Análise Comparativa de Modelos Computacionais de Linhas de
Transmissão em Programas baseados no EMTP
Celso Ferraz de Araújo Neto
Pedro França Sardinha
ii
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ
INSTITUTO DE SISTEMAS ELÉTRICOS E ENERGIA
Celso Ferraz de Araújo Neto
Pedro França Sardinha
Análise Comparativa de Modelos Computacionais de Linhas de
Transmissão em Programas baseados no EMTP
Monografia apresentada ao Instituto de
Sistemas
Elétricos
e
Energia,
da
Universidade Federal de Itajubá, como
parte dos requisitos para obtenção do título
de Engenheiro Eletricista.
Orientador: Prof. Ph.D. Benedito Donizeti Bonatto
Coorientador: Prof. MSc. José Carlos Goulart de
Siqueira
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Dedicatória
Dedicamos este Trabalho Final de Graduação as nossas famílias, aos amigos, aos nossos professores e a todos envolvidos direta ou indiretamente na nossa formação acadêmica.
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Agradecimentos
Celso:
Primeiramente, agradeço aos meus pais, Celso e Maria Marta, à minha irmã Maísa e a minha prima Paula pelo imenso apoio dado ao longo da minha formação acadêmica. Agradeço, também, ao professor Benedito Donizeti Bonatto por toda a sua dedicação e ajuda para que fosse possível o término deste trabalho
Pedro:
Agradeço aos meus pais, Hamilton e Maria José, ao meu irmão Thiago, a minha família e aos meus amigos da cidade de Resende e da UNIFEI por todo apoio e incentivo durante minha trajetória na faculdade. Ao nosso orientador professor Benedito Donizeti Bonatto e ao nosso coorientador professor José Carlos Goulart de Siqueira pela sua dedicação e direcionamento nos ajudando sempre que surgia um obstáculo no decorrer deste trabalho.
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Resumo
Este trabalho apresenta estudos para desenvolvimento de uma metodologia de comparação no domínio do tempo entre diferentes modelos de linhas de transmissão na ocorrência de diferentes transitórios eletromagnéticos, baseado nos dados do software de cálculo de transitórios eletromagnéticos, o ATPDraw. A partir das simulações e resultados obtidos tornar-se-á possível a análise das eventuais restrições e limitações dos modelos baseados no EMTP e oportunidades para desenvolvimento de melhorias nos modelos de linhas de transmissão existentes. O estudo de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão mostra-se de extrema importância, pois, apesar da curta duração do período transitório, o sistema deve ser capaz de suportar as elevadas tensões e correntes solicitadas
Palavras chave: EMTP, Transitórios Eletromagnéticos, Linhas de Transmissão, Modelagem
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Abstract
This paper presents studies for developing a methodology for comparison in time domain of different transmission lines models in the occurrence of electromagnetic transients, based in the data of simulations in the software ATPDraw. After obtaining the results of the simulations, it has become possible the analysis of the possible restrictions and limitations of each models based on EMTP and the opportunities for developing improvements in the existing transmission line models. The study of electromagnetic transients is of extreme importance because, in spite of the short duration of the transient period, the system must be able to support elevated voltages and currents.
Key words: EMTP, Electromagnetic Transients, Transmission Lines, Computational Modeling
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Lista de Figuras
Figura 1.1: Linhas de transmissão aéreas ... 15
Figura 2.1: Elemento de comprimento ∆𝑥 da linha de transmissão ... 17
Figura 2.2: Modelo de Bergeron da LT ... 20
Figura 2.3: Circuito PI nominal ... 21
Figura 2.4: Circuito PI equivalente ... 22
Figura 2.5: Comparação entre a extensão da LT e do comprimento de onda ... 23
Figura 2.6: Integração trapezoidal ... 26
Figura 2.7: Método de Backward Euler... 27
Figura 2.8: Possíveis faltas shunts ... 28
Figura 2.9: Representação Faltas Série... 29
Figura 3.1: Dimensões da torre de transmissão ... 31
Figura 3.2: Linha de transmissão submetida à um curto-circuito monofásico ... 32
Figura 3.3: Tensão no terminal A no modelo de Bergeron ... 32
Figura 3.4: Corrente de curto-circuito monofásico no modelo de Bergeron ... 33
Figura 3.5: Tensão na fase C na ocorrência de curto-circuito monofásico no modelo de Bergeron. ... 33
Figura 3.6: Corrente de curto-circuito monofásico no modelo PI ... 34
Figura 3.7: Modelo PI amplificado... 35
Figura 3.8: Corrente de curto-circuito monofásico simulado no Microtran ... 36
Figura 3.9: Tensão na fase C na ocorrência de curto-circuito na fase A monofásico no modelo PI. ... 37
Figura 3.10: Corrente de curto-circuito monofásico no modelo de J Martí ... 38
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Figura 3.12: Linha de transmissão submetida à uma falta trifásica... 39
Figura 3.13: Comparação entre a corrente modelo de Bergeron e J Marti ... 40
Figura 3.14: Modelo de Pi para falta trifásica ... 40
Figura 3.15: Oscilação numérica ampliada ... 41
Figura 3.16: Corrente da fase A simulado no Microtran ... 41
Figura 3.17: Linha de transmissão submetida a uma entrada de banco de capacitores ... 43
Figura 3.18: Corrente da fase A no modelo Bergeron ... 43
Figura 3.19: Corrente da fase A no modelo J Martí ... 44
Figura 3.20: Corrente da fase A no modelo PI ... 44
Figura 3.21: Oscilação numérica da entrada de banco de capacitores ampliada. ... 45
Figura 3.22: Corrente da fase A pelo modelo PI no Microtran ... 46
Figura 3.23: Modelo de energização da linha de transmissão ... 46
Figura 3.24: Tensão na fase A no modelo de Bergeron ... 47
Figura 3.25: Tensão na fase A no modelo de PI ... 47
Figura 3.26: Tensão na fase A no modelo de J. Martí ... 48
Figura 3.27: Circuito para simulação da falta série ... 48
Figura 3.28: Tensão na Fase C no Modelo de Bergeron ... 49
Figura 3.29: Tensão na fase C no Modelo PI ... 49
Figura 3.30: Tensão na fase C no Modelo J. Marti ... 50
Figura 4.1: Correntes de Curto Circuito Monofásico para cada um dos modelos... 51
Figura 4.2: Tensão na fase afetada para um curto circuito monofásico à terra ... 52
Figura 4.3: Tensão nas fases sadias ... 52
Figura 4.4: Comparação dos resultados dos três modelos ... 53
Figura 4.5: Comparação dos modelos para entrada de banco de capacitores ... 54
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x
Lista de Tabelas
Tabela 1: Classificação de Linhas de Transmissão em 60 Hz [1] 16
Tabela 2: Parâmetros dos bancos de capacitores 42
Tabela 3: Precisão dos modelos em relação a tensão das fases sadias no software ATPDraw 56 Tabela 4: Precisão dos modelos em relação a corrente no software ATPDraw 56
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Lista de Símbolos
Constante matemática com valor aproximado de 3,1415926535 ∆𝑥 Medida infinitesimal de distância
𝜕
𝜕𝑥 Derivada parcial em relação a distância
r Resistência C Capacitância L Indutância g Condutância u Diferença de potencial X Reatância i Corrente
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Sumário
1 INTRODUÇÃO ... 14
2 REVISÃO DA LITERATURA ... 16
2.1 Modelos de LTs ... 16
2.1.1 Análise no Domínio do Tempo ... 17
2.1.2 Método de Bergeron ... 19
2.1.3 Modelo PI ... 20
2.1.4 Modelo J Marti ... 23
2.2 Análise no Domínio da Frequência ... 24
2.3 Passo de Integração ... 24
2.4 Métodos de Integração Numérica ... 25
2.4.1 Integração Trapezoidal ... 25 2.4.2 Backward Euler ... 26 2.5 Faltas ... 27 2.5.1 Faltas Shunt ... 27 2.5.2 Faltas Série ... 28 2.6 Simuladores ... 29 2.6.1 ATPDraw ... 29 2.6.2 Simulink ... 29 2.6.3 MicroTran ... 30 3 CASO-TESTE ESTUDADO ... 31 3.1 Curto-Circuito Monofásico ... 31 3.2 Curto-Circuito Trifásico ... 39
3.3 Entrada de Banco de Capacitores ... 42
3.4 Energização de Linha ... 46
3.5 Faltas Série ... 48
4 ANÁLISE COMPARATIVA DOS MODELOS ... 51
4.1 Comparação da Falta Monofásica ... 51
4.2 Comparação da Falta Trifásica ... 53
4.3 Comparação da Entrada de Banco de capacitores ... 53
4.4 Comparação Entre a Energização ... 54
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5 CONCLUSÃO ... 56
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1 Introdução
O objetivo deste trabalho é analisar diferentes modelos de linhas de transmissão para cálculo de transitórios eletromagnéticos causados por faltas monofásica à Terra, trifásica à Terra, série e energização de banco de capacitores em linhas de transmissão. Será analisado o
software ATPDraw com a finalidade de identificar quais os modelos mais indicados de linhas
de transmissão para a simulação das diferentes ocorrências, desenvolvendo uma análise comparativa entre eles e identificando suas restrições e limitações.
Num país como o Brasil, que possui dimensões continentais, e que tem uma matriz energética tão voltada às centrais hidrelétricas, é inviável que se faça geração de energia próxima aos terminais de consumo. Por isso, a energia elétrica deve ser gerada longe de seus consumidores e transportada através de, no caso brasileiro, linhas de transmissão aéreas. Fica claro, portanto, que para o funcionamento adequado do sistema elétrico brasileiro, as linhas de transmissão exercem um papel fundamental.
O sistema elétrico brasileiro deve entregar energia a seus consumidores de forma ininterrupta, o que representa um grande desafio a seus operadores, já que as linhas de transmissão se estendem por milhares de quilômetros e ficam expostas a diversos tipos de intempéries além de exigirem manutenções regulares. Ademais, a grande variedade de equipamentos no sistema interligado nacional faz do sistema elétrico brasileiro algo extremamente complexo. Eventos podem alterar o equilíbrio estabelecido na rede, provocando o surgimento de transitórios eletromagnéticos que são responsáveis por extremas solicitações de tensões e correntes. Em virtude disso, torna-se fundamental o dimensionamento adequado de equipamentos de proteção e manobra de linhas de transmissão e isso só é possível quando há um entendimento apropriado dos fenômenos presentes nos tipos de eventos citados e, para isso, as ferramentas computacionais capazes de lidar com o período transitório são grandes aliadas.
Para o desenvolvimento do trabalho, simulou-se no caso-teste, que será oportunamente apresentado, utilizando o ATPDraw, as faltas monofásica e trifásica à terra, entrada de banco de capacitores, falta série em duas fases e, por fim, a energização da linha. O Microtran também foi utilizado para a simulação da entrada de banco de capacitores e faltas trifásica e monofásica. Os dados das simulações foram exportados para o MATLAB para tornar possível a confecção de gráficos mais elaborados.
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Esta monografia consiste em cinco capítulos. No capítulo dois, é feita uma abordagem dos assuntos pertinentes ao estudo que se segue. No capítulo três, é apresentado o caso-teste que serviu como base para as simulações, cujos resultados também nele estão presentes. No quarto capítulo, os resultados obtidos são comparados levando-se em conta a situação e o modelo usado. No quinto e último capítulo, são tecidas as conclusões e as propostas para trabalhos futuros.
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2 Revisão da Literatura
A importância de utilizar softwares com modelos de linhas de transmissão que consigam obter simulações cada vez mais próximas da realidade pode ser observada pela quantidade de artigos, monografias e livros acerca deste assunto. A seguir será detalhado a parte teórica referente aos principais modelos e métodos utilizados nas simulações desta monografia.
2.1 Modelos de LTs
Para o estudo analítico de Linhas de Transmissão (LTs), é preciso utilizar modelos que as representem da forma mais fiel possível, levando-se em conta precisão e custo computacional. Modelos mais precisos envolvem mais cálculos e, consequentemente, mais esforço computacional. Por outro lado, o que se tem na prática é uma grande variedade de Linhas de Transmissão. Elas podem diferir umas das outras pela classe de tensão que transmitem ou mesmo pela extensão que possuem. Sendo assim, surgiu na literatura uma classificação para as Linhas de Transmissão, que varia de acordo com sua tensão e comprimento. Esta classificação, detalhada, encontra-se na Tabela 2.1.
Classificação Comprimento Tensão
Curta
Até 20 km Superior a 400 kV
Ate 40 km Entre 150 e 400 kV
Até 80 km Até 150 kV
Média Entre 20 e 100 km Superior a 400 kV
Entre 40 e 200 km Entre 150 e 400 kV
Longa Acima de 200 km -
Tabela 1: Classificação de Linhas de Transmissão em 60 Hz [1]
Para as linhas curtas, a representação é feita com parâmetros concentrados e despreza tanto sua condutância quanto sua capacitância.
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Para linhas médias, verifica-se que tratamento igual ao das linhas curtas causa prejuízo na precisão dos cálculos, de modo que na representação se faz necessário considerar a capacitância e a condutância da linha, mas ainda de forma concentrada.
Na linha longa, por sua vez, é preciso que sejam usadas as equações exatas das linhas, considerando parâmetros distribuídos.
Nas seções a seguir analisa-se os principais modelos de linhas de transmissão e os mais utilizados nos softwares baseados no EMTP apresentando os que são modelados no domínio do tempo e os no domínio da frequência.
2.1.1 Análise no Domínio do Tempo
No estudo de como as linhas de transmissão se comportam, em relação ao tempo, na ocorrência de transitórios eletromagnéticos é de extrema importância o desenvolvimento de modelos capazes de fornecer respostas fieis às solicitações reais.
Numa linha real, em que se consideram as perdas nos condutores, r [ohm/km] e nos dielétricos g [siemens/km] o circuito equivalente é dado como na Figura 2.1, onde é representado um elemento de comprimento ∆𝑥 da linha.
Figura 2.1: Elemento de comprimento ∆𝑥 da linha de transmissão
A diferença de potencial entre o início e o fim do elemento de linha é dado por: 𝜕𝑢
𝜕𝑥. ∆𝑥 (2.1)
Portanto, a equação diferencial da tensão é: −𝜕𝑢
𝜕𝑥= (∆𝑥. 𝑟). 𝑖 + (∆𝑥. 𝐿). 𝜕𝑖
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Para um indicativo de como u varia ao longo da linha, pode-se dividir a equação acima por ∆𝑥, obtendo:
−𝜕𝑢
𝜕𝑥 = 𝑟. 𝑖 + 𝐿. 𝜕𝑖
𝜕𝑡 (2.3)
Já para as correntes, a equação diferencial é a seguinte:
−𝜕𝑖
𝜕𝑥= (∆𝑥. 𝑔). 𝑢 + (∆𝑥. 𝐶). 𝜕𝑢
𝜕𝑡 (2.4)
Ao repetir o processo, dividindo a equação anterior por ∆𝑥, vem:
−𝜕𝑖
𝜕𝑥= 𝑔. 𝑢 + 𝐶. 𝜕𝑢
𝜕𝑡 (2.5)
As equações obtidas anteriormente permitem obter a tensão e corrente num ponto a uma distância x de um ponto de referência da linha num instante de tempo t. Ao diferenciar a equação (2.3) em relação a x e a (2.5) em relação a t, vem:
−𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 = 𝑟. 𝜕𝑖 𝜕𝑥+ 𝐿. 𝜕2𝑖 𝜕𝑥𝜕𝑡 (2.6) − 𝜕 2𝑖 𝜕𝑡𝜕𝑥= 𝑔. 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝐶. 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 (2.7)
Agora, diferenciando (2.3) em relação a t e (2.5) em relação a x:
− 𝜕 2𝑢 𝜕𝑡𝜕𝑥 = 𝑟. 𝜕𝑖 𝜕𝑡+ 𝐶. 𝜕2 𝜕𝑡2 (2.8) − 𝜕2𝑖 𝜕2𝑥= 𝑔. 𝜕𝑢 𝜕𝑥+ 𝐶. 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑡 (2.9) Já que:
19 𝜕2𝑖 𝜕𝑥𝜕𝑡= 𝜕2𝑖 𝜕𝑡𝜕𝑥 𝑒 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑡 = 𝜕2𝑢 𝜕𝑡𝜕𝑥 (2.10) Vem: 𝜕2𝑢 𝜕2𝑥= 𝑟. 𝑔. 𝑢 + (𝑟. 𝐶 + 𝐿. 𝑔). 𝜕𝑢 𝜕𝑡 + 𝐿. 𝐶. 𝜕2𝑢 𝜕𝑡2 (2.11) 𝜕2𝑖 𝜕2𝑥= 𝑟. 𝑔. 𝑖 + (𝑟. 𝐶 + 𝐿. 𝑔). 𝜕𝑖 𝜕𝑡+ 𝐿. 𝐶. 𝜕2𝑖 𝜕𝑡2 (2.12)
As equações anteriores são referidas, por vezes, como equações da telegrafia e são caracterizadas como as equações diferenciais gerais das linhas de transmissão.
2.1.2 Método de Bergeron
No modelo de Bergeron analisa-se como as condições de um terminal são afetadas pelas condições no outro terminal após um atraso τ, tempo de propagação de ondas na linha de transmissão. Como se pode observar pela Figura 2.2 a seguir, o valor de 𝑖𝑎𝑏 e da tensão em A atual dependem da corrente 𝑖𝑎(t-τ), assim como o valor atual da corrente 𝑖𝑏𝑎 e da tensão em B
dependem do valor 𝑖𝑏(t- τ). Neste modelo utilizam-se fontes históricas de corrente para representar os valores anteriores nas condições terminais opostas.
Para encontrar a solução do circuito, a princípio, utilizava-se a solução geral de D’Alambert, que consistia em separar em duas ondas, de direções inversas, para obter os valores da tensão e da corrente (Equações 2.13 e 2.14).
𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑣𝑓(𝑥 − 𝑎𝑡) + 𝑣𝑏(𝑥 + 𝑎𝑡) (2.13)
𝑖(𝑥, 𝑡) = 𝑣𝑓
𝑍𝑐(𝑥 − 𝑎𝑡) −
𝑣𝑏
𝑍𝑐(𝑥 − 𝑎𝑡) (2.14)
Para facilitar a resolução, utilizando apenas uma equação, Bergeron propôs unir as duas fórmulas em uma, obtendo a seguinte expressão, necessitando apenas do valor da onda que viaja para a frente:
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Figura 2.2: Modelo de Bergeron da LT
O método de Bergeron inicialmente foi utilizado em soluções de problemas hidráulicos em 1928, porém, com o início da utilização de programas computacionais nas resoluções de sistemas elétricos, notou-se a facilidade em usar este método para a simulação de linhas de transmissão com parâmetros distribuídos. Uma das vantagens do método das características é apresentada no artigo sobre soluções computacionais de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão monofásicas e multifásicas de H. W Dommel. É “ele [o método das características] que oferece importantes vantagens como, por exemplo, não fazer do uso de coeficientes de reflexão algo necessário”. Este modelo pode ser utilizado combinado ao método de integração trapezoidal, formando um algoritmo geral, sendo capaz de simular parâmetros concentrados e distribuídos, aplicado pelos mais renomados softwares, como o ATPDraw.
Uma das dificuldades de simulações com o método de Bergeron é diretamente ligada ao passo de integração, pois sua aplicação depende do software ser capaz de exibir passos inferiores ao tempo de propagação da linha. Este fator gera problemas quando o sistema analisado é formado por linhas de longa e curta distância, pois as linhas curtas acabam necessitando de passos extremamente pequenos para que não ocorram perdas de informações nas simulações. Este obstáculo pode ser superado através da utilização do método das características junto do modelo PI, por este apresentar resultados precisos na modelagem de linhas curtas e dificuldades na simulação de linhas de transmissão longas.
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Trata-se de um modelo que concentra os parâmetros de indutância (L) e de resistência série (R) num ramo do circuito, que fica entre outros dois ramos shunt, onde se concentram os parâmetros de condutância (G) e de capacitância (C) da linha divididos igualmente, de modo que metade da capacitância e da condutância se encontre num ramo e metade no outro. O circuito PI nominal pode ser visto na Figura 2.3.
Como visto anteriormente, linhas médias podem ser representadas através de parâmetros concentrados sem que haja prejuízo na precisão dos cálculos. Isso faz do Circuito PI nominal um modelo adequado para a representação desse tipo de linha.
Linhas Longas, por outro lado, exigem parâmetros distribuídos para que sejam representadas com boa precisão. Dessa forma, o circuito PI nominal se torna inadequado fazendo necessária a introdução do circuito PI equivalente. Nele, tem-se a disposição dos elementos como no circuito PI nominal, mas os parâmetros são multiplicados por um fator de correção. O circuito PI equivalente é apresentado na Figura 2.4.
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Na Figura 2.4, tem-se Z e Y como os fatores de correção, onde, sendo 𝑙 o comprimento da linha, 𝛾 sua constante de propagação, 𝛼 sua constante de atenuação e 𝛽 sua constante de fase: 𝛾 = 𝛼 + 𝑗𝛽 (2.16) 𝑍 =𝑠𝑒𝑛ℎ𝛾𝑙 𝛾𝑙 (2.17) 𝑌 = 𝑡𝑔ℎ 𝛾𝑙 2 𝛾𝑙 2 (2.18)
Em linhas longas de transmissão, a utilização de apenas um modelo PI leva a uma imprecisão nos resultados, pois a velocidade de propagação da onda é obtida através da seguinte fórmula:
𝑣 = 𝜆 ∙ 𝑓 (2.19)
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Portanto, para uma frequência de 60 Hz, e considerando um meio de transmissão ideal, em que a velocidade de propagação seja 300000 [km/s], obtém-se um comprimento de onda de 5000 [km]. (Figura 2.5)
Figura 2.5: Comparação entre a extensão da LT e do comprimento de onda
Ao se comparar uma linha curta de 100 [km], com uma longa de 500 [km], na Figura 2.5, pode-se observar que a extensão da primeira linha está praticamente no mesmo potencial, porém, a segunda, apresenta uma diferença de potenciais entre os terminais, de quase 0,4 p.u, que não pode ser ignorada, dificultando a utilização de parâmetros concentrados do modelo PI. Para tornar-se praticável a utilização desta modelagem, é necessária a utilização da divisão da linha em uma cascata de modelos PI, com o objetivo de que cada seção apresente, aproximadamente, a mesma tensão em todo seu comprimento, fornecendo resultados próximos dos reais.
2.1.4 Modelo J Marti
No modelo J Marti, apresentado em [2] e desenvoldido na UBC – University of British Columbia, tem-se boa precisão sem que haja problemas de instabilidade numérica. Neste modelo, o que se faz é desacoplar as fases das linhas de transmissão através do uso de uma matriz de decomposição modal. Cada uma das fases desacopladas é estudada como um
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circuito monofásico. Neste modelo, a matriz de decomposição modal é considerada independente da frequência.
Diferentemente dos modelos PI e Bergeron, o modelo de J. Martí considera os parâmetros da linha de transmissão como função da frequência.
2.2 Análise no Domínio da Frequência
As ocorrências em linhas de transmissão geram sinais de corrente e tensão compostos por um conjunto de diferentes níveis de frequência. Portanto, os resultados obtidos apenas considerando a modelagem no domínio do tempo desconsidera a forma em que os parâmetros da linha variam em relação à frequência. O texto de Denesmar Gomes Pimenta sobre análise de sobretensões em linhas de transmissão, cita algumas das vantagens em se considerar o domínio da frequência para obtenção de resultados mais precisos, como:
“1. Modelagem de elementos considerando seus parâmetros distribuídos e sua dependência com a frequência de maneira bem rigorosa;
2. Normalmente os parâmetros de circuito são especificados e obtidos no domínio da frequência;
3. Os níveis de erros numéricos nos cálculos no domínio da frequência podem ser determinados e controlados de maneira direta;
4. Por serem baseados em princípios diferentes que os dos métodos no domínio do tempo a análise no domínio da frequência serve para confrontar os resultados obtidos no domínio do tempo.”
Para realizar a transferência entre os domínios existem métodos como a transformada de Fourrier, transformada numérica de Laplace e a transformada Z.
2.3 Passo de Integração
Softwares baseados no EMTP, diferentemente de programas como SPICE, que durante
a simulação altera o passo de integração de acordo com a taxa de variação das grandezas analisadas [4], não fornecem ao usuário o tempo máximo de simulação e o passo de integração para a simulação. Assim sendo, para uma análise precisa em qualquer software baseado no EMTP, o usuário deve configurar com propriedade o passo de integração do
software assim como seu tempo máximo de simulação. Para análises em regime transitório,
esta configuração se torna ainda mais importante, já que um passo de integração mal configurado pode distorcer a forma de onda pertencente a uma fase que leva somente frações
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de segundo até ser superada. Em [4], propõe-se que seja criado um vetor, 𝑇, com os tempos de propagação das linhas que serão analisadas. A partir do valor máximo e mínimo deste vetor, é possível estimar um bom passo de integração e um bom tempo de simulação. Isso é feito como se mostra nas equações (2.19) e (2.20):
∆𝑡 =𝑚𝑖𝑛 (𝑇)
100 (2.20)
𝑡𝑚𝑎𝑥 = 10. 𝑚𝑎𝑥 (𝑇) (2.21)
2.4 Métodos de Integração Numérica
No estudo de transitórios eletromagnéticos, as linhas com parâmetros concentrados são descritas por equações diferenciais ordinárias, e as de parâmetros distribuídos por equações diferenciais parciais. Estas equações, por vezes, são de difícil solução analítica, tornando-se necessário discretizar a equação no tempo em intervalos fixos Δt, e utilizando-se de métodos numéricos de integração para obtenção de respostas aproximadas. Os Métodos de integração trapezoidal, Backward Euler, são utilizados na técnica critical damping adjustment (CDA).
2.4.1 Integração Trapezoidal
A solução analítica das equações diferenciais por simulações numéricas em sistemas mais complexos torna-se impraticável quando se pretende obter respostas rápidas. Portanto, a aplicação da integração trapezoidal simplifica este problema através da transformação de um conjunto de equações diferenciais para um equivalente de equações algébricas.
A regra trapezoidal é a mais utilizada nos programas baseados no EMTP, pois apresenta boa precisão, estabilidade, simplicidade dos códigos computacionais e não produz distorções de fase. Sua limitação encontra-se em sistemas que apresentam descontinuidade, em que a utilização deste método leva a oscilações numéricas. Estas oscilações ocorrem, na maior parte das vezes, na ocorrência de chaveamentos em que ocorre mudança da topologia da rede, levando a intensas variações de tensões entre terminais de capacitores, abruptas variações de corrente em indutores e também por causa de elementos não lineares.
Existem diversos métodos que foram desenvolvidos no intuito de resolver este problema em softwares baseados no EMTP. Uma das possibilidades é a de recomeçar a simulação, com os parâmetros iniciais de imediatamente depois da ocorrência das oscilações numéricas, outra
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estratégia utilizada no programa ATP é abordada no artigo sobre comparações das soluções numéricas no método trapezoidal em programas baseados no EMTP “O ATP utiliza a estratégia de introduzir um resistor de amortecimento (𝑅𝑝 = 𝐾𝑝∙ 2 𝐿 ∆⁄ 𝑡, onde Δt é o
intervalo de tempo) em paralelo com indutâncias ou um resistor (𝑅𝑠 = 𝐾𝑠∙ ∆ 𝑡 2⁄ 𝐶) em série
com capacitores” [5]. Este método resulta no amortecimento das oscilações numéricas, porém acaba levando a distorções na resposta devido a inserção de novos componentes na simulação. A estratégia que apresenta a maior fidelidade ao sistema, utiliza da junção da integração trapezoidal (Figura 2.6) e do método de Backward Euler, que será melhor explicado na seção 2.4.2.
Figura 2.6: Integração trapezoidal 2.4.2 Backward Euler
A limitação da integração trapezoidal pode ser resolvida através da união com o método de Backward Euler, criando-se o Critical Damping Adjustment. O critério de Euler utiliza de uma aproximação da função em retângulos para calcular a integral (Figura 2.7), desta forma, apesar de não apresentar resultados precisos como os da integração trapezoidal e gerar distorções de fase, se torna adequado na modelagem de funções com descontinuidades. Esta última característica citada que faz com que o CDA obtenha as simulações mais próximas da realidade em trechos de continuidade e de descontinuidade, pois utiliza da integração trapezoidal na operação normal, e ao detectar situações que podem levar a oscilações numéricas, altera para o método de Backward Euler durante dois passos de Δt/2, retornando ao método trapezoidal em seguida para melhor precisão. Porém, este método ainda não se
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encontra aplicável na maior parte dos softwares baseados no EMTP, sendo possível utilizá-lo no Microtran.
Figura 2.7: Método de Backward Euler
O principal software utilizado nas simulações desta monografia será o ATPDraw, por seu diversificado acervo de modelos para linhas de transmissões, geradores, chaves e cargas. A seguir serão detalhadas as opções disponíveis para cada componente da linha, e a escolha de quais serão utilizados.
2.5 Faltas
As linhas de transmissão estão sujeitas a todos os tipos de ocorrências, seja por fatores naturais ou por fatores humanos. Descargas atmosféricas, vegetação alta, vandalismo e ninhos de pássaros são só alguns dos fenômenos que podem afetar a operação de uma linha de transmissão, causando por exemplo, faltas na rede elétrica. As faltas, podem ser classificadas em dois grandes grupos: faltas shunt e faltas série, e a análise destas serão apresentadas mais detalhadamente nas seções a seguir.
2.5.1 Faltas Shunt
As faltas shunt consistem em ligações entre diferentes fases do sistema, ou mesmo entre uma ou mais fases e a Terra. Tem-se, portanto, faltas fase, terra,
fase-28
fase-fase-terra ou ainda a falta trifásica, que envolve as três fases do sistema. Na Figura 2.8, constam todos os tipos de faltas shunt.
2.5.2 Faltas Série
As faltas série, por outro lado, ocorrem quando um ou mais condutores de um circuito trifásico, se abrem, ocasionando um desequilíbrio no sistema. Estas falhas podem causar duas complicações diferentes, as diferenças de potencial nas duas extremidades do condutor que se separaram, e a falta de uma fase na alimentação da carga. Tais faltas podem ser oriundas do mau funcionamento de disjuntores, por exemplo. As faltas série podem ser representadas como consta na Figura 2.9.
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2.6 Simuladores
Nesta seção será apresentada uma breve descrição dos principais softwares destinados à simulação e análise de transitórios eletromagnéticos em linhas de transmissão
2.6.1 ATPDraw
O ATPDraw é um dos principais softwares direcionados aos estudos eletromagnéticos por sua eficiente capacidade em simular uma grande diversidade de circuitos monofásicos e trifásicos, possuindo recursos para modelar tanto os sistemas de transmissão como os de distribuição, permitindo as análises, em diferentes configurações operacionais, dos transitórios eletromagnéticos.
O modelo matemático utilizado pelo software é baseado no método de Bergeron para parâmetros distribuídos, também conhecido por método das características, e na regra de integração trapezoidal para parâmetros concentrados. Posteriormente será analisada a eficiência de tais métodos para diferentes ocorrências nas linhas de transmissão.
2.6.2 Simulink
O Simulink é um software integrado ao Matlab, que utiliza de diagramas de blocos para a simulação, modelagem e análise de sistemas dinâmicos, sendo capaz de simular linhas de transmissão no domínio do tempo e da frequência.
30 2.6.3 MicroTran
O Microtran é provavelmente o software mais avançado e que fornece os resultados mais fieis a realidade dos transitórios eletromagnéticos. Um dos fatores que contribuiu para esta conquista é ser um dos poucos softwares baseados no EMTP, capaz de utilizar o Critical
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3 Caso-teste Estudado
Para realizar a análise entre os modelos do domínio do tempo e da frequência, exibidos na seção 2, utilizara-se o caso-teste os parâmetros da linha de transmissão da Figura 3.1.
Figura 3.1: Dimensões da torre de transmissão
Neste caso, a linha possui 12 [km] de comprimento, a uma classe de tensão de 132 [kV], com uma resistividade do solo (𝜌) de 100 [Ω.m]. Para o estudo dos modelos disponíveis, utiliza-se da ferramenta LCC (Line Constants/Cables), inserindo os valores da Figura 3.1 e os parâmetros do comprimento de linha e resistividade do solo. Nas seções a seguir serão exibidas as respostas dos modelos de linhas de transmissão para diferentes ocorrências.
3.1 Curto-Circuito Monofásico
Na análise do curto-circuito monofásico considera-se a linha alimentada por um gerador que fornece 132 [kV] de tensão de pico, com uma resistência interna de 1 [mΩ] e uma indutância de 50 [mH]. As chaves que conectam o gerador à linha estão reguladas para serem fechadas 10 segundos antes do início da simulação, para que o efeito transitório da energização da linha não interfira na ocorrência analisada. A esquematização do circuito pode ser observada na Figura 3.2.
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Figura 3.2: Linha de transmissão submetida à um curto-circuito monofásico
Os gráficos seguintes consideram que o curto-circuito ocorreu em 15[ms], utilizando o modelo de Bergeron, PI, J. Marti:
Figura 3.3: Tensão no terminal A no modelo de Bergeron
Na Figura 3.3, pode-se observar que no instante em que ocorre a conexão da fase A à terra, a tensão que antes oscilava, zera instantaneamente. Como a tensão no terminal A não apresenta transitórios, as simulações dos modelos de PI e J Martí apresentaram resultados idênticos aos de Bergeron, portanto não vão ser apresentados repetidas nesta seção, apenas na seção 4 em que são comparados dos modelos. A Figura 3.4 demonstra o oposto em relação à corrente de curto-circuito, em que apensas depois da conexão à Terra que será possível a análise de seu período transitório.
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Figura 3.4: Corrente de curto-circuito monofásico no modelo de Bergeron
Na Figura 3.5, simula-se como a tensão das fases sadias são afetadas pelo curto-circuito monofásico na fase A, onde o período transitório ocorre após a conexão da fase A à Terra.
Figura 3.5: Tensão na fase C na ocorrência de curto-circuito monofásico no modelo de Bergeron.
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Uma característica essencial de se saber a respeito das simulações é a de quanto tempo demorou para o software realizar a simulação. O ATPDraw fornece esta informação através da ferramenta view LIS file, em que, para a simulação do curto-circuito monofásico pelo modelo de Bergeron, foram necessários 0,949 segundos para realizar a simulação.
Mantendo-se o mesmo circuito com os mesmos parâmetros de entrada e tempo de ocorrência de falta, alterando apenas o modelo base do LCC de Bergeron para PI, gera-se os gráficos das figuras 3.6, 3.7 e 3.8.
Figura 3.6: Corrente de curto-circuito monofásico no modelo PI
O modelo PI apresentou oscilações numéricas na simulação da corrente de curto circuito. Para facilitar a observação da falha do modelo encontrado, a Figura 3.7 apresenta a ampliação do gráfico apresentado na Figura 3.6.
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Figura 3.7: Modelo PI amplificado
Por se tratar de um modelo de parâmetros concentrados, e o software ATPDraw não apresentar o método de integração numérica do critical damping adjustment, a discretização
em intervalos de tempo fixos, acabou tornando-se uma falha na simulação utilizando o modelo Pi, gerando a oscilação numérica observada nas Figuras 3.6 e 3.7.
Este efeito é causado, devido ao ATPDraw concentrar os parâmetros da capacitância da linha em capacitores conectados entre cada fase e da fase ao terra. Portanto, ao ocorrer a conexão do fase ao terra, as tensões no capacitores cairiam para zero, porém, para isto ocorrer, seria necessário um pico de corrente, o que causa a oscilação. Para evitar o efeito da oscilação, na Figura 3.8 é exibido a simulação do modelo PI no Microtran, utilizando do
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Figura 3.9: Tensão na fase C na ocorrência de curto-circuito na fase A monofásico no modelo PI.
No caso da simulação do curto-circuito monofásico no modelo de PI foram necessários 0,927 segundos para a obtenção das respostas.
Realizando as simulações do domínio da frequência, no modelo J Marti, para uma frequência mínima de 60 [Hz] e máxima de 5000 [Hz], obtém-se os seguintes gráficos (Figuras 3.10 e 3.11)
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Figura 3.10: Corrente de curto-circuito monofásico no modelo de J Martí
Figura 3.11: Tensão na fase C na ocorrência de curto monofásico no modelo de J Martí
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O modelo de J. Martí foram requeridos 0,044 segundos para a realização da simulação. O tornando o modelo mais rápido para a simulação do curto-circuito monofásico no caso do sistema de transmissão analisado.
3.2 Curto-Circuito Trifásico
No curto-circuito trifásico, por não apresentar fases sadias, será analisado apenas a corrente e a tensão do curto. Para a montagem do circuito, conectou-se as três fases ao Terra através de chaves temporais, como exibido na Figura 3.12.
Figura 3.12: Linha de transmissão submetida à uma falta trifásica
De acordo com a Figura 3.13, pode-se observar que os modelos de Bergeron e de J Marti apresentam respostas similares, porém o modelo de J Marti apresenta oscilações nos primeiros instantes, atenuadas com o passar do tempo.
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Figura 3.13: Comparação entre a corrente modelo de Bergeron e J Marti
No modelo PI, a resposta da corrente ao curto-circuito trifásico apresenta resultados instáveis e imprecisos. Sua simulação, assim como na do curto-circuito monofásico gera oscilações numéricas (Figura 3.14).
Figura 3.14: Modelo de PI para falta trifásica
Ampliando a imagem para observar melhor as características da oscilação numérica, foi gerada a Figura 3.15.
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Figura 3.15: Oscilação numérica ampliada
Utilizando do Microtran com o objetivo da não ocorrência da oscilação numérica, obtem-se a Figura 3.16.
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No caso do curto-circuito trifásico, os tempos de simulação para os modelos de Bergeron, PI e J Martí foram respectivamente 0,041, 0,947 e 0,043 segundos. Demonstrando que para este caso, o tempo de resposta do modelo de Bergeron foi o mais rápido.
3.3 Entrada de Banco de Capacitores
Para a obtenção dos parâmetros de capacitância para utilizá-la na montagem do circuito, é necessário, primeiramente, transferir os valores das potências reativas para p.u, utilizando as bases 100 [MVA] e 132 [kV]. Utilizando as equações 3.1 a 3.5, obtém-se a Tabela 2, que apresenta a Potência Reativa, a Reatância e a Capacitância do Banco de Capacitores.
𝑄𝑝𝑢 = 𝑄 𝑆𝑏= 10 100= 0,1 (3.1) 𝑍𝑏 =𝑉𝑏2 𝑆𝑏 = (132. 103)2 100. 106 = 174,24 [Ω] (3.2) 𝑋𝑝𝑢 = 𝑉𝑝𝑢2 𝑄𝑝𝑢 = 1,0 0,1= 10 (3.3) 𝑋 = 𝑋𝑝𝑢. 𝑍𝑏 = 10 . 174,24 = 1742,4 [Ω] (3.4) 𝐶 = 1 2𝜋 ∙ 𝑓 ∙ 𝑋 (3.5)
Potência Reativa [MVAr] Reatância [Ω] Capacitância [µF]
10 1742 1,52
Tabela 2: Parâmetros do banco de capacitores
Na montagem do circuito, utiliza-se de capacitores com as capacitâncias calculadas para simular os efeitos do banco de capacitores, conectado por chaves controladas por tempo. O circuito resultante pode ser observado na Figura 3.17.
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Figura 3.17: Linha de transmissão submetida a uma entrada de banco de capacitores
Nas Figuras 3.18, 3.19 e 3.20, serão exibidas as respostas da corrente da fase A nos modelos em estudo, de Bergeron, J. Martí e PI, respectivamente.
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Figura 3.19: Corrente da fase A no modelo J Martí
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Observa-se a oscilação do modelo PI em maiores detalhes, na ampliação utilizada na Figura 3.21.
Figura 3.21: Oscilação numérica da entrada de banco de capacitores ampliada.
A utilização do critical damping adjustment no Microtran evitou a ocorrência das oscilações numéricas, fornecendo a resposta observada na Figura 3.22.
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Figura 3.22: Corrente da fase A pelo modelo PI no Microtran
Por causa do circuito utilizado para as simulações ser a vazio, não será possível realizar as simulações em relação a tensão da linha após a entrada do banco de capacitores. No caso dos tempos necessários para a simulação, os modelos de Bergeron, PI e J. Martí, apresentaram, respectivamente 0,013, 0,051 e 0,034 segundos.
3.4 Energização de Linha
Para a simulação da energização de uma linha de transmissão foram utilizadas chaves, inicialmente abertas, temporizadas para fechar em 10 [ms]. A montagem do circuito pode ser observada na Figura 3.23.
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Na simulação desta ocorrência, a fonte opera na sequência direta.
Figura 3.24: Tensão na fase A no modelo de Bergeron
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Figura 3.26: Tensão na fase A no modelo de J. Martí
Os gráficos das simulações da corrente na fase A apresentaram o mesmo formato, porém em diferente escala de tensão. Por apresentar um sistema menor que os das ocorrências anteriores, o tempo necessário para as simulações foram inferiores, correspondendo a 0,013, 0,015 e 0,011 segundos para os modelos de Bergeron, PI e J. Martí, respectivamente.
3.5 Faltas Série
Para simulação da falta série ocorrida em duas fases, fez-se uso de duas chaves que se abrem simultaneamente num instante de tempo, simulando, portanto o mau funcionamento de um disjuntor, por exemplo. O circuito utilizado foi o da Figura 3.27.
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No circuito da Figura 3.27, as fases A e B abriram-se durante a simulação, de modo que somente a fase C continuou em operação normal. Tal qual anteriormente, o circuito acima foi simulado para o modelo de Bergeron, PI e de J. Marti. Os resultados são os que seguem.
Figura 3.28: Tensão na Fase C no Modelo de Bergeron
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Figura 3.30: Tensão na fase C no Modelo J. Marti
Na análise de uma falta série na linha de transmissão, os tempos de resposta para os modelos de Bergeron, PI e J. Martí, foram, respectivamente, 0,040, 0,942, 0,942 segundos. Portanto o menor tempo necessário para a simulação foi ao utilizar o modelo de Bergeron.
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4 Análise Comparativa dos Modelos
Para facilitar a análise entre os modelos disponíveis de linhas de transmissão, foi utilizado a transferência de dados do ATPDraw para o Matlab, por apresentar melhores opções de personalização de gráficos.
4.1 Comparação da Falta Monofásica
Os gráficos das Figuras 4.1, 4.2 e 4.3 foram gerados através do comando plot do Matlab em conjunto, permitindo que fosse inserido mais de uma resposta dependente do tempo. A Figura 4.1 demonstra a comparação entre os modelos de Bergeron e J Martí para faltas monofásicas. Para a corrente de falta, pode-se observar que os modelos de Bergeron e J Martí apresentaram respostas próximas. Já o modelo PI, como visto anteriormente, por se tratar de um modelo que se utiliza de aproximações e fatores de correção, apresentou uma resposta caracterizada por grandes oscilações numéricas, o que faz dos seus resultados inconclusivos. É por isso que na Figura 4.1 apenas estão representados os modelos de Bergeron e J. Martí.
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Figura 4.2: Tensão na fase afetada para um curto circuito monofásico à terra
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4.2 Comparação da Falta Trifásica
Novamente, por apresentar oscilações numéricas, o modelo PI foi eliminado da comparação final, já que as oscilações tornam seus resultados inconclusivos. A Figura 4.4 exibe as diferenças entre cada modelo para faltas trifásicas. Neste caso, o modelo de J. Martí apresenta os resultados com menos ruídos.
Figura 4.4: Comparação dos resultados dos três modelos
4.3 Comparação da Entrada de Banco de capacitores
Na comparação entre os modelos de linhas, foi possível observar, através da Figura 3.17 que o modelo PI apresentou resultados imprecisos devidos à oscilação numérica. Portanto, para não poluir o gráfico da Figura 4.5, apenas os resultados dos modelos de Bergeron e J Martí foram exibidos.
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Figura 4.5: Comparação dos modelos para entrada de banco de capacitores
Devido a entrada de banco de capacitores gerar sinais de alta frequência em seu regime transitório, o modelo de J. Martí apresenta resultados mais precisos por realizar a análise dos resultados em diversas frequências, enquanto o modelo de Bergeron considera parâmetros invariantes com a frequência, tornando a simulação mais rápida, porém menos precisa.
4.4 Comparação Entre a Energização
Por abranger maiores frequências, o modelo de J. Martí representa com maior fidelidade o efeito pelicular, caracterizado pelo aumento da resistência aparente dos condutores quando submetidos a correntes de altas frequências. Como a resistência é responsável pelo amortecimento das correntes e tensões, o crescimento dela faz com que o amortecimento aconteça mais rapidamente. É por isso que, dentre os três modelos, na ocorrência de energização da linha, os modelos de Bergeron e PI apresentaram resultados próximos, porém não apresentaram o amortecimento das oscilações de alta frequência como o modelo de J. Martí, único dos modelos a considerar os parâmetros dependentes da frequência.
A Figura 4.6 apresenta somente o resultado do modelo J. Martí, já que a ausência de amortecimento nas oscilações dos outros modelos não permite conclusões a respeito deles.
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Figura 4.6: Tensão Modelo J. Martí.
4.5 Comparação Entre a Falta Série
Para a falta série, os modelos PI e Bergeron se mostraram aproximadamente iguais, de tal modo que na Figura 4.7, constam graficamente apenas os resultados do modelo PI e J. Martí.
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Conclusão
Na decisão de escolher qual modelo de linha de transmissão utilizar, é necessário levar em consideração dois itens: precisão desejada e o tempo de simulação. Pois, para um estudo em que não seja necessária uma alta precisão e o circuito possua grandes dimensões, um modelo cuja aproximações diminua o tempo de simulação para obtenção dos resultados será mais apropriado. A partir das comparações obtidas na seção 4, foi possível gerar a tabela 3 com a precisão de cada modelo para as diferentes ocorrências estudadas em relação a tensão, e a tabela 4 em relação a corrente.
Modelos
Ocorrências Bergeron PI J Martí
CC Monofásico Boa Boa Boa
CC Trifásico - - -
Entrada BC - - -
Energização Fraca Fraca Boa
Falta Série Fraca Fraca Boa
Tabela 3: Precisão dos modelos em relação a tensão das fases sadias no software ATPDraw
Modelos
Ocorrências Bergeron PI J Martí
CC Monofásico Boa Inconclusivo Boa
CC Trifásico Boa Inconclusivo Boa
Entrada BC Razoável Inconclusivo Boa
Energização Fraca Fraca Boa
Falta Série - - -
Tabela 4: Precisão dos modelos em relação a corrente no software ATPDraw
A partir dos dados das tabelas 3 e 4, pode-se observar que o J Martí pode ser utilizado na simulação de todas as ocorrências analisadas nesta monografia. O modelo de Bergeron apresentou dificuldades apenas nas simulações de energização de linha, em que não ocorreu o amortecimento da resposta como na simulação por J Martí. Por se tratar de um modelo que utiliza de aproximações, o modelo PI apresentou oscilações numéricas nas simulações de
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correntes, porém obteve resultados satisfatórios em relação à tensão para todas as ocorrências, exceto para energização, em que ocorreu o mesmo problema da modelagem por Bergeron.
Por apresentarem oscilações numéricas, os resultados do modelo PI no ATPDraw foram considerados inconclusivos, porém há que se destacar que isso decorre de uma limitação do software, que apresenta ferramentas para atenuar as oscilações em elementos discretos (capacitores e indutores) mas não em ferramentas como o LCC. O modelo PI, depois de simulado no Microtran, software que utiliza o critical dumping adjustment, apresentou resultados satisfatórios, o que se é de esperar já que a linha de transmissão estudada é curta.
A qualidade da simulação do modelo de Bergeron para a entrada de banco de capacitores foi considerado razoável devido a, apesar de gerar uma resposta com algumas semelhanças ao do modelo de J. Martí, não considerar os parâmetros variantes com a frequência. Portanto, por a entrada do banco gerar sinais de altas frequências, o modelo de Bergeron fornece uma simulação menos precisa do que a de J. Martí.
Os tempos de simulação de cada modelo para cada ocorrência no ATPDraw podem ser observados na tabela 5.
Modelos
Ocorrências Bergeron [s] PI [s] J Martí [s]
CC Monofásico 0,949 0,927 0,044
CC Trifásico 0,041 0,947 0,043
Entrada BC 0,024 0,051 0,034
Energização 0,013 0,015 0,011
Falta Série 0,040 0,942 0,942
Tabela 5: Tempos de simulações
A princípio, além dos modelos PI, J. Martí e de Bergeron, também seria simulado através da ferramenta LCC do ATPDraw o modelo Semlyen, porém o software não aceitou os dados do case-teste estudado, fato que não permitiu a simulação.
Para se aprimorar as comparações entre os modelos disponíveis de linhas de transmissão propõe-se, em confecção de trabalhos futuros, que sejam usadas linhas longas, com dados reais.
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[4] Bonatto, B. D.; Dommel, H. W.; Hollman, J. A.; de Siqueira, J. C. G.; Marti, J. R. A discussion about optimum time step size and maximum simulation time in EMTP-based programs International Journal of Eletrical Power and Energy Systems, v. 72, p. 24 – 32, 2015.
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[8] Denesmar G. Pimenta. “Análise de Sobretensões em Linhas de Transmissão com Cabos Pára-raios isolados"
[9] Zanetta, L, C. Fundamentos de Sistemas de Elétricos de Potência. 1. ed. São Paulo: Livraria da Física, 2006. 312 p.
[10] D'AJUS, A. Transistórios elétricos e coordenação de isolamento: aplicação em sistemas de potência de alta-tensão. Rio de Janeiro: Furnas, 1987. 425 p.
