Terceirão FTD

(1)

Matemática

Módulo 4

M19 Geometria Analítica: Pontos e Retas 3 - 12

M20 Geometria Analítica: Circunferência 13 - 18

M21 Geometria Analítica: Cônicas 19 - 22

M22 Números Complexos 23 - 26

M23 Polinômios 27 - 30

(2)

M

19 Geometria Analítica: Pontos e Retas

Matemática

3 TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIR

ÃO

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

M

19 TERCEIR

ÃO FTD

Geometria Analítica:

Pontos e Retas

Caderno de

Atividades

1 (Unesp-SP) O triângulo PQR, no plano cartesiano, de

vértices P(0, 0), Q(6, 0) e R(3, 5), é:

a) eqüilátero.

b) isósceles, mas não eqüilátero.

c) escaleno.

d) retângulo.

e) obtusângulo.

Pelo enunciado, temos:

P(0, 0) Q(6, 0) R(3, 5) y

x M

Portanto, o triângulo PRQ é isósceles e não eqüilátero. No #PMR (retângulo em M), temos: (PR)2_{= (PM)}2_{0 (MR)}2_{→ (PR)}2_{= 3}2_{0 5}2 → PR = 34 No #RMQ (retângulo em M), temos: (QR)2_{= (MQ)}2_{0 (MR)}2_{→ (QR)}2_{= 3}2_{0 5}2 → QR = 34 Então: PQ = 6 PR=QR= 34 123 _{PR = QR ϑ PQ} M T9 = 9 = =N 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 2 1 1 1                             y x D C A B D C A B y x y x A B D C y x D C A B C D B A x y

a)

d)

b)

e)

c)

Sendo as linhas da matriz N as co-ordenadas de A, B, C e D, respecti-vamente, temos: A(0, 1), B(1, 0), C(2, 1) e D(1, 1), que correspondem à figura: y x 0 1 A 1B 2 D C X X D C A B y x

2 (ESPM-SP) A figura mostra um quadrado ABCD

re-presentado no plano cartesiano. As linhas da matriz M são

as coordenadas dos vértices do quadrado.

Multiplicando-se a matriz M pela matriz de transformação T dada,

ob-tém-se uma matriz N. Assinale a alternativa que mostra a

figura representada pela matriz N.

M

=

T

=

0 0

1 0

1 1

0 1

1 0

1 1





















001_006_CAD_Mat_4.p65 3 16.10.06, 11:04

(3)

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19 Matemática

4

y A(1, 2) B(−1, 2) D(−1, −2) E(1, −2) x O 2 1 −1 H

5 (Unifesp-SP) A figura representa, em um sistema

or-togonal de coordenadas, duas retas, r e s, simétricas em

relação ao eixo Oy, uma circunferência com centro na

origem do sistema, e os pontos A(1, 2), B, C, D, E e F,

correspondentes às intersecções das retas e do eixo Ox

com a circunferência.

y A(1, 2) r s B C F D E x O

Nessas condições, determine:

a) as coordenadas dos vértices B, C, D, E e F e a área do

hexágono ABCDEF;

b) o valor do cosseno do ângulo AOB.

4 (Fatec-SP) Seja r a reta que passa pelos pontos (3, 2) e

(5, 1). A reta s é a simétrica de r em relação à reta de

equa-ção y

_{= 3. A equação de s é:}

a) x

_{0 2y − 7 = 0}

d) x

_{− 2y − 11 = 0}

b) x

0 2y − 5 = 0

e) 2x

− y 0 5 = 0

c) x

− 2y 0 5 = 0

A equação da reta s é:

A reta s, simétrica de r em relação à reta de equação y = 3, passa pelos pontos (3, 4) e (5, 5), conforme a figura:

y x y = 3 (3, 2) (3, 4) (5, 1) (5, 5) s r X x y x 1 5 5 1 3 4 1 0 5 0 = → −2y0 =

3 (PUC-RJ) Os pontos (

−1, 6), (0, 0) e (3, 1) são três

vértices consecutivos de um paralelogramo. Assinale a

opção que apresenta o ponto correspondente ao quarto

vértice:

a) (2, 7)

c) (1,

₋₆₎

e) (6, 3)

b) (4,

₋₅₎

d) (

_{−4, 5)}

Sabendo que A(−1, 6), B(0, 0), C(3, 1) e D(xD, yD) são os vértices

conse-cutivos do paralelogramo, que M é o ponto médio de suas diagonais e que as diagonais de um paralelogramo se cruzam no seu ponto médio, temos M:

• ponto médio de AC :

Portanto, o vértice D tem coordenadas (2, 7). • ponto médio de BD : xM= − 0 = 1 3 2 1 yM= 0 = 6 1 2 7 2 1 44 2 44 3 x x x M D D = 00 = = 2 1→ 2 y y y M D D = 00 = = 2 7 2 → 7 1 44 2 44 3 C − 5 0

(

,

)

F

(

5 0,

)

X

a) O ponto B é simétrico de A em relação ao eixo Oy.

Os pontos D e E são, respectivamente, simétricos de A e B em relação à origem.

Os pontos C e F pertencem à circunferência e ao eixo Ox. O raio R = OA , da circunferência, é tal que:

R=OA= (1−0)2 0(2−0)2 = 5 =OF

Dessa forma, os pontos B, C, D, E e F têm coordenadas, respectiva-mente, iguais a (−1, 2), − 5 , 0 ,

(

)

(−1, −2), (1, −2) e

(

5 , 0 .

)

Os triângulos OFA, OBC, OCD e OEF têm áreas iguais a: S OF AH 1 ₂ 5 2 2 5 = 9 = 9 =

Os triângulos OAB e ODE têm áreas iguais a: S AB AH 2 ₂ 2 2 2 2 = 9 = 9 =

Então, a área do hexágono ABCDEF é:

S=4S102S2= 94 5 0 9 =2 2 4

(

5 01

)

u.a.

22 ₌

( ) ( )

5 2₀ 5 2 ₋2

( ) ( )

5 ₉ 5 _{cos (}_{A B}_O ₎ b) No #AOB:

AB2_{= OA}2_{0 OB}2_{− 2OA 9 OB 9 cos (AOB)}

10 cos (AOB) = 6 → cos (AOB) = 0,6

(4)

M

19 Geometria Analítica: Pontos e Retas

Matemática

5

7 (UFMG) Os pontos A(2, 6) e B(3, 7) são vértices do

triângulo ABC, retângulo em A. O vértice C está sobre o

eixo Ox. A abscissa do ponto C é:

a) 8,5

b) 9

c) 9,5

d) 8

y 7 6 2 3 C(c, 0) x A B

Como o triângulo ABC é retângulo em A, temos: MAC 9 MAB = −1 − − 9 = − = 6 2 1 1 1 8 C C        → X

8 (MACK-SP)

Desempregados (mil) t (meses) 2 1 A B C D 2 4 0

O gráfico acima mostra a evolução da quantidade de

pes-soas desempregadas (em mil), a partir de determinado

momento, em certa região. Se i // a, o número de

pessoas desempregadas, 5 meses após o início das

obser-vações, é:

a) 4 000

c) 3 500

e) 2 000

b) 3 000

d) 2 500

d t 2 1 A B C D 2 4 5 0

O coeficiente angular da reta q é m_AB = − − = 2 1 2 0 1 2. O coeficiente angular da reta & // q também é 1

2 e & passa por C(4, 2).

A equação da reta &, sendo t a abscissa e d a ordenada, é:

d t t d

t − =2 1 − − = − = =

2(t 4)→2d 4 4→2d → 2

Portanto, o número de desempregados, após 5 meses do início da observação, é 2 500. Para t = 5: d= = 5 2 2,5 (em mil) X

6 (UFV-MG) A figura abaixo ilustra um quadrado de

lado 8 com vértices situados sobre os eixos coordenados.

y

x A

B

a) Se a e b são as coordenadas

do ponto B, ou seja, B(a, b),

determine a soma a

_{0 b.}

b) Determine a equação da

reta que passa pelos pontos

A e B.

Seja r a reta suporte do lado do quadrado que passa por A, B e C :

A B r O C a) O ponto B(a, b) _{7 r: x y}0 = 4 2 . Logo, a 0 =b 4 2 .

b) A equação da reta que passa por _{A e B é a equação de r: x 0 =}y 4 2 . Como o quadrado tem lado 8, 8 e Q representam metade da diagonal do quadrado, ou seja, OA OC= = 4 2, portanto A

(

0 4 2,

) (

e C4 2 0,

)

.

A

x y

x y equação da reta será:

0 r 1 0 4 2 1 4 2 0 1 0 4 2 4 2 32 = → 0 − = _{→ x y}0 −4 2 =0 001_006_CAD_Mat_4.p65 5 16.10.06, 11:05

(5)

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19 Matemática

6

11 (UFRJ) Um avião taxia (prepara-se para decolar) a

partir de um ponto que a torre de controle do aeroporto

considera a origem do eixos coordenados, com escala em

quilômetros. Ele segue em linha reta até o ponto (3,

_−1),

onde realiza uma curva de 90

_{) no sentido anti-horário,}

seguindo, a partir daí, em linha reta. Após algum tempo,

o piloto acusa defeito no avião, relatando a necessidade de

abortar a decolagem. Se, após a mudança de direção, o

avião anda 1 (um) quilômetro até parar, para que ponto

do plano a torre deve encaminhar a equipe de resgate?

y x r s A 3 −1 O x y x x m_r 1 3 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 3 − = →− −3y= →y= − _ = − _ Equação da reta r que passa por O(0, 0) e A(3, −1):

Equação da reta s que passa por A(3, −1) e é perpendicular a r , sendo m_s= 3:

y 0 1 = 3(x − 3) → y = 3x − 10

O avião deve passar por um ponto P(x, y) tal que P 7 s e PA = 1.

Substituindo em : (x − 3)2_{0 (3x − 10 0 1)}2_{= 1} 10x2_{− 60x 0 89 = 0} ∆ = 40 x= Σ ₌ Σ 60 40 20 60 2 10 20 xδ = 0 30 10 10 xφ = − 30 10 10 Para x , em temos: y = 0 = 0 − 30 10 10 3 30 10 10 10    y= − 3 10 10 10 E P ou o ponto procurado é: 30 10 10 3 10 10 10 0 − ,    3 10 10 3 10 10 1 0 _, ₋     (não convém)

3x

− 2y − 5 = 0

mx

_{− y 0 2 = 0}

123 x

− y − 1 = 0

4x

− y − 10 = 0

2x

0 y − 8 = 0

1

4

2

4

3 b) Discuta, em função do parâmetro m, a posição relativa

das retas de equações

concorrem num mesmo ponto e obtenha esse ponto.

9 (FGV-SP)

a) No plano cartesiano, mostre que as retas de equações

a) Vamos tomar inicialmente duas das retas e fazer sua intersecção:

123 x − y − 1 = 0 4x − y − 10 = 0 → 123 x − y = 1 −4x 0 y = −10 −3x = −9 x = 3 e y = 2

As retas x − y − 1 = 0 e 4x − y − 10 = 0 concorrem no ponto (3, 2). Esse ponto também pertence à reta 2x 0 y − 8 = 0,

pois 2 9 3 0 2 − 8 = 0.

Portanto, as três retas concorrem no ponto (3, 2). b) Calculando os coeficientes angulares das retas:

r1 y x mr 3 2 5 2 3 2 1 : 3x−2y− =5 0→ = − → = r2: mx− 0 =y 2 0→y=mx02→mr2 =m Se m= 3

2, as retas são paralelas. Se mϑ oncorrentes

3

2,as retas são c .

10 (FGV-SP) No plano cartesiano, o ponto da reta r:

3x

_{− 4y = 5 mais próximo da origem tem coordenadas}

cuja soma vale:

a)

−

2

5 b)

−

1

5 c) 0

d)

1

5 e)

2

5

y x O s P r

Como m a r= ms= − equação da reta é:

3 4

4 3

→ , s

Seja s a reta que passa pela origem e é perpendicular à reta r .

Portanto, o ponto de r mais próximo da origem é P 3 5 4 5 ,− ,    cuja soma das coordenadas é − 1 5.

O ponto da reta r mais próximo da origem é o ponto de intersecção entre as retas r e s, obtido pela solução do sistema:

3x − 4y = 5 y= − x 4 3 → x= e y= − 3 5 4 5 1 4 2 4 3 X y− = −0 − y= − 4 3 4 3 (x 0)→ x PA= (x−3)20(y01)2 =₁→(x−3)2 0(y01)2 =₁ 001_006_CAD_Mat_4.p65 6 16.10.06, 11:05

(6)

M

19 Geometria Analítica: Pontos e Retas

Matemática

7

14 (Fuvest-SP) Sejam A(0, 0), B(8, 0) e C(

_{−1, 3) os}

vértices de um triângulo e D(u, v) um ponto do

segmen-to p. Sejam E o ponsegmen-to de intersecção de i com a reta

que passa por D e é paralela ao eixo y e F o ponto de

intersecção de o com a reta que passa por D e é

parale-la ao eixo x.

a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero

AEDF.

b) Determine o valor de u para o qual a área do

quadrilá-tero AEDF é máxima.

Pelo enunciado, temos a figura abaixo, em que 0 , u , 8. y x A(0, 0) C(−1, 3) D(u, v) E(u, 0) F(t, v) B(8, 0)

a) Calculando as medidas de AEDF, em função de u:

Retat: 3y x y x y x 1 1 3 1 8 0 1 0 8 0 8 3 − = → 0 − = → = − v u e D u u = 8− − 3 8 3 ,    Como D(u, v) pertence à reta t:

Retaw: 3x 3x ou x x y y y y 1 1 3 1 0 0 1 0 0 1 3 − = → 0 = → = − = − t v u u = −1 = − − = − 3 1 3 8 3 8 9     Como F(t, v) pertence à reta w:

e F u−8 −u 9 8 3 ,    b) Como S( )u = − u 0 u0 , 17 54 128 54 64 54

2 _{então o valor de u para o qual}

a área é máxima é o valor da abscissa do vértice da parábola represen-tada pela função acima.

No trapézio AEDF, temos: AE u ED v

u = ; = = 8−

3

DF_sas)= 0u t = − (pois t , 0 e está no semi-eixo negativo das abscis-u t

Área do trapézio: S (DF AE) ED 8u = 0 9 = 0 ₀ ₉ − 2 8 9 8 3 2 u u      S

(17u 8) (8 u) 17u2 128u = 0 9 − = − 0 0 54 64 54 u b a v= − = − − = − 9 − = 2 128 54 2 17 54 54 34 64 17         128 54 DF u u u = − −8 = 0 9 8 8 9

12 (UEL-PR) No gráfico abaixo, cada divisão dos eixos

corresponde a uma unidade. A equação da reta que passa

por P e é perpendicular à reta r dada é:

a)

y

= −

x

0

4

3

38

3 b)

y

=

x

0

3

4

1

2 c)

y

= −

x

0

4

3

39

3 d)

y

=

x

0

3

4

9

4 e)

y

=

x

0

9

4

38

3

Sendo s a reta que passa por P(5, 6) e é perpendicular à reta r, então ms=

3

4. A equação de s é:

A reta r corta os eixos coordenados em (3, 0) e (0, 4), sendo sua equação:

y P r 0 = 1 unidade x x y ou y x 1 3 0 1 0 4 1 0 12 0 4 3 = → 4x03y− = = − 04, cujo coeficiente angular é mr= − 4 3. y− =6 − y= x0 3 4 3 4 9 4 (x 5)→

a) A reta que passa pelos pontos M(8, 6) e P(−8, −2) tem equação:

Logo, a altura do #MNP, relativa ao lado MP , é a distância do ponto N(−4, 10) à reta MP .

Logo, a mediana do #MNP, relativa ao vértice M, é a distância entre os pontos M e Q.

b) Seja Q o ponto médio do segmento NP ._1442443

13 (IBMEC) Considerando o triângulo MNP, sendo

M(8, 6), N(

_{−4, 10) e P(−8, −2), determine:}

a) o valor da altura relativa ao lado

MP

;

b) o tamanho da mediana relativa ao vértice M.

x y x 1 8 6 1 8 2 1 0 4 0 − − = → −2y0 = d N MP, = ₍ ₎ − − 9 0 0 − = = 4 2 10 4 1 2 20 5 4 5 2 2 xQ= − 0 − = − 4 2 6 ( 8) yQ= 0 − = 10 2 4 ( 2) dMQ = (8− −( 6)) 0(6−4) = 0 = 2 2 ₁₉₆ ₄ _{10 2} X 007_012_CAD_Mat_4.p65 7 16.10.06, 11:07

(7)

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19 Matemática

8

15 (MACK-SP) A melhor representação gráfica dos

pon-tos (x, y) do plano, tais que (x

− y) 9 (x 0 y) , 0, é a parte

colorida da alternativa:

y x y x y x

a)

b)

c)

y x y x

d)

e)

X x − y . 0 e x 0 y , 0 ou x − y , 0 e x 0 y . 0 (x − y) 9 (x 0 y) , 0 Θ 14243

As soluções do sistema são representadas por: y

x 0 y = 0

x 0

x − y = 0

Então, as soluções da inequação dada são representadas por: As soluções do sistema são representadas por:

y x − y = 0 x 0 x 0 y = 0 x 0 y = 0 x − y = 0 y x 0

16 (FGV-SP)

a) Represente os pontos do plano cartesiano que

satisfa-zem simultaneamente as relações x

_{− y > 0 e x 0 y < 0.}

b) Uma empresa fabrica uma peça de precisão em dois

modelos, A e B. O custo de produção de uma unidade

de A é R$ 200,00 e o de B é R$ 150,00. Por restrições de

orçamento, a empresa pode gastar por mês no máximo

R$ 45 000,00. A mão-de-obra disponível permite

fabri-car por mês no máximo 250 peças. Seja x a quantidade

produzida por mês de A e y a de B.

Represente graficamente os possíveis valores de x e y.

(Admita, para simplificar, que x e y assumam valores

reais não negativos.)

x − y > 0 x − y = 0 45) y x _{x 0} y <₀ x 0 y = 0 45) y x

A região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relações x − y > 0 e x 0 y < 0 é dada por:

x 0 y = 0 x − y = 0 45) 45)

y

x

b) A partir do enunciado, com x > 0 e y > 0, temos:

x 0 y < 250 4x 0 3y < 900 x 0 y < 250 total de peças 200x 0 150y < 45 000 custo 123 123 → Então: y 250 250 x x 0 y = 250 x 0_y <₂₅₀ y 300 225 4x 0 3y = 900 4x 0_3y <₉₀₀ x y x 250 250 300 225 (150, 100)

A região do plano cartesiano que satisfaz simultaneamente as relações x 0 y < 250, 4x 0 3y < 900, x > 0 e y > 0 é dada por:

a)

(8)

M

19 Geometria Analítica: Pontos e Retas

Matemática

9

17 (PUC-RJ) Qual a área do triângulo delimitado pelos

pontos (0, 0), (2, 2) e (1, 3)?

S= 1 = − = 2 0 0 1 2 2 1 1 3 1 1 2 6 2 2 u.a. X

Para que as retas_AB

uur

_{e BP}

uur

sejam perpendiculares, devemos ter: mAB . mBP = −1 1 0 0 2 1 0 1 1 − − 9 −− = − = 0         → n m n 2m

Para que o triângulo de vértices A, B e P tenha área igual a 10, devemos ter:

S m n m m #= = − − = 0 = − 2 0 1 0 1 1 1 2 10→2 2n 20→ 2n 18 De e , vem: n = 2m 0 1 m 0 2n = −18 123 → m = −4 n = −7 123 → P(−4, −7)

18 (UFU-MG) Considere, no plano cartesiano com

ori-gem O, um triângulo cujos vértices A, B e C têm

coorde-nadas (

_{−1, 0), (0, 4) e (2, 0), respectivamente. Se M e N}

são os pontos médios de i e p, respectivamente, a área

do triângulo OMN será igual a:

a)

5

3 u.a.

b)

8

5 u.a.

c) 1 u.a.

d)

3

2 u.a.

X

Se M é ponto médio de i, temos: xM= − 0 = − 1 0 2 1 2 yM= 0 ₌ 0 4 2 2 1 44 2 44 3

A área do #OMN é dada por: Se N é ponto médio de p, temos:

xN = 0 ₌ 0 2 2 1 yN = 0 ₌ 4 0 2 2 Área= − = = 1 2 0 0 1 1 2 1 1 2 2 1 1 2 3 3 2u.a.

19 (PUC-RS) A representação que segue é das funções

f, g, definidas por f(x)

= x

2

_{e g(x)}

= x 0 2. A área do

triân-gulo cujos vértices são os pontos de intersecção das duas

curvas e o ponto (0, 0) é:

a) 1

b) 3

c) 4

d) 6

e) 8

y x 0 −2 2 4 6 8 10 −2 2 4 6 8 10 −4 −6 −8 −10 −4 −6 −8 −10

Logo, a área do triângulo com vértices nos pontos (−1, 1), (2, 4) e (0, 0) é: Os pontos de intersecção das curvas f(x) = x2_{e g(x)}_{= x 0 2 são obtidos}

por meio da resolução do sistema: y = x2 y = x 0 2 123 → y = x2 x2_{= x 0 2} 123 _{x = −1 e y = 1} ou x = 2 e y = 4 14243 → S= S − = = 0 0 1 1 1 1 2 4 1 2 6 2 → 3

20 (UFPB) Considere os pontos A(2, 0) e B(0, 1).

De-termine o ponto P(m, n), com m e n negativos, de modo

que as retas

r

e

BP

uur

sejam perpendiculares e o triângulo

de vértices A, B e P tenha área igual a 10.

(9)

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19 Matemática

10

22 (MACK-SP) Na figura, temos os esboços dos

gráfi-cos de y

_{= 7x 0 1 e y = ax}

3

_{. Se i é paralelo ao eixo}

horizontal, então a área do triângulo ABC é:

a)

1

4 d)

5

3 b)

7

4 e)

1

2 c)

3

8

y x 8 A B C X

Como A e C são pontos da reta w de equação y = 7x 0 1, então A(0, 1) e C(1, 8). y x 8 A(0, 1) b B(b, 1) C(1, 8) r ι

A área do triângulo cujos vértices são os pontos A(0, 1), B 1 2,1    e C(1, 8) é:

O ponto C pertence à curva de equação y = ax3_{, portanto}

8 = a 9 13_{→ a = 8.}

Os pontos A e B têm ordenadas iguais a 1, e B(b, 1) pertence à curva de equação y = ax3_: 1 1 8 1 2 3 3 = 9a b → = 9b →b= S_#= 1 = 9 0 − − = 2 0 1 1 1 2 1 1 1 8 1 1 2 1 4 1 1 2 7 4

21 (Fuvest-SP) Duas retas s e t do plano cartesiano se

interceptam no ponto (2, 2). O produto de seus coeficientes

angulares é 1 e a reta s intercepta o eixo y no ponto

(0, 3). A área do triângulo delimitado pelo eixo x e pelas

retas s e t é:

a) 2

X

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

A reta s, que passa pelos pontos (2, 2) e (0, 3), tem equação:

x y y x 1 2 2 1 0 3 1 0 1 2 3 = →2x0 −6 3x−2y=0→x02y− =6 0 ou = − 0

Essa reta s tem coeficiente angular ms= −

1

2 e intercepta o eixo das abscissas no ponto A(6, 0).

Sendo m_t9m_s= m_t = − = − 1 1 1 2 2 →

E a reta t que passa por (2, 2) e tem coeficiente angular −2 tem equação: y − 2 = −2(x − 2) → 2x 0 y = 6.

Essa reta t intercepta o eixo das abscissas no ponto (3, 0).

O triângulo APB pedido tem área:

Temos, então, o seguinte esboço da situação: y x H 2 (0, 3) Q s t P(2, 2) B(3, 0) A(6, 0) S BA PH APB # = ₂9 = 9 = 3 2 2 3 007_012_CAD_Mat_4.p65 10 16.10.06, 11:08

(10)

M

19 Geometria Analítica: Pontos e Retas

Matemática

11

24 (Unesp-SP) Sejam A(2, 0) e B(5, 0) pontos do

plano e r a reta de equação

y

x

=

2 .

a) Represente geometricamente os pontos A e B e esboce

o gráfico da reta r.

b) Se

C x

x

,

2 







com x

. 0, é um ponto da reta r, tal

que o triângulo ABC tem área 6, determine o ponto C.

a) A reta r, de equação y

x =

2, passa, por exemplo, pelos pontos (0, 0) e (2, 1); então a representação gráfica pedida é:

y

x 1

r

A(2, 0) B(5, 0)

O ponto C tem coordenadas: C(8, 4). b) Se C x, x ,

2 

  com x . 0, é um ponto da reta r, tal que o triângulo ABC tem área 6, então:

y x A(2, 0) 3 x B(5, 0) A x x ABC # = 9 = = 3 2 2 6→ 8 C x, x 2    x 2

23 (ITA-SP) Num sistema de coordenadas cartesianas,

duas retas r e s, com coeficientes angulares 2

e

1

2 ,

res-pectivamente, se interceptam na origem O. Se B

7 r e

C

7 s são dois pontos no primeiro quadrante tais que o

segmento p é perpendicular a r e a área do triângulo

OBC é igual a 12

9 10

−1

_{, então a distância de B ao eixo}

das ordenadas vale:

a)

8

5 b)

4

5 c)

2

5 d)

1

5 e) 1

X

De acordo com o enunciado, pode-se concluir que uma equação da reta r é y = 2x e uma equação da reta s é

y= 1

2x. Como B 7 r, se designarmos d (d . 0) a distância de B ao eixo das ordenadas, então o ponto B terá coordenadas d e 2d, ou seja, B(d, 2d). y x B(d, 2d) r s O(0, 0) y = 2x

Como C 7 s, se designarmos a (a . 0) a abscissa de C, então a sua orde-nada será a ou seja C a a

2, , , 2 .    A reta t tem coeficiente angular

− 1 2   , pois é perpendicular a r. Assim a a d a a d a e a : 2 1 2 2 2 4 − − = − − = − 0 = = 2d 4d 5d 5d → →

O triângulo OBC tem área igual a 12 10 12 10 6 5 1 9 − = = Assim d : 1 2 0 0 1 1 2 4 1 6 5 1 2 4 6 5 2d 5d 5d 5d 5d 2 2 = → − = − = = = = . 15d 15d (pois d 0) 2 2 4 12 5 4 12 5 16 25 4 5 2 → →d →d C a, a 2    y= x 1 2 . 007_012_CAD_Mat_4.p65 11 16.10.06, 11:09

(11)

Geometria Analítica: Pontos e Retas

M

19 Matemática

12

25 (Unifesp-SP) Se P é o ponto de intersecção das retas

de equações x

− y − 2 = 0 e

1

2 x

0 =

y

3 , a área do

triângulo de vértices A(0, 3), B(2, 0) e P é:

a)

1

3 b)

5

3 c)

8

3 d)

10

3 e)

20

3

26 (Unifesp-SP) Considere a região colorida na

figura, delimitada pelo eixo Ox e pelas retas de equações

y

= 2x e x = k, k . 0.

X

As coordenadas do ponto P podem ser obtidas resolvendo-se o sistema: x − y − 2 = 0 1 2x0 − =y 3 0 –––––––––––––– 3 2x− = → 5 0 x 10 3 e y 4 3 P 10 3 , 4 3 = = _{→ } _ Sendo A(0, 3) = 0, 9 3    , B(2, 0) = 6 3, 0     e P 10 3 , 4 3   , temos a figura:

Nessas condições, expresse, em função de k:

a) a área A(k) da região colorida;

b) o perímetro do triângulo que delimita a região colorida.

y A(k) y ⫽ 2x x k O

Do enunciado, temos a figura:

C B O y 2k A(k) y ⫽ 2x x k a) A(k) = OB BC 2 9 A(k) k 2k 2 9 _{→ A(k) = k}2

b) No triângulo retângulo OBC, temos: (OC)2_{= (OB)}2_{0 (BC)}2

(OC)2_{= k}2_{0 (2k)}2_{→ OC = k 5}

Logo, o perímetro P pedido é:

P=OC 0OB_{0 BC → P = k 5 0 k 0 2k → P = k(3 0 5 )} S₁: área do retângulo ACDO

S₂: área do triângulo AOB S3 : área do triângulo ACP

S₄: área do triângulo PDB

A área S pedida é tal que: S = S1− (S20 S30 S4) S 10 3 9 3 1 2 9 3 6 3 1 2 10 3 5 3 1 2 4 3 4 3 S 10 3 = 9 −_ 9 9 0 9 9 0 9 9 _→ = 6 3 6 3 4 3 4 3 4 3 5 3 9 3 9 3 10 3 10 3 y x D B P C A O 14243 䊝 007_012_CAD_Mat_4.p65 12 16.10.06, 11:10

(12)

M

20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática

13 TERCEIRÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

M

20 TERCEIRÃO FTD

Geometria Analítica:

Circunferência

Caderno de

Atividades

4 (Unesp-SP) Considere a circunferência

ι, de equação

(x

− 3)

2

0 y

2

= 5.

a) Determine o ponto P(x, y) pertencente a

ι, tal que

y

= 2 e x . 3.

b) Se r é a reta que passa pelo centro (3, 0) de

ι e por P, dê

a equação e o coeficiente angular de r.

O coeficiente angular de r é m_r = 2. a) Se P 7 ι e y = 2, temos:

(x − 3)2_{0 2}2_{= 5 → (x − 3)}2_{= 1 → x − 3 = Σ1}

Se x − 3 = −1 → x = 2 (não serve, pois x . 3). Se x − 3 = 1 → x = 4 → P(4, 2).

b) A reta r que passa pelos pontos P(4, 2) e C(3, 0) tem equação:

x y y y 1 4 2 1 3 0 1 0 6 0 6 = →2x− − = → =2x−

3 (UFSCar-SP) O raio da circunferência inscrita em um

triângulo de lados a, b e c pode ser calculado pela fórmula

r

=

p

−

9 −

(p

a) (p

b) (p

c)

,

y 0 x 3 4

Determine nesse triângulo:

a) o raio da circunferência

inscrita;

b) a equação da

circunfe-rência inscrita.

c= 0 = e p= 0 0 ₌ 3 4 5 3 4 5 2 6 2 2

Sendo a = 3, b = 4 e c a hipotenusa do triângulo, temos: c2_{= a}2_{0 b}2_→

Assim:

b) A circunferência inscrita nesse triângulo tem centro C(1, 1) e raio r = 1. Assim, a equação dessa circunferência é:

(x − 1)2_{0 (y − 1)}2_{= 1}2_{→ x}2_{0 y}2_{− 2x − 2y 0 1 = 0} a) r= r r − 9 − 9 − = 9 9 = (6 3) (6 4) (6 5) 6 3 2 1 6 1 → →

em que p é o

semipe-rímetro do triângulo. Os catetos de um triângulo retângulo

medem 3 e 4 e estão sobre os eixos cartesianos, conforme

a figura.

1 (UFC) O segmento que une os pontos de intersecção

da reta 2x

_{0 y − 4 = 0 com os eixos coordenados}

deter-mina um diâmetro de uma circunferência. A equação

des-sa circunferência é:

a) (x

_{− 1)}

2

_{0 (y − 2)}

2

_{= 5}

b) (x

− 1)

2

_{0 (y − 2)}

2

_{= 20}

c) (x

− 1)

2

_{0 (y − 2)}

2

_{= 25}

d) (x

0 1)

2

0 (y 0 2)

2

= 5

e) (x

0 1)

2

0 (y 0 2)

2

= 20

X C= 0 0 ₌ 0 2 2 , (1, 2) 4 0 2    

Intersecção da reta 2x 0 y − 4 = 0 com os eixos coordenados: x = 0 → y = 4 Ι A(0, 4)

y = 0 → x = 2 Ι B(2, 0)

O centro da circunferência é o ponto médio de i:

O raio da circunferência é AB 2 (2 0)2 (0 4)2 r= = − 0 − = 2 5 .

Portanto, a equação da circunferência é: (x−1)2 0(y−2)2 = ₅ =₅

2

( )

2 (PUC-RS) Uma circunferência tem centro na

intersec-ção da reta x

= −2 com o eixo das abscissas e passa pelo

ponto de intersecção das retas y

= −2x 0 8 e y = x 0 2.

A equação dessa circunferência é:

a) x

2

0 y

2

= 20

_{d) (x}

− 2)

2

0 y

2

= 32

b) x

2

0 (y 0 2)

2

= 32

_{e) (x}

− 2)

2

0 (y − 2)

2

= 32

c) (x

0 2)

2

0 y

2

= 32

X

Seja P o ponto de intersecção das retas y = −2x 0 8 e y = x 0 2. As coordenadas de P são dadas por:

y = −2x 0 8 y = x 0 2

123

→ x = 2_{y = 4}

O raio da circunferência com centro C(−2, 0) e que passa por P(2, 4) é: raio dPC 2) (0 4)

2 2

= = ( 2− − 0 − = 32

(x 0 2)2_{0 y}2_{= 32}

Logo, a equação dessa circunferência será: (x02)2 0(y−0)2 = 32

2

(

)

(13)

Geometria Analítica: Circunferência

M

20 Matemática

14

Transformando a equação x2_{0 y}2_{0 2x − 6y − 90 = 0:}

x2_{0 2x 0 1 0 y}2_{− 6y 0 9 = 90 0 1 0 9 → (x 0 1)}2_{0 (y − 3)}2_{= 100 e}

representa uma circunferência com centro no ponto (−1, 3) e raio 10. Logo, o seu diâmetro será: 2r = 20.

5 (Unicap-PE) Qual o valor do diâmetro de uma

circun-ferência cuja equação cartesiana é

x

2

0 y

2

0 2x − 6y − 90 = 0?

8 (Fuvest-SP) Os pontos A(0, 0) e B(3, 0) são vértices

consecutivos de um paralelogramo ABCD situado no primeiro

quadrante. O lado # é perpendicular à reta y = −2x e o

ponto D pertence à circunferência de centro na origem e

raio

_{5 .}

Então as coordenadas de C são:

a) (6, 2)

b) (6, 1)

c) (5, 3)

d) (5, 2)

e) (5, 1)

Como a reta % é perpendicular à reta y = −2x, então mAD =

1 2 . A reta % passa pela origem, então sua equação é:

y− =0 − 1 2(x 0)

O ponto D pertence à circunferência de equação x2_{0 y}2_{= 5:}

y x = 2 x2_{0 y}2_{= 5} 1 4 2 4 3 → x = 2 y = 1→ D(2, 1) Como ABCD é um paralelogramo:

AB = CD → X y x A B(3, 0) C D y = −2x ou y= x 1 2 xC = xD 0 3 = 5 yC = yD = 1 123 → C(5, 1)

7 (UFSCar-SP) Dados os pontos A(2, 0), B(2, 3) e C(1, 3),

vértices de um triângulo, o raio da circunferência

circuns-crita a esse triângulo é:

a)

10

3 b)

10

3 c)

2

2 d)

10

2 e)

10

Como o triângulo ABC é retângulo em B, então a circunferência circunscri-ta ao triângulo tem o segmento o como diâmetro. (CjA é ângulo inscrito em uma semicircunferência.)

Portanto, a medida do raio é: A(2, 0) x y C(1, 3) _{B(2, 3)} AC (2 1)2 (0 3)2 2 2 10 2 = − 0 − = X

6 (PUC-SP) Seja x

2

_{0 y}

2

_{0 4x = 0 a equação da}

circunfe-rência de centro Q representada no plano cartesiano abaixo.

y O M Q N P x X

Se o quadrado PQMN tem os vértices Q e M sobre o eixo

das abscissas e o vértice N pertence à circunferência, o

ponto N é dado por:

a)

₂

(

− ,

2

2 )

d)

₋

(

2 −

2 2

,

−

2 )

b)

₋

(

2

0

2 ,

2 )

e)

₋

(

2 2

,

−

2 )

c)

₂

(

− ,

2 2

)

A circunferência de equação x2_{0 y}2_{0 4x = 0 → (x 0 2)}2_{0 y}2_{= 4 tem}

centro Q(−2, 0) e raio r = 2.

Sendo PQMN um quadrado com diagonal QN = r = 2: QM 2 =QN y 0 M Q(−2, 0) N P 2 x QM= = = 2 2 2 2 2 2 QM 2 =2 Então x, M = − 02 2. (lado do quadrado)

Dessa forma, temos: xN=xM= − 02 2 e yN = 2 .

Portanto: N

(

2 − ,2 2

)

. 2

2

(14)

M

20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática

15

9 (UERJ) Um dado triângulo é formado pelas retas r, s e

t, abaixo descritas.

t: 2x

0 3y 0 9 = 0

s: 3x

− 2y − 6 = 0

r: 2x

− 3y 0 21 = 0

Calcule, em relação a esse triângulo:

a) sua área;

b) a equação da circunferência circunscrita a ele.

Vamos determinar os vértices A, B e C do triângulo: A 2x − 3y 0 21 = 0 3x − 2y − 6 = 0 123 → x _{y = 15}= 12 A(12, 15) B 2x − 3y 0 21 = 0 2x 0 3y 0 9 = 0 123 → x= − 15 2 y = 2 B − 15 2 ,2    C 3x − 2y − 6 = 0 2x 0 3y 0 9 = 0 123 → x = 0_{y = −3} C(0, −3) S_#= D em D= − − = 1 2 12 15 1 15 2 2 1 0 3 1 195 , que a)

b) O centro _{O da circunferência circunscrita é tal que OB}4 = Q = 8. Fazendo O(a, b), temos:

S#= = 195 2 97,5 (a 12) (b 15) (b (b 3) 2 2 2 − 0 − = a015 0 − = a 0 0 2 2 2 2 2    ) Resolvendo o sistema, obtemos:

a= e b= 9 4 17 2 Logo, Portanto, r O OA OB OC 9 4 17 2 , .    = = = r= 0 0 = 9 4 17 2 3 13 13 4 2 2      Equação da circunferência: x− 0 y− = 9 4 17 2 13 13 4 2 2 2         

10 (UFC) Encontre uma equação da reta tangente à

curva x

2

_{− 2x 0 y}

2

_{= 0 no ponto (1, 1).}

A equação x2_{− 2x 0 y}2_{= 0 pode ser escrita na forma:}

x2_{− 2x 0 y}2_{= 0 → x}2_{− 2x 0 1 0 y}2_{= 1 → (x − 1)}2_{0 y}2_{= 1,}

que representa uma circunferência de centro C(1, 0) e raio r = 1.

x y

1

(1, 1) r

Como a reta tangente deve ser perpendicular ao raio no ponto de tangência (1, 1), observando a figura concluímos que a reta r pro-curada deve ter equação y = 1.

11 (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)

proposição(ões) correta(s).

(01) x

2

0 y

2

− 2x 0 6y 0 1 = 0 é a equação da

circunfe-rência de raio r

= 3, que é concêntrica com a

circun-ferência x

2

0 y

2

0 2x − 6y 0 9 = 0.

(02) O coeficiente angular da reta que passa pelos pontos

A(3, 2) e B(

−3, −1)

é

1

2 .

(04) O ponto P(3, 4) é um ponto da circunferência de

equa-ção x

2

_{0 y}

2

_{− x 0 4y − 3 = 0.}

(08) As retas r: 2x

− 3y 0 5 = 0 e s: 4x − 6y − 1 = 0 são

perpendiculares.

(16) Sabe-se que o ponto P(p, 2) é eqüidistante dos

pon-tos A(3, 1) e B(2, 4). A abscissa do ponto P é 1.

01. Incorreta

A circunferência de equação

x2_{0 y}2_{− 2x 0 6y 0 1 = 0 → (x − 1)}2_{0 (y 0 3)}2_{= 9 possui centro}

(1, −3) e raio 3, mas não é concêntrica à circunferência de equação x2_{0 y}2_{0 2x − 6y 0 9 = 0 → (x 0 1)}2_{0 (y − 3)}2_{= 1, que possui} centro (−1, 3) e raio 1. 02. Correta mAB= − − − − = = 2 3 3 6 1 2 ( ( 1) 3) (p2_{− 6p 0 9) 0 1 = (p}2_{− 4p 0 4) 0 4} 2p = 2 → p = 1 Portanto: 2 0 16 = 18 04. Incorreta 32_{0 4}2_{− 3 0 4 9 4 − 3 ϑ 0} 08. Incorreta r : 2x − 3y 0 5 = 0 → y= x0 e 2 3 5

3 possui coeficiente angular mr= 2 3. s: 4x − 6y − 1 = 0 → y= x− e 2 3 1 6 possui coeficiente angular ms= 2 3. Logo, r é paralela a s. 16. Correta

Se P(p, 2) é eqüidistante dos pontos A(3, 1) e B(2, 4), devemos ter: (p−3)2 0(2−1)2 = (p−2)20(2−4)2

Em questões como a 11, a resposta é dada pela soma dos

números que identificam as alternativas corretas.

(15)

Geometria Analítica: Circunferência

M

20 Matemática

16

13 (MACK-SP) Uma reta tangente à curva x

2

0 y

2

= 10,

no ponto de abscissa 3, encontra o eixo das ordenadas num

ponto P. A distância da origem a esse ponto é:

a) 9

b) 6

c)

10 d) 10

e)

8

Sendo OP1= OP2, pode-se considerar,

para efeito de cálculos, qualquer uma das tangentes (t₁ ou t₂).

Vamos considerar a reta tangente (t1),

que passa pelo ponto A(3, 1) e tem coeficiente angular

A curva de equação x2_{0 y}2_{= 10 é uma circunferência de centro C(0, 0) e}

raio r = 10 .

Para x = 3, a partir da equação 32_{0 y}2_{= 10 → y = Σ1, temos os pontos}

A(3, 1) e B(3, −1) como sendo os pontos de tangência para as retas pro-curadas. x y P1 A(3, 1) B(3, −1) O P2 t2 t1 A equação da reta t₁ é: y − 1 = −3(x − 3) → y = −3x 0 10.

Fazendo x = 0 → y = 10 e P1(0, 10) é o ponto onde t1 encontra o eixo das

ordenadas.

A distância da origem a esse ponto é 10.

Caso tivéssemos escolhido a reta tangente t₂, obteríamos P₂(0, −10), cuja distância à origem é 10. m m_OA = −1 = − = −1 1 3 3.

14 (UFPR) Considere as seguintes informações: C é

uma circunferência de raio igual a 1 e centro na origem

de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares;

um ponto estará no interior da circunferência C se a

dis-tância do ponto à origem do sistema for menor do que 1.

Assim, é correto afirmar:

I. A equação da circunferência C é x

2

0 y

2

0 1 = 0.

II. O ponto P(cos

_{ω, sen ω) pertence à circunferência C,}

qualquer que seja o número real

_ω.

III. A reta y

_{= x 0 1 intercepta a circunferência C em dois}

pontos.

IV. A reta y

0 1 = 0 é tangente à circunferência C.

V. O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C.

VI. O gráfico da função y

= sen 2x intercepta o eixo x

apenas uma vez no interior da circunferência C.

I. Incorreto

A circunferência de raio 1 e centro na origem tem equação x2_{0 y}2_{= 1 ou x}2_{0 y}2_{− 1 = 0.}

II. Correto

cos2_{ω 0 sen}2_{ω = 1, qualquer que seja o número real ω.}

III. Correto

A reta y = x 0 1 intercepta a circunferência nos pontos (0, 1) e (−1, 0), que é o resultado do sistema x_y2_{= x 0 1}0 y2= 1

123

V. Incorreto

A distância do ponto (1, 1) à origem é d = (1−0)2 0 −(1 0)2 = 2 .1_. VI. Correto

A única intersecção do gráfico da função y = sen 2x com o eixo x, no interior da circunferência, é a origem (ver figura).

em dois pontos. IV. Correto

A reta horizontal y 0 1 = 0 tangencia a circunferência no ponto (0, −1), que é o resultado do sistema x2 0 y2 = 1.

y 0 1 = 0 123 0 x y 1 sen 2x −1 1 −1 π 2 π −π π 2 −

12 (UniFEI-SP) Dadas a circunferência

x

2

0 y

2

− 2x − 4y 0 1 = 0 e a reta y = k, com k 7 ς, para

que valores de k essa reta intercepta a circunferência em

dois pontos distintos?

Para que a reta horizontal y = k intercepte a circunferência em dois pon-tos distinpon-tos, devemos ter: 0 , k , 4.

x y 0 1 2 C 4

Transformando a equação x2_{0 y}2_{− 2x − 4y 0 1 = 0 para sua forma}

reduzida:

x2_{− 2x 0 1 0 y}2_{− 4y 0 4 = −1 0 1 0 4}

(x − 1)2_{0 (y − 2)}2_{= 4}

A circunferência de equação (x − 1)2_{0 (y − 2)}2_{= 4 possui centro no}

ponto (1, 2) e raio 2.

X

, portanto

(16)

M

20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática

17

16 (PUC-PR) Se a equação da corda do círculo

x

2

0 y

2

= 49, que tem por ponto médio o ponto (1, 2), é da

forma ax

0 by 0 c = 0, então a 0 b − c vale:

a)

₋₂

b) 5

c) 2

d) 10

X

e) 8

A equação x2_{0 y}2_{= 49 representa um círculo com centro na origem e raio 7.}

A reta r, suporte da corda do círculo, e que tem por ponto médio o ponto (1, 2), é perpendicular à reta s, que passa pelo centro do círculo e por esse ponto médio.

(0, 0) M (1, 2) r s y− = −2 − x0 − = 1 2(x 1)→ 2y 5 0

Se a equação da corda é do tipo ax 0 by 0 c = 0, temos: Como o coeficiente angular de s é

mS = − − = 2 0 1 0 2, o coeficiente de r é− 1 2 e a equação de r será:

15 (IBMEC) Num sistema de coordenadas cartesianas

xOy considere a seguinte região:

R:

x

> 0, y > 0

x

2

0 y

2

< 4

x

0 y − 2 > 0

1

42

43 Logo, a área da região R, em unidades de área, é igual a:

a)

π 0 2

c)

π

e)

π − 2

b)

π 0 1

d)

π − 1

X x −2 −2 2 2 B O A x2 0 y2 = 4 x 0 y − 2 = 0 y

A região R do plano que satisfaz as condições do exercício é a colorida, cuja área é obtida por:

S_R= Ssetor 90)− S#OAB SR = π 9 − 9 _{= π −} 2 4 2 2 _{2 2} 2

17 (UFBA) Considerando-se, no sistema de

coordena-das cartesianas, os pontos A(1, 2), B(2, 1) e C(0, 1),

pode-se afirmar:

(01) Se C

_{δ é o ponto simétrico de C em relação à reta}

x

_{= 2, então a reta que passa por Cδ e pela origem}

tem equação 4x

_{− y = 0.}

(02) O triângulo de vértices nos pontos A, B e C é

retângu-lo em A.

(04) A reta

_AC

sur

faz ângulo de 45

) com o eixo Ox.

(08) Aplicando-se ao ponto A uma rotação de 45

) em

tor-no do ponto C, obtém-se o ponto

_{0 1}

(

,

₀

2 )

.

(16) A área do triângulo de vértices nos pontos A, B e C

mede 2 u.a.

(32) A equação da circunferência circunscrita ao

triângu-lo de vértices nos pontos A, B e C é

x

2

0 2x 0 y

2

0 2y − 1 = 0.

(64) O raio da circunferência com centro na origem e

tan-gente à reta

_AB

sur

mede

3 2

2 u.c.

01. Incorreto

Se Cδ(4, 1) é o simétrico de C em relação à reta x = 2, a reta que passa por Cδ e pela origem tem equação

02. Correto 04. Correto mw= 1 → tg (AkB) = 45) 08. Correto AC= 12 012 = 2 e Aδ

(

0 1, 0 2

)

16. Incorreto A área do #ABC é: 32. Incorreto

A circunferência circunscrita ao #ABC tem centro (1, 1) e raio 1, portanto de equação: (x − 1)2_{0 (y − 1)}2_{= 1} x2_{0 y}2_{− 2x − 2y 0 1 = 0} x y x y 1 1 2 1 2 1 1 0 3 = → 0 − =0, temos: raio= = u c 0 − 0 = d 0, AB 0 0 3 1 1 3 2 2 2 2 . . Portanto: 2 0 4 0 8 0 64 = 78 S_#= 1 = − = 2 1 2 1 2 1 1 0 1 1 1 2 2 1 u.a. x y 45) 45) 45) 0 1 2 1 2 C B A x = 2 2 2 x y x 1 4 1 1 0 0 1 0 0 = → −4y= a = 1 b = 2 c = −5 1 42 43 , portanto: a 0 b − c = 8 64. Correto perpendiculares, temos: m e m m m w q w q = − − = = − − = − 9 = − 2 1 1 0 1 2 1 1 2 1. 1

E como as retas são

x y 45) 0 1 Aδ A C 2 2

O raio da circunferência com centro na origem e tangente à reta AB

sur

é igual à distância da origem à reta AB

sur

.

Logo, como a equação da reta AB

sur

é dada por

(17)

Geometria Analítica: Circunferência

M

20 Matemática

18

18 (Unicamp-SP) As equações

(x

0 1)

2

0 y

2

= 1 e (x − 2)

2

0 y

2

= 4 representam duas

circunferências cujos centros estão sobre o eixo das

abscissas.

a) Encontre, se existirem, os pontos de intersecção das

duas circunferências.

b) Encontre o valor de a

_{7 ς, a ϑ 0, de modo que duas}

retas que passam pelo ponto (a, 0), sejam tangentes às

duas circunferências.

A circunferência (x 0 1)2_{0 y}2_{= 1 tem centro C}

1(−1, 0) e raio r1 = 1.

A circunferência (x − 2)2_{0 y}2_{= 4 tem centro C}

2(2, 0) e raio r2 = 2.

a) As circunferências se interceptam num único ponto: a origem do siste-ma de coordenadas cartesianas. x y r1 = 1 r₂= 2 C₂(2, 0) C₁(−1, 0)

O mesmo resultado seria obtido resolvendo-se o sistema (x 0 1)2_{0 y}2_{= 1}

(x − 2)2_{0 y}2_{= 4}

123

, que tem por solução única o par (0, 0).

b) As tangentes às duas circunferências, passando pelo ponto (a, 0), no gráfico abaixo, são tais que:

x y r₁= 1 C₂ A(a, 0) C₁ T1 t1 t2 T2 r₂= 2

Como A(a, 0) está no semi-eixo negativo do eixo das abscissas, temos a = −4. #AT1C1Κ #AT2C2 AC AC T C a a 2 1 2 2 2 1 2 1 = 0 − = T C₁ ₁ → 2 a − =2 a 02→ a =4→a= Σ4

19 (Unicamp-SP)

a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem

coeficiente angular m

_{. 0. A circunferência C passa}

pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Para

qual valor de m a reta r é tangente a C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele

determinado no item anterior. Calcule a área do

triân-gulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de

intersecção de r com C.

a) Se a circunferência passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro C no eixo x, então C 1 3 2 0 0 _, ₌    (2, 0) e o raio é r = 1.

A reta r, que passa pela origem (0, 0) e tem coeficiente angular m . 0, tem equação: y − 0 = m(x − 0) → y = mx, em que m = tg θ.

x y O θ (1, 0) C(2, 0) (3, 0) 1 T No #OTC: • (OT)2_{0 (TC)}2_{= (OC)}2 (OT)2_{0 1}2_{= 2}2 → OT = 3 tgθ =m= OT = = 1 1 3 3 3 • Portanto, m= 3 3 b) Se 0 3 3

,m, , a reta r é secante à circunferência, e temos o #ABC.

x y 0 C(2, 0) A B d 1 1 M d m m m m = 9 − 0 = 0 2 0 1 2 1 2 2

Para calcular a área do #ABC obtemos d, que é a distância do centro C(2, 0) à reta mx − y = 0: A área do #ABC é: No #AMC: A AB d m m m m m m m ABC # = 9 ₌ 9 − 0 9 0 ₌ − 0 2 2 1 3 1 2 1 2 2 1 3 1 2 2 2 2 2 AM m m AM m m 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 1 0 0 = = − 0    → Então:AB AM m m = 9 = 9 − 0 2 2 1 3 1 2 2 . . 013_018_CAD_Mat_4 18 12.09.06, 16:43

(18)

M

21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática

19 TERCEIRÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

M

21 TERCEIRÃO FTD

Geometria Analítica:

Cônicas

Caderno de

Atividades

1 (UFC) O número de pontos de intersecção das curvas

x

2

0 y

2

= 4 e

x

2

y

2

15

0

2 =

1 é igual a:

a) 0

b) 3

X

c) 4

d) 5

e) 6

x2_{0 y}2_{= 4 representa uma circunferência de centro C(0, 0) e raio r = 2.}

x2 y2

15 0 2 = representa uma elipse com semi-eixo maior igual a 151 e semi-eixo menor igual a 2 .

Fazendo um esboço das duas curvas no mesmo sistema cartesiano:

x y 0 1 1 2 A D B x2_{0 y}2_{= 4} C −1 −2 −1 −2 −3 −4 2 3 4 0 = 1 x2 15 y2 2

Teremos, portanto, quatro pontos (A, B, C e D) de intersecção entre as duas curvas.

Obs.: Podemos também resolver o sistema

x2_{0 y}2_{= 4} x2 y2 15 0 2 =1 1 4 2 4 3 , obtendo

como resultado os pares 30 13 22 13 30 13 22 13 , , , ,         − − − − 30 13 22 13 30 13 22 13 , , , ,       

 que representam os quatro pontos de intersecção.

3 (Unicap-PE) A figura abaixo representa uma elipse.

São dadas as seguintes informações:

I – II

0 – 0 a

2

= b

2

0 c

2

1 – 1 A excentricidade é dada pela razão entre c e a.

2 – 2 A equação da elipse acima é b

2

_{0 c}

2

_{= 1.}

3 – 3 A distância focal é 2c.

4 – 4 A medida do eixo menor é 2a.

B₁ B₂ F1 A1 A2 a b a c c a a O b F2 X

A equação em questão representa uma elipse.

2 (FGV-SP) No plano cartesiano, a curva de equações

paramétricas x

= 2 cos t e y = 5 sen t com t 7 ς é:

a) uma senóide

d) uma circunferência

b) uma cossenóide

e) uma elipse

c) uma hipérbole

x t t x =2 = 2 cos →cos y sen t sen t y =5 = 5 → 1442443 cos2_{t 0 sen}2_{t = 1} x2 y2 4 025 =1

Em questões como a 3, as alternativas verdadeiras devem

ser marcadas na coluna I e as falsas, na II.

0 – 0 Verdadeira

O #OB2F2 é retângulo, portanto: a

2_{= b}2_{0 c}2_. 1 – 1 Verdadeira A excentricidade é e c a = . 2 – 2 Falsa A equação da elipse é: x a y b 2 2 2 2 1 0 = . 3 – 3 Verdadeira A distância focal é F1F2 = 2c. 4 – 4 Falsa O eixo menor é B₁B₂= 2b. I II 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 019_022_CAD_Mat_4 19 16.10.06, 11:13

(19)

Geometria Analítica: Cônicas

M

21 Matemática

20

4 (UERJ) O logotipo de uma empresa é formado por duas

circunferências concêntricas tangentes a uma elipse, como

mostra a figura ao lado.

A elipse tem excentricidade 0,6

e seu eixo menor mede 8

uni-dades. A área da região por ela

limitada é dada por a

_{9 b 9 π,}

em que a e b são as medidas

dos seus semi-eixos.

Calcule a área da região definida

pela cor verde.

y x 0 5 4 Sendo:

a = medida do semi-eixo maior b = medida do semi-eixo menor c = metade da distância focal e = excentricidade

Pelos dados do problema, temos: e c a c = =0,6= 3 = 3a 5 → 5 a b c a a a 2 2 2 2 2 2 16 5 25 5 = 0 → = 0_3a_{ →} = → = • Área da elipse: S_E= a 9 b 9 π = 5 9 4 9 π = 20π • Área do círculo maior, cujo raio é a = 5: S1 = π5

2_{= 25π}

• Área do círculo menor, cujo raio é b = 4: S2 = π4 2_{= 16π}

• Área da região definida pela cor verde: S = S1 − SE 0 S2 = 25π − 20π 0 16π = 21π

2b = 8 → b = 4 Na elipse sempre temos:

5 (ITA-SP) Sabe-se que uma elipse de equação

x

a

2 2

0 =

1 y

b

2

tangencia internamente a circunferência

de equação x

2

0 y

2

= 5 e que a reta de equação 3x 0 2y = 6

é tangente à elipse no ponto P. Determine as coordenadas

de P.

Equação x2_{0 y}2_{= 5 representa uma circunferência de centro (0, 0) e}

raio r = 5 .

Se a reta 3x 0 2y = 6 tangencia a elipse num ponto P(x0, y0), temos o

seguinte esboço do problema: y x 0 P(x₀, y₀) 3 2 a −a r: 3x 0 2y − 6 = 0 x2_{0 y}2_{= 5} 0 = 1 x2 a2 y2 5 Na x a y b elipse 1, 2 2 2 2 0 = temos b: = 5 →b2=5. A reta 3x 0 2y = 6 e a elipse x a 2 2 0 = y2 5 1 são tangentes: y= − 0 3x 6 2 x a y 2 2 2 5 1 0 = x a x a 2 2 2 2 2 6 2 5 1 20 1 0 − 0 = 0 − = 3x (6 3x)2    → 1 4 4 2 4 4 3 (20 0 9a2_)x2_{− 36a}2_x_{0 16a}2_{= 0}

Como esse sistema terá uma solução única P(x₀, y₀), temos: ∆ = (36a2₎2_{− 4(20 0 9a}2_{) 9 16a}2_{= 720a}4_{− 1 280a}2_{= 0}

720a4_{− 1 280a}2_{= 80a}2_(9a2_{− 16) = 0 → 9a}2_{= 16 (pois a ϑ 0) e}

a

2 16

9 =

Para determinar o ponto P, resolvemos o sistema cuja solução é

x= e y= 8 9

5

3, que são as coordenadas de P. b = 5 5 − 5 − 5 9x2 16 5 1 2 0 y = 3x 0 2y = 6 14243 , 019_022_CAD_Mat_4 20 16.10.06, 11:13

(20)

M

21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática

21

7 (ESPM-SP) Na figura abaixo estão representadas uma

parábola de equação y

= x

2

− 4x 0 6 e uma reta que passa

pela origem e pelo vértice da parábola. A razão OV

: VA é:

a) 2

: 3

b) 2

: 1

c) 2

: 5

d) 3

_{: 2}

e) 3

_{: 5}

y x O V A V b − −∆ = 2a, 4a (2, 2)   

A parábola de equação y = x2_{− 4x 0 6 possui vértice}

A reta que passa pela origem e pelo vértice da parábola tem equação:

x y x y y 1 2 2 1 0 0 1 =0→ − =0 ou ainda x= OV= 2 2 0₂2 =_{2 2} e VA= ₁2 0₁2 = ₂ Resolvendo o sistema y = x 2_{− 4x 0 6} y = x 123 , obtemos os pontos V(2, 2) e A(3, 3). Portanto, a razão OV VA = = = : 2 2 2 2 1 2 1. y (m) x (m) canal O

Representando por D o comprimento real de um possível canal retilíneo ligando os dois rios, paralelamente ao eixo Oy, temos:

D(x) = 50(yP− yR) → D(x) = 50[x

2_{− (2x − 5)]}

D(x) = 50(x2_{− 2x 0 5) = 50x}2_{− 100x 0 250 (função do 2}o_grau)

As coordenadas do vértice da parábola da função D(x) = 50x2_{− 100x 0 250 são:} xV = − = = b 2a 100 100 1 e D(1) = 50 − 100 0 250 = 200 V(1, 200)

Portanto, o menor comprimento real dos possíveis canais é 200 m. y (m) D y_P= x2 yR = 2x − 5 x (m) O X X

6 (UFMG) Considere a parábola de equação y

= 8x − 2x

2

e a reta que contém os pontos (4, 0) e (0, 8). Sejam A e B

os pontos da intersecção entre a reta e a parábola.

Determine a equação da mediatriz do segmento

AB

.

A reta que contém os pontos (4, 0) e (0, 8) tem equação:

x y y 1 4 0 1 0 8 1 0 32 0 8 0 = → −8x−4y= →2x0 − =

Os pontos A e B, intersecção entre a reta e a parábola, têm coordenadas: y = 8x − 2x2 2x 0 y − 8 = 0 123 → y _y= 8x − 2x_{= −2x 0 8}2 123 → 8x − 2x2_{= −2x 0 8} x2_{− 5x 0 4 = 0} x = 4 ou x = 1

Coeficiente angular da reta q: mq= − − =− = − 6 0 1 4 6 3 2 Ponto médio de i: MAB = 0 0 ₌ 4 1 2 0 6 2 5 2 3 , ,      

A equação da mediatriz do segmento i passa pelo ponto médio de i e é perpendicular a i: m m = − = − − = 1 1 2 1 2 i y− =3 x− − 0 = 5 2 7 0 1 2 2x 4y    → Equação da mediatriz: y − 1 = m(x − 1) Θ reta y = x2_{Θ parábola}

Obtenção dos pontos comuns à reta e à parábola: x2_{− 1 = m(x − 1) → x}2_{− mx 0 (m − 1) = 0}

A reta deve ser tangente à parábola; logo, ∆ = 0. m2_{− 4 9 1(m − 1) = 0 → m}2_{− 4m 0 4 = 0}

mδ = mφ = 2

9 (UFJF-MG) O valor de m

7 ς para o qual a reta

y

− 1 = m(x − 1) seja tangente à parábola y = x

2

_é:

a) 1

X

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

Para x = 4 Θ y = 0: A(4, 0) Para x = 1 Θ y = 6: B(1, 6)

8 (Unifesp-SP) A figura

re-presenta, na escala 1

: 50, os

trechos de dois rios: um

des-crito pela parábola y

= x

2

_{e o}

outro pela reta y

= 2x − 5.

De todos os possíveis canais

retilíneos ligando os dois rios

e construídos paralelamente

ao eixo Oy, o de menor

com-primento real, considerando a escala da figura, mede:

a) 200 m

c) 300 m

e) 400 m

b) 250 m

d) 350 m

(21)

Geometria Analítica: Cônicas

M

21 Matemática

22

10 (ITA-SP) Os focos de uma elipse são F

₁

(0,

−6) e

F

₂

(0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x

. 0 estão na elipse.

A área do triângulo com vértices em B, F

₁

e F

₂

é igual a:

a)

_{22 10}

b)

₁

8

10 c)

_{15 10}

d)

_{12 10}

e)

_{6 10}

11 (ITA-SP) Sabendo que

9y

2

− 16x

2

− 144y 0 224x − 352 = 0 é a equação de uma

hipérbole, calcule sua distância focal.

12 (UFRJ) Determine o comprimento do segmento cujas

extremidades são os pontos de intersecção da reta y

= x 0 1

com a parábola y

= x

2

_.

X

Do enunciado, temos a figura:

• semi-eixo maior: a = 9 • semi-eixo menor: b • semidistância focal: c = 6 Temos que: b2_{0 c}2_{= a}2 b2_{0 6}2_{= 9}2_{→ b}2_{= 45}

Assim, uma equação da elipse é y 81 x 45 1. 2 2 0 = Como B(x, 3) pertence à elipse, temos: 3 81 x 45 1 x 2 10 2 2 0 = → =

Logo, a área do #BF1F2 é igual a

1 2 91 2 1029 , ou seja, 12 10 . x A (0, 9) B (x, 3) 12 0 a x c 6 6 F1 F₂ b y

Os pontos de intersecção das duas curvas são tais que x2_{= x 0 1, ou}

seja, x 1 1= − 5 2 e x 1 . 2 = 0 5 2

Assim, o segmento m assinalado na figura mede: x2 − x 1 1 5 2 5 1= 0 5 ₋ − ₌ 2

Como _{ε = 45⬚, temos que 5} = cos 45⬚.d Logo, d= 5 9 2 = 10 . 9y2_{− 16x}2_{− 144y 0 224x − 352 = 0} 9y2_{− 144y − 16x}2_{0 224x = 352} 9(y2_{− 16y 0 64) − 16(x}2_{− 14x 0 49) = 352 0 9 9 64 − 16 9 49} 9(y − 8)2_{− 16(x − 7)}2_{= 144} 9(y 8) 144 16(x 7) 144 144 2 2 − − − = 144 (y 8) 16 (x 7) 1 2 2 − − − = 9

Assim, a2_{= 16 e b}2_{= 9. Temos que: c}2_{= a}2_{0 b}2_{→ c}2_{= 16 0 9 → c = 5.}

Portanto, a distância focal é 2 9 5, ou seja, 10.

x₁ x₂ x m ε y d 019_022_CAD_Mat_4 22 16.10.06, 11:14

(22)

M

22 Números Complexos

Matemática

23 TERCEIRÃO FTD

TERCEIR

ÃO FTD

TERCEIRÃO FTD

TERCEIRÃO

TERCEIRÃO FTD

M

22 TERCEIRÃO FTD

Números Complexos

Caderno de

_Atividades

z = (2 0 i) 9 (1 0 i)i = (2 0 2i 0 i 0 i2_)i

(1 0 3i)i = i 0 3 9 i2_{= −3 0 i}

Portanto, x = −3 − i.

1 (Unesp-SP) Se z

= (2 0 i) 9 (1 0 i) 9 i, então x, o

conjugado de z, será dado por:

a)

−3 − i

c) 3

− i

e) 3

0 i

b) 1

− 3i

d)

−3 0 i

X

4 (UFU-MG) Sejam z

₁

e z

₂

os dois números complexos

de parte imaginária não-nula que são soluções da

equa-ção z

2

= x. Determine z

1

0 z

2

.

Seja z = x 0 yi, (y ϑ 0). Se z2 = x, então:

(x 0 yi)2_{= x − yi → x}2_{− y}2_{0 2xyi = x − yi} x2_{− y}2_{= x} 2xy = −y 123 x= − pois yϑ 1 2, 0 y2_{= x}2_{− x} 1 4 2 4 3 → Substituindo em : y y 2 1 4 1 2 3 4 3 2 = 0 = → = Σ . Logo z, 1 i e z2 i. 1 2 3 2 1 2 3 2 = − 0 = − − z1 z2 1 2 1 2 0 = − − = −1 Seja z = x 0 yi.

Para que a parte real de z2_{seja igual a 2, devemos ter:}

z2_{= (x 0 yi)}2_{= x}2_{− y}2_{0 2xyi}

5 (UFV-MG) A representação no plano complexo dos

números z tais que a parte real de z

2

_{é igual a 2 é uma:}

a) hipérbole

c) circunferência

e) parábola

b) elipse

d) reta

X

Logo: x 1, que é a equação de uma hipérbole.

2 ₋_y2 ₌ x2 ₋ y ₌

2

2 2 → Seja W = a 0 bi. Pelo enunciado, temos que: a . 0 e b . 0.

O número complexo 3 9 i 9 W = 3i(a 0 bi) = −3b 0 3ai possui parte real estritamente negativa e parte imaginária estritamente positiva.

A única alternativa que satisfaz tais condições é Z₂.

2 (IBMEC) Seja

Ν o conjunto dos números complexos e

i a unidade imaginária tal que i

2

= −1. Na figura estão

representados, no plano de Gauss, as imagens de seis

nú-meros complexos: W, Z

₁

, Z

₂

, Z

₃

, Z

₄

e Z

₅

.

Qual o número complexo que pode ser igual a 3iW?

a) Z

₁

b) Z

₂

c) Z

₃

d) Z

₄

e) Z

₅ Z1 Z₄ W Z5 Z₃ Z₂ X

3 (UFPA) Numa PG de quatro termos, a soma dos termos

de ordem ímpar é 1

− i e a soma dos termos de ordem par

é 2i, em que i é a unidade imaginária. Determine o número

complexo a

0 bi, que representa a razão dessa progressão.

PG: (a₁, a₂, a₃, a₄), em que a₁= x, a2= x 9 q, a3= x 9 q

2_{e a}

4= x 9 q 3

Pelos dados do problema: x 0 xq2_{= 1 − i} xq 0 xq3_{= 2i} 123 → x(1 _xq(10 q_{0 q}2) 2₎= 1 − i _{= 2i} 123 Fazendo : , temos: 1 1 1 2 2 1 q i q i i i = − = − − 00 = − 0 = − 0 2i 2i (1 i) (1 2i → )

6 (FGV-SP) No conjunto dos números complexos:

a) resolva a equação z

4

_{= 1;}

b) obtenha o número z, tal que z(1

0 i) = 3 − i, em que i

é a unidade imaginária.

a) z4_{= 1 → z}4_{− 1 = 0 → (z}2₎2_{− 1 = 0 → (z}2_{− 1) 9 (z}2_{0 1) = 0}

(z − 1) 9 (z 0 1) 9 (z2_{0 1) = 0 → z − 1 = 0 ou z 0 1 = 0 ou}

z2_{0 1 = 0 → z = 1 ou z = −1 ou z = i ou z = −i.}

O conjunto verdade da equação é V = {1, −1, i, −i}

z i i i i i i i = − 0 9 −− = − − 0 − = − _{= −} 3 1 1 1 3 1 2 2 1 2 2 3i 4i 2i z i z i i (10 = −i) = − 0 3 3 1 → b) 023_026_CAD_Mat_4 23 12.09.06, 16:55