rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos de Correntes de Tráfego
e Filas de Espera
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
TRÁFEGO RODOVIÁRIO
Relação Fundamental
q = S . K
.q
Densidade em CongestionamentoDensidade
Critica
Capacidade
q1 A BS
q
Velocidade
Critica
B B NOTA:VOLUME V1OCORRE EM DUASSITUAÇÕES DISTINTAS DE FLUXO, ILUSTRADAS COMO A E B FLUXO INSTÁVEL A
K
K
Densidade Critica Arentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Introdução
• Os modelos são empíricos e assentam na relação velocidade - densidade
• As seguintes condições de fronteira devem ser seguidas
– Fluxo nulo implica velocidade nula;
– A Velocidade é nula quando a densidade é máxima (K
j)
– A Velocidade livre (V
f) ocorre quando a densidade é nula
E ainda a restrição de que a Curva Fluxo - Densidade é côncava, ou seja
tem um ponto onde o fluxo é máximo (Q
m)
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Greenshields (I)
•
Hipótese Base: A Relação entre a
densidade e a velocidade é linear
•
A relação V-K é dada por
b
a
K
K
b
a
a
V
b
a
V
donde
K
b
a
V
j j f f−
=
⇔
⋅
+
=
=
⇔
⋅
+
=
⋅
+
=
0
0
V
K
K
K
K
K
V
V
V
j j f f⋅
−
=
⋅
−
=
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Greenshields (II)
• Considerando a relação fundamental (Q=V*K)têm-se
• Resolvendo em ordem a V
• Resolvendo em ordem a K
• O Q máximo (Q
m)é determinado pelo ponto onde a derivada em ordem a K é
nula
2K
K
V
K
V
Q
j f f⋅
−
⋅
=
2V
V
K
V
K
Q
f j j⋅
−
⋅
=
2
2
0
j f f m j mK
V
Q
K
V
Q
V
V
K
K
K
Q
⋅
=
⇔
⋅
=
=
=
⇔
=
∂
∂
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Greenberg (I)
•
Surge devido à verificação de que a
relação entre a densidade e a
velocidade não é linear
•
Apresenta um maior ajustamento aos
dados reais. No entanto viola uma das
condições de fronteira definidas: A
densidade nula só é atingida a uma
velocidade infinita
•
Funciona melhor para densidades
baixas
)
.
ln( K
b
a
V
=
⋅
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Greenberg (II)
• A densidade máxima corresponde a V=0, donde
• As relações Q-V e Q-k resultam
a V j j j je
K
K
K
K
a
V
b
K
K
b
⋅
=
⇔
⋅
=
=
⇔
=
⋅
ln
1
1
a V j je
K
V
K
V
Q
K
K
a
K
V
K
Q
⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
=
.
ln
.
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Greenberg (III)
K
V
e
K
K
e
K
V
Q
K
K
V
K
Q
e
K
K
K
K
V
V
a
V
e
e
a
V
V
Q
j m j m V V j j m V V j j m m a V a V m m⋅
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
⋅
=
⇔
⋅
=
−
=
⇔
=
+
⇔
=
∂
∂
− −ln
ln
0
.
1
.
0
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Underwood (I)
• O modelo de Underwood propõe
uma relação exponencial negativa
• Também viola uma das condições
de fronteira definidas: A velocidade
nula só pode ser obtida quando K é
infinito
• Também funciona melhor para
densidades baixas
K
b
e
a
V
=
⋅
−
⋅
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelo de Underwood (II)
K
V
Q
e
V
V
V
Q
V
V
K
V
K
V
Q
e
V
K
V
K
Q
V
V
K
K
ou
e
V
V
a
V
V
V
K
m
f
f
m
f
m
K
K
f
f
m
K
K
f
f
f
m m⋅
=
=
⇒
=
∂
∂
⋅
⋅
=
=
⋅
⋅
=
=
⋅
=
⋅
=
=
⇔
=
→
=
−
−
0
ln
.
.
ln
0
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Filas de Espera
(Introdução)
• 3 elementos fundamentais para a caracterização
– Mecanismo de chegadas - a forma como os clientes chegam ao sistema.
È caracterizado por uma cadência de chegadas (λ) e por uma distribuição
(normalmente é uma distribuição Poisson)
– Mecanismo de serviço - é descrito pela taxa de serviço (ц), a distribuição,
o número de postos de serviço.
– Disciplina de fila - é constituído pelas regras de escolha do próximo
cliente a ser servido (FIFO - first in first out, LIFO - last in first out)
• Modelações Determinísticas ou Estocásticas
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Formulação Matemática
• A expressão que traduz as chegadas e as partidas acumuladas é:
•
• Consoante o ritmo de chegadas é ou não constante o acumulado
• a - cadência de chegadas, b - ordenada de origem
)
(
)
(
t
f
t
f
t r a=
∫
22
)
(
)
(
)
(
)
(
t
b
t
a
c
t
f
t
b
a
t
f
t
a
b
t
f
a
t
f
a r a r⋅
+
⋅
+
=
⇔
⋅
+
=
⋅
+
=
⇔
=
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Filas de espera em semáforos
• Pode ser abordado recorrendo a metodologias determinísticas.
• A taxa de serviço assume alternadamente os valores de débito de saturação da
via (tempo de verde) e zero (tempo de vermelho). s representa o débito de
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Dimensão de uma fila de espera
•
A variação da dimensão da
fila de espera resulta da
diferença de ordenadas
entre os gráficos
acumulados de chegadas e
partidas
•
A dimensão máx =q.r,onde:
•
q é o ritmo de chegadas;
•
r é o tempo de vermelho
Durante o tempo de verde o ritmo de chegadas mantêm-se igual a q e o ritmo
de partidas toma o valor de s. A fila de espera diminui a um ritmo de s-q .
O instante em que a fila se dissipa (t
0) é dado pela soma do tempo de vermelho
com o tempo de dissipação durante o período de verde.
q
s
r
s
t
q
s
r
q
r
t
−
⋅
=
⇔
−
⋅
+
=
0 0rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Parâmetros de funcionamento de filas de espera em
intersecções semaforizadas
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Hipóteses Habituais
Chegadas
– Descritas por uma distribuição de Poisson
Regra de Serviço
– Normalmente “first come first serve”
Tempos de Atendimento
– Descritos por uma distribuição exponencial negativa
Condição necessária para que exista estado estacionário (“steady
state”), i.e. que a fila não cresça indefinidamente
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Sistema M/M/1
Processo de
Poisson
sa
ídas
Fila de espera
Servi
ço
Exponencial
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Variáveis envolvidas nas equações de filas de espera
(estado estacionário)
• Variáveis
q = Taxa média de chegada
Q = Taxa média de serviço
n = Número de clientes no sistema
w = Tempo de espera na fila
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Chegadas em processo de Poisson
Sendo:
a(t) = Nº de chegadas no intervalo de tempo [0,t]
q = taxa média de chegadas
δ→0 = pequeno intervalo de tempo
P (exactamente 1 chegada em [t,t+δ]) = qδ
P (nenhuma chegada em [t,t+δ]) = 1-qδ
P (mais de 1 chegada em [t,t+δ]) = 0
Principais vantagens:
Tratamento analítico simples
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Distribuições dos tempos entre chegadas
e tempos de serviço
Os clientes chegam em tempos t
0
< t
1
< .... - com distribuição de
Poisson
Definem-se “tempos entre chegadas” :
τ
n
= t
n
- t
n-1
Estas variáveis τ
n
num processo de Poisson com taxa média de
chegadas q, seguem uma distribuição exponencial,
P(τ
n
≤ t) = 1 - e
-q t
Os tempos de serviço seguem uma distribuição exponencial, com
taxa média de serviço Q:
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Características do Sistema
Os Tempos de serviço são independentes entre si
Os tempos de serviço são independentes das chegadas
Quer os tempos entre chegadas quer os tempos de serviço constituem
processos sem memória
P (T
n> t
0+t | T
n> t
0) = P (T
n≥ t)
Os eventos futuros dependem apenas do estado presente (e não da forma como
aqui se chegou)
→ Isto são as principais características de um Sistema de Markov
Em sistemas de tráfego com interrupções forçadas (semáforos) os
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Equações comuns para sistema com um canal
−
=
q
Q
q
n
E )
(
−
=
Q
q
Q
q
n
P
n1
)
(
Exemplo – Suponha que os carros demoram
em média 5 segundos num sinal STOP. Se
chegam em média 9 carros por minuto a esse
sinal, qual a probabilidade de haver 5 carros
ou menos no sistema ?
Probabilidade de n clientes no sistema
Número esperado de veículos Número esperado de veículos
no sistema na fila
P(5) = (9/12)
5(1-9/12) = 0.06
P(4) = 0.08
P(3) = 0.11
P(2) = 0.14
P(1) = 0.19
P(0) = 0.25
P(n= 0..5) = 0.83
(
)
−
=
q
Q
Q
q
m
E
2)
(
rentes de tráfego e f
ilas de espera (2ª
A
ula)
Modelos Estocásticos de Filas de Espera
Equações comuns
(
)
−
=
q
Q
Q
q
w
E )
(
(
)
−
=
q
Q
v
E
(
)
1
qt Q qe
t
v
P
− −−
=
≤
)
1
1(
Tempo médio de Espera na Fila
Tempo médio no Sistema
Probabilidade de gastar menos de
tempo t no sistema
Probabilidade de gastar menos de
tempo t na fila
qt Q q
