Μαθηματικα Γ Γυμνασιου.pdf

Μαθηματικά Γ΄ γυμνασίου

Ðåñéå÷üìåíá

ÌÝñïò 1ï - ¢ëãåâñá

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò... óåë. 7 1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ... óåë. 13 1.1à ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý ... óåë. 19 1.2 Ìïíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá ... óåë. 25 1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìïõ ... óåë. 32 1.4 Ðïëëáðëáóéáóìüò ðïëõùíýìùí ... óåë. 38 1.5 Áîéïóçìåßùôåò ôáõôüôçôåò ... óåë. 43 1.6 Ðáñáãïíôïðïßçóç áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí ... óåë. 53 1.7 Äéáßñåóç ðïëõùíýìùí ... óåë. 63 1.8 Å.Ê.Ð. êáé Ì.Ê.Ä. áêáßñåùí áëãåâñéêþí ðáñáóôÜóåùí ... óåë. 71 1.9 ÑçôÝò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò ... óåë. 75 1.10 ÐñÜîåéò ñçôþí ðáñáóôÜóåùí ... óåë. 81 Periexomena.p65 3 5/9/2012, 2:16 ìì

2.1 Ç åîßóùóç á÷+â = 0 ... óåë. 89 2.2 Åîéóþóåéò 2ïõ âáèìïý ... óåë. 97 2.3 ÐñïâëÞìáôá åîéóþóåùí 2ïõ âáèìïý ... óåë. 107 2.4 ÊëáóìáôéêÝò åîéóþóåéò ... óåë. 111 2.5 Áíéóüôçôåò - áíéóþóåéò ìå Ýíáí Üãíùóôï ... óåë. 117 3.1 Ç Ýííïéá ôçò ãñáììéêÞò åîßóùóçò ... óåë. 123 3.2 Ç Ýííïéá ôïõ ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò - ãñáììéêÞ åðßëõóç ... óåë. 129 3.3 ÁëãåâñéêÞ åðßëõóç ãñáììéêïý óõóôÞìáôïò ... óåë. 135 4.1 Ç óõíÜñôçóç 2 y αχ ... óåë. 143 4.2 Ç óõíÜñôçóç yαx2βxγ ... óåë. 149 5.1 Óýíïëá ... óåë. 159 5.2 Äåéãìáôéêüò ÷þñïò - åíäå÷üìåíá ... óåë. 166 5.3 ¸ííïéá ôçò ðéèáíüôçôáò ... óåë. 175 Periexomena.p65 4 5/9/2012, 2:16 ìì

ÌÝñïò 2ï - Ãåùìåôñßá - Ôñéãùíïìåôñßá

1.1 Éóüôçôá ôñéãþíùí ... óåë. 185 1.2 - 1.3 Ëüãùò åõèõãñÜììùí ôìçìÜôùí - Èåþñçìá ÈáëÞ ... óåë. 193 1.4 Ïìïéïèåóßá ... óåë. 205 1.5 Ïìïéüôçôá ... óåë. 210 1.6 Ëüãïò åìâáäþí ïìïßùí ó÷çìÜôùí ... óåë. 220 2.1 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ïîåßáò - áìâëåßáò ãùíßáò ... óåë. 223 2.2 Ôñéãùíïìåôñéêïß áñéèìïß ðáñáðëçñùìáôéêþí ãùíéþí ... óåë. 232 2.3 Ó÷Ýóåéò ìåôáîõ ôùí ôñéãùíïìåôñéêþí áñéèìþí ìéáò ãùíßáò ... óåë. 236 2.4 Íüìïò ôùí çìéôüíùí - Íüìïò ôùí óõíçìéôüíùí ... óåë. 241 Periexomena.p65 5 5/9/2012, 2:16 ìì

ÌÝñïò 1ï

¢ëãåâñá

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò 7 Åñþ ôçóç 1 Ôé ïíïìÜæïõìå óýíïëï ðñáãìáôéêþí áñéèìþí; Ðùò óõìâïëßæïõìå ôï óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéè-ìþí; Ôé ðáñéóôÜíåé ôï óýìâïëï R* ; ÁðÜíôçóç Ôï óýíïëï ðïõ áðïôåëåßôáé áðü ôïõò ñçôïýò êáé ôïõò Üññç-ôïõò áñéèìïýò, ïíïìÜæåôáé óýíïëï ôùí ðñáãìáôéêþí áñéè-ìþí. Ôï óýíïëï üëùí áõôþí ôùí áñéèìþí ôï óõìâïëßæïõìå ìå ôï ãñÜììá R. Ìå ôï óõìâïëéóìü R* _{ðáñéóôÜíïõìå ôï óýíïëï ôùí} ðñáã-ìáôéêþí áñéèìþí ÷ùñßò ôï ìçäÝí. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß ðáñéóôÜíïíôáé ìå ôá óçìåßá åíüò Üîïíá. Åñþ ôçóç 2 Ðþò ðñïóèÝôïõìå ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; Ðþò ðïëëáðëáóéÜæïõìå ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; ÁðÜíôçóç Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðñïóèÝôïõìå åßíáé ïìüóçìïé, âÜæïõìå ôï êïéíü ðñüóçìï ôïõò êáé ðñïóèÝôïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò. ¸ôóé 2 3 5 êáé  2 3 5. Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðñïóèÝôïõìå åßíáé åôåñüóçìïé, âÜæïõìå ôï ðñüóçìï ôïõ áñéèìïý ìå ôç ìåãáëýôåñç áðüëõôç ôéìÞ êáé áöáéñïýìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò.

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò

ÉÄÉÏÔÇÔÁ ÐÑÏÓÈÅÓÇ ÐÏËËÁÐËÁ-ÓÉÁÓÌÏÓ ÁíôéìåôáèåôéêÞ α β β α α β β α ÐñïóåôáéñéóôéêÞ









α β γ α β γ     

   

α βγ  αβ γ α 0 α α 1 α 





α α 0 α 1 1, α 0 α    α 0 0 ÅðéìåñéóôéêÞ α β γ







αβ αγ • Äýï áñéèìïß ëÝãïíôáé áíôßèåôïé üôáí Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìçäÝí. • Äýï áñéèìïß äéáöïñåôéêïß áðü ôï ìçäÝí ëÝãïíôáé áíôßóôñï-öïé üôáí Ý÷ïõí ãéíüìåíï ßóï ìå ôç ìïíÜäá. ¸ôóé  2 3 1 êáé 2 3  1. Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðïëëáðëáóéÜæïõìå åßíáé ïìüóçìïé, âÜ-æïõìå ðñüóçìï + êáé ðïëëáðëáóéÜâÜ-æïõìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò. ¸ôóé 2 3 6 êáé

   

2  3   6 6. Áí ïé áñéèìïß ðïõ ðïëëáðëáóéÜæïõìå åßíáé åôåñüóçìïé, âÜæïõ-ìå ðñüóçìï - êáé ðïëëáðëáóéÜæïõâÜæïõ-ìå ôéò áðüëõôåò ôéìÝò ôïõò. ¸ôóé 2 

 

3  6 êáé

 

2 3  6. Åñþ ôçóç 3 Ðïéåò åßíáé ïé éäéüôçôåò ôçò ðñüóèåóçò êáé ôïõ ðïëëá-ðëáóéáóìïý; ÁðÜíôçóç Ãéá ôçí ðñüóèåóç êáé ôïí ðïëëáðëáóéáóìü éó÷ýïõí ïé éäéüôçôåò: A1.1.p65 7 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 8 Åñþ ôçóç 4 Ðùò áöáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; Ðùò äéáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; ÁðÜíôçóç Ãéá íá áöáéñÝóïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ðñïóèÝ-ôïõìå óôï ìåéùôÝï ôïí áíôßèåôï ôïõ áöáéñåôÝïõ. ÄçëáäÞ á-â=á+(-â) . Ð.÷.: -5-( -3) = -5+( +3) =-5+3=-2 Ãéá íá äéáéñÝóïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ðïëëáðëá-óéÜæïõìå ôï äéáéñåôÝï ìå ôïí áíôßóôñïöï ôïõ äéáéñÝôç. ÄçëáäÞ α 1 α : β α β β    ,ìå β0

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò: á. 4 1 4- 2 1- 5 2 6 3    â. 3- -1 -4 - 1 2 4 5 10                     Ëýóç á. 4 14 2 15 2 6 3 4 2 5   = 3 4 2 3 4 2 1 1 6 6 6 6         6 1 7 6 6    â. 3 1 4 1 2 4 5 10        _{ } _{ } _{ }       =     30 5 16 2 17 20 20

1

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò: 4 1 5 -3 12 A 1 3 4 - 7 2 8          Ëýóç =

2

Ð.÷.: 1 _{: 3} 1 1 1 2 2 3 6                   . Ó÷üëéï: ¼ôáí æçôïýí íá áðïäåßîïõìå üôé éó÷ýåé ìßá éóüôçôá Á= ôüôå áêïëïõèïýìå Ýíá áðü ôá åðüìåíá: 1. ÎåêéíÜìå áðü ôï Á êáé ìå ðñÜîåéò êáôáëÞãïõìå óôï Â. 2. ÎåêéíÜìå áðü ôï  êáé ìå ðñÜîåéò êáôáëÞãïõìå óôï Á. 3. ÊÜíïõìå ðñÜîåéò êáé ôï Á êáé óôï  êáé êáôáëÞãïõìå óôçí ßäéá ðáñÜóôáóç Ã. ÓõíÞèùò îåêéíÜìå áðü ôï ìÝëïò, óôï ïðïßï ìðïñïýí íá ãßíïõí ïé ðåñéóóüôåñåò ðñÜîåéò. A1.1.p65 8 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò 9 Íá áðïäåßîåôå üôé: á.

 

-α β - αβ





â.



α β γ - α - β - γ

 



2 β



γ



Ëýóç á. ÐñÝðåé íá äåßîïõìå üôé ï áíôßèåôïò ôïõ áâ åßíáé ï



α β



 Þ üôé ï áâ êáé ï



α β



 Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìçäÝí. ÐñÜãìáôé



α β αβ



   _



α



α β_  0 β 0 â.

_

α β γ 

_{ }

 α β γ 

_





αβγ



 _



αβγ



_αβγ  



α βγ α



βγαβγ



αα



   β β γ γ0 2 β2γ2



βγ



3

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá óçìåéþíïíôáò “÷” óôçí êáôÜëëçëç èÝóç. Íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò: á.  5 4... â.  4 4... ã.  4 7... ä.



2



2 ... 3    å. 0 1 ... 3    _{ }   óô. 5 1 ... 4 3                 æ.



4 :



3 ... 5    _{ }   ç.





4 : 3 ... 3          è. 3 3 : ... 4 4                Íá óõìðëçñþóåôå ôéò éóüôçôåò: á.



  4 2 7 x



... â. 5 4 3x







... ã. 4 3 2 x







... ä. 4 x ...







... 2 å.



2 x 3 y







... óô. 3 ... ...







9x 9 Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç: i) Aí äýï áñéèìïß åßíáé áíôßèåôïé, ôüôå: á. åßíáé ïìüóçìïé â. Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝò ã. Ý÷ïõí ãéíüìåíï 0 ä. Ý÷ïõí ãéíüìåíï 1

2

3

4

A1.1.p65 9 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 10 ii) Áí äýï áñéèìïß åßíáé áíôßóôñïöïé, ôüôå: á. åßíáé åôåñüóçìïé â. Ý÷ïõí Üèñïéóìá ìçäÝí ã. Ý÷ïõí ßóåò áðüëõôåò ôéìÝò ä. Ý÷ïõí ãéíüìåíï ôç ìïíÜäá Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò: á. Ïé áíôßóôñïöïé áñéèìïß åßíáé ïìüóçìïé â. Ôï Üèñïéóìá äýï åôåñüóçìùí áñéèìþí åßíáé èåôéêüò áñéèìüò ã. Ç áðüëõôç ôéìÞ êÜèå ðñáãìáôéêïý áñéèìïý åßíáé èåôéêüò áñéèìüò ä. Äýï áñéèìïß ìå ãéíüìåíï èåôéêü êáé Üèñïéóìá áñíçôéêü åßíáé áñíçôéêïß Óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò íá óçìåéþóåôå Ó (óùóôÞ) Þ Ë (ëÜèïò). á. Ïé áñéèìïß 1 êáé -1 åßíáé áíôßóôñïöïé. â. ÊÜèå Üññçôïò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò äåí ìðïñåß íá ãñáöåß ïýôå ùò äåêáäéêüò ïýôå ùò ðåñéïäéêüò äåêáäéêüò. ã. ÊÜèå öõóéêüò áñéèìüò åßíáé êáé áêÝñáéïò. ä. ÊÜèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò åßíáé ñçôüò. å. ÊÜèå ñçôüò áñéèìüò åßíáé áêÝñáéïò. óô. Ï áñéèìüò 0 äåí Ý÷åé áíôßèåôï. Ðïéï áðü ôá ðáñáêÜôù åßíáé ßóï ìå α β γ .







á.



α β γ



 â.



β γ α



 ã. αβ βγ ä. β α γ







Áí á, â åßíáé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß, ôüôå ç äéáöïñÜ α β åßíáé ßóç ìå: á. α β  â.   β



α



ã. 



α β



ä. α β  Áí 3α3β0 ôüôå ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß á, â åßíáé: á. ßóïé â. áíôßèåôïé ã. áíôßóôñïöïé ä. êáíÝíá áðü ôá ðñïçãïýìåíá Íá ÷áñáêôçñßóåôå ùò Ó (óùóôÞ) Þ Ë (ëÜèïò) êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò. á. Ï -2 åßíáé öõóéêüò. â. Ôï 2 3 åßíáé ðñáãìáôéêüò. ã. Ï 3 åßíáé Üññçôïò. ä. Ï 2,24 åßíáé ñçôüò. å. Ï 10 2 åßíáé áêÝñáéïò. Ðïéïé áðü ôïõò ðáñáêÜôù áñéèìïýò åßíáé ñçôïß êáé ðïéïé Üññçôïé: á. 1, 2313542 ... â. ð ã. 4 ä. 4, 212121 ...

5

6

7

8

9

10

11

A1.1.p65 10 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1Á Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß êáé ïé ðñÜîåéò ôïõò 11 Áí ïé áñéèìïß 2x y ω  êáé y 2x φ  åßíáé áíôßèåôïé íá äåßîåôå üôé ù êáé ö åßíáé áíôßèåôïé. Ná åêôåëÝóåôå ôéò ðñÜîåéò: á) -225 : -5

 

4 -7

  

 8 - 5 : 3



â) 4_3



6

 

 4 8 : 2







3 4 9 3 



 _{ } 



 3 8 1

 

 7



2



_ ã) 1 5 1 2 3: 1 2 2 2 5 5 5 3                        ä) 3



6 2 3 5  



2 / 2_ 



 2 6 4



_ å) 4

_

 2 3_ 1 10 : 2 12







6_

_

2



 7 4 1



Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò

 

         -3 4 -5 2 Α 6 144 : -5 Β 1 3 3 7 1 2 3        Γ 1 3 1 2 4 1 1 3 4 2       Δ 1 1 2 1 5 4 ₁ 1 ₁ 1 3 2 6 _: 2 3 1 1 2 ₂ 1 _{3 2} 6 2 3 ₂ 1 4 ₁ 2            _ _  _{  }   _{  }      Ε 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ₁ 2       

1

2

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

3

A1.1.p65 11 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 12 Áöïý áðáëåßøåôå ôéò ðáñåíèÝóåéò ôçò ðáñÜóôáóçò :



 



Π2α 5α 2β 4   2β 3α 8  íá õðïëïãßóåôå ôçí áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ãéá α 1 êáé β 3. Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò óôçí ðáñÜóôáóç ðïõ áêïëïõèåß êáé íá õðïëïãéóôåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ãéá x = 2.



 











Α 4_ 2 3x  x 5 _ _ 3  x 1 2 x 1 _ Áí χ y  5 êáé ω φ  7, íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôùí ðáñáóôÜóåùí:



 



Α4 χ ω  y φ Β    



5 χ φ

 

  8 y

 

 ω 4











Γ6 x y   _ 3x 1 2y 3 x 2 y _ Áí x 2 y 1 3    íá õðïëïãéóôåß ç áñéèìçôéêÞ ôçò ðáñÜóôáóçò:







 







A  x 3 y  _ 2 x 4 y     x 2 y 1_6 2 x  3 y Äýï áñéèìïß Ý÷ïõí ãéíüìåíï -6 êáé Üèñïéóìá 1. Ðïéïé åßíáé ïé áñéèìïß; Íá áðïäåßîåôå ôéò ðáñáêÜôù éóüôçôåò: á. 8



α β

 

 α 5 β 



3 â. 2



α β γ 

 

 4 γ β 

 

  2 α



0 ã. 2



α β γ



3



α β γ



5β



αγ



4

5

6

7

8

9

A1.1.p65 12 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 13 Åñþ ôçóç 1 Ðùò ïñßæïõìå ôç íéïóôÞ äýíáìç åíüò ðñáãìáôéêïý áñéèìïý á ìå åêèÝôç Ýíá öõóéêü áñéèìü v2; ÁðÜíôçóç Ç äýíáìç ìå âÜóç Ýíáí ðñáãìáôéêü áñéèìü á êáé åêèÝôç Ýíá öõóéêü áñéèìü v2 óõìâïëßæåôáé ìå α êáé ïñßæåôáé ùò åîÞò:ν ν ν παράγοντες α α α α... α_{}   , áí v2 Ïñßæïõìå áêüìç: • α1α • α0 1 ìå α0 • α ν 1_ν α   ìå α0 Åñþ ôçóç 2 Ðïéåò åßíáé ïé éäéüôçôåò ôùí äõíÜìåùí; Íá ãñÜøåôå Ýíá ðáñÜäåéãìá ãéá ôçí êáèåìßá. ÁðÜíôçóç • _αμ_αν _αμ ν _ð.÷.

_

_2

_{  }

2_{ 2}5 _{ }

_

₂

_

2 5 _{ }

_

₂

_

7 • _{α : α}μ ν _αμ ν _ð.÷.

_

_4

_{ }

5 _{: 4}

_

2_{ }

_

₄

_

5 2 _{ }

_

₄

_

3 _{ 64} • _{α β}ν ν



_{α β}



ν    ð.÷. ₃5_45 _

_

_{3 4}

_

5 _125 • ν ν ν α α β β        ð.÷.

 

 





 

5 5 2 3 2 2 2 2 8 2          •

 

αμ ν αμν ð.÷.





₄



2



3



₄



2 3

 

₂6 ₂6       • ν ν α β β α               ð.÷. 4 4 3 4 4 3              

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

1.1B ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá ãñÜøåôå êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðáñá-óôÜóåéò ù ò ìßá äýíáìç: á) 35 38  â) _{2 : 2}5 3 _ã)



_3



2_{: 3}5 ä) 32 24 1₇ 2    å) ₄2_{ }



₄



4 æ)

   

₂3 0 ₂0 3 ₄2   ç)





5 2 3 0,75 4         Ëýóç á)       5 8 5 8 3 3 3 3 3 â)      5 3 5 ( 3) 8 2 : 2 2 2 ã)





      2 ₅ 2 5 2 5 3 3 : 3 3 : 3 3 3 ä)              4 7 5 4 7 5 4 7 6 1 32 2 2 2 2 2 2 2 å) 





         4 2 2 4 2 4 2 4 4 4 4 4 4 æ)

_{   }

 _{  }    0 3 3 0 2 2 2 2 2 4 1 1 4 4

1

A1.1.p65 13 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 14

5

Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò êÜèå ðáñÜóôáóçò: á)



3

 

2 3



4 â) 12 14 2 2 3 3                ã)

_

_0,01

_

3_105 Ëýóç á)          3 2 3 4  3 2 4  3 2 32 1₂  1 3 9

3

ç)





             _{ } _{ } _{ } _{ } _{ }           5 2 5 5 2 3 2 3 3 3 3 3 0,75 4 4 4 4 4 Íá õðïëïãßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò êÜèå ðáñÜóôáóçò: á)



₃4



2 ₃9  â) 3 8 4 10 4 3               ã)



_0,02



3_{: 10}6 _{ä) 9 : 3}10 15 Ëýóç á)







         2 4 9 8 9 8 9 1 3 3 3 3 3 3 3 â)                                                      8 10 8 10 8 10 2 2 3 4 3 3 3 4 3 4 4 4 3 4 16 4 3 9 ã)





   _{ }        3 3 3 5 5 5 3 1 6 2 2 8 0,02 : 10 : 10 :10 2 10 0,8 100 10 10 ä)

_{ }

  10    10 15 2 15 20 15 20 15 5 9 : 3 3 : 3 3 : 3 3 3

2

4

â)                                12 14 12 14 2 2 2 2 3 3 3 3                         12 14 2 2 2 2 2 2 3 3 9 3 3 2 2 4 ã)





    _{ }        3 3 5 1 5 3 5 2 0,01 10 10 10 10 10 100 10 Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á)



_xy3



2 _{x y}3  â)

_

_3x2

_{ }

3 _2x3

_

2    ã) 2 3 3 3 x x 2 2     _{ }    Ëýóç á)



χy3



2x y3 x y2 6x y3 x2 3 y6 1 x y5 7 â)



3x2

 

3 2x3



2  3 x3 6 4 x6  108 x 12 ã)                            2 2 2 3 3 2 3 2 2 3 3 3 2 3 2 2 x x x x x χ 2 2 2 3 2 3 3 Áí ôñéðëáóéÜóïõìå ôçí ðëåõñÜ åíüò ôåôñáãþ-íïõ, ðüóåò öïñÝò ìåãáëþíåé ôï åìâáäüí ôïõ; Ëýóç Ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñáãþíïõ ðëåõñÜò x åßíáé: Å = ÷2 Ôï åìâáäüí ôïõ êáéíïýñéïõ ôåôñáãþíïõ, ðëåõñÜò 3x, åßíáé:





Ε' 3 x 232x29 x 2 9E (9 öïñÝò ìåãáëýôåñï) A1.1.p65 14 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 15 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò: á. Ãéá êÜèå áñéèìü á éó÷ýåé: _{α α α α}3      â. Ãéá êÜèå áñéèìü á éó÷ýåé:



_α



_α



_α



_α3      ã. Ïé áñéèìïß 5 3 4       êáé 5 4 3       åßíáé áíôßóôñïöïé. ä. Ï áñéèìüò  



3



4 åßíáé áñíçôéêüò. å. Ï áñéèìüò _42 _{åßíáé áñíçôéêüò.} Íá óõìðëçñþóåôå ôá êåíÜ ÷ñçóéìïðïéþíôáò ôï êáôÜëëçëï óýìâïëï

 

 ή

 

 : á. 0 4 . . . 1 3       â. 1 2 3 . . . 3 2        ã. 3 1 4 . . . 64   ä. 3 3 . . . 27 Íá åðéëÝîåôå ôç óùóôÞ áðÜíôçóç. i. H ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò 2 3 4        åßíáé: á. 9 16 â. 16 9 ã. 9 16  ä. 16 9  ii. H ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò





0 3 4  _    åßíáé: á.



4



3 â. 1 ã. 43 ä. 0 iii. H ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò ₃4 ₄3  åßíáé: á. 7 7 â. 12 7 ã. 145 ä. ₁₂7 Íá õðïëïãéóôåß ç ðáñÜóôáóç:





4 2



2





  

2004 A 2 3  4 8 : 3  1   

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

2

3

4

A1.1.p65 15 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 16 Íá ãñÜøåôå êÜèå ìéá áðü ôéò áêüëïõèåò ðáñáóôÜóåéò ùò ìéá äýíáìç: á. -6 12 3 3 â. 4 7 2 : 2 ã. ₄-2 



₄



6 ä.

 

₅2 3 _å.







8 8 9 3 óô.   3 6 1 32 2 2 Íá ãßíïõí ïé ðñÜîåéò: á. _{2x y}2 3 _3xy6 1_xy 6   â. 2 3 3 2 3 8x yz ω 64x z ω ã.



_{-3x yz}2 3



2 _ä. -2 -3 2 3 3 x 2y y x   _{ }          Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò: á. _{4α β γ}2 3 2 1_{α β}5 3 _{γ 15α β γ}1 2 0 12        â. 2 3 3 2 4 1 4 2 4α β 20α γ : γ δ β δ    Íá áðëïðïéÞóåôå ôï êëÜóìá: 5 17 24 12 18 A 36   Íá õðïëïãéóôïýí ïé ðáñáóôÜóåéò:





3 2

 

1.000 3









3 A 3 2  1 4 : 8  2 : 4  

 

11





3 6 3 2 B8 3 2   1 _2 : 4 3 : 3 : 5 3  _









Γ 4 2 2 3 5 0 1 2 1 3 2 17 2 3 4 : 19 2 2 3 2 2      _{ }  _{ } _{   }                                    

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

1

2

3

4

5

A1.1.p65 16 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1 ÄõíÜìåéò ðñáãìáôéêþí áñéèìþí 17 Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á) 2 3 2 2 2 1 3 x y z x y z x y z 2 2                      â) α α



α β



β β 1 2 ₃ 1 2 1 3 : ₆ 2 3                       ã)





 

2 2 _{1 2} 2 ₃ 2 3 2 x y _{x y x} : x : x y x y y   _  _{  }  _{ }   _{  }  _{ }   _  _  _{ }   Íá õðïëïãéóôïýí ïé áñéèìçôéêÝò ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí:





1 2

 

x





2 για A x 2  x 1 x , x 1          α α β α β α β για α β β β α α 1 3 _{2 3 2} 2 3 2 1 B : : , 1, 1 2 2 3  _           _{   }  _   _{ }            Íá ëõèïýí ïé åðüìåíåò åîéóþóåéò: á. 2x 5 2 2 = 2 â. _{3 3}x_ 2x +3 _{= 27} ã. 3 5 1 1 - x = -2 2              ä. -3 6 x : 5 = 5

6

7

8

A1.1.p65 17 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 18 Åñþ ôçóç 1 á. Ðùò ðñïóèÝôïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; â. Ðùò ðïëëáðëáóéÜæïõìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; ã. Ðùò áöáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; ä. Ðùò äéáéñïýìå äýï ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò; ¢óêçóç 1 Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôçò áñéèìçôéêÞò ðáñÜóôáóçò

 









3 4 1 1 5 4 2 3 : 8      . ¢óêçóç 2 Íá âñåèåß ç ôéìÞ ôçò áñéèìçôéêÞò ðáñÜóôáóçò 4 3 3 2 3 2 α 2β 4αβ β α                 . ¢óêçóç 3 Íá ëõèïýí ïé åðüìåíåò åîéóþóåéò: á. ₂2x ₄3x 1 1 64    â.



3



4 x 2  243

KÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

A1.1.p65 18 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1à ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý 19 Åñþ ôçóç 1 Ôé ïíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá åíüò èåôéêïý áñéèìïý ÷; Ðþò óõìâïëßæïõìå ôçí ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ ÷; ÁðÜíôçóç ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá åíüò èåôéêïý áñéèìïý ÷ åßíáé ï èåôéêüò áñéèìüò ðïõ üôáí õøùèåß óôï ôåôñÜãùíï, ìáò äßíåé ôïí á-ñéèìü ÷. Ç ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ áñéèìïý ÷ óõìâïëßæåôáé ìå x. Ãéá ðáñÜäåéãìá, 93 áöïý ₃2 ₉  . Ïñßæïõìå áêüìç 00. Ãéá ïðïéïíäÞðïôå ðñáãìáôéêü áñéèìü ÷ éó÷ýåé: _x2 _x  . Ãéá ðáñÜäåéãìá, ₄2 _{4 4}   êáé



4



2  4 4. Áí x0 ôüôå x2 x. Åñþ ôçóç 2 Ðþò áðïäåéêíýïõìå ôéò ðáñáêÜôù éäéüôçôåò; • α β = αβ • α_β = _βα üðïõ á êáé â åßíáé ìç áñíçôéêïß áñéèìïß. ÁðÜíôçóç • Õøþíïõìå êáé ôá äýï ìÝëç ôçò éóüôçôáò óôï ôåôñÜãùíï. ¸ôóé ç éóüôçôá ãñÜöåôáé :



α β

 

2  αβ



2 Þ

   

α 2 β 2 αβ Þ αβαβ, ðïõ éó÷ýåé. • ¼ìïéá Ý÷ïõìå: Ãéá ôï 1ï _ìÝëïò:

 

 

2 2 2 α α α β β _β           Ãéá ôï 2ï _ìÝëïò: 2 α α β β          ¢ñá 2 2 α α β β        _ _       Þ α α β β  ¢ñá ãéá äýï ìç áñíçôéêïýò áñéèìïýò áðïäåßîáìå üôé: To ãéíüìåíï ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí ôïõò éóïýôáé ìå ôçí ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ ãéíïìÝíïõ ôïõò êáé ôï ðçëß-êï ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí ôïõò éóïýôáé ìå ôçí ôåôñá-ãùíéêÞ ñßæá ôïõ ðçëßêïõ ôïõò. Åñþ ôçóç 3 Éó÷ýåé ç éóüôçôá α + β = α + β;(ìå α > 0 êáé β > 0). ÁðÜíôçóç Ðáñáôçñïýìå üôé ìå α36 êáé β 64 åßíáé: α β  36 64 6 8 14 ¼ìùò α β  36 64  100 10. ¸ôóé ìå ôç âïÞèåéá ôïõ ðáñáðÜíù áíôéðáñáäåßãìáôïò äéáðé-óôþóáìå üôé ãåíéêÜ éó÷ýåé: α β  α β ¢ñá ôï Üèñïéóìá ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí äåí ìðïñïýìå íá ôï ãñÜøïõìå ùò ôåôñáãùíéêÞ ñßæá ôïõ áèñïßóìáôïò.

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý

A1.1.p65 19 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 20 Íá õðïëïãßóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á) 2 73 75 7 â) 2 35 63 65 3 ã) 7 3 8 12 3  7  3  ä) 12 27 3 Ëýóç á) 2 73 7 5 7 



2 3 5 



7 4 7 â)













                       2 3 5 6 3 6 5 3 2 5 3 5 3 6 3 3 2 6 3 3 2 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3 ã) 7 3  8  12 7 3  812 3 7 3 3 7 3    2    1 32 1 4 2 1 4 2 ä)









             12 27 3 4 3 3 9 3 4 9 1 3 2 3 1 3 0 Íá áðïäåßîåôå ôéò éóüôçôåò: á) 3 2 722 325 2 â) 75 452 3 207 35 5 ã) 6,4 8,1 2,8 10 ä) 96 54 6 2 6

1

2

Ëýóç á) 3 2 722 323 2 36 2 2 16 2   





      3 2 6 2 8 2 3 6 8 2 5 2 â) 75 452 3 20         25 3 9 5 2 3 4 5     5 3 3 5 2 3 2 5



5 2



3



3 2



5   7 3 5 5 ã)                 6,4 81 2,8 64 81 2,8 10 10 64 81 2,8 10 10 8 9 2,8 10 72 2,8 10 7,2 2,8 10

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Ðñïóðáèïýìå íá åìöáíßóïõìå ôçí ßäéá õðüññéæç ðïóüôç-ôá. Ãé’áõôü áíáëýïõìå ôïõò áñéèìïýò ðïõ åßíáé êÜôù áðü ôá ñéæéêÜ óå ãéíüìåíï ðáñáãüíôùí A1.1.p65 20 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý 21

3

ä)





              96 54 6 6 16 9 6 6 4 6 3 6 6 4 3 1 6 2 6 Íá õðïëïãßóåôå ôéò ôéìÝò ôùí ðáñáóôÜóåùí: á) _{A 5}2



_{49 2 144 7}2



₈ 9 16      â) B2 32 3 45 2 12 5 72 Ëýóç á) A 52 



492 144 72



8 9  16





     3  5 7 2 12 7 8 4 5 – 24 – 6 = – 25. â) B2 32 3 45 2 12 5 72            2 16 2 3 9 5 2 4 3 5 36 2         2 16 2 3 9 5 2 4 3 5 36 2          2 4 2 3 3 5 2 2 3 5 6 2     8 2 9 5 4 3 30 2 38 2 4 3 9 5  . Íá ìåôáôñÝøåôå êáèÝíá áðü ôá ðáñáêÜôù êëÜ-óìáôá óå éóïäýíáìï ìå ñçôü ðáñïíïìáóôÞ: á) 4 5 â) 3 2 3 ã) 4 3 7 Ëýóç á)

 

2 4 4 5 4 5 4 5 5 5  5 5  ₅  â) 3 3 3 3 3 3 2 3 2 2 3 2 3 3        ã)

 

      _ 2 4 4 7 4 7 4 7 4 7 3 7 21 3 7 3 7 7 _{3 7} Ïñèïãþ íéï ðáñáëëçëåðßðåäï ìå âÜóç ôåôñÜ-ãùíï ðëåõñÜò á Ý÷åé üãêï V=64cm3 _{êáé ýøïò} õ = 16cm. Ðüóï åßíáé ç ðëåõñÜ ôïõ ôåôñáãþíïõ; Ëýóç Ï üãêïò ôïõ ðáñáëëçëåðßðåäïõ åßíáé  _βάσης  2  2  Ε Ε ύψος α υ α 16 64 ¢ñá α264 16 Þ  2 α 4 Þ α2 (áöïý α0)

4

5

A1.1.p65 21 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 22 Íá óçìåéþóåôå ôï Ó (óùóôÞ) Þ ôï Ë (ëáíèáóìÝíç) óå êáèåìßá áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò: á. Ãéá êÜèå ðñáãìáôéêü áñéèìü á éó÷ýåé 2 α α â.



4



2  4 ã. 122 3 ä. 20 53 5 Íá ÷áñáêôçñßóåôå êáèåìéÜ áðü ôéò ðáñáêÜôù ðñïôÜóåéò ùò Ó (óùóôÞ) Þ Ë (ëÜèïò). á. α β  α β â. _9α2 _3α  áí α0 ã.



2



2  2 ä. α β2 α β üðïõ á åßíáé ðñáãìáôéêüò áñéèìüò.

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

1

2

Áí α 2 50 2 10 5   êáé â åßí áé ç ñßæá ôçò åîßóù óçò 3χ 7 3 0 íá õðïëïã ßóåôå ôçí ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò: Α 2 51 β  100α . Ëýóç Åßíáé 3χ 7 3 Þ 3χ7 32 Þ χ49. Ôüôå β 49 Åðßóçò α2 50 2 102 50 2 10 2 102 10 0 5 5 ¢ñá Α 2 51 49  100  2 2 10 2 2 10

6

A1.1.p65 22 1/9/2012, 11:06 ðì

1.1Ã ÔåôñáãùíéêÞ ñßæá ðñáãìáôéêïý áñéèìïý 23

1

2

3

4

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò: á) 3 2



 3



â)



3 2

 

 3 2



ã)



3 2

 

 3 2



ä) 3



48 27



Íá áðëïðïéÞóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò: á) 2 12 7 75 2 27 3 80    20 â) 45 3 18 2 27 20 2 12 3 8     ã) 75 300 3 21 48 7    _ä) 12 5 6 80 2    å) 5 12 2 27 4 75 6 48 10 12    Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò: á) 5 3 : 3 3 1   â) 7 7 2 : 2 1 ã) 32 7 2 3   3 Íá ìåôáôñÝøåôå ôá êëÜóìáôá óå éóïäýíáìá ìå ñçôü ðáñïíïìáóôÞ: á. 4 3 â. 2 3 5 ã. 1 2 5  A1.1.p65 23 1/9/2012, 11:06 ðì

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 24 Åñþ ôçóç 1 Ôé ïíïìÜæïõìå ôåôñáãùíéêÞ ñßæá åíüò èåôéêïý áñéèìïý á; Ðïéåò éäéüôçôåò ôùí ôåôñáãùíéêþí ñéæþí ãíùñßæåôå; ¢óêçóç 1 i) Aí χ 2 1 , ôüôå ç ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò _χ2 _{2χ 3}   åßíáé ßóç ìå: á. 1 â. 2 ã. 4 ä. 2 1 ii) Áí χ4 3 3 íá õðïëïãéóôåß ï _{χ .}2

ÊÑÉÔÇÑÉÏ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ

5

6

á) Íá êÜíåôå ôéò ðñÜîåéò:



α β

 

 α β



â) Íá ìåôáôñÝøåôå ôá ðáñáêÜôù êëÜóìáôá óå êëÜóìáôá ìå ñçôü ðáñïíïìáóôÞ. i) 2 7 3 ii) 1 5 1 Íá åðéëýóåôå ôéò ðáñáêÜôù åîéóþóåéò: á) x 32 2  â) 3 2 3x  50x ã) 6x213 1 x ä) 5 3 x 2  20 Èåùñïýìå ïñèïãþíéï ôñßãùíï ÁÂÃ



_Α90ο



_{. Ìå ðëåõñÜ ôçí õðïôåßíïõóá ôïõ ΑΒΓ} _{ó÷åäéÜæïõìå åîùôåñéêÜ} ôïõ ïñèïãùíßïõ ôñéãþíïõ, ôåôñÜãùíï ÂÃÄÅ. Áí ΑΒ6cm êáé ΑΓ8cm íá õðïëïãßóåôå ôï åìâáäüí ôïõ ôåôñá-ãþíïõ ÂÃÄÅ êáé ôçí ðëåõñÜ ôïõ.

7

A1.1.p65 24 1/9/2012, 11:06 ðì

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá 25 Åñþ ôçóç 1 á. Ôé ïíïìÜæïõìå áñéèìçôéêÞ ðáñÜóôáóç; â. Ôé ïíïìÜæïõìå áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç; ã. Ðüôå ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ëÝãåôáé áêÝñáéá; ä. Ôé ïíïìÜæïõìå áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ìéáò áëãåâñéêÞò ðá-ñÜóôáóçò. ÁðÜíôçóç á. ÁñéèìçôéêÝò ðáñáóôÜóåéò ëÝìå ôéò åê-öñÜóåéò ðïõ ðåñéÝ÷ïõí ìüíï áñéèìïýò. â. ÁëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò ëÝìå ôéò åê-öñÜóåéò üðïõ åêôüò áðü áñéèìïýò ðå-ñéÝ÷ïõí êáé ìåôáâëçôÝò. Ãéá ðáñÜäåéã-ìá, ïé ðáñáóôÜóåéò:    2 2 3x,2α x, 3y 1 åßíáé áëãåâñéêÝò. ã. Ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ëÝãåôáé áêÝñáéá, üôáí ìåôáîý ôùí ìåôáâëçôþí ôçò óçìåéþíïíôáé ìüíï ïé ðñÜîåéò ôçò ðñü-óèåóçò êáé ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý êáé ïé åêèÝôåò ôùí ìåôáâëçôþí ôçò åßíáé öõóéêïß áñéèìïß. Ð.÷. _4x3_x2_{ y y}7 ä. Áí óå ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç áíôéêáôáóôÞóïõìå ôç ìåôáâëçôÞ (Þ ôéò ìåôáâëçôÝò)ìå Ýíáí áñéèìïý (Þ ìå áñéè-ìïýò) êáé åêôåëÝóïõìå ôéò ðñÜîåéò ðïõ óçìåéþíïíôáé ðñï-êýðôåé Ýíáò áñéèìüò ðïõ ëÝãåôáé áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò áëãåâñéêÞò áõôÞò ðáñÜóôáóçò. Ãéá ðáñÜäåéãìá: áí á = 2 ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò áëãåâñéêÞò ðáñÜóôáóçò 2α23 åßíáé 2 223 11. Åñþ ôçóç 2 á. Ôé ïíïìÜæïõìå ìïíþíõìá; â. Ôé ïíïìÜæïõìå óõíôåëåóôÞ, êýñéï ìÝñïò êáé âáèìü ìïíùíýìïõ; ã. ÐïéÜ ìïíþíõìá ëÝìå üìïéá; ä. Ðüôå äýï ìïíþíõìá ëÝãïíôáé ßóá êáé ðüôå áíôßèåôá; ÁðÜíôçóç á. Ìïíþíõìá ïíïìÜæïõìå ôéò áêÝñáéåò áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò, óôéò ïðïßåò ìåôáîý ôùí ìåôáâëçôþí óçìåéþíåôáé ìüíï ç ðñÜîç ôïõ ðïëëáðëáóéáóìïý. ð.÷. 7x y ω,4 2 9χ y ω , 6χ y ω8 6 5 9 3 7. â. Ï áñéèìçôéêüò ðáñÜãïíôáò ëÝãåôáé óõíôåëåóôÞò ôïõ ìïíùíýìïõ. Ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ìåôáâëçôþí ôïõ ëÝãåôáé êýñéï ìÝ-ñïò ôïõ ìïíùíýìïõ. Ï åêèÝôçò ìéáò ìåôáâëçôÞò ëÝãåôáé âáèìüò ôïõ ìïíùíýìïõ ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôÞ áõôÞ, åíþ ôï Üèñïéóìá ôùí åêèåôþí ôùí ìåôáâëçôþí ôïõ ëÝãåôáé âáèìüò ôïõ ìïíùíýìïõ. ã. ¼ìïéá ëÝãïíôáé ôá ìïíþíõìá ðïõ Ý÷ïõí ôï ßäéï êýñéï ìÝñïò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ôá ìïíþíõìá  5 3 5 3 5 3 47χ y ω, 3χ y ω, 10χ y ω åßíáé üìïéá. Á. ÁëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò - Ìïíþíõìá

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 26

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

1

Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò: 2 2 2xyx y2xy 2003 á. ãéá x10 êáé y0. â. ãéá x0 êáé y10. Ëýóç á. Áíôéêáèéóôïýìå üðïõ x10 êáé y0 óôçí ðáñÜóôáóç    2    2  2 10 0 10 0 2 10 0 2007 2003 â. Áíôéêáèéóôïýìå üðïõ x0 êáé y10 óôçí ðáñÜóôáóç    2    2  2 0 10 0 10 2 0 10 2007 2003 Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ ë þóôå ç áë-ãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç 2 7 λ λ 4 x y 3     íá åßíáé ìï-íþ í õìï. Óôç óõíÝ÷åéá ãéá ôéò ôéìÝò áõôÝò íá âñåßôå ôá áíôßóôïé÷á ìïíþíõìá. Ëýóç Ãéá íá åßíáé ìïíþíõìï ç ðáñáðÜíù áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç ðñÝ-ðåé ïé åêèÝôåò ôùí ìåôáâëçôþí x, y íá åßíáé öõóéêïß áñéèìïß. ÄçëáäÞ ðñÝðåé íá éó÷ýïõí óõãxñüíùò:

2

  7 λ 0 êáé λ 4 0 Þ   λ 7 êáé λ4 Þ λ7êáé λ4. Ïé êïéíÝò áêÝñáéåò ôéìÝò ãéá ôç ìåôáâëçôÞ ë åßíáé 4, 5, 6, 7. Ãéá λ4 Ý÷ïõìå:   2x7 4y4 4  2x y3 0  2x3 3 3 3 . Ãéá λ5 Ý÷ïõìå:   2x7 5 5 4y  2x y2 1 2x y2 3 3 3 . Ãéá λ6 Ý÷ïõìå:   2x7 6 6 4y  2x y1 2  2xy2 3 3 3 . Ãéá λ7 Ý÷ïõìå:   2x7 7 7 4y  2x y0 3  2y3 3 3 3 . ¸íá ìïíþíõìï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ - 8 êáé ìåôá-âëçôÝò ÷ êáé y. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ìïíþíõ-ìï, áí ï âáèìüò ôïõ ùò ðñïò ÷ åßíáé 3 êáé ùò ðñïò ÷ êáé y åßíáé 7. Ëýóç Ôï ìïíþíõìï åßíáé ôçò ìïñöÞò 8x yk λ. Óýìöùíá ìå ôçí åêöþíçóç åßíáé k = 3 êáé k + ë = 7 Þ k = 3 êáé ë = 4 . Ïðüôå ôï ìïíþíõíï åßíáé _{8x y}3 4_.

3

ä. ºóá ëÝãïíôáé ôá üìïéá ìïíþíõìá ðïõ Ý÷ïõí ôïí ßäéï óõíôåëåóôÞ êáé áíôßèåôá áí Ý÷ïõí áíôßèåôï óõíôåëåóôÞ. Ïé áñéèìïß èåùñïýíôáé ùò ìïíþíõìá ðïõ ôá ïíïìÜæïõìå óôáèåñÜ ìïíþíõìá. Ï áñéèìüò 0 ëÝãåôáé ìçäåíéêü ìïíþ-íõìï êáé äåí Ý÷åé âáèìü, åíþ üëá ôá Üëëá óôáèåñÜ ìïíþíõìá åßíáé ìçäåíéêïý âáèìïý.

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá 27

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Íá óõìðëçñþóåôå ôïí ðáñáêÜôù ðßíáêá: Ìïíþíõìï Óõí/óôÞò Êýñéï ìÝñïò Âáèìüò ùò ðñïò ÷ Âáèìüò ùò ðñïò y Âáèìüò ùò ðñïò x, y _{4 7} 3x y  2 8 2x y  6 1 x y 5 Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò äåí åßíáé ìïíþíõìï; á. _{x y}8 _â.

_{ }

3 x2 6y7 2 ã.



 



3 2 3 5 x y ä. _{6α β γδ}4 7 ¸íá ïñèïãþíéï Ý÷åé äéðëÜóéï ìÞêïò áðü ôï ðëÜôïò ôïõ y. Ôï ìïíþíõìï ðïõ åêöñÜæåé ôï åìâáäüí ôïõ åßíáé: á. 4y â. 3y ã. _2y2 _{ä. y}2 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò: Íá ðñïóäéïñßóåôå ôçí ôéìÞ ôïõ öõóéêïý í,þóôå ôï ìïíþíõìï _{4x y}2 ν á. íá åßíáé ìçäåíéêïý âáèìïý ùò ðñïò y â. íá åßíáé Ýêôïõ âáèìïý ùò ðñïò ÷ êáé y ã. íá Ý÷åé áñéèìçôéêÞ ôéìÞ 64 ãéá ÷ = 1 êáé y = 2. Ëýóç á. ÐñÝðåé ï åêèÝôçò ôïõ y íá åßíáé ìçäÝí , äçë. í = 0. â. ÐñÝðåé ôï Üèñïéóìá ôùí åêèåôþí íá åßíáé 6, äçë. 2 + í = 6 Þ í = 6 - 2 Þ í = 4. ã. ÐñÝðåé 2 ν 4 1 2  64 Þ ν 2 2 _8 _{Þ ν 1}  .

4

Íá âñåßôå ôïõò áñéèìïýò k,ë,ì, þóôå ôá ìïíþ-íõìá _{2kx y , λx y}4 ν 2ν μ _{íá åßíáé:} á. üìïéá â. ßóá ã. áíôßèåôá Ëýóç á. ÐñÝðåé í á Ý÷ ïõí ôï ßäéï ê ýñéï ì Ýñïò , äçë. νμ και 2ν4 Üñá í = ì =2. â. ÐñÝðåé íá åßíáé üìïéá äçë. í = ì =2 êáé åðéðëÝïí 2k = ë. ã. ÐñÝðåé íá åßíáé üìïéá äçë. í = ì =2 êáé åðéðëÝïí 2k = - ë.

5

1

2

3

4

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 28 1. Ïé åêèÝôåò óôéò ìåôáâëçôÝò åíüò ìïíùíýìïõ åßíáé öõóéêïß áñéèìïß. 2. Ïé ðñáãìáôéêïß áñéèìïß èåùñïýíôáé ìïíþíõìá. 3. Ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç äåí Ý÷åé õðï÷ñåùôéêÜ áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ãéá ïðïéáäÞðïôå ôéìÞ ôùí ìåôáâëçôþí ôçò. 4. Ç ðáñÜóôáóç  4x yω2 3 åßíáé ìïíþíõìï. ¸íá ìïíþíõìï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ 2 3 êáé áêÝñáéï ìÝñïò 3 2 xy ω .Ðïéï åßíáé ôï ßóï ôïõ êáé ôï áíôßèåôï ìïíþíõìü ôïõ;

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Íá âñåèåß ç áñéèìçôéêÞ ôéìÞ ôçò ðáñÜóôáóçò _{3xy 5x y} 2 _2xy2_{1960ãéá á. ãéá x 10}   êáé y 10 â. ãéá x0 êáé y0 Ðïéåò áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò åßíáé ìïíþíõìá êáé ðïéåò ü÷é; Óôçí ðåñßðôùóç ðïõ ìéá áëãåâñéêÞ ðáñÜóôá-óç åßíáé ìïíþíõìï ðïéïò åßíáé ï óõíôåëåóôÞò êáé ðïéï ôï êýñéï ìÝñïò ôïõ; ÕðÜñ÷ïõí ìïíþíõìá ðïõ íá åßíáé üìïéá; á. 5αβ2 â. 5_{x y ω}2 2 3 ã .



3 2 xyω



ä.



ω x



y 2  å. 2 2κ ω x óô. 2 2 3x y æ. 5x y ω2 2 4 ç.





1 ω x 2   è. x y ω2 2 é. x3 4 Íá âñåßôå ôï ìïíþíõìï ðïõ åêöñÜæåé ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ìÝñïõò ôïõ äéðëáíïý ó÷Þìáôïò. Íá óõãêñßíåôå ôï åìâáäüí ôïõ êýêëïõ ìå ôï åìâáäüí ôïõ ãñáììïóêéáóìÝíïõ ìÝñïõò. á. Ãéá íá åßíáé ôï ðçëßêï _{α : α ìïíþíõìï ðñÝðåé í .... ì. Íá óçìåéþóåôå ôï êáôÜëëçëï óýìâïëï áíéóüôçôáò.}ν μ â. Äßíïíôáé ôá ìïíþíõìá

_

_{α 1 x y}

_

2 λ 1  êáé _3xμ 5 2 _{y . Íá âñåßôå ôïõò áñéèìïýò á, ë êáé ì þóôå ôá ìïíþíõìá íá åßíáé ßóá.} ¸íá ìïíþíõìï Ý÷åé óõíôåëåóôÞ 18 êáé ìåôáâëçôÝò ÷ êáé y. Íá ðñïóäéïñßóåôå ôï ìïíþíõìï,áí ï âáèìüò ôïõ ùò ðñïò ÷ åßíáé 4 êáé ùò ðñïò ÷ êáé y åßíáé 10. Íá âñåßôå ôéò áêÝñáéåò ôéìÝò ôïõ ë þóôå ç áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç 5 λ λ 1 7x y  _{íá åßíáé ìïíþíõìï. Óôç óõíÝ÷åéá ãéá ôéò} ôéìÝò áõôÝò íá âñåßôå ôá áíôßóôïé÷á ìïíþíõìá.

1

2

3

4

5

5

6

1.2 Moíþíõìá - ðñÜîåéò ìå ìïíþíõìá 29

ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

Íá êÜí åôå ôéò ðñÜîåéò: á. _{3x y}2 2_{x y}2 2_{8x y}2 2_{12x y}2 2 â. 2x2 3x y3 4xyω2 1x ωα2 3 8      _ _{ } _     ã.



_{4xy ω}3 2



_: 1_{xy ω}2 2 2    _ _   ä.

_

_{4x y ω}4 2 2

_{ }

_{: 2x y ω}3 2

_

_3xyω   Ëýóç á. 2 2 2 2 2 2 2 2 3x y x y 8x y 12x y 



_{3 1 8 12 x y  }



2 2_{ 2x y}2 2 Â. ÐñÜîåéò ìå ìïíþíõìá Åñþ ôçóç 1 á. Ðùò ãßíåôáé ç ðñüóèåóç êáé ç áöáßñåóç ìïíùíýìùí; â. Ðùò ãßíåôáé ï ðïëëáðëáóéáóìüò (ãéíüìåíï) ìïíùíýìùí; ã. Ðùò ãßíåôáé ç äéáßñåóç ìïíùíýìùí; ÁðÜíôçóç á. ÐñïóèÝôïõìå Þ áöáéñïýìå ìüíï üìïéá ìïíþíõìá. Ôï ÜèñïéóìÜ ôïõò Þ ç äéáöïñÜ ôïõò åßíáé Ýíá üìïéï ìïíþíõ-ìï ìå ôá áñ÷éêÜ êáé Ý÷åé óõíôåëåóôÞ ôï Üèñïéóìá Þ ôç äéáöïñÜ ôùí óõíôåëåóôþí ôïõò. ð.÷. 3χ y 5χ y x y2  2  2    



3 5 1 x y



2 x y2 â. Ôï ãéíüìåíï ìïíùíýìùí åßíáé ìïíþíõìï ìå: • óõíôåëåóôÞ ôï ãéíüìåíï ôùí óõíôåëåóôþí ôïõò • êýñéï ìÝñïò ôï ãéíüìåíï üëùí ôùí ìåôáâëçôþí ôïõò ìå åêèÝôç êÜèå ìåôáâëçôÞò ôï Üèñïéóìá ôùí åêèåôþí ôçò. ð.÷.

_

2x y2 3

_

5ky2

_

2



5 x ky y



2 3 2 10x ky2 5 ã. Ç äéáßñåóç ìïíùíýìùí ãßíåôáé áí ðïëëáðëáóéÜóïõìå ôï äéáéñåôÝï ìå ôïí áíôßóôñïöï ôïõ äéáéñÝôç. ð.÷.

_

_

_

_

_

_

_          2 2 2 2 4αβ : 8αβχ 1 4αβ 4αβ 8αβχ 8αβχ 4 α β 1 1 β 8 α β χ 2 χ Óôç äéáßñåóç ìïíùíýìùí ôï áðïôÝëåóìá äçë. ôï ðçëßêï äåí åßíáé ðÜíôïôå ìïíþíõìï. Óôï ðáñáðÜíù ðáñÜäåéãìá äåí åßíáé ìïíþíõìï. Äåßôå üìùò êé’ áõôü:









              4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 1 2 1 3 1 3 2 1 8α β x : 4αβx 8α β x 4αβx 8α β x 2α β χ 2α βχ 4αβx

1

â.  _  _{ } _     2 3 4 2 1 2 2x 3x y xyω x ωα 3 8       _{  } _             2 3 2 2 4 1 2 3 x x x x y y ω ω α 3 8 8 2 3 x y ω α ã.







_ _          3 2 2 2 3 2 3 2 2 2 2 2 1 4xy ω : xy ω 2 1 4xy ω 4xy ω 8y 1 1 xy ω xy ω 2 2 ä.



_{4x y ω}4 2 2

 

_{: 2x y ω}3 2



_3xyω

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 30

ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ ÊÁÔÁÍÏÇÓÇÓ

Ðïéá áðü ôéò ðáñáêÜôù áëãåâñéêÝò ðáñáóôÜóåéò äåí åßíáé ìïíþíõìï; á. x y8 â. 3

 

x2 6y7 2 ã.



 



3 2 3 5 x y ä. _{6α β γδ}4 7 2 Íá ÷áñáêôçñßóåôå ôéò åðüìåíåò ðñïôÜóåéò ìå (Ó), áí åßíáé óùóôÝò Þ ìå (Ë), áí åßíáé ëáíèáóìÝíåò: 1. Ôï ðçëßêï ìïíùíýìùí äåí åßíáé ðÜíôá ìïíþíõìï. 2. Ôï ãéíüìåíï ìïíùíýìùí åßíáé ðÜíôá ìïíþíõìï. 3. Ôï Üèñïéóìá êáé ç äéáöïñÜ ïìïßùí ìïíùíýìùí åßíáé ðÜíôá ìïíþíõìï. 4. Ç ðáñÜóôáóç  2 4x y 3ω åßíáé ìïíþíõìï. Íá âñåßôå ôïõò áêÝñáéïõò ê, ë þóôå ç ðáñá-êÜôù áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç íá åßíáé ìïíþíõ-ìï êáé óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôï ìïíþíõ-ìïíþíõìïíþíõ-ìï: 8 κ 5 λ 2 3 3 2 A x y x y 5 3     Óôç óõíÝ÷åéá íá êÜíåôå ôçí ðñÜîç



10 5

 

4 3



A : 5x y  2x y Ëýóç ÐñÝðåé ê - 5 = 3 êáé ë - 2 = 8. Ôüôå ê =8 êáé ë = 10. ¸÷ïõìå            _  _     8 κ 5 λ 2 3 8 8 5 10 2 3 8 3 8 3 8 3 8 3 3 2 3 2 x y x y x y x y 5 3 5 3 3 2 3 2 1 x y x y x y x y 5 3 5 3 15 êáé



 











 





         10 5 4 3 8 3 10 5 4 3 2 2 4 3 2 1 A : 5x y 2x y x y : 5x y 15 1 2 2x y x y 2x y x y 75 75        4 2 2 2 2 3 2 4x y ω

3xyω 2χy 3xyω 6x y ω

2x yω ¸íá ê õëéí äñéê ü äï÷åßï Ý÷ åé áê ôßíá âÜóçò ñ êáé ýøïò õ. ¸í á äåýôåñï ê õëéíäñéê ü äï÷åßï Ý÷åé äéðëÜóéá áêôßíá. Íá âñåßôå: á. ôïí üãêï ôïõ äåýôåñïõ äï÷åßïõ êáé â. ðüóç åðéðëÝïí ÷ùñçôéêüôçôá Ý÷åé áðü ôï ðñþôï; Ëýóç O üãêïò ôïõ ðñþôïõ äï÷åßïõ åßíáé 2 1 V πρ υ. á. Ôï äåýôåñï äï÷åßï Ý÷åé üãêï

 

2 2 V π 2ρ υ= 2 1 4πρ υ4V, äçë. 4-ðëÜóéï áðü ôï ðñþôï äï÷åßï. â. Ç äéáöïñÜ ôùí üãêùí åßíáé: 2 2 2 2 1 1 V V 4πρ υ πρ υ 3πρ υ3V. ¢ñá ôï äåýôåñï äï÷åßï Ý÷åé 3 öïñÝò ðåñéóóüôåñç ÷ùñç-ôéêüôçôá áðü ôï ðñþôï.

2

3

1

2

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí 31 Íá áíôéóôïé÷ßóåôå ôéò ðáñáóôÜóåéò ôçò óôÞëçò Á ìå ôéò ßóåò ôïõò ðáñáóôÜóåéò ôçò óôÞëçò Â. ÓôÞëç Á ÓôÞëç  á. 5x y 5x y2  2 1. _{5x y}2 â. 5x y 5x y2  2 2. 1ω y4 2 9 ã. _{5x y : xy}3 2 _{3. 25x y}4 2 ä. 1ω y2 1ω y2 3 3 4. 4xyω å. _  _{ } _     2 2 1 1 ω y ω y 3 3 5. 0 óô. 4xyω 8xyω 6. 2ω y2 3

ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ

Äßíåôáé Α 2x y3 , B x y2 4, Γxy3. Íá õðïëïãßóåôå: á. A B â. B Γ ã. A B Γ  ä. Α : Β å. Α : Γ óô. Β : Γ æ. Γ : Β ç. Β : Α Íá âñåßôå ôïõò áêÝñáéïõò ê, ë þóôå ç ðáñáêÜôù áëãåâñéêÞ ðáñÜóôáóç íá åßíáé ìïíþíõìï êáé óôç óõíÝ÷åéá íá âñåßôå ôï ìïíþíõìï:    3 κ 2 λ 1 4 3 1 x y x y 4 3 Íá âñåèïýí ïé ôéìÝò ôùí ê êáé ë, þóôå íá éó÷ýïõí ïé éóüôçôåò: á)



_15x3κ 2 λ _y

 

_{: 3χ y}2κ 4



_{5χ y}3 2 â) _4α2κ 1 3λ_β

 

_{: 12α}κ 3 λ 2_β



1_αβ4 3     Äýï êýêëïé Ý÷ïõí áêôßíåò 10÷ êáé 6÷ áíôéóôïß÷ùò. Íá âñåèåß ç áêôßíá ôïõ êýêëïõ ðïõ Ý÷åé åìâáäüí ßóï ìå ôï Üèñïéóìá ôùí åìâáäþí ôùí äýï áñ÷éêþí êýêëùí.

1

2

3

4

3

ÌÝñïò A - ÊåöÜëáéï 1 32 Åñþ ôçóç 1 á. Ôé åßíáé ðïëõþíõìï; â. Ôé ïíïìÜæïõìå üñï åíüò ðïëõùíýìïõ êáé ôé âáèìü áõôïý; ã. Ðüôå Ýíá ðïëõþíõìï ëÝãåôáé äéþíõìï êáé ðüôå ôñéþíõìï; ÁðÜíôçóç á. Ðïëõþíõìï åßíáé ôï áëãåâñéêü Üèñïéóìá áíüìïéùí áêÝñáéùí ìïíùíýìùí. â. ¼ñïò ôïõ ðïëõùíýìïõ ëÝãåôáé êÜèå ìïíþíõìï ðïõ ðåñéÝ÷åôáé óå áõôü. Âáèìüò åíüò ðïëõùíýìïõ ùò ðñïò ìßá Þ ðåñéóóüôåñåò ìåôáâëçôÝò ôïõ åßíáé ï ìåãáëýôåñïò áðü ôïõò âáèìïýò ôùí üñùí ôïõ. ã. ¸íá ðïëõþíõìï ëÝãåôáé äéþíõìï áí Ý÷åé äýï üñïõò êáé ôñéþíõìï áí Ý÷åé ôñåßò üñïõò. ÊÜèå áñéèìüò èåùñåßôáé ùò ðïëõþíõìï ìçäåíéêïý âáè-ìïý. ÅéäéêÜ ï áñéèìüò ìçäÝí (0) ëÝãåôáé ìçäåíéêü ðïëõ-þíõìï êáé äåí Ý÷åé âáèìü. ¸íá ðïëõþíõìï ùò ðñïò ìßá ìåôáâëçôÞ óõ-íçèßæåôáé íá ôï ãñÜöïõìå äéáôåôáãìÝíï êáôÜ ôéò öèßíïõóåò äõíÜìåéò ôçò ìåôáâëçôÞò. Ãéá ðáñÜäåéãìá ôï ðïëõþíõìï: 2 5x 2x 6    ôï ãñÜöïõìå _{P x}

 

_2x2 _{5x 6}     Ç áñéèìçôéêÞ ôïõ ôéìÞ ãéá ÷ =2 åßíáé

 

2 P 2   2 2   5 2 6 12 Åñþ ôçóç 2 á. Ðüôå äõï ðïëõþíõìá åßíáé ßóá; â. Ôé ëÝìå áíáãùãÞ ïìïßùí üñùí; ã. Ðùò ðñïóèÝôïõìå êáé áöáéñïýìå ðïëõþíõìá; ÁðÜíôçóç á. Äõï ðïëõþíõìá åßíáé ßóá, üôáí Ý÷ïõí üñïõò ßóá ìïíþíõìá. â. ÁíáãùãÞ ïìïßùí üñùí ëÝìå ôçí åñãáóßá êáôÜ ôçí ïðïßá áíôéêá-èéóôïýìå ôá üìïéá ìïíþíõìá ìå ôï áëãåâñéêü ÜèñïéóìÜ ôïõò. ð.÷.









                  3 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 2 3α 5β 4α β 2 3α 4α 5β β 2 3 4 α 5 1 β 2 7α 4β 2 ã. Ç ðñüóèåóç êáé ç áöáßñåóç ðïëõùíýìùí ãßíåôáé ÷ñçóéìï-ðïéþíôáò ôéò ãíùóôÝò éäéüôçôåò ôùí ðñáãìáôéêþí áñéèìþí. ð.÷ áí _{P x}

 

_4x3 _2x2 ₁    êáé _{Q x}

_{ }

_5x2 _{4x 2}     ôüôå:

 



 





 

 

   



            3 2 2 3 2 2 3 2 P x Q x 4x 2x 1 5x 4x 2 4x 2x 1 5x 4x 2 4x 3x 4x 3 Äåßôå ôï êáé ó÷çìáôéêÜ: (ìå êáôáêüñõöç ðñüóèåóç)          3 2 2 3 2 4x 2x 1 5x 4x 2 4x 3x 4x 3 ¼ìïéá Ý÷ïõìå ãéá ôçí áöáßñåóç:

 

 



3 2

 

2



3 2 2 3 2 P x Q x 4x 2x 1 5x 4x 2 4x 2x 1 5x 4x 2 9x 7x 4x 1                     

1.3 Ðïëõþíõìá - Ðñüóèåóç êáé áöáßñåóç ðïëõùíýìùí