M W Cálculo da Tensão de Confronto. Tensão de confronto Tensão ideal Tensão equivalente

6.4.2- Cálculo da Tensão de Confronto Tensão de confronto Tensão ideal Tensão equivalente *



i



eq



a1) Flexão Pura

adm f fr

W

M







*



_max





Dimensionamento estático • Caso estático • Caso fadiga Pré-dimensionar como estático Verificar quanto a fadiga

No caso de secção circular:

adm fr f

d

M

d

W









_

_

_



* ₃ 3

₃₂

32

com

M

fr



M

2fH



M

2fV adm fr

M

d









32

3



₂

_.

₁₇

₃ adm fr

M

d







d

d



1

.

1

~

1

.

3

Pré-dimensionamento :

a2) Torção Pura adm t t

W

M

_





*



_max





Para secção circular: ₁₆

3 d W_t  Pré-dimensionamento : adm t adm t

M

d

d

M







16

16

3 3







1

.

72

3 adm t

M

d







d

d



1

.

1

~

1

.

3

75

]

m/s

[

]

Kgf

[

]

HP

[

N

F

v

v

F

N











]

m

[

]

rad/s

[

]

m/s

[

r

v







60

]

rpm

[

2

]

rad/s

[







n



 n

r

F

r

n

F

N

t M

















716200

1

1000

60

2

75



n

M

N

_t

.

716200

1





[rpm] : [Kgf/mm] : ] HP [ : n M N t 3

15389

adm

n

N

d









76

]

m/s

[

]

Kgf

[

]

C

[

V

F

v

N





Á partir da potência de entrada (N, em HP; n, em rpm)

3

.

716200

.

72

,

1

716200

adm t

n

N

d

n

N

M









d

d



1

.

1

~

1

.

3

a3) Flexão e torção combinadas



 

 





2



1 3 2 3 2 2 2 1

2

1

_

_

_

_

_

_



_i













Critério Energia Distorção (Von MISES)

0

0













yz xz torção xy z y flexão x

















)

0

(



_q











Tensões principais 3 2 1

,



,





yz xz xy z y x



















_





t

M



z

y

x



²

3

*



2









2 2 2 1 2 1

3

4

4

²

²

²















_i











² 4 ² 2 2 ² 4 ² 4 ² ² 1















         _   ² 4 ² 2 2 ² 4 ² 4 ² ² 2















         _   ² 4 ² 4 ² ² 4 ² 4 ² 2 1

















_                _     











²

2

²

²

²



2

1

²

²

²

2

1

1 2 2 2 1 1 1 2 2 1























_i



















2 1 2 1

²

²

²



















_i ² 2 2 2 2 1















              x y x y ² 4 ² 2 2 1           

0



y



Tensões principais para 2D (eq.1) (eq.3) (eq.2) Da equação 2:

+

Para flexão e torção em eixos temos situação biaxial de solicitação (2D)

Se

f f r

W

M





²

²

_fv fh fr

M

M

M





t t

W

M





²

²

3

²

²

* t t f fr

W

M

W

M







W

_f

W

_t

2

1



²

4

3

²

1

* t fr f

M

M

W







f eq

W

M







* adm eq adm

d

M















32



³

* 3

17

,

2

adm eq

M

d





No caso de eixos

Tendo-se secção circular :

fh

M

fv

M



Dente de engrenagem

d

d



1

,

1

~

1

,

3

²

4

3

²

_t fr eq

M

M

M







f adm f f r máx

W

M







*







f fr

W

M

S

N 







|)

|

|,

(|



_máx



_min m

máx

S 

fadm m

S





*





máx



min



méd



b1) Flexão Pura

Havendo força normal :

f

M

N

.

.n

l

m



m







 k

1

f f r máx W M S N  



f fr

W

M

S

N

e



_min





Por exemplo :

Neste caso e calcular sempre usando

fadm t t

W

M

_





*







|)

|

|,

(|



_máx



_min m

máx

S



) 1 ( * 





S

_m

S

_{fadm k}



b2) Torção Pura

1



 k

M

_t

Se não houver flutuações de





²

²





²

* kt máx kf máx



H













F F

H











²

²





²

* kt máx Fadm kf máx



H













;

Fadm Fadm Fadm

H







5 4 3 2 1 3 2 1 5 4 3 2 1 3 2 1

_,





























k t Ftk Fadm k f Ffk Fadm

b

b

b

S

b

b

b

S





b3) Flexão e Torção Combinadas

b3.1) Flexão e torção tem o mesmo “k”

com F



F



k f



k t



- limite resistência à fadiga por flexão para valor k - limite resistência à fadiga por torção para valor k

- coeficiente de entalhe dinâmico para fadiga à flexão e valor k - coeficiente de entalhe dinâmico para fadiga à torção e valor k

b3.2) Flexão e torção tem k diferentes

Obs.: Se não dispuser de β_k’s exatos usar β_k para k=

1







_t f

e

k

k

²

²

²

*









_máx



H

kaf e kt Faf

H











e e







0

,

577

.

(estimativa)



máx



min



t

Faf



b3.3) Caso particular onde

1

,

k



kt







k

kaf

,



Entalhe f

M

M

_f

N

N

t

M

Secção crítica Goodman

Normalmente não temos β_kt para k = 1. Usamos β_kt para k =  a favor da segurança. Se existir força normal N recai-se no caso b3.2) porque k_f  

6.5 - Cálculo de Eixos quanto à Rigidez (ou flecha admissível)





 k

F

L

EA

k

L

EA

P

L

E

A

P

E

en k

























L d d L d L 2 2 2 .













  

L

d

G

J

d

M

J

d

M

W

M

G

t t t t t t

.

2

.

.

2

.

.

2

.

.



















L

J

G

k

L

G

M

t et k t t

.

.

_

_









32

,

)

1

(

2

d

J

E

G

_t











F

:



_flecha

F





F



constante de mola (rigidez)

6.5.1 – Eixos de secção constante

• Tração / compressão • Torção

M

_t

φ

γ

γ

• Flexão EJ M R  1 Q dx dM  a) distribuíd carga ( q dx dQ 

dx

dy

inclinação







2 ² 1 dx y d R curvatura 



 



dx _dxdy EJ M l 0

elástica

linha

eq.

)

(

0 0

x

y

dx

dx

EJ

M

l l



















 

e

Da teoria de flexão :

Curvatura

_y

₍

_x

₎

_

_eq

_.

_linha

_elástica

y(x)

) ( x



R

Estudo das curvas planas



4 4 3 3 2 2 1 a distribuíd carga 1 cortante força 1 fletor momento inclinação dx y d dx dQ EJ EJ EJ q dx y d dx dM EJ EJ EJ Q dx y d R EJ EJ M dx dy              

(1)

(2)

EJ

PL

L

L

EJ

P

L

y

vem

L

x

pondo

x

P

x

PL

EJ

x

y

C

dx

dy

e

C

y

C

x

C

x

P

x

PL

dx

C

x

Lx

P

x

y

EJ

C

x

Lx

P

Mdx

x

y

EJ

dx

d

C

x

Lx

P

xdx

P

dx

PL

Mdx

x

3

³

6

³

2

³

)

(

,

³

6

2

²

1

)

(

0

0

)

0

(

0

0

)

0

(

3

³

2

2

²

2

²

)

(

.

2

²

))

(

.

(

2

²

1 0 2 2 1 1 1 1

















_













_

















































_













_



















_















_























³

3

³

3

L

EJ

k

L

EJ

P







_f



)

(

L

x

P

M





0

0

)

0

(

0

















 x

dx

dy

y

Para demais casos simples tabelas.

x

P



M

x

P

6 solicitações, deformações = 6 graus de liberdade 1 gdl 1 k (coeficiente de mola)

Vários gdl [ K ] Matriz de rigidez

 

F

x1

 

x

 

_x1

_n

K

_{n n}

x

_n

kx

F







Cálculo dos K_ij Método dos Elementos Finitos

Método numérico para resolver equações diferenciais

Softwares de MEF disponíveis :

• Micro / workstations e Host • Ansys, COSMOS, ABAQUS,

IDEAS Aplicações do MEF :

• Problemas de elasticidade em sólidos – σ, ε, δ • Vibrações em sólidos – ω_i, {X}i • Escoamento em fluidos – v, p • Transmissão de calor – T • Campos elétricos • etc

x

z

y

x



z



y



CAE MEF

x

k

k

k

x

k

x

k

x

k

x

k

F

t F eq t



1



2



3



//

.



(

1



2



3

).







3 2 1 //

k

k

k

k

_eq











x

x

_t 3 2 1

k

F

k

F

k

F

k

F

x

eqS t









3 2 1 1 1 1 1 k k k keqS   





_i t

F

F

Associação de Rigidezes (molas)

1 t

k

k

_t2



k

1 2

k

Molas em paralelo

Deslocamento igual para todas.

1 k 2 k 3 k

x

1 k k₂ k₃

_x

Molas em série

Aplicação Flecha admissível (f_adm)

Ângulo de inclinação

β [rad]

Eixos de máquinas ferramentas com engrenagens 0.1 m

-Motores assíncronos 0.1 δ

-Construções mecânicas em geral 0.0002 L

-Eixos apoiados em mancais hidrodinâmicos ou de lubrificação mista - 0.001

Eixos apoiados em mancais de rolamento radial fixo de esferas 0.008

Eixos apoiados em mancais autocompensadores 0.05

• m = módulo da engrenagem • δ = entreferro do motor elétrico • L = distância entre apoios do eixo

6.6 - Cálculo de Eixos quanto à Rotação Crítica



f

e



M

r

M

a

M

F

_ext











.

.



²

.



²

f

L

EJ

F

EJ

FL

f

K

.

³

48

48

³





























F

_ext

F

k

.

f

M



²

f

e

²

²

0

²

²









M

k

Me

f

Me

Mf

kf













1 ²   M k e f

ou

como ! ! , 1 ² f e M k _{    }



M



rad/s



k crit  



M

k

n

n

_{crit crit} crit







30

60

2







(rpm) n Amplitude vibrações N_crítica quando

e

e

f

Modelagem :

• Despreza-se o peso do eixo • Despreza-se a inércia do eixo • Despreza-se o momento centrífugo

Passa-se pela crítica com potência suficiente e amortecimento alto.

k

Mg

k

G

f

EJ

GL

f

_st





_st





48

³

st crit st

f

g

n

f

g

M

k



30









Novamente desprezando-se o peso do eixo, a flecha estática é

, M = massa do disco

OBSERVAÇÕES

1. Ncrit  mesmo se e = 0, entretanto desbalanceamento favorece fenômeno. 2. A dedução vale para Meixo<< Mdisco!!





k

n

_crit 3. influem • Elasticidade E • Forma da secção J • Tipo de carregamento • Vínculos

4. Ntrabalho fora da faixa : 0,7 ~ 1,3 ncrit.

6. Pode-se trabalhar em “A”

3 , 2 , 1 .

n

_crit



5.

_Amp n A 1 crit n n_crit2 n_crit3

I

k

n

t torc crit



30



8

²

d

m

I

L

GJ

k

t t





2 1 // t t eq

k

k

k





ROTAÇÃO CRÍTICA TORCIONAL

Da mesma forma que flexional, existe n_crittorcional, especialmente para eixos d<<L

n Amplitude vibrações N_crítica 1 t

k

k

_t2 Amplitude I Kt • K_t: Rigidez torcional • I : Inércia do disco

• G : Módulo de elasticidade transversal

Dimensionar o eixo pertencente a um redutor utilizado em um sistema de elevação de cargas .

A engrenagem 1 recebe 30 [HP] a 80 [rpm] . A engrenagem 2 é montada com interferência sobre o eixo. Dados: Engrenagem : 1 2

Número de dentes (retos) 57 34 Módulo [mm] 8 8 Ângulo de pressão

Largura [mm] 100 100

- Eixo feito de ABNT 8620, acabamento médio em torno; - Adotar demais dados que julgar necessários.

engrenagem 1 engrenagem 2 50 200 400 525 575 [mm]

Dimensionar o eixo abaixo pertencente a um redutor utilizado em um sistema de elevação de cargas . A engrenagem 1 recebe 30 [HP] a 80 [rpm] . A engrenagem 2 é montada com interferência sobre o eixo.

Dados: Engrenagem : 1 2 Número de dentes (retos) 57 34 Módulo [mm] 8 8 Ângulo de pressão

Largura [mm] 100 100

- Eixo feito de ABNT 8620, acabamento médio em torno; - Adotar demais dados que julgar necessários.

35 255 295 30 165 45

60 65 65 63 60

35 255 295 30 165 45 60 65 65 63 60 a 250 350 200 b d _c e