Disciplina: Laboratório de Engenharia Química I Período: 2017.2 rev. 1.6
ESTUDO DA VELOCIDADE TERMINAL DE CORPOS EM ESCOAMENTO DESCENDENTE
1. Objetivo
Determinar o coeficiente de arraste (CD) de corpos e a viscosidade dinâmica () de um fluido
através do escoamento descendente destes objetos neste fluido.
2. Fundamentação Teórica
Em muitos temas de mecânica dos fluidos, o fluido move-se sobre um corpo estacionário, outras vezes, um corpo move-se através de um fluido estacionário. Estes dois fenômenos, embora distintos, são equivalentes na análise da mecânica dos fluidos, pois o que importa é o movimento relativo entre o fluido e o corpo. Tais fenômenos onde se estuda o movimento de um corpo em um fluido estacionário são chamados de “Escoamentos sobre Corpos ou Escoamentos Externos”.
2.1 Aspectos teóricos relacionados ao experimento
Quando um corpo é mergulhado dentro de um líquido e sobre ação de seu peso se desloca verticalmente para baixo, três forças principais agem no mesmo: a força peso (W) direcionada para baixo, a força de empuxo (E) direcionada para cima e a força de arraste (FD) que aponta no sentido contrário ao movimento do corpo. O equacionamento do
problema ocorrerá da seguinte forma:
𝑾 − 𝑬 − 𝑭𝑫 = 𝒎𝒂 (1)
Quando o equilíbrio de forças se estabelece, diz-se que o sistema atingiu seu estado estacionário e o corpo está em descida à velocidade constante, a velocidade terminal (Vt).
No experimento que será realizado, a velocidade terminal, o diâmetro e a massa específica do corpo, entre outras propriedades, serão empregados para estimar a viscosidade do fluido no qual ocorre o escoamento.
2.2 Arraste e sustentação
Um fluido pode exercer forças e momentos sobre um corpo em várias direções. Quando em repouso, um fluido exerce somente forças de pressão normais à superfície de um corpo
imerso nele. No entanto, um fluido em movimento também exerce forças tangenciais de cisalhamento na superfície por causa de efeitos viscosos. Por exemplo, quando você estende o braço para fora de um carro em movimento, você experimenta uma espécie de “empurrão” exercido pelo vento em seu braço e que resulta da ação de uma força.
A força que resulta da ação de um fluido sobre um corpo na direção do escoamento é chamada de Arraste. Esta força deve-se aos efeitos combinados da pressão e das forças de cisalhamento na superfície do corpo (atrito), na direção do escoamento do fluido. Quando as componentes de pressão e as forças de cisalhamento numa superfície agem na direção normal ao escoamento do fluido, a força resultante recebe o nome de sustentação.
2.3 Coeficiente de Arraste
As forças de arraste e sustentação dependem, entre outros parâmetros, da massa específica do fluido, da velocidade à montante V do corpo e do tamanho, forma e orientação do corpo. Um procedimento prático para estimar estas forças é trabalhar com números adimensionais apropriados que representam suas características. No caso da força de arraste, este número é o Coeficiente de Arraste CD, o qual é definido abaixo:
𝑪𝑫= 𝑭𝑫
𝟏 𝟐𝝆𝑭𝑽²𝑨
(𝟐)
onde FD é a força de arraste, A é a área frontal do corpo (a área projetada sobre um plano
normal à direção do escoamento), F é a massa específica do fluido e V a velocidade à
montante do corpo.
No estudo dos fatores que caracterizam o arraste sobre os corpos é comum uma análise separada das contribuições referentes ao atrito e à pressão. O arraste de atrito é a componente da força de cisalhamento da superfície do corpo na direção do escoamento, portanto, depende da orientação do corpo, bem como da intensidade da tensão de cisalhamento na superfície. O arraste de atrito é zero para uma superfície plana normal (perpendicular) ao escoamento, e máximo para uma superfície plana paralela ao escoamento do fluido. O arraste de pressão é proporcional à área frontal e à diferença entre as pressões que agem na frente e atrás do corpo imerso. Desta forma, o arraste de pressão é dominante para corpos rombudos (“arredondados”, bojudos; como cilindros e esferas), e pequeno para corpos carenados. O arraste de pressão torna-se mais significativo quando a velocidade do fluido é muito alta para o fluido seguir a curvatura do corpo e, portanto, o fluido se separa do corpo em algum ponto e cria uma região de pressão muito baixa na
parte traseira do corpo e o arraste, neste caso, é devido à grande diferença de pressão entre os lados frontal e traseiro do corpo.
𝑪𝑫 = 𝑪𝑫,𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐+ 𝑪𝑫,𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 ⇒ 𝑭𝑫 = 𝑭𝑫,𝒂𝒕𝒓𝒊𝒕𝒐+ 𝑭𝑫,𝒑𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 (3)
A natureza do escoamento afeta significativamente o Coeficiente de Arraste total. O coeficiente de arraste (CD), em geral, depende do Número de Reynolds (Re), especialmente
para Re < 104. Com Re mais elevados, C
D permanece essencialmente constante para a
maioria das geometrias, visto que o escoamento torna-se totalmente turbulento. No entanto, esse não é o caso para corpos arredondados (rombudos).
O coeficiente de arraste exibe um comportamento diferente nas regiões de Re baixo (Re ≤ 1; escoamento lento), moderado (1 < Re ≤ 2 x 105; laminar) e alto (Re ≥ 2 x 105; turbulento).
Muitos autores atribuem a escoamentos em que Re < 0,5 “o Regime de Stokes” para cilindros e esferas, Recrítico fica em torno de 2 x 105. Para corpos com área frontal A de
escoamento circular, tem-se: 𝑭𝑫 = 𝑪𝑫𝑨 𝝆𝑽² 𝟐 = 𝑪𝑫 𝝅𝑫² 𝟒 𝝆𝑽² 𝟐 = 𝑪𝑫 𝝅𝑫² 𝟖 𝝆𝑽² (4)
A expressão acima, no regime de Stokes, onde CD = 24/Re, permite determinar a força de
arraste como sendo:
𝑭𝑫 = 𝑪𝑫 𝝅𝑫²
𝟖 𝝆𝑽² = 𝟑𝝅𝝁𝐃𝐕 (5)
Na presença de contornos rígidos, a força de arraste necessita ser corrigida. Segundo, MASSARANI (2002), quando uma esfera com diâmetro D está em translação retilínea e uniforme ao longo do eixo de um tubo de diâmetro Dt e o fluido está em repouso, a força de
arraste pode ser calculada por meio da seguinte expressão: 𝑭𝑫 = 𝑪𝑫
𝝅𝑫²
𝟖 𝝆𝑽² [𝟏 + 𝟐, 𝟏(𝑫 𝑫⁄ 𝒕)] = 𝟑𝝅𝝁𝐃𝐕 [𝟏 + 𝟐, 𝟏(𝑫 𝑫⁄ 𝒕)] (6)
O coeficiente de arraste pode ser determinado experimentalmente medindo-se a velocidade terminal de uma partícula isolada (V), ou seja, a velocidade constante atingida pela
partícula isolada quando deixada escoar em um fluido inicialmente em repouso. Partindo-se de valores experimentais para V, substituindo-se (6) em (1), tem-se:
𝑪𝑫= 𝟒 𝟑𝒈𝑫 [ (𝝆𝒄−𝝆𝑭) 𝝆𝑭𝑽∞² [𝟏+𝟐,𝟏(𝑫 𝑫 𝒕 ⁄ )]] (7)
Ou, alternativamente para o cálculo da viscosidade, no regime de Stokes, onde CD = 24/Re,
ficamos com: 𝝁 = 𝒈𝑫𝟐 𝟏𝟖 [ (𝝆𝒄−𝝆𝑭) 𝑽∞ [𝟏+𝟐,𝟏(𝑫 𝑫⁄ 𝒕)] ] (8)
A rugosidade da superfície, em geral, aumenta o coeficiente de Arraste no escoamento turbulento em torno de corpos carenados. No entanto, em corpos rombudos, um aumento na rugosidade da superfície pode na realidade diminuir o coeficiente de Arraste, pois nestes corpos é induzida uma turbulência na camada limite para um Re menor, fazendo o fluido fechar na parte posterior do corpo, estreitando a esteira e reduzindo consideravelmente o arraste de pressão. Isso resulta em um CD muito menor e, portanto, uma força de arraste
muito menor em certo intervalo de Re, se comparado com outros de superfície lisa e tamanho idêntico, na mesma velocidade.
2.5 Correlações para a fluidodinâmica de uma partícula isolada
Na literatura estão disponíveis diversas correlações baseadas no estudo do movimento de uma partícula isolada (esférica ou isométrica) em um fluido Newtoniano. Tais correlações podem ser utilizadas, por exemplo, para determinar a velocidade terminal da partícula (conhecendo-se o diâmetro) e CD a partir de Re.
Para corpos isométricos (poliedros regulares) ou de formato pouco uniforme, em que não é possível determinar o diâmetro, a medida de diâmetro utilizada nas correlações é dita diâmetro volumétrico (Dp) (MASSARANI, 2002). Este diâmetro corresponde ao diâmetro da
esfera de mesmo volume que o volume da partícula (Vp):
𝐷𝑝= ( 6 𝜋𝑉𝑝)
1/3
(𝟖)
Para corpos aproximadamente esféricos, Dp é o próprio diâmetro da partícula D.
Relações envolvendo a esfericidade das partículas são utilizadas para readequar as equações para corpos não-esféricos. A esfericidade é definida como a razão entre a superfície da esfera com o mesmo volume que a partícula e a superfície desta última:
𝜙 = 𝜋𝐷𝑝²
𝑆𝑝 (𝟗)
sendo Sp a área superficial da partícula.
Nas tabelas seguintes, são apresentadas correlações empíricas obtidas para a fluidodinâmica da partícula isométrica isolada em um fluido newtoniano MASSARANI (2002). Tais expressões também podem ser utilizadas para a obtenção dos valores de CD e .
Tabela 1 - Correlações para a partícula esférica isolada. (Re < 5 x 104).
Correlação n Valor médio e Desvio padrão
𝑪𝑫= [( 𝟐𝟒 𝑹𝒆∞ ) 𝒏 + 𝟎, 𝟒𝟑𝒏] 𝟏/𝒏 (𝟏𝟎) 0,63 (𝑪𝑫)𝒆𝒙𝒑 (𝑪𝑫)𝒄𝒐𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟎 ± 𝟎, 𝟎𝟗 𝑹𝒆∞ = [( 𝑪𝑫𝑹𝒆𝟐 𝟐𝟒 ) −𝒏 + (𝑪𝑫𝑹𝒆 𝟐 𝟎, 𝟒𝟑 ) −𝒏 𝟐 ] −𝟏𝒏 (𝟏𝟏) 0,95 (𝑹𝒆)𝒆𝒙𝒑 (𝑹𝒆)𝒄𝒐𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟎 ± 𝟎, 𝟎𝟔 Fonte: MASSARANI (2002).
Tabela 2 - Correlações para a partícula isométrica isolada. (0,65 < ϕ < 1 e Re < 5 x 104).
Correlação n Valor médio e Desvio padrão
𝑪𝑫= [( 𝟐𝟒 𝑲𝟏𝑹𝒆∞) 𝒏 + 𝑲𝟐𝒏] 𝟏/𝒏 (12) 0,85 (𝑪𝑫)𝒆𝒙𝒑 (𝑪𝑫)𝒄𝒐𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟎 ± 𝟎, 𝟏𝟑 𝑹𝒆∞ = [( 𝑲𝟏𝑪𝑫𝑹𝒆² 𝟐𝟒 ) −𝒏 + (𝑪𝑫𝑹𝒆² 𝑲𝟐 ) −𝒏 𝟐 ] −𝟏/𝒏 (13) 1,2 (𝑹𝒆)𝒆𝒙𝒑(𝑹𝒆)𝒄𝒐𝒓 = 𝟏, 𝟎𝟎 ± 𝟎, 𝟏𝟎 Fonte: MASSARANI (2002).
Tabela 3 - Correlações para a partícula isométrica isolada que permitem o cálculo do coeficiente de arraste e da velocidade terminal. (0,65 < ϕ 1).
Variável a ser Estimada Regime de Stokes (Re < 0,5) Regime de Newton (103 < Re < 5 x 104) CD ( 𝟐𝟒 𝑲𝟏𝑹𝒆∞) (14) 𝑲𝟐 (15) V 𝒈(𝝆𝒄−𝝆𝑭)𝑫𝒑𝟐 𝟏𝟖𝛍 𝑲𝟏 (16) [𝟒(𝝆𝒄𝟑𝝆−𝝆𝑭)𝒈𝑫𝒑 𝑭𝑲𝟐 ] 𝟏/𝟐 (17) Fonte: MASSARANI (2002). Sendo: 𝑹𝒆∞= 𝑫𝒑𝑽∞𝝆𝑭 𝝁 (𝟏𝟖) 𝑪𝑫𝑹𝒆² = 𝟒 𝟑 𝝆𝑭(𝝆𝑪− 𝝆𝑭)𝒈𝑫𝒑³ 𝝁² (𝟏𝟗) 𝑲𝟏= 𝟎, 𝟖𝟒𝟑 𝐋𝐨𝐠𝟏𝟎( 𝝓 𝟎, 𝟎𝟔𝟓) (𝟐𝟎) 𝑲𝟐= 𝟓, 𝟑𝟏 − 𝟒, 𝟖𝟖𝝓 (𝟐𝟏)
Tabela 4 - Correlações para o efeito de parede na fluidodinâmica da partícula isométrica em fluido newtoniano. (0,65 < ϕ 1; 0 < Dp/Dt 0,5).
Variável a ser Estimada
Re = FDpV/ ( V é a velocidade terminal para a partícula isolada)
< 0,1 0,1 - 103 > 103 kP = Vt/V (22) = Dp/Dt (23) 𝒌𝑷= [ 𝟏−𝜷 𝟏−𝟎,𝟒𝟕𝟓𝜷] 𝟒 (24) 𝒌𝑷 = [ 𝟏𝟎 𝟏+𝑨𝐑𝐞𝑩] (25) A = 8,91e2,79 B = 1,17 x 10-3 – 0,281 𝒌𝑷= 𝟏 − 𝜷𝟑/𝟐 (26) 𝑹𝒆 = (𝟐𝟒𝑲 𝟏) ∙ 𝒆𝟑,𝟓𝟒𝜷 (𝑪𝑫𝒏−𝑲𝟐𝒏) 𝟏 𝒏 ; 𝒏 = 𝟎, 𝟖𝟓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝑹𝒆 < 𝟑𝟓 (27) 𝑪𝑫= 𝟒 𝟑𝒈𝑫𝒑[ (𝝆𝒄−𝝆𝑭) 𝝆𝑭𝑽𝒕² ] (28) 𝑲𝟏= 𝟎, 𝟖𝟒𝟑 𝐋𝐨𝐠𝟏𝟎( 𝝓 𝟎, 𝟎𝟔𝟓) (𝟐𝟎) 𝑲𝟐= 𝟓, 𝟑𝟏 − 𝟒, 𝟖𝟖𝝓 (𝟐𝟏) Fonte: MASSARANI (2002). 3. Materiais
- 01 paquímetro; - 01 termômetro; - 01 cronômetro/celular com cronômetro; - 01 proveta de 1 L ou 2L; - 1 balança analítica; - De 1 a 2L de líquidos que terão sua viscosidade determinada; - 01 balão volumétrico de fundo chato de 5mL; - Corpos esféricos (de preferência material plástico); - Corpos de formato não-esférico (cone e/ou hemiesfera etc).
4. Procedimento Experimental
a. Medir as dimensões de cada corpo com um paquímetro, registrando os valores encontrados em triplicata. Determinar o volume dos corpos a serem estudados, estimando sua incerteza;
b. Pesar os corpos a serem testados em balança para registro de sua massa e estimativa de sua massa específica;
c. Usando um balão volumétrico de 5mL e a balança analítica, determinar a massa específica do líquido testado e a incerteza deste valor;
d. Adicionar aproximadamente de 1 a 2L do líquido dentro de uma proveta;
e. Mergulhar um corpo de cada vez, de forma cuidadosa para que o mesmo penetre no fluido com a menor velocidade possível e sem turbulência conforme figura 1;
f. Registrar por meio de um cronômetro/celular, o tempo necessário para que o corpo percorra o espaço compreendido entre as marcas sinalizadas na proveta;
g. Repetir o experimento em triplicata. Para isso, transfira o líquido da proveta para um recipiente vazio. Recupere os corpos. Repita o procedimento a partir do passo d.
h. De posse dos dados obtidos, determinar o coeficiente de descarga para cada corpo testado e a viscosidade do fluido, levando-se em consideração a incerteza presente. Comparar os resultados com dados da literatura.
5. Cálculos e discussões
De posse das correlações apresentadas, estimar por diversas delas o coeficiente de arrasto e a viscosidade do fluido. Considerar, em função dos resultados obtidos, quais correlações deveriam ser utilizadas e quais corpos testados devem fornecer melhores estimativas. Roteiro de cálculos:
- Para os corpos “mais aproximadamente” esféricos (ϕ ≥ 0,95): usar correlações para partículas esféricas (7), (8), (10) e (11).
- Para os corpos “menos esféricos” (0,65 ≤ ϕ < 0,95): usar equações para a partícula isométrica (expressões existentes nas tabelas 2 a 4).
Em todos os casos, estimar CD e , indicando as expressões consideradas mais adequadas.
Responder às questões propostas no questionário a seguir.
6. Questionário
a. Qual seria a implicação em utilizar uma esfera de aço maciço ao invés de uma plástica, para a análise da velocidade terminal?
b. O líquido testado é um fluido Newtoniano? Se não for, quais as consequências disto? c. É prudente adotar regime de Stokes para o movimento dos corpos testados?
d. O espaço percorrido considerado é suficiente para estabelecimento de velocidade constante? Prove sua resposta, determinando o comprimento da região de aceleração e demonstrando por meio gráfico e de cálculos em função dos dados obtidos experimentalmente.
e. Para a determinação da viscosidade do líquido, qual corpo seria o mais indicado para esta estimativa? Compare o valor obtido com um disponível na literatura técnica para
consulta (Para o detergente, segundo a FISPQ, pode ser usado o valor 0,255 Pa.s para o Detergente Neutro Ypê). Discuta possíveis desvios.
f. Comparando-se os valores de coeficiente de arraste dos objetos obtidos pelas equações e pelas correlações propostas, com os disponíveis na literatura (consultar obras de YOUNG et al. (2004), ÇENGEL e CIMBALA (2007) e Handbooks de engenharia), o que você pode concluir? Foram semelhantes? Se não, quais fatores você supõe terem influenciado nos resultados e que não foram considerados?
g. Os efeitos de borda foram significativos?
7. Bibliografia
• ÇENGEL, Y. A. e CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos. 1ª. Edição. McGraw Hill - Artmed, 2007;
• YOUNG, DONALD F., MUNSON, BRUCE R. E OKIISHI, Fundamentos da Mecânica
dos Fluidos. Tradução da 4ª edição norte-americana. Edgard Blucher, 2004;
• MASSARANI, Giulio. Fluidodinâmica em Sistemas Particulados. 2ª Edição. Rio de Janeiro: E-papers Serviços Editoriais, 2002.
