Mecânica das Rochas para Recursos Naturais e Infraestrutura SBMR 2014 – Conferência Especializada ISRM 09-13 Setembro 2014 © CBMR/ABMS e ISRM, 2014
Um Estudo Teórico para Generalização do Método de Coates a
3D e sua Aplicação em Otimização da Recuperação na Lavra por
Câmaras e Pilares
Henrique Hermano de Oliveira Lara
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, henriquelara8@yahoo.com.br Rodrigo Peluci de Figueiredo
Universidade Federal de Ouro Preto, Ouro Preto, Brasil, rpfigueiredo@yahoo.com.br
RESUMO: Ainda hoje, a maneira mais comumente utilizada para se calcular a tensão média atuante em pilares é por meio da Teoria da Área Tributária (TAT), sabidamente conservadora. Apresentar-se-á neste artigo uma solução analítica alternativa, para determinação dessa tensão de maneira mais realista. Trata-se de uma generalização do método de Coates (1965) para três dimensões. Tal método leva em consideração vários fatores não contemplados pela TAT: as dimensões finitas do painel de lavra; a deformabilidade elástica dos pilares e encaixantes e, finalmente, as tensões in situ. Tais fatores tornam a análise da tensão atuante nos pilares mais acurada, permitindo, assim, dimensioná-los mais corretamente e, consequentemente, praticar recuperações maiores. Aliada a essa generalização, é utilizada uma nova metodologia de dimensionamento, na qual um problema de Programação Matemática Não-linear é formulado com o objetivo de maximizar a recuperação, levando em consideração, ao mesmo tempo, restrições geomecânicas, de segurança e requisitos tecnológicos/operacionais. Pôde-se concluir que a generalização do Método de Coates para três dimensões, associada a essa nova metodologia, permite dimensionar arranjos de lavra com recuperações que superam bastante as obtidas pela metodologia convencional, utilizando a TAT. PALAVRAS-CHAVE: Câmaras e Pilares, Teoria da Área Tributária, Método de Coates, Otimização de Recuperação na Lavra, Programação Matemática Não-linear.
1 INTRODUÇÃO
Ainda hoje, dimensionam-se vãos e pilares em minas subterrâneas, por tentativa e erro, definindo-se um arranjo no qual a estabilidade dos pilares seja garantida por um fator de segurança (FS) previamente arbitrado. Para um dado arranjo, calculam-se as tensões médias atuantes nos pilares, pela Teoria da Área Tributária (TAT), e a resistência dos mesmos por alguma fórmula empírica existente (Brady e Brown, 2004). Caso o FS seja satisfeito, a recuperação obtida é uma mera decorrência do arranjo geométrico resultante, não sendo geralmente a máxima possível (Figueiredo e Curi, 2004).
Uma metodologia de dimensionamento alternativa, na qual a recuperação é a função- objetivo de um problema de programação
matemática não-linear, que foi originalmente proposta por Figueiredo e Curi (2004), é adotada neste trabalho. As restrições à maximização da recuperação são geomecânicas (manutenção da estabilidade de pilares e vãos) e condicionantes tecnológicos/operacionais.
No cálculo dos pilares, a TAT não leva em conta características como a dimensão do painel de lavra, posição dos pilares, deformabilidade elástica de pilares e encaixantes e as tensões in
situ, resultando, por isso mesmo, sempre
conservadora (Jaeger e Cook, 1979). Neste trabalho é proposta uma nova solução analítica aproximada para determinação da tensão nos pilares (Figueiredo, 2013), que contempla tais fatores. Baseia-se numa generalização do método de Coates (1965) para três dimensões, que, ao considerá-los, permite uma análise bem mais acurada da tensão atuante nos pilares. Isso,
invariavelmente, resulta em dimensionar arranjos de lavra com maiores recuperações.
2 DETERMINAÇÃO DAS TENSÕES
MÉDIAS NO PILAR: ÁREA TRIBUTÁRIA X MÉTODO DE COATES
2.1 Teoria da Área Tributária (TAT)
Dentre as hipóteses para se determinar a tensão média em pilares, esta é a mais conservadora e simplista. Baseia-se em simples considerações de equilíbrio estático na direção vertical (Brady e Brown, 2004).
Para se analisar, por meio da TAT, pilares em carregamento uniaxial, podem-se considerar as geometrias mostradas na Figura 1.
Figura 1. Arranjo uniforme de pilares: (a) - seção quadrangular em planta; (b) - seção retangular (c) -
rib-pillars (Figueiredo e Curi, 2004).
Imaginando-se que há um elevado número n de subunidades constituídas por pilares e vãos adjacentes (Figura 1), ter-se-á que as áreas dos pilares A e totais p AT são dadas, para pilares quadrados, respectivamente, por Ap n
Wp 2 e
2o p T nW W
A .
Analogamente, para pilares retangulares:
p p
p nW L
A e AT n
Wo Wp
Lo Lp
. Da mesma forma, tem-se para rib pillars, que:
p p nWA e AT n
WoWp
. De maneira geral, a recuperação em qualquer caso pode ser expressa por: R(AT Ap)/AT 1Ap/AT.De acordo com a TAT, a tensão média em um pilar (p) é dada por:
R A A V p T V p 1 (1)
A expressão acima, onde V é a tensão vertical in situ, representa simplesmente o equilíbrio de forças na direção vertical, no qual a reação do pilar iguala o peso da coluna de rocha tributária sobrejacente, e mostra que a tensão no pilar tende ao infinito quando R se aproxima de 1 (um).
Portanto, as tensões médias nos pilares quadrados, retangulares e rib-pillars, indicados na Figura 1, são dadas, respectivamente, por (Figueiredo e Curi, 2004):
2 2 p p o V p W W W (2)
p p p o p o V p L W L L W W (3)
p p o V p W W W (4)Jaeger e Cook (1979) demonstraram que essas tensões médias fornecidas pela TAT representam um limite superior para as cargas atuantes nos pilares. Rigorosamente, aplica-se a um caso hipotético em que as dimensões do painel de lavra seriam infinitas.
2.2 Método de Coates (1965)
A TAT não leva em consideração propriedades geométricas como: extensão ou comprimento (finito) do painel de lavra, a altura dos pilares e localização dos mesmos dentro do painel. Características geomecânicas como a magnitude da tensão horizontal (H, paralela ao corpo de minério) e os módulos de deformabilidade das rochas encaixantes e dos pilares também são ignoradas (Coates, 1965).
Para incluir o efeito dessas características no problema, Coates (1965) propôs uma solução baseada nas deflexões elásticas das escavações de lavra.
Segundo Coates (1965), a deflexão total nos pilares resultante da lavra, , e o aumento da p tensão nos mesmos são diretamente proporcionais. As componentes dessa deflexão podem ser consideradas como:
(i) a deflexão para dentro (convergência) devido à escavação completa do painel, isto é, correspondente a uma recuperação de 100%, somada à deflexão devida à compressão do maciço pelas tensões in situ e (Figura 2);
Figura 2. Deflexão para dentro (convergência - e) devida
à escavação completa do painel (adaptada de Coates, 1965).
(ii) a deflexão, associada a um efeito de Poisson, , que é causada pela eliminação do r confinamento lateral dos pilares (Figura 3).
Figura 3. Deflexão devida à eliminação do confinamento lateral dos pilares (r) - adaptada de Coates (1965).
Ressalta-se que a deflexão supracitada acontece na vertical, embora seja a "resposta" a uma extensão horizontal (efeito de Poisson), por eliminação do confinamento lateral;
(iii) a deflexão reversa (divergência no sentido contrário à deflexão (i)) das encaixantes, δ’, que resulta duma tensão média, devida à reação de todos os pilares, distribuída uniformemente (Figura 4);
Figura 4. Deflexão reversa (divergência - ') das rochas encaixantes devida à média da reação nos pilares (adaptada de Coates, 1965).
(iv) a deflexão reversa (divergência), n, devida
ao puncionamento dos pilares nas encaixantes, que se associa a uma concentração local da tensão média considerada em (iii) (Figura 5).
Figura 5. Deflexão reversa (n) devida ao puncionamento
dos pilares nas rochas encaixantes (adaptada de Coates, 1965).
Considerando-se expressões da Teoria da Elasticidade em deformação plana (Jaeger e Cook, 1979), para todas essas componentes da deflexão total e que cada qual produz acréscimos correspondentes de tensão nos pilares, os quais podem ser simplesmente superpostos, Coates (1965) deduziu uma expressão para o acréscimo total de tensão,
p
, em rib-pillars (Fig. 1(c)), que pode ser colocada genericamente como:
V p CC ( )
(5) onde V é novamente a tensão vertical in
situ e CC é uma expressão que depende de
problema, podendo ser vista no Anexo 1.
A tensão média total no pilar (p) é dada, pois, simplesmente pela soma de p com V:
p V
p
(6)a com V , sendo z o peso específico médio das rochas sobrejacentes e z a profundidade.
Portanto, tendo em vista a Eq. (5), a tensão média total no pilar vale, finalmente:
CC
V p 1 (6)b 3 GENERALIZAÇÃO DO MÉTODO DE COATES PARA 3DComo já foi mencionado, as expressões (5) e (6), deduzidas por Coates (1965), são relativas a pilares 2D (rib-pillars - Fig. 1(c)), sendo essa a sua principal limitação para uso prático.
Hoek e Brown (1980) apresentaram um simples argumento de superposição de efeitos, totalmente válido para que se obtenha uma generalização do método de Coates (1965) para 3D. Tal argumento de superposição está ilustrado na Figura 6. No caso, as tensões atuantes em dois pilares 2D, perpendiculares entre si, poderiam ser simplesmente somadas, considerando-se as respectivas direções, para que se obtenha a tensão resultante num pilar 3D, quadrangular ou retangular, formado pela interseção de ambos (Fig. 6).
Figura 6. (a) Distribuição de tensão em um rib pillar norte-sul, devido à interação dos campos de tensões das aberturas que o ladeiam; (b) idem a (a) para a direção leste-oeste; (c) distribuição da tensão em um pilar 3D quadrangular, ladeado por aberturas norte-sul e leste-oeste, obtida por simples superposição (Hoek e Brown, 1980).
Considerando válido o argumento de superposição apresentado por Hoek e Brown (1980) - perceba-se que a solução analítica de
Coates (1965) é derivada da elasticidade linear e, portanto, vale o Princípio da Superposição dos Efeitos (Chou e Pagano, 1992) - Figueiredo (2013) propôs, com base no mesmo, uma elegante generalização do método de Coates (1965) para 3D. Tal generalização permite determinar as tensões atuantes em pilares quadrangulares e/ou retangulares como aqueles mostrados nas Figs. 1(a) e 1(b). Tais tensões são bem mais acuradas que as fornecidas pela TAT (item 2.1), permitindo, assim, dimensionar melhor os pilares e, consequentemente, praticar recuperações maiores na lavra. Na sequência será apresentada essa solução generalizada a 3D para pilares quadrados ou retangulares.
3.1 Pilares e Painéis Quadrados/Retangulares Considere-se uma lavra 1, no sentido leste-oeste (Fig. 7). Pela Eq. 6(a) a tensão atuante nos
rib-pillars 2D para tal lavra seria: 1 1 p V p (7) sendo )p1 V(CC1 , na qual CC1 é o termo
CC (da Eq. (5)) para as respectivas condições, dimensões e número de pilares/vãos específicos da lavra 1, que se está considerando.
Figura 7. Rib-pillars de comprimento infinito na direção leste-oeste (lavra 1): L1 é a largura do painel; Wp1 é a
largura do pilar e Wo1 o vão das aberturas.
Considere-se, agora, uma lavra 2 no sentido norte-sul (perpendicular à lavra 1 - Figura 8). A tensão nos rib-pillars será dada por:
2 2 p V p (8)
com )p2 V(CC2 , na qual CC2 é o valor de CC para as condições/dimensões e número de pilares/vãos específicos da lavra 2.
Imaginemos, no entanto, que a lavra 2 fosse realizada após a lavra 1, gerando pilares 3D (quadrangulares ou retangulares) conforme se observa na Figura 9. Note-se que, quando a lavra 2 vier a ser realizada, já estará atuando sobre os pilares uma tensão 1
p
, decorrente da lavra 1 que a precedeu. Daí, o incremento de tensões "acumulado", em razão da superposição dos efeitos (Chou e Pagano, 1992), será:
) 1 1 )( 2 ( ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 )( ( ) 2 ( 1 1 1 2 1 CC CC CC CC CC CC CC CC CC V V V p V p V p p (9)
Figura 8.Rib pillars de comprimento infinito na direção
norte-sul (lavra 2): L2 é a largura do painel; Wp2 é a
largura do pilar e Wo2 o vão das aberturas.
A tensão final atuante nos pilares 3D da lavra mostrada na Figura 9 (p12) será então dada por: ) 2 )( 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 2 1 1 2 1 1 2 1 CC CC CC CC V V V V p p V p p p ) 2 1 2 1 1 ( 2 1 CC CC CC CC V p (10)
que é a expressão final proposta por Figueiredo (2013) para as tensões nos pilares retangulares (dimensões 1 2
p p W
W em planta) ilustrados na Figura 9.
De posse da solução analítica expressa pela Eq. (10), foram comparados os seus resultados com aqueles fornecidos pela TAT, variando-se alguns parâmetros que figuram nos termos CC. Observam-se os resultados nas Figuras 10, 11 e 12.
Figura 9. Arranjo obtido com a realização da lavra 2 após já ter sido realizada a lavra 1.
Figura 10. Variação da tensão no pilar para diferentes recuperações.
Observa-se nas referidas figuras que, para uma ampla faixa dos parâmetros envolvidos no problema, a tensão nos pilares calculada a partir da generalização do método de Coates para 3D é sempre menor que aquela calculada a partir da TAT. Tal resultado é totalmente consistente com o que seria esperado, em face da natureza extremamente conservadora dessa última (Jaeger e Cook, 1979). Adicionalmente, cabe também mencionar um importante aspecto: o de que a generalização do método de Coates, aqui
apresentada, constitui, na realidade, um limite superior para o valor das tensões médias e, portanto, é a favor da segurança (Figueiredo, 2013).
Figura 11. Variação da tensão no pilar para diferentes valores da razão entre as tensões principais in situ (K = tensão horizontal/tensão vertical).
Figura 12. Variação da tensão no pilar para diferentes valores da razão entre os parâmetros de elasticidade da rocha encaixante (M) e do pilar (Mp) - ver Anexo 1 para
definição desses parâmetros.
Sendo assim, justifica-se plenamente o seu uso com o objetivo de dimensionar pilares de maneira mais acurada, propiciando a obtenção de recuperações mais elevadas nos projetos de lavra.
Apenas a título ilustrativo apresenta-se aqui, uma única validação da Eq (10), dentre as várias que foram realizadas por Lara (2013) e Figueiredo (2013). Trata-se de uma comparação entre os resultados da solução analítica e de análises numéricas obtidos pelo Método das Descontinuidades de Deslocamentos (Crouch e Starfield, 1983) - utilizando o software EXAMINE-Tab da RocScience. A Fig. 13 apresenta os resultados numéricos para uma dada situação, cujos dados de entrada estão mostrados na tela do software. Salienta-se, apenas, que o módulo de elasticidade do pilar é a metade do módulo da rocha encaixante e H =
3V (isto é, K = 3 - Fig. 11). Percebe-se que os
valores máximos de tensão obtidos numericamente ficam numa isofaixa de 26 a 28 MPa, enquanto a solução analítica fornece uma tensão média de 28.30 MPa, só ligeiramente a favor da segurança. Vale ressaltar que a TAT fornece um valor de 46.94 MPa para tal tensão (excepcionalmente conservador). É oportuno ainda mencionar que situações como a apresentada, com painéis finitos (pequeno número de pilares/vãos), são justamente aquelas onde a TAT leva a maiores erros.
4 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO MÉTODO DE COATES GENERALIZADO PARA 3D Tratou-se o dimensionamento de uma lavra por câmaras e pilares como sendo um problema de otimização, via programação matemática não-linear, implementando-se o método de Coates 3D para o cálculo da tensão nos pilares.
Em tal abordagem, o dimensionamento é formulado como um problema padrão de Programação Matemática, no qual o objetivo é maximizar a recuperação, buscando, todavia, satisfazer às restrições impostas à mesma por questões operacionais, tecnológicas e geomecânicas. Tal formulação garante que a recuperação alcançada seja sempre a máxima possível diante das restrições existentes (Figueiredo e Curi, 2004).
Figura 13. Análise numérica para pilares quadrangulares num painel finito: tensão máxima entre 26 e 28 MPa, representada pela isofaixa de cor vermelha. A tensão fornecida pela generalização do método de Coates para 3D é de 28.30 MPa (contra 46.94 MPa pela TAT).
Lara (2013) estudou alguns casos de minas reais. Dentre esses, analisou uma mina de
manganês onde atualmente se está reavaliando o arranjo de lavra. Os dados de entrada foram: propriedades mecânicas do corpo de minério e de suas rochas encaixantes e a geometria de lavra. Foram realizadas comparações entre a recuperação praticada (real) e a que seria atingida com o redimensionamento pelo método de Coates generalizado para 3D, considerando diferentes números de pilares. Dessa forma, pôde-se observar qual seria o ganho de recuperação ao longo do desenvolvimento da lavra. Percebe-se na Tabela 1 e na Figura 14 o ganho de recuperação que seria possível com a utilização da metodologia de dimensionamento aqui adotada.
Tabela 1. Ganho de recuperação com a utilização do método de Coates generalizado para 3D, associado à metodologia de dimensionamento otimizado via programação não-linear para uma mina de manganês.
Variável n n n n n Número de Pilares 10 25 50 100 200 Recuperação Praticada 46,5% 44,9% 44,3% 44,4% 43,9% Recuperação Otimizada 74,0% 72,0% 71,0% 71,0% 71,0% Ganho de Recuperação 27,5% 27,1% 26,7% 26,6% 27,1% Mina de Manganês Resultados Obtidos
Figura 14. Ganho de recuperação com a utilização do método de Coates generalizado para 3D, associado à metodologia de dimensionamento otimizado via programação não-linear para uma mina de manganês.
4 CONCLUSÕES
Observou-se que as tensões médias em pilares calculadas a partir do método de Coates (1965) generalizado para 3D são menores e bem mais realistas que as fornecidas pela Teoria da Área Tributária (TAT) - vide validação apresentada na Fig. 13.
A generalização do método de Coates para 3D, proposta por Figueiredo (2013), é uma
solução analítica bastante simples, que pode ser facilmente aplicada nas análises preliminares em projetos de lavra subterrânea por câmaras e pilares (por exemplo, implementada em planilhas eletrônicas). A sua incorporação a uma metodologia de dimensionamento ótimo, via programação matemática não-linear, permite maximizar a recuperação, de forma bastante eficaz, e ainda garantir que não sejam superadas as resistências dos pilares, o que, por sua vez, contribui para a segurança das operações de produção (Lara, 2013).
Sendo assim, foi possível estabelecer um método racional para se determinarem tensões mais realistas em pilares e associá-lo a uma metodologia de dimensionamento eficaz e rigorosa, o que permite elaborar projetos com recuperação maximizada e ainda manter fatores de segurança aceitáveis.
REFERÊNCIAS
Brady B. e Brown, E. (2004) Rock Mechanics for
Underground Mining. 3rd ed., Dordrecht, Kluwer,
628 p.
Chou, P. C. e N. J. Pagano (1992) Elasticity - Tensor, Dyadic and Engineering Approaches. New York, Dover, 290 p.
Coates, D. F. (1965) A new hypothesis for the
determination of pillar loads. PhD Thesis in Mining
Engng., McGill University, 287 p.
Crouch, S. L. e A. M. Starfield (1983). Boundary
Element Methods in Solid Mechanics. London,
George Allen & Unwin, 322 p.
Figueiredo, R. P. de (2013). Comunicação Pessoal. Ouro Preto (MG), 6 p.
Figueiredo, R. P. e Curi, A. (2004). Dimensionamento ótimo de painéis, câmaras e pilares com programação não-linear. Anais do I SIAEM (I Simpósio Ibero Americano de Engenharia de Minas), São Paulo, pp 565-573.
Hoek, E. e Brown, E. T. (1980) Underground
Excavations in Rock. . London, IMM, 527p.
Jaeger, J. C. e N. G. W. Cook (1979) Fundamentals of
Rock Mechanics. 3rd ed., London: Chapman-Hall,
593 p.
Lara, H. H. O. (2013) Otimização de recuperação na
lavra por câmaras e pilares, via programação não-linear, aplicando o método de Coates generalizado para 3D. Monografia de Graduação em Engenharia
ANEXO 1:
A expressão de CC que comparece nas eqs. (5), (6), (9) e (10) é dada por (Coates, 1965):
/ ) 1 ( 2 ) / 1 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 2 Rb n R Nh KNh Kh R CC p , onde, p M M N ; L H h ; L W b p ; V H K ; ) 1 ( 2 E M ; ) 1 ( 2 p p p E M ; ) 1 ( ; ) 1 ( p p p , com,
Ep = Módulo de Elasticidade dos pilares;
p = Coeficiente de Poisson dos pilares;
E = Módulo de Elasticidade das encaixantes; = Coeficiente de Poisson das encaixantes;
H = espessura do minério (= altura dos pilares,
Fig. A1);
L = largura total do painel de lavra (Fig. A1); Wp = largura dos pilares (Fig. A1);
n = número total de pilares no painel (Fig. A1);
o p
p T p A nW n W nW A R1 / 1 / ( 1) é arecuperação na lavra, que é uma função das dimensões dos vãos e pilares (Fig. A1);
Wo = largura dos vãos (Fig. A1).
Figura A1. Seção transversal esquemática de um painel de lavra com largura finita L e n (= 2) pilares (Wo e Wp
