Utilização de Redes Neurais Artificiais para Determinação de Acréscimos de Tensões Devido a Carregamentos Triangulares

Utilização de Redes Neurais Artificiais para Determinação de

Acréscimos de Tensões Devido a Carregamentos Triangulares

Juliano de Lima

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro

Luiz Biondi Neto e Ana Cristina Castro Fontenla Sieira

Faculdade de Engenharia, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro

RESUMO: O presente trabalho descreve e discute uma aplicação de Redes Neurais Artificiais, um dos ramos da Inteligência Computacional, na determinação de tensões induzidas em um ponto qualquer do maciço de solo, devido à aplicação de uma sobrecarga triangular na superfície. A rede neural é uma ferramenta numérica que utiliza sua capacidade de aprendizado para, a partir do conhecimento prévio de diversos padrões de entrada e saída, generalizar situações diversas, dentro do intervalo de valores fornecidos inicialmente. Desta forma, quanto maior a quantidade de dados de entrada e saída utilizados na alimentação da rede neural, melhores serão os resultados de saída gerados pela rede. Os resultados mostraram erro percentual máximo de 6,52%, que apesar de relativamente alto, pode ser considerado aceitável, levando-se em consideração o número reduzido de padrões para a alimentação da rede em sua etapa de aprendizado.

PALAVRAS-CHAVE: Rede Neural Artificial, Tensões Induzidas, Carregamento Triangular. 1. INTRODUÇÃO ÀS REDES NEURAIS

ARTIFICIAIS (RNA)

As Redes Neurais Artificiais consistem em estruturas altamente paralelas, baseadas em processadores bem simples e densamente interconectados (Biondi, 2006). A denominação “Rede Neural Artificial” surgiu pela similaridade de funcionamento com a rede neural biológica, associando o corpo celular do neurônio ao processador, os dendritos aos dispositivos de entrada, e os axônios aos dispositivos de saída.

Em termos de similaridade de comportamento em relação à rede neural biológica , pode-se citar a busca paralela e o endereçamento pelo conteúdo, aprendizado, generalização, abstração, associação, robustez e degradação gradual.

A utilização de redes neurais articificiais aparece como uma alternativa eficaz durante a resolução de problemas não lineares.

A Figura 1 ilustra a arquitetura de um neurônio artificial com múltiplas entradas (x1,

x2,... xi) ao lado de um neurônio biológico.

Nesta Figura, podem ser identificadas as

entradas de dados (ramificações dendríticas), os pesos sinápticos, que poderam as entradas, a função de propagação (corpo celular) e a função de ativação associada à saída de dados (axônios).

Figura 1: Neurônio Artificial – O elemento processador A função de propagação (NET) trata do somatório dos produtos das entradas (X) pelos

X1

...

X _n W

...

1j Wnj Função de Propagação Σ Função de Ativação NET OUT

seus respectivos pesos (W), o qual é relacionado por uma função de ativação F (NET) , cujo resultado é a matriz final de saída.A figura 2 ilustra o mesmo modelo da figura 1 apresentado de outra forma.

Figura 2 : Nova representação de elemento processador A Figura 3 apresenta um exemplo de R.N.A. com apresentação de seus elementos principais.

Figura 3: Exemplo de RNA

Alguns problemas não lineares podem ser resolvidos apenas com a utilização de redes de múltiplas camadas, cuja atualização de pesos é executada por algoritmos de aprendizado, denominados BACKPROPAGATION (B.P.).A regra de propagação do B.P. é baseada na determinação de NET e F(NET).

O B.P. pode ser visto como uma generalização da Regra Delta, definida como:

2 ) ( 2 1 J j OUT T E = − , onde OUT F(W tX) j J = 2 )) ( ( 2 1 X W F T E = _j − j_t (1)

A expressão (1) define a função de erro E, à partir da saída encontrada (OUTj) e da saída

esperada (Tj) de uma camada j.

O mínimo da função de erro (2) pode ser

calculado pelo método do gradiente decrescente, sendo η a taxa de aprendizado (Pitts, 1943):

X NET E W E X W NET entao XW NET se W NET NET E W E XW F NET F OUT OUT T E W E E W j ij ij j ij N i j ij j j ij ij N i j j j j N i ij ij ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 1 1 2 1 ∂ ∂ = ∂ ∂ = ∂ ∂ Σ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ Σ = = − Σ = ∂ ∂ − = ∇ − = ∆ = = = η η

Definindo-se Sinal de Erro com o δ,

X W E W NET E j ij ij j j ηδ η δ = ∂ ∂ − = ∆ ∂ ∂ − = ) ( 2 TENSÕES INDUZIDAS 2.1 CONCEITO

Os primeiros estudos sobre o efeito da aplicação de um carregamento na superfície de um espaço semi-infinito, linear-elástico, isotrópico e homogêneo foram realizados por Boussinesq (1885). Aplicando as premissas básicas da Teoria da Elasticidade, Boussinesq desenvolveu formulações matemáticas que resultam na determinação da tensão em um ponto do solo, situado na profundidade z, e afastamento r,

SAÍDA CONEXÕES SINÁPTICAS ELEMENTOS PROCESSADORES ELEMENTOS DE TRANSFERÊNCIA (2) W2j Σ _F W1j Wnj X1 X2 Xn OUT = F (NET) NET = X1.W1j+...+ Xn.Wnj

NET = X.W (Forma Matricial)

devido à aplicação de uma carga concentrada P na superfície (Figura 4).

A expressão de Boussinesq para a determinação dos acréscimos de tensão na profunidade z é a seguinte: θ π σ 5 2 cos 2 3 z P z = (3)

A determinação dos acréscimos de tensão pela expressão (3) independe dos parâmetros elásticos (E e ν), desde que sejam constantes em todos os pontos e em todas as direções.

A expressão (3) pode ser reescrita como:

B z N z P 2 = σ (4) Com: 2 5 2 1 1 2 3 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = z r NB _π (5)

Figura 4: Tensões Devido a um Carregamento Pontual na Superfície

Posteriormente, os estudos foram estendidos de forma a considerar diferentes formas de carregamento distribuído na superfície do terreno. Dentre eles, pode-se citar: carregamento retangular, trapezoidal, circular e triangular. O presente trabalho aborda a distribuição de tensões decorrentes de um carregamento triangular distribuído na superfície do terreno. Neste caso, a distribuição de tensões no maciço de solo apresenta um comportamento peculiar. O acréscimo de tensão em um determinado ponto da massa de solo continua sendo proporcional à profundidade em relação ao nível do terreno e ao afastamento do eixo de simetria

da geometria do carregamento. No entanto, existem pontos que possuem o mesmo valor de acréscimo de tensão devido ao carregamento distribuído. O lugar geométrico destes pontos determina uma curva denominada isóbara de pressão. O conjunto de isóbaras é denominado bulbo de pressões ou bulbo de tensões induzidas.

O bulbo de pressões pode ser representado por Ábacos (soluções gráficas) que relacionam a profundidade (z) e o afastamento (r) com o acréscimo de pressão correspondente (σ z).

2.2 CARREGAMENTO TRIANGULAR

Para a determinação das tensões induzidas decorrentes de um carregamento de fundação corrida triangular e perfeitamente flexível, faz-se uso de soluções gráficas e analíticas.

As formulações que norteiam a determinação dos acréscimos de tensão ao longo da profundidade nada mais são que integrações das expressões apresentadas por Boussinesq (1885). 2.2.1 SOLUÇÃO ANALÍTICA

Carothers (1974), apresenta as seguintes expressões para a determinação dos acréscimos de tensão vertical (∆σ1) e horizontal (∆σ3)

decorrentes de um carregamento triangular aplicado na superfície:

(

)

(

)

1₂2 2 1 2 1 1 + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − α − α + α + α π ∆ = σ ∆ R R R ln b z b x q o 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α − α + π R ( ) R R ln b . z . p o (6)

(

)

(

)

1₂2 2 1 2 1 3 − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − α − α + α + α π ∆ = σ ∆ R R R ln b z b x q o 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ α − α + π R ( ) R R ln b . z . p o (7) Onde: ∆q, α1, α2, x, b, z, R0, R1 e R2 são

parâmetros que representam o carregamento aplicado na superfície, e as inclinações e distâncias em relação ao carregamento, como indicado na Figura 5. σz θ z R r P Solo σt σr

Figura 5: Carregamento triangular simétrico 2.2.2 SOLUÇÃO GRÁFICA

Com base na Teoria da Elasticidade, foi desenvolvido o ábaco apresentado na Figura 5, onde determina-se graficamente o acréscimo de tensão em qualquer ponto em profundidade e distante horizontalmente do carregamento distribuído triangular (Poulos e Davis, 1974). Este acréscimo de tensão é determinado a partir do fator de influência I, a partir das expressões (8) e (9): I q ∆ = ∆σ₁ (8) I q ∆ = ∆σ₃ (9)

Figura 6: Solução gráfica para determinação dos acréscimos de tensão

3. MODELAGEM COMPUTACIONAL: USO DAS REDES NEURAIS ARTIFICIAIS

A solução computacional gerada pela Rede Neural Artificial envolve, preliminarmente, o Processamento Neural, que é dividido em duas etapas: (1) o Treinamento, e (2) a Execução da rede para o vetor de teste.

3.1. Treinamento

O treinamento consiste na atualização dos pesos sinápticos, que ponderam os dados de entrada, cujo objetivo é o de adquirir a informação e expressá-la na forma matricial.

Nesta etapa, são definidos os vetores que alimentam a rede de dados de entrada cuja saída é conhecida.

No ábaco da Figura 6, pode-se distinguir os seguintes dados de entrada, que servirão para alimentação da rede: to carregamen do base semi lateral o afastament a x − = to carregamen do base semi de profundida a z − =

Sejam P e T as matrizes padrão de entrada (x/a ; z/a) e a saída esperada (∆σ/∆q), respectivamente: P=[0.150 0.150 0.100 0.000 0.250 0.150 0.000 0.035 ... 0.500 0.550 0.600 0.400 0.000 0.580 0.640 0.500 ... 0.800 0.800 0.570 0.400 0.000 0.750 1.000 1.100 ... 0.850 1.200 1.500 1.600 1.650 1.600 1.520 1.350 ... 0.000 0.940 1.200 1.400 1.600 1.770 1.930 2.150 ... 1.770 1.470 0.800 0.000 1.050 1.200 1.600 2.000 ... 3.000 3.070 3.200 3.130 2.950 2.100 1.400 0.000; 0.000 0.150 0.150 0.170 0.000 0.250 0.300 0.000 ... 0.000 0.100 0.150 0.550 0.700 0.000 0.400 0.800 ... 0.250 0.700 1.200 1.300 1.400 0.000 0.400 0.800 ... 0.000 0.400 0.800 1.200 1.600 1.800 2.000 2.400 ... 3.070 0.000 0.200 0.400 0.600 0.800 1.200 1.600 ... 3.200 3.600 4.000 4.170 0.000 0.150 0.270 0.630 ... 2.000 2.400 2.800 3.600 4.600 5.200 5.600 5.900]; T=[0.900 0.900 0.900 0.900 0.800 0.800 0.800 0.700 ... 0.600 0.600 0.600 0.600 0.600 0.500 0.500 0.500 ... 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400 0.300 0.300 0.300 ... 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 0.200 ... 0.200 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 0.150 ... 0.150 0.150 0.150 0.150 0.100 0.100 0.100 0.100 ... 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100 0.100]; α1 α2 z x b ∆q R0 R1 R2

A Figura 7 apresenta a curva de treinamento, com a plotagem dos pontos padrões (P,T) que alimentaram a rede.Como ex. podemos citar os primeiros pontos de cada matriz, quais sejam: P = [ ax ; az ] = [0.150 ; 0.000] T = [ q ∆ ∆σ₁ ] = [0.900] 0 1 2 3 4 5 6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 TREINAMENTO Entrada de dados (P) S ai da de da do s ( T )

Figura 7: Curva de Treinamento Ref (1)

3.1.1 Criação da Rede de Treinamento NET Para a criação da rede de treinamento neural, utilizaremos o comando newff que inicializa os pesos e define as funções de treinamento, aprendizado e desempenho da rede.

3.1.2 Definição de parâmetros de Treinamento À partir de comandos do tipo net.trainParam são definidos diversos parâmetros como no de épocas (iterações), taxa de aprendizado (η), tempo máximo de treinamento, o erro para o qual a função deverá convergir, entre outros. 3.1.3 Treinamento da rede NET

Através do comando TRAIN a rede NET é treinada baseada nos valores P, T fornecidos inicialmente.

3.2 Execução da Rede para o Vetor de Teste Nesta etapa verificamos a eficiência da rede

fornecendo pelo menos um vetor de entrada (P2) cuja saída (T2) é conhecida, logicamente não pela rede, mas pelo usuário:

P2=[0.400;1.200]: Vetor de teste de 1 elemento T2 = [0.408]: Saída calculada pela rede após processamento do algoritmo.

4. APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Na Tabela 1, estão comparados os resultados dos acréscimos de tensão determinados pelo Ábaco apresentado no item 2.2.2 (solução gráfica), e pela rede neural artificial (modelagem computacional).

Os resultados indicam erro máximo da ordem de 6,52%, podendo ser considerado aceitável.A qualidade da rede depende fundamentalmente da quantidade de dados fornecidos para treinamento e aprendizado. Quanto maior for a quantidade de dados de entrada, melhores serão os resultados fornecidos pela rede.

Os estudos apresentados no presente trabalho mostram que os conhecimentos de Inteligência Computacional aparecem como uma ferramenta capaz de determinar os acréscimos de tensões em profundidade nos maciços de solo submetidos a carregamentos distribuídos de forma triangular na superfície do terreno.

Tabela 1: Acréscimos de tensão determinados por diferentes formulações

Tabela Comparativa de dados

x/a z/a ∆σ / q Erro (adimens.) (adimens.) Ábaco RNA (%)

2,000 4,000 0,135 0,139 2,96 0,800 1,600 0,330 0,323 -2,12 0,400 1,200 0,415 0,408 -1,69 1,600 0,850 0,180 0,169 -6,11 2,800 2,000 0,130 0,123 -5,38 3,000 3,200 0,124 0,129 4,03 1,000 4,000 0,139 0,135 -2,88 0,800 3,200 0,168 0,164 -2,38 0,400 1,600 0,353 0,376 6,52 0,000 3,000 0,215 0,228 6,05 1,600 3,000 0,170 0,159 -6,47 1,200 3,000 0,169 0,181 6,10 Erro máximo : 6,52

5. CONCLUSÕES

O presente trabalho apresentou um estudo sobre a possibilidade de utilização de redes neurais artificiais na determinação de tensões induzidas em um ponto qualquer do maciço de solo, devido à aplicação de uma sobrecarga triangular na superfície.

As formulações apresentadas para a resolução deste tipo de problema geotécnico baseiam-se na Teoria da Elasticidade, com o desenvolvimento de expressões analíticas e gráficas (desenvolvimento de ábacos).

Uma comparação entre os resultados fundamentados na Teoria da Elasticidade (solução gráfica) e os resultados obtidos pela RNA (solução computacional) em diversos pontos no interior da massa de solo foi apresentada.

Os resultados desta pesquisa são ainda preliminares, mas indicam que os conhecimentos de Inteligência Computacional aparecem como uma ferramenta para a solução de problemas geotécnicos, mais especificamente no que tange à determinação dos acréscimos de tensões induzidos por carregamentos distribuídos de forma triangular.

AGRADECIMENTOS

Os autores deste trabalho agradecem ao Laboratório de Computação do Mestrado, Labbas/FEN/UERJ, pela disponibilidade de equipamentos.

REFERÊNCIAS

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