−αc(−α)(−[f⁰(k_t)−θ−n])

˙

c=α⁻¹[f⁰(k_t)−θ−n]

→Esta é a equação de Euler.

1.2.1

Diagrama de Fase (problemas de controle ótimo)

Vejamos um exemplo simples de controle ótimo.

M ax V = Z T

0

e^−0,05tlnc dt

s.a

˙

s= 2s^0,5−c

s(0) =s0, s(T) =sT

*Obs: Não colocarei as variáveis dependentes do tempo na forma c(t). Escreverei apenasc.

Teremos que:

H(s, c, π, t) =e^−0,05tlnc+π

2s^0,5−c

∂H

∂c =e^−0,05tc⁻¹−π= 0 (20)

∂H

∂s =−π˙ =s^−0,5π (21)

∂H

∂π = 2s^0,5−c= ˙s (22)

Nesse caso não conseguiremos solucionar πpor (21). Devemos diferenciar a equação (20) em relação ao tempo.

−e^−0,05tcc˙ ⁻²−0,05e^−0,05tc= ˙π

−e^−0,05t c˙

c²+0,05 c

= ˙π

−e^−0,05t c˙

c²+0,05 c

=−πs^−0,5 (usando(21))

P or(20) π=e^−0,05t c

−e^−0,05 c˙

c²+0,05 c

=−e^−0,05t c s^−0,5

− c˙

c²+q^0,5

=−s^−0,5

+˙ + 0,05c= +cs˙ ^−0,5c

+ ˙c=c

s⁻¹²−0,05

(23) Agora podemos analisar o diagrama de fase no espaço (s, c).

Primeiramente analisaremos o locus de pontos onde ˙c= 0 e s˙= 0.

˙

s= 0→c= 2s^0,5

Note quec= 2s^0,5é uma função côncava e crescente ems.Essa curva sai da origem, e possui uma inclinação infinitamente grande. (ses= 0 entãoc= 0).

Já a equação ˙c= 0 nos indica que sec= 0,s= 400. Esses locus críticos dividem nosso quadrante positivo em quatro regiões ou iso setores.

Na região I c <2s^0,5 então ˙s >0. Comoc >0 e s <400 isso implica que ˙c >0. na região II ainda temos c <2s^0,5; desse modo, ˙s >0. e s >400 então ˙c <0. A região III está acima da curva c= 2s^0,5 então ˙s <0,

˙

s <400 e ˙c <0.

Na região IV ˙s <0 e ˙c >0.