Matriz de mudança de coordenadas: S B1!B 2. (como se faz e para que serve) transformação linear. (como se faz e para que serve)

Matriz de mudança de coordenadas: S_B1!B2 (como se faz e para que serve)

Transformação linear

A matriz de T em relação às bases B e B0: M_{(T ; B; B}0)

(como se faz e para que serve)

As 3 formas (equivalentes) de de…nir uma transformação linear

Operações com transformações lineares: T, T₁ + T₂, T₁ T₂ e T 1 (se existir)

A inversa T 1 de uma transformação linear invertível T

As matrizes de T, T₁ + T₂, T₁ T₂ e T 1 (se existir) em bases apropriadas

O contradomínio de T : I(T ) (calcular bases) O núcleo de T : N (T ) (calcular bases)

Se dim U < 1, dim N (T ) + dim I(T ) = dim U Transformação linear injectiva (e relação com dim) Transformação linear sobrejectiva (e relação com dim)

Transformação linear bijectiva (isomor…smo) (e relação com dim)

Matriz de mudança de coordenadas

De…nição. dim V = n. B1 = fv1; : : : ; vng e B2 =

fw1; : : : ; wng bases ordenadas de V .

À matriz (a_ij)_{n n} em que, com j = 1; :::; n: v_j =

n

X

i=1

a_ijw_i

chama-se matriz de mudança de coordenadas (da base B1 para B2) e escreve-se

S_B1!B2 = (a_ij)_{n n}

Observação. A de…nição anterior pode ser escrita as-sim:

B1 = B2S_B1!B2

Teorema. A matriz S_B1!B2 é invertível. Além disso, se [u]_B

1 forem as coordenadas de u na base B1, então as

coordenadas [u]_B

2 de u na base B2 são dadas por:

[u]_B

Dem. Por um lado u _{= B1} [u]_B 1 e por outro u _{= B2} [u]_B 2 : Assim B2 [u]_B2 = B1 [u]_B1 = = B2S_B1!B2 [u]_B1 = B2 S_B1!B2 [u]_B1

e atendendo à unicidade das coordenadas de um vector em relação a uma base, tem-se

[u]_B

2 = SB1!B2 [u]B1

Observação.

Exemplo. B1 = f(1; 1); (1; 1)g ; B2 = f(1; 2); (3; 4)g bases ordenadas de _R2 (1; 1) = 7 2(1; 2)+ 3 2(3; 4) logo [(1; 1)]B2 = " ₇ 2 3 2 # (1; 1) = 1 2(1; 2) + 1 2(3; 4) logo [(1; 1)]B2 = " ₁ 2 1 2 # S_B1!B2 = " ₇ 2 1 2 3 2 12 # (3; 1) = 1(1; 1) + 2(1; 1) Coordenadas de (3; 1) na base B1: 1 e 2 S_B1!B2 " 1 2 # = " ₇ 2 1 2 3 2 1 2 # " 1 2 # = " ₉ 2 5 2 #

Logo 9₂ e 5_{2 são as coordenadas de (3; 1) na base B2}. De facto: (3; 1) = 9₂(1; 2) + 5₂(3; 4)

(1; 1) = 7 2(1; 2) + 3 2(3; 4) (1; 1) = 1 2(1; 2) + 1 2(3; 4) h (1; 1) (1; 1) i | {z } B1 = h (1; 2) (3; 4) i | {z } B2 " ₇ 2 12 3 2 1 2 # | {z } S_B1!B2 " 1 1 # = " 1 3 2 4 # " ₇ 2 3 2 # " 1 1 # = " 1 3 2 4 # " ₁ 2 1 2 # " 1 1 1 1 # = " 1 3 2 4 # " ₇ 2 12 3 2 1 2 #

De…nição. U e V espaços lineares

T _{: U ! V é uma transformação linear se e só se} 8u; v 2 U 8 escalar T(u + v) = T (u) + T (v) T( u) = T(u) , 8u; v 2 U 8 ; escalares T( u + v) = T (u) + T (v) Observação. T linear ) T (0_U) = 0_V T(0_{U) 6=} 0_{V ) T não é linear}

Exemplos de transformações não lineares

T : _R2 _{! R}2

T(x; y) = (1 y; 2x)

T : _R2 _{! R}

Exemplos de transformações lineares (i) T : _R4 _{! R}2 T(x; y; z; w) = (x y; 3w)

(ii) T : _R3 _{! R}4 T(x; y; z) = ( z; y 2z; 2y; y+z)

(iii) T : _R3 _{! R}3 T(x; y; z) = (x + 2y; 3z; x z) (iv) T : _Rn _{! R}m T(u) = Au _{A 2 Mm n}(_R) …xa (v) tr:Mn n(R) ! R tr(A) = n P i=1 a_ii

Exemplos (i) T : P2 ! M2 2 (R) T (p (t)) = " p(1) p(0) p(0) p ( 1) # (ii) T : M2 2 (R) ! P2 T " a b c d #! = 2c a + (b + 2c) t2 (iii) T : M2 2 (R) ! M2 2 (R) T(X) = X " 1 2 2 1 # " 1 2 2 1 # X (iv) T : Mn n(R) !Mn n(R) T (X) = XT

Exemplos

U espaço linear e k um escalar (…xo)

T_{k : U ! U} T_k(u) = ku T_k é uma homotetia Se 0 < k < 1 T_k é uma contracção Se k > 1 T_k é uma dilatação Se k = 1 T₁ é a transformação identidade I I(u) = u 8 u 2 U

Exemplos

(i) T : P2 ! P3 T(p (t)) = 2tp (1 t) tp0 (t)

(ii) T : P3 ! P1 T (p (t)) = p00 (t)

(iii) T : C1 (_{R) ! C (R}) T (f ) = f0

(iv) a 2 R (…xo) T : C1 (_{R) ! R} T (f ) = f0 (a)

(v) n 2 N T : Cn(_{R) ! C (R}) T (f ) = f(n)

(vi) T : C (_{R) ! C}1 (_R) T (f ) = Z _x

Outro modo de de…nir uma transformação linear: Sendo T _{: U ! V linear e U = L (fv1}; : : : ; v_ng) Sendo u 2 U existem escalares 1; :::; n tais que

u = ₁v₁ + ::: + nvn

Então

T(u) = ₁T(v₁) + ::: + _nT(v_n)

ou seja, conhecendo-se as imagens T (v₁); :::; T (v_n) com U _{= L (fv1}; : : : ; v_{ng) …ca a conhecer-se a expressão} geral de T : U ! V linear.

Além disso, sendo U e V espaços lineares com U = L_(fu1; : : : ; u_{ng) e T1}; T_{2 : U ! V lineares}

Exemplo. _{P1 = L (f1} t; _{1 + tg). Seja} T _{: P1 ! R}3

linear tal que

T (1 t) = (0; 1; 2) T (1 + t) = ( 1; 2; 1) . Vejamos como se obtém a expressão geral de T .

Seja a₀ + a_{1t 2 P1}. Determinemos ; _{2 R} tais que a₀ + a₁t = (1 t) + (1 + t) . Tem-se a₀ + a₁t = 1 2 (a0 a1) | {z } (1 t) + 1 2 (a0 + a1) | {z } (1 + t) . Então T (a₀ + a₁t) = 1 2a0 1 2a1; 3 2a0 + 1 2a1; 3 2a0 1 2a1

Representação matricial

De…nição. B1 = fv1; :::; vng base ordenada de U

B2 = fw1; :::; wmg base ordenada de V

T _{: U ! V linear tal que} T(v_j) = Pm_i=1 a_ijw_i.

A matriz que representa T em relação às bases B1 e B2

é de…nida por

M_{(T ; B1; B2}) = (a_ij)_{m n}

Observação. A de…nição anterior pode ser escrita as-sim:

T _{(B1) = B2}M_{(T ; B1; B2})

Teorema. T : U ! V linear. Sejam [u]_B1 as coorde-nadas de u em B1 e [T (u)]_B2 as coordenadas de T (u)

em B2. Então

T _{(B1) = B2}M_{(T ; B1; B2) ) [T (u)]B}

Dem. Como u _{= B1} [u]_B 1 e T é linear então T _{(u) = T (B1}) [u]_B 1 :

Por outro lado

T _{(u) = B2} [T (u)]_B

2 :

Assim

B2 [T (u)]_B2 = T (B1) [u]_B1 =

= (B2M(T ; B1; B2)) [u]_B1 = B2 M(T ; B1; B2) [u]_B1

e atendendo à unicidade das coordenadas de um vector em relação a uma base, tem-se

[T (u)]_B

2 = M (T ; B1; B2) [u]B1

Observação. Se T = I tem-se

Exemplo. (Da fórmula para a matriz.) Seja T : _R3 _{! R}2 linear tal que

T (x; y; z) = ( 3x 3y + 9z; x + y 3z),

Sejam B1 = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g e B2 = f(1; 1); (1; 1)g.

Vejamos como se obtém M (T ; B1; B2).

Como T (1; 1; 1) = (3; 1) = 1(1; 1) + 2(1; 1) T (0; 1; 1) = (6; 2) = 2(1; 1) + 4(1; 1) T (0; 0; 1) = (9; 3) = 3(1; 1) + 6(1; 1) então M_{(T ; B1; B2}) = " 1 2 3 2 4 6 # ,

Exemplo. (Da matriz para a fórmula.) Seja T :

R3 ! R2 linear tal que M (T ; B1; B2) =

" 1 2 3 2 4 6 # , com B1 = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g e B2 = f(1; 1); (1; 1)g.

Vejamos como se obtém a expressão geral de T . Como

(x; y; z) = x(1; 1; 1)+(y x) (0; 1; 1)+( y + z) (0; 0; 1) então as coordenadas de T (x; y; z) em B2 são dadas

por: [T (x; y; z)]_B 2 = " 1 2 3 2 4 6 # 2 6 4 x y x y + z 3 7 5 | {z } [(x;y;z)]_B1 = " x y + 3z 2x 2y + 6z # Logo T (x; y; z) = ( x y + 3z) (1; 1)+( 2x 2y + 6z) (1; 1) = = ( 3x 3y + 9z; x + y 3z)

Exemplo. (Da matriz para a fórmula passando pelas imagens de geradores.)

Seja T : _R3 _{! R}2 linear tal que M_{(T ; B1; B2}) = " 1 2 3 2 4 6 # ; com B1 = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g e B2 = f(1; 1); (1; 1)g.

Vejamos como se obtém a expressão geral de T . Da matriz retiramos:

T (1; 1; 1) = 1(1; 1) + 2(1; 1) = (3; 1) T (0; 1; 1) = 2(1; 1) + 4(1; 1) = (6; 2) T (0; 0; 1) = 3(1; 1) + 6(1; 1) = (9; 3) Como

(x; y; z) = x(1; 1; 1)+(y x) (0; 1; 1)+( y + z) (0; 0; 1) e T é linear então T (x; y; z) = = xT (1; 1; 1)+(y x) T (0; 1; 1)+( y + z) T (0; 0; 1) = = x (3; 1) + (y x) (6; 2) + ( y + z) (9; 3) = = ( 3x 3y + 9z; x + y 3z)

Teorema. Seja T : _Rn _{! R}m _{linear. Sejam Bc}n a base canónica de _Rn; Bcm a base canónica de Rm e A _{= M (T ; Bc}n_{; Bc}m_{) 2 Mm n}(_R). Então T(u) = Au para todo o u 2 Rn. Dem. T(u) = [T (u)]_Bm c = M (T ; B n c ; Bcm) [u]_Bcn = Au

Exemplo. Seja T : _R4 _{! R}3 tal que T(x; y; z; w) = (3x + y 2z; 0; x + 4z). Como T(1; 0; 0; 0) = (3; 0; 1), T (0; 1; 0; 0) = (1; 0; 0) T(0; 0; 1; 0) = ( 2; 0; 4) e T (0; 0; 0; 1) = (0; 0; 0) então A _{= M (T ; B}4_{c; Bc}3) = 2 6 4 3 1 2 0 0 0 0 0 1 0 4 0 3 7 5. Observe-se que T_{(x; y; z; w) = M (T ; Bc}4_{; B}3_c) 2 6 6 6 4 x y z w 3 7 7 7 5 = = (3x + y 2z; 0; x + 4z)

De…nição. S; T : U ! V , escalar.

Então S + T , T _{: U ! V são de…nidas por}

(S + T ) (u) = S(u) + T (u) ( T )(u) = T (u)

Teorema. S; T : U ! V lineares, escalar. Então S + T , T são lineares:

Exemplo. T₁; T₂ : _R3 _{! R}2

T₁(x; y; z) = (x + 2y; x z) T₂(x; y; z) = (y; 2x) (T₁ + 3T₂) (x; y; z) = (x + 5y; 5x z)

De…nição. (Composição) T : U ! V , S : V ! W . Então S T _{: U ! W é de…nida por}

(S T) (u) = S (T (u)) Observação. Em geral S _{T 6= T} S Teorema. R (S T) = (R S) T De…nição. T0 = I Tk = T Tk 1; k = 1; 2; ::: Teorema. Tm+n = Tm Tn (R + S) Q = R Q + S Q ( R) Q = (R Q) Teorema. T : U ! V , S : V ! W lineares. Então S T _{: U ! W é linear}

Teorema. T linear. Então

Exemplo. T₂ : _R3 _{! R}2 T₂(x; y; z) = (y; 2x) T₃ : _R2 _{! R}3 T₃(x; y) = (2x + y; x; x y) T₂ T₃ : _R2 _{! R}2 (T₂ T₃) (x; y) = T₂ (T₃(x; y)) = T₂ (2x + y; x; x y) = = (x; 4x 2y) T₃ T₂ : _R3 _{! R}3 (T₃ T₂) (x; y) = T₃ (T₂(x; y)) = T₃(y; 2x) = = ( 2x + 2y; y; 2x + y)

Teorema. B1 base de U , B2 base de V , ; escalares, T₁; T_{2 : U ! V lineares:} Então M( T₁+ T_{2; B1; B2}) = M (T_{1; B1; B2})+ M (T_{2; B1; B2}) Exemplo. T₁; T₂ : _R3 _{! R}2 T₁(x; y; z) = (x + 2y; x z) T₂(x; y; z) = (y; 2x) (T₁ + 3T₂) (x; y; z) = (x + 5y; 5x z) M(T₁ + 3T_{2; Bc}3_{; B}2_c) = " 1 5 0 5 0 1 # M(T_{1; Bc}3_{; Bc}2) + 3M (T_{2; Bc}3_{; B}2_c) = = " 1 2 0 1 0 1 # + 3 " 0 1 0 2 0 0 # = " 1 5 0 5 0 1 #

Teorema. B1 base de U , B2 base de V , B3 base de W , ; _{escalares, T : U ! V; S : V ! W lineares:} Então M (S T ; B1; B3) = M (S; B2; B3)M (T ; B1; B2) Exemplo. T₂ : _R3 _{! R}2 T₂(x; y; z) = (y; 2x) T₃ : _R2 _{! R}3 T₃(x; y) = (2x + y; x; x y) T₂ T₃ : _R2 _{! R}2 (T₂ T₃) (x; y) = T₂ (T₃(x; y)) = T₂ (2x + y; x; x y) = = (x; 4x 2y) M(T₂ T_{3; B}2_{c; Bc}2) = " 1 0 4 2 # M(T_{2; Bc}3_{; Bc}2)M (T_{3; Bc}2_{; Bc}3) = " 0 1 0 2 0 0 #2 6 4 2 1 1 0 1 1 3 7 5 = = " 1 0 4 2 #

De…nição. dim U = dim V . T : U ! V linear diz-se invertível se e só se existir S : V ! U tal que

S T = I_U e T S = I_V , e neste caso S = T 1.

Teorema. dim U = dim V , T : U ! V linear. Se A _{= M (T ; B1; B2}) então

T _{invertível , A invertível:} Se T é linear e invertível então T 1 é linear e

A 1 = M (T 1_{; B2; B1}):

Teorema. dim U = dim V = dim W , T_{2 : U ! V;} T_{1 : V ! W lineares invertíveis: Então T1} T₂ é linear, invertível e

Exemplo. T : _R2 _{! R}2 T(x; y) = (x; 4x 2y) Como M (T ; Bc2; B2c) = " 1 0 4 2 # é invertível então T é invertível e M(T 1_{; Bc}2_{; Bc}2) = " 1 0 4 2 # ₁ = " 1 0 2 1₂ # Logo T 1(x; y) = " 1 0 2 1₂ # " x y # = x; 2x 1₂y De facto T x; 2x 1 2y = (x; y)

Teorema. T : U ! U linear B, B0 bases ordenadas de U. Então (U; B) M(T ;B;B)! T (U; B) S_{B0!B " I I # SB!B0} U; B0 T! M_{(T ;B}0_;B0) U; B 0 Isto é T = I T _{I ,} , M(T ; B0; B0) = S_B!B0M_{(T ; B; B)SB0!B ,} , M(T ; B0; B0) = S_B!B0M_{(T ; B; B) (SB!B0}) 1 B = SAS 1

Quando se tem a última igualdade dir-se-á que A e B são semelhantes e nesse caso ver-se-á que:

car A = car B nul A = nul B tr A = tr B det A = det B det (A I) = det (B I)

Teorema. Caso geral. T : U ! V linear. B1 e B0₁

bases ordenadas de U . B2 e B₂0 bases ordenadas de V .

Então (U; B1) M_{(T ;B1;B2}) ! T (V; B2) S_B0 1!B1 " I I # SB2!B02 U; B₁0 T! M_{(T ;B1}0_;B20) V; B 0 2 Isto é T = I T _{I ,} , M(T ; B10 ; B20 ) = S_B2!B0₂M(T ; B1; B2)S_B0 1!B1

Exemplo. T : _R2 _{! R}3 T(x; y) = (y; x; y x) M_{(T ; Bc}2_{; B}3_c) = 2 6 4 0 1 1 0 1 1 3 7 5 B1 = f(1; 1); ( 1; 1)g B2 = f(0; 0; 1); (0; 1; 1); (1; 1; 1)g bases ordenadas de _R2 e _R3 T(1; 1) = (1; 1; 0) = (0; 0; 1) + 0(0; 1; 1) + 1 (1; 1; 1) T( 1; 1) = (1; 1; 2) = 3(0; 0; 1) 2(0; 1; 1) + 1 (1; 1; 1) M_{(T ; B1; B2}) = 2 6 4 1 3 0 2 1 1 3 7 5 (1; 0; 0) = 0(0; 0; 1) 1(0; 1; 1) + 1 (1; 1; 1) (0; 1; 0) = (0; 0; 1) + 1(0; 1; 1) + 0 (1; 1; 1) (0; 0; 1) = 1(0; 0; 1) + 0(0; 1; 1) + 0 (1; 1; 1) S_B3 c!B2 = 2 6 4 0 1 1 1 1 0 1 0 0 3 7 5

S_B3 c!B2M(T ; B 2 c; Bc3)S_B1!B2 c = = 2 6 4 0 1 1 1 1 0 1 0 0 3 7 5 2 6 4 0 1 1 0 1 1 3 7 5 " 1 1 1 1 # = = 2 6 4 1 3 0 2 1 1 3 7 5 = M (T ; B1; B2)

coordenadas de (2; 1) na base Bc2 M_{(T ;Bc}2_;Bc3) ! T coordenadas de T (2; 1) na base Bc3 S_B2 c!B1 # I I # SBc3!B2 coordenadas de (2; 1) na base B1 T ! M_{(T ;B1;B2}) coordenadas de T (2; 1) na base B2. " 2 1 # 2 6 4 0 1 1 0 1 1 3 7 5 ! T 2 6 4 1 2 1 3 7 5 " ₁ 2 1 2 1 2 1 2 # # I I # 2 6 4 0 1 1 1 1 0 1 0 0 3 7 5 " ₃ 2 1 2 # T ! 2 6 4 1 3 0 2 1 1 3 7 5 2 6 4 3 1 1 3 7 5

De…nição. U e V espaços lineares e T : U ! V linear (i) O contradomínio ou imagem de T :

I(T ) = fT (u) : u 2 Ug

(ii) O núcleo de T : N (T ) = fu 2 U : T (u) = 0_g

Teorema. U e V espaços lineares e T : U ! V linear (i) N (T ) é um subespaço de U

(ii) I(T ) é um subespaço de V

(iii) Seja S = fu1; : : : ; ukg. Se U = L (S) então

I(T ) = L (fT (u1) ; : : : ; T (uk)g) = L (T (S))

(iv) Se dim U < 1 e T : U ! V é linear então

Exemplos.

T _{: U ! V} T(u) = 0 _{N (T ) = U I(T ) = f}0_g

I _{: U ! U} I(u) = u _{N (I) = f}0_{g I(I) = U}

T : C1 (_{R) ! C (R}) T (f ) = f0

I(T ) = C (R)

N (T ) = ff : R ! R tal que f é constante em _Rg

A 2 Mm n(R) T : Rn ! Rm T(u) = Au

Exemplo. T(x; y; z; w) = (3x + y 2z; 0; x + 4z) T(1; 0; 0; 0) = (3; 0; 1), T (0; 1; 0; 0) = (1; 0; 0) T(0; 0; 1; 0) = ( 2; 0; 4) e T (0; 0; 0; 1) = (0; 0; 0). A _{= M (T ; Bc}4_{; Bc}3) = 2 6 4 3 1 2 0 0 0 0 0 1 0 4 0 3 7 5 N (T ) = N (A) = n(x; y; z; w) 2 R4 : y = 14z e x = 4zo = = f( 4z; 14z; z; w) : z; w 2 Rg = = L (f( 4; 14; 1; 0); (0; 0; 0; 1)g) I (T ) = C (A) = L f(3; 0; 1); (1; 0; 0)g dim _R4 | {z } =4 = dim N (T )_{| {z }} =2 + dim I (T )_{| {z }} =2

Teorema.

T _{: U ! V linear A = M(T ; B1; B2) 2 Mm n}(_R) então [T (u)]_B

2 = A [u]B1

Observação.

Os vectores de N (A) são as coordenadas dos vec-tores de N (T ) em B1.

Os vectores de C(A) são as coordenadas dos vectores de I(T ) em B2.

dim N (T ) = dim N (A) = nul A dim I(T ) = dim C(A) = car A

Exemplo. T : _R3 _{! R}2 linear B1 = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g B2 = f(1; 1); (1; 1)g A _{= M (T ; B1; B2}) = " 1 2 3 2 4 6 # N (A) = N h 1 2 3 i _{= L (f( 2; 1; 0); ( 3; 0; 1)g)} N (T ) = L ( ( 2) (1; 1; 1) + 1(0; 1; 1) + 0(0; 0; 1); ( 3) (1; 1; 1) + 0(0; 1; 1) + 1(0; 0; 1) )! = = L (f( 2; 1; 1); ( 3; 3; 2)g) C(A) = L (f(1; 2)g) I(T ) = L (f1(1; 1) + 2(1; 1)gg) = L (f(3; 1)g)

De…nição. T : U ! V é injectiva se e só se T_{(u) = T (w) ) u = w} isto é u 6= w ) T (u) 6= T (w) Teorema. T _{injectiva , N (T ) = f}0_g

Teorema. T : U ! V linear dim U = dim V . Então T _{injectiva , T invertível} Exemplo. T : _R2 _{! R}2 T(x; y) = (x; 4x 2y) T é injectiva pois M_{(T ; Bc}2_{; Bc}2) = " 1 0 4 2 # e N (T ) = N " 1 0 4 2 #! = f(0; 0)g

Teorema. dim U < 1 T _{: U ! V linear então são} equivalentes:

(i) T é injectiva (ii) N (T ) = f0_g

(iii) dim U = dim I(T )

(iv) T transforma qualquer conjunto linearmente inde-pendente de vectores de U num conjunto linearmente independente de vectores de V

De…nição. T : U ! V é sobrejectiva se e só se I(T ) = V

Teorema. dim U; dim V < 1 T _{: U ! V linear.} Então

T é sobrejectiva se e só se T transformar um qualquer conjunto gerador de U num conjunto gerador de V

Exemplo. T : _R3 _{! R}2 T(x; y; z) = (y; 2x) T é sobrejectiva pois M_{(T ; Bc}3_{; Bc}2) = " 0 1 0 2 0 0 # e I(T ) = C " 0 1 0 2 0 0 #! =L (f(0; 2); (1; 0)g)=R2

Teorema. dim U < 1, T : U ! V linear. Então

T _{é sobrejectiva ) dim U} dim V dim U < dim V ) T não é sobrejectiva

T _{é injectiva ) dim U} dim V dim U > dim V ) T não é injectiva

Teorema. dim U = dim V < 1, T : U ! V linear. Então

De…nição. T : U ! V é bijectiva se e só se fôr injectiva e sobrejectiva

De…nição. U e V espaços lineares são isomorfos se e só se existir um isomor…smo entre U e V , isto é, se e só se existir uma transformação linear bijectiva T : U ! V e escreve-se

U = V

Teorema. U e V espaços lineares. Então U = V , dim U = dim V

Exemplo. T : U ! V linear. Se A = M(T ; B1; B2)

então

N (T ) = N (A) e _{I(T ) = C(A)} Além disso:

T _{é injectiva , nul A = 0 , car A = n} T _{é sobrejectiva , car A = m}

Exemplos de Isomor…smos (i) _Rn = _{Mn 1}(_R) T : _Rn _{! Mn 1}(_R) T (a₁; : : : ; a_n) = 2 6 4 a₁ ... a_n 3 7 5 (ii) Mm n(R) = Rmn T : Mm n(R) ! Rmn T 0 B @ 2 6 4 a₁₁ a_1n ... ... ... a_m1 a_mn 3 7 5 1 C A = (a₁₁; : : : ; a_1n; : : : ; a_m1; : : : ; a_mn) (iii) _Rn+1 = _Pn T : Rn+1 ! Pn T (a₀; a₁; : : : ; a_n) = a₀ + a₁t + + a_ntn

(iv) A 2 Mm n(R) C (A) = L (A)

Teorema. T : U ! V linear, b 2 V . Então a equação linear T (u) = b

(Existência de solução) tem sempre solução (para qual-quer b) se e só se T fôr sobrejectiva (T (U ) = V )

(Unicidade de solução) a ter solução, ela é única se e só se T fôr injectiva se e só se N (T ) = f0_g

(Existência e unicidade de solução) tem sempre solução única u se e só se T fôr bijectiva

Teorema. T : U ! V linear, b 2 V . Então solução geral de T(u) = b = solução particular de T(u) = b + solução geral de T(u) = 0 | {z } N (T )

Exemplo. T : _R3 _{! R}2 linear B1 = f(1; 1; 1); (0; 1; 1); (0; 0; 1)g B2 = f(1; 1); (1; 1)g A _{= M (T ; B1; B2}) = " 1 2 3 2 4 6 #

Vamos resolver a equação linear: T (x; y; z) = (6; 2) Primeiro note-se que:

(6; 2) = 2(1; 1) + 4(1; 1) a seguir resolve-se: " 1 2 3 2 4 6 #2 6 4 3 7 5 = " 2 4 # obtendo-se f(0; 1; 0)g + N (A) = f(0; 1; 0)g+L (f( 2; 1; 0); ( 3; 0; 1)g) Logo CS = f(0; 1; 1)g+L (f( 2; 1; 1); ( 3; 3; 2)g)