Vol. I. A nossa proposta pedagógica é trabalhar a teoria necessária dentro das próprias questões, agilizando assim os estudos dos concursandos.

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Texto

(1)

Vol. I

Prof. Marcelo Silva

® Todos os direitos reservados.

Proibida a distribuição ou reprodução, ainda que parcial, dessa publicação sem autorização prévia.

Esta amostra é parte integrante do volume I completo que consta de 120 questões cuidadosamente resolvidas dos principais concursos realizados no País. A nossa proposta pedagógica é trabalhar a teoria necessária dentro das próprias questões, agilizando assim os estudos dos concursandos.

Peça o seu exemplar completo através do e-mail: matematicasimples@gmail.com

(2)

01 - TTN/97- (Administração Tributária) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis,

obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma

comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou

duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”

Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”

Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente:

a) André, Caio, Beto, Dênis. b) André, Caio, Dênis, Beto. c) Beto, André, Dênis, Caio. d) Beto, André, Caio, Dênis. e) Caio, Beto, Dênis, André.

Resolução:

Partindo do Princípio do Terceiro Excluído que afirma ser uma proposição lógica apenas verdadeira ou falsa, não se admitindo uma terceira possibilidade, analisemos dois casos – aqueles em que é verdadeiro ou falso André ter sido o 1º. (André foi o escolhido para análise, pois aparece nas colocações dos juízes 1 e 2).

Lembre que cada juiz fala uma verdade e uma mentira.

1º caso (André foi o 1º)

Juiz 1:

André foi o 1º! Então é falso que Beto foi o 2º.

Juiz 2:

É falso que André foi o 2º, pois ele é o 1º(pelo juiz 1), logo Dênis foi o 3º. Juiz 3:

É falso que Dênis foi o 4º, pois pelo juiz 2, ele foi o 3º, logo Caio foi o 2º. Então, a ordem de colocação fica: André, Caio, Dênis e Beto.

2º caso (André não foi o 1º)

Juiz 1:

André não foi o 1º! Então Beto foi o 2º. Juiz 2:

É falso que André foi o 2º, porque Beto já é o 2º (pelo juiz 1), logo Dênis foi o 3º. Juiz 3:

É falso que Dênis foi o 4º, pois pelo juiz 2, ele foi o 3º, logo Caio foi o 2º. Contradição!! Lembre que o 2º foi Beto.

Então a premissa que André não foi o 1º é falsa. Valendo assim, o 1º caso analisado. A ordem de colocação é mesmo: André, Caio, Dênis e Beto.

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02 - TTN/97- (Administração Tributária) Uma pesquisa entre 800 consumidores – sendo

400 homens e 400 mulheres – mostrou os seguintes resultados:

O número de homens entrevistados que não assinam o jornal X e não têm curso superior é, portanto, igual a

a) 50 b) 200 c) 0 d) 100 e) 25

Resolução:

Através de um diagrama, o entendimento e visualização ficam melhores.

Dica: Siga a ordem de resolução de acordo com a numeração dos campos.

Mulheres Homens Jornal X Curso Superior 50 100 400 - (100+50+150) 150 (200 - 50) 0 100 (150 - 50) 200 De 250 pessoas com curso superior e assinantes do jornal X retiram-se as 50 mulheres nas mesmas condições.

Se, do total de pessoas, 350 têm curso superior e já temos uma soma 350 em curso superior, este campo é 0.

campo 1 campo 2 campo 3 campo 4 campo 5 campo 6 campo 7 campo 8 100 500 – (150+50+200) 100 400 – (0+200+100)

do total de mulheres entrevistadas: 200 assinam o jornal X

150 têm curso superior

50 assinam o jornal X e têm curso superior. do total de pessoas entrevistadas:

500 assinam o jornal X 350 têm curso superior

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03 - BNDES/ABRIL-2004- (Técnico Administrativo)

Empresa organizadora: CESGRANRIO

Para arrecadar R$ 240,00 a fim de comprar um presente para um colega que se aposentava, os funcionários de uma empresa fizeram um rateio. No dia do pagamento, 5 funcionários resolveram não participar, o que aumentou a quota de cada um dos demais em R$ 8,00. Quantos funcionários efetivamente participaram do rateio?

a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 e) 15

Resolução:

Suponhamos que R$ 240,00 deveria ser dividido por x pessoas. Assim caberia para cada um a quantia de 240

x .

Como 5 faltaram, no dia do rateio estavam presentes x 5 participantes. Então o valor pago por cada um dos presentes foi 240

5

x .

O valor pago por cada um dos presentes ao dia do rateio, 240 5

x , foi superior em R$ 8,00 ao

que inicialmente caberia a cada um, 240

x .

Temos a sentença: 240 240 8 5

x x

Resolvendo a equação acima...

240 240 8 5 240 5 8 5 240 5 5 240 240 5 8 5 2 240 240 1200 8 40 2 :8 8 40 1200 0 2 5 150 0 2 4 2 5 25 600 2 30 ' 5 25 2 2 20 '' 10 não convém 2 15 pesso x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x b b ac x a x x x as x

Como estavam presentes x 5 funcionários, então o número de funcionários que efetivamente participaram do rateio é de x 5=15 5 =10 participantes.

(5)

04. MPU – Técnico – FCC Fev/2007

Considere todos os números inteiros e positivos dispostos, sucessivamente, em linhas e colunas, da forma como é mostrado abaixo.

Se fosse possível completar essa tabela, então na terceira coluna e na tricentésima quadragésima sexta linha apareceria o número

a) 2 326 b) 2 418 c) 2 422 d) 3 452 e) 3 626

Resolução:

Numa matriz de m linhas e n colunas, tem-se m.n elementos. Por exemplo, se considerarmos a tabela acima como uma matriz de 7 colunas e apenas 2 linhas, é fácil observar que ela possui 2.7 = 14 elementos. Essa observação é facilitada pelo fato dos elementos serem inteiros consecutivos, por exemplo, o número 6 ocupa a 6ª entrada; o 14 ocupa a 14ª entrada e assim sucessivamente.

Logo, se essa matriz de 7 colunas tiver 346 linhas, pode-se achar o último elemento, simplesmente fazendo 7 . 346 = 2 422.

Mas, há de se retroceder 4 posições na linha, pois o elemento em questão está na 3ª coluna e não na 7ª (ele não é o último elemento da linha 346).

(6)

05. MPU – Técnico – FCC Fev/2007

Dois funcionários do Ministério Público receberam a incumbência de examinar um lote de documentos. Dividiram os documentos entre si em partes que eram, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades e diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Ministério Público. Sabe-se que: ao funcionário que tem 27 anos de idade e presta serviço ao Ministério há 5 anos coube 40 documentos; o outro tem 36 anos de idade e presta serviço ao Ministério há 12 anos.

Nessas condições, o total de documentos do lote era:

a) 112 b) 120 c) 124 d) 132 e) 136

Resolução:

Seja x o número total de documentos. Vamos identificar os dois servidores: Servidor A: 27 anos de idade , 5 anos de serviço e recebeu 40 documentos; Servidor B: 36 anos de idade , 12 anos de serviço e recebeu x – 40 documentos.

Temos para o funcionário A a expressão: 40 1 .5 27 Justificativa:

Se o número de documentos (40) é diretamente proporcional ao tempo de serviço,

temos 5

A , mas também é inversamente proporcional à idade, então é

diretamente proporcional ao inverso da idade (definição de grandezas proporcionais), logo

1 27

A

.

Ao mesmo tempo, temos 40 1

.5 27

(7)

Temos para o funcionário B a expressão: 40 1 .12 36 x A proporção fica: 40 40 1 .5 1 .12 27 36 x . Resolvendo... 40 40 1 1 .5 .12 27 36 40 40 5 12 27 36 27 36 40. . 40 ... 5 12 8. 27 3. 40 8.27 40 3 8.9 40 40 72 72 40 112 x x x simplificando x x x x x x

(8)

06- Vinte homens fazem um certo trabalho em 6 dias, trabalhando 8 horas por dia. Para

fazer o mesmo trabalho, quantos dias levarão 12 homens, trabalhando 5 horas por dia?

Resolução:

Homens Dias Horas/dia

20 6 8

12 x 5

Dica: Comparamos as grandezas que não têm o x ,uma a uma, com aquela onde estiver o x.

Ou seja, comparando Homens e Dias, facilmente vemos que são grandezas inversamente

proporcionais, pois se existem mais homens para executar o serviço, eles levarão menos

dias para fazê-lo. (coloque setas em sentidos contrários).

Homens Dias Horas/dia

20 6 8

12 x 5

Agora, comparando Horas/dia e Dias, verificamos que se trabalhamos mais horas por dia, obviamente levaremos menos dias para cumprir uma tarefa. Assim as grandezas também são inversamente proporcionais e as setas serão colocadas em sentidos opostos.

Homens Dias Horas/dia

20 6 8

12 x 5

Por fim, faça o seguinte:

A razão das grandezas onde está o x (dias) é igual ao produto das razões das outras grandezas. Mas, lembre de inverter as razões onde as setas estão contrárias, para que fiquem todas com a mesma orientação, ficando assim as grandezas variando de forma diretamente proporcional:

Resolvendo a proporção acima, temos: 6 12 5

. 20 8 6 60

Dividindo a segunda fração por 20, simplificamo-la 160 6 3 8 3 6.8 3 48 48 3 16 x x x x x x x

Não importa qual seta ficará para baixo ou para cima, o importante é, nesse caso,

colocá-las em sentidos opostos!

6 12 5 . 20 8

x

(9)

07- Polícia Rodoviária Federal – Jan/2004

Empresa organizadora: UnB/CESPE

Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.

Estado em que ocorreu o acidente

Sexo masculino Sexo feminino

Maranhão 225 81

Paraíba 153 42

Paraná 532 142

Santa Catarina 188 42

A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil das vítimas e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas afirmações julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima.

I. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2.

II. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%.

III. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior a 0,5.

Resolução:

Análise da alternativa I:

Reescrevendo a tabela e nela inserindo as colunas dos totais por sexo e por estado:

Estado em que ocorreu o

acidente Sexo masculino Sexo feminino Total

Maranhão 225 81 306

Paraíba 153 42 195

Paraná 532 142 674

Santa Catarina 188 42 230

Total 1098 307 1405

** Importante saber que:

Número de Casos Favoráveis à ocorrência do evento Probabilidade de um evento =

Número Total de Casos

Abreviando...

P= NCF

(10)

Para esta alternativa, temos o seguinte evento: Evento = {Acidente ocorrido no estado do Maranhão}

306 P= 0, 2178 1405 NCF NTC Alternativa Verdadeira

Análise da alternativa II:

Para esta alternativa, temos o seguinte evento: Evento = {Vítima do sexo feminino}

307 P= 0, 2178 21, 78% 1405 NCF NTC Alternativa Falsa

Análise da alternativa III:

O fato de considerar que a vítima é do sexo masculino, restringe o conjunto Universo. Ou seja, ao invés de considerar o total de vítimas (1405), apenas trabalharemos com um total de 1098, correspondente ao número de homens.

É a probabilidade condicional.

Evento = {Acidente ocorrido no Paraná, dado que a vítima é do sexo masculino}

188 P= 0, 171 17, 1% 1098 NCF NTC Alternativa Falsa

(11)

08- (BACEN/94) a) b) c) d) e) Resolução:

Observemos qual a regularidade existente na seqüência de triângulos:

Observe que o 1º triângulo está apoiado pela base, o 2º pelo vértice, o 3º pela base (igual ao primeiro), logo o 4º deverá estar apoiado pelo vértice (como no 2º).

Se começa a ficar claro que existe uma correlação entre o 1º e o 3º triângulos, deve existir também uma correlação entre o 2º e o 4º triângulos.

De fato:

No 1º triângulo, a soma dos números dos lados menos o da base dá o número que está em seu interior;

Isso também acontece no 3º triângulo!

No 2º triângulo, a soma dos números dos lados mais o da base dá o número que está em seu interior;

Isso deve acontecer também no 4º triângulo procurado.

O leitor deve observar que tal fato só acontece no triângulo descrito na letra e).

3

2

4

5

6

2

12

4

8

6

5

7

2

13

7

4

1

0

5

6

3

6

7

15

0

4

5

9

2

13

6

5

?

(12)

09- BANCO CENTRAL / JAN/2006 (Fund. Carlos Chagas)

Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a

a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728

Resolução:

São 9 000 senhas possíveis. Quando falamos em diferença positiva queremos dizer módulo, ou seja, tanto faz

5 2

ou

2 5

, a diferença positiva entre 2 e 5 é sempre 3,

independente da ordem em que se faz a subtração.

Neste caso, é possível e muito rápido fazermos um esquema resolutivo:

Se o 1º dígito for 1, o último só poderá ser 4, pois a diferença positiva entre eles deve ser 3.

Assim, existem as seguintes possibilidades para cada um dos dígitos: 1º dígito: 01 possibilidade (o número 1)

2º dígito: 08 possibilidades (de 0 a 9 exceto o 1 e o 4, pois os algarismos devem ser distintos) 3º dígito: 07 possibilidades (de 0 a 9 exceto o 1, o 4 e o algarismo posto na 2ª casa)

4º dígito: 01 possibilidade (o número 4).

Pelo teorema do produto, o total de possibilidades pode ser dado pela multiplicação de todas as possibilidades.

P = 1 x 8 x 7 x 1 = 56

Se o 1º dígito for 2, o último só poderá ser 5, pois a diferença positiva entre eles deve ser 3.

Assim, existem as seguintes possibilidades para cada um dos dígitos: 1º dígito: 01 possibilidade (o número 2)

2º dígito: 08 possibilidades (de 0 a 9 exceto o 2 e o 5, pois os algarismos devem ser distintos) 3º dígito: 07 possibilidades (de 0 a 9 exceto o 2, o 5 e o algarismo posto na 2ª casa)

4º dígito: 01 possibilidade (o número 5).

Pelo teorema do produto, o total de possibilidades pode ser dado pela multiplicação de todas as possibilidades.

P = 1 x 8 x 7 x 1 = 56

1 4

(13)

Esquematicamente, analisemos as outras possibilidades:

P = 1 x 8 x 7 x 2 = 112

Nunca esqueça: a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo deve ser 3. Proseguindo... P = 1 x 8 x 7 x 2 = 112 P = 1 x 8 x 7 x 2 = 112 P = 1 x 8 x 7 x 2 = 112 0 ou 6 *** *** 3 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 2 possibilidades 1 ou 7 *** *** 4 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 2 possibilidades 2 ou 8 *** *** 5 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 2 possibilidades 3 ou 9 *** *** 6 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 2 possibilidades

(14)

P = 1 x 8 x 7 x 1 = 56

P = 1 x 8 x 7 x 1 = 56

P = 1 x 8 x 7 x 1 = 56

O total de possibilidades é dado pela soma de todas as possibilidades: 56 + 56 + 112 +112 + 112 + 112 + 56 + 56 + 56 = 728 4 *** *** 7 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 1 possibilidade 5 *** *** 8 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 1 possibilidade 6 *** *** 9 1 possibilidade 8 possibilidades 7 possibilidades 1 possibilidade

(15)

10 - TRF 5ª região/Téc. Jud. /Área adm. /Junho 2003 (Fund. Carlos Chagas) No almoxarifado de certa empresa havia dois tipos de canetas esferográficas: 224 com tinta azul e 160 com tinta vermelha. Um funcionário foi incumbido de empacotar todas essas canetas de modo que cada pacote contenha apenas canetas com tinta de uma mesma cor. Se todos os pacotes devem conter igual número de canetas, a menor quantidade de pacotes que ele poderá obter é:

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16

Resolução:

Calculemos o maior número que divide simultaneamente 224 e 160, mdc (224, 160).

5

224 2 x7 160 25x5

“O mdc entre dois ou mais números é dado pelo produto entre seus fatores primos comuns, tomados com os menores expoentes”.

O raciocínio aqui utilizado é o seguinte: Para se obter o menor número de pacotes é necessário que eles contenham o maior número possível de canetas.

Temos assim: 224 : 32 = 7

Ou seja, 224 canetas divididas em grupos de 32 unidades enchem 7 caixas. 160 : 32 = 5

Ou seja, 160 canetas divididas em grupos de 32 unidades enchem 5 caixas.

Então, o funcionário conseguirá encher 7 caixas com canetas de tinta azul e 5 caixas com canetas de tinta vermelha, num total de 12 caixas.

224 2 112 2 56 2 28 2 14 2 7 7 1 224 canetas com tinta azul 160 canetas com tinta vermelha 160 2 80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1 mdc (224, 160) = 25 = 32

(16)

11 - ESAF/AFTN/98

Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; C) o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados

b) somente o cozinheiro é inocente c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado

e) o cozinheiro e o mordomo são os culpados Resolução:

Temos a considerar as três premissas:

A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada

B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois C) o mordomo não é inocente.

A mais contundente das três é a premissa C. Começaremos por ela: O mordomo é culpado!

Na premissa B temos uma disjunção exclusiva (sempre que tivermos ou/ou), onde apenas uma afirmação pode ser verdadeira.

Assim, como o mordomo já é culpado (premissa C), por força da disjunção exclusiva a governanta não pode ser culpada também. Logo, a governanta é inocente.

Na premissa A ocorre o “ se – então” , a condicional simples, expressa por , cuja tabela-verdade é a que segue:

P q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Observe a premissa A: se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. Temos duas proposições, p e q:

p : o cozinheiro é inocente

q : a governanta é culpada. Assim, temos p q.

Como a premissa (afirmação) foi dada como verdadeira e a proposição q é falsa, pois a governanta já foi considerada inocente, a linha da tabela é:

P q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Conclui-se que a proposição p é falsa. Assim o cozinheiro não é inocente, é culpado! Observe que uma implicação simples p q só é falsa quando p é verdadeira e q é falsa. Temos então:

(17)

12. (TRF – 1ª Região/2006 – FCC) Técnico Judiciário – Segurança e Transporte Operando ininterruptamente, uma máquina é capaz de tirar x cópias de um texto em 6 horas, enquanto que, nas mesmas condições, outra copiadora executaria o mesmo serviço em 4 horas. Se essas duas máquinas operassem juntas, que fração das x cópias elas tirariam após 2 horas de funcionamento ininterrupto?

a)

5

6

b)

2

3

c)

7

12

d)

1

12

e)

5

12

Resolução:

Esse tipo de problema, muito comum, é resolvido analisando-se o que acontece em 1 hora:

Em 1 hora, a primeira máquina tira apenas

1

6

das x cópias, enquanto a outra

máquina, também em um 1 hora, tira apenas

1

4

das mesmas x cópias.

Logo, em 1 hora, as duas, juntas, tirariam

1

1

6

4

das x cópias:

1

1

2 3

5

6

4

12

12

Como o problema requer que se ache a fração das x cópias tiradas em 2 horas basta multiplicar a fração acima (fração de cópias tiradas em apenas 1 hora) por 2:

.

5

10 5

2

(18)

13. (TRF – 1ª Região/2006 – FCC) Técnico Judiciário – Segurança e Transporte Certo dia, um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de

páginas de um texto. Ele executou essa tarefa em 45 minutos, adotando o seguinte procedimento:

- nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página;

- nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página;

- nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página.

Se, dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número compreendido entre:

a) 17 e 20 b) 14 e 17 c) 11 e 14 d) 8 e 11 e) 5 e 8 Resolução:

Seja

x

o total de páginas a serem digitadas.

 Nos primeiros 15 minutos, digitou-se

x

1

2 2

que é igual a

x 1

2

páginas.

Calculemos quantas páginas ainda falta digitar, diminuindo de

x

as

x 1

2

páginas

já digitadas nos primeiros 15 minutos:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

Ainda faltam

x 1

2

páginas a digitar.

(19)

 Nos 15 minutos intermediários, digitou-se a metade de

x 1

2

páginas mais

1

2

página, ou seja

x 1

1

2

2

2

, que resolvendo temos:

.

x

x

x

x

x

x

1

1

2

2

2

1 1 1

2

2 2

1 1

4

2

1 2

4

4

1 2

4

1

4

 Façamos um balanço de quantas páginas já foram digitadas até agora!

Nos 15 minutos iniciais foram digitadas

x 1

2

páginas e nos 15 minutos

intermediários digitou-se

x 1

4

páginas.

Até agora, então, digitou-se um total de

x 1

2

+

x 1

4

páginas, que somando

obtemos:

x

x

x

x

x

x

x

1

1

2

4

2

1

1

4

2

2

1

4

3

3

4

x 1

4

páginas foram digitadas nesses 15 minutos intermediários.

x

3

3

(20)

Calculemos quantas páginas ainda falta digitar nos últimos 15 minutos, diminuindo de

x

as

3

x

3

4

páginas já digitadas nesta primeira meia hora:

x

x

x

x

x

x

x

3

3

4

4

3

3

4

4

3

3

4

3

4

 Nos 15 minutos finais, digitou-se a metade de

x

3

4

páginas mais

1

2

página, ou seja

x

3

1

4

2

2

, que resolvendo temos:

.

x

x

x

x

x

3

1

4

2

2

3 1 1

4

2 2

3 1

8

2

3 4

8

1

8

Por fim, somemos as quantidades digitadas em cada um dos 15 minutos de digitação e igualemos ao total,

x

, de páginas:

x

x

x

x

1

1

1

2

4

8

Resolvendo... Ainda faltam

x

3

4

páginas a digitar.

x 1

8

páginas foram digitadas nestes 15 minutos finais!

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

1

1

1

2

4

8

4

1 2

1

1

8

4

4 2

2

1 8

7

7 8

7

8

7

7

7

(21)

14. MPU – Técnico – FCC Fev/2007

No refeitório de uma empresa, num dado momento, o número de mulheres correspondia a 45% do de homens. Logo depois, 20 homens e 3 mulheres retiraram-se do refeitório e, concomitantemente, lá adentraram 5 homens e 10 mulheres, ficando, então, o número de mulheres igual ao de homens. Nessas condições, o total de pessoas que havia inicialmente nesse refeitório é:

a) 46 b) 48 c) 52 d) 58 e) 60 Resolução:

Sejam h e m o número de homens e de mulheres, respectivamente.

O número de mulheres correspondia a 45% do de homens, logo: 45 . 100

m h

Então, inicialmente, na sala existem

hom 45 . 100

h ens

m h mulheres

Se 20 homens saíram e 5 entraram, então ao final, há 15 homens a menos no refeitório e o número de homens agora é: h 15.

Se 3 mulheres saíram e 10 entraram, então ao final, há 7 mulheres a mais no refeitório e o número de mulheres agora é: m 7.

Se o número de mulheres ficou igual ao de homens, temos:

15 7 45 . , ... 100 45 15 . 7 100 45 . 7 15 100 100 45 22 100 55 22 100 55. 22. 100 22. 100 2. 100 40 55 5 h m Como m h substituindo h h h h h h h h h

Como o número de mulheres é 45% do número de homens, temos:

Assim, o total de pessoas que havia inicialmente nesse refeitório é 40 + 18 = 58. 45 . 100 45 .40 1800 18 100 100 m h m

(22)

15. (TRF – 1ª Região/2006 – FCC) Técnico Judiciário – Segurança e Transporte Algum X é Y. Todo X é Z. Logo,

a) algum X é Y. b) todo Z é Y. c) todo Z é X. d) algum X é Z. e) algum Z é Y. Resolução:

Com as premissas (afirmações verdadeiras) do enunciado, construiremos um diagrama para representar a questão:

A analisarmos a afirmação de que “Todo X é Z” , concluímos que o conjunto X deve estar inteiramente contido em Z.

Já de “Algum X é Y”, concluímos que para o conjunto Y conter algum X, ele deve conter uma parte de Z já que o X está em seu interior . Daí afirma-se que “algum Z é Y”.

X

Y Z

(23)

16. MPU – Técnico – FCC Fev/2007

Dois funcionários do Ministério Público receberam a incumbência de examinar um lote de documentos. Dividiram os documentos entre si em partes que eram, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades e diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Ministério Público. Sabe-se que: ao funcionário que tem 27 anos de idade e presta serviço ao Ministério há 5 anos coube 40 documentos; o outro tem 36 anos de idade e presta serviço ao Ministério há 12 anos.

Nessas condições, o total de documentos do lote era:

a) 112 b) 120 c) 124 d) 132 e) 136

Resolução:

Seja x o número total de documentos. Vamos identificar os dois servidores: Servidor A: 27 anos de idade , 5 anos de serviço e recebeu 40 documentos; Servidor B: 36 anos de idade , 12 anos de serviço e recebeu x – 40 documentos.

Temos para o funcionário A a expressão: 40 1 .5 27 Justificativa:

Se o número de documentos (40) é diretamente proporcional ao tempo de serviço,

temos 5 A

, mas também é inversamente proporcional à idade, então é

diretamente proporcional ao inverso da idade (definição de grandezas inversamente proporcionais), logo:

1 27

A

.

Ao mesmo tempo, temos 40 1

.5 27

.

Temos para o funcionário B a expressão: 40 1

.12 36

(24)

A proporção fica: 40 40 1 .5 1 .12 27 36 x . Resolvendo... 40 40 1 1 .5 .12 27 36 40 40 5 12 27 36 27 36 40. . 40 ... 5 12 8. 27 3. 40 8.27 40 3 8.9 40 40 72 72 40 112 x x x simplificando x x x x x x

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