Raciocinio Logico e Matematica.pdf

VALÉRIA LANNA

Coleção

TRIBUNAIS e MPU

Coordenador

HENRIQUE CORREIA

3.ª

edição

revista, ampliada e atualizada

2016

RACIOCÍNIO LÓGICO

E MATEMÁTICA

PARA OS CONCURSOS DE TÉCNICO, ANALISTA E PERITO DO INSS

E TÉCNICO E ANALISTA DOS TRIBUNAIS

Editais sistematizados

– Raciocínio lógico-matemático

1. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS (FCC) - RACIOCÍNIO LÓGICO MATEMÁTICO-

TÉCNICO E ANALISTA

Conteúdo Detalhamento dos tópicos Capítulo

1. Raciocínio lógico-mate-mático: Estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictí-cios; deduzir novas infor-mações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações.

PROPOSIÇÕES. CONECTIVOS: Conceito de proposição. Valores

lógicos das proposições. Conectivos.

Introdução, Cap. 02 e 03

OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÕES: Negação de uma

proposição. Conjugação de duas proposições. Disjunção de duas proposições. Proposição condicional. Proposição bicon-dicional.

Cap. 04

TABELAS-VERDADE DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Construção de Proposições Conjuntas. Tabela-Verdade de Proposições Conjuntas.

Cap. 04

EQUIVALÊNCIA LÓGICA E IMPLICAÇÃO LÓGICA: Equivalência lógica.

Propriedades da relação de equivalência lógica. Recíproca, contrária e contrapositiva de uma proposição condicional. Implicação lógica. Princípio de substituição.

Propriedade da implicação lógica. Leis de Morgan.

Cap. 05, 06 e 10 2. Compreensão e

elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio sequencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos

SEQUENCIAS NUMÉRICAS, GEOMÉTRICAS, ALFABÉTICAS, CRONOLÓ-GICAS, MÉTRICAS,CIRCUITOS LÓGICOS, dentre outros problemas

voltados para o raciocínio de associação e indução. Cap. 13

3. Compreensão do processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclu-sões determinadas

TAUTOLOGIAS E CONTRADIÇÕES

Definição de tautologia. Definição de contradição.

ARGUMENTOS E QUANTIFICADORES

Conceito de argumento. Validade de um argumento. Critério de validade de um argumento.

Condicional associada a um argumento. Argumentos válidos fundamentais.

RACIOCÍNIO ANALÍTICO - Encontrando o culpado por associação

Cap. 07, 08, 09 e 10

CAPíTULO 1

Noções de conjuntos

Conjunto é um agrupamento de elementos.

Se um elemento compõe um conjunto, dizemos que ele pertence a este

conjunto, indicamos com o símbolo ∈. Por exemplo: seja A o conjunto dos

múltiplos de 3, escrevemos:



6 ∈ A (6 pertence a A) e 8 ∉ A (8 não pertence a A).

Embora os elementos de um conjunto possam ser qualquer coisa (mesmo

outros conjuntos), representamos os conjuntos por letras maiúsculas e os

elementos por letras minúsculas.

REPRESENTAÇÃO

Por enumeração

Conjunto dos ímpares maiores que 10 e menores que 20



A = { 11, 13, 15, 17, 19 }

Por propriedade



A = { x / x é par 3 < x < 11 } que corresponde ao conjunto A = {4, 6, 8, 10}

Por diagrama



A = { 0, 1, 3, 4 }

A

. 0

. 3

. 1

. 4

CONJUNTO VAZIO

Denomina-se CONJUNTO VAZIO o conjunto que não possui elementos.

Indica--se por ∅ ou por { }, mas não ambos → {∅}



O conjunto de números que são pares e ímpares aos mesmo tempo.

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois ou mais conjuntos que possuem os mesmos elementos são iguais.

SUBCONJUNTOS OU PARTES DE UM CONJUNTO

Sejam os conjuntos A e B, onde os elementos de B

estão contidos em A, então dizemos que B ⊂ A (B está

contido em A) ou que A ⊃ B (A contém B).

O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto.

Obs.: Número de Subconjuntos é dado por 2

n

_{, onde n é}

número de elementos do conjunto.



_{Exemplo 01: A = {1,2,3} o número de subconjuntos será}

2

3

_{= 8 subconjuntos, ou seja, P(A) = {∅, {1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}}



_{Exemplo 02: Um conjunto possui 512 subconjuntos, ao retirarmos 3}

elementos desse conjunto, quantos subconjuntos terá o novo conjunto?

» Resolução: 512 = 2n_{, logo ao fatorarmos 512 = 2}9_{, ou seja, teremos n = 9, menos}

03 elementos sobram 06 elementos e então o novo conjunto ficará com 26 _{= 64 subconjuntos.}

O assunto que vou abordar agora tem haver com o porque da operação 2

n

_,

ou seja, por que o 2 elevado a n?

A ideia é que ao agruparmos as partes de um conjunto devemos “olhar’

para cada elemento e decidir se ele vai ou não fazer parte do subconjunto,

assim temos “duas” opções de escolha para cada elemento,logo como temos

n elementos, teremos: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x... n vezes, ou seja, 2

n

_.

Mas, se as partes de um conjunto são feitas de agrupamentos, então

podemos concluir que os subconjuntos de um conjunto, nada mais são que ,

agrupamentos aleatórios.

O que nos leva ao memorável Blaise Pascal.

TRIÂNGULO DE PASCAL

Agora faremos uma pausa para recordarmos de um instrumento muito útil

para explicar o porque do número de partes de um conjunto ser 2

n

_{, além de}

ser uma ferramenta muito útil no estudo de Análise Combinatória.

O triângulo de Pascal é de Pascal?

Qualquer pessoa que tenha um pouco de leitura e bom senso deve no

mínimo estar suspeitando que o triângulo aritmético não seja uma descoberta

ou invenção de Pascal. Por exemplo: a denominação desse triângulo varia

A

B

NOçõES DE CONJUNTOS

muito ao longo do mundo. Com efeito, se bem que os franceses o chamem

de triângulo de Pascal, os chineses o chamam de triângulo de Yang Hui, os

italianos o chamam de triângulo de Tartaglia e encontramos outras

denomina-ções como triângulo de Tartaglia-Pascal ou simplesmente triângulo aritmético

ou triângulo combinatório.

Conforme descobriu Tartaglia, cerca de cem anos antes de Pascal, o

triân-gulo aritmético também é bastante útil no cálculo de probabilidades. Com

efeito, é fácil vermos que os coeficientes das expansões binomiais tem um

significado combinatorial e, então, probabilístico.

Para construir o triângulo, Pingala, na índia (2000 anos antes de Pascal)

descreve a seguinte regra:

Desenhe um quadradinho; abaixo dele desenhe dois outros, de modo que

juntem-se no ponto médio da base dele; abaixo desses dois, desenhe outros três

e assim por diante. A seguir, escreva 1 no primeiro quadradinho e nos da segunda

linha. Na terceira linha escreva 1 nos quadradinhos dos extremos, e no do meio

escreva a soma dos números acima dele. Prossiga fazendo o mesmo nas demais

linhas.Nessas linhas, a segunda dá as combinações com uma sílaba; a terceira dá

as combinações com duas sílabas e assim por diante.

Os livros indianos eram escritos em folhas de palmeira o que fez com que

poucos deles chegassem aos nossos dias.

Na China, 1700 anos antes de Pascal, o uso que os antigos chineses faziam

do triângulo aritmético centrava-se no cálculo aproximado de raízes quadradas,

cúbicas e etc. Os chineses não tinham uma álgebra literal e todo seu

envol-vimento com problemas algébricos era baseado em uma notação e

proce-dimentos apropriados para o emprego de varetas de cálculo (instrumento

que precedeu o conhecido suan pan, o ábaco chinês). O triângulo aritmético,

que denominavam sistema de tabulação para descobrir coeficientes binomiais,

encaixava-se perfeitamente bem nesse esquema.

E assim por diante.

O triângulo de Pascal (alguns países, nomeadamente em Itália, é conhecido

como Triângulo de Tartaglia) é um triângulo numérico infinito formado por

números combinatórios.

Para Pascal nós podemos conhecer em essência e completamente as coisas

No texto O Homem perante a natureza, de Pascal, ele relata que:

Não procuremos segurança e firmeza. Nossa razão é sempre iludida pela inconstância das aparências e nada pode fixar o finito entre os dois infinitos que o cercam e dele se afastam. Creio que a concepção deste inevitável fará que o homem se conforme com o estado em que a natureza o colocou e o mantenha tranquilo. Esse termo médio que nos

coube por destino, situa-se sempre os dois extremos, de modo que pouco nos importa tenha o homem maior ou menor inteligência das coisas. Se a tiver as verá apenas de um pouco mais alto. Mas não se achará sempre infinitamente afastado da meta, e a duração de nossa vida não o estará também, infinitamente, afastada da eternidade, embora dure dez anos mais?

Se tivermos em mente estes infinitos, todos os finitos serão iguais; e não vejo razão para assentar a imaginação em um deles e a preferência ao outro. A simples comparação entre nós e o infinito nos acabrunha.

Se o homem procurasse conhecer a si mesmo antes de tudo, perceberia logo a que ponto é incapaz de alcançar outra coisa.

Como poderia uma parte conhecer o todo? Mas a parte pode ter, pelo menos, a ambição de conhecer as partes, as quais cabem dentro de suas próprias proporções. E como as partes do mundo têm sempre relações íntimas e intimamente se encadeiam, considero impossível compreender ma sem alcançar as outras, e sem penetrar o todo.

O homem, por exemplo, tem relações para durar, de movimento para viver, de elementos que o constituam, de alimentos e calor que o nutram, de ar para respirar; vê a luz, percebe os corpos; em suma, tudo se alia a ele próprio.

Para conhecer o homem, portanto, mistério se faz saber de onde vem que precisa de ar para subsistir; e para conhecer o ar é necessário compre-ender donde provém essa sua relação com a vida do homem, etc. A chama não subsiste sem o ar; o conhecimento de uma coisa, se liga, pois, ao conhecimento de outra. E como todas as coisas são causadoras e causadas, auxiliadoras e auxiliadas, mediatas e imediatas, e todas se acham presas por um vínculo natural e insensível que une as mais afastadas e diferentes, parece-me impossível conhecer as partes sem conhecer o todo, bem como conhecer o todo sem entender particularmente as partes. (A eternidade das coisas, em si mesmas ou em Deus, deve assombrar a nossa ínfima duração. A imobilidade fixa e constante da natureza, em comparação com a transformação contínua que se verifica em nós, deve causar o mesmo efeito). E o que completa a nossa incapacidade de conhecer as coisas é o fato de serem simples em si enquanto nós somos complexos de natureza antagônicos e de gêneros diversos, alma e corpo. Pois é impossível que a parte raciocinante de nós mesmos não seja unicamente espiritual; e se pretenderem que somos tão somente corporais, mais afastarão ainda de nós o conhecimento das coisas, porquanto nada mais será inconce-bível do que a matéria conhecer-se a si própria; não podemos conceber de que maneira se conheceria. Assim, se somos simplesmente materiais nada podemos conhecer; e se somos compostos de espírito e matérias não podemos conhecer perfeitamente as coisas simples, espirituais ou corporais.

Donde a confusão generalizada entre os filósofos que misturam as ideias das coisas, falando espiritualmente das coisas corporais e corporalmente das coisas espirituais.

NOçõES DE CONJUNTOS

fTRIÂNGULO DE PASCAL N = 0 1 N = 1 1 1 N = 2 1 2 1 N = 3 1 3 3 1 N = 4 1 4 6 4 1 N = 5 1 5 10 10 5 1 N = 6 1 6 15 20 15 6 1 N = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 N = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 P = 0 P = 1 P = 2 P = 3 P = 4 P = 5 P = 6 P = 7 P = 8

No exemplo 01 em que consideramos o conjunto A = {1,2,3} e que o número

de subconjuntos será 2

3

= 8 subconjuntos (soma das linhas) ,ou seja,

P(A)={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.

Veja também que se o conjunto A possui 03 elementos ele está diretamente

ligado à linha 03 do triângulo e seus subconjuntos também, por exemplo:

n = 3 1 3 3 1 P(A)={

∅

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} n = 4 ... ... ... ... n = 5 ... ... ... ... n = 6 ... ... ... ... p = 0 p = 1 p = 2 p = 3

Em P(A), acima enumerado, temos através da terceira linha (n = 3) e na

coluna onde p = 0 , o número 1, ou seja, um subconjunto com zero elementos;

na coluna onde p = 1 , o número 3, ou seja, 3 subconjuntos com um elemento

cada; na coluna onde p = 2, o número 3, ou seja, 3 subconjuntos possuem dois

elementos e na coluna onde p = 3, temos o número 1, ou seja, um subconjunto

com 03 elementos.



Exemplo 03: Cor da pele humana

» No caso da cor da pele humana, considerando apenas 5 fenótipos, envol-vendo dois pares de genes N e B, que teriam a mesma função, ou seja, acrescentar uma certa quantidade de melanina à pele, se efetivos (N ou B) ou não acrescentar nada, se não efetivos (n ou b).

Se acontecer um cruzamento entre dihíbridos, quais serão as proporções

fenotípicas da descendência? Usando a Genética: (quais são os gametas e os

tipos possíveis de filhos gerados?)

NnBb

x NnBb Gametas produzidos por ambos: NB, Nb, nB e nb

fGAMETAS NB Nb nB nb NB NNBB NNBb NnBB NnBb Nb NNBb NNbb NnBb Nnbb nB NnBB NnBb nnBB nnBb nb NnBb Nnbb nnBb nnbb

fFENÓTIPOS fNÚMERO DE GENES

Negro(NNBB) 4 genes efetivos e 0 não efetivos

mulatos escuros

(NNBb ou nNBB) 3 genes efetivos e 1 não efetivo

mulatos médios

(NNbb, nnBB ou NnBb) 2 genes efetivos e 2 não efetivos

mulatos claros

(Nnbb ou nnBb) 1 gene efetivo e 3 não efetivos

Branco (nnbb) 0 genes efetivos e 4 não efetivos

Usando o Triângulo de Pascal:

Chama-se de p = genes efetivos = 2 (N ou B) e de q = genes não efetivos =

2 (n ou b)

Procura-se no triângulo a linha em que o número de genes é igual a 4.

fNº GENES fCOEFICIENTES 0 1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1

1 Negro 4 efetivos e 0 não efetivo 4 Mulatos escuros 3 efetivos e 1 não efetivo 6 Mulatos médios 2 efetivos e 2 não efetivos 4 Mulatos claros 1 efetivo e 3 não efetivos 1 Branco 0 efetivo e 4 não efetivos

NOçõES DE CONJUNTOS

Portanto, na descendência chega-se à seguinte proporção fenotípica: 1

negro : 4 mulatos escuros : 6 mulatos médios : 4 mulatos claros : 1 branco

Curiosidades do Triângulo de Pascal

Vejamos o triângulo na sua forma original com 12 linhas:

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Curiosidade Matemática

Uma outra aplicação do triângulo de Pascal é o desenvolvimento de

binômios, ou seja, polinômios elevados à potências, os chamados produtos

notáveis:

(a + b)

2

_{= (a + b).(a +b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a}

2

_{+ 2.a.b + b}

2

_(Quadrado

perfeito)

Observando os números da terceira linha (n = 2) do triângulo (1, 2, 1)

pode-se perceber que eles representam os coeficientes de a

2

_{, a.b e b}

2

_{, ou}

seja: 1.a

2

_{+ 2.a.b + 1.b}

2

_.

O mais interessante, ainda, é que através do Triângulo de Pascal pode-se

desenvolver, além do produto notável (a + b)

2

_{, outros produtos do tipo (a +}

b)

3

_{, (a + b)}

4

_{e, assim por diante…}

• N = 3  (a + b)

3

_{= 1.a}

3

_{+ 3.a}

2

_{.b + 3.a.b}

2

_{+ 1.b}

3

_{(quarta linha  n = 3)}

• N = 4  (a + b)

4

_{= 1.a}

4

_{+ 4.a}

3

_{.b + 6.a}

2

_.b

2

_{+ 4.a.b}

3

_{+ 1.b}

4

_{(quinta linha  n = 4)}

• N=5(a+b)

5

_=1.a

5

_+5.a

4

_.b+10.a

3

_.b

2

_+10.a

2

_.b

3

_+5.a.b

4

_+1.b

5

_{(sexta linhan=5)}

Método

• em cada monômio da expressão algébrica há um produto do termo a

pelo termo b, isto é a.b ;

• a partir do primeiro monômio os expoentes de a vão “decrescendo” e

os de b vão “crescendo”;

• a soma dos expoentes de cada monômio da expressão algébrica é

igual ao expoente do binômio;

• o primeiro expoente de a é igual ao expoente do binômio e o último

é zero;

• o primeiro expoente de b é zero e o último é igual ao expoente do

binômio;

• a expressão algébrica possuirá 1 termo a mais que o expoente do

binômio.

• em todos os termos aparece o produto a.b (lembre-se que a

0

_{= b}

0

_{= 1,}

a

1

_{= a , b}

1

_{= b)}

• expoentes de a: 5, 4, 3, 2, 1, 0 (ordem decrescente)

• expoentes de b: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (ordem crescente)

• soma do expoentes de a e de b em cada monômio: 5 (expoente do

binômio)

• a expressão algébrica obtida possui 6 termos (5 + 1)

FOCA

NA DICA!

Outra dica: podemos usá-lo na resolução de Análise Combinatória!!!!!

A análise combinatória, tema que será abordado no capítulo 13, é um dos

temas que mais aterrorizam os alunos, por se tratar de assunto que exige

raciocínio e prática. Com o triângulo de Pascal, podemos simplificar os cálculos

numa abordagem rápida e direta, é claro que usar o triângulo é apenas uma

opção, existem outras maneiras de resolver tais problemas, como fórmulas e

o P.F.C., que serão abordados posteriormente.

As linhas representam quantos elementos temos disponíveis para a escolha

e as colunas quantos elementos precisamos , ou são pedidos no problema. Se

temos “”x” elementos disponíveis e precisamos de “y” elementos , então o

valor procurado vai estar na linha “x” e na coluna”y”, nesta ordem.

Vejamos alguns exemplos:



01. (Elaborada pela autora) Quantas comissões de 03 pessoas

NOçõES DE CONJUNTOS

» Solução: Temos 07 possíveis escolhas, portanto linha sete (n= 7) e queremos formar comissões de 03 elementos, portanto coluna três (p = 3): valor encontrado 35. n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 Assim podemos formar 35 comissões de 03 pessoas escolhidas dentre sete.



02. (Elaborada pela autora) Uma empresa é formada por 6 sócios

brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma

dire-toria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

» Solução: Temos 06 possíveis escolhas para brasileiros, portanto linha seis (n= 6) e 04 possíveis escolhas para japoneses , portanto linha quatro (n = 4); Queremos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros, coluna três (p = 3) e 2 japoneses, coluna dois (p = 2) .

Devemos escolher brasileiros e japoneses, então iremos multiplicar o número de opções de brasileiros pelo o número de opções de japoneses. Veja os valores no triângulo:

Brasileiros: linha seis e coluna três = 20 Japoneses: linha quatro coluna dois = 6

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 Portanto o valor desejado será o resultado do produto: 20 x 6 = 120 possí-veis diretorias.



QUESTÕES COMENTADAS

Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.

03. (TRT/9ª) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembargadores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.

► Comentários:

Temos 05 possíveis escolhas, portanto linha cinco (n= 5) e queremos formar comissões de 03 desembargadores, portanto coluna três (p = 3): valor encontrado 10.

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 Assim podemos formar 10 comissões de 03 desembargadores escolhidos dentre cinco, por-tanto o item está errado.

04. (FUNDEP) Se M = {1, 2, 3, …, 7}, o número de subconjuntos de M, com 3 elementos, é igual a: a) 6 b) 21 c) 35 d) 49 e) 210 ► Comentários:

Temos 07 possíveis escolhas, portanto linha sete (n= 7) e queremos formar comissões de 03 elementos, portanto coluna três (p = 3): valor encontrado 35.

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 Assim podemos formar 35 subconjuntos de 03 elementos escolhidas dentre sete, alternativa correta letra C.

NOçõES DE CONJUNTOS

05. Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.

( ) (CESPE/BB- escriturário/2007) Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o funcionário mais recentemente con-tratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação, sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

► Comentários:

Temos 07 possíveis escolhas e devemos escolher 03 tarefas para o primeiro e duas para os outros dois funcionários da seguinte maneira:

1º) Das sete vamos escolher três, linha sete (n = 7) e coluna três (p = 3) → 35 n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 2º) Das quatro que sobraram vamos escolher duas para o segundo funcionário, portanto

linha quatro (n = 4) e coluna dois (p = 2) → 6 n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 3º) Das duas restantes devemos escolher as duas últimas tarefas para o terceiro funcionário,

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 O produto das três escolhas, ou seja, 35 x 6 x 1 = 210 possíveis escolhas de dividir as tarefas, portanto o item está errado.

06. (UNB/Téc. Ad./ANCINE/2006) Suponha que uma distribuidora de filmes tenha 6 filmes de ani-mação e 5 comédias para distribuição. Nesse caso, é superior a 140 e inferior a 160 o número de formas distintas pelas quais 4 desses filmes podem ser distribuídos de modo que 2 sejam comédias e 2 sejam de animação.

► Comentários:

Temos 06 possíveis escolhas para filmes de animação, portanto linha seis (n= 6) e 05 possíveis escolhas para comédias , portanto linha cinco (n = 5); Queremos formar grupos de 04 filmes, 02 de animação e 02 de comédia, coluna dois (p = 2) .

Devemos multiplicar o número de opções de filmes de animação pelo o número de opções de fimes de comédia. Veja os valores no triângulo:

Animação: linha seis e coluna dois = 15 Comédia: linha cinco coluna dois = 10

n = 0 1 n = 1 1 1 n = 2 1 2 1 n = 3 1 3 3 1 n = 4 1 4 6 4 1 n = 5 1 5 10 10 5 1 n = 6 1 6 15 20 15 6 1 n = 7 1 7 21 35 35 21 7 1 n = 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 p = 0 p = 1 p = 2 p = 3 p = 4 p = 5 p = 6 p = 7 p = 8 Portanto o valor desejado será o resultado do produto: 15 x 10 = 150 possíveis grupos, que é um valor compreendido entre 140 e 160, logo o item está correto.