Questões de revisão. Sistemas de Informação Geográfica II. Aula 1. Modelação. Tópicos para SIG II. Algoritmos e processos. Análise

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Sistemas de Informação Geográfica II

Alexandre Gonçalves DECivil - IST alexg@civil.ist.utl.pt

Aula 1

Questões de “revisão”

• Que problemas existem se quisermos encontrar as freguesias de Portugal com área de ”bosque” superior a 30 hectares?

• Se se usar cartografia à escala 1:10000, significa isso que todos os comprimentos medidos são na realidade 10000 vezes inferiores nessa cartografia do que no mundo real? • Que modelo de dados seria adequado para a gestão de

espaços de um edifício como o pavilhão de Civil? • Como está estruturada a informação num SIG?

• O Google Earth tem todas as funcionalidades de um SIG?

Tópicos para SIG II

• Modelação

• Análise

• Algoritmos e processos

• Visualização

Modelação

• Modelos vetorial e matricial

• Outros (quais?)

ISIG – MEC – IST 2011-12

Análise

• Padrões (ex.: densidades, etc.)

• Relação (ex.: proximidade ao mar = maior preço das

casas, influência da poluição no crescimento das

plantas, etc.)

• Evolução, predição (ex.: quantas pessoas podem

ser afetadas por uma cheia?)

• Modelação de cenários (ex.: se se localizasse aqui

x o que aconteceria?)

• Análise do relevo (declive, exposição solar, etc.)

Algoritmos e processos

• Algoritmos geométricos

– ponto em polígono, área de polígono, invólucro convexo, etc.

• Algoritmos de análise de redes

– caminho de menor custo e extensões, árvores de dispersão, VRP, etc.

• Problemas de localização normativos e não-normativos

– modelação dos problemas de localização – pontos: mediana, centragem, cobertura, etc. – localização de linhas

– localização de polígonos

• Outros problemas / algoritmos

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Visualização

• Programa a definir

• Utilização de ArcScene p/ projeto com PBOT

Modelo vetorial (revisões?)

1. Geometrias e armazenamento

2. Modelos de dados não topológicos

(spaghetti) e topológicos

3. Topologia

• Construção de uma topologia

4. Análise de redes: algoritmos de Prim e

Dijkstra

Sistemas de Informação Geográfica II

Geometrias

• O elemento básico da representação vetorial é o ponto, definido pelas suas coordenadas

• As linhas existem como linhas poligonais geradas a partir de um conjunto ordenado de pontos • Sendo po,…,pn pontos de R2_{, designa-se por linha}

poligonal a união dos segmentos pk,pk+1:

L< po,…,pn > = k: 0< k <n-1 pk,pk+1

• Uma linha poligonal é simples se não tem autointerseções

• Uma linha poligonal é um ciclo ou linha fechada se:

L<p0,…,pn-1> é uma linha poligonal simples L<p0,…,pn-1>  ]pn-1,pn[ =  p0=pn

Mais geometrias

Região de polígonos encaixados

Arcos são entidades compostas por segmentos

Cada arco (linha poligonal está ligado a um registo na tabela de atributos Região = entidade composta

por polígonos polígonos disjuntos polígonos

adjacentes

 Cada região está

ligada a um registo na tabela de atributos Multipontos, multilinhas, multipolígonos (regiões)

Linhas e polígonos

• Vértice: parte de uma linha

poligonal

• Segmento: linha que liga dois vértices

• Arco: série (1 ou mais...) de segmentos

• Nó: vértice especial no início ou fim de cada arco

• Polígono: série de um ou mais arcos formando uma linha fechada

• Ponto de label ou de âncora: no interior do polígono, para distinguir entre interior e exterior (descritos pela mesma fronteira)

Armazenar a geometria

• Modelo

1: entidade-a-entidade

– Ponto: (x,y)

– Linha: {(x1,y1),…, (xn,yn)}

– Polígono: {(x1,y1),…, (xn,yn), [(x1,y1)]} Polígono Coordenadas A (x11,y11),(x12,y12),(x13,y13),(x7,y7), (x8,y8),(x9,y9),(x10,y10) B (x10,y10),(x9,y9),(x8,y8),(x7,y7),(x6,y6), (x5,y5),(x11,y11) C (x1,y1),(x2,y2),(x4,y4),(x3,y3) x11,y11 x12,y12 x13,y13 x7,y7 x6,y6 x5,y5 B A x10,y10 x9,y9 x8,y8 C x3,y3 x1,y1 x4,y4 x2,y2

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Armazenar a geometria

• Modelo 2: dicionário de pontos

Ponto Coordenadas P1 (x1,y1) P2 (x2,y2) … … P11 (x11,y11) Polígono Pontos A P11,P12,P13,P7,P7,P8,P9,P10 B P10,P9,P8,P7,P6,P5,P11 C P1,P2,P4,P3 P11 P12 P13 P7 P6 P5 B A P10 P9 P8 C P3 P1 P4 P2

Armazenar a geometria

• Modelo 3: cadeias

Ponto Coordenadas P1 (x1,y1) P2 (x2,y2) … … P11 (x11,y11) Cadeia Pontos α P11,P12,P13,P7 β P11,P10,P9,P8,P7 γ P11,P5,P6,P7 δ P1,P2,P4,P3 α γ Polígono Cadeias A α, β B β, γ C δ P11 P12 P13 P7 P6 P5 B A P10 P9 P8 C P3 P1 P4 P2 β δ

Modelos não topológicos

• As formas de codificação anteriores armazenam a geometria dos objetos.

• O SIG deve responder a perguntas que envolvam relações espaciais ou topológicas entre os objetos, que têm de ser determinadas analiticamente.

– Se duas linhas se cruzam, existe uma relação topológica.

– Não é forçoso existir um vértice na interseção. – O ponto de interseção pode ser determinado

analiticamente (p.ex. pesquisando interseções entre os segmentos das linhas poligonais).

• Os modelos 1 e 2 são ditos “não-topológicos/spaghetti”

Modelos não topológicos

• Entidade-a-entidade

P1 P2 0 10 20 30 40 50 0 10 20 30 40 50

• Dicionário de pontos

Polígono Nome Coordenadas

1 Villarriba (10,15),(5,25),(13,37),(22,25) 2 Villabajo (40,10),(33,15),(28,35),(40,40) Polí-gono Nome Pontos 1 Villarriba P1,P2,P3,P4 2 Villabajo P5,P6,P7,P8 Ponto Coordenadas P1 (10,15) P2 (5,25) … … P8 (40,40) Os polígonos intersetam-se?

Relações topológicas

• Conectividade

• Adjacência

• Inclusão

As relações topológicas são invariantes quando as entidades são sujeitas a transformações topológicas, isto é, quando sofrem translações, rotações ou variações de escala.

Modelos topológicos

• Um modelo vetorial diz-se “topológico” se as

relações espaciais entre objetos forem

armazenadas explicitamente.

• Objetivos

– menor redundância geométrica (cada “localização” só é guardada uma vez

– maior integridade (menos erros posicionais) – maior rapidez nas análises espaciais (ex.:

determinar que polígonos são vizinhos, ou que linhas se intersetam)

• Exemplos: arc-node, polygon-arc (cadeias),

left-right

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Topologia de linhas: Arc-node

n1 v1 v2 n2 v3 v4 a b c polígonos, arcos orientados e nós

ISIG – MEC – IST 2011-12 Arco Nó Origem Nó Destino Vértices

a n1 n2 v1,v2 b n1 n2 c n1 n2 v4,v3 d n3 n1 n3 d há quebra nas interseções

Topologia de polígonos: Polygon-arc

A D E B C 7 10 4 3 9 8 2 6 1 5 universo universo Polígono Cadeias A 1,6,10,5 B 10,7,4 C 5,4,3,9 D 7,6,2,3,0,8 E 8

Topologia de polígonos: Left-right

Cadeia Esquerda Direita

1 U A 2 U D 3 C D 4 B C 5 A C 6 D A 7 D B 8 D E 9 U C 10 A B o polígono universo é o exterior

A D E B C 7 10 4 3 9 8 2 6 1 5 universo universo

Topologia

• Informação espacial: a topologia fornece propriedades geométricas (comprimento, distância, perímetro, área) • Relação espacial: a topologia cria conexões, que

funcionalmente ligam entidades que são adjacentes • Múltiplas ligações: Cada entidade é ligada a outras

entidades, fornecendo múltiplas conexões (ligações) • Análise de redes: As conexões funcionais, distância, e

outras relações espaciais, combinadas com uma BD relacional, são o ideal para interpretar entidades de rede

A topologia é aplicada (diz-se “construída”) habitualmente após a digitalização da informação

Topologia

• Vantagens das estruturas de dados topológicas:

– Fornecem um modo de lidar com erros de digitalização e edição, incluindo polígonos sobrepostos

– Reduzem o volume de dados para polígonos (a fronteira é guardada uma só vez) – Permitem análise espacial de adjacência,

conectividade e inclusão.

Uma topologia é um conjunto de relações espaciais entre nós, arestas e centroides. A topologia descreve como linhas e polígonos se relacionam e ligam e com essa descrição é possível fazer operações de análise espacial e de redes.

Shapefiles

• Introduzidos com o ArcView 2 (início da década de 1990)

• Estrutura não topológica

• Os polígonos são representados por rings (linha fechada sem autointerseções)

• Permite representar polígonos com buracos, polígonos-ilha, etc.

• Os vértices de um ring são sempre dados na ordem horária, o que permite distinguir os lados de “dentro” e “fora”

• Ocupam mais espaço que uma cobertura equivalente (mas raramente chega ao dobro de bytes)

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Shapefiles

• As features poligonais de um shapefile podem conter várias partes pelo que suportam as multipart features:

– elementos disjuntos (arquipélagos ou regiões) – elementos sobrepostos

• São representados mais rapidamente que uma cobertura; foram desenvolvidos para ArcView, mais orientado para display que para edição e análise • São mais fáceis de manipular (copiar, etc.) do que as

coberturas

• Há muito software que usa/lê/converte shapefiles mas...

• Permitem análise de vizinhança e conectividade, que é calculada on the fly

Processo típico de construção de

um CDG vetorial

• Desenho (georreferenciação /

importação / etc.)

• Criação de topologia

• Análise/deteção de erros

• Preenchimento de atributos

“Limpeza de um desenho”

“Drawing cleanup”

• Tipos de erros que existem

– Duplicados

– Curtos

– Interseções

– Undershoots

2 obj 1 obj 2 obj 1 obj 2 obj _{4 obj}

2 obj 2 obj  3 obj

“Limpeza de um desenho”

“Drawing cleanup”

• Tipos de erros que existem

– Clusters

– Pseudonós

– Dangles

– Simplificação

4 obj 4 obj 2 obj 1 obj 2 obj _{2 obj} 1 obj 1 obj

Topologia no ArcGIS

• http://webhelp.esri.com/arcgisdesktop/9.3/pdf/Topology_rules_poster.pdf

Operações de análise espacial

Recorrem à componente espacial da informação para a produção de resultados, espaciais ou alfanuméricos.

CDG - Conjunto de dados geográficos (também chamado layer, tema)

Operação espacial

Operação na tabela de atributos Sequência de processo

Indicação de Prioridade no Processo

a n á li s e e s p a c ia l

Importante: os CDG resultantes “herdam” todos os atributos dos que os antecedem e “ganham” outros novos

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União Tema A Tema B Tema C

União

a n á li s e e s p a c ia l א ב א,- ב,- א ב 2 polígonos 1 polígono 5 polígonos Há herança de atributos, incluindo as propriedades geométricas de A e B, mais os seus próprios valores para essas propriedades

Cada um 5 polígonos sabe a sua área e perímetro, e as áreas e perímetros herdadas de A e de B

União

• A operação de UNIÃO é a operação fundamental (várias das outras operações de sobreposição topológica podem ser vistas como operações sobre subconjuntos de objetos resultantes de operações de uma união)

• Ao efetuar a União é construída uma nova topologia

• A operação de União pode só estar definida em alguns SIG entre conjuntos de dados geográficos de polígonos

א,- ב,- א ב א ב

_U

₌

Int Tema A Tema B Tema C

Interseção

a n á li s e e s p a c ia l Podem-se intersetar: • pontos com polígonos • linhas com polígonos • polígonos com polígonos

Interseção

ID Tema A Tema B Tema C

( )

Identidade

a n á li s e e s p a c ia l A id B B id A

Pode fazer-se esta operação entre 2 CDG de polígonos Corte Tema A Tema B Tema C

Corte

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Fusão <atributo> Tema A Tema B A,1 C,1 C,2 A,3 _B,3 B,2 1 3 2 A B C

Fusão

a n á li s e e s p a c ia l Fusão pelo segundo atributo Fusão pelo primeiro atributo Eliminação <condição> Tema A Tema B A B C A B C

Eliminação

a n á li s e e s p a c ia l Eliminação por “área<x” Atualização Tema A Tema B Tema C

Atualização

a n á li s e e s p a c ia l B “atualiza” A A e B são CDG de polígonos Ext Tema A Tema B <Expressão> Ψ Ψ Ψ Ψ

Extração ou seleção

a n á li s e e s p a c ia l Tema A Tema B <Expressão> Ξ Φ Ξ Ψ Ψ Ψ Ψ ou Tipo = “Ψ” A “expressão” é sempre booleana Tema E Part Tema A Tema B Tema D Temas

Partição

a n á li s e e s p a c ia l B “parte” A A e B são CDG de polígonos 4 CDG resultantes Voronoi Tema A Tema B

Diagrama de Voronoi

Também se chama a esta operação “polígonos de Thiessen”

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Buffer < dist > Tema A Tema B

Buffer (envolvente)

a n á li s e e s p a c ia l Envolvente a pontos Envolvente a polígonos Envolvente a linhas Acesso < valor > Tema A Tema B a n á li s e e s p a c ia l Tema linhas

Acesso

Próximo Tema A Tema A id_próximo,dist Tema B id=27 dist=580m

Junção de tabelas

a n á li s e e s p a c ia l ID NUM TIPO 1 10 A 2 15 B 3 20 C 4 25 D 5 35 E

ID2 NUM COR

1 5 Azul 5 10 Amarelo 2 35 Amarelo 4 20 Vermelho 9 40 Verde 8 20 Branco

ID A.NUM TIPO B.NUM COR

1 10 A 5 Azul 2 15 B 35 Amarelo 3 20 C 4 25 D 20 Vermelho 5 35 E 10 Amarelo Junção pelo atributo ID de A com o atributo ID2 de B Junção ID,ID2

Junção de tabelas

• É comum a utilização da junção de tabelas como modo de resolver diversas perguntas “espaciais”

• Pode-se calcular atributos adicionais com estatísticas

Exemplo: pretende-se saber quantos pontos tem cada polígono no seu interior Tema B2 polígonos Junção B.ID,B.ID Int Tema A pontos Tema B polígonos Tema C pontos

O tema B2 vai ter um atributo com o número de pontos em cada polígono B “fornece” a parte espacial e atributos e C “fornece” mais atributos

Que operação?

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Que operação?

E se o input for o tema amarelo?

Que operação?

E se o input for o tema amarelo?

Int Tema A Tema B Tema D Buffer 30m Tema C Tema E Corte Tema F a n á li s e e s p a c ia l

Aplicações diretas

Resultado obtém-se exclusivamente com operações de análise espacial.

ID Valor ID_Poli 101 102 103 104 105 11 10 15 27 33 1 2 3 4 5 Int Tema A Tema B Tema C ID Valor 101 102 103 104 105 11 10 15 27 33 ID_Poli 1 1 3 2 3 Exemplo de aplicação composta (1/2) a n á li s e e s p a c ia l

Aplicações compostas

Resultado obtém-se combinando operações de análise espacial com operações em tabelas.

ID Valor 101 102 103 104 105 11 10 15 27 33 ID_Poli 1 1 3 2 3 S_Valor 21 27 48 ID_Poli 1 2 3 SELECT ID_Poli , SUM(Valor)

FROM Tema C GROUP BY ID_Poli ID_Poli Soma 1 2 3 4 5 ? ? ? ? ? S_Valor 21 27 48 ID_Poli 1 2 3 ID_Poli Soma 1 2 3 4 5 21 27 48 0 0 a n á li s e e s p a c ia l Exemplo de aplicação composta (2/2)

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A100 C100 _C₂₀₀ A300 B300 B200 100 300 200 A B C Int Habitantes Zonas Hab_Zon a n á li s e e s p a c ia l

Exemplo: calcular (estimar) o número de habitantes em cada zona A60 C40 C150 A100 B200 B50 10.2 11.5 12.3 A160 B250 C190 Int Habitantes Zonas Hab_Zon Habitantes Dens = N_Hab / Á N_Hab = D*A soma de N_Hab agrupados por Zona

Tab_Hab x Zon Solução simplificada usando a densidade populacional a n á li s e e s p a c ia l nó / vértice arco / aresta

Um grafo representa uma rede por um conjunto de arcos e de nós.

Uma entidade linear que liga nós é um arco ou aresta.

Os nós ou vértices representam

interseções entre os arcos ou as extremidades destes.

Redes em SIG

•coordenadas xx, yy •nome ou código da via •direção

•classificação: EM, EN, AE, IP, IC, via urbana •limite de velocidade

•volume de tráfego •comprimento •valor cénico •impedância

Atributos dos arcos e dos nós

• G = (V, A), AV2 Exemplo: V = {1,2,3,4}

A = {(1,2),(2,3),(1,4),(2,4)}

Grafo simples  não há mais que uma aresta a ligar um par de nós 1 2 4 3

Grafos simples

1 2 4 3

grafo simples _{grafo não simples}

Impedância ou

custo de um arco

:

custo do seu

atravessamento

Impedâncias

Impedância de

mudança de arco

:

tempo ou

pena-lização de efectuar

uma mudança

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Análise de caminhos mais curtos

caminhos  algoritmo de Dijkstra (fig. esq.) circuitos  problema do caixeiro-viajante (fig. dir.)

Árvore de dispersão mínima  algoritmo de Prim

Algoritmos de análise de redes

_{Algoritmo de Prim}

2 3 6 5 1 4 24 24 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 escolher (u,v)A: custo é aí mínimo

T = {u,v}

enquanto T e V forem diferentes acrescentar em T o nó v*:

(u*,v*)A, de custo mínimo: u*T e v*T fim ciclo; 2 3 6 5 1 4 24 24 18 13 11 5 12 17 5 escolher (u,v)A: custo é aí mínimo

T = {u,v}

enquanto T e V forem diferentes acrescentar em T o nó v*:

(u*,v*)A, de custo mínimo: u*T e v*T fim ciclo; T = {3,5}, custo total = 5 T = {3,5,4}, custo total = 10 T = {3,5,4,2}, custo total = 23 T = {3,5,4,2,6}, custo total = 35 T = {3,5,4,2,6,1}, custo total = 59 2 3 6 5 1 4 24 13 5 12 5

Algoritmo de Prim

Encontrar o caminho

mais curto (de menor

custo) de modo a ligar

dois locais na rede.

Exemplo: de 1 para 4 2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5

Construir duas listas indexadas pelos nós: dist

predecessor

e uma lista de nós que falta visitar

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

dist(início) = 0; lista = V; predecessor(início) = *indefinido*;

enquanto lista ≠ 

escolher v lista: dist é aí mínimo; lista = lista \ {v};

para todos os u lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v; fim ciclo; fim ciclo;

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo; dist(início) = 0; lista = V; predecessor(início) = *indefinido*; enquanto lista ≠ 

escolher v  lista: dist é aí mínimo; lista = lista \ {v};

para todos os u  lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v; fim ciclo; fim ciclo; vért. dist pred 1  2  3  4  5  6 

Algoritmo de Dijkstra

(12)

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2  3  4  5  6  para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

escolher v  lista: dist é aí mínimo; lista = lista \ {v};

para todos os u  lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v;

fim ciclo;

fim ciclo; lista = {1,2,3,4,5,6}

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2  3  4  5  6  para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

para todos os u  lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v;

fim ciclo;

fim ciclo; lista_{v = 1} = {2,3,4,5,6}

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 11 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3  4  5  6 24 1 para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

para todos os u lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v;

fim ciclo;

fim ciclo; lista_{v = 1} = {2,3,4,5,6}

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 11 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 41 6 4  5 42 6 6 24 1 para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

para todos os u lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v;

fim ciclo;

fim ciclo; lista_{v = 1,6} = {2,3,4,5}

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 41 6 4 47 5 5 42 6 6 24 1 para todos os v  V, dist(v) = ∞; fim ciclo;

para todos os u lista: (v, u)  A se dist(u) > dist(v) + custo(v,u) então dist(u) = dist(v) + custo(v,u); predecessor(u)=v; fim ciclo; fim ciclo;

Algoritmo de Dijkstra

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 Sequência vez=0 lista = {1} pred(1) = *indefinido* custo(1) = 0 vez=1 cand: (1,2)0+30; (1,6)0+24 lista = {1,6} pred(6) = 1; custo(6) = 24 vez=2 cand: (1,2)0+30; (6,2)24+12; (6,3)24+17; (6,5)24+18 lista = {1,2,6} pred(2) = 1; custo(2) = 30 vez=3 cand: (2,3)30+13;(6,3)24+17; (6,5)24+18 lista = {1,2,3,6} pred(3) = 6; custo(3) = 41

Algoritmo de Dijkstra

(13)

2 3 6 5 1 4 24 30 18 13 ₁₁ 5 12 17 5 Sequência (cont.) vez=4 cand: (3,4)41+11;(3,5)41+5;(6,5)24+18 lista = {1,2,3,5,6} pred(5) = 6; custo(5) = 42 vez=5 cand: (3,4)41+11;(5,4)42+5 lista = {1,2,3,4,5,6} pred(4) = 5; custo(4) = 47 vért. dist pred 1 0 *ind* 2 30 1 3 41 6 4 47 5 5 42 6 6 24 1

Algoritmo de Dijkstra

Indicadores topológicos

Indicadores topológicos baseados na rede (conectividade) Medida Domínio Expressão Avaliação

Número de ciclos

rede número de ciclos no grafo

Índice a rede número de ciclos em relação ao número máximo possível

de ciclos

Índice b rede número de arestas (troços) em relação ao número de vértices

Índice g

(entre 0 e 1)

rede número de arestas em relação ao máximo possível S V A  5 2    V S V A V A 6 3V A

A = #arestas V = #vértices S = #subgrafos conexos calcular p/

estas redes

Indicadores topológicos

Indicadores métricos baseados em distâncias (acessibilidade) Medida Domínio Expressão Avaliação

Número de König

nó centralidade de um nó (número de arestas necessárias para o ligar com o nó que seja mais

distante) Diâmetro rede distância (custo) entre os dois

nós mais afastados Índice de conectividade nó grau de conectividade de um nó Índice de dispersão ou de Shimbel

rede soma dos graus de conectividade de todos os nós ij j i d K max ij j i, d max



 V j ij i d A 1



  V i V j ij i d A 1 1 calcular p/ as redes do slide anterior

exercício: comparar os índices topológicos e métricos do Metro de Lisboa na rede actual e na rede futura