MODELO EXATO E ALGORITMO HÍBRIDO PARA CONTROLE DE
TOPOLOGIA DE REDES DE SENSORES SEM FIO
Frederico Paiva Quintão
Departamento de Ciência da Computação – UFMG – fred@dcc.ufmg.br Fabíola Guerra Nakamura (orientadora)
Departamento de Ciência da Computação – UFMG – fgnaka@dcc.ufmg.br Geraldo Robson Mateus (orientador)
Departamento de Ciência da Computação – UFMG – mateus@dcc.ufmg.br
Abstract. The recent and multidisciplinary area of Wireless Sensor Networks (WSNs) has brought
new challenges to developers of network protocols. One of these challenges consists of maintaining the coverage of the sensing area and the connectivity between the network nodes, preferably accomplishing the management of the network resources. In this work we present a mathematical formulation for this problem, and also a hybrid algorithm to solve it in a small time, because the problem requires a hard computational effort for optimal solutions and, since the WSNs may be very dynamic, any slow management decision can lead to serious problems.
Key-words: Network design, Metaheuristics, Graphs 1 Introdução
Uma Rede de Sensores sem fio (RSSF) é um tipo especial de rede ad-hoc, que possui dezenas ou mesmo centenas de pequenos dispositivos autônomos, chamados nós sensores, cada um deles dotado de capacidade de processamento, sensoriamento e comunicação sem fio.
As RSSFs podem ser usadas em um número muito grande de aplicações, tais como controle de ambientes (estacionamentos, museus), monitoração do nível de poluição do ar, controle de linhas de produção e mesmo como espiãs militares, provendo informações sobre movimentação de exércitos inimigos. A Figura 1 ilustra uma arquitetura comum de uma RSSF: diversos nós espalhados numa área realizam a monitoração de variáveis de interesse e enviam os seus dados para o nó sorvedouro, que é um nó especial usado para enviar informação para fora da rede (com destino ao usuário final). Uma vez que tipicamente uma RSSF poderá estar espalhada numa região inóspita, como uma cratera de vulcão ou uma floresta, e o número de nós nessa rede pode ser muito grande, a recarga ou troca das baterias dos nós pode ser inviável. Logo, o desenvolvimento de protocolos power-saving para organização de uma RSSF pode estender o seu tempo de vida, o que é muito desejável, tanto do ponto de vista da Qualidade de Serviço como do ponto de vista de longevidade do nó. De fato, a restrição de energia é a principal preocupação no campo de RSSFs, e envolve esforços de diferentes áreas, como pesquisa operacional, projeto de protocolos, engenharia de hardware, entre outras.
Figura 1 – arquitetura de uma RSSF
Nesse trabalho é proposto um modelo de Programação Linear Inteira Mista e um algoritmo híbrido que realizam a organização das RSSFs, sob a ótica do gerenciamento. Os principais objetivos são:
Ativar o número mínimo de nós da rede, controlando a densidade e evitando problemas como interferências de rádio, colisão e congestionamento de pacotes, descritos em [4] e [8];
Garantir que este número mínimo mantenha a cobertura da área de monitoramento; Garantir a conectividade entre os nós sensores que foram ativados;
Estender o tempo de vida da rede.
Este problema foi denominado PCC-RSSF (Problema de Cobertura e Conectividade em Redes de Sensores sem fio) e pode ser modelado usando Programação Linear Inteira Mista (PLIM). Entretanto o problema é muito difícil de ser resolvido, exigindo grande esforço computacional, principalmente para grandes instâncias. Em virtude disto, foi feita uma proposta de solução aproximada, na qual o PCC-RSSF foi decomposto em dois sub-problemas, e resolvido por um algoritmo híbrido que executa uma fase de pré-processamento, baseada no algoritmo de caminho mínimo de Dijkstra [13][14], e em seguida combina uma busca aleatória (usando um algoritmo genético) com uma fase de busca local, que usa o algoritmo de Árvore Geradora Mínima (AGM) de Prim [13] e novamente o algoritmo de Dijkstra, se necessário.
O restante do trabalho está dividido como se segue: a seção 2 apresenta a formulação matemática do PCC-RSSF; a decomposição do problema em dois sub-problemas é apresentada na seção 3, bem como os algoritmos propostos para solução destes. Resultados computacionais e comparações entre as duas abordagens são apresentados na seção 4; a seção 5 discorre sobre alguns trabalhos relacionados e a seção 6 traz algumas considerações finais e trabalhos futuros.
2 Formulação matemática para o PCC-RSSF
O PCC-RSSF pode ser definido como: Dados uma área de monitoramento A, um conjunto de pontos
de demanda D, um conjunto de nós sensores S e um nó sorvedouro m, o PCC-RSSF consiste em garantir que pelo menos um nó sensor de S está cobrindo cada ponto de demanda D na área A, e que há um caminho entre este nó e o nó sorvedouro m. A formulação utiliza os seguintes parâmetros:
S conjunto de nós sensores D conjunto de pontos de demanda
Ad conjunto de arcos que conectam nós sensores e pontos de demanda As conjunto de arcos que conectam nós sensores
Am conjunto de arcos que conectam nós sensores ao nó sorvedouro
Ejd(A) conjunto de arcos (i, j) ∈ Ad que chegam no ponto de demanda j ∈ D
Ejs(A) conjunto de arcos (i, j)
∈
As U Ad que chegam ao nó sensor j∈
SSis(A) conjunto de arcos (i, j)
∈
As U Ad que saem do nó sensor i∈
SEMi energia para ativação e manutenção do nó i
ETi energia de transmissão do nó i
ERi energia de recepção do nó i
EHj custo de não cobertura de um ponto de demanda j, penalidade quando um ponto não é coberto
As seguintes variáveis são utilizadas:
xij variável que indica se o nó i está cobrindo o ponto de demanda j
yi variável de decisão que possui valor 1 se o nó i está ativo e 0 caso contrário
hj variável que indica a não cobertura do ponto de demanda j
zlij variável de decisão que tem valor 1 se o arco (i, j) está no caminho entre o nó sensor l e o nó
sorvedouro, e 0 caso contrário
ei variável que indica a energia consumida pelo nó sensor i
A função objetivo (1) minimiza o consumo de energia da rede e o número de pontos de demanda descobertos. As restrições (2), (3), (4) e (5) discorrem sobre o problema de cobertura, garantindo que apenas nós ativos podem cobrir pontos de demanda. As restrições (6), (7), (8) e (9) se relacionam ao problema da conectividade, e certificam a existência de um caminho entre cada nó sensor l ∈ S e o nó sorvedouro m. As restrições (10) e (11) definem os limites de valores da energia. A restrição (12) define as variáveis de decisão como booleanas e a restrição (13) define as outras variáveis como reais. A solução do modelo consiste de um sub-conjunto de nós ativos e descreve quais pontos de demanda estão descobertos, garantindo a melhor cobertura possível e um caminho entre cada nó ativo e o nó sorvedouro. A solução também estima o consumo de energia da rede.
3 Decomposição do PCC-RSSF em sub-problemas
Dada a complexidade do PCC-RSSF, foi desenvolvido um algoritmo híbrido que funciona da seguinte maneira: inicialmente é feito um pré-processamento sobre a instância teste, que consiste em estimar o custo do caminho de cada nó sensor até o sorvedouro. Para tal tarefa o algoritmo de Dijkstra é utilizado. Em seguida, é feita uma busca aleatória por uma solução para o Problema de Cobertura (usando um algoritmo genético que foi desenvolvido), e finalmente é feita uma busca local nessa solução (baseada nos algoritmos de Prim e Dijkstra) para viabilizá-la em relação à conectividade. As próximas sub-seções apresentam os sub-problemas e os algoritmos propostos para resolvê-los.
3.1 O Problema de Cobertura e um modelo de Programação Linear Inteira para solução
O modelo aqui utilizado é similar ao apresentado por Nakamura em [5]. Para este modelo, o Problema de Cobertura pode ser interpretado como: Dados uma área de monitoramento A, um
conjunto de nós sensores S e um conjunto de pontos de demanda D (pontos discretizados que representam a área A), o Problema de Cobertura consiste em garantir para cada ponto de demanda d ∈ D na área A que pelo menos um nó sensor s ∈ S o cubra. A formulação utiliza os mesmos
parâmetros do modelo anterior, considerando ainda um custo EA para se ativar um nó sensor e também uma variável CC, que corresponde a uma estimativa de custo do caminho de um nó sensor ao nó sorvedouro. O valor de CC é obtido através de uma fase de pré-processamento, que corresponde ao
uso do algoritmo de Dijkstra aplicado a todos os nós da rede. O Problema de Cobertura é então descrito pela seguinte formulação:
e também sujeito as restrições (2), (3), (4) e (5).
A função objetivo (14) visa minimizar o número de nós ativos para garantir a cobertura dos pontos de demanda, e busca os nós que tenham menor custo de caminho possível. A restrição (15) define a variável y como binária e (16) indica que as demais variáveis são reais. A solução ótima do modelo indica quais nós são ativados e quais pontos de demanda eles estão cobrindo. Como a penalidade EHj de não cobertura de um ponto de demanda é alta, se este possuir um nó sensor que o
alcance esse nó estará ativo, ou seja, a variável hj só terá valor diferente de zero quando não existir nó
sensor que cubra o ponto j.
3.2 Algoritmo genético para solução do Problema de Cobertura 3.2.1 Codificação de parâmetros
Os parâmetros são codificados de maneira binária, na qual cada cromossomo possui um tamanho T igual ao número de nós da rede. Cada posição do cromossomo contém o valor 0 ou 1 de acordo com o estado do nó. Para indicar a ativação do i-ésimo nó de um cromossomo, tem-se que cromossomo[i] =
1 (ou seja, a i-ésima posição do cromossomo possui valor 1), e caso contrário ela possui valor 0.
3.2.2 População Inicial
A população inicial consiste de uma matriz de tamanho [PopInicial][T], onde PopInicial é um inteiro arbitrário. Essa matriz é gerada com distribuição uniforme. O valor PopInicial pode ser grande, mas como isto pode tornar-se caro computacionalmente, foi utilizado o esquema de Seleção Natural: a população foi ordenada de acordo com o valor da função de aptidão (que é exatamente a função objetivo do problema de cobertura) e somente um valor TamPop<PopInicial foi utilizado nas iterações do algoritmo, eliminando desta maneira soluções que não sejam interessantes.
3.2.3 Casamento, crossing over e mutação
O processo de casamento consiste em escolher e depois combinar possíveis soluções do problema para gerar novas soluções. O método implementado foi o Cost Weighting Pairing, apresentado em [1], que fornece uma maior probabilidade de escolha de combinação para cromossomos que possuem maior valor de função objetivo. Assim que dois cromossomos são escolhidos, eles são combinados através do processo de crossing over. Um natural não-nulo c ≤ T é gerado e nesta posição é feito o crossing over: o primeiro filho do casal recebe os primeiros c bits do pai e os demais bits da mãe, e o segundo
filho recebe os primeiros bits da mãe e os demais bits do pai. Os dois filhos gerados por cada casal entram na população ocupando o lugar dos indivíduos que apresentam os piores resultados da função de aptidão (equação (14)), eliminando-os da população.
O processo de mutação consiste em trocar um bit de um cromossomo de 1 para 0 e vice-versa, permitindo maior liberdade ao algoritmo para procurar por soluções fora do espaço de parâmetros no qual este se encontra [1]. Na implementação utilizada, a mutação ocorre em todos os elementos da população, exceto no melhor deles. Para cada indivíduo é gerado um número aleatório entre 0 e 1. Se este número for menor do que a probabilidade de mutação µ, então gera-se um número natural não-nulo m ≤ T e o bit que corresponde a essa posição tem o seu valor invertido.
3.3 Garantindo a Conectividade para o algoritmo híbrido
O algoritmo genético apresentado resolve apenas o Problema de Cobertura em RSSFs, minizando o número de nós ativos que realizam a cobertura da área de monitoramento. Entretanto, existe a possibilidade de os nós escolhidos não estarem conexos. Nesse caso, de nada adianta a garantia de cobertura da área se os dados não podem alcançar o sorvedouro e chegar até o usuário. Para resolver este problema, foram usados os algoritmos de Prim e Dijkstra, em um processo de busca local sobre a solução obtida pelo algoritmo genético.
Inicialmente a solução encontrada pelo algoritmo genético é passada como parâmetro de entrada para o algoritmo de Prim, implementado com base na versão apresentada em [13]. Um subgrafo G’ que contém todos os nós ativados é montado. A condição para construção deste subgrafo é a seguinte: só existe aresta entre um par de nós u e v ∈ G’ se a distância euclidiana entre u e v é menor ou igual ao raio de comunicação máximo dos nós sensores. Se todos os nós ativos estão
conectados de alguma maneira ao sorvedouro, então a AGM pode ser usada como caminho para o fluxo de dados. Entretanto, dada a condição acima, um ou mais nós podem estar desconectados da AGM. Caso isso ocorra torna-se necessário fazer com que estes nós tornem-se conectados. Para esta tarefa, foi utilizado o algoritmo de Dijkstra, implementado com base na versão apresentada em [14]. Um grafo G” é usado, e contém como vértices todos os nós da rede, e como arestas todas aquelas que são menores do que o raio de comunicação dos nós. O algoritmo de Dijkstra é então executado para determinar, a partir de cada nó desconectado, o menor caminho até o nó sorvedouro. Os nós que são usados no caminho formado (dos quais alguns poderiam estar inicialmente desativados) serão também ativados, podendo ser usados tanto para roteamento quanto para sensoriamento, apesar de a cobertura da rede já estar garantida pelo passo anterior.
4 Resultados computacionais
Nessa seção serão discutidos resultados computacionais, obtidos para se comparar o resultado do algoritmo híbrido implementado com o de modelos extatos, executados no software comercial CPLEX 7.0. Inicialmente são determinados alguns parâmetros que são usados tanto para o modelo PLIM do PCC-RSSF quanto para o algoritmo genético (Tabela 1).
Parâmetro Valor Descrição
EM/EA 18 Energia de manutenção e de ativação do nó
ER 2 Energia gasta com recepção
EH 10000 Penalidade de não cobertura
PopInicial 1400 Tamanho da população inicial
TamPop 600 Número de cromossomos em cada geração
Raio de sensoriamento 15 Raio de sensoriamento máximo (em metros)
µ 10% Probabilidade de mutação
MaxGerações 40 Número máximo de gerações (condição de parada)
Ttx 0.25 Tempo gasto com transmissão
Tabela 1: Valores de parâmetros
Foram geradas 8 instâncias para testes, todas elas com a posição dos nós gerada de maneira aleatória, e o nó sorvedouro localizado no centro da área. A instância I1 possui 32 nós numa área de 40mx40m; I2 possui 32 nós numa área de 50mx50m; I3 possui 64 nós numa área de 40mx40m e I4 possui 64 nós numa área de 50mx50m. Para estas instâncias foi considerado que o raio máximo de comunicação é de 20m. As demais instâncias I5, I6, I7 e I8 possuem as mesmas configurações de topologia de I1, I2, I3 e I4, respectivamente, entretanto para estas últimas instâncias foi considerado que o raio de comunicação é de 25m. A Tabela 2 ilustra os resultados que foram obtidos usando a formulação matemática do PCC-RSSF executado sobre o CPLEX .
Instância Nós ativos Cobertura Tempo (s) Objetivo I1 5 100% 347.2 101.525 I2 9 100% 239.83 200.025 I3 5 100% 1816.26 101.350 I4 8 100% 21408.67 179.600 I5 5 100% 809.30 101.525 I6 9 100% 353.33 192.175 I7 5 100% 5106.56 101.400 I8 7 100% 5575.84 147.525
Tabela 2: Resultados obtidos no CPLEX
Em seguida o algoritmo híbrido foi executado sobre as instâncias. Como o algoritmo genético realiza uma busca aleatória, foram feitas 10 execuções sobre cada instância e foram tomados valores médios e o desvio padrão (representado por ∆). O resultado é encontrado na Tabela 3.
Instância Nós ativos ∆ (Nós ativos) Tempo (s) ∆ (Tempo) Objetivo ∆ (Objetivo)
I1 5.800 0.600 77.264 0.811 128.405 13.201 I2 10.000 0.775 136.877 0.663 249.870 19.920 I3 5.100 0.300 143.600 0.730 112.060 9.787 I4 10.500 0.922 240.919 1.782 248.100 18.337 I5 5.100 0.300 76.860 0.871 110.840 8.336 I6 9.000 0.000 136.950 0.847 228.367 5.908 I7 5.100 0.300 143.383 0.609 109.842 8.297 I8 8.700 0.458 240.942 1.435 216.130 21.503
Tabela 3: Resultados do algoritmo híbrido
O algoritmo híbrido atingiu 100% de cobertura para todas as instâncias em todas as execuções. Pode-se perceber pelos resultados que, em relação ao número de nós ativos, o algoritmo consegue um bom desempenho, e resolve todas as instâncias em um tempo pequeno, mesmo as maiores. Este resultado é interessante pois as RSSFs podem ser muito dinâmicas, e as funções de gerenciamento devem responder rapidamente às mudanças, para que a rede opere pelo maior tempo possível e com os requisitos de Qualidade de Serviço (QoS) garantidos, como cobertura e conectividade,. As Figuras 2 e 3 (geradas com a ferramenta gráfica de [4]) trazem exemplos de resultados obtidos com o algoritmo híbrido para a instância I8. As figuras 4 e 5 trazem exemplos de evolução do algoritmo genético para as instâncias I7 e I8. Nessas últimas, existem duas curvas, uma que representa a aptidão do melhor indivíduo e a outra que representa a aptidão média, que equivale a média aritmética das aptidões dos melhores TamPop/2 indivíduos da população. Em relação ao resultado da função objetivo, é possível observar que o algoritmo híbrido não obtém bom desempenho em todas as instâncias, apesar de em geral ativar um número pequeno de nós. Isso significa que os caminhos escolhidos não estão sendo sempre os de menor custo, ou seja, a inclusão do termo CC na equação (14) (para penalizar escolhas de caminho com maior custo) pode não estar sendo suficiente. Entretanto, a inclusão deste termo melhorou resultados preliminares nos quais nenhuma referência ao Problema de Conectividade era feita durante a fase do algoritmo genético. De fato, pode-se perceber que os problemas de Cobertura e Conectividade são, individualmente, opostos: durante a cobertura busca-se espalhar os nós da melhor maneira, de modo a obter a maior cobertura possível. Já a conectividade procura “unir” os nós. Esta observação é um dos pontos para explicar a complexidade do PCC-RSSF para obter a solução ótima. 5 Trabalhos relacionados
Muitos trabalhos na literatura discutem a criação de protocolos para extensão do tempo de vida de uma RSSF através do uso inteligente dos seus recursos. Diversas modelagens diferentes vêm sendo adotadas, mas a maioria delas só trata o Problema da Cobertura, desprezando a conectividade. Vieira et al em [9] utilizam uma abordagem baseada no algoritmo de Voronoi para identificar os nós
que estejam cobrindo uma mesma área. Esses nós são classificados como nós backup e podem ser colocados em um modo de economia de energia. O algoritmo de Voronoi também é usado no trabalho de Meguerdichian et al em [3], no qual é proposto um mecanismo que usa esse algoritmo em conjunto com algoritmos de busca em grafos, apresentando como saída as regiões da rede que estão ricas em nós e as regiões que estão pobres, podendo ser usado então como uma política de reposição de nós.
Figura 2 - Cobertura instância I8 Figura 3 - Conectividade instância I8
Figura 4 - Aptidão do algoritmo genético a cada geração para instância I7
Figura 5 - Aptidão do algoritmo genético a cada geração para instância I8
O trabalho de Megerian e Potkonjak em [2] apresenta uma modelagem baseada em Programação Linear Inteira (PLI) para o Problema de Cobertura. Já Slijepcevic e Potkonjak em [7] resolvem o Problema de Cobertura modelando-o através do Set Covering Problem, e apresentam uma heurística para resolver o problema NP-Completo. Siqueira et al em [10] também usam o Set Covering
Problem, e suposições de conectividade são tomadas para que o fluxo de informações seja garantido.
Meta-heurísticas já foram utilizadas para solução de problemas na área de RSSFs. Heinzelman
et al apresentam o algoritmo LEACH-C em [12], para funcionamento sobre RSSFs hierárquicas. Um
algoritmo de Simmulated Annealing é usado para calcular o melhor conjunto de nós líderes
(cluster-heads) a ser ativado. Quintão et al em [11] usam um algoritmo genético para solução do Problema de
Cobertura sob-demanda, o qual busca ativar o melhor conjunto de nós de acordo com a precisão da aplicação.
Nos trabalhos de Nakamura [5] e Menezes [4] encontram-se outros modelos de Programação Linear Inteira Mista (PLIM) que resolvem o Problema de Cobertura e também satisfazem as restrições de conectividade. O trabalho de Nakamura propõe um planejamento dinâmico para o funcionamento dos nós da rede ao longo de todo o seu tempo de vida; já o modelo de Menezes considera cenários com presença de obstáculos e apresenta uma Relaxação Lagrangeana do problema para solução do mesmo em tempo viável. O problema da alta densidade em RSSFs é discutido por Tilak et al em [8], baseado em simulações em diferentes cenários. Uma arquitetura de gerenciamento para RSSFs e seu impacto sobre a rede é apresentada por Ruiz et al em [6].
6 Conclusões e trabalhos futuros
Neste trabalho foram apresentados uma modelagem exata e um algoritmo híbrido para o Problema de Cobertura e Conectividade para RSSFs. Ambos poderiam ser executados em conjunto com uma arquitetura de gerenciamento de RSSFs, como a apresentada em [6], sendo membros da área funcional de configuração para controle de topologia. Os resultados computacionais mostram que o algoritmo híbrido atinge valores muito bons em relação ao número total de nós ativos, e valores de função objetivo relativamente próximos aos valores obtidos com o software CPLEX no caso de instâncias pequenas. Além disso, o algoritmo executa com pequeno esforço computacional, sendo o tempo computacional, mesmo para instâncias grandes, sua principal vantagem no cenário das RSSFs.
Como trabalhos futuros pretende-se inserir novas operações bio-inspiradas sobre o algoritmo, como elitização, e usar estratégias de outras meta-heurísticas, como o path-relinking do GRASP, durante a etapa de combinação de cromossomos, bem como o aperfeiçoamento dos algoritmos para garantia da conectividade.
Agradecimentos
Projeto SensorNet – DCC/UFMG, CIN/UFPE e CNPq. Referências
[1] Haupt, R.L and Haupt, S.E (1998). Pratical Genetic Algorithms. John Wiley & Sons, Inc.
[2] Megerian, S and Potkonjak, M. (2003). Low Power 0/1 Coveragem and scheduling techniques in Sensor Networks. UCLA Technical Reports.
[3] Meguerdichian, S., Koushanfar, F., Potkonjak, M., and Srivastava, M.B. (2003). Coverage problems in Wireless ad-hoc Sensor Netwoks. In INFOCOM 2001. IEEE.
[4] Menezes, G. C (2004). Modelos e algoritmos para definição da densidade e posicionamento dos nós em uma Redes de Sensores sem fio. Master’s thesis, Universidade Federal de Minas Gerais.
[5] Nakakmura, F. G. (2003). Planejamento dinâmico para controle de cobertura e conectividade em Rdes de Sensores sem fio planas. Master’s thesis, Universidade Federal de Minas Gerais.
[6] Ruiz, L.B., Braga, T.R., Silva, F.A., Nogueira, J.M., and Loureiro, A.A. (2003). Service Management in Wireless Sensor Networks. In LANOMS 2003. IEEE.
[7] Slijepcevic, S. and Potkonjak, M. (2001). Power Efficient organization of Wireless Sensor Networks. In IEEE International Conference on Communications. IEEE.
[8] Tilak, S., Abu-Ghazaleh, N., and Heinzelman, W. (2002). Infrastructure tradeoffs for Sensor Networks. In ACM 1st International Workshop on Sensor Networks and Applications. ACM.
[9] Vieira, M. A. M., Vieira, L. F. M., Ruiz, L. B., Loureiro, A. A. F., Fernandes, A. O., and Nogueira, J. M. S. (2003). Scheduling nodes in Wireless Sensor Networks: A Voronoi approach. In 28th Annual
IEEE International Conference on Local Computer Networks. IEEE.
[10] Siqueira, I. G., Ruiz, L. B., Loureiro, A. A. F., and Nogueira, J. M. S. (2004). Um Serviço de Gerenciamento para Controle de Densidade em Redes de Sensores sem fio. In 22o Simpósio Brasileiro
de Redes de Computadores. SBC.
[11] Quintão, F. P., Mateus, G. R., and Nakamura, F. G. (2004). Uma abordagem evolutiva para o Problema de Cobertura em Redes de Sensores sem fio. In 23o Concurso de Trabalhos de Iniciação
Científica do 24o Congresso da Sociedade Brasileira de Computação. SBC.
[12] Heinzelman, W. B., Chandrakasan, A. P., Hari Balakrishnan. (2002). An Application-Specific Protocol Architeture for Wireless Microsensor Networks. In IEEE Transactions on Wireless
Communications. IEEE.
[13] Ziviani, N. (2003). Projetos de Algoritmos com Implementações em Pascal e C, 2a Edição.
Editora Pioneira Thompson.
