LIMITES
O estudo dos Limites objetiva conceituar intuitivamente limite, definir limites laterais, aplicar as propriedades, calcular limites de funções e verificar a continuidade de uma função.
Introdução
Antes de iniciar os estudos sobre Limites, vamos observar um exemplo prático do nosso cotidiano.
- Seja S(t) = 3t2 + 5t + 2 a função que representa a posição (em km) de um certo tipo de veículo em um determinado instante t (0 t 10).
Suponha que desejamos determinar a velocidade do veículo no intervalo de tempo t = 3 horas. Para encontrar essa solução devemos calcular a velocidade média do móvel no intervalo de tempo [3, t].
3 42 5 3 3 44 ) 2 5 3 ( 44 2 3 . 5 3 . 3 ) 3 ( 2 5 3 ) ( ) 3 ( 3 ) 3 ( ) ( var var 2 2 2 2 t t t Vm t t t Vm S t t t S t t S t S Vm tempo do iação t espaço do iação S VmVerificando que t = 3 não está definido no domínio da função velocidade média (Vm), podemos calcular as velocidades médias do veículo quando o valor de t aproxima-se cada vez mais de 3 (Tabela).
Note que, quando mais próximo de 3 o intervalo de tempo se encontrar, a Velocidade Média do veículo aproxima-se do valor 23, logo, podemos sugerir que a velocidade instantânea do móvel em t = 3 horas é de 23 km/h.
Após esse exemplo vamos começar os estudos de Limites de uma Função através da Definição Intuitiva.
1.0- DEFINIÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Inicialmente, analisemos os gráficos das funções abaixo:a)
Verificamos que, quando os valores de x se aproximam tanto pela esquerda, como pela direita do valor 3, os resultados correspondentes a f(x) (imagem) estão se aproximando do valor 4. Então, podemos dizer que o limite da função y = f(x), quando x tende a 3, é igual a 4, e indicamos:
3 4 ) ( x x f Lim
Analisando o quadro, verificamos que, quando os valores de x se aproximam tanto pela esquerda, como pela direita do valor 1, os resultados correspondentes a y(imagem) estão se aproximando do valor 3. Então, podemos dizer que o limite da função y, quando x tende a 1, é igual a 3, e
indicamos: 1 3 ) ( x x g Lim
Em regra geral, dizemos que:
- Limite de uma função, quando x tende a k, é igual a q (k e q constantes).
k x q x f Lim ) (
Após esses exemplos sobre a noção intuitiva de limite, podemos voltar ao exemplo prático citado inicialmente, no qual mostramos que quanto mais próximo de 3 horas for o valor do tempo, a velocidade média se aproxima de 23 km/h, então, podemos dizer que a velocidade instantânea do veículo em t = 3 horas é igual a 23 km/h, em outras palavras, podemos dizer que o limite da velocidade média quando o tempo t se aproxima de 3 é igual a 23. Observemos. 3 ) min det ( 0 0 3 3 42 3 . 5 3 . 3 3 42 5 3 2 2 t ação er in t t t Lim
3 ) 3 ( ) 3 )( 3 14 ( 3 t t t t Lim 3 23 ) 14 3 ( t t Lim 2.0- LIMITES LATERAIS
Observe a função f : RR definida por f(x) =
1 , 3 1 , 1 2 x x x x .
Determinemos, com auxílio das tabelas e do gráfico abaixo, o limite de f(x) quando x tender a 1 tanto pela esquerda (1-), como pela direita (1+).
Observando as tabelas e o gráfico acima, verificamos que o limite de f(x), quando x tende a 1, não existe, pois, o limite de f(x), quando x tende a 1 pela esquerda vale –2 e o limite de f(x), quando x tende a um, pela direita, vale 2, logo, 1 2 ) ( x x Limf e 1 2 ) ( x x Limf
são chamados limites laterais.
Notamos que a existência dos limites está relacionada diretamente com os limites laterais, pois, se os mesmos apresentam resultados iguais quando estão se aproximando de um determinado ponto, dizemos que o limite, nesse ponto, tem solução, caso contrário, não.
Agora, observamos os exemplos abaixo para fixarmos melhor, como devemos determinar limite lateral.
1- Dadas as funções f(x) e g(x), representadas pelos gráficos. y y f(x) 4 g(x) 1 2 2 3 0 2 x 0 2 x Determine: a) 2 ) ( x x f Lim b) 2 ) ( x x f Lim c) 2 ) ( x x f Lim d) 2 ) ( x x g Lim e) 2 ) ( x x g Lim f) 2 ) ( x x g Lim g) x x g Lim ( ) h) x x g Lim ( ) i) x x g Lim ( ) Solução: a) 2 ) ( x x f Lim
Analisando o gráfico de f(x), verificamos que quando x tende a dois, pela
esquerda, y se aproxima de 4, logo,
2 4 ) ( x x f Lim b) 2 ) ( x x Limf
Analisando o gráfico de f(x), verificamos que quanto x tende a dois, pela direita,
y se aproxima de 1, logo, 2 1 ) ( x x f Lim
c) Como, os limites laterais são diferentes
2 ) ( x x f Lim 2 ) ( x x f Lim , podemos afirmar que 2 ) ( lim x x f não existe.
d) 2 ) ( x x g Lim e) 2 ) ( x x g Lim
f) Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que
2 ) ( x x g Lim não existe. g) x x g Lim ( ) 0 h) x x g Lim ( ) 0
i) Como os limites laterais são iguais, podemos afirmar que
x x g Lim ( ) existe e vale 0 (zero). 3.0- PROPRIEDADES OPERATÓRIAS
A partir de agora, vamos estudar as Propriedades Operatórias dos Limites.
- Sejam f(x) e g(x) duas funções definidas pelo domínio D, tais que
a x L x f Lim 1 ) ( e a x L x g Lim 2 ) ( com L1, L2.
1ª) Limite de uma constante (k) é a própria constante. a x k k Lim
2ª) Limite da soma (ou diferença) de funções é a soma (ou diferença) dos limites dessas funções.
a x x g x f Lim ( ) ) ( = a x x f Lim ) ( a x x g Lim ) ( = 2 1 L L 3ª) Limite do produto de funções é o produto dos limites dessas funções.
a x x g x f Lim ( ) ) ( = a x a x L L x g Lim x f Lim ( ) 1 2 ) (4ª) Limite do quociente de duas funções é o quociente dos limites dessas funções. 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( L L a x x g Lim a x x f Lim x g x f Lim a x x x g Lim ( ) 0,
5ª) Limite da potência de uma função é a potência do limite dessa função.
a x x f Lim n ) ( =
n n L a x x f Lim 1 ) ( 6ª) Limite da raiz de uma função é a raiz do limite dessa função.
a x L a x x f Lim x f Lim n n n ( ) 1 ) (
7ª) Limite do logaritmo de uma função é o logaritmo do limite dessa função.
a x L Log a x x f Lim Log x f Log Lim b b b 1 ) ( )] ( [ 4.0- LIMITE DE FUNÇÕES
4.1- Limite de uma Função Polinominal
Polinômio: É uma expressão algébrica racional e inteira representada pela seguinte forma: 0 1 2 2 1 1x a x ... a x a a x a n n n n n n em que te independen e coeficient a polinômio do es coeficient os são a a a N n polinômio do iável a é x n n 0 0 1, ..., , var Exemplos: a) 3x b) 5x + 3 c) 4x2 – 3x + 4 d) 5 4 x2 – 3xy +y
Nota: As expressões 5 4 5 3 4 3 2 2 x x e x
x não representam polinômios,
pois, na 1ª expressão, a incógnita x encontra-se no radicando, logo, temos uma expressão irracional e na 2ª, a variável encontra-se no denominador, então, temos uma expressão racional.
Função Polinomial: É toda função de grau n (n N) do tipo P: dado
por P(x) = 1 0 2 2 1 1x a x ... a x a a x a n n n n n n , em que an, an-1, an-2, ..., a1, a0 são números reais ().
Após as definições de polinômio e de função polinomial, vamos resolver o seguinte exemplo:
- Determine os limites das funções polinomiais: a) 5 ) 2 3 ( x x Lim b)
1 5 4 7 3 11 8 2 x x x x x Lim Solução: a) 5 ) 2 3 ( x x Lim = 3.5 – 2 = 15 – 2 = 13Isto significa que, quando x está se aproximando tanto pela esquerda, como pela direita de 5, o limite da função f(x) = 3x – 2, está se aproximando de 13.
b)
1 5 4 7 3 11 8 2 x x x x x Lim = 3.(-1)11 – 7.(-1)8 + 4.(-1)2 – 5.(-1) = 3.(-1) – 7.(+1) +4.(+1) – 5.(-1) = -3 –7 + 4 +5 = -14.2- Limite de uma Função Racional
Função Racional: É toda função que apresenta a incógnita no denominador. Exemplos a) x x x f 5 2 5 3 ) ( b) x x x x x f 2 1 4 ) ( 2 2
Observamos que as funções acima apresentam elementos que não pertencem ao domínio da função. No caso do item a, o número 2/5 torna nulo o denominador e no item b, os elementos que anulam o denominador são 0 e 2.
Em decorrência dessa observação, encontremos o limite de cada função racional abaixo:
a) 3 5 1 2 2 x x x Lim b) 2 4 4 4 2 2 x x x x Lim c) 2 4 3 4 2 2 x x x x Lim d) 3 6 4 9 2 2 x x x x Lim e) 2 2 5 4 3 2 x x x Lim f) 1 1 ) 4 ( 2 x x x Lim g) 2 3 6 5 2 x x x x Lim h) 2 4 6 5 2 2 x x x x Lim i) 3 3 9 2 x x x Lim Solução: a) 3 5 1 2 2 x x x Lim = 4 5 5 3 1 3 . 2 2 b) 2 4 4 4 2 2 x x x x Lim = 8 0 0 4 4 4 8 4 4 2 4 2 . 4 2 2 2 c) 2 4 3 4 2 2 x x x x Lim = 0 1 4 4 3 8 4 4 ) 2 ( 3 ) 2 .( 4 ) 2 ( 2 2 ) (não existe Demonstração
Vamos, inicialmente, estudar o sinal da função
4 3 4 ) ( 2 2 x x x x f .
4 3 4 ) ( 2 2 x x x x f 4 ) ( 3 4 ) ( 2 2 2 1 x x f x x x f 3 4 ) ( 2 1 x x x f 0 4 4 ) ( 2 2 2 x x x f x2 + 4x + 3 = 0 2 " 2 ' x x 3 " 1 ' x x f1(x) +++++++++++++++ ‘-3 --- --- -1+++++++++++++ + x f2(x) +++++++++++++++++++++++’-2--- 2+++++++++ x f1/f2) +++++++++++++++ -3 --- -2 +++++ -1--- 2 +++++++++ x
Observando o gráfico, temos:
2 4 3 4 , log , 0 , 2 2 4 3 4 , log , 0 , 2 2 2 2 1 2 2 2 1 x x x x Lim o f f x para x x x x Lim o f f x para
Como os limites laterais são diferentes, podemos afirmar que
2 4 3 4 2 2 x x x x Lim não existe. d) 3 0 27 0 6 3 . 4 3 9 3 6 4 9 2 2 2 2 x x x x Lim e) 3 ) min det ( 0 0 9 3 9 3 3 9 2 2 x ação er in x x Lim
Este limite será resolvido durante o estudo sobre limites Indeterminados.
Função Exponencial: É toda função do tipo f(x) = bx, sendo b a base (1 b > 0) e x o expoente (x ).
Observe os gráficos de f(x) = bx, quando:
1) (b > 1) f(x) = bx função crescente 2) (0 < b < 1) f(x) = bx função decrescente.
Após identificarmos uma função exponencial, vamos calcular o limite de cada função abaixo:
a) 4 3 x Lim x b) 3 2 x Lim x c) 4 1 81 x Lim x d) 2 3 2 x Lim x Solução a) 4 3 x Lim x = 34 = 81 b) 3 2 x Lim x = 2-3 = 8 1 2 1 3 n n a a 1 c) 4 1 81 x Lim x = 4 1 81 = 4 813 c b c b a a d) 2 3 2 x Lim x = 4 9 2 3 3 2 2 2 n n a b b a
4.4- Limite de uma Função Logaritmica
Função Logarítmica: É toda função do tipo f(x) = Log b x , sendo b a base do logaritmo (1 b > 0) e x o logaritmando ou antilogaritmo (b > 0)
Observe os gráficos de f(x) = Log b x, quando: 1) f(x) = Log b x (b > 1) função crescente 2) f(x) = Log b x (0 < b < 1) função decrescente.
b x x f Lim ) (
b x b Log x Log Lim a a c x x f Lim ) (
c x c Log x Log Lim b b Após identificarmos a maneira de determinar limite de uma função logarítmica, vamos calcular o limite de cada função abaixo:
a)
2 ) 5 ( x x Log Lim b) 2 6 4 x x x Log Lim c)
0 3 x x Log Lim d) 0 3 1 x x Log Lim Solução a)
2 1 10 2 5 ) 5 ( x Log x x Lim Log x Log Lim b) 2 6 4 x x x Log Lim = 2 6 4 x x x Lim Log 1 0 ) 2 ( 6 ) 2 .( 4 Log Log c) 0 ) ( 3 x x LogLim = , observe no gráfico ao lado
que quando x tende a zero pela direita, o limite tende a menos infinito.
d) 0 ) ( 1 3 x x Log Lim
= , observe no gráfico ao lado que quando x tende a zero pela direita, o limite
tende a mais infinito.
5.0- LIMITES TENDENDO PARA O INFINITO
O nosso estudo sobre limite de uma função, até esse momento, baseou-se quando a variável se aproxima de um único número. Porém, há situações em que necessitamos saber o valor do limite de uma função quando a variável cresce (ou decresce) infinitamente, ou seja, quando a variável se aproxima de um valor infinitamente grande (ou pequeno). Em decorrência desse fato, vamos estudar limites de funções quando a tendência da variável está direcionada ao infinito.
Antes de começarmos a resolver limites no infinito, vamos verificar algumas operações que envolvam .
1ª) (+)n = 0 , 0 0 , n n 2ª) (-)n = 0 , 0 , , n par n ímpar n 3ª) 0 , 0 , n n n ou 0 , 0 , n n n 4ª) 0 0, 0 n n ou n 5ª)
0 , 0 , n n n ou
0 , 0 , n n n 6ª) 1 0 , 0 1 , n n n ou 1 0 , 1 , 0 n n nApós essa verificação, vamos resolver limites de funções quando a variável independente, nesse caso x, tende para o infinito.
5.1) Limite de uma Função Polinomial quando x
O limite de uma função polinomial em x, para x tendendo a , é igual ao limite do termo de maior grau do polinômio.
x x p Lim ( )
x a x a x a x a Lim 0 n 1 n 1 2 n 2 ... n = x x x a Lim x a Lim x x x x a a x a a x a a Lim x a Lim x a a x a a x a a x a Lim n n n n n n n n 0 0 0 2 0 2 0 1 0 0 2 0 2 0 1 0 1 . ... 1 . ... 1Exemplo:
1) determine os limites abaixo:
a)
x x x x x Lim 3 6 2 5 3 4 2 3 1 b)
x x x Lim 4 2 3 1 Solução: a)
x x x x x Lim 3 6 2 5 3 4 2 3 1
x x x x x Lim 3 6 2 5 3 4 2 3 1 =
x x Lim 3 6 3 6 3. b)
x x x Lim 4 2 3 1 =
x x Lim 4 2 4.( )2 4.( )5.2) Limite de uma Função Racional quando x
O limite de uma função racional, para x tendendo a , é igual ao limite do quociente entre os termos de maior grau do numerador e do denominador dessa função. x x Q Lim ( ) x b x b x b a x a x a Lim m m m n n n ... ... 1 1 0 1 1 0 = x ou x b x a Lim m n 0 0 x x b a Lim n m 0 0 Exemplo:
1- Determine os limites abaixo:
a) x x x x x Lim 5 3 2 7 4 3 2 3 5 b) x x x x x x Lim 3 6 5 8 6 4 15 3 2 3 c) x x x x x Lim 6 4 4 3 4 5 7 2
Solução: a) x x x x x Lim 5 3 2 7 4 3 2 3 5 = x x x Lim 2 5 2 3 = x x Lim 2 2 ) ( 3 2 ) ( 3 2 3 3 3 b) x x x x x x Lim 3 6 5 8 6 4 15 3 2 3 = x x Lim x x Lim 3 3 5 15 3 3 c) x x x x x Lim 6 4 4 3 4 5 7 2 = x x x Lim 7 3 4 =
x x Lim 44 44 4 05.3) Limite de uma Função Exponencial quando x
O limite de uma função exponencial, para x tendendo a , é igual a + ou a zero, dependendo do tipo de função:
1) Se a função é crescente (a > 1), temos:
1.1) x a Lim x 1.2) x a Lim x 0
2) Se a função é decrescente (0 < a< 1), temos:
2.1) x a Lim x 0 2.2) x a Lim x Exemplo
1) Resolva os limites abaixo:
a) x Lim 7x b) x Lim x 2 1 c) x Lim 2x d) x Lim x 4 3 Solução: a) x Lim 7x = 7+ = + b) x Lim x 2 1 = 0 2 1
c) x Lim 2x = 2- = 1 0 2 1 d) x Lim x 4 3 = 3 4 4 3
5.4) Limite de uma função logarítmica quando x
O limite de uma função logarítmica, para x tendendo a +, é igual a + ou a -, dependendo do tipo de função:
1) Se a função logarítmica é crescente (b > 1), temos:
x x Log Lim b 2) Se a função logarítmica é decrescente (0 < b < 1), temos:
x x Log Lim b* A variável tende apenas para +, em virtude do domínio da função logaritma ser *.
Exemplo:
a)
x x Log Lim 3 b) x x Log Lim 3 1 Solução: a)
x x Log Lim 3 b) x x Log Lim 3 1* Observe os gráficos acima. Aplicação:
1- Um empresário da área de informática estima que o custo (reais/ano) na produção de uma quantidade q de determinado produto é representado por C(q) = 250 + 320q. Sendo o custo médio calculado pelo quociente do custo da produção pela quantidade produzida, determine:
a) O custo na produção de 30 e 70 unidades. b) A função custo médio.
c) O custo médio na produção de 25 unidades.
d) q m C Lim e interprete graficamente. Solução: a) C(q) = 250 + 320q C(40) = 250 + 320x30 = 9.850,00 C(70) = 250 + 320x70 = 22.650,00 320 250 ) ( 320 250 ) ( ) ( ) q q m C q q q q C q m C b 00 , 330 320 25 250 ) 25 ( 320 250 ) ( ) m C q q m C c
q q q Lim q m C Lim d) ( ) 250 320 250 320 0 320 320,00
Observe que, a medida que cresce o nível de produção, o custo fixo
q 250 por
unidade produzida tende a zero, logo, o custo médio se aproxima de 320,00 por unidade produzida.
6.0- LIMITES INDETERMINADOS
Ao tentarmos resolver alguns limites, verificamos que os mesmos não apresentam soluções de imediato, pois recaem em uma indeterminação. Para resolvermos esses limites, devemos utilizar os nossos conhecimentos básicos de matemática.
A fim de entendermos melhor as palavras acima, observemos a resolução do limite abaixo. 3 3 9 2 x x x Lim . 3 0 0 3 3 9 9 3 3 9 3 3 9 2 2 x x x Lim
O resultado
0 0
é uma indeterminação (não é definido), logo, devemos
utilizar conhecimentos básicos de matemática, no caso, fatoração, para levantarmos essa indeterminação, ou seja, encontrarmos o resultado do limite.
3 3 3 6 3 3 ) 3 ( 3 3 3 3 9* 2 x x x x Lim x x x Lim x x Lim* x2 – 9 = x2 – 32 = (x + 3).(x – 3) diferença de dois quadrados. Nota: os gráficos das funções f(x) =
3 9 2 x x e g(x) = x + 3 são idênticos
exceto quando x assumir valor 3. Esse fato indica que podemos calcular o limite da função f(x) calculando o limite da função g(x) quando x tende a 3.
Agora, observemos os símbolos de indeterminação ou formas
indeterminadas que irão surgir durante os nossos estudos.
Por que esses símbolos são denominados de símbolos de indeterminação?
Para responder essa pergunta, observemos as igualdades abaixo:
1) n 0 0 . n 0 0 (n ) 0 0 , 1 , 0 , . 0 , , , 0 0
2) n . n (n ) 3) nn (n ) 4) n n ou 0 n 0 . 0 (n )
0
0 ) .( 0 0 . 0 ) ( 0 ) log ( 0 ) 5 0 0 n n Log n Log n Log Log potência da e propriedad n Log Log aritmo aplicando n
0
0 0 . 1 . ) ( 1 ) log ( 1 ) 6 n n Log n Log n Log Log potência da e propriedad n Log Log aritmo aplicando n
0
0 . 0 . 0 ) ( ) log ( ) 7 0 0 n n Log n Log n Log Log potência da e propriedad n Log Log aritmo aplicando nPara que cada igualdade acima seja verdadeira, n pode assumir vários valores reais. Em decorrência disso, denominamos esses símbolos de indeterminação.
A partir desse momento, utilizando nossos conhecimentos básicos de matemática, vamos calcular limites que apresentam símbolos de indeterminação.
a) 2 4 4 4 2 2 x x x x Lim b)
x x x Lim 2 2 c) x x x x Lim 1 3 3 2 d) 3 3 3 x x x Lim e) 2 2 2 3 3 x x x Lim Solução: a) 2 4 4 4 2 2 x x x x Lim 2 ) min det ( 0 0 4 2 4 2 . 4 2 4 4 4 2 2 2 2 x ação er in x x x LimVamos levantar a indeterminação utilizando fatoração: 1) f(x) = x2 – 4x + 4 x2 – 4x + 4 = 0 4 4 1 c b a
Aplicando a fórmula de Bháskara, temos:
2 " 2 ' x x
Utilizando a fórmula y = a(x - x’).(x – x”) y = 1(x – 2)(x - 2) 2) g(x) = x2 - 4 x2 – 4 = 0 2 " 2 ' x x
Aplicando a fórmula y = a(x - x’).(x – x”) y = 1(x – 2)(x + 2) Substituindo no limite 2 ) ( ) ( x x g x f Lim = 2 ) 2 ).( 2 ( ) 2 ).( 2 ( x x x x x Lim = 2 0 4 0 2 2 x x x Lim b)
x x x Lim 2 2
x x x Lim 2 2 = - (indeterminação)Para levantarmos essa indeterminação, devemos o termo de maior grau.
x x x Lim 2 2 =
x x Lim 2 2 2. 2 c) x x x x Lim 1 3 3 2 x x x x Lim 1 3 3 2 = (indeterminação) Levantando a indeterminação- Separa-se o termo de maior grau tanto do numerador, como do denominador.
x x x x Lim 1 3 3 2 = x x x Lim 2 = x x Lim 1 0 1 d) 3 3 3 x x x Lim
3 ) min det ( 0 0 3 3 3 3 3 3 x ação er in x x Lim
Para levantarmos essa indeterminação, multiplica-se tanto o numerador, como o denominador por 3 x. 3 3 3 x x x Lim 3 3 3 3 3 x x x x x Lim
3 3 3 3 3 x x x x x Lim
3 3 3 3 2 2 x x x x Lim
3 3 3 3 x x x x Lim
3 3 2 3 3 3 x x Lim e) 2 2 2 3 3 x x x Lim = 0 0 Levantando a indeterminação 2 2 2 3 3 x x x Lim = 2 2 23 1 3 1 x x x LimSubstituindo 1/3 por n, temos:
2 2 2 x x x Lim n n
2 2 2 ... 2 . 2 1 2 1 x x x x x Lim n n n
2 2 ... 2 . 1 2 1 x x x Lim n n n = 1 2 1 1 1 1 2 ... 2 2 2 ... 2 . 2 2n n n n n n 3 3 2 3 2 1 3 1 1 4 . 3 1 2 . 3 1 2 . 3 1 2 . 3 1 2 . n n* n n b
a =
ab
an1an2.ban3.b2...bn1
- Aplicação
- Calcule os limites abaixo:
1)
2 3 5 7 x x Lim 2) 2 1 2 3 2 2 x x x x Lim 3) 2 2 r r Lim 4)
1 5 3 2 3 2 x x x Lim 5)
0 3 3 5 4 6 2 x x x x Lim 6)
2 1 2 3 2 x x x Lim 7) 5 2 4 x Lim x 8) 1 4 9 2 1 x Lim x 9)
4 5 3 x x Log Lim 10)
2 9 5 153 x x Lim 11) 0 1 2 3 2 3 5 2 3 x x x x x x x Lim 12) 3 4 3 3 r r Lim 13) 4 4 4 2 x x x x Lim 14) 1 1 1 2 x x x Lim 15) 1 1 1 3 x x x Lim 16) 1 1 3 2 3 2 x x x x Lim 17) 4 4 8 2 2 x x x x Lim 18) 2 4 2 3 2 2 x x x x Lim 19) 2 2 2 4 x x Lim 20) 2 4 2 x x Lim 21) 3 3 3 x x x Lim 22)
x x Lim 3 5 23) x x Lim 4 2 3 24) x x Lim 3 4 225)
x x x Lim 3 4 4 4 26) x x x x x x Lim 2 3 6 3 3 2 5 27)
x Lim 4x 28)
x Lim x 4 3 29)
x x x Log Lim 2 2 2 1 30) x x x x Log Lim 3 2 6 2 27.0- CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Observemos a função 3 3 4 ) ( 2 3 x x x x x
f (x 3). Ela está definida para qualquer valor de x, excetuando o valor 3. Isso indica que o seu gráfico dá um salto no ponto (3, 6), confirmando que ela não está definida nesse ponto.
Em decorrência disso, denominamos Função Contínua a toda função f(x) em que, o resultado de seu limite, quando x tende a k, for igual ao valor numérico da função f(x) para x = k.
k x k f x f Lim ( ) ) ( Exemplo:
01- Construir o gráfico da função
5
15
2
)
(
2x
x
x
x
f
com x 5 everifique se ela é contínua no ponto x = 5.
Como 5 ) 5 ( ) ( x f x Limf
, concluímos que a função é descontínua no ponto x=5.
Existe casos que é mais cômodo determinar a continuidade de uma função num ponto através dos limites laterais. Nesses eventos utilizamos as seguintes condições:
1ª) existe o valor numérico da função f(x) para x = k.
2ª) os limites laterais k x x Limf ( ) e k x x Limf ( )
existem e são iguais.
3ª) k x k f x Limf ( ) ) (
Nota:Se alguma condição acima falhar, a função passa a ser descontínua no ponto x = k.
02- Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados.
a) 2 , 3 2 , 1 ) ( x para x para x x f (x = 2) 0 0 ) 5 ( 5 15 2 ) ( ) 5 ( 5 5 8 5 ) 5 )( 3 ( 5 15 2 5 ) ( lim 2 2 f x x x x f f de Cálculo x x x x x Lim x x x Lim x quando x f do Cálculo
b) 2 , 5 2 , 2 4 ) ( 2 x para x para x x x f (x = 2) c) 3 , 1 3 , 3 6 5 ) ( 2 x para x para x x x x f (x = 3) Solução: a) 2 , 3 2 , 1 ) ( x para x para x x f
2 ) ( 2 2 1 ) 1 ( ) ( 2 2 3 3 x existe não x f Lim x x x Lim x f Lim x x Lim x f LimComo não existe
2 ) ( x x f Lim
b) 2 , 5 2 , 2 4 ) ( 2 x para x para x x x f
2 ) 5 ( 5 ) 2 ( 2 2 4 2 2 . 2 x f x f Lim f x x x x x Lim x f Lim Como
2 ) 5 ( x f x f Lim, concluímos que a função é descontínua em x = 2.
c) 3 , 1 3 , 3 6 5 ) ( 2 x para x para x x x x f
1 ) 3 ( 3 1 ) ( 3 3 3 1 3 2 3 3 6 5 ) ( 3 3 1 1 2 f x x f Lim x x x x x x Lim x x x Lim x f Lim x x Lim x f Lim Como 3 ) ( ) ( x x f x f Lim, concluímos que a função é contínua em x = 3.
Exercícios:
01- Seja a função f, definida por
2 , , 2 1 2 , 1 1 , 1 ) ( 2 x para x para x x para x x f : a) construir o gráfico, b) verificar se f(x) é contínua em x = -1 e x = -2. 02- Seja a função 2 , . 2 , 2 2 ) ( 2 2 x para x p x para x x x
f , determine p para que
exista 2 ) ( x x f Lim .
03) Determine o valor de p nas funções abaixo para que elas sejam contínuas nos pontos indicados.
a) 4 4 , 4 , 4 4 ) ( 2 em x x para p x para x x x x f
b) 2 1 2 1 , 4 2 1 , 2 1 3 8 4 ) ( 2 em x x para p x para x x x x f
04-Dadas as funções f e g, definidas por
4 1 , 1 , 1 1 ) ( 2 em x x para p x para x x x f e 2 2 , 6 3 2 , 2 8 ) ( 3 em x x para p x para x x x g . Determine: a) 1 ), ( lim x x f 1 ) ( lim x x f e 1 ) ( lim x x f .
b) O valor de p para que f(x) seja contínua no ponto x = -1.
c) 2 ), ( lim x x g 2 ) ( lim x x g e 2 ) ( lim x x g .
d) O valor de p para que g(x) seja contínua no ponto x = 2. e) Construa os gráficos das funções f(x) e g(x).
05- Verifique algebricamente e graficamente se as funções são contínuas nos pontos indicados. a) 4 4 , 3 4 , 9 3 ) ( em x x para x para x x f
b) 2 2 , 4 2 , 2 10 7 ) ( 2 2 em x x para x x para x x x x f c) 1 1 , 4 3 1 , 2 1 , 1 ) ( 3 em x x para x x x para x para x x f d) 2 3 3 2 2 3 , 4 2 2 , 2 2 ) ( 2 em x e x x para x para x x para x x x f SINTESE DA UNIDADE
Nesta unidade, você definiu limite; aprendeu a resolver limites laterais, estudou as propriedades dos limites e verificou a continuidade de uma função. Logo, você está apto a começar o estudo das Derivadas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
BARANENKOV, G E DEMITOVITH, B. Problemas e Exercícios de Análise Matemática. Moscou: Mir, 1978.
GRANVILLE, W. A. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Rio de Janeiro: Científica, 1954.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. V.2. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS COMPLEMENTARES:
IEZZI, Gelson ET AL. Fundamento da matemática elemntar. São Paulo: Atual, 1993, 10v.