FRACTAIS NA ESCOLA: POEIRA DE CANTOR E RESISTORES

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José Carlos Oliveira de Jesus [oliveira@uefs.br] Gleidson de Oliveira Pinto [gueuoliveira@yahoo.com.br]

Álvaro Santos Alves [asa@uefs.br] Gilney F. Zebende

Universidade Estadual de Feira de Santana, Departamento de Física, Projeto Física no Campus, BR-116, Km 03, Campus Universitário, 44.031-460, Feira de Santana - BA - Brasil

RESUMO

Um conhecido problema do Ensino de Ciências é o enorme lapso de tempo entre a produção do conhecimento científico, lastreado epistemologicamente, e sua inserção nas Escolas ou mesmo na Universidade. Além da enorme barreira da transposição didática - que cuida de traduzir os saberes da ciência para o cotidiano escolar - e da própria construção dos currículos das escolas e Universidades, há também um problema na Formação Inicial Docente, uma vez que muitos dos temas de Física Moderna e Contemporânea estão ausentes das disciplinas. Particularmente, o estudo de estruturas fractais ainda é tratado em círculos restritos de seminários de grupos para cientistas e alunos de iniciação científica. Neste trabalho, propõe-se um experimento simples de eletricidade para discutir uma rede de resistores cuja base é a conhecida Poeira de Cantor. Apesar da simplicidade do arranjo, o experimento revela algumas nuances das atividades de laboratório, como o efeito térmico da corrente elétrica, levando os estudantes a perceber e estabelecer os limites dos modelos físicos na tentativa de descrição do mundo real.

INTRODUÇÃO

A inserção da Física Moderna e Contemporânea no cotidiano escolar ainda está longe de ser realidade no Brasil. Registra-se algumas importantes iniciativas, tanto no campo teórico quanto experimental, mas os grupos de pesquisa são em pequeno número, separados por distâncias típicas de um país-continente, reduzindo as possibilidades de um intercâmbio mais freqüente e efervescente. Todavia, verifica-se nos últimos anos que há muito esforço dedicado às Oficinas Temáticas, particularmente sobre as propriedades da radiação eletromagnética, sobretudo em conexão com o caráter dual da luz e das partículas elementares (Cavalcante e Tavolaro, 2001, p. 298-316), bem como do desenvolvimento de experimentos didáticos (Silva & Jesus 2003). Também se observa um aumento do uso de novas tecnologias no desenvolvimento de métodos computacionais, a exemplo de um trabalho de Welti (2001, p. 341), que discute propriedades termodinâmicas de um gás em uma dimensão usando um experimento virtual. Apesar disso, poucos são os registros (to the authors’ knowledge) da introdução de fractais na sala de aula. A propósito, há no Departamento de Física da Universidade Federal de Pernambuco um Caderno de Apoio ao

Laboratório Didático produzido no ínicio da década de 80, que cobre o equivalente às ditas Física I

e II, com um extenso capítulo sobre estruturas com dimensão fracionária, culminando numa aula prática muito bem elaborada que aborda importantes conceitos subjacentes aos fractais.

Segundo Ricieri (1990, p.62), os primeiros momentos da geometria fractal surgiram no estudo de estabilidade e caos ainda no Século XIX, através dos trabalhos de Verhulst sobre a

sustentabilidade de ecossistemas em conexão com o clássico problema predador-presa. Certamente, o mérito do desenvolvimento teórico se deve a grandes matemáticos como o soviético V. I. Arnold. Mas a produção e universalização de conceitos e idéias acerca da fractalidade se devem enormemente a Benoit Mandelbrot, autor do livro The Fractal Geometry of Nature, publicado em 1982. Há, de fato, um enorme rol de contribuições ao tema em diversas áreas do conhecimento, mas, por pouco espaço, não é possível enumerá-las. Em vez disso, faz-se referência ao livro de Feder (1988), que apresenta várias nuances da teoria e um amplo espectro de aplicações. Na perspectiva educacional, registra-se o curso Do Caos aos Fractais (Lopes, 2003), e a mesa redonda

Caos, fractais e complexidade (Guerrini, 2003), ambos realizados no XVSNEF, em Curitiba.

Neste trabalho, estuda-se uma estrutura fractal sobre um fio resistivo, por analogia à Poeira de Cantor, tomando-se a mais simples delas, mostrada na Fig. 1. A cada geração da seqüência de Cantor, realiza-se um curto-circuito, que corresponde aos espaços vazios na figura. Como em um resistor o comprimento, L, e a resistência elétrica, R, são proporcionais, espera-se que as leis de escala de L e R sejam as mesmas, se a seção reta do fio e a resistividade permanecem constantes.

Fig. 1. Representação do fio resistivo de Cantor de comprimento L (gerador). A cada geração coloca-se um curto-circuito, representado pelos espaços

vazios.

Na estrutura da Fig. 1, cada uma das gerações é chamada de pré-fractal e as escalas e os comprimentos para a n-ésima geração são dados respectivamente pelas Eqs. (1) e (2), abaixo:

0 3 1 L n       = δ (1)

( )

Substituindo-se n da Eq. (2) na Eq. (1) e rearrumando-se os termos, obtém-se uma lei de potência para L (Feder, 1988), na forma:

( )

Na expressão acima, D corresponde à dimensão fractal (box dimension) e d=1 corresponde à dimensão da medida (Feder, 1988, p. 11-17, 62-65). Esse resultado permitirá a análise das medidas de resistência sobre a estrutura fractal.

DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO

Para o experimento didático aqui proposto, utilizou-se um fio resistivo de níquel-cromo com 8Ω/m de resistência por unidade de comprimento, sobre o qual foram produzidas as várias gerações de pré-fractais. O diagrama da montagem está mostrado na Fig. 2. Para a primeira geração divide-se o segmento ab do fio resistivo em três partes iguais e se curto-circuita a parte central. Na segunda geração, faz-se o mesmo com os dois segmentos que não foram curto-circuitados na geração anterior e assim sucessivamente. Os curto-circuitos foram feitos com fio esmaltado de cobre nos segmentos que deveriam ser excluídos em cada etapa. Para a alimentação do circuito utilizou-se uma fonte de tensão MINIPA, modelo MPSP 3003. A diferença de potencial elétrico e a corrente elétrica no circuito foram lidas1 com multímetros digitais TOYO, modelo TY-1000.

Fig. 2. Diagrama da montagem para medida de resistência da seqüência de Cantor no fio resistivo representado pelo segmento ab.

Metodologicamente, usou-se o fato de que a resistência elétrica R de um fio resistivo homogêneo e uniforme, de seção reta A, comprimento L(δ) e resistividade ρ é dada por:

( )

( )

onde se usou a Eq.(3) e redefiniu-se a constante K em termos de A e ρ. Assim, para uma dada tensão elétrica V, surge no circuito uma corrente elétrica I(δ) tal que

( )

[

]

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 _{Uma medida é resultado de análise estatística sobre um conjunto de informações (ou dados) produzidas por leituras}

simples ou múltiplas da grandeza física em estudo. A confusão entre leitura e medida é muito comum na literatura.

A

V +

a

Na Eq. (5), V(δ) representa a leitura de tensão corrigida para a queda de potencial na resistência interna do amperímetro. Assim, a dimensão fractal do arranjo de resistores pode então ser determinada pela inclinação da reta no gráfico de logR~_δ vs logδ . Na prática, pode-se também construir o gráfico da resistência equivalente em função do fator de escala, δ , e analisar os resultados a partir da Eq.:

( )

Na Fig. 3 estão mostrados resultados experimentais e algumas curvas calculadas para diferentes valores de λ=ρ A. Note-se que há um forte desvio da previsão teórica à medida que o fator de escala diminui, ou seja, à medida que a ordem do pré-fractal aumenta. Atribui-se este fenômeno a efeitos térmicos da corrente elétrica, uma vez que, quanto maior a geração do pré-fractal, maior a tendência a dissipar calor por efeito Joule, aquecendo o fio e provocando um aumento de sua resistência elétrica, diminuindo a corrente no circuito. Vê-se também que há uma concordância qualitativa para as duas primeiras gerações (iniciador e gerador) de pré-fractais, em ordem 0 e ordem 1, com a curva teórica para λ=3Ω/m. Para uma discussão quantitativa dos efeitos térmicos sobre a estrutura, está em andamento uma coleta de dados para diferentes valores de tensão. O estudo de outras estruturas para inserção no laboratório didático, como variantes da poeira de Cantor, são objeto de monografia de final de curso para obtenção do grau de licenciado em Física. Com isso, apresenta-se uma contribuição relevante no processo de formação inicial docente.

0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 0 2 0 3 0 4 0 R eq ( Ω ) δ ( m ) E x p e r i m e n t o λ= 1Ω / m λ= 2Ω / m λ= 3Ω / m λ= 4Ω / m

Fig 3. Resistência equivalente do circuito pré-fractal em função do fator de escala. A linha pontilhada através dos pontos é apenas um guia para os olhos. As curvas convexas foram calculadas a partir da Eq. (6) para o caso ideal com

REFERÊNCIAS

CAVALCANTE, Marisa Almeida; TAVOLARO, Cristiane R. C.. Uma Oficina de Física Moderna

que vise a sua inserção no Ensino Médio. Caderno Catarinense de Ensino de Física..

Florianópolis: Ed. da UFSC, 2001.

FEDER, Jens. Fractals. (Physics of solids and liquids). New York: Plenum Press, 1988.

GUERRINI, Ivan Amaral. Caos, Fractais e Complexidade. Atas do XV Simpósio Nacional de Ensino de Física. Curitiba: Cefet e UFPR, 2003.

LOPES, César de Oliveira. Do Caos aos Fractais. Atas do XV Simpósio Nacional de Ensino de Física. Curitiba: Cefet e UFPR, 2003.

OSTERMANN, Fernanda; RICCI, Trieste F.. Relatividade Restrita no Ensino Médio: Contração de Lorentz-Fitzgerald e a aparência visual de objetos relativísticos em livros didáticos de Física.

Caderno Brasileiro de Ensino de Física. Florianópolis, v.19, n.2, 2001. p. 176.

RICIERI, Aguinaldo Prandini. Fractais e Caos: a matemática de hoje. São Paulo: Prandiano, 1990.

SILVA, Marcus Vinícius Santos da, JESUS, José Carlos Oliveira de. Estudo de transições de fase

usando a placa de som do micro PC. Atas do XV Simpósio Nacional de Ensino de Física.

Curitiba: CEFET e UFPR, 2003.

WELTI, Reinaldo. Desde el gás unidimensional de um solo átomo a la ley de compresión