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Lógica Computacional DCC/FCUP 2019/20

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(1)

Lógica Computacional

DCC/FCUP

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Raciocínios

1 Se o André adormecer e alguém o acordar, ele diz palavrões 2 O André adormeceu

3 Não disse palavrões 4 Ninguém o acordou Será um raciocínioválido?

(3)

Raciocínios

Forma geral do raciocínio anterior:

1 (p ∧ q) → r

2 p

3 ¬r

4 ¬q

(4)

Raciocínios válidos e íntegros

Informalmente umraciocínioé uma sequência de afirmações das quais uma –a conclusão – deve serconsequência das restantes –as premissas.

A conclusão é umaconsequência lógicadas premissas, se for

verdadeirasempre que as premissas foremverdadeiras... Neste caso temos umaraciocínio válido.

Num raciocínio válido se as premissas forem verdadeiras o raciocínio éíntegro.O raciocínio que vimos era válido e íntegro...

(5)

Outro raciocínio

1 Se reprovares, tens de repetir 2 Se não estudares, reprovas 3 Não estás a repetir

4 Estudaste ou Reprovaste ou Ambos Também éválido.

(6)

Formalmente

1 r → t 2 ¬e → r 3 ¬t

(7)

Métodos de dedução

Mas como mostramos que uma conclusãoé uma consequência lógicadas premissas?

Construindo umasucessão de passosem que em cada um, a conclusão é consequência das conclusões e premissas anteriores Formalmente iremos definirsistemas de dedução

Por outro lado, para mostrar que uma conclusãonão é

consequência lógicadas premissas, temos que mostrar que existe uma situação em que as premissas podem ser verdadeiras e a conclusão falsa. Essa situação é designada decontra-exemplo.

(8)

Dedução versus Semântica

É fácil ver que se uma fórmula φ éé consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ então Γ |= φ isto é φ é consequência semântica de Γ.

Porque usar sistemas de dedução?

Para ter um método automático ou pelo menos semi-automático para obter avalidadede uma fórmula ou a sua consequência a partir de outras.

(9)

Sistemas de dedução axiomáticos

Sistema de dedução axiomático D É constituído por:

axiomas (lógicos) fórmulas base que traduzem as propriedades das conectivas

regras de inferência modo de obter fórmulas a partir de outras

Dedução, Σ `D φn

Uma sucessão finita de fórmulas φ1, . . . φn é umadedução de φn

em D a partir de um conjunto Σ de fórmulas se para cada 1 ≤ i ≤ n se verifica:

• φi ∈ Σ, ou

• φi é um axioma, ou

• φi resulta de φ1. . . φi −1 por aplicação duma regra de inferência

(10)

Sistemas de Dedução

Teorema e Demonstração

Se Σ = ∅, φn é umteorema (de D) escreve-se `D φn.

Neste caso, a dedução φ1, . . . φn diz-se umademonstraçãode φn.

Se Σ = {θ1, . . . , θn} é finito, em vez de Σ `D φ escreve-se

θ1, . . . , θn`Dφ

e D será omitido se for explícito no contexto. θ1, . . . , θn` φ

(11)

Sistema de Dedução natural, DN

Sistema inventado por G. Gentzen (1935) e cujas regras pretendem reflectir as formas de raciocínio usadas nas demonstrações

matemáticas.

• permite a introdução de hipóteses no meio da dedução

• não tem axiomas... só regras de inferência

Para cada conectiva lógica existem dois tipos de regras: de

introduçãoe de eliminação. Partimos de fórmulas com as seguintes conectivas:

(12)

Exemplo

Como mostrar que é válida (i.e um tautologia)?

(p ∨ (q ∧ r )) → ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r )) p p ∨ q p ∨ r ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r )) q ∧ r q r p ∨ q p ∨ r ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r ))

(13)

Representação das regras

Umaregra de inferênciaé da forma:

deφ1. . . φk infere-seφn

E pode ser representada graficamente por: φ1, . . . , φk

(14)

Regras de inferência DN: Conjunção

Introdução

φ ψ

φ ∧ ψ ∧ I

Se já deduzimos φ e ψ então podemos deduzir φ ∧ ψEliminação

φ ∧ ψ φ ∧ E1

φ ∧ ψ ψ ∧ E2

Se deduzimos φ ∧ ψ podemos deduzir φ; e podemos também deduzir ψ.

(15)

Exemplo Mostrar que

p ∧ q, r ` q ∧ r

Podemos construir a dedução numa árvore:

p ∧ q

q ∧ E2 r

q ∧ r

∧ I

Em que as folhas são as premissas...

(16)

Notação de Fitch

Vamos considerar um representaçãolinearpara as deduções: numera-se os passos e indica-se qual a regra a aplicar e quais as fórmulas que intervêm:

1 p ∧ q

2 r

3 q ∧E, 1

(17)

Notação de Fitch ∧

Introdução Eliminação φ .. . ψ .. . φ ∧ ψ ∧I .. . φ ∧ ψ .. . φ ∧E .. . φ ∧ ψ .. . ψ ∧E

(18)

Exemplo Mostrar que (p ∧ q) ∧ r ` r ∧ q 1 (p ∧ q) ∧ r 2 p ∧ q ∧E, 1 3 r ∧E, 1 4 q ∧E, 2 5 r ∧ q ∧I, 3, 4

(19)

Regras de inferência DN: Disjunção

Introdução φ φ ∨ ψ∨ I1 ψ φ ∨ ψ∨ I2

Se já deduzimos φ podemos deduzir qualquer disjunção que contenha φ. Eliminação φ ∨ ψ [φ] [ψ] .. . ... γ γ γ ∨ E • se já deduzimos a disjunção φ ∨ ψ

• se supusermos φ deduzirmos γ (numa sub-dedução)

• e se supusermos ψ deduzirmos γ (numa sub-dedução)

(20)

Notação de Fitch ∨

Introdução Eliminação .. . φ .. . φ ∨ ψ ∨I .. . φ .. . ψ ∨ φ ∨I φ ∨ ψ .. . φ .. . γ ψ .. . γ γ ∨E

(21)

Exemplo Mostrar que (p ∧ q) ∨ (q ∧ r ) ` q. 1 (p ∧ q) ∨ (q ∧ r ) 2 p ∧ q 3 q ∧E, 2 4 q ∧ r 5 q ∧E, 4 6 q ∨E, 1, 2–3, 4–5

(22)

Repetição

Numa dedução podemos sempre repetir uma conclusão já obtida. A essa regra chamaremosrepetição:

φ φR Mostrar que (p ∧ q) ∨ q ` q 1 (p ∧ q) ∨ q 2 p ∧ q 3 q ∧E, 2 4 q 5 q R, 4 6 q ∨E, 1, 2–3, 4–5

(23)

Uso de sub-deduções

1 (p ∧ q) ∨ (q ∧ r ) 2 p ∧ q 3 p ∧E, 2 4 q ∧E, 2 5 q ∧ r 6 q ∧E, 5 7 q ∨E, 1, 2–4, 5–6 8 q ∧ p ∧I, 7, 3

Esta dedução estáERRADA!No passo 8 é usado uma fórmula que foi deduzida numa sub-dedução que já terminou.

(24)

Uma sub-dedução é iniciada com introdução

de novas hipóteses (premissas) e as deduções

aí feitas dependem delas. Quando termina a

sub-dedução, essas hipóteses deixam de ser

assumidas e portanto

não

se podem utilizar.

(25)

Regras de inferência DN: Negação

EliminaçãoCorresponde a uma das partes do princípio da dupla negação.

¬¬φ φ ¬E

Introdução

Esta regra corresponde a demonstrações por contradição. Representamos por F uma contradição (p.e φ ∧ ¬φ).

[φ] .. . F ¬φ ¬I

Se supondo φ podemos deduzir uma contradição, então podemos deduzir ¬φ das premissas originais.

(26)

Regras de inferência DN: F

Se não considerarmos F como uma abreviatura de φ ∧ ¬φ, temos de ter uma regra para o introduzir:

Introdução(∗) φ .. . ¬φ F F I

(27)

Exemplo Mostrar φ ` ¬¬φ 1 φ 2 ¬φ 3 F F I, 1, 2 4 ¬¬φ ¬I, 2–3

(28)

Regras de inferência DN: F

Eliminação

F φF E

Se deduzimos uma contradição podemos deduzir qualquer fórmula.

(29)

Notação de Fitch ¬ e F

Introdução Eliminação ¬ φ .. . F ¬φ ¬I .. . ¬¬φ .. . φ ¬E F φ .. . ¬φ .. . F F I .. . F .. . φ F E

(30)

Métodos de demonstração

Vamos ilustrar algumas aplicações das regras anteriores.

Demonstração por casos(eliminação da disjunção) Teorema

Existem irracionais b e c tal que bc é racional.

Demonstração.

Demonstração por casos: Seja√2

√ 2

. Este número é racional ou irracional.

• Se √2

√ 2

é racional então basta tomar b = c =√2.

• Se √2

√ 2

é irracional, então seja b =√2

√ 2 e c =√2. Vem bc =√2 √ 2.√2 =√22 = 2, que é racional.

(31)

Métodos de demonstração

Demonstração por contradição(introdução da negação) Teorema

Mostrar que√2 não é racional. Demonstração.

Suponhamos que√2 é racional. Então existem inteiros p e q tal que√2 = p/q, com um deles ímpar. Temos que

p2 q2 = 2

E

p2 = 2q2

Então p2 é par e p também. E 4 | p2 e 4 | 2q2. Mas então q2

(32)

Regras de inferência DN: Implicação

Eliminação

Esta regra é habitualmente conhecida pormodus ponens(em latim, modo que afirma) e corresponde a raciocínios condicionais:

φ φ → ψ

ψ →E

(33)

Exercício Mostrar que p, p → q, p → (q → r ) ` r : 1 p → (q → r ) 2 p → q 3 p 4 q → r →E, 1, 3 5 q →E, 2, 3 6 r →E, 4, 5

(34)

Regras de inferência DN: Implicação

Introdução(regra da dedução)

A regra para introduzir uma implicação necessita duma

sub-dedução: supondo φ tentamos deduzir ψ. Se tal acontecer, terminamos a sub-dedução (retirando a suposição) e concluímos φ → ψ: [φ] .. . ψ φ → ψ→I

(35)

Exercício Mostrar que (p ∨ q) → r ` p → r : 1 (p ∨ q) → r 2 p 3 p ∨ q ∨I, 2 4 r →E, 1, 3 5 p → r →I, 1, 2–4

(36)

Introdução Eliminação φ .. . ψ φ → ψ →I φ .. . φ → ψ .. . ψ →E

(37)

Deduções sem premissas

Com a introdução da implicação (regra da dedução) podemos converter qualquer dedução com premissas numa dedução sem premissas: Exercício Mostrar ` φ → ¬¬φ 1 φ 2 ¬φ 3 F F I, 1, 2 4 ¬¬φ ¬I, 2–3 5 φ → ¬¬φ →I, 1–4

(38)

Exemplos

Exercício Mostrar usando DN: (a) p ∧ (q ∨ r ) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (b) ¬p ∨ ¬q ` ¬(p ∧ q) (c) ` ¬(p ∧ ¬p) (d) ¬(¬p ∨ q) ` p

(39)

p ∧ (q ∨ r ) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )

1 p ∧ (q ∨ r ) 2 p ∧E, 1 3 q ∨ r ∧E, 1 4 q 5 p ∧ q ∧I, 4 6 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ∨I, 5 7 r 8 p ∧ r ∧I, 7 9 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ∨I, 8 10 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ∨E, 4–6, 7–9

(40)

¬p ∨ ¬q ` ¬(p ∧ q)

1 ¬p ∨ ¬q 2 ¬p 3 p ∧ q 4 p ∧E, 3 5 F F I, 2, 4 6 ¬(p ∧ q) ¬I, 3–5 7 ¬q 8 p ∧ q 9 q ∧E, 8 10 F F I, 7, 9 11 ¬(p ∧ q) ¬I, 7–10 12 ¬(p ∧ q) ∨E, 2–11

(41)

` ¬(p ∧ ¬p)

1 p ∧ ¬p 2 p ∧E, 1 3 ¬p ∧E, 1 4 F F I, 2, 3 5 ¬(p ∧ ¬p) ¬I, 1–4

(42)

¬(¬p ∨ q) ` p

1 ¬(¬p ∨ q) 2 ¬p 3 ¬p ∨ q ∨I, 2 4 F F I, 1, 3 5 ¬¬p ¬I, 2–4 6 p ¬E, 2–4

(43)

Algumas regras derivadas de DN

A partir das regras base podemos obter regras derivadas que correspondem a teoremas no sistema DN.

Modus Tollens(em latim, modo que nega) φ → ψ ¬ψ ¬φ MT Mostrar que φ → ψ, ¬ψ ` ¬φ: 1 φ → ψ 2 ¬ψ 3 φ 4 ψ →E, 1, 3 5 F F I, 2, 4 6 ¬φ ¬I, 3–5

(44)

Algumas regras derivadas de DN

Introdução da dupla negação φ

¬¬φ¬¬I (já mostrada...)

(45)

Algumas regras derivadas de DN

Redução ao absurdo [¬φ] .. . F φ RA

Se tivermos uma dedução de F supondo ¬φ podemos ter uma dedução de ¬φ → F . Então basta mostrar ¬φ → F ` φ:

1 ¬φ → F

2 ¬φ

3 F →E, 1, 2

4 ¬¬φ ¬ I, 2–3

(46)

Algumas regras derivadas de DN

Terceiro excluído φ ∨ ¬φTE 1 ¬(φ ∨ ¬φ) 2 φ 3 φ ∨ ¬φ ∨I, 2 4 F F I, 1, 3 5 ¬φ ¬I, 2–4 6 φ ∨ ¬φ ∨I, 5 7 F F I, 1, 5 8 φ ∨ ¬φ RA, 1–7

(47)

Exercício Mostrar ¬q → ¬p ` p → ¬¬q: 1 ¬q → ¬p 2 p 3 ¬¬p ¬¬I, 2 4 ¬¬q MT, 1, 3 2 − 45 p → ¬¬q

(48)

Equivalência dedutiva

Dadas dumas fórmulas φ e ψ, dizemos que φ e ψ são

dedutivamente equivalentesse e só se φ ` ψ e ψ ` φ. E denotamos por φ a` ψ. Exercício Mostra que φ a` ψ se e só se ` (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) Contraposição:φ → ψ a` ¬ψ → ¬φ 1 φ → ψ 2 ¬ψ 3 ¬φ MT, 1, 2 4 ¬ψ → ¬φ →I, 2–3 1 ¬ψ → ¬φ 2 φ 3 ¬ψ 4 ¬φ F I, 1, 3 5 F F I, 2, 4 6 ψ RA, 6–5 7 φ → ψ →I, 2–6

(49)

Exemplos

Exercício Mostra que: a) ¬(φ ∧ ψ) ` ¬φ ∨ ¬ψ b) φ → ψ ` ¬φ ∨ ψ c) ` φ → (ψ → φ) d) ` (φ → (ψ → θ)) → ((φ → ψ) → (φ → θ)) e) ` (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ)

(50)

¬(φ ∧ ψ) ` ¬φ ∨ ¬ψ

1 ¬(φ ∧ ψ) 2 ¬(¬φ ∨ ¬ψ) 3 ¬φ 4 ¬φ ∨ ¬ψ ∨I, 3 5 F F I, 2, 4 6 ¬¬φ ¬I, 3–5 7 φ ¬E, 6 8 ¬ψ 9 ¬φ ∨ ¬ψ ∨I, 3 10 F F I, 2, 9 11 ¬¬ψ ¬I, 8–10 12 ψ ¬E, 11 13 φ ∧ ψ ∧I, 7, 12 14 F F I, 1, 13 15 ¬¬(¬φ ∨ ¬ψ) ¬I, 2, 14 16 ¬φ ∨ ¬ψ ¬E, 15

(51)

φ → ψ ` ¬φ ∨ ψ

1 φ → ψ 2 ¬(¬φ ∨ ψ) 3 ¬φ 4 ¬φ ∨ ψ ∨I, 3 5 F F I, 2, 4 6 ¬¬φ ¬I, 3–5 7 φ ¬E, 6 8 ψ →E, 1, 7 9 ¬φ ∨ ψ ∨I, 8 10 F F I, 2, 9 11 ¬¬(¬φ ∨ ψ) ¬I, 2–10 12 ¬φ ∨ ψ ¬E, 11

(52)

` φ → (ψ → φ)

1 φ 2 ψ 3 φ R, 1 4 ψ → φ →I, 2–3 5 φ → (ψ → φ) →I, 1–4

(53)

` (φ → (ψ → θ)) → ((φ → ψ) → (φ → θ))

1 φ → (ψ → θ) 2 (φ → ψ) 3 φ 4 ψ →E, 2, 3 5 ψ → θ →E, 1, 3 6 θ →E, 4, 5 7 φ → θ →I, 3–6 8 (φ → ψ) → (φ → θ) →I, 2–7 9 φ → (ψ → θ) → (φ → ψ) → (φ → θ) →I, 1–8

(54)

` (¬ψ → ¬φ) → ((¬ψ → φ) → ψ)

1 ¬ψ → ¬φ 2 ¬ψ → φ 3 ¬ψ 4 φ →E, 2, 3 5 ¬φ →E, 1, 3 6 F F I, 4, 5 7 ¬¬ψ ¬I, 3–6 8 ψ ¬E, 7 9 (¬ψ → φ) → ψ →I, 2–8 10 (¬ψ → ¬φ) → (¬ψ → φ) → ψ →I, 1–9

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