Lógica Computacional
DCC/FCUP
Raciocínios
1 Se o André adormecer e alguém o acordar, ele diz palavrões 2 O André adormeceu
3 Não disse palavrões 4 Ninguém o acordou Será um raciocínioválido?
Raciocínios
Forma geral do raciocínio anterior:
1 (p ∧ q) → r
2 p
3 ¬r
4 ¬q
Raciocínios válidos e íntegros
Informalmente umraciocínioé uma sequência de afirmações das quais uma –a conclusão – deve serconsequência das restantes –as premissas.
A conclusão é umaconsequência lógicadas premissas, se for
verdadeirasempre que as premissas foremverdadeiras... Neste caso temos umaraciocínio válido.
Num raciocínio válido se as premissas forem verdadeiras o raciocínio éíntegro.O raciocínio que vimos era válido e íntegro...
Outro raciocínio
1 Se reprovares, tens de repetir 2 Se não estudares, reprovas 3 Não estás a repetir
4 Estudaste ou Reprovaste ou Ambos Também éválido.
Formalmente
1 r → t 2 ¬e → r 3 ¬t
Métodos de dedução
Mas como mostramos que uma conclusãoé uma consequência lógicadas premissas?
Construindo umasucessão de passosem que em cada um, a conclusão é consequência das conclusões e premissas anteriores Formalmente iremos definirsistemas de dedução
Por outro lado, para mostrar que uma conclusãonão é
consequência lógicadas premissas, temos que mostrar que existe uma situação em que as premissas podem ser verdadeiras e a conclusão falsa. Essa situação é designada decontra-exemplo.
Dedução versus Semântica
É fácil ver que se uma fórmula φ éé consequência lógica de um conjunto de fórmulas Γ então Γ |= φ isto é φ é consequência semântica de Γ.
Porque usar sistemas de dedução?
Para ter um método automático ou pelo menos semi-automático para obter avalidadede uma fórmula ou a sua consequência a partir de outras.
Sistemas de dedução axiomáticos
Sistema de dedução axiomático D É constituído por:
axiomas (lógicos) fórmulas base que traduzem as propriedades das conectivas
regras de inferência modo de obter fórmulas a partir de outras
Dedução, Σ `D φn
Uma sucessão finita de fórmulas φ1, . . . φn é umadedução de φn
em D a partir de um conjunto Σ de fórmulas se para cada 1 ≤ i ≤ n se verifica:
• φi ∈ Σ, ou
• φi é um axioma, ou
• φi resulta de φ1. . . φi −1 por aplicação duma regra de inferência
Sistemas de Dedução
Teorema e Demonstração
Se Σ = ∅, φn é umteorema (de D) escreve-se `D φn.
Neste caso, a dedução φ1, . . . φn diz-se umademonstraçãode φn.
Se Σ = {θ1, . . . , θn} é finito, em vez de Σ `D φ escreve-se
θ1, . . . , θn`Dφ
e D será omitido se for explícito no contexto. θ1, . . . , θn` φ
Sistema de Dedução natural, DN
Sistema inventado por G. Gentzen (1935) e cujas regras pretendem reflectir as formas de raciocínio usadas nas demonstrações
matemáticas.
• permite a introdução de hipóteses no meio da dedução
• não tem axiomas... só regras de inferência
Para cada conectiva lógica existem dois tipos de regras: de
introduçãoe de eliminação. Partimos de fórmulas com as seguintes conectivas:
Exemplo
Como mostrar que é válida (i.e um tautologia)?
(p ∨ (q ∧ r )) → ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r )) p p ∨ q p ∨ r ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r )) q ∧ r q r p ∨ q p ∨ r ((p ∨ q) ∧ (p ∨ r ))
Representação das regras
Umaregra de inferênciaé da forma:
deφ1. . . φk infere-seφn
E pode ser representada graficamente por: φ1, . . . , φk
Regras de inferência DN: Conjunção
Introdução
φ ψ
φ ∧ ψ ∧ I
Se já deduzimos φ e ψ então podemos deduzir φ ∧ ψEliminação
φ ∧ ψ φ ∧ E1
φ ∧ ψ ψ ∧ E2
Se deduzimos φ ∧ ψ podemos deduzir φ; e podemos também deduzir ψ.
Exemplo Mostrar que
p ∧ q, r ` q ∧ r
Podemos construir a dedução numa árvore:
p ∧ q
q ∧ E2 r
q ∧ r
∧ I
Em que as folhas são as premissas...
Notação de Fitch
Vamos considerar um representaçãolinearpara as deduções: numera-se os passos e indica-se qual a regra a aplicar e quais as fórmulas que intervêm:
1 p ∧ q
2 r
3 q ∧E, 1
Notação de Fitch ∧
Introdução Eliminação φ .. . ψ .. . φ ∧ ψ ∧I .. . φ ∧ ψ .. . φ ∧E .. . φ ∧ ψ .. . ψ ∧EExemplo Mostrar que (p ∧ q) ∧ r ` r ∧ q 1 (p ∧ q) ∧ r 2 p ∧ q ∧E, 1 3 r ∧E, 1 4 q ∧E, 2 5 r ∧ q ∧I, 3, 4
Regras de inferência DN: Disjunção
Introdução φ φ ∨ ψ∨ I1 ψ φ ∨ ψ∨ I2Se já deduzimos φ podemos deduzir qualquer disjunção que contenha φ. Eliminação φ ∨ ψ [φ] [ψ] .. . ... γ γ γ ∨ E • se já deduzimos a disjunção φ ∨ ψ
• se supusermos φ deduzirmos γ (numa sub-dedução)
• e se supusermos ψ deduzirmos γ (numa sub-dedução)
Notação de Fitch ∨
Introdução Eliminação .. . φ .. . φ ∨ ψ ∨I .. . φ .. . ψ ∨ φ ∨I φ ∨ ψ .. . φ .. . γ ψ .. . γ γ ∨EExemplo Mostrar que (p ∧ q) ∨ (q ∧ r ) ` q. 1 (p ∧ q) ∨ (q ∧ r ) 2 p ∧ q 3 q ∧E, 2 4 q ∧ r 5 q ∧E, 4 6 q ∨E, 1, 2–3, 4–5
Repetição
Numa dedução podemos sempre repetir uma conclusão já obtida. A essa regra chamaremosrepetição:
φ φR Mostrar que (p ∧ q) ∨ q ` q 1 (p ∧ q) ∨ q 2 p ∧ q 3 q ∧E, 2 4 q 5 q R, 4 6 q ∨E, 1, 2–3, 4–5
Uso de sub-deduções
1 (p ∧ q) ∨ (q ∧ r ) 2 p ∧ q 3 p ∧E, 2 4 q ∧E, 2 5 q ∧ r 6 q ∧E, 5 7 q ∨E, 1, 2–4, 5–6 8 q ∧ p ∧I, 7, 3Esta dedução estáERRADA!No passo 8 é usado uma fórmula que foi deduzida numa sub-dedução que já terminou.
Uma sub-dedução é iniciada com introdução
de novas hipóteses (premissas) e as deduções
aí feitas dependem delas. Quando termina a
sub-dedução, essas hipóteses deixam de ser
assumidas e portanto
não
se podem utilizar.
Regras de inferência DN: Negação
EliminaçãoCorresponde a uma das partes do princípio da dupla negação.
¬¬φ φ ¬E
Introdução
Esta regra corresponde a demonstrações por contradição. Representamos por F uma contradição (p.e φ ∧ ¬φ).
[φ] .. . F ¬φ ¬I
Se supondo φ podemos deduzir uma contradição, então podemos deduzir ¬φ das premissas originais.
Regras de inferência DN: F
Se não considerarmos F como uma abreviatura de φ ∧ ¬φ, temos de ter uma regra para o introduzir:
Introdução(∗) φ .. . ¬φ F F I
Exemplo Mostrar φ ` ¬¬φ 1 φ 2 ¬φ 3 F F I, 1, 2 4 ¬¬φ ¬I, 2–3
Regras de inferência DN: F
Eliminação
F φF E
Se deduzimos uma contradição podemos deduzir qualquer fórmula.
Notação de Fitch ¬ e F
Introdução Eliminação ¬ φ .. . F ¬φ ¬I .. . ¬¬φ .. . φ ¬E F φ .. . ¬φ .. . F F I .. . F .. . φ F EMétodos de demonstração
Vamos ilustrar algumas aplicações das regras anteriores.
Demonstração por casos(eliminação da disjunção) Teorema
Existem irracionais b e c tal que bc é racional.
Demonstração.
Demonstração por casos: Seja√2
√ 2
. Este número é racional ou irracional.
• Se √2
√ 2
é racional então basta tomar b = c =√2.
• Se √2
√ 2
é irracional, então seja b =√2
√ 2 e c =√2. Vem bc =√2 √ 2.√2 =√22 = 2, que é racional.
Métodos de demonstração
Demonstração por contradição(introdução da negação) Teorema
Mostrar que√2 não é racional. Demonstração.
Suponhamos que√2 é racional. Então existem inteiros p e q tal que√2 = p/q, com um deles ímpar. Temos que
p2 q2 = 2
E
p2 = 2q2
Então p2 é par e p também. E 4 | p2 e 4 | 2q2. Mas então q2
Regras de inferência DN: Implicação
Eliminação
Esta regra é habitualmente conhecida pormodus ponens(em latim, modo que afirma) e corresponde a raciocínios condicionais:
φ φ → ψ
ψ →E
Exercício Mostrar que p, p → q, p → (q → r ) ` r : 1 p → (q → r ) 2 p → q 3 p 4 q → r →E, 1, 3 5 q →E, 2, 3 6 r →E, 4, 5
Regras de inferência DN: Implicação
Introdução(regra da dedução)
A regra para introduzir uma implicação necessita duma
sub-dedução: supondo φ tentamos deduzir ψ. Se tal acontecer, terminamos a sub-dedução (retirando a suposição) e concluímos φ → ψ: [φ] .. . ψ φ → ψ→I
Exercício Mostrar que (p ∨ q) → r ` p → r : 1 (p ∨ q) → r 2 p 3 p ∨ q ∨I, 2 4 r →E, 1, 3 5 p → r →I, 1, 2–4
Introdução Eliminação φ .. . ψ φ → ψ →I φ .. . φ → ψ .. . ψ →E
Deduções sem premissas
Com a introdução da implicação (regra da dedução) podemos converter qualquer dedução com premissas numa dedução sem premissas: Exercício Mostrar ` φ → ¬¬φ 1 φ 2 ¬φ 3 F F I, 1, 2 4 ¬¬φ ¬I, 2–3 5 φ → ¬¬φ →I, 1–4
Exemplos
Exercício Mostrar usando DN: (a) p ∧ (q ∨ r ) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) (b) ¬p ∨ ¬q ` ¬(p ∧ q) (c) ` ¬(p ∧ ¬p) (d) ¬(¬p ∨ q) ` pp ∧ (q ∨ r ) ` (p ∧ q) ∨ (p ∧ r )
1 p ∧ (q ∨ r ) 2 p ∧E, 1 3 q ∨ r ∧E, 1 4 q 5 p ∧ q ∧I, 4 6 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ∨I, 5 7 r 8 p ∧ r ∧I, 7 9 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ∨I, 8 10 (p ∧ q) ∨ (p ∧ r ) ∨E, 4–6, 7–9¬p ∨ ¬q ` ¬(p ∧ q)
1 ¬p ∨ ¬q 2 ¬p 3 p ∧ q 4 p ∧E, 3 5 F F I, 2, 4 6 ¬(p ∧ q) ¬I, 3–5 7 ¬q 8 p ∧ q 9 q ∧E, 8 10 F F I, 7, 9 11 ¬(p ∧ q) ¬I, 7–10 12 ¬(p ∧ q) ∨E, 2–11` ¬(p ∧ ¬p)
1 p ∧ ¬p 2 p ∧E, 1 3 ¬p ∧E, 1 4 F F I, 2, 3 5 ¬(p ∧ ¬p) ¬I, 1–4¬(¬p ∨ q) ` p
1 ¬(¬p ∨ q) 2 ¬p 3 ¬p ∨ q ∨I, 2 4 F F I, 1, 3 5 ¬¬p ¬I, 2–4 6 p ¬E, 2–4Algumas regras derivadas de DN
A partir das regras base podemos obter regras derivadas que correspondem a teoremas no sistema DN.
Modus Tollens(em latim, modo que nega) φ → ψ ¬ψ ¬φ MT Mostrar que φ → ψ, ¬ψ ` ¬φ: 1 φ → ψ 2 ¬ψ 3 φ 4 ψ →E, 1, 3 5 F F I, 2, 4 6 ¬φ ¬I, 3–5
Algumas regras derivadas de DN
Introdução da dupla negação φ
¬¬φ¬¬I (já mostrada...)
Algumas regras derivadas de DN
Redução ao absurdo [¬φ] .. . F φ RASe tivermos uma dedução de F supondo ¬φ podemos ter uma dedução de ¬φ → F . Então basta mostrar ¬φ → F ` φ:
1 ¬φ → F
2 ¬φ
3 F →E, 1, 2
4 ¬¬φ ¬ I, 2–3
Algumas regras derivadas de DN
Terceiro excluído φ ∨ ¬φTE 1 ¬(φ ∨ ¬φ) 2 φ 3 φ ∨ ¬φ ∨I, 2 4 F F I, 1, 3 5 ¬φ ¬I, 2–4 6 φ ∨ ¬φ ∨I, 5 7 F F I, 1, 5 8 φ ∨ ¬φ RA, 1–7Exercício Mostrar ¬q → ¬p ` p → ¬¬q: 1 ¬q → ¬p 2 p 3 ¬¬p ¬¬I, 2 4 ¬¬q MT, 1, 3 2 − 45 p → ¬¬q
Equivalência dedutiva
Dadas dumas fórmulas φ e ψ, dizemos que φ e ψ são
dedutivamente equivalentesse e só se φ ` ψ e ψ ` φ. E denotamos por φ a` ψ. Exercício Mostra que φ a` ψ se e só se ` (φ → ψ) ∧ (ψ → φ) Contraposição:φ → ψ a` ¬ψ → ¬φ 1 φ → ψ 2 ¬ψ 3 ¬φ MT, 1, 2 4 ¬ψ → ¬φ →I, 2–3 1 ¬ψ → ¬φ 2 φ 3 ¬ψ 4 ¬φ F I, 1, 3 5 F F I, 2, 4 6 ψ RA, 6–5 7 φ → ψ →I, 2–6