Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 1 UM EXAME DAS DIFICULDADES DO ENSINO DE GEOMETRIA NO MODO
DEMONSTRATIVO
Edelaine Cristina de Andrade Universidade Estadual de Londrina edelaineandrade@bol.com.br
Resumo: O trabalho tem o objetivo de oferecer uma melhor compreensão da geometria no modo demonstrativo centrando-nos na procura de justificativas para o seu abandono, analisando a literatura relevante. Este estudo parte de análises que apreciam os problemas do ensino da geometria demonstrativa, particularmente das causas apontadas pelos pesquisadores em relação ao abandono de seu ensino. Nosso trabalho aqui é oferecer um levantamento parcial da literatura acerca das causas do abandono do ensino da geometria demonstrativa. Procuraremos estruturar e sistematizar as causas aqui apresentadas.
Palavras-chave: Educação matemática; Ensino de geometria; Demonstração.
INTRODUÇÃO
A geometria é um ramo da matemática importante tanto como objeto de estudo como instrumento para outras áreas. Tem por elemento o estudo do espaço e das formas (planas e espaciais) com as suas propriedades. A geometria (do grego geo = terra; metria = medida), quer dizer, “medir terra”, desde sua origem, há milhares de anos, está relacionada às necessidades do dia-a-dia. Apóia-se sobre alguns axiomas, postulados, definições. Essas afirmações são empregadas para demonstrar a legitimidade de teoremas. Podemos descrevê-la como um corpo de informação fundamental para a compreensão do mundo, pois promove um auxílio para a difusão de muitas representações e sua aplicação foi espalhada em diversas áreas do conhecimento como a matemática, física e química, permite ao estudante desenvolver um tipo de pensamento que o ajuda a compreender, descrever e representar de forma organizada o mundo em que habita.
Para se justificar a importância da geometria, bastaria o contexto de que tem função essencial na formação dos indivíduos, pois permite uma interpretação mais completa do
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 2 mundo, uma comunicação mais abrangente de ideias e uma visão mais equilibrada da matemática (LORENZATO, 1995, p.5).
Não podemos desconsiderar a importância da geometria, pois sem a habilidade do pensamento geométrico, as pessoas dificilmente conseguirão resolver situações corriqueiras que foram geometrizadas. “A geometria é considerada uma ferramenta para compreender, descrever e interagir com o espaço em que vivemos; é talvez a parte da matemática mais intuitiva, concreta e real”. (FAINGUELERNT, 1999, p.15).
Talvez uma das maiores importâncias da geometria consista no fato de estar presente no nosso dia-a-dia como, por exemplo, nas construções, nas artes, nas embalagens de produtos, ou seja, na natureza ou em decorrência das ações do homem.
A geometria estabelece parte importante da matemática onde o aluno está apto a desenvolver um tipo peculiar de desenvolvimento que lhe admitirá compreender, descrever e representar o mundo em que vive de modo constituído.
O estudo da geometria é enfatizado pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) como sendo um “campo fértil para trabalhar com situações problema” (BRASIL, 1998, p.51), assunto costumeiramente de interesse natural dos alunos. A atividade com elementos geométricos favorece a “aprendizagem de números e medidas, pois estimula o aluno a observar, perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades, etc.” (BRASIL, 1998, p.51).
Para Fainguelernt (1995), a geometria “exerce papel primordial no ensino” (p.46), pois ativa as construções mentais na passagem de dados concretos e experimentais para os processos de abstração e generalização. Além disso, é tema integrador entre as diversas partes da matemática, assim como um “campo fértil para o exercício de aprender a fazer a aprender a pensar” (FAINGUELERNT, 1995, p.46), no qual a intuição, o formalismo, a abstração e a dedução são representantes de sua essência. Por outro lado, temos também que reconhecer a importância do ensino de conceitos geométrico, conforme sugerido pelos PCN: os conceitos geométricos têm papel importante no currículo de matemática do ensino fundamental, pois, por intermédio deles, o estudante explana um tipo de pensamento que o auxilia, de forma ordenada, na compreensão, no desenvolvimento e na representação do mundo em que vive (BRASIL, 1998).
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 3 De acordo com Fainguelernt (1999, p.22), a geometria no 1º e 2º graus oferece um amplo “campo de ideias e métodos de muito valor”, quando tratamos de desenvolvimento intelectual do aluno e de seu raciocínio lógico. Neste trabalho veremos que para vários autores o ensino da geometria não pode ser reduzido ao mero emprego de fórmulas e de resultados constituídos por alguns teoremas, sem a inquietação de descobrir caminhos para a demonstração e dedução das respectivas fórmulas.
LACUNAS NO ENSINO DA GEOMETRIA DEMONSTRATIVA E ALGUMAS DE SUAS CAUSAS
Para pesquisadores nacionais como Pavanello (1989), Lorenzato (1995) e Pereira (2001) a geometria do modo demonstrativo é pouco estudada nas escolas. Está ausente ou quase ausente da sala de aula. Vários trabalhos de pesquisadores brasileiros, entre eles Perez (1991) e Pavanelo (1993), confirmam essa realidade educacional. É de interesse do profissional da educação identificar os problemas relacionados ao ensino e aprendizado da matemática especificamente da geometria demonstrativa.
Uma das discussões que ocorrem nos trabalhos desses profissionais da educação diz respeito às causas do abandono do ensino da geometria demonstrativa no Brasil e também no exterior. A partir de agora apresentaremos três das causas encontradas em nossas leituras.
A primeira causa é a influência do ensino da geometria demonstrativa decorrente do Movimento da Matemática Moderna (MMM). Conforme Nasser & Tinoco (2001) esse movimento atribuiu à matemática um maneira genuinamente estruturalista, a qual não condizia com a realidade do saber escolar. Nessa totalidade, existiu um abandono do ensino de geometria ou uma intenção de retornar aos fundamentos tradicionais. Grande parte dos professores que hoje ainda estão atuando em salas de aula teve em sua formação um déficit no que tange à geometria demonstrativa, devido à influência que o MMM exerceu nos currículos da década de 60 e 70. Esse movimento idealizado nos Estados Unidos teve repercussão mundial. Para Pavanello (1993), a ideia central desse movimento, foi a adaptação do ensino da matemática aos novos entendimentos surgidos com a evolução deste ramo do conhecimento, que tinha a preocupação de trabalhar as estruturas algébricas e o uso da linguagem simbólica da teoria dos conjuntos. Dessa forma, muitos professores de matemática não se encontravam preparados para desenvolver as propostas
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 4 sugeridas para o ensino de geometria demonstrativa fez com que parte deles deixasse de “ensinar a geometria sob qualquer enfoque”, ao invés disso enfatiza-se a álgebra (PAVANELLO, 1993, p.13).
A reflexão de Miorim, Miguel e Fiorentini (1993) referente à implantação do MMM foi de que entre as principais mudanças no ensino da matemática escolar em nosso país uma delas refere-se à “tentativa de substituir a abordagem preponderantemente euclidiana clássica da geometria por mais atualizada e rigorosa fracassa e, como consequência, o seu ensino – quando não abandonado – passa a assumir uma abordagem eclética”. Ainda é destacado que o após a segunda metade da década de 70 começam a surgir as críticas ao MMM referentes à redução ou abandono do ensino da geometria demonstrativa e a busca de novas alternativas para o ensino da matemática (MIORIM, MIGUEL, FIORENTINI, 1993, p.21).
Diante dos estudos apresentados por Andrade (2004, p.65), o mesmo constatou que esse movimento foi caracterizado pela tentativa de procurar motivações para o ensino da geometria demonstrativa e que um provável esclarecimento para o “total abandono do raciocínio dedutivo” foi que uma abordagem mais experimental ter substituído o destaque dado à “concepção axiomática do ensino de geometria”.
Para Kaleff (1994), foi abandonado o estudo da geometria dedutiva, realçando que o MMM:
[...] levou os matemáticos a desprezarem a abrangência conceitual e filosófica da Geometria Euclidiana, reduzindo-a a um exemplo de aplicação da Teoria dos Conjuntos e da Álgebra Vetorial. Desta forma, a Geometria Euclidiana foi praticamente excluída dos programas escolares e também dos cursos de formação de professores de primeiro e segundo
graus, com conseqüências que se fazem sentir até hoje
(KALEFF, 1994, p.20).
O Movimento da Matemática Moderna veio para dar um novo sentido à matemática. Matemática essa que durante muito tempo fundamentou-se na geometria euclidiana e que privilegiava demonstrações de teoremas e interpretações de propriedades das figuras geométricas. Ao que parece, esse movimento demonstrou-se escasso para
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 5 substituir a geometria euclidiana por uma nova axiomatização. Contudo outros fatores contribuíram para a lacuna no ensino da geometria demonstrativa.
A segunda causa refere-se aos problemas da formação dos professores, e para tanto, Vianna (1988, p.22) ressalta que a “rejeição do ensino da Geometria dedutiva em sala de aula é a inabilidade do professor na utilização da Geometria dedutiva gerada, em parte, pela deficiência de alguns cursos de licenciatura em Matemática”. Perez (1991, p.174) atribui o abandono da geometria demonstrativa ao “despreparo do professor quanto a sua formação” e do mesmo modo à falta de metodologia dos professores ao realizarem seu ensino.
Pereira (2001, p.7) afirma em seu trabalho que a ausência da geometria demonstrativa nas escolas “intervém nos saberes dos professores em atuação”, pois os conteúdos que não foram aprendidos pelos professores não serão conduzidos, nem mesmo “interagidos” com os alunos, fazendo com que gerações de alunos não aprendam geometria.
Outro fato se atribui aos cursos de formação inicial de professores, os cursos de magistério e os de licenciatura, os professores permanecem sem argumentar com seus alunos a proposta mais competente para o ensino da geometria demonstrativa.
Atribui-se destaque também às modalidades de formação continuada, as quais por sua vez, não conseguem mudar a prática da sala de aula onde o professor possa aprender a trabalhar melhor a geometria demonstrativa.
Depois do MMM, Vianna (1988, p.22) atribui a rejeição ao dedutivo, o fato de professores não compreenderem a matemática dedutiva. Atribui a culpa aos cursos de licenciatura em matemática, em que alguns não dedicam atenção à geometria demonstrativa e em outros, “é vista de tal forma que não auxilia o professor a ter uma visão mais profunda do que irá ensinar no secundário”.
Vianna (1988) ressalta que muitos professores deixam de apresentar e até mesmo de estimular os alunos a fazerem quaisquer demonstrações, com a justificativa de que não há tempo hábil para tanto, que não há tempo no decorrer das aulas nem para ensinar geometria quanto mais de demonstrar teoremas.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 6 Têm-se indícios de que os conhecimentos alcançados durante a trajetória pré-profissional do professor são empregados durante sua socialização pré-profissional e em sua atividade no magistério. Tardif (2002) elucida que no decorrer de sua carreira, o professor congrega marcas de sua atividade profissional, pois sua história de vida ainda como aluno influencia em sua função como professor e em seu saber sobre o ensino.
Pavanello e Andrade (2002) revelam em seu trabalho que mesmo os professores reconhecendo a importância do trabalho com a geometria demonstrativa, asseguram não terem condições de realizá-los pelo fato de que enquanto foram alunos aprenderam muito pouco desse ramo da matemática. Os professores asseguraram que quando esse conteúdo era abordado, apresentava deficiências e as aulas eram preferencialmente complexas e que os conteúdos posteriores a serem desenvolvidos em sala de aula “ou não eram abordados, ou essa abordagem era muito superficial” (PAVANELLO e ANDRADE, 2002, p.80).
Compreendemos que nessa segunda causa o despreparo de alguns professores para trabalharem com a geometria demonstrativa é justificada pelos mesmos, como sendo uma parte da matemática bastante abstrata e de difícil compreensão. Porém, outra causa fundamenta as lacunas no seu ensino.
Uma terceira causa importante que é a supressão da geometria demonstrativa em livros didáticos.
Para Pavanello (1993, p.13), no início da década de 60, o ensino da geometria passou a ser desenvolvida intuitivamente, sem qualquer preocupação com a construção de uma sistematização. De acordo com Imenes, “a geometria apresentada desta maneira reduz-se a uma série de “receitas”. Não é intuitiva ou experimental, nem dedutiva. Assim sendo, as verdades geométricas transformam-se em dogmas. Os fatos geométricos carecem de significação. A geometria perde seu encanto [...]” (IMENES, 1987, p.57).
Segundo Bertonha (1989, p.18-19), os tópicos apresentados nos livros didáticos do Ensino Fundamental são apenas aplicações de “receitas” e os autores parecem não se incomodar com a metodologia de estruturação do conhecimento. Apresentam uma “geometria que passa a ser entendida como um tópico de difícil aprendizagem por parte dos alunos”.
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 7 Nasser & Tinoco (2001) relatam que ultimamente a influência que fora apresentada pelo MMM está se modificando por intermédio da avaliação nacional do livro didático, os quais vêm valorizando atividades que abrangem processos de inferência, análise, argumentação, tomada de decisões, críticas, validação de resultados e produções da comunidade nacional de educadores matemáticos.
Entendemos que essa terceira causa também possui sua relevância baseada no fato de que o livro didático muitas vezes é um contato inevitável do aluno e do próprio professor com a geometria demonstrativa e sua apresentação nos livros didáticos contribuiria para uma maior aproximação tanto de professor quanto de aluno com o respectivo conteúdo.
A geometria foi apreciada pelos gregos não apenas no seu aspecto prático, mas também pelo modo teórico, buscando demonstrar de maneira dedutiva os princípios geométricos.
Como nos mostra Barker (1969), na obra “Os Elementos”, Euclides escolheu e ofereceu os principais teoremas geométricos de seus precursores, atribuindo-lhes uma consideração axiomática, isso quer dizer que se utilizava do método dedutivo. Ou seja, Euclides não teve a preocupação em enunciar um grande número de leis geométricas, mas teve preocupação em demonstrá-las. É conhecido que seu livro consiste em demonstrações, como por exemplo, jamais propôs que efetuemos a soma de ângulos de triângulos reais para verificarmos se a soma é igual à soma de dois ângulos retos. Em seus trabalhos não aparecem preocupações com experimentos ou observações dessa espécie. Pelo contrário, Euclides proporciona demonstrações de caráter dedutivo, procurando estabelecer as suas conclusões com o rigor da absoluta necessidade lógica.
A demonstração apresenta uma história com significados não absolutos que compõem preocupação para os estudiosos que se interessam no seu ensino e na sua aprendizagem.
Vianna (1988) em seu trabalho relata que anteriormente ao MMM o dedutivo estava estabelecido nos livros para os professores, e em maior parte, os livros apresentavam as demonstrações. Ainda conforme o estudo da autora, após o movimento, os livros mantinham as demonstrações dos teoremas mais tradicionais como é o caso do
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 8 Teorema de Tales e o de Pitágoras e, no que se refere aos exercícios, reduziram ou excluíram os que supostamente deveriam ser demonstrados.
O mesmo é afirmado por Gouvêa (1998) no que se refere aos exercícios, sendo conservada a demonstração dos mais tradicionais e diminuindo ou abolindo quaisquer exercícios de caráter lógico ou demonstrativo.
Mello (1999, p.44) constata que na apresentação dos resultados, a demonstração quase não é utilizada, e os exercícios mostram-se desconectados da “exigência técnica demonstrativa”.
Rolkouski (2009) conclui em seu trabalho que a pesquisa sobre o ensino de demonstrações está se destacando devido à existência de mesas redondas, palestras, grupos de trabalho, seminários que se dedicam a seu estudo. Além disso, expõe que o receio e a incerteza apresentados pelos futuros professores em “demonstrar” se faz uma possível causa desta situação (ROLKOUSKI, 2009).
CONCLUSÃO
Neste trabalho realizamos um levantamento bibliográfico sobre o ensino da geometria e sobre o modo que os estudos sobre o ensino da geometria demonstrativa apontam justificativas para sua abdicação. A primeira causa apresentada foi a influência do Movimento da Matemática Moderna na década de 60 e 70 o qual teve a intenção de adaptar o ensino da matemática aos novos entendimentos surgidos com o ensino da geometria preocupando-se em trabalhar estruturas algébricas e usando a linguagem simbólica da teoria dos conjuntos, abandonando-se o raciocínio dedutivo e excluindo dessa forma a geometria euclidiana. A segunda causa refere-se aos problemas da formação dos professores na qual se tem indícios de que poucos tiveram geometria e consequentemente poucos a ensinam. A terceira causa encontrada em nossas leituras refere-se ao desaparecimento da geometria em livros didáticos, sendo referência para o planejamento de aulas.
Porém, temos que considerar que ao menos no âmbito da produção, houve uma retomada da pesquisa sobre o ensino da geometria demonstrativa, e o número de trabalhos que ultimamente vêem discutindo o papel das demonstrações no ensino da geometria e
Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Comunicação Científica 9 existe uma inquietação atual quanto aos aspectos epistemológicos, como, por exemplo, a visualização e a representação em geometria. Porém, pesquisas ainda mostram que a geometria está um tanto quanto ausente das salas de aula.
Concordamos com Pais e Freitas (1999, p.69) que acreditam que o ensino da geometria deva considerar o trabalho pedagógico com o processo de validação do conhecimento geométrico, e que a “prática de produção e de reprodução de provas e demonstrações geométricas” colabora de modo respeitável para a formação de certo raciocínio essencial à constituição do conhecimento científico.
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