As Orientações Oficiais para o Desenvolvimento das
Estruturas Matemáticas nos Documentos Curriculares do
Ensino Básico
Mario Cesar Monteiro do Prado1 Esther Pacheco de Almeida Prado2
Resumo
O objetivo deste projeto é compreender como as orientações curriculares baseadas na Resolução de Problemas abordam as propriedades - comutativa, associativa e distributiva, elementos neutro e inverso - das operações nos campos numéricos N, Z e Q, em contrapartida ao formalismo dominante nos Guias Curriculares (São Paulo, 1975), baseado no Movimento Matemática Moderna (MMM), e como essas orientações estão expressas nos livros didáticos. É uma pesquisa bibliográfica cujos dados serão construídos a partir da análise de três tipos de textos: orientação curriculares, 1975 - 2008, formação de professores SP, 1975 - 2008 e livros didáticos/PNLD 2011. Até o momento, concluímos a análise dos Subsídio para a implantação dos Guias Curriculares (São Paulo, 1975), da Proposta Curricular (São Paulo, 1988) e dos Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998). Fundamentamos nossas considerações em Pires (2000) e Miorim (1998), compreendemos as ideias do MMM e observamos a oposição das ideias recentes no currículo e no ensino de Matemática quanto ao tratamento dos temas números, operações e suas propriedades.
Palavras-chave: Currículo de Matemática. Propriedades das Operações. Campos Numéricos. Matemática Escolar.
Para Pires (2000) e Miorim (1998), é por volta de 1958/1959 que a discussão internacional sobre a necessidade de reforma do ensino da matemática fica fortemente delineada. O contexto da expansão industrial na reconstrução do pós-guerra e o lançamento ao espaço do Sputnik pelos soviéticos, incomodando o ocidente, são alguns dos fatores que impulsionaram tal reforma .
Esse contexto, Pires (2000) aponta que colocou a formação educacional a serviço da ciência e da tecnologia, que entravam num período de acelerado desenvolvimento e exigia a formação de cientistas e engenheiros de alto nível. Caminho que passava por uma formação matemática sólida, baseada na formalidade simbólica e estrutural. Provocando em países, como França, Inglaterra, Estados Unidos, ex-União Soviética, Bélgica, Brasil, Nigéria, etc., diversas alterações curriculares, cujos 1 Aluno da Licenciatura em Matemática do ICMC/USP São Carlos, SP, Projeto de Iniciação Científica
Ensinar com Pesquisa, Fomento: Pró-Reitoria de Graduação.
postulados fundamentais resistiram por cerca de duas décadas. (Pires, 2000)
O Movimento da Matemática Moderna, MMM, foi como ficou conhecido o movimento de reforma do ensino da matemática no final dos anos 50, com a colaboração dos franceses Jean Dieudonné e grupo Bourbaki, Gustave Chouquet, André Lichnerowcz, do belga Papy, do canadense Dienes, do britânico Fletcher, da polonesa Madame Krygowska, entre outros. (Pires (2000) e Miorim (1998)).
Também recebeu a adesão de diversos grupos de estudos, como na França, a Association des Professeurs de Mathématiques de lÉnseignement Public (APMEP) e, nos EUA, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) e School Mathematics Study Group (SMSG), este dirigido por E. G. Beagle, também “produziu o material que representava o pensamento combinado de psicólogos, preparadores de testes, matemáticos das universidades, biólogos e professores secundários.” (Pires, 2000, p. 11).
Nas discussões dos reformistas, segundo Pires (2000), delineiam-se três grandes características da matemática moderna, é viva, constitui-se em uma unidade profunda e classifica-se como uma linguagem universal.
A primeira, a Matemática viva, podemos entender com Pires (2000), que seu aprimoramento é alheio aos fatores externos a ela mesma, ou seja, seu desenvolvimento é algo intrínseco, como em um organismo. Idéia que, a autora, traduz pela rejeição da concepção da matemática como o produto da contribuição de diversas culturas ao longo do tempo. De certa forma, isso acaba gerando um distanciamento entre o saber matemático e a atividade cotidiana humana, à medida que o aliena de suas raízes práticas e o faz transcender a um plano superior, de independência do real, acessível a poucos indivíduos privilegiados cultural e geneticamente. (Pires, 2000).
A segunda, a Matemática como unidade profunda, Pires (2000) indica que, pode ser considerada como um organismo vivo indissociável que se regenera a partir do seu interior para assimilar idéias e teorias novas. Decorre daí que a idéia de unidade pressupõe mais que um corpo de conhecimentos unificado, constantemente, por um processo de reorganização. Inclui a idéia de estrutura, ou seja, de compartilhamento de propriedades básicas que caracterizam o todo, tirando o foco dos elementos e direcionando-o para as relações que se estabelecem entre eles. Observa que a ferramenta que materializa essa idéia na proposta dos reformistas, as estruturas de grupo, anel e corpo, pelas quais o ensino de matemática deveria ser conduzido, do maternal à universidade. E para Miorim (1998) “apresentou uma proposta baseada exclusivamente
na moderna Matemática em sua forma axiomática desenvolvida pelo grupo Bourbaki, na qual os elementos essenciais eram os conjuntos, as relações e as estruturas.” (p. 111).
Pires (2000) nos atenta que um dos objetivos, em se introduzir as estruturas matemáticas, era estabelecer uma relação oportuna e construtiva, do ponto de vista do aprendizado idealizado pela reforma, entre estas e as estruturas mentais de Piaget, que caracterizavam o estágio de desenvolvimento do indivíduo. Considera que esta intenção reflete uma pedagogia falha, onde as conexões entre os dois tipos de estruturas envolvidas não são explicitadas nos textos da reforma.
Aponta também, para a opinião do matemático holandês Freudenthal (1979), de que os partidários da matemática moderna estabeleceram uma falsa perspectiva, “Assim, certos sistemas, colocados a serviço das abstrações matemáticas, desligados de seu sentido e do seu contexto matemático, considerados temas de estudo, concretizados de maneira inadequada, eram ensinados a crianças de qualquer idade”.(apud, Pires, 2000, p. 15).
A terceira, a Matemática como linguagem universal, é discutida por Pires (2000) como a linguagem que permite a interação do pensamento humano com o mundo que nos rodeia, ou seja, é uma linguagem que, graças à sua universalidade e abstração, se torna aplicável a realidades concretas bastante diferentes. Sendo assim, passa a ser concebida como mediadora entre a realidade e o pensamento humano, através da qual podemos descrever, analisar e compreender de forma coerente, sem ambigüidades ou contradições, o nosso universo. Esta eficiência da matemática, enquanto linguagem universal, se apoiava num tratamento axiomático dos conceitos, fortalecidos por definições precisas, sem deixar margem para as percepções intuitivas.
Uma das críticas a esse movimento, Pires (2000, p. 25) indica o artigo de 1973 de J. Kuntzmann, que entende esse aspecto, o deslocamento do centro de interesse do ensino em direção às estruturas, como uma dificuldade
Esse deslocamento consiste em fazer, com freqüência, a utilização de uma linguagem unificadora, o estudo da estrutura, ela mesma, que estão fora do alcance dos alunos do ensino básico, por exemplo. O objetivo de introduzir tão cedo estruturas que só se podem, na verdade, nomear, mas sem verdadeiramente compreender, provoca uma mudança no ensino da Matemática, do conceito para a palavra e a transforma numa interminável lição de vocabulário esotérico. (apud Charlot, 1986, p. 31). Para a autora, do ponto de vista curricular, as estruturas matemáticas de grupo,
anel e corpo passavam a compor o plano de fundo em que se estruturava o conteúdo. E os documentos da época da reforma permitem perceber que os educadores foram seduzidos pelas idéias de estrutura e unidade, pela formalização extrema dos conceitos, priorizando a palavra e não o conceito em si, sem hesitar em condenar a intuição, sempre presente no curso do desenvolvimento da capacidade matemática, introduzindo noções unificadoras impossíveis de se construir a partir de problemas abordáveis pelos alunos.
Miorim (1998) também indica as críticas às ideias reformistas.
Esses três elementos [conjuntos, relações e estruturas] foram responsáveis pela “unificação” dos campos matemáticos, um dos maiores objetivos do movimento. Para isso, enfatizou-se o uso de uma linguagem matemática precisa de justificações matemáticas rigorosas. Os alunos não precisariam “saber fazer”, mas sim, “saber justificar” por que faziam. A teoria dos conjuntos, as propriedades estruturais dos conjuntos, as relações e funções, tornaram-se temas básicos para o desenvolvimento dessa proposta. (MIORIM, 1998, p.114)
O movimento de reforma do ensino da Matemática atinge o ensino elementar nos finais dos anos 50. Diante disso, o estudante ficava limitado a nomear as estruturas matemáticas que lhe eram transmitidas, sem as compreender verdadeiramente. Para reforçar as tendências acima, listaremos os seguintes episódios observados por Pires (2000).
A velha tabuada passava a ser apresentada aos alunos com ênfase nas noções de par ordenado e lei de composição.
Surgiram sugestões para introduzir a adição como pura operação matemática, sem nenhum vínculo com objetos e situações conhecidas das crianças.
Num programa moderno de matemática, proposto em 1960, os estudos de álgebra eram estruturados assim:
i. Primeiro ciclo (alunos de 11 a 15 anos): teoria de conjuntos, incluindo grupos, anéis e corpos, com ênfase nas operações e suas propriedades.
ii. Segundo ciclo (alunos de 15 a 18 anos): este programa era um prolongamento da teoria dos conjuntos vista no primeiro ciclo: aplicações, relações, números reais e complexos, fatoração e anéis de classes residuais, até chegar aos espaços vetoriais, às aplicações lineares e matrizes.
Os promotores da reforma defendiam ideais de uma pedagogia ativa, aberta, o menos dogmática possível, como confirma o excerto de Dieudonné:
Não se pode desenvolver com bons frutos uma teoria matemática sob a forma axiomática sem que se esteja familiarizado com a questão à qual a teoria se aplica (...) fazendo constante apelo à intuição (apud Charlot, 1986, p. 30) (in Pires, 2000).
Por outro lado, as conseqüências da estrutura linear de currículo se contrapõem a esse ideal de pedagogia. Para Pires (2000), na reforma, perdeu-se de vista a relação da matemática com o cotidiano das pessoas, desconsiderou-se as experiências matemáticas aprendidas pela criança em sua vida fora da escola, deu-se destaque excessivo à matemática – há matemática em tudo e devia ser preocupação das outras disciplinas articularem conceitos matemáticos em seus estudos – adotou posturas pedagógicas alheias ao processo de socialização.
O Movimento da Matemática Moderna no Brasil e no estado de São Paulo
No Brasil, as novas ideias para o ensino da matemática escolar “começaram a ser discutidas com maior intensidade pelos professores durante a década de 50, devido especialmente à realização dos primeiros Congressos Nacionais de Ensino da Matemática.” 3 (MIORIM, 1998, p. 111) (Pires, 2000, p. 32).
Pires (2000) e Miorim (1998) consideram que o Movimento da Matemática Moderna tomou forma no estado de São Paulo, desencadeado pelas atividades do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM) tendo como representante o professor Oswaldo Sangiorgi. A elaboração dos Guias Curriculares (São Paulo, 1975) para as escolas de 1º grau4, expressou a preocupação da Secretaria de Educação do Estado em estabelecer orientações metodológica, dos conteúdos e dos objetivos do ensino de matemática da época. Essas orientações estavam prevista pela Lei de Diretrizes e Bases de 1971, a LDB 5692/71.
Guias Curriculares de São Paulo (1975)
3 1º Congresso Nacional de Ensino da Matemática, Salvador, BA, em 1955, 2º Congresso Nacional de
Ensino da Matemática, Porto Alegre, RS em 1957 e 3º Congresso Nacional de Ensino da Matemática, Rio de Janeiro, RJ, em 1959. (Miorim, 1998, p. 112). E Belém, PA, em 1967 (Pires, 2000, p. 32).
Nos Guias Curriculares de 1975, também conhecidos como Verdão (Tancredi, 1990) os elaboradores discutem preocupações gerais relativas à “inter-relação entre os vários campos da Matemática”; com o método a ser utilizado: “axiomático ou intuitivo? com a orientação: clássica ou moderna?” (São Paulo, 1975, p. 174). Moderna em relação ao dinamismo da aprendizagem, “em contraste com a maneira estática como era apresentada”. (idem). E optam por fundir as duas orientações, a intuitiva e a moderna, com a intenção de proporcionar ao aluno “condições de enfrentar situações novas”. (idem).
Nesse documento, o desenvolvimento dos campos numéricos, N, Z e Q, tem como base os elementos indicados por Pires (2000) e Miorim (1998), teoria dos conjuntos, estruturas e lógica matemática. O que, para Miorim (1998, p. 114), fez da formalidade operatória, ser necessário ao aluno apenas “saber justificar”, afastando-o da compreensão mais ampla dos conceitos matemáticos. As propostas baseadas no “saber justificar”, com “o enfoque centralizado apenas na linguagem” acarretaram críticas ao movimento da Matemática moderna no ensino, internacional e posteriormente no Brasil.
No entanto, a Matemática moderna não conseguiu resolver o problema do ensino da disciplina. Ao contrário, agravou ainda mais a situação. Já no inicio do movimento, alguns professores, como Carlos B. Lyra e Omar Catunda, alertaram para os riscos de um enfoque centralizado apenas na linguagem. Apesar desses alertas iniciais, foi exatamente esse o caminho percorrido pela Matemática moderna em nossas escolas. (...). Nos primeiros anos da década de 70, pesadas críticas ao movimento começaram a aparecer. René Thom e Morris Kline são alguns dos que combateram os exageros cometidos por muitas das propostas desenvolvidas em vários países. No Brasil, essas críticas se intensificaram a partir da segunda metade da década. (MIORIM, 1998, p. 115).
Miorim (1998) e Pires (2000) concordam que as críticas ao Movimento da Matemática Moderna no ensino básico, levou a comunidade internacional a formular diversas propostas de reforma no ensino da matemática elementar, tendo aquele Movimento como contraponto.
Na década de 80, refletindo as discussões da comunidade internacional, em São Paulo, “formaram-se vários grupos e desenvolveram-se vários debates com um único objetivo: discutir os problemas do ensino da Matemática à luz de um novo paradigma em educação” (Lopes, 2000, p. 30), que resultaram na elaboração da Proposta
Curricular para o Ensino de Matemática do 1º grau (São Paulo, 1988). O novo paradigma, agora, tem como foco a “Resolução de Problemas”.
Proposta Curricular para o ensino de Matemática do 1º grau (1988)
A Proposta Curricular (São Paulo, 1988) foi elaborada pela Equipe Técnica de Matemática da CENP/SEESP, com a assessoria de professores de universidades - UNICAMP5, USP6, UNESP/Rio Claro7 e UNESP/Presidente Prudente8, com sugestões das Delegacias de Ensino9, de monitores da área de matemática e de professores de escolas estaduais. No período de 1986 a 1988 foram várias as etapas de trabalho, de edições e reimpressões10, até sua 3ª versão em 1988 que foi distribuída para a rede estadual de ensino do Estado de São Paulo. (Prado e Moura, 2005).
Em Apresentação, a Proposta de 1988 anuncia o rompimento com a proposta anterior, os Guias de 1975.
Alguns problemas relativos ao ensino de Matemática já vinham sendo, há muito tempo, diagnosticados por professores preocupados com o mesmo:
• a preocupação excessiva com o treino de habilidades, com a memorização de algoritmos, com a memorização de regras e esquemas de resolução de problemas, com a repetição e a imitação e não com uma aprendizagem que se dê, inicialmente, pela compreensão de conceitos e de propriedades, pela exploração de situações-problema nas quais o aluno lê levado a exercitar sua criatividade, sua intuição;
• a priorização de temas algébricos e a redução ou, muitas vezes, eliminação de um trabalho envolvendo tópicos de Geometria;
• a tentativa de se exigir do aluno uma formalização precoce e um nível de abstração em desacordo com seu amadurecimento.
(...) A partir da reflexão sobre o papel da Matemática no currículo do 1º grau, sobre os problemas detectados no ensino dessa disciplina nos níveis mencionados e sobre a análise crítica dos Guias Curriculares anteriores, iniciou-se o processo de 5 UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas.
6 USP – Universidade de São Paulo.
7 UNESP/Rio Claro – Universidade Estadual Paulista, Campus Rio Claro.
8 UNESP/Presidente Prudente - Universidade Estadual Paulista, Campus Presidente Prudente. 9 Atuais Diretorias de Ensino.
10 1ª edição em 1986, 1ª Reimpressão em 1987, 2ª Reimpressão em 1988, 2ª edição em 1988 e 3ª edição
elaboração das Propostas, (...). (São Paulo, 1998, p. 7).
A Proposta Curricular (São Paulo, 1988) rompe, principalmente, com a organização dos conteúdos curriculares da matemática. Enquanto nos Guias de 1975 eram propostos quatro temas, o primeiro, Relações e Funções considerado “o fator unificador da Matemática” (São Paulo, 1975, p. 172), seguido por Campos Numéricos, Equações e Inequações, e Geometria; na proposta de 1988 são considerados três temas geradores: Números, Geometria e Medidas. Rompe também quanto à abordagem, optam por
(...) estudá-los acompanhando a evolução da noção de número a partir tanto de contagens como de medidas, sem ter ainda as propriedades estruturais claramente divisadas, deixando-se guiar pelo fio condutor que a História propicia e trocando assim uma sistematização prematura por uma abordagem mais rica em significados.” (São Paulo, 1988, p. 11).
Portanto, declaram o afastamento das orientações modernistas que caracterizavam a abordagem proposta nos Guias de 1975.
Na Proposta de 1988, observamos a indicação para o desenvolvimento das propriedades comutativa, associativa e distributiva e elementos neutro e inverso tanto para os conjuntos numéricos, N, Z e Q, presentes de forma geral nos Quadros de
distribuição de conteúdos (p. 19 - 25) como nas orientações metodológicas (p. 29 - 95),
d o Ciclo Básico11 a 8ª série12.
Nos Quadros de distribuição de conteúdos (São Paulo, 1988, p. 19-25), os elaboradores indicam, de modo claro, como, “familiarização de algumas propriedades”, ou “propriedades das operações”, “validade ou não de propriedades”, também indicam que tais propriedades não devem ser nomeadas. O que nos leva a supor que, para os elaboradores, as propriedades são intrínsecas à matemática escolar, isto é, fazem parte do ensino da matemática de tal modo que ao indicar “propriedades” fica subentendido que se trata da comutativa, associativa, distributiva e elementos neutro e inverso das operações dos conjuntos numéricos.
Em Os conteúdos e observações de ordem metodológica (p. 29 - 95), os elaboradores indicam a abordagem das propriedades das operações dos conjuntos numéricos. Observamos que o documento contém, aproximadamente, 43 indicações 11 Ciclo Básico: 1ª e 2ª séries do ensino fundamental de 8 anos. Atuais 2º e 3³ anos do ensino fundamental
de 9 anos.
para esse aspecto do conhecimento na matemática escolar, Anexo 1.
Entendemos que as recomendações dos elaboradores, para evitar nomear as propriedades nas séries iniciais, foi adotada para estabelecer o pretendido distanciamento das orientações modernistas dos Guias Curriculares de 1975, tentando se aproximar das novas discussões curriculares para o ensino da matemática. Agora com foco na Resolução de Problemas, com recursos à História da Matemática, às Tecnologias da Comunicação e Jogos.
Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs - 1998
Em 1996, a LDB 9394/96, propõe novas orientações curriculares de abrangência nacional, são elaborados os Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs (Brasil, 1998). Como indicam Miguel e Miorim (2004), os PCNs (1998) “assumem a resolução de problemas como um de seus pilares” (p. 51).
Os elaboradores mantêm o recurso à História da Matemática, como na proposta de 1988, acrescentam o uso de Tecnologias da Comunicação e de Jogos e consideram que o documento tem a finalidade de
“(...) fornecer elementos para ampliar o debate nacional sobre o ensino dessa área do conhecimento, socializar informações e resultados de pesquisas, levando-as ao conjunto de professores brasileiros (...)” visam “à construção de um referencial que oriente a prática escolar (...)” que pode “(...) nortear a formação inicial e continuada de professores (...)” e “Indicam a Resolução de Problemas como ponto de partida da atividade Matemática”, discutem caminhos para ‘fazer Matemática’ na sala de aula, destacando a importância da História e das Tecnologias da Comunicação.” (Brasil, 1998, p. 15 - 16).
Quanto à organização e seleção dos conteúdos, os PCNs de Matemática (Brasil, 1998, p. 50), propõem quatro “blocos”: Números e Operações, Espaço e Forma, Grandezas e Medidas, e Tratamento da Informação. Para o estudo desses conteúdos, consideram “fundamental a proposição de situações–problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e os significados das operações.” (Brasil, 1998, p. 6).
No Quadro B, do Anexo 2, pudemos observar 30 momentos nos quais os elaboradores propõem o desenvolvimento das propriedades das operações dos conjuntos
numéricos N, Z e Q, de modo implícito para as 1ª a 4ª séries, e de modo explícito para as 5ª a 8ª séries.
Conclusões
Entendemos que as orientações curriculares oficiais pretendem a melhoria do ensino de matemática. Com maior ou menor intensidade as orientações oficiais de 1975, 1988 e 1998, se preocuparam em organizar o desenvolvimento dos conceitos matemáticos (Miorim (1998), Lopes (2000) e Sousa (1999)), em particular os números N, Z e Q, no sentido de melhorar a aprendizagem do aluno. Consideramos também, que têm contribuído para orientar as publicações da matemática escolar.
Movimento da Matemática Moderna (MMM), foi um movimento de reforma do ensino da Matemática do final dos anos 50 influenciado pela ideia de que a formação educacional deveria fomentar a formação de cientistas e engenheiros de alto nível para a sustentação do desenvolvimento tecnológico. Para elucidar as tendências do período, tenha-se como exemplo a velha tabuada, que passava a ser apresentada aos alunos com ênfase nas noções de par ordenado e lei de composição.
Nos Guias Curriculares (São Paulo, 1975) observamos que os elaboradores indicam o desenvolvimento das propriedades comutativa, associativa e distributiva dos campos numéricos e aos elementos neutros da soma e da multiplicação e ao elemento inverso multiplicativo nos racionais, em vários momentos de da 5ª a 8ª séries, de modo explícito. Pois participam das estruturas matemáticas que orientam o documento.
Na Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática (São Paulo, 1988), a nossa coleta de dados apontou que os elaboradores indicam o desenvolvimento das propriedades de modo implícito da 1ª a 4ª séries, e de modo explícito da 5ª a 8ª séries, do ensino fundamental.
Nos PCNs (Brasil, 1998), para o ensino fundamental ciclo I e II, observamos que as considerações dos elaboradores evidenciam a preocupação em concretizar a aquisição dos significados dos números e das operações elementares a partir do confronto do aluno com situações-problema que favoreçam este amadurecimento. Mas também orientam o desenvolvimento das propriedades de modo implícito no ciclo I e explícito no ciclo II.
particular, dos campos numéricos, está assegurada para o aluno? E para os professores? Como é entendida?
Concordamos quando Pires (2000) considera que as diversas reformas pós-MMM foram elaboradas, mas não romperam com determinadas características curriculares e incorporar uma fundamentação conceitual bem definida e unificada, a partir da qual se pudessem delinear explicita e consensualmente um “pólo de orientação” para o processo de ensino-aprendizagem de matemática. Como por exemplos nas propostas de 1988 e 1998. Os elaboradores encobrem as propriedades numéricas, pois tentam garantir nas quatro séries inicias a não nomeação, mas tais estruturas continuam presentes no desenvolvimento do pensamento matemático escolar e no currículo do ensino básico.
Miguel e Miorim (2004) entendem que não podemos afirmar que um conjunto de textos interferem na atuação dos professores de matemática, mas entendemos que esses três tipos de textos são elementos que as políticas públicas disponibilizam nas escolas da educação básica, portanto, são artefatos para a pesquisa e apoio de futuros professores. Pois para Olson (1997) “ler e escrever oferecem oportunidades para corroborar a prática de determinar a força e estrutura dos textos, tanto quando elas são explícitas nesses textos como quando precisam ser inferidas” e observa que este aspecto não é muito discutido nem na teoria pedagógica nem nas orientações para a prática de ensino.
É nossa intenção, na continuidade desta pesquisa, analisar como os textos para a formação de professores e livros didáticos, expressam o entendimento das orientações curriculares oficiais para as propriedades das operações e dos elementos neutro e inverso nos conjuntos numéricos.
REFERÊNCIAS
BRASIL (1998) Parâmetros curriculares nacionais: ensino fundamental. Primeiros e Segundo ciclos do ensino fundamental. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF/FNDE/CENPEC, Brasília. Disponível em http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/livro03.pdf, acesso em 10/06/2010.
BRASIL (1998) Parâmetros curriculares nacionais: ensino fundamental. Terceiro e Quarto ciclos do ensino fundamental. Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC/SEF/FNDE/CENPEC, Brasília. Disponível http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf, acesso em 10/06/2010.
LOPES, Jairo de Araújo. 2000. Livro didático de Matemática: concepção, seleção e possibilidades frente a descritores de análise e tendências em Educação Matemática. Tese de doutorado, Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Educação. São Paulo. Orientador: Sérgio Lorenzato
MIGUEL, A. e MIORIM, M. Ângela (2004) História na educação matemática: propostas e desafios. BH: Autentica. (Tendências em Educação Matemática, 10).
MIORIM, M. Ângela (1998) Introdução à história da educação matemática. São Paulo: Atual. 121 p. OLSON, David R. (1997) O mundo no papel. Implicações conceituais e cognitivas da leitura e da
escrita. Trad. Sérgio Bath. São Paulo. Editora Ática. Coleção múltiplas escritas.
PIRES, C. M. C. (2000) Currículos de matemática: da organização linear à idéia de rede. SP: FTD,223 p. PRADO, Esther P. de A. e MOURA, Anna Regina Lanner (2007) O conceito números inteiros nos textos impressos de orientações curriculares de matemática de 1975 a 1998. In: II Encontro Iberoamericano de Educação, 2007, Araraquara. Anais II EIDE. Araraquara : Fundação para o Desenvolvimento da Unesp. SÃO PAULO (ESTADO) (1975) Secretaria da Educação. Centro de Recursos Humanos e Pesquisas Educacionais “Prof. Laerte Ramos de Carvalho”. (1975) Guias Curriculares, diretora Therezinha Fram, coordenadora geral Delma Conceição Carchedi, São Paulo, SE/CERHUPE, 276 p.
SÃO PAULO (ESTADO) (1988) Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) Proposta Curricular para o ensino de matemática; 1º grau, 3ª ed., São Paulo, SE/CENP. 156 p.
SÃO PAULO (Estado) (2008). Proposta Curricular de Matemática. São Paulo. SEE. TANCREDI, Regina M S P. (1990) O ensino dos números inteiros no 1° grau: realidade e
Anexo 1
Quadro A- Os conteúdos e observações de ordem metodológica (p. 29 – 95) – 1988 Ciclo básico - 6ª série
Ciclo Básico (atuais 2º e 3º anos)
1) p. 33 -Construção dos fatos fundamentais da adição: “vão sendo percebidas
propriedades como a comutativa, o papel do zero na adição (os nomes dessas propriedades não devem ser apresentados nessa fase).”
2) p. 34 - Construção dos fatos fundamentais da multiplicação: “As propriedades da
multiplicação podem ser verificadas (...). não há necessidade, nesta fase, de enfatizar nomes de propriedades.
3) p. 36 – Adição de mais de duas parcelas, menores que 10. Técnica operatória: 4) “... poderão observar propriedades da adição, como: comutativa, associativa, o
papel do zero na adição, sem que tais nomes lhes sejam apresentados.“
5) p. 37 – Técnica operatória da subtração: “(...) propriedade da invariância de
diferença (...)
6) “(...) na subtração, não valem propriedades como a associativa, a comutativa, (...).
Não é aconselhável, no entanto, que os nomes dessas propriedades sejam informados às crianças.”
7) p. 38 – Técnica operatória (multiplicação de um número menor que 100 por outro
menor que 10):
8) “propriedades distributiva da multiplicação em relação à adição, (...)” 9) p. 39 – Divisão: Construção dos fatos fundamentais:
10) “(...) perceberão que a divisão não tem a propriedade comutativa (quantos às
demais propriedades, deverão ser tratadas em fases mais avançadas).” 3ª
série (atual
4º ano)
11) p. 40 – Sistema de numeração decimal: Operações com naturais: 12) - “reconhecer propriedades das operações (sem que seus nomes sejam
enfatizados)(...)”
13) - “resolver problemas em que seja possível identificar operações e propriedades.” 14) p. 41 - Multiplicação de um número natural qualquer por um número maior que
10. “Será necessário trabalhar a prop. distributiva da multiplicação em ralação à adição, em sua forma desdobrada”
4ª série (atual 5º ano) p. 50 – NUMERO NATURAL
15) p. 51 – Operações com números naturais: Adição, multiplicação, subtração e
divisão
16) É importante que os alunos sejam incentivados a utilizar propriedades das operações, no
cálculo mental, e fazer previsões quanto à ordem de grandeza dos resultados
5ª série (atual
6º ano)
p. 57 – OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS
17) “Em problemas onde o elemento desconhecido é um dos termos de uma dada
operação, é importante que sejam utilizadas as propriedades dessa operação e suas relações com as demais operações, na determinação deste termo.”
18) p. 58 – Potenciação: conceito, representação e propriedades
19) “As propriedades da potenciação poderão ser trabalhadas localizadamente em
exemplos numéricos, sem a preocupação de generalizações, (...)”
P. 62 – NÚMEROS RACIONAIS ABSOLUTOS: Adição e Subtração de frações
20) “Quanto às propriedades da adição e subtração de frações, os alunos poderão
números naturais. Aqui os nomes das propriedades já podem ser enfatizados.” 6ª série (atual 7º ano) p. 89 – NÚMEROS INTEIROS
21) Operações com números inteiros
22) “(...) ‘Qual é o número que somado com 2 dá zero?’,(...), serve como ponto de
partida para o aprendizado das operações e suas propriedades, que vão compor uma segunda etapa no estudo desses números.
23) p. 90 – Adição e Subtração: soma algébrica
24) Vinculadas à adição de números inteiros, (...) , as propriedades dessa operação
devem ser trabalhadas intuitivamente, a princípio, retomando as propriedades da adição de naturais já conhecidas.
25) O surgimento de uma nova propriedade (existência do inverso aditivo) deve ser
antecipado por um trabalho com o oposto de um número inteiro, que inicialmente é visualizado na reta numérica, (...) Só então o trabalho com o conceito de inverso aditivo terá algum significado para o aluno. A apreensão dessa nova propriedade (...) favorecerá a “transformação da subtração em adição”,
p. 91 – Multiplicação, potenciação e divisão
26) “o produto de dois números inteiros negativos quaisquer é um número inteiro
positivo”, já com vistas na generalização, uma vez que, agora, o tratamento a ser dado ao assunto será baseado nas propriedades da multiplicação, que já foram estudadas com os naturais e devem se conservar para os inteiros.
27) p. 92 – Optamos por tratar as propriedades da potenciação, as potências de
expoente inteiro e a radiciação, (...) aluno tenha disponível os números racionais, a fim de que esse estudos se torne mais abrangente e significativo, no sentido de fazer com que ele perceba a manutenção das propriedades daquelas operações, a relação entre elas, (...).
p. 92 – Expressões envolvendo as operações em Z
28) O trabalho que envolve expressões com números inteiros tem a finalidade (...)
aplique as propriedades das operações estudadas para facilitar o cálculo. p. 92/93– NÚMEROS RACIONAIS: A noção de número racional relativo Operações: +, -, x, :, potenciação e radiciação (conceito)
29) As operações com os nos inteiros e fracionários e o conceito de nº racional
(relativo) (...). Este será, portanto, um momento de síntese, no qual é verificada a manutenção das propriedades dessas operações, bem como o surgimento de uma outra: existência de elemento inverso multiplicativo.
30) Uma vez trabalhada a ideia do inverso multiplicativo de um racional diferente de
zero, bem como a propriedade: “um quociente não se altera quando dividendo e divisor são multiplicados por um mesmo número”, a divisão de números racionais fica extremamente simplificada.
31) p. 93 – (...) o critério adotado é que as propriedades da potenciação se mantenham
também nesse caso.
p. 95 – Propriedades referentes a uma única operação
32) pretende-se verificar experimentalmente (mediante um número finito de testes
com nº racionais) as seguintes propriedades da adição e multiplicação de nº racionais: associativa, comutativa, elemento neutro e elemento inverso.
33) Quanto à subtração e divisão de números racionais, além de trabalhar as
propriedades específicas dessas operações, é importante que os próprios alunos sejam incentivados a pesquisar a validade ou não de propriedades com
comutativa, associativa, existência de elemento neutro etc. Isto porque, quando uma determinada propriedade se verifica sem uma operação e não em outra, esse confronto propicia uma aprendizagem mais significativa para o aluno.
p. 95 – Propriedades referentes a duas operações
34) (...) verificação experimental (mediante um nº finito de testes com nº racionais)
das seguintes propriedades: distributivas da multiplicação em relação à adição e subtração (simples e composta), distributivas da divisão em relação à adição e subtração à direita, distributivas da potenciação em relação à multiplicação e
divisão.
35) (...) confronto de propriedades válidas com as não-válidas deve ser observado
aqui.
p. 95/96 – NOÇÕES DE CÁLCULO LITERAL - (observações tratamento metodológico)
36) Este conteúdo deve estar vinculado diretamente aos temas: “estudo das propriedades das operações” e “regras de simplificação no cálculo com potências”(...)
37) O estudo de expressões algébricas deve ter como objetivo levar o aluno a tratar, de forma
generalizada, as operações e propriedades dos nº já estudados
p.96 - Soma algébrica de monômios e de polinômios
38) (...) somar dois monômios, (...) fato que é garantido pela validade da propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtração. p. 98 – Soma algébrica de polinômios:
39) (...) baseia-se nas propriedades comutativa e associativa da adição e na soma de
monômios.
p. 98 – Soma algébrica de polinômios:
40) (...) baseia-se nas propriedades comutativa e associativa da adição e na soma de
monômios.
p. 98 – Multiplicação de monômios
41) (...) levando-se em conta as propriedades associativa e comutativa da
multiplicação e as propriedades da potenciação. p. 98 – Multiplicação de expressões algébricas entre si
42) (...) da aplicação da propriedade distributiva
p. 98 – Divisão de monômios e divisão de polinômios por um monômio
Anexo 2
Quadro B – Primeiro, Segundo, Terceiros e Quartos Ciclos do ensino fundamental - 1998 Primeiro e Segundo Ciclos do ensino fundamental p. 24 – Principais características
1) ...assim como o estudo de propriedades matemáticas em
acontecimentos particulares conduzem (...) ao chamado conhecimento matemático teórico
p. 47 - Objetivos de Matemática para o primeiro ciclo
2) Desenvolver procedimentos de cálculo — mental, escrito, exato,
aproximado
3) — pela observação de regularidades e de propriedades das
operações e pela antecipação e verificação de resultados. p. 51 Operações com Números Naturais:
4) Organização dos fatos básicos das operações pela identificação de
regularidades e propriedades.
p. 55 - Ensino e aprendizagem de Matemática no segundo ciclo
5) ‘(...) Assim, por exemplo, percebem que algumas regras,
propriedades, padrões, que identificam nos números que lhes são mais familiares, também valem para números “maiores”.’
p. 56 - Objetivos de Matemática para o segundo ciclo
6) Ampliar os procedimentos de cálculo (...)- mental, escrito, exato,
aproximado- pelo conhecimento de regularidades dos fatos fundamentais, de propriedades das operações (...).
p. 74 - REPERTÓRIO BÁSICO PARA O DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO
7) “Ao construírem e organizarem um repertório básico os alunos
começam a perceber, intuitivamente, algumas propriedades das operações, tais como a associatividade e a comutatividade, na adição e multiplicação. A comutatividade na adição é geralmente identificada antes de qualquer apresentação pelo professor. Isso pode ser notado em situações em que, ao adicionarem 4 + 7, invertem os termos para começar a contagem pelo maior número.”
8) p. 75 - “decompor um número para multiplicá-lo, usando a
propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição: 12 x 5 = (10 x 5) + ( 2 x 5) ou (6 x 5) + (6 x 5).”
(...)
9) “— a não-validade, na subtração e na divisão, de propriedades
presentes na adição e na multiplicação, tais como a comutatividade e a associatividade.”
(...)
10) ‘— A explicitação de que a propriedade distributiva da
multiplicação em relação à adição é a base da técnica operatória da multiplicação dá o apoio necessário ao entendimento da técnica. ’ p. 78 - Cálculo escrito
11) Assim como outros procedimentos de cálculo, as técnicas
operatórias usualmente ensinadas na escola também se apóiam nas regras do sistema de numeração decimal e na existência de
propriedades e regularidades presentes nas operações. Terceiros e p. 50 - Números e Operações
Quartos Ciclos do ensino fundamental
12) Ao longo do ensino fundamental o conhecimento sobre os números
é construído e assimilado pelo aluno num processo em que tais números aparecem como instrumento eficaz para resolver determinados problemas, e também como objeto de estudo em si mesmos, considerando-se, nesta dimensão, suas propriedades, suas inter-relações e o modo como historicamente foram constituídos. TERCEIRO
CICLO
p. 61/62 - Ensino e aprendizagem de Matemática no terceiro ciclo
13) (...) os alunos ampliem os significados que possuem acerca dos
números e das operações, busquem relações existentes entre eles, aprimorem a capacidade de análise e de tomada de decisões, que começam a se manifestar. Também é necessário explorar o potencial crescente de abstração, fazendo com que os alunos descubram regularidades e propriedades numéricas, (...) p. 64 - Objetivos de Matemática para o terceiro ciclo
(...) visar ao desenvolvimento:
14) Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações de
aprendizagem que levem o aluno a:
15) utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas
propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico. p. 66 - Conteúdos propostos para o ensino de Matemática no terceiro ciclo
16) O estudo desses números [os inteiros] não poderá, no entanto,
restringir-se apenas a esses aspectos mas incorporar situações que permitam a compreensão das regras do cálculo com os inteiros pela observação de regularidades e aplicação das propriedades das operações com os naturais.
p. 71 - CONCEITOS E PROCEDIMENTOS Números e Operações
17) Compreensão da potência (...) e fazendo uso das propriedades da
potenciação em situações-problema.
18) Atribuição de significado à potência (...) e pela extensão das
propriedades das potências com expoente positivo.
19) Utilização de representações algébricas para expressar
generalizações sobre propriedades das operações aritméticas (...). p. 76 - Critérios de avaliação para o terceiro ciclo
a. Utilizar a linguagem algébrica para representar as generalizações inferidas a partir de padrões, tabelas e gráficos em contextos numéricos e geométricos.
20) Por meio deste critério o professor verifica se o aluno é capaz de
utilizar representações algébricas para expressar generalizações sobre propriedades das operações aritméticas (...).
Quarto Ciclo p. 83 - Conteúdos propostos para o ensino de Matemática no quarto ciclo
21) (...) situações-problema bastante diversificadas, o aluno poderá
reconhecer diferentes funções de Álgebra ((...)e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre grandezas). p. 87/88 - CONCEITOS E PROCEDIMENTOS - Números e Operações
22) Construção de procedimentos para calcular o valor numérico e
efetuar operações com expressões algébricas, utilizando as propriedades conhecidas.
p. 100 - Números inteiros
23) (...) pela extensão dos conhecimentos já construídos para os
naturais, compreender e justificar algumas das propriedades dos números inteiros.
p. 105 – Números racionais
24) um quociente não se altera quando dividendo e divisor são
multiplicados por um mesmo número. (.invariância do quociente.) permite obter na divisão de frações, uma fração com denominador 1.
p. 112 - Potenciação
25) (...)aluno poderá identificar propriedades da potenciação e, dessa
forma, compreender a potência de expoente 1 e expoente zero. p. 115 - Cálculo
26) (...) a calculadora pode ser um eficiente recurso por possibilitar a
construção e análise de estratégias que auxiliam na consolidação dos significados das operações e no reconhecimento e aplicação de suas propriedades.
p. 116 – Álgebra - Álgebra no ensino fundamental
27) O quadro a seguir sintetiza de forma bastante simplificada as
diferentes interpretações da álgebra escolar e as diferentes funções das letras:
Conteúdos (conceitos e procedimentos)
28) Propriedades das operações generalizações de padrões aritméticos 29) p. 117 - Embora se considere importante que esse trabalho,
chamado de .pré-álgebra, aconteça nas séries iniciais, ele deve ser retomado no terceiro ciclo para que as noções e conceitos
algébricos possam ser ampliados e consolidados. Para isso é desejável que o professor proponha situações de modo que permitam identificar e generalizar as propriedades das operações aritméticas, (...)
30) p. 120 – Para simplificar a expressão P + 0,4P eles se defrontarão
