PROJETODECONTROLADORROBUSTOH∞EMUMSISTEMADEPOTÊNCIADE
CARGA-FREQUÊNCIA
BETANIA G. DA S. FILHA1,2, ALEXANDRE C. DE CASTRO3, FERNANDO A. MOREIRA1, JOSÉ MÁRIO ARAÚJO4
1- Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétirca, Universidade Federal da Bahia R. Prof Aristides Nóvis, 2 – Federação, 40210-630, Salvador, BA.
SALVADOR, BRASIL
2 - Grupo de Pesquisa no Desempenho dos Sistemas Elétricos de Potência, Departamento de Eltrotécnica, Instituto Federal da Bahia
Campus Salvador, Salvador – BA. SALVADOR, BRASIL
3 - Departamento de Engenharia Elétrica, Universidade Federal da Paraíba Campus universitário I, João Pessoa – PB.
JOÃO PESSOA, BRASIL
4 - Grupo de Pesquisa em Sinais e Sistemas, Departamento de Automação e Sistemas, Instituto Federal da Bahia
Campus Salvador, Salvador – BA. SALVADOR, BRASIL
E-mails: betaniafilha@ieee.org, castro@cear.ufpb.br, moreiraf@ufba.br, jomario@ifba.edu.br
AbstractTechniques for the analysis and design of multivariable system controllers in the frequency domain are used for verify-ing the possibility of obtainverify-ing robust control with reduced order decentralized controllers aimverify-ing at the robust stability of the power system. In order to reach the robustness, the selection of the most effective signals and inputs for the application of controllers is es-sential. With this purpose, two frequency analysis techniques were used: Relative Gain Matrix (RGM) and singular value analysis. The proposed techniques are applied to a three area load-frequency system. At the end, it was possible to find a first order efficient controller that remains robust, even in the presence of faults or disturbances. The controller used was of the type H∞ and the optimiza-tion method applied was Genetic Algorithms.
KeywordsPower systems, load-frequency, robust control, genetic algorithms.
Resumo Técnicas de análise e projeto de controladores de sistemas multivariáveis no domínio de frequência são usadas para veri-ficar a possibilidade de se obter controle robusto com controladores de ordem reduzida descentralizados, visando a estabilidade ro-busta do sistema de potência. Para que a robustez possa ser atingida, é imprescindível a seleção dos sinais e as entradas mais eficazes para aplicação dos controladores. Para tanto, foi utilizada duas técnicas de análise frequenciais: Matriz de Ganhos Relativos (MGR) e análise dos valores singulares. As técnicas propostas são aplicadas em um sistema de carga-frequência de três áreas. Ao final, foi possível encontrar um controlador eficaz já em primeira ordem, que se mantém robusto, mesmo com a presença de faltas ou per-turbações. O controlador utilizado foi do tipo H∞ e o método de otimização aplicado foi Algoritmos Genéticos
Palavras-chave sistemas de potência, carga-frequência, controle robusto, algoritmos genéticos
1 Introdução
Desde a criação dos primeiros sistemas elétri-cos, dois aspectos devem ser observados para se ob-ter estabilidade. O primeiro se refere às variações bruscas na tensão e corrente do sistema. Denomina-se Estabilidade Transitória. O Denomina-segundo trata-Denomina-se das variações ocorridas no sistema em regime perma-nente, ocasionadas por pequenas perturbações que ocorrem durante a operação do Sistema. A expansão
econômica e o desenvolvimento industrial, que per-mitiram a construção de sistemas elétricos interliga-dos, favoreceram o aparecimento de oscilações ele-tromecânicas de baixa frequência fracamente ou não amortecidas. Estas oscilações são prejudiciais, pois diminuem as margens de estabilidade do sistema de potência, podendo limitar a potência de transmissão. Portanto, o amortecimento dessas oscilações tornou-se o pré-requisito para uma operação tornou-segura de um sistema elétrico e a preocupação de engenheiros e operadores (Rogers, 2000; Tortelli , 2010).
Para um controle eficaz dessas oscilações é im-prescindível a análise e conhecimento de fatores como a natureza, tipos, frequências das oscilações mais preocupantes e etc. As técnicas lineares utili-zadas para projetar a maioria dos controladores apresentam um baixo desempenho devido ao fato de que esses métodos não consideram também as varia-ções nas condivaria-ções de operação, a variação de parâ-metros do sistema devido a falhas, e também a parte da dinâmica do sistema. Nas últimas décadas al-guns pesquisadores passaram a utilizar técnicas de controle robusto que consideram toda a complexida-de inerente ao sistema (Klein et al, 1995; Boukarim et al, 2000; Pal e Chaudhuri, 2005; Chen et al, 2006). Os controladores resultantes dessas técnicas possuem ordem muito alta (equivalente ao número de variáveis). Para contornar esse problema, o mode-lo pode ser previamente reduzido e, posteriormente, a ordem do controlador é também reduzida (Bouka-rim et al, 2000). Daí a necessidade do ap(Bouka-rimoramen- aprimoramen-to das técnicas de controle aplicadas para se obter cada vez mais modelos de controladores com ordem baixa e maior eficiência, contribuindo para manter a estabilidade do sistema.
Neste artigo, é apresentado um projeto de con-trolador robusto de baixa ordem para amortecimento de oscilações, de baixa frequência, em um sistema de potência de carga-frequência. Para isso, foi sele-cionado os pares e entradas-saídas mais efetivos uti-lizando a combinação da matriz de ganhos relativos (MGR) com valores singulares. O método de otimi-zação escolhido para selecionar o melhor controla-dor robusto foi o de Algoritmos Genéticos.
2 Materiais e métodos
2.1 Análise de sinais para controle descentralizado
O sistema de potência com n unidades, m en-tradas de controle e r sinais de saída é descrito por:
y(j) = G(j)u(j)
em que G(j) é a matriz de funções de transferência de respostas frequênciais (MFTfr).
Pode-se definir a “controlabilidade” de um modo de oscilação (MO) como a habilidade do sistema para amortecer o MO para atingir um desempenho acei-tável com entradas e saídas limitadas. Do mesmo modo, pode-se definir a “observabilidade” de um MO como a contribuição do MO na resposta do sis-tema.
Para análise de controlabilidade e observabilida-de modais observabilida-de sistemas multivariáveis no domínio observabilida-de frequência são utilizados os “valores singulares” da MFTfr, que para o caso da matriz G(j) são defini-dos por k i H i H i i(G) (G G) (GG ), 1,...,
em que i é o i-ésimo autovalor da matriz, GH é a
matriz conjugada e transposta de G e k = min(m,r). Definindo como o maior valor singular, como o menor e a relação / como o número de condição as seguintes propriedades de interesse são descritas (Cruz, 1996; Skogestad e Postlethwaite, 2005):
na frequência de um MO representa o
grau de observabilidade do modo na respos-ta do sistema e representa o grau de con-trolabilidade do modo. MO pouco amorte-cidos e fortemente observáveis apresentam grandes picos no gráfico de .
os picos de são associados à robustez do sistema. Sistemas robustos apresentam pe-quenos picos de .
Considere o sistema de potência G(j) com con-troladores H(j), entradas de referência R e distúr-bios, d, como apresentado na Fig. 1.
Figura 1. O sistema de potência com controlador A seguinte relação é obtida da Fig. 1:
y = (I+GH)-1GR + (I+GH)-1Gdd
em que S=(I+GH)-1 é a matriz de sensibilidade e T = SG é a matriz de funções de transferência de malha fechada do sistema. Essas matrizes são usadas para análise do desempenho do sistema controlado.
2.2 Interações frequenciais
A matriz de ganhos relativos (MGR) é impor-tante para análise de sistemas multivariáveis e será usada para uma prévia seleção de entrada e saídas para controle descentralizado. A MGR é definida por:
(1)
(2)
rm 1 r m 1 11 )) j ( ( G em que λij = gijbji e bji é o elemento ji de † G (ma-triz inversa generalizada de G), definida por G = † (GHG)-1GH para m r, Posto(G) = m ou G = † GH(GGH)-1 para r m, Posto(G) = r.
Sabe-se que ij é uma medida de interação entre a
entrada j e a saída i (Skogestad e Postlethwaite, 2005).
Utilizando as suas propriedades, a MGR pode ser usada para seleção dos pares entrada-saída mais efetivos. Entretanto, a utilização da MGR isolada-mente para essa seleção tem algumas limitações. A maior limitação é a impossibilidade de se selecionar a saída mais efetiva entre sinais de uma mesma uni-dade, por exemplo, velocidade e potência elétrica num gerador (Milanovic e Duque, 2001) ou, de uma maneira geral, sinais com alguma relação entre si.
Em (Castro e Araújo, 2002) foi proposta uma técnica que combina MGR e valores singulares na seleção dos pares entrada-saída mais efetivos para aplicação de controladores descentralizados. Essa técnica se mostra muito eficiente e confiável para seleção de sinais.
2.3 Descentralização
Um conjunto de entradas e saídas é completamente descentralizado se (G) = I. Entretanto, essa igual-dade só ocorre se a matriz G for triangular, que não é o caso de sistemas de potência. Todavia, pode-se aceitar como descentralizado o conjunto que resultar
(G(j))I para = c (Skogestad e Postlethwaite,
2005). Define-se a “frequência de corte”, c, como a
frequência em que =1, quando está decrescen-do.
Quanto mais próximo da matriz identidade re-sultar (G(jc)) mais independentes são os pares
entrada-saída e consequentemente menores intera-ções ocorrerão entre os controladores.
2.4 Seleção de Entradas e Saídas
Inicialmente todas as entradas e sinais de saída são usados para determinação da MGR na frequên-cia = 0. Com essa matriz eliminam-se os sinais e entradas pouco efetivos ou que provoquem intera-ções indesejáveis.
A seguir, considerando que p controladores são suficientes para amortecer os modos de oscilação com controle robusto do sistema, formam-se todos os
conjuntos com p entradas e p saídas. Então esses conjuntos são testados para verificação da descentra-lização na frequência = c. Conjuntos com fortes
interações entre unidades (fraca descentralização) são descartados.
Finalmente, os conjuntos restantes são compa-rados, usando valores singulares, para selecionar o conjunto com boa descentralização e com a maior controlabilidade (maior) na faixa dos MO. Esse conjunto é usado para aplicação de controladores descentralizados.
2.5 Projeto de Controladores Robustos Descentrali-zados
Os controladores serão projetados levando em consideração os erros de modelagem. Esses erros, denominados incertezas, ocorrem por não se incluir no modelo do Sistema as não linearidades, as mu-danças dos parâmetros com as variações de carga e devido à exclusão da dinâmica dos geradores, siste-mas de excitação, etc. Nesse modelo, estes erros são considerados, adotando incertezas multiplicativas refletidas na saída, como representado na Figura 2 [8],[9], onde oWo(s)= (G´-G)G-1 é a matriz de
in-certezas relativas e G´ é a matriz de transferência do sistema real. A matriz diagonal W0(s)representa os limites superiores das incertezas nos canais de con-trole que corresponde a W2W1.
Figura 2. Diagrama de blocos do sistema de potência real O objetivo é projetar controladores para estabi-lizar não somente a planta nominal, G(s), mas o conjunto de todas as plantas definido por G´(s)=(I+oWo)G(s). S´=(I+G´H)-1, que é a matriz
de sensibilidade do sistema real.
Introduzindo as incertezas no diagrama de blo-cos da Fig. 1 e arrumando-os para separar o bloco de incertezas o, resulta o diagrama da Figura 3, onde
M(s) = -Wo(s)T(s)H(s). Sendo T equivalente ao produto da Matriz de sensibilidade pelo sistema.
Figura 3. Estrutura M do sistema (3)
Usualmente, a matriz Wo(s) é representada por
o(s)I, onde o(s) é um peso, considerando um
úni-co limite superior, representando o pior caso, associ-ado a todos os canais de controle. Esse peso é des-crito por o(s) = (s + o)/[(/)s + 1], onde o é a
incerteza relativa no estado estacionário, 1/ é apro-ximadamente a frequência onde a incerteza relativa atinge 100% e é a magnitude do peso em altas frequências.
Assumindo que a matriz M e as perturbações se-jam estáveis, então o sistema M da Fig. 3 é estável para todas perturbações com (Δ)1, , se e só se (Skogestad e Postlethwaite, 2005):
(M(j)) < 1,
onde (M) é o valor singular estruturado de M. Sabe-se que (M) (M) e que a igualdade ocorre quando a matriz de incertezas, , é cheia, que deve ocorrer com erros de modelagem e exclusão de dinâmica dos geradores, rede de transmissão, etc. Sendo assim, considera-se como condição necessária e suficiente para estabilidade robusta do sistema, com (∆)≤1, , a condição:
(M(j ))1
Assume-se que o controlador é de estrutura co-nhecida (descentralizado e de ordem reduzida). Para atingir a robustez, os parâmetros do controlador H(s) são ajustados para solução do seguinte proble-ma de otimização:
min[Sup((M(jω))]
Se, após a minimização, a robustez es-tabelecida pelo Teorema 6 não for atingida, ou seja, se o valor mínimo do maior resultar igual ou maior que um, então aumenta-se a ordem de cada e repete-se o problema de otimização. É importante salientar que sup( σ(M))significa o valor superior ou pico máximo deσ(M).
Algumas restrições poderão ser introduzidas no problema de otimização. Entre elas cita-se que os parâmetros dos controladores devem ser ajustados entre limites práticos. Por exemplo, neste trabalho, os parâmetros são sempre positivos, e a relação de-les, nos estágios de avanço-atraso, deverá satisfazer: 0,1 ≤ T1/T2 ≤ 10.
Considere M=oTH (o sinal negativo não afeta
o resultado). Então, (6) reduz-se a (M)=
o(TH) o(H) (T)< 1, ou ) ( 1 1 ) ( H o T
Para o caso particular com controladores idênti-cos, (H)= (H)= 1/(H-1), que substituído em (8), resulta: o ) ( ) ( 1 H T
que é a condição mais fácil de ser verificada. Observe que para controladores idênticos ou não, a verificação de robustez é realizada tra-çando dois gráficos diferentes na mesma escala e verificando se o gráfico de σ(T)permanence abaixo do gráfico de
o
( 1)
H , para qualquer valor de
ω
.O procedimento computacionalmente mais prá-tico para projetar o controlador robusto descentrali-zado, consiste em ajustar os parâmetros dos
)
s
(
h
i ,i
1
,...,
p
, para minimizar σ(T). Depoisverifica-se se a (7) ou (8) foram satisfeitas. Se sim, obtemos o controle robusto descentralizado, se não, aumentamos a ordem. Foi utilizado, nesse caso, Al-goritmos Genéticos para fazer a busca dos melhores resultados, por se encaixar perfeitamente às condi-ções propostas no problema, além da possibilidade de se obter um mínimo global para a função objeti-vo, o que garante maior robustez. Ao aplicar o mé-todo, viu-se a necessidade impor uma limitação ao valor da constante K em T, permitindo que ele só variasse entre 0,4 e 1, para garantir que todos os autovalores sejam negativos, resultando na estabili-dade do sistema em malha fechada.
Os Algoritmos Genéticos são algoritmos de busca baseados nos mecanismos de Seleção Natural e Genética, aplicando operadores genéticos como seleção, recombinação e mutação nos indivíduos, até encontrar a combinação solução para o problema. Trata-se de técnicas heurísticas de otimização glo-bal, opondo-se a métodos como o do Gradiente (Hill Climbing), que seguem a derivada de uma função para encontrar seu máximo, ficando facilmente reti-do em máximos locais (Linden, 2008).
É um método de busca aleatória e, como tal, po-de gerar respostas diferentes para uma mesma fun-ção, com um mesmo conjunto de condições iniciais. Entretanto, difere-se dos demais métodos de buscas aleatórias por considerar informações históricas para encontrar novos pontos de busca, onde há maior probabilidade de um bom desempenho (Carvalho et al, 2013).
(5)
(6)
(7)
3 Resultados e Discussões
O sistema de potência de controle de carga-frequência de três áreas equivalentes interligadas é usado para ilustração. O modelo linearizado é apre-sentado em (Calvet e Titli, 1989) O sistema é repre-sentado na Figura 4.
O modelo do sistema é representado por
Figura 4. Sistema de três áreas interligadas
CX y Bu AX X onde XT = | f1 xE1 PG1 Ptie1 f3 xE3 PG3 Ptie2 f2 xE2PG2| uT = | PC1 PC3 PC2 | yT = | f1 Ptie1 f3 Ptie2 f2 |
em que fi ,xEi, PGi e Ptiei são respectivamente,
fre-quência, sinal de saída do regulador de velocidade, potência mecânica da turbina e potência de inter-câmbio do turbogerador da área i, em valores incre-mentais. PCi é a entrada de controle do regulador de
velocidade da área i.
O sistema tem três MO, cujos autovalores asso-ciados são: modo 1: -0,1759 j3,0010; modo2: -0,1199 j4,0102 e modo 3: -0,1893 j4,6410. Foi verificado que os três modos são do tipo interárea, recomendando aplicar controladores nas três áreas para amortecer os três MO.
Para melhorar a descentralização do controla-dor, foi considerada a representação com sinais compostos de saída, um recurso utilizado na prática, definidos da seguinte maneira:
2 2 3 2 1 1 2 P Bf P Bf P Bf
yT tie tie tie
O B é o fator “bias” em MW/Hz e a relação Bf
Ptie , com variáveis incrementais, é denominada
“Erro de Controle de Área” (ECA). Tanto a ECA quanto o “bias” são amplamente utilizados na litera-tura como operadores do controle da frequência e do intercâmbio de sistemas de potência. Normalmente tem-se B maior que zero e menor que um. Tradicio-nalmente procura-se tomar o “bias” igual à caracte-rística natural combinada de área, isto é
,
i i
i D
R
B 1
(
Cohn, 1961; Elgerd, 1976; Castro et al, 1988). Assim, adotamos um valor típico B1= B2= B = 0,417 MW/Hz.Com a composição de sinais a MGR, em c = 6
rad/s, resultou 142 , 0 j 063 , 1 103 , 0 j 004 , 0 039 , 0 j 059 , 0 106 , 0 j 0 103 , 0 j 004 , 1 003 , 0 j 004 , 0 036 , 0 j 063 , 0 0 036 , 0 j 063 , 1 Λ
Verifica-se, então, que os sinais compostos de y2
com as entradas, u, resultam em pares com uma des-centralização muito boa. Os gráficos de e da descrição y2 = G2(j)u são apresentados na Fig. 5.
Figura 5. Valores de e de G2(j)
Verifica-se que para G2 é superior, em toda
faixa de frequência dos MO. Assim, os sinais de y2
são selecionados para realimentação. Observe-se que, apesar dos sinais de y2 serem os mais efetivos,
ainda poderá haver dificuldade para atingir a robus-tez do controle, porque (G2)<1 em toda faixa de
frequência.
As três áreas tem parâmetros com valores pró-ximos (Calvet e Titli, 1989), justificando a utilização de controladores idênticos. Os controladores esco-lhidos são do tipo hi=K(1+sT1)/(1+sT2), em cada
área. Os parâmetros dos controladores são ajustados para minimizar a função M, diminuindo também, por consequência, o
(T). Para esse problema, foram feitas combinações de 20 indivíduos em 200 gerações, valores usuais do Matlab. Os resultados encontrados para os parâmetros foram: K=0,4028, T1=0,001s e T2=0,01s. Os gráficos de (T) com ocontrolador obtido e de (H-1)/o para
o1=(0,25s+0,15)/(0,5s+1) são apresentados na
Fi-gura 6.
A Figura 6 mostra que o controle robusto pode ser obtido para incertezas não elevadas, usando con-troladores descentralizados de 1a ordem. Melhores resultados deverão ser obtidos com controladores de ordem superior.
Figura 6. Gráficos de (T) para o controle proposto e de
(H1)/o
Figura 7: Resposta ao Impulso
Figura 8: Valores Singulares do sistema com controlador obti-do por Pattern Seach e por Algoritmos Genéticos
A eficácia do controlador pode ser demonstrada também no domínio do tempo, para isso, foi obtida a resposta ao impulso para o sistema e foi observado que, ao aplicar o controlador, o sistema entra em regime permanente mais rapidamente. Isso pode ser observado comparando os resultados da Figura 7 que correspondem à resposta ao impulso para o par de entrada-saída Ptie1 e Ptie1 + Bf1, sem o controlador e
com o controlador.
Quanto ao método de otimização escolhido, a res-posta obtida, observando os valores singulares, foi muito semelhante ao encontrado em (Castro, 2006)., onde foi utilizado o método “Pattern Search” de
Hooke e Jeeves (Gottfried e Weisman, 1976), como se pode observar na Figura 8. Entretanto, o método com algoritmos genéticos tem uma probabilidade muito maior de encontrar o mínimo global, tornan-do-se um método mais confiável para ser utilizado em outros sistemas.
Além disso, o método “Pattern Search” é um método de busca com convergência mais lenta com-parado ao Algoritmo Genético, pois implica em variar cada variável por vez, podendo se tornar inviável para sistemas maiores.
Para efeito de comparação, repetiu-se o estudo, usando integradores puros (ui =(Ki/s)yi) como
con-troladores, a exemplo do controle tradicional de in-tercâmbio. Verificou-se, todavia, que o controle ro-busto só pode ser atingido com valores de Ki <
0,11(Figura 9). Entretanto, com valores pequenos de Ki, além de não amortecer os MO, o sistema resulta
com três pólos reais muito próximos da origem, dei-xando o sistema com resposta muito lenta.
Para outros tipos de perturbação e faltas, a metodologia também responde satisfatoriamente. Reduzindo em 25% a potencia de intercâmbio entre as áreas, ainda é possível atingir robustez, como é mostrado na figura 10.
A robustez é mantida também quando se retira um dos três controladores utilizados, como mostra a figura 11.
4 Conclusão
Foi proposta uma metodologia para o desenvol-vimento de um projeto de controladores robustos, descentralizados e de pequena ordem, para sistemas de carga-frequência.
Figura 11: Verificação da robustez, com a ausência do contro-lador 1.
O procedimento proposto, onde os ganhos rela-tivos são usados para pré-seleção de saídas e entra-das, deixando a seleção final para ser realizada com o uso de valores singulares é adequado e eficiente para aplicação no sistema de carga-frequência esco-lhido, e foi fundamental para facilitar a escolha efi-ciente de um controlador de baixa ordem e descen-tralizado. Essa metodologia pode ser aplicada em qualquer sistema, independente do tamanho.
Esta técnica se sobressai em relação às técnicas tradicionais de controle robusto H∞, principalmente
em sistemas de grande porte, por resultar em um controlador de baixa ordem, aplicado diretamente no sistema sem nenhuma redução do modelo.
Após a aplicação da metodologia, foi verificado que o controle gerado matém a robustez, mesmo na presença de perturbações ou com falta em um dos controladores.
Além disso, o método de otimização utilizado para minimizar a norma H∞ nos garante uma
proba-bilidade muito grande de encontrar o mínimo global, resultando em um controlador o mais ótimo possí-vel, além de constituir uma excelente opção, pois se adéqua a diversos modelos de Sistema Elétrico e não só ao sistema de carga-frequência, além de ser apli-cável utilizando diferentes tipos de controladores.
Agradecimentos
Os autores agradecem às suas Instituições pelo apoio ao desenvolvimento do trabalho.
Referências Bibliográficas
Boukarim, G.E. Wang, S. Chow, J.H. Taranto, G.N. e Martins, N. (2000) "A Comparison of Classi-cal, Robust, and Decentralized Control Design
for Multiple Power System Stabilizers," IEEE Transactions on Power Systems.
Calvet, J.L. Titli, A. (1989). Overlapping vs partiti-oning in block-iteration methods: Application in large-scale system theory, Automatica, Vo-lume 25, Issue 1.
Carvalho, A. Braga, A. Ludermir. T. (2003). Com-putação Evolutiva, In: Rezende, S. O. (Coord.), Sistemas Inteligentes – Fundamentos e Aplica-ções, 1ª Ed. Cap. 9, Ed. Manole, São Paulo, Brasil.
Castro. A. C. (2006). “Projeto de controladores ro-bustos descentralizados de ordem reduzida para amortecimento de oscilações em sistemas elé-tricos de potência”. Tese apresentada à Univer-sidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB, Brasil.
Castro, C. Araújo, C. S. (2002) “Análise de Sinais para Controle Descentralizado em Sistemas de Potência”. Anais do XIV Congresso Brasileiro de Automática.
Castro, J.C. Catão, M.O Doraiswami, R. (1988). “Identification of the Generating Units to Be Equipped with Stabilizers in a Multimachine Power Systems”, AUTOMATICA, v. 24, pp. 405-409.
Chen, H. Guo Z. e Bai H. (2006) "Wide-area ro-bust H2/H control with pole placement for damping inter-area oscillations", Proc. IEEE Power Eng. Soc. General Meeting.
Cohn, N. (1961) “Control of Interconnected Power System”. In: Ramo, S.,Wooldrige, D.E. (eds), Handbook of Automation Computation and Control, chapter 17, John Wiley.
Gottfried B. S. e Weisman, J. (1973) Introduction to Optimization Theory. Prentice Hall, Englewood Cliffs.
Cruz. J. J. (1996) Controle Robusto Multivariável. Editora Universidade de São Paulo, São Paulo. Elgerd, O. I. (1976) “Introdução à Teoria de Siste-mas de Energia Elétrica”, 1ª ed., São Paulo, McGraw-Hill do Brasil.
Klein, M. Rogers, G. J. Farrokhpay, S. Balu, N. J. (1995) "H∞ damping controller design in large power system", IEEE Trans. Power System, vol. 10, No.1, pp. 158-165.
Linden, R. (2008)“Algoritmos Genéticos: Uma im-portante ferramenta da Inteligência Computa-cional”. 2ª Ed. Editora Brasport. Rio de Janei-ro.
Milanovic, J. V. Duque, A. S. (2001) "The use of relative gain array for optimal placement of PSSs", CD ROM of the IEEE Power Eng. Soc. Winter Meeting,
Pal, B. e Chaudhuri, B. (2005) Robust Control in Power Systems. Ed. Springer.
Rogers, G. (2000) Power Yystem Oscillations. Kluwer, Masssachusetts.
Skogestad S. e Postlethwaite, I. (2005) “Multivaria-ble Feedback Control: Analysis and Design Wiley”, Chichester, U.K.,
Tortelli, O. L. (2010) “Alocação e operação de con-troladores FACTS em Sistemas Elétricos de Po-tência”. Tese de Doutorado apresentada à Fa-culdade de Engenharia Elétrica e de Computa-ção da Universidade Estadual de Campinas, UNICAMP, Campinas.
