MATEMÁTICA MÓDULO PROBABILIDADE ENSINO PROFISSIONAL NÍVEL 3

(1)

ENSINO PROFISSIONAL |

NÍVEL 3

MATEMÁTICA

DOLORES SILVA FERREIRA | ANTÓNIO MOTA FERREIRA

PAULA CRISTINA DAVID CARVALHO | JOSÉ CARLOS CARVALHO

MÓDULO

A

7

PROBABILIDADE

(2)

Introdução 4 Experiência determinista versus

experiência aleatória 5

Espaço de resultados ou espaço amostral 6

Acontecimentos 8

Definição frequencista de probabilidade 13

AT.01 Aposta segura 15 Definição clássica de probabilidade 16

Lei de Laplace 16

Definição axiomática de probabilidade 16

AT.02 Batalha naval 20

Contagem de acontecimentos 21

Utilização de diagramas de Venn e de

tabelas de dupla entrada 21 Utilização de árvores de contagem 24 Princípio fundamental da contagem ou

Regra do produto 25

AT.03 Impressão digital genética 32 Probabilidade condicionada 33 Árvores de probabilidades 37 Acontecimentos independentes 40

Distribuição de probabilidades 43 Média e desvio-padrão de uma variável

aleatória discreta 47

Distribuição de probabilidades contínua 51 Propriedades da distribuição normal 54 Distribuição normal standard 56

AT.04 Conversão entre distribuições normais 62

teste de avaliação 1 65 Prova 1 – Avaliação escrita 65 Prova 2 – Atividade de investigação 67

Anexos 75

Soluções 78

MÓDULO A7

|

PROBABILIDADE

MATEMÁTICA I ENSINO PROFISSIONAL

2

ÍNDICE

(3)

Probabilidade

1

Objetivos de Aprendizagem:

> Saber calcular a probabilidade de alguns acontecimentos a partir de modelos propostos. > Identificar acontecimentos em espaços finitos.

> Mostrar a utilidade das árvores de probabilidades como instrumento de organização de informação quando se está perante uma cadeia de experiências aleatórias.

> Ilustrar a forma de cálculo de probabilidades de acontecimentos utilizando uma árvore de probabilidades. > Calcular probabilidades com base na família de modelos Normal recorrendo ao uso de uma tabela da função

(4)

MATEMÁTICA I ENSINO PROFISSIONAL

16

MÓDULO A7

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t

Definição clássica de probabilidade

Numa experiência aleatória com n acontecimentos equiprováveis, a probabi-lidade de cada um deles ocorrer é .

Assim, sempre que numa experiência aleatória os acontecimentos forem equiprováveis, é possível calcular a probabilidade de um determinado acon-tecimento sem recorrer à repetição indefinida da experiência.

Lei de Laplace

Definição axiomática de probabilidade

Com base na noção intuitiva de probabilidade e nas propriedades das fre-quências relativas, Kolmogorov (1903-1987) construiu uma definição mais rigorosa de probabilidade.

Como consequência da definição decorrem algumas propriedades que se podem demonstrar, algumas das quais já conhecidas, e que vêm confirmar que esta definição coincide com a definição de Laplace no caso dos aconte-cimentos serem equiprováveis:

1)p( ) = 1 - p(A) 2)p(O) = 0 3)0 ≤ p(A) ≤ 1

4)Se A1, A2, … , An(n å N) são acontecimentos disjuntos dois a dois, então

p(A₁∂ A₂∂ … ∂ A_n) = p(A₁) + p(A₂) + … + p(A_n).

5)Sendo A e B dois acontecimentos de E, tem-se p(A ∂ B) = p(A) + p(B) – p(A © B) A

Seja E o espaço amostral de uma experiência aleatória e sejam A e B dois acontecimentos.

Chama-se probabilidade de A, e representa-se por p(A), a um número que obedece aos seguintes axiomas:

1)p(A) ≥ 0

2)p(E) = 1

3)p(A ∂ B) = p(A) + p(B) , se A e B são incompatíveis. 1

n

Dois acontecimentos dizem-se equiprováveis se têm igual probabilidade de ocorrer.

Dada uma experiência aleatória de um espaço amostral W, em que todos os acontecimentos elementares são equiprováveis, a probabilidade de um acontecimento A é igual ao quociente entre o número de casos favoráveis à ocorrência de A e o número de casos possíveis:

p(A) =n.º de casos favoráveis a A n.º de casos possíveis

(5)

PROBABILIDADE

©

t

APLICAÇÕES

1.

Uma caixa contém 10 bolas indistinguíveis ao tato. Quatro são verdes e, das restantes, umas são azuis e outras são brancas. Uma bola vai ser extraída aleatoriamente.

1.1.

Calcule a probabilidade da bola extraída ser branca, se a probabilidade de não sair azul for igual a 0,7.

1.2.

Sabendo que o número de bolas azuis é igual ao dobro do número de bolas brancas, determine a probabilidade de extrair uma bola azul ou uma bola verde.

1.1. Considere os acontecimentos

A: “extração de uma bola azul” B: “extração de uma bola branca” V: “extração de uma bola verde”.

Pretende-se calcular p(B). O enunciado refere que p( ) = 0,7. Pode-se concluir também que p(V) = 0,4 visto existirem quatro bolas verdes num total de 10. Como é extraída apenas uma bola, os acontecimentos A, B e V são incompatíveis (dois a dois).

Como o acontecimento “não sair bola azul” é equivalente a “sair bola branca ou verde”, então p( ) = p(B ∂ V).

Como p(B ∂ V) = p(B) + p(V), então:

p(B) + 0,4 = 0,7 § p(B) = 0,3

1.2. Como o número de bolas azuis é o dobro do número de bolas brancas e todas as bolas têm igual probabilidade de serem extraídas, então p(A) = 2 * p(B).

Por outro lado,

p(A) + p(B) + p(V) = 1

Assim tem-se que

3 * p(B) = 1 - 0,4 § p(B) = 0,2

Tem-se também que p(A) = 0,4.

Então, a probabilidade de “extrair bola azul ou verde” é igual a: p(A ∂ V) = p(A) + p(V) = 0,8

2.

De um baralho com 40 cartas retiraram-se algumas. Destas, sabe-se que a probabilidade de obter um rei é 0,15, a de obter uma copa é 0,3 e a de não sair um rei nem uma copa é 0,6.

2.1.

Está entre elas o rei de copas? Em caso afirmativo, qual é a probabili-dade de, escolhendo uma carta ao acaso, sair o rei de copas?

2.2.

Quantas cartas ficaram no baralho?

A

R

(6)

MATEMÁTICA I ENSINO PROFISSIONAL 68 MÓDULO

teste de avaliação 2

7

© t

1.

Numa turma de 12.º ano com 33 alunos, 23 têm Matemática e 20 têm Inglês. Escolhendo ao acaso um aluno, qual é a probabilidade deste fre-quentar ambas as disciplinas?

(A) 1 (B) 0,30 (2 c.d.) (C) 0 (D) 0,7 (1 c.d.)

2.

Lançam-se dois dados (não viciados, numerados de 1 a 6) à sorte. Qual é a probabilidade de que a soma dos pontos seja igual a 6? (A) 0,2 (1 c.d.) (B) 0,14 (2 c.d.) (C) 0,6 (D) 0,5

3.

Os números inteiros e positivos, como, por exemplo, 747, que se leem da mesma maneira da direita para a esquerda e da esquerda para a direita chamam-se capicuas. O número de capicuas com três algarismos que se podem escrever com os algarismos do sistema decimal é:

(A) 90 (B) 81 (C) 810 (D) 72

4.

Sejam A e B dois acontecimentos incompatíveis de um espaço amos-tral S tais que p(A ∂ B) = e p(A) = 3p(B).

Das afirmações seguintes: I) p(A) = e p(B) = II) p(A | B) = 0 pode dizer-se que:

(A) apenas II é verdadeira. (B) apenas I é verdadeira. (C) são ambas verdadeiras. (D) são ambas falsas.

1 2 1 6 2 3

Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, assinale com um círculo a resposta correta de entre as alternativas apresentadas.

1.ª

PARTE

Apresente o raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efetuados e as justifica-ções necessárias.

2.ª

PARTE

1.

Um dado como o da figura é lançado sobre uma superfície plana. Sabendo que o número em cada uma das faces opostas

às visíveis é metade do número assinalado na figura, qual é a probabilidade de ocorrer o acontecimento “a soma das faces laterais é um número ímpar”?

(7)

2.

Cinco amigos vão ao cinema e compram bilhetes para lugares conse-cutivos na mesma fila. A Rita e o Francisco, que são irmãos, querem sentar-se em lugares adjacentes.

De quantas formas diferentes os cinco amigos se podem dispôr ao longo da fila, se os dois irmãos ficarem juntos?

3.

Numa prova de tiro aos pratos, uma equipa de três atiradores disparam simultaneamente contra um prato. O Sabino tem má pontaria, pois nor-malmente só acerta um em cada cinco tiros; o Fernando acerta normal-mente um em cada três disparos e o Carlos só falha um disparo em cada cinco. O disparo de cada um não perturba os restantes.

Qual é a probabilidade do prato não ser atingido?

4.

A rádio Heavy-Rock passa músicas de Heavy-Metal e Rock and Roll! As bandas que se ouvem podem ser portuguesas ou não. A probabili-dade de uma música ser Heavy é 0,3 e a probabiliprobabili-dade de uma banda que passe na rádio ser portuguesa é 0,6.

Uma banda estrangeira encontra-se neste momento a tocar. A proba-bilidade de se tratar de uma banda de Heavy-Metal é de 0,35.

Qual é a probabilidade de se ouvir uma música Rock tocada por uma banda portuguesa?

5.

Uma florista vende tulipas negras a 3 €, sendo o preço de custo de 1 €. As flores devem ser vendidas no dia em que chegam à loja ou são deitadas fora. A florista sabe que a distribuição de probabilidades da variável aleató-ria correspondente ao número de clientes que procuram esta flor por dia é:

5.1.

Qual é o número médio de tulipas negras que são pedidas por dia?

5.2.

Qual é o número máximo destas flores que deverá encomendar, de forma a maximizar o lucro?

6.

A fábrica de pneus LongDrive é líder de mercado na produção de pneus de grande quilometragem. O artigo que mais vendem, o pneu longlast segue a distribuição normal de parâmetros N(70, 10), que representam os milha-res de quilómetros que o pneu pode efetuar mantendo boa segurança. Qual é a probabilidade de um pneu longlast realizar entre 60 mil quiló-metros e 85 mil quilóquiló-metros?

Represente graficamente a solução encontrada, utilizando para esse efeito a calculadora gráfica. Indique como procedeu.

xi 0 1 2 3 4

p(X = xi) 0,3 0,3 0,25 0,1 0,05

PROBABILIDADE

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