Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 3 21 de março de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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Pré-Cálculo

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

Aula 3

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Números

Aula 3 Pré-Cálculo 2

O que é um número?

Dicionário Aurélio:

Número.

[Do lat. numeru.] S. m.

1. A soma total dos elementos ou unidades de um conjunto, série, etc.

2. Porção ou parcela de um grupo, conjunto, etc.

3. Nome, símbolo ou representação de uma quantidade. [Cf. numeral (3).]

4. Entidade abstrata que corresponde a um aspecto ou a uma caraterística

mensurável de algo (quantidade, grandeza, intensidade, etc.) e que

é matematicamente deﬁnida como conjunto de todos os conjuntos equivalentes a um conjunto dado.

O que é um número?

Wikipédia:

Número é a essência e o princípio de todas as coisas (Pitágoras). Número é a relação entre a quantidade e a unidade (Newton). Número é um composto da unidade (Euclides).

Número nada mais é do que a proporção de uma magnitude com relação a outra considerada arbitrariamente como unidade (Euler).

Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração (Boutroux).

Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade (Benjamin Constant).

Número é o movimento acelerado ou retardado (Aristóteles). Número é uma coleção de unidades (Condorcet).

Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie (Baltzer). Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe (Bertrand Russell).

O que é um número?

Não é uma deﬁnição formal, mas nos revela para que servem e por qual motivo foram inventados os números:

Número é o resultado da comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se

a grandeza é discreta, essa comparação chama-se uma contagem e o resultado é um número inteiro; se a grandeza é contínua, a comparação chama-se uma

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Números naturais

números

naturais

números

ordinais

números

cardinais

(substantivo) (adjetivo)

interpretados como interpretados como

Números naturais como números ordinais

N é um conjunto, cujos elementos são chamados números

naturais. Seu uso e suas propriedades são regidos pelas seguintes

propriedades:

(a) Todo número natural tem um único sucessor.

(b) Números naturais diferentes têm sucessores diferentes.

(c) Existe um único número natural, chamado um e representado

pelo símbolo 1, que não é sucessor de nenhum outro.

(d) (Axioma da Indução) Seja X um conjunto de números naturais.

Se 1

∈ X e se, além disso, o sucessor de todo elemento de X

ainda pertence a X , então X

= N.

Axiomas de Peano

Números naturais como números ordinais

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .}.

2 é o sucessor de

1

3 é o sucessor de

2

4 é o sucessor de

3 ..

.

..

.

..

.

Deve ﬁcar claro que o conjunto

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . .} dos números

naturais é uma sequência de objetos abstratos que, em princípio, são

desprovidos de signiﬁcado. Cada um desses objetos (um número natural)

possui apenas um lugar determinado nesta sequência.

Nenhuma outra

propriedade lhes serve de deﬁnição. Todo número tem um sucessor (único)

e, com exceção de 1, tem também um único antecessor (número do qual é

sucessor).

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é

{n}

0 ∅

1 {∅}

{0}

2 {1}

3 {{{∅}}}

{2}

..

.

..

.

..

.

n

{n − 1}

Números naturais como números ordinais: símbolos

Sucessor de n é n

∪ {n}

0 ∅

1 {∅}

0 ∪ {0}

2 {∅, {∅}}

1 ∪ {1}

3 {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

2 ∪ {2}

..

.

..

.

..

.

n

(n − 1) ∪ {n − 1}

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Cuneiforme Babilônica

Números naturais como números ordinais: símbolos

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Chinesa

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Romana

1 2 3 4 5 10 50 100 500 1000

I II III IV V X L C D M

Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Egípcia

Números naturais como números ordinais: símbolos

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Números naturais como números ordinais: símbolos

Escrita Braille

Números naturais como números ordinais: operações

n+ 1 é, por deﬁnição, o sucessor de n.

n+ 2 = n + (1 + 1) é, por definição, (n + 1) + 1. n+ 3 = n + (2 + 1) é, por definição, (n + 2) + 1 = ((n + 1) + 1) + 1. n+ (p + 1) é, por definição, (n + p) + 1.

Adição

n· 1 é, por definição, n. n· 2 = n · (1 + 1) é, por definição, n · 1 + n = n + n. n· 3 = n · (2 + 1) é, por definição, n · 2 + n = (n + n) + n.

n· (p + 1) é, por deﬁnição, n · p + n = n + n + · · · + n (com p + 1 parcelas).

Multiplicação

Pode-se demonstrar que estas operações são

comutativas

,

associativas

e

distributivas

.

Números naturais como números ordinais: ordem

Dados m, n ∈ N, diz-se que mé menor do que n, e escreve-se m < n, para

signiﬁcar que existe algum p∈ N tal que n = m + p (isto quer dizer que n é o

sucessor do sucessor, . . . , do sucessor de m, o ato de tomar o sucessor sendo iterado p vezes.

Ordem

(Transitividade) Se m< n e n < p, então m < p.

(Tricotomia) Se m, n ∈ N, vale uma, e somente uma, das seguintes alternativas: m= n, m < n ou n < m.

(Monoticidade) Se m< n, então para qualquer p ∈ N, vale as seguintes desigualdades m+ p < n + p e m · p < n · p.

(Boa Ordenação) Todo subconjunto não-vazio X deN possui um menor elemento.

Propriedades

(não apresentaremos as demonstrações destas propriedades aqui)

Números naturais como números cardinais

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Números naturais como números cardinais

X

Y

Números naturais como números cardinais

A importância dos números naturais provém do fato de que eles constituem o modelo

matemático que torna possível o processo de contagem. Noutras palavras, eles

respondem a perguntas do tipo: “Quantos elementos tem este conjunto?”.

Diz-se que dois conjuntos X e Y têm o mesmo número cardinal quando se pode deﬁnir uma função bijetiva f: X → Y .

Diz-se que um conjunto X é ﬁnito, e que X tem n elementos quando se

pode estabelecer uma função bijetiva f: In → X, onde n ∈ N e

In= {k ∈ N | 1 ≤ k ≤ n}. O número natural n chama-se então o número cardinal

do conjunto X ou, simplesmente, o número de elementos de X . Por convenção, o conjunto vazio é ﬁnito e diz-se que ele tem 0 elementos.

Diz-se que um conjunto X é inﬁnito quando ele não é ﬁnito. Isto quer dizer que X não é vazio e que, não importa qual seja n∈ N, não existe função bijetiva f : In→ X.

Deﬁnições

Números naturais como números cardinais

X

Y

Números naturais como números cardinais

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Números naturais como números cardinais

Os segmentos X e Y possuem a mesma cardinalidade?

(Ir para o GeoGebra)

Números naturais como números cardinais

O Hotel Inﬁnito de Hilbert

Um pequeno comentário gramatical

Quando dizemos “o número um”, “o número dois” ou o “número três”, as

palavras “um”, “dois” e “três” são substantivos, pois são nomes de objetos.

Isto contrasta com o uso destas palavras em frases como “um ano, dois

meses e três dias”, onde elas aparecem para dar a ideia de número cardinal,

isto é, como resultados de contagens. Nesta frase, “um”, “dois” e “três” não

são substantivos. Pertencem a categoria gramatical que, noutras línguas

(como francês, inglês e alemão, por exemplo) é chamada adjetivo numeral

e que os gramáticos brasileiros e portugueses, há um par de décadas,

resolveram chamar numeral apenas.

Este comentário visa salientar a

diferença entre números naturais, olhados como elementos do conjunto

N, e

o seu emprego como números cardinais.

[Lima, Carvalho, Morgado, Wagner e Morgado, 2003]

Semelhança dos nomes dos números

Sânscrito Grego

Antigo Latim Alemão Inglês Francês Russo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 1000 eka dva tri catur panca sas sapta asta nava daca cata sehastre en duo tri tetra pente hex hepta octo ennea deca ecaton xilia unus duo tres quatuor quinque sex septem octo novem decem centum mille eins zwei drei vier fünf sechs sieben acht neun zehn hundert tausend one two three four five six seven eight nine ten hundred thousand un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix cent mille odyn dva tri chetyre piat shest sem vosem deviat desiat sto tysiaca

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Giuseppe Peano

Matemático italiano (27 de agosto de 1858 – 20 de abril de 1932)

David Hilbert

Matemático alemão (23 de janeiro de 1862 – 14 de feveriro de 1943)

Leitura extraclasse

Capítulos 1, 2 e 3.

Elon Lages Lima; Paulo Cezar Pinto Carvalho; Eduardo Wagner; Augusto César Morgado.

A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. Coleção do Professor de Matemática,

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Vídeos das aulas do curso do IMPA no YouTube

http://www.youtube.com/watch?v=DbsF7YIb6cw http://www.youtube.com/watch?v=GB4AnKspnSY http://www.youtube.com/watch?v=WzQSGpJwtbI