ÁLBUNS DE FIGURINHAS, O PROBLEMA DO COLECIONADOR DE CUPONS E PROGRAMAÇÃO EM VBA?

ÁLBUNS DE FIGURINHAS, O PROBLEMA DO COLECIONADOR DE CUPONS E PROGRAMAÇÃO EM VBA?

Flávia Freitas Maia1 Rafael G Barbastefano2 Dayse Haime Pastore3

Resumo:

Este trabalho apresenta uma proposta de estudo do Problema do Colecionador de Cupons (Coupon Collection Problem), conteúdo de Teoria das Probabilidades, apresentado em alguns cursos do Ensino Superior. Definindo informalmente: Existem n tipos de cupons e em cada ensaio um cupom é escolhido aleatoriamente. Cada cupom tem a mesma probabilidade de ser extraído. O objetivo é estudar o número exato de ensaios antes do colecionador obter todos os n cupons (Motwani e Raghavan, 1995).

Este problema já foi adaptado diversas vezes para a resolução de problemas específicos que requisitavam a alteração de dados como a probabilidade de retirada de cada elemento (Brown, Peköz e Ross, 2008), interação entre dois colecionadores (Myers e Wilf, 2006), mudanças da regra de reposição (Kobza, Jacobson e Vaughan, 2007) etc.

Suas aplicações encontram-se em diversos campos de estudo, como por exemplo, estudos de divulgação de produtos em marketing, as estimativas sobre exposição de uma certa população a uma doença contagiosa, a criação de provas a partir de um banco de questões e a validação de geradores de números aleatórios. Sua aplicação próxima do cotidiano torna o Problema um tema relevante, entretanto, avançado e não trabalhado com os alunos do Ensino Médio. Desta vez, então, o problema será adaptado à brincadeira de colecionar figurinhas, típicas de crianças.

1 _{Mestranda do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Matemática – PPECM – CEFET-RJ.} (flaviafreitasmaia@gmail.com)

2 _{Professor Efetivo do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Matemática – PPECM – CEFET-RJ} (rgb@cefet-rj.br)

3 _{Professora Colaboradora do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Matemática – PPECM –} CEFET-RJ (dpastore@cefet-rj.br)

Para isto, este trabalho tem como objetivo desenvolver um programa, usando simulação aleatória, a partir das ferramentas do Microsoft Excel e da programação em Visual Basic for Applications (VBA), criando formulários para a inserção de dados para a produção de tabelas e gráficos, avaliação de simulações e testes com usuários para a produção de materiais para aplicação nas escolas.

A partir de simulações e criação de programas temos uma ferramenta valiosa de acordo com pesquisas como as de Baker e Sugden (2003) e o estudo de combinatória pode ser aprofundado, tornando o Problema do Colecionador de Cupons acessível a estes alunos. Este seria um item mais avançado de Análise Combinatória, complementar para os alunos do Ensino Médio.

Os casos que mais nos interessam são o da compra de figurinhas diretamente das bancas de jornal e das editoras e o caso de troca de figurinhas entre amigos. Procuramos estabelecer o custo monetário de se completar um álbum enquanto produzimos combinações de compra de figurinhas.

As revisões bibliográficas envolvem assuntos que tratam do uso de planilhas no ensino, do Problema do Colecionador de Cupons, de Análise Combinatória e de simulações estocásticas. As pesquisas envolvem a visão de Análise Combinatória por professores e alunos e busca de informações sobre a produção de figurinhas pelas editoras a fim de criar simulações reais.

Palavras-chave: Análise Combinatória; Colecionador de Cupons; Figurinha.

“O álbum de figurinhas ou conhecido como livro de cromos é uma tática cruel inteligente de ganhar dinheiro fazendo álbuns da Barbie que tem como presa público alvo gurias retardadas meninas e álbuns de pokemongos pokemons para nerds garotos”.

(Desciclopédia, Verbete sobre Álbuns de Figurinhas)

1 INTRODUÇÃO

O hábito de colecionar está presente na sociedade há muito tempo. As variações dos objetos escolhidos e seus motivos são os mais variados e vão desde preocupação em guardá-los para preservar até guardar objetos por pura admiração. Toda coleção possui um padrão e podemos encontrá-la até na história do mundo. Se informações não fossem guardadas como saberíamos de nosso passado?

Hoje, encontramos no Guiness Book vários recordes sobre coleções (guardanapos, carrinhos, cones de trânsito,...). O próprio livro já é uma coleção de recordes. E desperta tanto interesse que em 2003, foram vendidas 100 milhões de cópias e em 2009, teve sua quinquagésima-quinta edição. È considerado o décimo livro mais vendido do mundo.

Este hábito de colecionar chegou até o campo da Matemática, um estudo que é conhecido na literatura como O Problema do Colecionador de Cupons. É um caso de combinatória bem conhecido na teoria das probabilidades (Feller, 1968) e que possui um grande número de aplicações, que como os estudos de divulgação de produtos em marketing, as estimativas sobre exposição de uma certa população a uma doença contagiosa, a criação de provas a partir de um banco de questões e a validação de geradores de números aleatórios. Neste trabalho faremos uma aplicação à brincadeira de completar álbuns de Figurinhas.

O Colecionador de Figurinhas pode ser levado para a sala de aula já no Ensino Médio como um tópico mais avançado do estudo de Análise Combinatória. Escolhemos trabalhar com reposição, possibilidade de troca e compra de objetos colecionáveis (as figurinhas). Nossa base de cálculos está sendo feita sobre o Visual Basic for Applications (VBA) do Microsoft Excel por nos permitir a criação de casos aleatórios e funções, além, de uma apresentação simples e organizada (em formulário) para a inserção de dados.

Este artigo está estruturado da seguinte maneira: uma breve explicação do problema escolhido e uma justificativa para a aplicação para sala de aula; desenvolvimento matemático do problema e os primeiros resultados obtidos.

2 PROBLEMA DO COLECIONADOR DE CUPONS (COUPON COLLECTION PROBLEM) E A SALA DE AULA

O Problema do Colecionador de Cupons é um problema conhecido na Teoria das Probabilidades (Feller, 1968). Seu objetivo é definir quantas unidades o colecionador deve adquirir até que possua uma coleção completa. Definindo informalmente: Existem n tipos de cupons e em cada ensaio um cupom é escolhido aleatoriamente. Cada cupom tem a mesma probabilidade de ser extraído. O objetivo é estudar o número exato de ensaios antes do colecionador obter todos os n cupons (Motwani e Raghavan, 1995).

A complexidade do estudo é determinada pelos parâmetros escolhidos, como por exemplo, a reposição de objetos, probabilidade de ocorrência de cada um, a troca entre

colecionadores, os meios de aquisição e até a sua adaptação para estudos em outras áreas do conhecimento, como já citadas anteriormente. Entretanto, é um caso de Análise Combinatória e que pode ser adaptado para a sala de aula.

Levar este problema para a sala de aula pede um nível mais elevado de entendimento do aluno. Seria uma forma de continuação dos materiais de Análise Combinatória, já que estes feitos para alunos do Ensino Médio procuram apresentar o conteúdo aumentando o nível de complexidade. Começam com os simples exercícios de pinturas de listras, formação de Comissões, até chegar aos casos de brincadeiras de roda envolvendo casos de probabilidade.

O Problema do Colecionador de Cupons possibilita uma extensão do conteúdo, correspondência com o cotidiano e desejamos que instigue o interesse dos alunos. Com ele podemos ficar surpresos com os resultados obtidos por uma simples variação dos parâmetros; podemos nos questionar como as combinações podem ser feitas, quais as exceções em cada caso, qual seria a maneira mais apropriada de combinar.

Optamos por estudar o problema usando estratégias de simulação (Law, 2000). Tal estratégia permite relaxar algumas características do problema, com pouco esforço. Por outro lado, a estratégia de simulação realizada com a linguagem Visual Basic for Applications do Microsoft Excel permite a programação de variações do problema, adaptados aos álbuns de figurinhas com razoável rapidez (Baker e Sugden, 2003).

O caso simulado foi a compra de figurinhas da banca de jornal ou direto da editora. Nesta simulação, consideramos que todas as figurinhas são produzidas com a mesma probabilidade de ocorrência. Nosso objetivo era descobrir qual seria a escolha mais econômica para o comprador.

3 O PROBLEMA VISTO PELA MATEMÁTICA

Embora tomemos de base o Álbum de figurinhas, devemos deixar claro, que os cálculos são generalizáveis para o caso simples do Problema do Colecionador de Cupons.

O problema: Determinar quantas figurinhas precisam ser compradas, em média, para se completar um álbum.

Tabela 1 Dados para os Cálculos

Símbolo Valor

A conjunto formado por todas as figurinhas existentes. K figurinhas distintas obtidas

N número de elementos de A, todos com a mesma quantidade. Wn,k

nº de sorteios realizados até que se tenha obtido k figurinhas distintas. Assim, Wn,né o álbum completo.

Zi

quantidade de figurinhas necessárias para que o número de figurinhas distintas possuídas aumente de i-1 para i; i = 1, 2, ..., n

E[Zi] é a esperança de Zi(i = 1; ... ; n)

E[Wn,k]

Total de figurinhas compradas para que o álbum fique completo (estimativa).

Como as figurinhas estão em mesma quantidade, a probabilidade de cada uma ser escolhida inicialmente é de:

1 n _(i) e Zi, vai ser: ( 1) 1 i i Z n − = − (ii) pois a medida que o álbum vai sendo preenchido, devemos calcular em cima do espaço restante e sendo assim, quanto mais figurinhas do álbum você já tiver conseguido, mais difícil ficará de completá-lo. Veja a Tabela 2:

Tabela 2 Descrição dos cálculos

n i Zi

1 1 Z =1 1 (não faltará nada, 100% de chance de ser uma figurinha inédita!)

1 Z =1 1 2 2 2 1 2

Z = pois uma figurinha você já tem, ou seja, falta completar metade do álbum 1 1 2   −     3 1 Z =1 1

2 2 2 1 1 3 3 Z = =_ − _   3 3 1 2 1 3 3 Z = =_ − _   ... ... _... 1 Z =1 1 ... _... n n Z_n 1 ( 1)i n i 1 n n − − +     =_ − _{ }= _     Sendo Z_n n i 1 n − +   =  

  podemos dizer que E Z

[ ]

i será igual a 1 n

n i− + , pois cada figurinha tem a probabilidade de 1

n de ser escolhida inicialmente, mas como os espaços a serem preenchidos no álbum vão sendo reduzidos, como mostra a tabela acima, teremos:

[ ]

1 1 ₁ i n n E Z n i n i n = = − + − + (iii) Como Wn,k = Z1 + Z2 + ... + Zk , 1 1 2 1 1 ... n k n n n k W n n n − + − + − + = + + + (iv) e assim: , 1 1 k n k i n E W n i =   =   − +

∑

(v) Para completar o álbum devemos analisar o caso n = k:

, 1 1 n n n i n E W n i =   =   − +

∑

(vi) 1 1 2 1 3 1 ... 1 n n n n n n n n n = + + + + − + − + − + _{− + (vii)} 1 2 ... 1 n n n n n n n = + + + + − − _(viii)

1 1 1 1 ... 1 2 1 n n n n   = _ + + + + _ − −  _{ (ix)} 1 1 n i n i = =

∑

(x) Lembrando de número harmônico:

1

( )

1 ln , n i n c constante c i = = +

∑

(xi) então: 1

( )

1 (ln ) n i n n c c i = = +

∑

(xii) sendo assim:

[

.

]

1 1

( )

1 (ln ) 1 n n n n i i n E W n n n c n i i = = = = = + − +

∑

∑

(xiii)

Concluindo, o número esperado é E W

[

_{n n.}

]

=n(ln

( )

n +θ

( )

n ) de figurinhas compradas até que o álbum fique completo.

Simulando no Computador um álbum de 144 figurinhas, o número de cromos necessário para completar o álbum é dado no gráfico1:

0,6 9,2 22,9 25,0 1 9,1 1 1 ,2 6,0 3,1 1 ,5 0,7 _0,4 0,2 0,1 0 5 1 0 1 5 20 25 30 A té 5 0 0 5 0 1 -6 0 0 6 0 1 -7 0 0 7 0 1 -8 0 0 8 0 1 -9 0 0 9 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 -1 1 0 0 1 1 0 1 -1 2 0 0 1 2 0 1 -1 3 0 0 1 3 0 1 -1 4 0 0 1 4 0 1 -1 5 0 0 1 5 0 1 -1 6 0 0 1 6 0 1 -1 7 0 0 % Número de figurinhas

Distribuição do número de figurinhas necessárias para completar um álbum de 1 44 cromos - 1 0.000 rodadas

Considerando um gráfico de tamanhos de álbuns diferentes contra o número de figurinhas necessário para completá-lo, temos o gráfico (Gráfico 2) a seguir que mostra tanto o resultado teórico quanto o simulado computacionalmente.

Número esperado de compras para completar um álbum de figurinhas, valores simulados e valores teóricos 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1 6 11 16 21 26 31 36 41 46 51 56 61 66 71 76 81 86 91 96 101 106 111 116 121 126 131 136 141 Tamanho do Álbum N ú m er o d e fi g u ri n h as Média n(log(n)+c) Gráfico 2

4 O CUSTO DE COMPLETAR UM ÁLBUM

Toda coleção de figurinhas começa com um número pequeno de figurinhas repetidas. À medida que se aumente o número de cromos adquiridos, a probabilidade de se tirar uma figurinha repetida também aumenta, gerando um número grande de compras para se completar um Álbum. A alternativa a comprar indefinidamente figurinhas na banca é requisitar cromos diretamente da editora. Em geral, se paga um pouco mais pelas figurinhas, mas o consumidor não precisa se preocupar em comprar figurinhas repetidas.

Tomamos as informações do álbum “Amar é” para a simulação. Com um total de 144 cromos, cada pacotinho é vendido a R$ 0,70 contendo 4 figurinhas (R$0,175 cada). Se a compra for direto da editora, cada cromo sai a R$ 0,25.

O gráfico abaixo mostra o resultado do experimento. A linha Custo Pacotinho (cor vermelha) e a linha Custo Editora (cor verde) estão relacionadas, mostrando uma interação entre a compra nas bancas e a compra na editora. A linha Custo (cor azul) mostra o resultado

desta combinação. No eixo x do gráfico, marca-se o número de figurinhas inéditas a partir do qual o colecionador deixa de tentar completar o álbum comprando apenas na banca e passa a comprar as faltantes na editora. O número de figurinhas compradas na editora será dado pela diferença 144 – x.

Se comprarmos todas as figurinhas da editora, quando o álbum está no início, o custo seria elevado, pois o valor do cromo na editora é maior do que na banca. Entretanto, se comprarmos figurinhas apenas na banca, quando nos aproximamos do total de figurinhas do álbum, os custos se elevam praticamente de maneira exponencial. Através da estratégia de simulação, podemos estabelecer uma combinação ótima entre as compras da banca e da editora, de modo a minimizar os custos esperados, o que podemos ver na figura abaixo:

Gráfico 3

O caso mais vantajoso seria comprar figurinhas nas bancas até aproximadamente 30% do álbum e após as encomendar da editora. Vemos isto, encontrando o Ponto de Mínimo na linha Custo. O ponto de interseção encontrado no gráfico mostra quando a compra na banca se torna mais cara que a compra na editora.

Tomando os valores gerados na simulação deste gráfico, o número de figurinhas inéditas compradas na banca deveria ser 42, sendo assim, o valor mais econômico seria R$ 34,14 se as figurinhas fossem vendidas separadamente ou R$ 34,18 (44 unidades), se compradas em pacotinhos com 4 figurinhas cada. O valor mais alto encontrado, o caso de comprar todas as figurinhas na banca, foi de R$ 140,69, quatro vezes mais o valor mínimo.

É interessante verificar que entre 1 e cerca de 100 figurinhas completas no álbum, a variação dos custos envolvidos para completar a coleção foi muito pequena, ou seja, um colecionador pode completar até cerca de 2/3 do álbum, sem precisar recorrer à editora que os custos não serão muito diferentes daqueles realizados na compra em banca de jornais. Entretanto, a partir desta quantidade de cromos completos, os custos esperados sobem muito depressa, fazendo com que a compra direta da editora seja muito mais vantajosa.

5 CONCLUSÃO

Apresentamos neste trabalho uma modelagem do Problema de Colecionador de Cupons, aplicado a Álbuns de Figurinhas. Estabelecemos através de uma estratégia de simulação discreta uma extensão do problema ao calcular uma estratégia de aquisição de cromos que minimize os custos envolvidos.

Com dados de entrada reais no modelo de simulação, foi verificado um resultado interessante do ponto de vista do colecionador. Foi encontrado um ponto ótimo esperado para uma combinação de compras em banca e diretamente da editora. Tal ponto de ótimo permite ao colecionador estabelecer um ponto a partir do qual ele deixa de adquirir figurinhas da banca e passa a comprar diretamente da editora.

É importante ressaltar que no presente estudo, não foram consideradas as trocas de cromos entre colecionadores. No momento, os autores estudam estratégias de implantação de trocas que serão publicadas oportunamente.

6 REFERÊNCIAS

BAKER, John; SUGDEN, Steve. Spreadsheets in Education: The First 25 Years.

Spreadsheets In Education (ejsie), Austrália, p. 18-43. jul. 2003. Disponível em: <http://epublications.bond.edu.au/ejsie/vol1/iss1/2>. Acesso em: jun. 2009.

BROWN, Mark; PEKÖZ, Erol A.; ROSS, Sheldon M.. COUPON COLLECTING.

Probability in the Engineering and Informational Sciences, Estados Unidos, p. 221-229. 2008.

FELLER, W.. An introduction to probability theory and its applications. 3. ed. Nova Iorque: Wiley, 1968.

KOBZA, John E.; JACOBSON, Sheldon H.; VAUGHAN, Diane E.. A Survey of the Coupon Collector’s Problem with Random Sample Sizes. Methodology And Computing In Applied Probability, Storrs, p. 573-584. 29 mar. 2007.

LAW, A. M.; KELTON, W. D.. Simulation Modeling and Analysis. 3. ed. Boston: Mcgrawhill, 2000.

MYERS, Amy N.; WILF, Herbert S.. Some New Aspects of the Coupon Collector’s Problem.

Siam Journal on Discrete Mathematics, Filadélfia, v. 17, n. 1, p.1-17, 01 ago. 2003. Disponível em: <http://www.siam.org/journals/sirev/48-3/65443.html>. Acesso em: jan. 2010.

MOTWANI, M.; RAGHAVAN, P.. Randomized Algorithms. Califórnia: Cambridge University Press, 1995.