ENGC65: Sistemas de controle III. 05 de junho de 2019

ENGC65: Sistemas de controle III

Departamento de Engenharia El´etrica - DEE Universidade Federal da Bahia - UFBA

05 de junho de 2019

1 Introdu¸c˜ao

2 Revis˜ao

3 Caso geral (n > ρ)

4 Coment´arios Finais

1

Introdu¸c˜

ao

2

Revis˜

ao

3

Caso geral (n > ρ)

4

Coment´

arios Finais

Objetivos da aula de hoje:

Estender os resultados da realimenta¸c˜ao linearizante;

Tratar os casos em que o grau relativo ´e menor do que a ordem do sistema;

Tratar o problema da realimenta¸c˜ao entrada-estado.

1

Introdu¸c˜

ao

2

Revis˜

ao

3

Caso geral (n > ρ)

4

Coment´

arios Finais

Seja um sistema n˜ao linear:

˙x = f (x) + g (x)u.

Pretendemos definir uma mudan¸ca de vari´avel z = T (x) e uma lei de controle linearizante u = α(x) + β(x)v tal que o sistema resultante seja linear na forma

˙z = Az + Bv .

A mudan¸ca de vari´avel z = T (x) (difeomorfismo) e a lei de controle linearizante u = α(x) + β(x)v podem valer apenas numa regi˜ao (localmente).

Seja h(x) : Rn_{→ R uma fun¸c˜ao escalar e f (x) : R}n_{→ R}n _{um campo}

vetorial. A derivada de Lie de h(x) com respeito a f (x) ´e uma fun¸c˜ao escalar definida por:

Lfh(x) =

∂h(x) ∂x f(x). O grau relativo do sistema abaixo

˙x = f (x) + g (x)u y = h(x)

´e dado pelo valor de ρ tal que

LgLi −1f h(x) = 0, i = 1, 2, ..., ρ − 1, LgLρ−1f h(x) 6= 0.

O grau relativo do sistema abaixo

˙x = f (x) + g (x)u y= h(x)

´e dado pelo valor de ρ tal que

LgLi −1f h(x) = 0, i = 1, 2, ..., ρ − 1, LgLρ−1f h(x) 6= 0. Assim temos _dy dt = Lfh(x) + L_{| {z }}gh(x) 0 u= Lfh(x) d2_y dt2 = L 2 fh(x) + LgLfh(x) | {z } 0 u= L2fh(x) .. . = ... = ... dρ−1_y dt = L ρ−1 f h(x) + LgLρ−2f h(x) | {z } 0 u= Lρ−2 f h(x) dρ_y dt = L ρ fh(x) +LgLρ−1f h(x)u

Se para um dado sistema n = ρ

˙x = f (x) + g (x)u y= h(x)

Neste caso temos

y= h(x) dy dt = Lfh(x) d2y dt2 = L 2 fh(x) .. . = ... dn−1_y dt = L n−1 f h(x) dny dt = L n fh(x) +LgLn−1f h(x)u

Se para um dado sistema n = ρ

˙x = f (x) + g (x)u y= h(x)

Vamos considerar a mudan¸ca de vari´avel a seguir z1= y = h(x) z2= dy dt = Lfh(x) z3= d2y dt2 = L 2 fh(x) .. . = ... zn= dn−1_y dt = L n−1 f h(x) dny dt = L n fh(x) + LgLn−1f h(x)u

Se para um dado sistema n = ρ ˙x = f (x) + g (x)u y= h(x) Alternativamente z1=y = h(x) z2=˙z1= dy dt = Lfh(x) z3=˙z2= d2y dt2 = L 2 fh(x) .. . = ... = ... zn=˙zn−1= dn−1_y dt = L n−1 f h(x) ˙zn= dny dt = L n fh(x) + LgLn−1f h(x)u com T(z) = [h(x) Lfh(x) L2fh(x) ... Ln−1f h(x)]′

Se para um dado sistema n = ρ ˙x = f (x) + g (x)u y= h(x) Alternativamente z1=y = h(x) z2=˙z1= dy dt = Lfh(x) z3=˙z2= d2y dt2 = L 2 fh(x) .. . = ... = ... zn=˙zn−1= dn−1y dt = L n−1 f h(x) ˙zn= dny dt = L n fh(x) + LgLn−1f h(x)u = v com T(z) = [h(x) Lfh(x) L2fh(x) ... Ln−1f h(x)]′ e u= 1 LgLn−1_f h(x) [−Lnfh(x) + v ]

Como visto anteriormente temos ˙z1= z2, ˙z2= z3, ..., ˙zn−1= zn, ˙zn= v , y = z1= h(x) para T(z) = [h(x) Lfh(x) L2fh(x) ... Ln−1f h(x)]′ e u = 1 LgLn−1f h(x) [−Ln fh(x)+v ]. Assim temos um representa¸c˜ao linear na vari´avel z (banco de integradores)

       ˙z1 ˙z2 .. . ˙zn−1 ˙zn        =        0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 .. . ... ... . .. ... ... 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 0        | {z } Ac        z1 z2 .. . zn−1 zn        +        0 0 .. . 0 1        |{z} Bc v y= z1= [1 0 ... 0 0 0] | {z } Cc z

1

Introdu¸c˜

ao

2

Revis˜

ao

3

Caso geral (n > ρ)

4

Coment´

arios Finais

Se para um dado sistema n > ρ

˙x = f (x) + g (x)u y= h(x)

Podemos utilizar um n´umero de ρ express˜oes como abaixo zn−ρ+1=y= h(x) zn−ρ+2=˙zn−ρ+1= dy dt = Lfh(x) zn−ρ+3=˙zn−ρ+2= d2y dt2 = L 2 fh(x) .. . = ... = ... zn=˙zn−1= dn−1y dt = L ρ−1 f h(x) ˙zn= dn_y dt = L ρ fh(x) + LgLρ−1f h(x)u Como determinar z1, z2, ..., zn−ρ?

Se para um dado sistema n > ρ

˙x = f (x) + g (x)u y= h(x)

A ideia ´e obter um mapa linear da entrada para a sa´ıda de forma que z=

 η ξ 

de maneira que o sistema resultante tem a forma  ˙η ˙ξ  =  f0(η, ξ) Acξ+ Bcv  y= Ccξ

Para obter o mapa linear da entrada para a sa´ıda, como segue  ˙η ˙ξ  =  f0(η, ξ) Acξ+ Bcv  y= Ccξ basta utilizar z=  η ξ  =             φ1(x) φ2(x) .. . φn−ρ(x) h(x) .. . Ln−1_f h(x)             com ∂φi ∂x g(x) = 0, i = 1, 2, ..., n − ρ.

Considere o mapa linear entrada sa´ıda  ˙η ˙ξ  =  f0(η, ξ) Acξ+ Bcv  y= Ccξ

Pode-se obter uma fun¸c˜ao de transferˆencia da entrada para a sa´ıda G(s) = 1

sρ = Y(s) V(s).

Parcela n˜ao linear est´a relacionada a um ponto de equil´ıbrio est´avel?

Dinˆamica zero (y = 0) globalmente assintoticamente est´avel ⇒ fase m´ınima ⇒sistema bem comportado:

 ˙η ˙ ξ  =  f0(η, 0) Ac0 + Bc0  y= Cc0.

Considere o mapa linear entrada sa´ıda  ˙η ˙ξ  =  f0(η, ξ) Acξ+ Bcv  y= Ccξ

Pode-se obter uma fun¸c˜ao de transferˆencia da entrada para a sa´ıda G(s) = 1

sρ = Y(s) V(s).

Parcela n˜ao linear est´a relacionada a um ponto de equil´ıbrio est´avel?

Dinˆamica zero (y = 0) globalmente assintoticamente est´avel ⇒ fase m´ınima ⇒sistema bem comportado:

 ˙η ˙ ξ  =  f0(η, 0) Ac0 + Bc0  y= Cc0.

Considere o mapa linear entrada sa´ıda  ˙η ˙ξ  =  f0(η, ξ) Acξ+ Bcv  y= Ccξ

Pode-se obter uma fun¸c˜ao de transferˆencia da entrada para a sa´ıda G(s) = 1

sρ = Y(s) V(s).

Parcela n˜ao linear est´a relacionada a um ponto de equil´ıbrio est´avel? Dinˆamica zero (y = 0) globalmente assintoticamente est´avel ⇒ fase m´ınima ⇒sistema bem comportado:

 ˙η ˙ ξ  =  f0(η, 0) Ac0 + Bc0  y= Cc0.

Considere o mapa linear entrada sa´ıda  ˙η ˙ξ  =  f0(η, ξ) Acξ+ Bcv  y= Ccξ

Dinˆamica zero (y = 0) globalmente est´avel ⇒ fase m´ınima ⇒ sistema bem comportado:  ˙η ˙ ξ  =  f0(η, 0) Ac0 + Bc0  y= Cc0.

A dinˆamica zero pode ser testado a partir do sistema original ( ˙x = f (x) + g (x)u) considerando x∗_{e u(x}∗_{) =} 1

LgLρ−1f h(x∗)

[−Lρ

fh(x∗)] sendo x∗_{o conjunto de solu¸c˜ao de vetor de estados tal que}

h(x∗_{) = 0, L}

fh(x∗) = 0, L2fh(x∗) = 0, ..., Lρ−1f h(x ∗_{) = 0.}

Na pr´atica pode-se analisar a estabilidade do ponto de equil´ıbrio ap´os a transforma¸c˜ao.

Oscilador de van der Pol  ˙x1 ˙x2  =  x2 −x1+ ǫ(1 − x12)x2+ u  y= x2

Exemplo did´atico

  ˙x1 ˙x2 ˙x3  =    x1+2+x23 1+x2 3 u x3 x1x3+ u    y = x2

Oscilador de van der Pol  ˙x1 ˙x2  =  x2 −x1+ ǫ(1 − x12)x2+ u  y= x2

Exemplo did´atico

  ˙x1 ˙x2 ˙x3  =    x1+2+x 2 3 1+x2 3 u x3 x1x3+ u    y = x2

Realimenta¸c˜ao entrada estado - poss´ıvel desde que se defina uma sa´ıda y = (x) tal que ρ = n.

Caso com m´ultiplas entradas:

˙x = f (x) + G (x)u = f (x) + [g1(x)g2(x)...gm(x)]      u1 u2 .. . um      y = h(x).

Pode-se realizar a lineariza¸c˜ao total dede que o grau relativo de todas as entradas para a sa´ıda y (x) seja igual a ρ. Neste caso temos

T(z) = [h(x) Lfh(x) L2fh(x) ... Ln−1f h(x)]′, ui = 1 LgiLn−1_f h(x)[ −Ln fh(x) m + vi], i = 1, .., m.

Realimenta¸c˜ao entrada estado - poss´ıvel desde que se defina uma sa´ıda y = (x) tal que ρ = n.

Caso com m´ultiplas entradas:

˙x = f (x) + G (x)u = f (x) + [g1(x)g2(x)...gm(x)]      u1 u2 .. . um      y = h(x).

Pode-se realizar a lineariza¸c˜ao total dede que o grau relativo de todas as entradas para a sa´ıda y (x) seja igual a ρ. Neste caso temos

T(z) = [h(x) Lfh(x) L2fh(x) ... Ln−1f h(x)]′, ui = 1 LgiLn−1_f h(x)[ −Ln fh(x) m + vi], i = 1, .., m.

Realimenta¸c˜ao entrada estado - poss´ıvel desde que se defina uma sa´ıda y = (x) tal que ρ = n.

Caso com m´ultiplas entradas:

˙x = f (x) + G (x)u = f (x) + [g1(x)g2(x)...gm(x)]      u1 u2 .. . um      y = h(x).

Pode-se realizar a lineariza¸c˜ao total dede que o grau relativo de todas as entradas para a sa´ıda y (x) seja igual a ρ. Neste caso temos

T(z) = [h(x) Lfh(x) L2fh(x) ... Ln−1f h(x)]′, ui = 1 LgiLn−1f h(x) [−L n fh(x) m + vi], i = 1, .., m.

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Introdu¸c˜

ao

2

Revis˜

ao

3

Caso geral (n > ρ)

4

Coment´

arios Finais

Nesta aula discutimos sobre a realimenta¸c˜ao linearizante.

Apresentou-se a situa¸c˜ao em que n˜ao ´e poss´ıvel realizar a lineariza¸c˜ao completa.

Comentou-se sobre a lineariza¸c˜ao entrada -sa´ıda e o caso com m´ultiplas entradas.

Na pr´oxima aula discutiremos sobre:

T´ecnicas de controle n˜ao-linear baseadas em fun¸c˜oes de Lyapunov.