FICHA Nº2 – PREPARAÇÃO TESTE 3
Itens de seleção
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(0 , 2), B(–3 , 1) e , 2 3 a P
, onde a é um número real.
Os valores de a para os quais o ponto P pertence ao semiplano fechado inferior em relação à mediatriz do segmento de reta [AB] são:
(A) , 3 2 (B) 3 2 , (C) , 3 2 (D) 3 2 , 2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(5 , 3) e B(–4 , 2). A distância do ponto médio do segmento de reta [AB] à origem do referencial é igual a:
(A) 26
4 (B) 26 (C) 26 (D)
26 2
3. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de equação + 2√3 + − 6 + 7 = 0. Admita que (a, b) são as coordenadas do centro dessa circunferência, onde a e b são dois números reais. A expressão
√ é igual a: (A) 3
18 (B) 3 (C)
3
6 (D) 6 3
4. Relativamente a dois pontos, P e T, e um vetor RQ, sabe-se que P RQ T . Qual das seguintes afirmações é necessariamente verdadeira?
(A) TP QR (B) PTQR (C) PTRQ (D) RP TQ
5. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e uma circunferência de equação
2 2 4 6 3 0
x y x y .
A área do quadrado inscrito nesta circunferência é igual a:
(A) 8 (B) 16 (C) 24 (D) 32
6. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A (1, 2) e M (7, -3). O ponto M é o ponto médio do segmento de reta [AB].
Quais são as coordenadas do ponto B?
(A) (15 , –4) (B) (14 , –6) (C) (13 , –8) (D) (–7 , 3)
7. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado os pontos A(3, 1), B(4, -4) e C(-2, 2). O triângulo [ABC] é:
(A) retângulo e não isósceles (B) retângulo e isósceles (C) equilátero (D) isósceles e não retângulo
8. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de equação ( − 1) + ( − 3) = 16
Qual das equações seguintes define uma reta tangente a esta circunferência?
9. Considere as proposições: : “2 não é um número primo.” : “3 é um número primo.” Qual das seguintes proposições é falsa?
(A) ~ ∧ (B) ∼ ⇒ (C) ∨ (D) ∼ ⟺∼
10. Uma equação da elipse cujos focos são os pontos (0, 6) e (0, −6) e cujo eixo menor é 16 é: (A) + = (B) + = 1 (C) + = 1 (D) + = 1
11. Em ℝ , a condição + = 16 ∧ + = 1 representa:
(A) os pontos de coordenadas (0, -5) e (0, 5); (C) os pontos de coordenadas (-5, 0) e (5, 0); (B) os pontos de coordenadas (-4, 0) e (4, 0); (D) os pontos de coordenadas (0, -4) e (0, 4);
13. Num plano munido de um referencial ortonormado, a condição + + 6 + 9 = 0 representa: (A) o conjunto vazio (B) um ponto
(C) uma circunferência (D) uma elipse
14. O conjunto de pontos representado na figura ao lado pode ser definido pela condição:
(A) −3 ≤ ≤ 3 ∧ = (B) −3 ≤ ≤ 3 ∧ = − (C) −3 < < 3 ∧ = − (D) −3 < < 3 ∧ =
15. Considere, num referencial cartesiano do plano, o ponto A do plano de coordenadas (2 + 9 , 5). Os valores de K de tal modo que o ponto A pertença à bissetriz dos quadrantes ímpares, são: (A) − ( ) − ( ) − ( ) −
16. Num referencial cartesiano do plano considere a representação gráfica da figura. Qual das seguintes expressões define a região sombreada?
(A) + ≤ 3 ∧ ≥ − ∧ ≥ (B) + ≤ 9 ∧ − ≤ ≤
(C) + ≤ 9 ∧ ≥ − ∧ ≥
(D) + ≤ 3 ∧ − ≤ ≤
17. Na divisão de um polinómio ( ) pelo binómio − 3 obtém-se o 8 − 2 + 2 + 4 + 6 e o resto 1. Então, na divisão de ( ) pelo binómio 2 − 6, obtém-se:
(A) quociente 8 − 2 + 2 + 4 + 6 e resto .
(B) quociente 4 − + + 2 + 3 e resto . (C) quociente 16 − 4 + 4 + 8 + 12 e resto 1.
(D) quociente 4 − + + 2 + 3 e resto 1 .
18. Considere a condição 1 ≤ ≤ 2 ∧ ≤ ∧ ≥ − 1 . Em qual das opções seguintes está representado, em referencial ortonormado xOy, o conjunto de pontos definido por esta condição?
19. Considere a região a sombreado na figura: A condição que define esse conjunto de pontos é: (A) + ≥ 4 ∧ ( − 1) + ≤ 4 ∧ ≥ 0 (B) + ≤ 4 ∧ ( − 1) + ≥ 4 ∧ ≥ 0 (C) + ≤ 4 ∧ ( − 1) + ≥ 4 ∧ ≥ 0 (D) + ≥ 4 ∧ ( − 1) + ≥ 4 ∧ ≥ 0
28. Qual das seguintes condições define o conjunto de pontos do plano assinalado a sombreado? (A)
x
5
y
3
x
5
y
3
(B)
x
5
y
3
x
5
y
3
(C)
x
3
y
5
x
3
y
5
(D)
x
3
y
5
x
3
y
5
29. O conjunto definido pela condição −1 ≤ ≤ 0
0 ≤ ≤ 1 pode ser representado, num referencial . . por:30. Na figura junta, o conjunto de pontos a sombreado pode ser definido em R2, pela condição:
(A)
~
(
x
2
y
1
)
(B)x
1
y
2
(C)~
(
x
1
y
2
)
(D)~
(
x
2
y
1
)
31. Em relação a um referencial o.n. xOy, a reta de equação 1 2 x
y é a
mediatriz de
AB
, sendoA
3, 2
. O ponto C ( k ; k+1) , ∈ , é equidistante de A e de B. Qual será o valor de k?Itens de construção
1. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a circunferência de centro no ponto C (5, 0), o ponto A (2, 0) pertencente à circunferência e as retas horizontas r e t.
1.1 Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira.
1.2 Sejam P e Q os pontos tais que:
P é o ponto de menor abcissa que pertence simultaneamente à reta r e à circunferência;
Q é o ponto de maior abcissa que pertence simultaneamente à reta t e à circunferência.
Determine o valor exato da medida do comprimento do segmento de reta [PQ].
2. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, os pontos A(–3 , –4), B(–1 , 2) e 1, 1
2 C
.
2.1 Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].
2.2 Determine a equação reduzida da circunferência de centro no ponto C e que passa pelo ponto B. 2.3 Determine o valor exato da área do quadrado de que o segmento de reta [AC] é uma diagonal. 3. Na figura, estão representados, num referencial o.n. xOy:
O ponto D pertencente ao eixo Ox;
A reta BC, paralela ao eixo Oy e que passa no ponto médio de [AD]; A circunferência de centro A(2, 0) tangente ao eixo Oy e que passa pelos
pontos B, C e D.
3.1 Determine as coordenadas dos pontos B, C e D. 3.2 Calcule a distância entre os pontos C e D.
3.3 Determine as coordenadas do ponto médio de [AB]. 3.4 Escreva uma equação da mediatriz de [BD].
3.5 Escreva uma equação da circunferência de diâmetro [AB].
3.6 Represente por uma condição o conjunto de pontos representado a sombreado.
3.7 Os pontos B e C são vértices de um triângulo equilátero [BCE]. Determine as coordenadas do ponto E. 4. Num referencial ortonormado do plano, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero. Sabendo que (−5, 1) (−3, 1 + 2√3), determine a ordenada de C sabendo que a abcissa é -1. 5. Considere a circunferência de equação + + 2 − 10 + 14 = 0 e os pontos A(2, 3) e B(-1, 4). 5.1 Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência.
5.2 Indique dois pontos pertencentes à circunferência.
5.3 Determine analiticamente a posição, relativamente à circunferência, dos pontos A e B. 5.4 Quais são os pontos de interseção da circunferência com os eixos coordenados? 5.5 Escreva a equação reduzida da mediatriz do segmento de reta [AB].
5.6 Averigue se o ponto de coordenadas (1, 5) pertence à mediatriz de [AB]. 6. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferência de centro A definida pela equação ( − 3) + ( − 2) = 10, os pontos E e F de interseção da circunferência com o eixo Ox e o ponto D de interseção da circunferência com o eixo Oy e de ordenada superior à do ponto A. 6.1 Determine as coordenadas de D, E e F.
6.2 Determine a equação reduzida da reta DF. 6.3 Calcule a área do triângulo [DEF].
7. Sabe-se que o ponto P(3, y) é equidistante dos pontos A(-3, 1) e B(1, 2). Determine o valor de y. 8. Considere o trapézio [OBCD] representado na figura.
8.1 Determine as coordenadas dos pontos médios que constituem os lados do trapézio.
8.2 Escreva uma condição em ℝ que defina: a) o segmento de reta [DC];
b) o conjunto de pontos equidistantes de C e D;
c) o conjunto de pontos que distam de C três unidades; d) os lados do trapézio e o seu interior.
9. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência que passa nos pontos A, O e B tais que [OA] está contido na bissetriz dos quadrantes ímpares e [OB] está contido na bissetriz do quadrantes pares. Sabe-se ainda que a ordenada de B é igual a 3/2 da ordenada de A. 9.1 Determine as coordenadas de A e de B sabendo que a área do triângulo [AOB] é igual a 12 unidades de área.
9.2 Justifique que [AB] é um diâmetro da circunferência e escreva uma equação dessa circunferência.
9.3 Escreva a equação reduzida da reta AB.
10. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas seguintes condições:
11.Na figura, em referencial o.n. Oxy , estão representadas uma elipse e duas circunferências com centros em O (origem do referencial).
Sabe-se que:
o eixo maior da elipse é diâmetro da circunferência C1 ; e o eixo menor é
diâmetro da circunferência C2 ;
os pontos A e B são vértices da elipse;
a elipse é definida pela equação 2 2 1 25 9 x y
. 11.1Determina as coordenadas dos focos da elipse.
11.2 Representa a circunferência C2 por uma equação na forma reduzida.
11.3 Define por uma condição o conjunto de pontos da região colorida, incluindo a fronteira.
12. Na figura, em referencial o.n. Oxy , está representada a elipse de centro na origem do referencial e vértices nos pontos de coordenadas
4 0,
,
4 0,
,
0 2,
e
0,2
.O ponto F representa o foco da elipse que tem abcissa positiva. 12.1Representa a elipse por uma equação na forma reduzida. 12.2Determina as coordenadas do ponto F .
12.3Mostra que PQ , sendo P e Q os pontos de interseção da elipse 2 com a reta que passa em F e é paralela a Oy .
13.Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, o polígono definido analiticamente pela condição y 3 1 x 2.
Represente geometricamente esse polígono e determine o valor exato da medida da sua área.
14. Identifique e defina analiticamente, utilizando equações e inequações cartesianas, os seguintes conjuntos de pontos do plano:
14.1 Pontos que distam igualmente dos pontos A(-3, 5) e B(1, 1). 14.2 Pontos cuja distância ao ponto C(2, -3) não excede 4 unidades.
14.3 Pontos cuja medida da distância ao ponto D(-5, 4) é o dobro da medida da distância ao ponto ao ponto E(1, 4)
14.4 Pontos cuja soma das medidas das distâncias aos pontos A(-2, 0) e B(2, 0) é igual a 7. 14.5 Pontos que distam duas unidades da reta de equação = −1.
14.6 Pontos que distam igualmente da origem do referencial e do ponto G(-3, -3) e que pertencem à circunferência centrada em G e tangente aos eixos coordenados.
14.7 Pontos médios dos segmentos de reta cujos extremos são:
a) o ponto O(0, 0) e cada um dos pontos da circunferência centrada em O e raio 2. b) o ponto H(1, 3) e cada um dos pontos da reta + = 5 .
15. Considere um plano munido de um referencial ortonormado e um triângulo [ABC] cujos vértices são os pontos A(0 , –1) , B(4 , –2) e C(2 , 3).
16. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, a elipse de equação x22 y22 1 a b e a circunferência de centro no ponto B
0 ,b
, onde b é maior que zero e raio igual a a unidades.16.1 Prove que a circunferência passa pelos focos da elipse.
16.2 Defina, por meio de uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira. 17. Considere a seguinte equação cartesiana + + 10 − 4 + = 0, ∈ ℝ . Determine os valores de de modo que a equação represente:
17.1 Uma circunferência; 17.2 Um ponto;
17.3 O conjunto vazio.
18. Na figura encontra-se um hexágono regular [ABCDEF], decomposto em seis triângulos equiláteros geometricamente iguais.
Determine:
18.1 + 18.2 − 2 18.3 ( ) 18.4 + 18.5 − 18.6 + 2 18.7 + 18.8 −
19. Escreva uma condição que corresponda a cada um dos pontos a sombreado.
20. Na figura estão representadas, num plano munido de um referencial ortonormado, uma reta AB e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5.
Os pontos A e B pertencem à circunferência. O ponto A também pertence ao eixo das abcissas.
Admitindo que o declive da reta AB é igual a , resolva as alíneas seguintes:
21. Considere as seguintes proposições: : ∀ ∈ , ≥ 2 ⇒ 3
: ∃ ∈ ℝ: < 1 ∧ 0
21.1 Indique o valor lógico de cada uma das proposições.
21.2 Escreva, sem usar o símbolo de negação, a negação da proposição .
21.3 Na figura está representado um quadrado de lado igual a √ √ . Admita que o ponto pertence ao segmento e que = .
Calcule a área do trapézio , apresentando o resultado na forma + √ , com , , ∈ ℚ.
22. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência definida por:
2
24 1 25
x y
Sabe-se, ainda, que:
● o ponto C é o centro da circunferência;
● o ponto A tem coordenadas
0 , 2
e pertence à circunferência; ● a reta t é tangente à circunferência no ponto A.22.1 Determine a equação reduzida da reta AC. 22.2 Considere a seguinte afirmação verdadeira:
“O produto dos declives de duas retas perpendiculares é igual a –1.” Determine a equação reduzida da reta t.
22.3 Escreva a equação reduzida da reta paralela à reta t que passa pelo ponto de interseção da circunferência com o eixo Oy, que tem ordenada positiva.
22.4 P e Q são dois pontos da circunferência. A área da região sombreada é 25 6
.
Indique, justificando, a amplitude do ângulo QCP e, em seguida, determine o valor exato da área do triângulo [QCP].
23. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado, as circunferências C1 e C , cujas 2 equações são:
2
2 1: 27 32 10 C x y 2 2 2: 2 3 4 2 10 0 C x x y y 23.1 Identifique o valor lógico da seguinte proposição:
p: Se a circunferência C tem centro no ponto de coordenadas 2
3 , 2 2
, então o seu raio é igual a 1. 23.2 Considere que os pontos A e B são respetivamente o centro da circunferência C e o centro da 1 circunferência C . 223.3 Determine o valor exato da medida do segmento de reta [AB].
24. Identifique e defina analiticamente, por meio de uma condição, cada um dos conjuntos de pontos no plano.
24.1 Pontos cuja distância ao ponto A(–2 , 3) é menor que a distância ao ponto B(1 , 4) 24.2 Pontos cuja distância ao ponto A(1 , 2) é dupla da distância ao ponto B(4, 2)
25. Na figura está representada, num plano munido de um referencial cartesiano, a circunferência que centro tem ponto A(4, 7) e que contém o ponto D(8, 10).
´
25.1 Determine a área do trapézio [ABCD]
25.2 Determine a equação reduzida da mediatriz do segmento [AD].
25.3 Defina, por uma condição, a região sombreada, incluindo a fronteira. 26. Considere o polinómio ( )= + 4 + − 6.
26.1 Fatorize o polinómio ( ).
26.2 Resolva, em ℝ, a inequação ( ) ≤ 0.
26.3 Seja
( ) = . ( )
, onde ∈ ℝ. Determine o valor de para o qual( )
tem resto 8 na divisão por+ 1.
27. Identifique as figuras geométricas planas definidas pelas condições. 27.1
x1
2 y 3
2 3 27.3 x2 6x y2 4y 3 27.2 2x2 6y2 12 27.4 1
x3
2 y2 928. Considere, num plano munido de um referencial cartesiano, um ponto A, a circunferência de centro A definida pela equação
x
1
2
y
2
5
, os pontos B e C de interseção dacircunferência com o eixo Oy e o ponto D de interseção da circunferência com o eixo Ox e de abcissa negativa.
28.1 Determine as coordenadas dos pontos B, C e D. 28.2 Determine a equação reduzida da reta CD. 28.3 Calcule a área do triângulo [BCD].
29. Na figura está representado um octógono [ABCDEFGH], o qual foi dividido em quatro quadrados iguais.
Utilizando as letras da figura, indique dois vetores com:
29.1 a mesma direção e sentidos opostos; 29.2 simétricos;
29.3 a mesma norma que o vetor FJ; 29.4 colineares com comprimentos diferentes.
30. Na figura está representado um losango [EFGH] inscrito num retângulo [ABCD], sendo O o ponto de interseção das diagonais do losango [EFGH].Determine o vetor resultante de cada uma das somas com origem no ponto A. 30.1. 1 2BC EH 30.2. OG HO 30.3. 2OE2OC 30.4. FE FG 30.5. AF FO AO
40. No referencial o.m. da figura está representado um triângulo
ABC
. O ponto A tem de coordenadas
2,2
; Os pontos A e B pertencem à reta de equação y ; 2 Os pontos B e C pertencem à reta de equação x1; A reta AC passa na origem do referencial.
40.1 Indique as coordenadas do ponto 'B , simétrico do ponto B em relação ao eixo Ox.
40.2 Indique as coordenadas do ponto ´,Simétrico do ponto C em relação ao eixo OY. 40.3 Defina por uma condição:
40.4 Uma reta paralela ao eixo Ox e que passa pelo ponto C;
40.5 Uma reta perpendicular à reta AB e que passa pelo ponto P
2, 1
. 40.6Escreva uma condição, em , para a zona sombreada.40.7 Determine o valor de ∈ , de modo que o ponto 2 − 1 ; 3 − pertença à bissectriz dos quadrantes pares.
41. Num referencial o.m. OXY, considera os pontos A(3;4) , B(-4;2) e C(1;-3). 42.1. Escreve as coordenadas do simétrico de C em relação:
a) ao eixo Oy b) à reta y c) à origem do referencial x 42.2. Escreve uma condição que define:
a) a reta paralela ao eixo OY e que passa por A b) a reta perpendicular ao eixo OY e que passa por B
42.3. Verifique se o ponto B pertence à região do plano definida pela condição:
y
1
y
x
.43. Represente, no plano, o conjunto definido pelas seguintes condições: a)
y
3
x
1
b)(
y
2
y
5
)
x
1
c)
y
x
y
3
d) ~ (y
x
x
0
)
44. Indique uma expressão analítica que caracterize cada um dos conjuntos definidos no PLANO: 44.1 44.2 44.3 44.4 44.5 44.6 s r t B y x 1 O 1 A
56. Considere, num plano munido de um referencial ortonormado cartesiano, as retas r, s e p definidas, respetivamente, por
: 2 + 3 + 1 = 0 : ( , ) = (1, 5) + (6, 4), ∈ :
3 = 1 + 2 , ∈
=
56.1 Determineos pontos em que a reta interseta os eixos coordenados. 56.2 Determine a ordenada do ponto da reta s que tem abcissa 3.
56.3 Justifique que o ponto (– 2, –1) pertence à reta . 56.4 Averigue se a reta é paralela à reta .
