Análisis Matemático - Ricardo Figueroa García

ANÁLISIS

MATEMÁTICO 1

R. FICUEROA C.

E d i c i o n e s

A N Á L IS IS M A T E M Á T IC O 1

SEG U N D A ED IC IÓ N

E n e r o 2 0 0 6 © Im p re s o e n E d ic io n e s J iró n L o re to 169 6 B re ñ a - T e le fa x 4 2 3 -8 4 6 9 E -m a il: e d ic io n e s _ 2 @ h o tm a il.c o m L im a - P e rú

Todos los derechos reservaciones conforme al Decreto Ley N° 26905

HECHO EL DEPÓSITO LEGAL N° 1501052004 - 5262 RAZÓN S O C IA L : R IC A R D O F IG U E R O A G A R C ÍA

DOM ICILIO : Jr. Loreto 1696 - Breña

E ste lib ro no se p u e d e re p ro d u c ir to tal o p a rcialm en te p o r n in g ú n m e d io e le c tró n ic o , m e c á n ic o o fo to co p ia u o tro s m ed io s sin el p re v io y e x p re s o p e rm iso d e l autor.

Prólogo

Esie es un libro para un curso corto de A nálisis M atem ático dirigido para estudiantes cuyo interés prim ordial radica en la in g en iería, las ciencias físicas y m atem áticas, econom ía y ciencias adm inistrativas. S u propósito es el de proporcionar una exposición asequible y flexible que cubra los tem as m ás im portantes del C álculo D iferencial de una v a ria b le , tan sencilla y claramente com o sea p o sib le , de modo que sea adecuada a la experiencia y madurez del estudiante

Entre los temas que contiene el libro y que tienen importantes aplicaciones en las áreas antes m encionadas están ios siguientes. El prim er capítulo contiene algunos temas de revisión y prelim inares para el estudio del A nálisis M a tem ático : F U N C IO N E S . A quí se presenta en fo n n a com pleta las técnicas para hallar el dom inioy el ran g o . así com o la construcción de sus g ráficas, tanto algebraicas como trascendentes. Las funciones com o modelos m atem áticos de situaciones prácticas que aparecen a lo largo del texto se introducen prim ero en la Sección 1.7 donde se dan sugerencias de com o obtener dichas funciones paso a p a s o .

El segundo c a p ítu lo , que trata sobre L I M I T E S , es q u iz á , el m ás im portante de los capítulos que contienen el libro , pues sirve de punto de partida para iniciar el estudio del Análisis M atem ático . Prim ero se introducen una serie de conceptos relacionados con puntos de acumulación y vecindades , para luego conducir al estudiante a una definición rigurosa del límite en térm inos de intervalos abiertos com o vecindades . Las dem ostraciones de los teore­ mas básicos sobre límites son relativamente sencillas cuando se formulan em pleando vecinda­ des y la abundancia de ejem plos perm iten al estudiante comprender realm ente cada dem ostra­ ción .

Los otros dos capítulos siguientes : C O N T IN U ID A D y D ERIV A D A son práctica­ m ente una extensión del segundo c ap ítu lo , pues cada uno de estos temas se definen a base de límites.

En el capítulo 5 se hace un estudio am plio sobre las A P L IC A C IO N E S D E L A S D E ­ RIVADAS que implican m áxim os y m ínim os así com o el trazado de gráficas de fu n c io n e s,

IV Prólogo problem as de optim ización y aproxim aciones del cálculo de raíces de una ecuación por el método de N e w to n .

En el capítulo 6 se tratan las E C U A C IO N E S P A R A M É T R ÍC A S , su derivada y aplicaciones . En el capítulo 7 se establecen m étodos para calcular lím ites que toman diversas F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S por la re g la d e L 'H o sp ita l y la aplicación de la Fórm ula de Taylor para aproxim aciones p o lin o m iales.

En todos estos capítulos , una atención especial se presta en los ejem plos concretos , aplicaciones y problem as que sirvan tanto para clasificar el desarrollo de la teoría com o para dem ostrar la notable versatilidad del C álculo en la investigación de im portantes cuestiones c ie n tíficas.

Para guiar al estudiante se dan una variedad de aplicacio n es, esencialm ente p or medio de e jercicio s, los cuales recom iendo se resuelvan progresivam ente , tuda vez que en la selec­ ción de los m ism os , he tenido cuidado en considerar el grado de dificultad . M uchos ejerci­ cios contienen sugerencias de carácter instructivo y las respuestas de la mayoría se encuentran al final del libro

A provecho la oportunidad para expresar mi agradecim iento a la Editorial A M É R IC A cuyo personal no ha escatim ado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publi­ cación del te x to . A sim ism o , una mensión especial de gratitud va dirigida a la Señorita Abilia Sánchez Paulino, por su dedicación y abnegada labor de diagram ar gran parte del manuscrito. C reo que su excelente colaboración ha sido inestim able .

El autor

Contenido

F U N C I O N E S ______________________________________________

1.1 In tro d u c c ió n --- — , — .- ... j

1.2 Definición de función --- .---2

1-3 Evaluación de una función --- 4

1.4 G ráfica de una función ... ... '— - — ... - ... .— • 6

1.5 Determinación del dom inio de una función — --- 13

1.6 Determinación del rango de u n a f u n c i ó n . - - ...- — - - - 17

1.7 Funciones com o m odelos matemáticos — ...— - ... 18

1.8 Funciones especiales Definición 1.5: F u u c ió ru d e n tid a d ... 23

Definición 1 .6 : Función c o n s t a n t e ... 23

Definición 1.7 Función lineal — - ... ... - • 24

Definición 1.8: Función c u a d r á t i c a ... 26

Definición 1.9 Función raíz cuadrada ... 31

D efinición 1.10: Función p o lín ó m ic a --- -35

Definición 1.11: Función r a c i o n a l ... 36

Definición 1.12: Función seccionada ... 37

Definición 1.13 : Función escalón unitario -• - 40

Definición 1.14 : Función signo - - 41

Definición 1.15 : Función valor a b s o l u t o ... 42

Definición 1.16: Función máximo entero ... 49

Definición 1.17: Función par - - - 58

Definición 1.18 : Función im par — ... 61

VI Contenido

1.9 A lgebra de las f u n c io n e s --- 73

1.10 Com posición de f u n c io n e s --- 83

1.11 Funciones crecientes y decrecientes --- 94

Definición 1.23 : Función i n y e c tiv a - 96 Definición 1.24 : Función sobreyecó va — ... 100

Definición 1.23 : Función b i y e c t i v a --- 101

1.12 Función inversa --- 102

1.12.1 Propiedades de las funciones inversas ---104

1.13 Función longitud de arco --- 115

1.14 Las funciones trigonom étricas — --- 116

1.14.1 Propiedades de las funciones trigonom étricas --- 119

1.14.2 Gráficas de las funciones trigonom étricas ... 123

L I M I T E S _____________________________________________ £?

2.1 Introducción --- 139

Definición 2.1 : Vecindad de un número r e a l ...- ...139

Definición 2.2 : Punto de a c u m u la c ió n ...140

Definición 2.3 : Conjunto a c o t a d o ... - ... 142

Definición 2.4 : Función a c o t a d a ---143

2.2 Noción de lím ite de una función --- 145

Definición 2.5 : Función acotada de una vecindad N --- 147

2.3 El lím ite de una f u n c i ó n ... - 149

Definición 2 .6 : U na definición rigurosa del l í m i t e --- 151

2.4 Teoremas sobre l í m i t e s ... - ... 167

2.5 Lím ite de una función in te r m e d ia --- 177

2.6 Técnicas para evaluar el lím ite de una función — ... 182

2.7 Lím ites l a t e r a l e s ...- --- 202

2.8 Lím ite de las funciones trig o n o m é tric a s ...- ...216

2.9 Lím ites al i n f i n i t o - ... - ... 236

2.10 Lím ites i n f i n i t o s ...— --- 252

2.11 Lím ites infinitos en i n f i n i t o ---261

2.12 Asíntotas y su uso en las representaciones g r á f i c a s --- 269

2.13 Las funciones exponenciales y lo g a rítm ic a s ...285

D efinición 2.21 : L a función p o t e n c i a ... 285

Definición 2.22 : Función exponencial de base a ...286

Definición 2.23 : Función logarítm ica de base a --- 287

2.14 El núm ero e ---1 ---292 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Contenido VII

2.14.1 Propiedades de los límites exponenciales y lo g a rítm ic o s ---297

2.14.2 L ím iíe sd e la fo rm a : l i m [ / ( j c ) = L - ... 298

x-*a

Q j C O N T IN U ID A D ______________________________________

3.1 Introducción ... - ... 307

Definición 3.1 : Continuidad en un p u n t o --- 308

Definición 3.2 : Definición ( e -8) d e la c o n lin u id a d --- 309

Definición 3.3 : Definición en térm inos de vecindades - ... 309

Definición 3 .4 : Condiciones de c o n tin u id a d --- 309

3.2 Puntos de D is c o n tin u id a d ... 315

Definición 3.5 : Discontinuidad e v i t a b l e ---315

Definición 3.6 : Discontinuidad inevitable ---316

3 3 Continuidad lateral --- 324

3.4 Composición de funciones c o n tin u a s --- 326

3.5 Continuidad en intervalos --- 329

3.6 Funciones acotadas --- 341

3.7 Propiedades fundamentales de las funciones c o n tin u a s --- 349

L A D E R IV A D A ______________________________________ £

4.1 Introducción --- 363

4.2 I n c re m e n to s ... - --- 363

Definición 4.1 : Increm ento de una función --- 364

4.3 Tangentes a una c u r v a --- 364

Definición 4 .2 : Pendiente de la t a n g e n t e --- 365

4.4 D erivada de una función en un p u n t o --- 367

Definición 4.4 : Form a alternativa de definir / ’(■*)... 367

D efinición 4.5 : L a función d e r i v a d a --- 369

4.5 D erivabilidad y continuidad --- - ... .. 371

4.6 Reglas básicas de derivación ... - ... — 382

Teorem a 4 .2 : Regla de la c o n s t a n t e --- 382

Teorem a 4 .3 : Regla de la p o t e n c i a --- 382

Teorem a 4 .4 : Regla del múltiplo constante ... 383

VIII Contenido

Teorem a 4 .6 : R egla del p r o d u c t o ...- --- 385

Teorem a 4 .7 : R egla del r e c í p r o c o ... 386

Teorem a 4 .8 : Regla del cociente --- 387

4.7 R egla de la potencia generalizada - --- 390

4.8 Derivada de una función c o m p u e s ta --- 399

T e o rem a4 .1 0 : Regla de la c a d e n a --- 399

4.9 La derivada de una función i n v e r s a --- - - - 401

4.10 Derivadas de orden s u p e r i o r ... 409

4 . 11 D erivación im p l í c i t a --- 422

4.12 D erivación de las funciones tra s c e n d e n te s --- 428

Teorema 4 .1 4 : Derivadas de las funciones trigonom étricas inversas 4 4 1 Teorema 4.17 : Derivada de una función logaritm o de base b --- 452

T e o re m a 4 .18 : D erivadade lafunción e x p o n e n c ia l--- 459

4 .1 9 : Derivada de la función exponencial n a t u r a l --- 459

Teorem a 4 .2 0 : D erivadade la función exponencial p o te n c ia l--- 460

4.13 A lgunos problem as sobre la t a n g e n t e --- 465

D efinición 4.6 : La recta tangente y a recta n o r m a l --- 465

Definición 4.7 : Tangente h o r iz o n ta l... 466

Definición 4.8 : Tangente vertical --- 466

Definición 4.9 : Longitud de la tangente y n o r m a l ... 467

D efin ició n 4 .1 0 : Angulo entre dos c u r v a s --- 468

4.14 La derivadacom o razón d e variación --- 478

Definición 4 .1 1 : Razón promedio de cam bio - ...— --- 478

Definición 4.12 : Razón de variación instantánea --- 479

D efin ició n 4 .l3 : Intensidad relativa y razón porcentual --- 481

4.15 M ovim iento r e c tilín e o --- . . . . 482

Definición 4.14 : Velocidad prom edio e i n s ta n tá n e a --- 483

D efinición 4.15 : L a aceleración in s ta n tá n e a --- 485

4.16 Razones de variación r e la c io n a d a s --- 488

4.17 D if e re n c ia le s --- 506

T eo rem a4 .2 l : El tam año relativo de d y y Ay --- 508

4.17.1 Propagación de errores - ...- --- 508

4.17.2 Aproximación lineal --- 511

4.17.3 Propiedades de las d if e r e n c ia le s ... 515

4.17.4 Diferenciales de orden s u p e r i o r ... 516

Definición 4.16 : Segunda d if e r e n c ia l ... 517

4.17.5 Propiedades de las diferenciales de orden s u p e r i o r ... 518 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Contenido IX

1 0 ) A P L IC A C IO N E S D E L A D E R IV A D A ________________ £

5.1 Introducción ---523

5.2 M áxim os y m ín im o s --- 523

Definición 5.1 : Noción de extrem os --- 523

Teorema 5 .1 : El teorem a del valor e x t r e m o --- 524

Definición 5 .2 : Extremos relativos o l o c a l e s --- 524

Definición 5.3 : N úm ero c r í t i c o ... 525

Teorema 5 .2 : Teorema del extrem o i n t e r i o r --- 526

5.3 El teorem a del valor medio y sus a p lic a c io n e s ---530

Teorema 5 .3 : El teorem a del R o l l e --- 530

Consecuencias del Teorema de R o l l e --- 531

Teorema 5 .4 : Teorem a del valor m edio ( L a g ra n g e )--- 537

Consecuencia del Teorema de Lagrange --- 538

Teorema 5 .5 : Teorem a de C a u c h y ...- ...- - 5 4 5 5.4 Criterio para las funciones crecientes y decrecientes — ...551

Teorem a 5 .6 : Funciones crecientes y d e c re c ie n te s --- 551

5.5 El criterio de la prim era d e r iv a d a ---555

5.6 El criterio de la segunda d e r i v a d a ... — 556

Teorema 5 .8 : C riterio de c o n c a v id a d --- 568

Teorem a 5 .9 : Punto de inflexión --- 571

Teorem a 5 .1 0 : El criterio de la segunda d e r i v a d a --- 574

5.7 Resumen de técnicas para graficar una f u n c i ó n --- 580

G ráfica de una función polinóm ica — --- 580

G ráfica de una función racional ... 583

G ráfica de una función conteniendo un radical de índice p a r 589 G ráfica de una función conteniendo un radical de índice i m p a r 59! Gráficas de funciones s e c c io n a d a s --- 594

Gráficas de funciones trascendentes --- 601

5.8 Problemas de o p tim iz a c ió n --- 611

5.9 El m étodo de N e w t o n --- 637

E C U A C IO N E S P A R A M É T R IC A S ____________________£

6.1 C urva p a r a m é tr ic a --- 647

6.2 Derivación param étrica ---655

X Contenido

6.4 D erivación param étrica de orden s u p e r i o r --- 662

6.5 A síntotas en curvas p a r a m é tr ic a s ---666

6.6 Trazado de curvas p a ra in é tric a s --- 668

F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S ______________________

7.1 In tro d u c c ió n ... 677

7.2 Prim era regla de L’ H o sp ital: Forma 0 / 0 --- 677

7.3 Segunda regla de L’ H o sp ita l: Form a « A » ... 684

7.4 Form as indeterm inadas a d ic io n a le s --- 691

7.5 Las form as indeterm inadas 0 Ü, <»c , 1“ ... - 694

7.6 Funciones h ip e r b ó lic a s --- 698

D efinición 7 .1 : Función seno h ip e r b ó lic o --- - ...698

Definición 7.2 : Función coseno h ip e r b ó lic o ... 698

7.6.1 Identidades h ip e r b ó lic a s ---701

7.6.2 Lím ites h ip e rb ó lic o s --- 703

7 .6 3 Derivadas de las funciones hiperbólicas ... - ... 706

7.7 Funciones hiperbólicas i n v e r s a s --- 714

7.8 Derivadas de las funciones hiperbólicas i n v e r s a s ---716

7.9 Fórm ula de Taylor y aproxim aciones p o lin o m ia le s --- 723

Teorem a 7 .7 : Polinom io de Taylor de grado n - é s i m o ...725

Teorema 7 .8 : Fórm ula d e Taylor con resto de Lagrange --- 727

R esp u estas a ejercicios p r o p u e s t o s --- 738

Preludio al

Análisis Matemático

FUNCIONES

f i T f ) I N T R O D U C C I Ó N

En el estudio de unos u otros procesos del m undo real (físicos, quím icos, biológi­ cos, económ icos, etc.) constantem ente nos encontram os con unas u otras m agnitudes que los caracterizan y que cam bian en el transcurso de los procesos analizados. A m enudo ocurre que la variación de una m agnitud v a acom pañada p o r la variación de otra o incluso, aun m á s , la variación de una m agnitud depende de la variación de otra. Las variaciones relacionadas entre sí de las características num éricas de las m agnitudes analizadas nos llevan a su dependencia funcional en los m odelos m atem áticos correspondientes. Por esta razón , el concepto de fun­ ción es uno de los m ás im portantes en la m atem ática y sus aplicaciones.

Por e je m p lo , la relación entre el áre a de un círcu lo y radio puede se r expresado por la ecuación S - nr2 , d e m odo qu e si escogem os a voluntad algunos valores de r (varia­ ble independiente) obtenem os un único v alo r de S (variable dependiente) para cada r esco­ gido , esto es , si

r = 2 e=> S = 4 r t ; r = 3 =» S = 97c ; r = 4 <=> S ~ 16rc ; r = 5 <=> S = 2 5 it; . . . (1) Si designam os por A = { 2 , 3 . 4 , 5 , . . . } el c o n ju n to d e to d o s lo s ra d io s e s c o g id o s y B = ( 4 ;c , 9 r t , I6tc , 2 5 í t , . .} el conjunto de todas las áreas correspondientes , y si expresamos las m agnitudes (1 ) com o un conjunto de pares ordenados ( r , s) obtendremos una relación funcional de S a través de r :

/ = {(2 ,47t ) , (3 , 9 i t ) , ( 4 , 16ít), (5 , 2 5 ít), . . . } c A x B Es d e c ir, esta correspondencia define una función de A en B.

2 Capítulo I: Funciones

Í Í T l D E F I N I C I Ó N D E F U N C I Ó N

Sean A y B d o s conjuntos no vacíos y sea / una relación binaria de A en B .e s to es , / c A n B . Entenderem os po r función de A en B toda regla que asocia a un elem ento x del conjunto A exactam ente un único elem ento y del conjunto B. D irem os que y es la im agen d e * m e d ia n te /. El D o m ( f ) ^ A , y su rango consta de todas las im ágenes d e los elem entos x d e A. Es d e c ir :

/ es una función d e A en B o para un x € A . 3 ! y € B I ( x . y) e /

(E J E M P L O "P ) Sean los conjuntos A = { I , 2 ,3 ,4 } y B = {a ,& ,c} . E stablecer cuál de los siguientes esquem as constituye una función de A en B.

F I G U R A

11

S o lu c ió n En el diagram a (1): / = { (I , a ) , (2 , a ) , (3 t b ) , (4 , b) } , donde Dom ( / ) = { 1 ,2 ,3 ,4 } y R an( / ) = { a , b} * B . L uego / es una función de A en B , pues cada x e A está relacionado con un único y e B . O bsérvese que no es necesario que R a n (/) = B.

En el diagram a ( 2 ) : g = {(1 , a ) , ( 2 , c ) , ( 4 , b)} , donde Dom (g) = {1 , 2 , 4 } c A y R an(g) = {a , b , c} = B . Luego , g es una función de A en B au n q u ex = 3 € A no esté relacionado con ningún y e B.

En el d iag ram a ( 3 ) : h = {(1 , a ) , ( l , b) , (2 , b ) , ( 3 , c ) . ( 4 , c)} , no es u na fun ció n de A en B , pues si bien el D om (/> = A . existe un x = I e A al cuál le corresponden dos im ágenes:

y = a € B , y = ¿ € B . ■

[Frotación] Para denotar que / es una función de A en B se escribe / : A - » B

j c- > y = / W y se dice q u e :

“ y es la imagen de x m e d ia n te /” “ y es el valor num érico de / en x "

“ y es el transform ado d e x por la función / "

^ O B S E R V A C IÓ N 1.11 U n a fu n ció n / es una a p lic a c ió n d e A en B si y s ó lo si / es un subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de existencia y u n ic id a d :

Sección 1.2 : Definición de Junción 3

i) V x e A , 3 ! y e B | ( x , > ) e / ii) Si (x ,y ) 6 / a ( x , z) e / =* y = z

A s í, en el esquem a (1) el Ejem plo 1 , la función / es una aplicación de A en B porque todo el conjunto A (conjunto d e partida) es el dom inio de / , m ientras que el Ran(_f) c: B (conjunto de llegada).

( e j e m p l o 2 ) Sean A = { -2 ,-1 , 1 , 3 , 4 , 8} y B = {-l , 0 , I , 2 , 3 , 4 , 5 } . H a lla r le y de modo tal que el conjunto

/ = { ( - 2 ,4 ) , (3 . - I ) , (2x , -2 y ) , (3 x - 2y , 2 ) , (3 , x + 3 y ) , ( - 2 , x - 2 y ) , (-1 1)} sea una aplicación de A en B.

Solución De la condición de unicidad de la Observación I . I se tiene

( - 2 , 4 ) e / a (-2 , J t - 2y ) e / 4 = j c - 2 y (1) (3 ,- 1 ) e / a (3 , x + 3y) e / «=* - l = j c + 3 y (2) La solución común del sistem a de ecuaciones (1) y (2) es : jc = 2 , y = -l

L u eg o , / = {(-2 , 4 ) , (-1 , 3 ) , (3 , - 1) , (4 , 2 ) , (8 ,2 )} , d e donde

D o m (/) = { -2 ,-1 , 3 , 4 , 8 } = A y R a n (/) = { - 1 , 2 , 3 , 4 } c B ■

Obsérvese que / transforma cada x e A en un elemento y del ran g o , entonces podemos decir que / transforma al conjunto A en el conjunto R an( / ) £ B , denom inado conjunto d e im ágenes y denotado por / ( A ) . Por lo q u e , definim os :

i) Dom( / ) = { j c e A | 3 ! y E B , y = / ( * ) } = A

ii) R a n (/) = /( A ) = { /(* ) e B I x e A} c B es el conjunto imagen de A mediante /

O BSER V A C IÓ N 1.2 En este libro tratarem os con funciones del tipo / : A —> B . donde A c I R y B c [R , a las que llam arem os Junciones reales d e variable real y denotaremos

/ : (R -> IR x —* y — f ( x) Esto es : / = { (x , y) e IR x IR I y = f ( x ) } o bien : / = { (* , /(*)) € IR * R Ix e D o m (/)}

4 Capítulo l : Funciones Según esta notación , si /(* ) es una función de * y *Q e D o m ( /) , la expresión /( * n) , ya lo hem os dicho .sig n ifica la imagen de *(| o el valor numérico obtenido por /( * ) al sustituir * por x(). Por esta razón siem pre se deftne una función m ediante una ley o fó rm u la, llam ada regla de corres­ pondencia , que perm ite calcular para cualquier * e D o m (/) su imagen y = /( * ) . En consecuen­ cia , una función queda com pletam ente definida si se conocen

1. Su regla de correspondencia/(* ) 2. Su dom inio

P o r ejem plo , sean los conjuntos A = {1 , 2 , 4} y B = {2 , 4 , 8} y la función / : A —» JB I / = { (I , 2 ) , (2 , 4 ) , (4 ,6)} . Si en / denotam os p o r* cualquier elem ento de su dom inio A ; entonces la regla de correspondencia que nos perm ite hallar su correspondiente im agen es / ( * ) = 2* , de modo q u e , sim bólicam ente, podem os escribir

/ = { ( * , 2*> € (Rx [R| * e A}

( T 7 3 J E V A L U A C I Ó N D E U N A F U N C I Ó N

Con frecuencia se describe una función por m edio de una fórm ula que especifique com o se calcula el núm ero /(* ) en térm inos del núm ero*. P or e je m p lo , la fórm ula :

f ( x ) = x 2 + 2 x - 5 , x e IR (1)

describe la regla de correspondencia de una función / que tiene com o dom inio el e je real. La notación funcional tiene la ventaja d e identificar claram ente la variable dependiente com o /(x ) a la vez otorga un nombre a la fu n c ió n . El valor de la función c u an d o * = * M se denota por /( * 0) y se lee “/ d e x ()" , se dice entonces que la función está valuada en *(l.

El símbolo / ( ) puede ser considerado com o una operación que se va a ejecutar cuando se i nsene un valor del dom inio entre el paréntesis. P o r ejem plo , la función definida por la fórm ula ( l ) puede ser descrita como

/ ( ) = ( )2 + 2 ( ) - 5

con paréntesis en lugar de las x. Por ta n to , si querem os e v a lu a r/(-4 ), colocam os sencillamente -4 en cada p a rén tesis:

/ ( - 4 ) = (-4)3 + 2(-4) - 5 = 1 6 - 8 - 5 = 3

N o todas las funciones se definen por m edio de una fórm ula única. P o r e je m p lo , si escribim os

{

*-’ - * + 1 , s i * > 1

._____

v i - * . si * < 1

tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valores son / ( 3 ) = (3)2 - (3) + I = 9 - 3 + 1 = 7

/ ( -3) = V i- ( - 3) = V i = 2

Sección 1.3 : Evaluación de una Junción 5

E J E M P L O 3 ] Sea la función / = {(x , j t - 2 r + 3 ) e R x r | >■ = /(* )} . H a lla r: a) / ( - O , b) m . c ) /( 2 ) , d) E = /(4 + h )h^(4 —

Solución Si x e ER <=> C*2 - 2* + 3) e IR , luego, D o m (/) = IR y Ran (/ ) = [R .

La regla de correspondencia d e / e s f ( x) =x *~ 2x + 3 , por ta n to , la función esta

bien definida.

Describim os la función com o / ( ) = ( )2 - 2 ( ) + 3 , entonces : a) / ( - I ) - ( - 01 - 2 (-l) + 3 = I + 2 + 3 = 6 <=t> la imagen d e -1 es 6 b) /(O ) = (O)3 - 2(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 e=> la imagen de 0 es 3

c ) /( 2 ) = (2)2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 •=> la imagen de 2 es también 3 ó) / ( 4 + h) = (4 + h)3 - 2(4 + h) + 3 y / ( 4 - h ) = (4 - h)2 - 2(4 - h) + 3

^ C = -K4 + h> - ^ 4 - h> _ 4 (4 )(h )-4 h ^ h(16 - 4) _ l2 u

E J E M P L O 4 ] Sea la función / : (R —» IR [ f ( 2 x + 3) = 4xa - I x + 3, hallar la imagen d e x

Solución Hallaremos j ( x ) por dos m éto d o s:

a) M étodo d e l cam bio de variables. Sea u = 2* + 3 ■=> x = u ^

S i / ( 2 r + 3) = 4 ^ - 2 r + 3 t=^ / ( u) = 4 ( - ^ ) ‘ - 2 ( - ^ ) + 3 = u2 - 7u + 15 <=$■ f ( x ) = x 1 - 7 x + 15

b) M étodo directo. C onsiste en describir la función en una form a adecuada escribiendo paréntesis en lugar de las x , esto es

/ [ 2 ( .. . ) + 3] = 4 ( . . ,)2 - 2 ( . . . ) + 3 En los paréntesis se coloca xl2 para elim inar el factor 2 de 2x + 3

/ [ 2 ( f ) + 3 ] = 4 (-§ )’ - 2 ( f ) + 3 « / ( * + 3) = ^ - x + 3 Ahora describim os la función com o : / [ ( . . . ) + 3] = ( .. .)2 - ( . . . ) + 3 En los paréntesis se coloca x - 3 para elim inar el sum ando 3 de ¿ + 3

f [ ( x - 3 ) + 3] = ( x - 3)2 - ( x - 3 ) + 3 =* /(* ) = ¿ - 7 x + 15 ■

[E J E M P L O 5 ) S e a / : I R —»(R| /( V jc - 2 ) = 2 x * - x + 5 , hallar la regla de corresponden­ cia de / (V2 r + 1 ).

Solución U sarem os el m étodo directo describiendo la función como

6 Capítulo I : Funciones Si querem os conseguir 2x + 1 en el radical colocam os 2 x + 3 en el espacio punteado de cada p arén tesis, esto es

/ (V2* + 3) - 2 ) = 2(2x + 3J2 - (2x + 3) + 5 .=> /(V 2 x+ 1 ) = 8x ! + 22v + 20 ■

(E JE M P L O

6 ] Determ inar si el conjunto f = {(*2 + 2 , x) I x e CR} es o no una función

S olu ció n La regla de correspondencia d e / es /C*2 + 2) = x

S e a n * = 2 y x = -2 dos elem entos d e ld o m in io d e / Para x = 2 , f (4 + 2 ) = 2 « / ( 6 ) = 2 => ( 6 , 2 ) e /

x = -2 , / ( 4 + 2) = - 2 « / (6) = -2 => ( 6, -2) e f

D e la condición de unicidad : (at, y) e / a (x , z ) e / t=> y = z , se sigue que

( 6 , 2 ) é / a (6 , - 2 ) e / >=> 2 = - 2

lo cual es falso , por tanto , / no es una función. ■

( 1 , 4 ) G R Á F I C A D E U N A F U N C I Ó N

Cuando el dominio y el rango de una función consisten en números reales ambos , es posible plasm ar el com portam iento de la función en form a gráfica.

Definición 1.1 : GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Sea una función / : A —> B , donde Á c IR y B c IR , se define la gráfica de / , y s e denota G r ( / ) , al conjunto de todos los pares ordenados en los q u e x e A está com o prim er elem en­ to y su imagen y = f ( x ) e B co m osegundo elem ento. Es d e c ir:

G r ( / ) = { ( * , . ) ’) £ E J ] r e A , y ? = / (!* ) ¿ c A x B o bien .

G r ( / ) = { ( X j / W 6 lR ? U ‘ e A j c A x B

P R O P IE D A D E S

G . l : V ate A , existe un par ordenado (a; , y ) e G r ( / ) , es d e c ir, el D o m (G r(/)) = A G .2 : (jr, y) e G rf/ ) a (a: , z) e G r(/) <=> y = z (U nicidad)

G . 3 : Si PC*. y) e Gr( / ) <=> P(* ,y ) e /

(E J E M P L O 7 ) Sea la función / : IR —» CR definida por la fórm ula f ( x ) = -2x2 - 3jc + 5. D ecir si los siguientes pares ordenados pertenecen o no a la G r(/)

a) ( - 1 ,6 ) b) ( 3 /2 .- 4 ) c) ( 4 ,3 9 )

Sección 1.4 : Gráfica de una función 7

Solución Por ia propiedad G.3 se tiene :

a) / ( - l ) = - 2 M )2 - 3 ( - l ) + 5 = 6 = > ( - ! , 6) e / => ( - 1 . 6) e GríJ) b) /(3 /2 ) * -2 (3/2)2 - 3(3/2) + 5 = -4 => (3/2 , -4) e / =» (3 /2 , -4) e Grlf ) c) /( 4 ) = -2(4)2 - 3(4) + 5 = - 39 ( 4 , -39) e / , luego ( 4 ,3 9 ) e G r( / )

(E JE M P LO 8

) Sea la función / : A —> B | f ( x ) = 4 - x2 , A = ( - 2 ,3 ] y B =

[-5

,

5 )

; trazar la gráfica de / m ostrando el conjunto A x B.

S o lu c ió n E n p rim er lu g ar co n stru im o s el rectángulo A x B

(F ig u ra 1.3 ) , lu e g o d ib u ja m o s la g rá fic a d e / , e lig ie n d o lo s p u n to s e x tre m o s y un p u n to in te rm e d io d e A. » A s í , p a ra ¡ * = -2 i A =* / ( - 2 ) = 4 - ( - 2)2 = 0 ^ (-2 ,0 ) e Gr(f) J r = 0e A /(O ) = 4 - (O)3- 4 o ( 0 , 4) e G r( / ) t j = 3 e A o f ( 3 ) = 4 - Í3)2 = -5 => (3 , -5) e G r(f)

Obsérvese que aunque ( - 2 ,0 ) e G r(/),e s te p u n to n o s s irv e c o m o ! referencia para el trazado de la curva. Por lo ta n to : I GlX f)~ { U ,Jí3 - 4 ) |j c e ( - 2 , 3]} c A x B ■ ^

“ I^IGufíÁ V.3 ~ O B SER V A C IÓ N 1.3 Sabemos que una función no debe tener dos pares ordenados con la

mism a prim era com ponente. Según esta definición si se presenta la gráfica de una función en IR- se debe cum plir la siguiente propiedad geom étrica fundam ental: "U na relación / : A - » B , A c [ R y B c = [ R , e s una función real si y sólo si cada línea recta vertical 31 corta a la gráfica de / a lo m ás en un punto” . Es decir : G r( / ) f | 31 - {P} , P 6 [R2 Esta observación proporciona un criterio visual para funciones.

^ E JE M P L O 9 j En las gráficas de la Figura 1.4 , establecer la diferencia entre gráficas de una función y los de una relación.

Solución La gráfica en (a) es la de una función porque una línea vertical A c o rta a la curva de un solo punto P , esto es , a cada elem ento del dom inio le corresponde una d e la

im agen: jc, y,

La gráfica en fb) es la de una relación que no es función pues una línea vertical 31 corta a la curva en dos puntos P, y P , , es d e c ir . a cada elem ento del dominio x l le corresponden varias im áge­

8 Capítulo / ; Funciones

O BSER V A C IÓ N 1.4 L a notación funcional sirve para describir cóm odam ente transform a­ ciones de gráficas en el plano. Algunas familias de gráficas tienen una forma básica com ún y apoyándose en éstas se pueden hacer tres tipos de transform aciones :

1. Traslaciones horizontales 2. Traslaciones verticales 3. Reflexiones.

TIPOS BASICOS DE TRANSFORMACIONES

G ráfica o rig in al:

Traslación horizontal de h unidades a la d e re c h a : Traslación horizontal de h unidades a la izquierda : Traslación vertical de k unidades hacia a b a jo : Traslación vertical de k unidades hacia a rrib a : Reflexión (en el eje X) :

Reflexión (en el eje Y ; :

k > 0 ) V = /tT ) v = / u - h ) y = /( .v + h) y = /( .* ) - k >’ = /(* ) + k y = - / ( * ) W < - r t

E JE M P L O 10 J

M ediante la gráfica de la función f( x ) = (Figura l .5 ) , dibujar el de las funciones a) y s + 2 d) y = V f - x + 2

b) y = - Vic - 1 c) y = Vjc- I - 2 c) y - yJx + 2 f) y = - V x- 2 + l

S o lu ció n a) Si y=*Jx + 2 «=>>• = f ( x ) + 2

Tenemos un desplazam iento vertical de la Gr( / ) b) Si y = - Vx - l ■=>>' = - f ( x ) - l

Reflexión (en el eje X) y desplazam iento vertical d e la G r ( / ) , l unidad hacia abajo. c) Si y = Vjc + 2 o y = f ( x + 2)

F I G U R A 1.5 , 2 unidades hacia arriba.

Sección 1.4 : Gráfica de una Junción 9 Desplazam iento horizontal de la G r ( / ) , 2 unidades hacia la izquierda.

d) Si >■ = VT^Jt + 2 « y = / K x - I)] + 2

Reflexión (en el eje Y ) y desplazam ientos: horizontal 1 unidad a la d e rech a, y v e rtic a l, 2 unidades hacia arriba.

e) Si y = - 2 <=> y = f ( x - 1) - 2

D esplazam ientos: h o rizo n tal, I unidad a la d e rech a, y v ertical, 2 unidades hacia abajo. f) Si y = - \'jc- 2 + 1 •=> y = - f ( x - 2 ) + I

Reflexión (en el eje X) y desplazam ientos: horizontal, 2 unidades a la d erech a, y v ertical, 1 unidad hacia arriba.

O BSERV A CIÓ N J.5 Con relación a la gráfica original y = f ( x ) existen otros dos tipos de transform aciones en el plano que son los siguientes

1. Gráfica de la función g(x) = a f ( x )

a) Si 0 < a < 1 , la Gr(g) se obtienen recortando verticalmente la G r(/) en un factor de a. b) Si a > 1 . la Gr(g) se obtiene estirando verticalmente la Gr(_f) en un factor d e a . En

am bos casos se tom a com o base el eje X. 2. G ráfica de la función %{x) = f ( a x )

a) Si 0 < a < 1 , la G r(g) se obtiene estirando horizontalmente la G r( / ) en un factor Ma b) Si a > 0 , la G r(g) se obtiene recortando horizontalmente la G r(f) en un factor de a . En

10 Capítulo I : Funciones

(E JE M P L O

1 1 j D a d a la g rá fic a d e f (F ig u ra l . 7 ) , d ib u ja r la g rá fic a de ia fu n c ió n g (x ) = 2 - / ( x + l ) , lu e g o , indicar su dom inio y rango.

S olución O btenem os la G r(gj haciendo las siguientes transform aciones

a) >’ = /(■* + 0 »traslación horizontal l unidad a la izquierda b) >' = - f ( x + l ) , reflexión en el eje X

c) y = - f ( x + l) + 2 , traslación vertical 2 unidades hacia arriba.

Leyenda

a) b) c ) ---D o m (g ) = [ - 6 , 5 > - { - 1 } R a n (g ) = [-3 ,4 ]

E JE M P L O 12 )

M ediante la gráfica de la función

/(

jc

)

= (Figura l .5 ), dibujar el de las funciones (Ejemplo de la OBSERVA CION 1.5)

a) g (* )= ( 1 / 2 ) ^ , x e [ 0 .4 ] c) e ( x ) = ^ I x / 2 , y e [ 0 ,2 ]

b) g(*) = 2-Jx , x e [0 ,4 ] d) g(*) = <2x , y e [0 , 2 ]

Solución a) g(*) = .=> g ( x ) = - i- /( x ) , a = ^ e < 0 , l )

E JE R C IO O S : C r u p a l 11

D ibujam os la G r tg ) , recortando verticalmente la G r(/) en un factor d e a = 1/2 , tom ando como referencia el eje X.

b) g(x) = 2 V* •=> gC*) = 2 / ( * ) , a = 2 e <1 , + ~ )

L u e g o , trazam os la Gr(g) estirando verticalmente ia G r(/) en un factor de a = 2 , tom ando com o base el ejeX .

c) Si g(*) = ^ 2 ^ g(x) = / (jc/2) , a = \ e <0, 1>

Dibujam os la Gr(g) estirando horizontalm ente la G r(/) en un factor de 2 a partir del eje Y. d) SÍg(*) = ^2X «=* g(x) = / ( 2x)

D ibujam os la G r(g) recortando horizontalm ente la G r ( /) en un factor de 1/2 a p artir del

eje Y. ■

E J E R C I C I O S . Grupo 1

*•* En los ejercicios I al 4 , determ inar si el conjunto de pares ordenados dado , es o no una función

1. {(jc + 4 , * ) U e (R> 3. { ( x - I . j ^ + Z r j U e IR}

2, (x3 - 4 , x ) ! x e (R} 4. { [(x + 1 3 ) . (* ,.y)] l(* ,>’) e IR2} 5. Si / e s una función real de variable r e a l, tal que f ( x + 3) = x2 + 3 , hallar el valor de

E = f { a + 2 ) - f i a - 2 ) a - 1

6. S i / es una función real tal q u e / ( * - 2) = 3jc-11 >’ ^ — — = 6 , a # 2 , hallar el valor de a.

7. Sea la función /( x ) = a x2 + fcx + c t a l q u e / ( - l ) = 0 . /( 1 ) = 8 y / ( - l ) + / ( l / 2 ) 15/4, hallar f(2).

12 Capítulo I : Funciones 8. Sea f ( x ) = a x 2 + b x +c , verificar que f ( x + 3) - 3 f ( x + 2) + 3 f ( x + I) - f ( x ) — O

9. Si / es una función real tal que f ( ^ 3 x + 4 ) = 9a:2 + 36x + 3 2 , hallar / (\íx + 2 ) 10. H allar / ( * ) , s i : a ) / ( * + O = jc2 - 3x + 2 b) / ( 3a: - 2 ) = 9jt2 + ¿a: - 8 c) / ( * + “ ) = * 2 + - T ■ ó) / ( ^ ) = at+ V T T * 2 ,a: > 0 f ) f ( x - j ) = , x* 0 X I x ‘ \ X

11. H allar la regla de correspondencia de la función f ( x ) = a x 2 + b x + c que tiene a CR com o su dom inio y tal que / ( - I ) = 3 , f ( 2 ) = 0 y / ( 4 ) = 28

12. Sea / ( n ) la su m a de n térm inos de una progresión aritm ética. D em o strar q ue : Sn = / ( n + 3) - 3 /(n + 2) + 3 /(n + l ) - / ( n ) = 0

[ Sugerencia : Sea la P.A.ra , a + r , a + 2 r a + ( n - ] ) r ^ Sn = /(n) = a n + ^ (n - l)r]

13. M ediante la gráfica de f ( x ) = U l , (Figura 1 .1 0 ), dibujar el de las funciones a) > = | a: | - 2 c ) y = - U -2 | e) y = 2 - 1 1 - jrt

b ) y = U + 3 l d) y = U + l l - 2 f ) y = ^ U - 2 |

14. U sando la gráfica de f ( x ) = , (Figura 1. I I ) , dibujare! de las funciones a) y = ^íx - 1 c) y = ylx~ I e) y = ~ tfx.

F I G U R A 1 .1 0

15. D ado la gráfica de la fun­ ción / (Figura 1.1 2 ), dibu­ ja r la gráfica de la función g(*) = 5 - / ( - * + 3 ).

F I G U R A 1.11

F I G U R A 1 .1 2 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.5 : Determinación del dominio de una junción 13

[ 1 , 5 ) D E T E R M IN A C IÓ N D E L D O M IN IO D E U N A F U N C IÓ N

C uando una función viene dada por una fórmula o regla de correspondencia, se suele sobreentender qu e el dom inio consiste de todos los números para los que la regla de correspon­ dencia está bien definida. A hora bien . el dom inio de una función puede describirse explícita­ m ente junto con la función o estar implícito en la fórm ula que define a la función. P or ejemplo , para las funciones

a) / : A - » B , A c t R , B c l R b) g(jt) = V 7 7 2 , 2 < x < 7 el dom inio está descrito explícitam ente, pues en

a) D o m (/) = A = { j r e A l B ! > e B , y ~ /(* )} b) Dom (g) = {jc| 2 < x < 7 } = [2 ,7 ]

Por su p a rte :

a) Las funciones polinómicas

/<*) = a D* n + a „ - i * " ', + ■ • ■ ■ + a Jx 2 + a ¡x + a 0 , a o * 0 tienen por dom inio im plícito al conjunto IR.

b) Las funciones racionales de la forma : f(x) =

qtó

tienen com o dom inio im plícito a t R - { x € (Rlq(.r) = 0 }

c) Las funciones con raíces de índice p a r : / ( x) = >/g(jc) , n e Z + tienen com o dom inio im plícito al conjunto {x e IR I g(x) > 0}

d) Las funciones con raíces de índice im p ar: f ( x ) - , n e Z + tienen como dom inio implícito al dom inio de g (x ), e s to e s , D o m (/) = D om (g)

x V* 2 - * - 6

¡E JE M P LO I ' )

D eterm inar el dom inio de las siguientes funciones a) f { x ) - x* - + 3x - 1 d) h(x) = b) / ( x ) = <39- x 1

c) g(x) = V 4 -V 2 4 -2 a - x2 e) /(* ) = V . 5^ " 22jt + 5

Solución" a) E ID o m (/) = (R , pues se trata de una función polinóm ica de tercer grado. b) P ara qu e la función / tenga s e n tid o , 9 - jí1 ha de ser p o s itiv o , es d e c ir , / es

real «■ 9 - ^ > 0 •=> x * - 9 < 0 <=> - 3 < x < 3 ■=> D om ( / ) = t - 3 , 3 ] c) Del m ism o m o d o , la función g tienen s e n tid o , si y sólo s i :

14 Capítulo / : Funciones <=> [ ( * + l f < 2 5 ] a [ ( * + 1 ) 2 > 9 ] <=> ( - 5 < j + 1 < 5 ) a ( h ! < - 3 v í + I > 3 ) <=> ( - 6 < x < 4 ) a ( x < - 4 v x > 2 ) <=> ( - 6 5 x < - 4 ) v ( 2 < * < 4 ) .*. D om (g) = [-6 , -4] U [ 2 , 4 ] d) Si h(x) = . x- <=> D om (h) = {jce IR l(x + 2) ( x - 3) > 0 } \ ( x + 2) (x - 3) = {x e IR I x < -2 v x > 3} = x e - 2 ) U ( 3 , + « )

e) Tenemos una funcióncon raíz de índice im p ar, luego ,D om (.f) = D o m (g ), donde x - 2

g t o =

(x + I )(x - l) ( 2 x - 5 ) , x * - l , 1 , 5 / 2 ■=> D o m (/) = IR - {-1 , I , 5/2}

Definición 1.2 : IMAGEN DIRECTA D E UN CONJUNTO

Sea una fu n ció n / : A B , donde A ^ K y B e : [R. Si M e A = D o m ( /) , s e denom ina la; imagen directa de M m ediante f , al conjunto / ( M ) , donde

/ ( M ) = { f ( x ) \ x e M } e B y se l e e “ conjúnte de las im ágenes de x , tal q u e x € M ” o bien :

/( M } ,= { y * B | 3 x . e M , y = m } Según esta definición: y e /( M ) <=> 3 x e M | y = /(x )

E n particular si M = A , entonces /( A ) se llama imagen d e l dominiode / . A d e m á s, para toda función / se tienen que / ( ó ) = <¡). En la Figura l . 13 , obsérvese que /( M ) es la proyección de la G r ( / ) , con dom inio M , sobre el eje Y.

PROPIEDADES

ID . 1 : S i / : A - » B , M c A y M c N *=> /(M ) c /(N )

ID . 2 :

Si

/ : A —»B , M c A y N c A => / (

M U N )

= / (

M) U

/ ( N)

Sección ¡.5 : Determinación del dominio de una función 15 I D . 3 : Si / : A —» B , M c A y N c A => / ( M f l N ) c / ( M ) n / ( N)

I D . 4 : Si / : A —► B , M c A y N c A «=> / ( M ) - / ( N ) c / ( M - N )

E JE M P LO 2 ]

D ado el conjunto M

= [ -

1 , 4 ) y la función

/ :

A B definida por 3 + 2x , si -2 < x < I

6 - 2 x , si l < x < 4 H a lla ría ) /({ O , 1 , 3 } , b) / ( M ) , c) Construir su gráfica

m =

S o lu c ió n L a función está definida por dos fó rm u las:

f t( x ) ~ 3 + 2x , r e [ - 2 , 1) y f 2(x) = 6 - 2 x , x e [1 , 4 ) Luego ; A = D om ( / ) = [ - 2 ,1 ) U [ 1 , 4 ) = [ - 2 ,4 ) a) P o r la D efinición 1 . 2 : / ( M ) = { /(* ) I* e M } ^ / ( { 0 , 1 , 3 } ) = { /( O ) , / ( l ) , / ( 3 ) } d o n d e :/( O ) = /,(()) = 3 , / ( ! ) = /,< 1) = 6 - 2 = 4 y /< 3) = f 2( 3) = 6 - 2 ( 3 ) = 0 Por lo tanto , / ( { 0 , 1 , 3}) = { 3 , 4 , 0 } b) C o m o M c = A .=* M = M ,U M2= [ - l , 1) U [1 , 4) Luego , V x e M ( = [ - 1 , 1 ) , e s to e s : S i -1 <jc< 1 e* - 2 < 2 * < 2 ^ 3 - 2 < 3 + 2 x < 3 + 2 ■=> - 1 < / ,( * ) < 5 V jre M2 = [1 , 4 ) => 1 < x < 4 .=> - 8 < 2 * < - 2 «=> -8 + 6 < 6 - 2 * < - 2 + 6 ■=> -2 < f 2(x) < 4 E n to n ces, /(M ) = {/ (* ) = / ,(* ) U / 2U ) U e ( M ^ M j ) } = [ - 1 , 5 ) U < -2 ,4} = < -2 ,5 )

c) La G r(/) ju n to con la de /(M ) se muestran en la Figura 1.14

F I G U R A 1.14

(E JE M P LO

3 ) Sea la función / : A —> B I f ( x ) = x2 - 2x - 4 . Si B = /( A ) = (-5 , 4 ] , hallar el conjunto A.

Solución H allarem os el conjunto A = D o m (/) partiendo de /(A ) = { /(* ) e B I x e A} = B ,

esto es , si /(* ) e (-5 , 4 ] , entonces

- 5 < ^ - 2 x - 4 < 4 =? - 5 < ( j c - l )3 - 5 < 4 » 0 < ( j t - 1)3< 9 <=> 0 < * - 1 < 3

16 Capítulo I : Funciones

Definición 1.3 : FUNCIONES IGUALES

S ean d o s fu n cio n es / : A -4 B y g .i A -r> B , Sé dice q u é / y g son iguales , y s é denota / ss g , si y sólo si G r ( f ) - G r(g) com o subconjuritos de A x B ,.esto es

/ = g w V « A , /( * ) = fe(jc) equivalentemente

/ * g o 3 x e A ]/C x)*g£jc)

( E J E M P L O 4 : ) Sean las funciones / ; [ - 1 , 3 ] - * [ - 5 , 4 ) l / ( x ) = 2 x ~ 3 y g : [-1 ,3 ] - i [ - 5 ,4 ) tal que g(x) = ^ - D eterm inar si / = g

So lu ció n Un dibujo de la G r( / ) se m uestra en la Figura 1.15 , en donde

G r(/) = { ( x , 2 x - 3 ) \ x e [-1 . 3]} c [-1 , 3] x [-5 ,4 )

En g , factorizando el num erador o btenem os: g(x) = ^ ^ ^ = 2 x - 3 , x ^ 4 Un dibujo de la Gr(g) se m uestra en la Figura 1.16 , en donde se observa que

G r(g) = { ( a , 2 x - 3 ) U € [ - 1 ,3 ]> c=t-l . 3 ] x [ - 5 , 4 >

En consecu en cia, si G r ( /) = G r(g) e ^ > / = g ■

Definición 1.4 : FUNCIÓN RESTRINGIDA

Sean los conjuntos A , B y D su b c o n ju n tp sd e iRy , sea la función / : A ~> B. Si.definimos la fu n d ó n

g

: D -4 B , tal que

./(*) - £(*)■ x e D . D c A

entonces se dice que la función g e s la restricción d e / a l conjunto D.

E quivalentem ente, si / : A -4 B tienen unu restricción g ; D -4 B y.D c A f entonces se dice q u e / e s una extensiórrde g al conjunto A.

Sección 1.6 : Determinación úel rango de una función 17 P or ejem plo , sean los conjum os A = (-1 , 3 ] , B = (-1 ,4 ] y D = [0 , 3] , y sea la función / : A —f r B l / t x j s S + Z c -x ^ c u y a g ra fic a s e m u e s tra e n la Figura 1.17. Si definimos la función g : D - * B de m odo tal que f ( x ) = g(x) , V x e D , decim os entonces que la función g es la restricción de / al conjunto D (Véase la Figura 1. 18). En las gráficas de / y g se observa respec­ tivamente que

i) R an( / ) = /( A ) = [ 0 , 4 ] c B ii) Ran(g) = /( D ) = [ 0 , 4 ] c B

( 1 . 6 ) D E T E R M IN A C IÓ N D E L R A N G O D E U N A F U N C IÓ N

E n la determ inación del rango de una función se presentan dos casos.

C aso 1 Cuando el dom inio está im plícito en la regla de correspondencia que define a la función.

En este caso se despeja x en función de y , luego se analiza para que valores reales de y , * es real.

E J E M p f o 5 ) H allar el rango de la función f ( x ) ~ ■ ,

V ■ 1 J e ' x 2 + 4

Solución Sea y = f ( x ) <=> y(jt3 + 4)=.T 2 <=> * = ± 2 s j |

«=> jc 6 (R <=> — > 0 => — < 0 <=> 0 < v < 1

1

- y y

- 1

L u e g o , R a n (/) = { y e I R l O < y < I } = [ 0 , l >

C aso 2 Cuando el dom inio está descrito explícitam ente ju n to con la fórm ula que define a la función. Es d e c ir, si / : A - » B , entonces R a n (/) = / ( A ) c B ■

( e j e m p l o 6 ) Sea la función / = {(* , y) e tR3 |/( .t) = 4 + 2 x - jr2 , x e [ - 2 , 4 ] } . D eterm inar su rango.

18 Capitulo I : Funciones

Solución C om o A = [ - 2 , 4 ] «=> R an (/) = / ( [ - 2 , 4 ] )

L u e g o , si f ( x ) = 5 - { x ? - 2 x + 1) .=> /( * ) = 5 - (x - l)2

Llegarem os al segundo m iem bro de esta fórm ula partiendo dei dom inio de la función, esto e s : 1. Si j r e [ - 2 ,4 ] =» - 2 < * < 4 <=> - 3 < J t - 1 < 3 « ( - 3 < j t - I < 0 ) v ( 0 <jc- 1 < 3 ) 2. Elevando al cuadrado : ^=> 0 < (x - 1 )2 < 9

3. M ultiplicando p o r -1 : <=> -9 < - (jc - I)3 < 0

4. F in alm en te, sum ando 5 : <=> -4 < 5 - (* - I )2 < 5 <=> -4 < f ( x ) < 5

R a n ( / ) = { y e ( R l - 4 < y < 5 } = [ - 4 , 5 ] ■

(E JE M P LO 7 )

Hallar el rango de la función

/ = { (

~~l¡") I

x >6

j-Solución R egla de correspondencia de la función : f ( x ) = ^ = 3

-Si A = (6 , +°°) <=> R an( f ) = /( A ) = /((6 , +°°)) Obtendremos el segundo m iembro de esta fórm ula partiendo de x e A

1. S i ; t> 6 « = * j c - 5 > 6 - 5 i = > j » : - 5 > 1 < = > —1— < i ( S i * > a ■=> -7 < n )

x - 5 ■*

2. C o m o x - 5 > I .tam b ién x - 5 > 0 ^ ^ > 0 (Si a e [Ry a > 0 ■=> ^ -> 0) 3. Luego , de los pasos ( I ) y (2) se sigue que : 0 < —^5 < *

4. M ultiplicando p o r -1 : - 1 < - — — < 0 «=* - l + 3 < 3 - —— < 0 + 3

jc - 5 x - 5

5. De donde : 2 < f ( x ) < 3 => R a n (/) = { y e 1R 1 2 < y < 3} = ( 2 , 3 ) ■

Í Í 7 T > F U N C I O N E S C O M O M O D E L O S M A T E M Á T I C O S

Del uso y aprovecham iento del lenguaje de las funciones se puede expresar diversos tipos de situaciones p rácticas, que tienen que ver con la geom etría, físic a , eco n o m ía, biología, etc, en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un m odelo m atem á­ tico de tales situaciones. Los ejem plos que siguen muestran el procedim iento im plícito en la obtención de algunos modelos matemáticos.

(E JE M P LO 8 )

Determ inar una función que exprese el área del rectángulo de base x y perímetro 2a ( f l>0) .H allar el dominio y el rango de la función obtenida.

Sección I.7.: Funciones como modelos matemáticos 19

F I G U R A 1.1 9

Solución Designemos p o r* e>' las dimensiones del rectángu­

lo (Figura 1.19)

1. Por geom etría sabem os que su área esta dada por A = x y

2. C om o la fórm ula de A está expresada en térm inos d e dos variables x e y , usarem os el hecho de que el perím etro del rectángulo e s : 2 x + 2 y = 2a =* y = a - x

3. L u e g o , en el paso (2 ): A(x) = x(o - x ) , a > 0

4. A h o ra , de esta últim a fórm ula debem os especificar el dom inio de la función A. O bvia­ m ente, só lo lo s v a lo re sx > 0 producirán rectángulos e fe c tiv o s , esto e s , si A (x )> 0 ^ x(a - x) > 0 <=> 0 < x < a (=> Dom(A) = { 0 , a)

A s í, la definición com pleta del área es : A (x) = ex - x2 , x e (0 , a) 5. Rango de la función : A(x) = a x - x 2 = y - - [ x - y ) 1

6. Si 0 < x < a i=> - y < x - y < y =5 0 < ( x - y )2 <

7. M ultiplicando por - 1 : - y - < - ( x - y ) < 0 > = > 0 < y - - ( x - y ) “ "4~ .=> 0 < A (x) < a V 4

.% R an(A ) = { y e Í R l O < y < a 2! 4} = (0 , a2/4] ■

[E JE M P LO 9 J

U n hom bre está en un bote a 2 millas del punto más próxim o de la costa. Tiene que ir al punto Q (Figura 1.20), situado 3 millas m ás abajo por la costa y a una milla tierra a dentro. Puede rem ar a 2 m illas por hora y andar a 6 millas por hora. Expresar el tiem po T de su recorrido en función de x.

Solución El espacio rem ado por el h o m b re e s : PA = _s/jt2 + 4

y el espacio cam inado es : A Q = VI + (3 - x)2 espacio

Sabiendo que el tiem po = »entonces el tiempo T de su recorrído de P a Q es : T = - ^ + ^ ■=> T(x) = 1 ^ + 4 + - M x2 - 6x + 10 , x e ( 0 ,3 ) ■

20 Capítulo ¡ : Funciones

10

]

En una circunferencia de radio r

=

5 , se inscribe un triángulo isósceles. E xpresar el área del triángulo en función de su altura.

S ú fa ció ti 1. S ea BH = x la altura del triángulo isósceles A BC y sea A C = 6 la longitud

del lado desigual.

2. El área del triángulo A B C es S = -^ (AC) (BH) = 3. En el triángulo rectángulo B C D : HC2 = BH x HD

(L a altura es m edia proporcional entre los segm entos en que divide a la hipotenusa) 4. Entonces : (6/2)2 = x (2 r - x ) , de d o n d e , 6 = 2 Vx (2r - x)

5. L u e g o , para r = 5 , en el paso ( 2 ): S(x) = x V x (1 0 -x ) 6. Como S (x )> 0 c=> x ( I O - x ) > 0 0 < x < 10

S(x) = x Vx (10 - x) , x € ( 0 , 1 0 ) ■

(EJEM PLO 1 1 ]

El gerente de una tienda de m uebles com pra refrigeradoras al precio de m ayoreo de $ 250 cada uno . Sobre la base de experiencias pasadas, el gerente sabe que puede vender 20 refrigeradoras al m es a $ 4 0 0 cada uno y un refrigerador adicional al m es por cada reducción de $ 3 en el precio de v e n ta Expresar la utilidad mensual U com o función del número x de refrigeradoras mensualmente vendidas.

S p U if& n ' Interpretem os el enunciado del problem a con el significado d e que el precio de

venta p de cada refrigerador es im puesto al com ienzo de cada mes y que todas las refrigeradoras se venden al m ism o p re c io . E n to n ces:

1. La utilidad unitaria d e la venta de cada refrigerador e s : u = p - 250 2. L a utilidad m ensual total U de la venta de x refrigeradoras es

U = x u = x ( p - 250)

3. D esignem os por n el núm ero de reducciones de $ 3 hechas al precio de venta o rig in a l, de

modo q u e : p = 400 - 3n

4. Com o se pueden vender n refrigeradoras m ás que los 20 o rig in ales, entonces x = n + 2 0 , de d o n d e , n = x - 20

5. En el paso (3) se deduce q u e : p = 40 0 - 3(x - 20) = 460 - 3x 6. Sustituyendo este valor de p en el paso (2) obtenemos la fórmula

U(x) = x ( 2 l0 - 3 x ) = 3x(70 - x)

para la utilidad m ensual U com o función del número x de refrigeradoras vendidas al mes. 7. D ado que seria inaceptable la utilidad n eg ativ a, entonces si

U (x) > 0 « 3x (70 - x) > 0 <=> 0 < x < 70 Por lo q u e , la descripción com pleta de la función utilidad es

U(x) = 3x(70 - x) , 0 < x < 70 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS G ru p o 2 21

8. Para el cálculo del ra n g o , escribimos

U U ) = 3 (7 ttc -x 2) = - 3 ( x 2-7 0 x + I225J + 3675 *=* U(x) = -3 (x - 35)3 + 3675 Llegamos al segundo miembro de esta fórm ula partiendo del d o m in io , esto e s , si

0 < x < 70 -35 < x - 35 < 35 ^ 0 < (x - 35)3 < 1225 M ultiplicando por - 3 : - 3675 < -3 (x - 35)2 < 0

Sum ando 3675 : 0 < 3675 - 3(x - 35)2 < 3675 <=* U(x) e <0, 3675]

9. O b sé rv e se q u e la utilidad m áxim a es de $ 3675 y ocurre cuando x - 35 = 0 , e s d e c i r , s i x = 35 el precio de venta óptim o p , dado en la ecuación del paso ( 5 ), e s :

p = 4 6 0 -3 (3 5 ) = $ 3 3 5 ■

E J E R C I C I O S . Grupo 2

•í* En los ejercicios 1 al 1 2, hallar el dom inio y rango de la función dada. D ibujar su gráfica 1 . /(x ) = < 4 ^ 7 3. f ( x ) = V2 + X - X 2 4X2 - I 2. / ( x ) = V2 + X - X 2 5. g(x) =

7- /€*) =

9. m = i i . m = 2x + 1 6 x + 7 , si x < - 2 4 - x , s i x> - 2 ( x + l ^ x2 + 3 x - 10) x2 + 6x + 5 x4 - 3x3 - 1 Ix2 + 23x + 6 x2 + x - 6

13. Dado el conjunto M = [ - 2 ,4 ) y la función f definida por x + 1 , s i -2 < x < 0 4. /( x ) = Vx2 - 3x - 4 6. /( x ) = Vóx2 - 5x - 4 x2- 4 , s i x < 3 8. g(x) = 10 . g(x) = 12 . h(x) = 2x~ 1 , s i x > 3 xA + 2x3 - 7x 3 - 8 x + 12 x2 + 2 x - 3 x3 - x2 - 1 3x - 3 x + 3 /(* ) = x3 - x + 1 , si 0 5 x < 4

H allar: a) / ( M ) , b) / ( { - l , l , 2 } ) , c) C onstruir su gráfica 14. Sea el conjunto M = [-3 , 5) y la función / definida por

3 - 2x - x2 , si - 3 < x < 2 2 x - 6 , s i 2 < x < 5

H allar: a) /( M ) , b) / ( { - ! . 1 , 4}) , c) C onstruir su gráfica m =

22 Capitulo J : Funciones

15. Sea la función / : [R —»(R definida p o r/(jr) = x* - 6 x + 4 . a) Dado el conjunto M = ( l , 4 ] , representar gráficam ente el conjunto {(x ,/ ( * ) ) I x e M } . b) H allar el c o n ju n to /(M ). *•* En cada uno de los ejercicios 16 al 21 , determ inar analíticam ente el rango de la función. 16. / : [-1 , 2 ) —> Í R | / ( x ) = x2 + 2 17. f : ( - 2 , 3] -> CR | f ( x ) =jc3 + 4jc- 1 18. / : [-2 , 2) —» [RI f ( x ) = 3 + 2 r - j t 19. / : [ 0 , 5] —» [R | f ( x ) = - x 1 + 4 x - l 20. / : (-1 ,2 ] —> [ R |/( jt) = I + V3 + 2jc- jt1 21. / = { ( x , - ^ ) | ^ (x2- 4 ) > 0 } 22. Sí el área total de un cono circular recto m ide 4 n u2 , hallar su altura com o función del

radio. D ar el dom inio y dibujar la gráfica de la función.

23. Hallar la función que exprese el área de un triángulo isósceles en térm inos del lado desigual x , sabiendo que la longitud del perím etro es 2a. A d e m á s, hallar el dom inio y rango de la

función.

24. La altura de un cilindro es igual a su radio . Exprese el área total A d e la superficie (inclu­ yendo am bas bases) en función de su volumen.

25. Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 piesJ . Su base debe ser doble de largo que de ancho. El material de la tapa vale $ 10 p o r p ie2 y el de los lados y b a s e , $ 5 por pie2. Expresar el costo de construcción de la caja com o una función de uno de los lados de la base.

26. El peso aproxim ado del cerebro de una persona es directam ente proporcional al peso de su c u e rp o . y una persona que pesa 150 Ib. tiene un cerebro cuyo peso aproxim ado e s de 4 Ib. a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del cerebro com o una función del peso de la persona, b) D eterm ine el peso aproxim ado del cerebro de una persona que pesa 176 Ib.

27. Una página impresa contienen una región de impresión de 24 pulg2 , un margen de 1.5 pulg. en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulg, en los lados, a) Encuentre un m odelo m atemático que exprese el área total de la página com o una función del ancho de la región de impresión, b) Cuál es el dom inio de la función.

28. A un cam po de form a rectangular se le colocaron 240m de cerco, a) E xpresar un modelo m atem ático que exprese el área del terreno com o una función de uno de sus lados, b) Qué dim ensiones debe tener este cam po rectangular para que su área sea m áxim a ? D eterm inar dicha área.

29. Una ventana tipo norm anda tiene la figura de un rectángulo rem atado por un sem icírcu lo . Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perím etro de 200 p u lg ., y que la cantidad de luz transm itida es directam ente proporcional al área de la ventana .a ) Si r pulg. es el radio de sem icírculo, exprese la cantidad de luz transm itida por la ventana com o función de r. b) Cuál es el dom inio de la función resultante?

Sección 1.8 : Funciones especiales 23 30. Un cam po petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de

petróleo. Por cada pozo nuevo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada uno dism inuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del cam po petrolero en función del núm ero x de pozos nuevos que se perforan.

( 1 . 8 ) F U N C I O N E S E S P E C I A L E S

Definición 1.5 : FUNCIÓN IDENTIDAD

Es aquel la función denotada p o r I : (R —» CR .d o n d e el dominio y el rango es el conjunto de los números reales y que tiene com o regla de correspondencia

I(x) = x . V * e IR

Es d e c ir, en esta función cada número real se corresponde a si mismo. Su gráfica (Figura l .22) es la recta de pendiente m = T g 45c * l , denotada por

G r(l) = { ( x , x ) \ x e IR}

pasa p o r el origen de coordenadas como bisectriz del prim er y tercer cuadrante. Cuando e! dom inio de esta función está restringido a un conjunto A <z IR , se denota t A , esto es :

I A(x) = x , Vx e A.

En la Figura l .23 se m uestra la gráfica de una función identidad sobre el conjunto A = ( - 2 , 3 ] , esto e s , G r(IA) = { x , x ) \ V x e A = ( - 2 ,3 ] } .

Definición 1.6 : FUNCIÓN CONSTANTE

E s aq u ella función denotada p o r C , co n d o m inio IR y el rango co n siste en un núm ero real k , cuya regla de correspondencia es

C = { (* , >•)!>• = k} o b ie n :

24 Capítulo ¡ : Funciones L a gráfica de esta función es una recta horizontal (Figura 1.24)

denotada por

G r(C) = { x , k) | V* e IR}

C onsiderando que la gráfica de una función constante pasa por el punto ( O , k) y es paralela al eje X , la posición d e la recta depende del valor de k.

1. Si k > 0 , la G r(C) es una recta horizontal situada por encim a del eje X

2. Si k = 0 , la G r(C ) es el eje X , se d ice en to n ces q u e la función es n ula , esto e s , y = 0, V x e IR.

3. Si k < 0 , la Gr(C) es una recta horizontal situada debajo del eje X.

Definición 1.7 : FUNCIÓN LINEAL

Es aquella función / : IR —► IR cuya regla de correspondencia es /( x ) = m x + b

donde m y 6 son núm eros reales fijos y til * 0

Su gráfica es una línea recta ÍB (Figura 1.25) cuya pendiente o coeficiente angular es m y su ordenada en el origen es b.

TEOREMA 1.1

Sean x ,.,..^ » y , , y2 núm eros reales tales q u e x ^ jq .,y entonces existe una única función lineal / tal que

= / ( * ,) e y 9 =

D em ostración En e fe c to , sean P ^ x , , y ,) y P2(x2 , y2) dos puntos diferentes cuyas coordena­

d as satisfacen la ecuación : / ( x ) = m x + b . C om o y = f ( x ) , escrib im o s ento n ces y = m x + b , luego , deben e x istir los n úm eros re a le s m y f c . m í O , tales q u e :

y {- m x t + b ( I )

y2 = m x , + b (2 )

y2 - y ,

Restando am bas ecuaciones obtenem os: r _ y = m (3 )

2

1

y sustituyendo (3) en (1) se tie n e : y, = + b «=> b - (4)

Si los núm eros reales m y fc existen por las ecuaciones (3) y (4) , entonces la función lineal también existe y está definida por

F I G U R A 1.2 4

Sección ¡.8 : Funciones especiales 25

Por le q u e : ,( * ,) = ) * , +

x 2 y r x iyi

/(*,) = >,

O B S E R V A C IÓ N 1.6 En el triángulo P, Q P2 de la Figura 1.26 , se tiene Tgct = T g a = - ^ 1 * In

P,Q x 2- x ,

La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo d e inclinación.

O B S E R V A C IÓ N 1.7 Para determ inar la ecuación de una recta basta conocer dos puntos de ella con los cuales se calcula su pendiente. luego eligiendo cual­ quiera de los dos puntos com o punto de paso . por ejemplo P ((jr,, y , ) . y P(x , y) com o punto genérico, se sigue que

y ~ y

m = 7 7 T ** y - y ^ m O c - x J

EJEM P LO 1

J

H allar la función lineal para la cual se cum ple que 2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 l y / ( - 3 ) - 3 / ( l ) = - l6

Solución Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * +b ( I )

Si 2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 1 <=> 2(2m + 6) + (4m + ¿) = 2 1 >=> 8m + 36 = 2l (2) /(-3 > - 3 /(1 ) = 16 (-3m + ¿) - 3(m + 6) = - 16 ^ 3m + ¿ = 8 (3) La solución com ún de las ecuaciones (2) y (3) e s : m = 3 y b = - I

Entonces en ( I ) , la función lineal está definida por la fórmula

26 Capítulo I ■ Funciones

( e j e m p l o 2 ) H allar la función lineal tal que / [ / ( * - 1)] = 16* - I

Solución

Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * + b (I )

E n to n ces, / ( * - 1) = m(* - 1) + b = in* - in + b (2) En (1) , su stitu im o s* p o r/ ( * - I) y obtenem os : / [ / ( * - I)] = m / ( * - l ) + ¿

D e la condición dada y de (2) se sigue q u e :

16*- 1 = m (m * - m + 6) + 6 «=^ 16* - 1 = mí* + &(m+ l ) - m 2 í m2 = 16 <=> in = ± 4

Identificando coeficientes: <

( b(m + I) - m2 = -1 e s b = in - I

E n ( 3 ) , para m = 4 , b - 3 y pasa m = -4 , b — -5 ; 'p o r ta n to , en ( 1) , hay dos soluciones / ( * ) = 4 * + 3 o /( * ) = - 4 * - 5 ■

E J E M P L O 3 j U na tienda de artículos dom ésticos tiene 900 licuadoras en alm acén al principio de cada m es ; las ventas de licuadoras prom edian 25 unidades por día de venta.

a) H allar un m odelo m atem ático que represente el número de licuadoras en alm acén en cual­ quier día de ventas de cada mes.

b) En que tiem po se agotará las licuadoras en almacén ?

c) Cuál es la cantidad de licuadoras cuando han transcurrido 12 días ?

IS o lu ció n ] a) Sea y el núm ero de licuadoras en almacén y s e a * el núm ero de días de venta. Al inicio de cada m e s , es d e c ir , cuando * = 0 , tenem os en alm acén y = 900 licuadoras. C om o el núm ero de licu ad o ras d ism in u y e en alm acén a razón de 2 5 unidades p o r d ía de venta , en to n ces y cam bia en -25 unid ad es c u an d o * c am b ia en I unidad , es d e c ir q u e la razón d e cam b io o p e n d ien te es m = -25. L uego , la función e stá d a d a p o r la

fó rm u la : y = m * + b = -25* + 900 (1)

b) C uando las licuadoras se agotan en almacén se tiene que y = 0 Entonces , en ( I ) : 0 = -25* + 900 <=> * = 36 días

c) C u a n d o * = 12 , en (1) se tiene : y = -25( 12) + 900 = 600 ■

Definición 1.8 : FUNCION CUADRATICA

Es aquella función con dom inio IR y definida po r la ecuación / ( * ) = o x 2 + bx + c

d o n d e a .6 y e son constantesque representan números re a le s y a * 0 Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 1.8 : Funciones especiales 27 Esta función puede e s c rib ¡rs e c o m o /{ (x ,y )e R 2I y = a x 2+ b x + c } cuya gráfica es la misma que de la ecuación y = a x 2 + b x + c , y que m ediante el artificio de com pletar cuadrados puede ser transform ado en otra equivalente de la fo rm a : y = a ( x - h)2 + k

El siguiente teorema nos muestra el procedimiento a seguir.

TEOREMA 1.2 : Valores extremos de la función cuadrática

L a función cuadrática definida por

/ ( x ) = a x 2 + b x + c = a ( x - h ) z + k , a * 0

donde: h = - y k = ■ , tienen un valor extrem o en el punto x ~

-2 a Aa 2a

i) S i a > 0 , el valor extrem o es un valor m ínim o k = / ( h ) , es d e c ir, R a n (/) = [ k , + « ) ¡i) Si a < 0 , el valor extrem o es un valor m áxim o k = / ( h ) , es d e c ir, R an(/> - , kj

D em ostración En e fe c to , sea y = f ( x ) , entonces

y ® a x 2 + b x + c = a (x2 + — x + — ) = a (x2 + — x + -7^7 - -7^-7 ) + c

' a a / ' a 4a 2 Aa2 1

l -> b b1 \ b2 t b \ 2 A a c - b 2

Ü \ X + a X + Aa1 ) +C " Aa “ a \ X + 2a i + 4a

Si hacemos h = - y k = , obtenemos : y ~ a (x + h)2 - k que es otra form a de representar la función y = a x 2 + b x + c

y “ k

Por otro la d o , si (x - h)2 = —— , y com o (x - h)2 > 0 , V x e IR , entonces

i) S i a > 0 = » y - k > 0 < = > y > k , luego y e [ k , -k*>) = R a n ( /) , es d ecir , la función tiene un valor m ínim o k , cu an d o x = - bl2a

ii) S i a c O e * y - k < 0 < = * y < k , luego y e ( - ~ , k] = Ran ( / ) , es d e c ir, la función tiene un valor máximo k , cuando x = - b/2a

La gráfica de una función cuadrática es una curva llam ada parábola que es sim étrica respecto a la recta vertical x = h (eje de sim etría). Según los resultados anteriores puede ser una de las dos formas siguientes:

1. Si a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba y de este modo el vértice V ( h , k) es el punto más bajo de la gráfica (V éase la Figura 1.27)

2. Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo y así el vértice V ( h , k ) es el punto m ás alto de la gráfica (Véase la Figura 1.28).