ÁLGEBRA DOS TONS. Marcos Vinícius Gomes Morais Universidade Católica de Brasília Departamento de Matemática Orientador: Prof. Sinval Braga de Freitas

ÁLGEBRA DOS TONS

Marcos Vinícius Gomes Morais

Universidade Católica de Brasília Departamento de Matemática Orientador: Prof. Sinval Braga de Freitas

RESUMO

Este trabalho tenta apresentar de forma simples algumas interações entre matemática e música. Introduziremos primeiro algumas noções básicas sobre som, música e teoria musical. Num segundo momento é feita uma análise quanto a algumas proporções musicais que nos auxiliarão na observação da escala musical Pitagórica e suas particularidades, através do estudo do monocórdio. Introduziremos também o conceito e as vantagens da escala temperada, aquela que é usada pelos músicos ocidentais atualmente. Este trabalho se restringe a uma aplicação algébrica na música, pois o assunto é vasto com muitas aplicações analíticas.

Palavras- chave: Matemática, Álgebra e Música.

1. INTRODUÇÃO

Nem todos gostam de Matemática por achá-la difícil de compreender e, muitas vezes, não encontrar uma aplicação interessante torna a mesma uma meta inalcançável. Mas o que é quase unanimidade é o gosto pela música. Todos apreciam, de alguma forma, algum estilo musical como Jazz, Rock, Blues, Funk, Rap, Samba, etc. E o que se vê na música são padrões rítmicos, harmônicos e melódicos, ou seja, a matemática se faz presente em todas essas questões musicais básicas.

Segundo a tradição Pitagórica a música seria “a Ciência dos números aplicada aos sons”, ou seja, tinha-se a música como uma disciplina de matemática aplicada. Mas ao mesmo tempo a música não fica reduzida apenas a uma ciência aplicada, pois antes de tudo ela é arte, e também deve ser apreciada como tal. Como os antigos dizem, a Arte é a revelação do belo, assim a música desempenha bem esse papel tocando o Ser Humano nos seus mais variados sentimentos como alegria, tristeza, compaixão, medo, entre outros.

Ao passar dos anos vimos a música ser analisada por diversos filósofos e matemáticos como Aristóteles, o próprio Pitágoras, Claudio Ptolomeu, Diderot, Leonhard Paul Euler, Gottfried Leibniz, Guido d’Arezzo, Boécio, Johannes Kepler, Joseph Louis Lagrange, Gioseffe Zarlino, Marin Mersenne, Jean Baptiste Joseph Fourier, entre outros.

A evolução da teoria musical tal como vemos hoje é devido aos esforços de músicos e matemáticos na busca de uma melhor distribuição de notas musicais na escala, e formas de representação das mesmas, que ainda não são usadas em alguns países do Oriente, como por exemplo, a Índia.

A matemática é uma importante ferramenta na análise e construção da música, e ao mesmo tempo é aberta uma porta, no sentido em que, a matemática pode ser tida também como arte. Mas sem a pretensão de ser uma arte completa, pois tudo que é arte tende a ser compreensível por si só, logo não existe uma arte incompleta e sim uma interação entre elas, matemática e música.

2. CARACTERÍSTICAS DA MÚSICA E DO SOM

Música é a arte de combinar os sons simultaneamente e sucessivamente, com ordem, equilíbrio e proporção dentro do tempo.

2.1Som

Som é a sensação produzida no ouvido pelas vibrações de corpos elásticos. Uma vibração põe o ar em movimento na forma de ondas sonoras tridimensionais se propagando em todas as direções. Estas ondas atingem a membrana do tímpano fazendo-a vibrar. As vibrações são transmitidas ao cérebro através de impulsos nervosos, classificando-os como diferentes tipos de sons. O som é decodificado apenas no cérebro.

2.2 Características do som

As principais características do som são Altura, Duração, Intensidade e Timbre. A Altura é determinada pela freqüência das vibrações. Quanto maior a freqüência, mais agudo é o som. Duração é a extensão de um som, é determinada pelo tempo de emissão das vibrações. Intensidade é a amplitude das vibrações, é o grau de volume do som. Timbre é a combinação de vibrações determinadas pela espécie do agente que a produz. O Timbre é a “cor” do som de cada instrumento ou voz, derivado dos sons harmônicos que acompanham os sons principais ou notas musicais. A característica mais importante do som é a Altura.

2.3Partes da música

As principais partes da música são Melodia, Harmonia e Ritmo. Melodia consiste no conjunto de sons dispostos em ordem sucessiva, a Harmonia no conjunto de sons dispostos em ordem simultânea, e por fim, Ritmo que se caracteriza por ser a ordem e proporção em que estão dispostos os sons que constituem a melodia e a harmonia.

3. NOTAS E PAUTAS

Devido à necessidade de transmitir a música de geração em geração com o mesmo aspecto musical, tanto as notas musicais como os tempos em que elas são executadas, foram criados alguns símbolos e figuras para a perfeita leitura e execução da obra musical. A idéia era entender e reproduzir a música como ela foi composta, criando e usando as notações musicais necessárias para que isso ocorresse com precisão.

3.1 Origens da notação musical

A Música foi transmitida oralmente por muito tempo de geração em geração. No Ocidente, símbolos taquigráficos gregos exprimiam notações fonéticas, dando inicio à notação musical. Entre os séculos V e VII foi aperfeiçoado um sistema de neumas (mnemônica), símbolos usados e associados a algo que a memória indique como o som produzido por algo descrito no símbolo. Mas apenas davam uma idéia aproximada da melodia, não definindo a altura exata da música.

3.1.1 Pentagrama

A pauta musical surge por volta do século IX, definindo o Pentagrama por meados do século XI, mas difundido no Ocidente apenas no século XVII.

O pentagrama (figura 1) consiste no sistema de cinco linhas paralelas para representação de notas.

Figura 1: pentagrama

A representação pode ser feita tanto nas linhas como nos espaços através de símbolos circulares (figura 2).

Figura 2: representação das notas musicais

As notas posicionadas mais abaixo são as mais graves e as posicionadas mais acima são as mais agudas.

3.1.2Notas musicais

Embora sejam inúmeros os sons empregados na música, no sistema musical atual, para representá-los bastam apenas sete notas:

Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si.

Este sistema monossilábico foi introduzido por Guido d’Arezzo (992-1050 d.C.) retirando as sílabas iniciais de um hino a São João Batista (Quadro 1).

Hino a São João Batista

UT queant laxis Para que possam

REsonare fibris Ressoar as

MIra gestorum Maravilhas de teus feitos

FAmuli tuorum Com largos cantos

SOLve polluti Apaga os erros

LAbii reatum Dos lábios manchados

Sancte Ioanes Ó São João

Quadro 1

O UT foi posteriormente substituído por Dó, por causa da difícil pronúncia. Este sistema foi usado predominantemente em línguas latinas. Antes disso, em aproximadamente 540 d.C. o

Papa Gregório Grande introduziu um sistema musical alfabético para o inglês, alemão, grego, etc. na mesma ordem:

C, D, E, F, G, A e H (alemão) ou B (inglês) A letra “B” representa o “Si” em inglês e “Si bemol” em alemão.

3.1.3 Acidentes e oitava musical

Os acidentes são # (Sustenido) ou b (Bemol) que colocados diante da nota alteram sua entoação. Observa-se que as notas Mi e Si não possuem Sustenidos. Assim temos Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# ou Réb, Mib, Solb, Láb, Sib. Portanto a Oitava representa, atualmente no Ocidente, a reunião das sete notas musicais Dó, Ré, Mi, Fá, Sol, Lá, Si com as cinco notas acidentais Dó#, Ré#, Fá#, Sol#, Lá# ou Réb, Mib, Solb, Láb, Sib.

3.1.4 Semitom e tom

Atualmente semitom é o menor intervalo entre duas notas na música ocidental, por exemplo, entre o Dó e o Dó#, entre o Ré e o Mib, entre o Si e o Dó, entre o Mi e o Fá, etc. Nesse contexto o tom seria o intervalo de dois semitons, por exemplo, entre o Dó e o Ré, entre o Sol e o Lá, entre o Mi e o Fá#, entre o Si e o Dó#, etc.

3.1.5 Clave

A Clave é um sinal colocado no inicio da pauta pra indicar o nome da nota musical de uma linha determinada. Utilizaremos neste trabalho a Clave de Sol (figura 3), que indica a segunda linha como nota musical Sol. No sentido de baixo para cima, a primeira linha representa o Mi, a terceira o Si, a quarta o Ré e a quinta o Fá. Os espaços entre as linhas também representam as notas como o primeiro espaço representa o Fá, o segundo o Lá, o terceiro o Dó e o quarto espaço representa o Mi. Essa noção fica estendida para linhas ou espaços abaixo ou acima do Pentagrama.

Figura 3

3.2 Escalas musicais

Escala é uma sucessão ascendente e descendente de notas musicais diferentes e consecutivas. É ainda o conjunto de notas disponíveis num determinado sistema musical, compreendidos no limite de uma Oitava.

4. A MATEMÁTICA E A MÚSICA

A Natureza possui padrões que podem ser quantificados, ou seja, podemos encontrar equações que descrevam fenômenos naturais. O Filósofo Pitágoras, que era fascinado por números, foi um dos primeiros a observar relações numéricas na natureza. E pode-se incluir a

música como parte integrante dessa natureza. Pois é algo naturalmente produzido pela natureza, como o canto dos pássaros, o som de uma correnteza, de uma chuva, o trovão e a música padronizada criada pelos seres humanos, tal com conhecemos hoje.

4.1Pitágoras e a música

Segundo uma lenda, Pitágoras ao passar em frente a uma oficina percebeu que os sons produzidos pelos golpes de martelos combinavam, exceto um; ou seja, o som era harmônico. Pitágoras primeiramente pensou que o som produzido por cada martelo dependia da mão de quem o segurava. Mas ao pedir que trocassem os martelos e ao mesmo tempo tirasse o único dos cinco martelos que não produzia som harmonioso aos outros, pôde perceber que o som produzido era o mesmo, isto é, produzia a mesma harmonia.

Logo após, Pitágoras pesou os martelos e observou que o primeiro pesava 12, o segundo 9, o terceiro 8 e o quarto 6, de alguma unidade de peso que não se sabe ao certo qual seria.

A partir daí, podemos facilmente observar as proporções:

12 9 8 6 ₌ e 12 8 9 6 ₌

Analisando mais fundo vemos que:

(

6 12

)

9 2 1 _{+ =} e 8 12 6 12 6 2 =      + ×

Isto é, que 9 é a média aritmética de 6 e 12 e que 8 é a média harmônica de 6 e 12.

Os gregos definiam média aritmética de dois números como o número que excede o menor de uma mesma quantidade que é excedido pelo maior. A saber

c a a b− = − ou ( ) 2 1 c b a= + .

Já a média geométrica de dois números seria o número cuja diferença para o maior dividida pela diferença do segundo é igual ao primeiro dividido por si. Assim,

g b c g g b ₌ − − ou g = bc.

A média harmônica de dois números definiu-se como o número cuja diferença para o maior dividida pela diferença com o menor é igual à divisão do maior pelo menor. Nesse caso,

c b c d d b ₌ − − , ou seja,       + = c b d 1 1 2 1 1 , ou c b bc d + = 2 .

Outra relação importante observada foi a da proporção dos pesos dos martelos. O martelo que pesava 6 correspondia à metade (1/2) do peso do martelo que pesava 12, o martelo de peso 8 correspondia a dois terços (2/3) do peso do martelo que pesava 12, e o martelo que pesava 9 correspondia a três quartos (3/4) do peso do martelo que pesava 12.

Essa relação foi fundamental quando Pitágoras estudou o monocórdio (figuras 4.1 e 4.2), instrumento musical da época composto de uma corda.

Figura 4.1: monocórdio (MINGATOS, Danielle dos Santos, 2006)

Figura 4.2: esquema do monocórdio (MINGATOS, Danielle dos Santos, 2006)

Pitágoras utilizou a proporção dos pesos aplicando o mesmo conceito na análise do comprimento da corda. Assim observou que o som produzido pressionando metade (1/2) da corda era o mesmo, porém mais agudo que o som produzido pela corda solta (corda inteira), no caso da música esse fenômeno classifica-se com Oitava. O som produzido pressionando dois terços (2/3) da corda combinava com o som da corda inteira, no caso da música caracteriza a Quinta nota de uma nota padrão, que seria a nota produzida pela corda inteira. E por fim o som produzido pressionando três quartos (3/4) da corda inteira também combinava com os sons produzidos, na música caracteriza a quarta nota de uma nota padrão, no caso a corda solta. Por exemplo, se a corda solta produzisse o som Dó a três quartos na corda produziria o som Fá que é a quarta nota de Dó, a dois terços da corda produziria o som Sol que é a quinta nota de Dó e por fim ao meio da corda produziríamos o som do próprio Dó, só que, com o dobro da freqüência (quadro 2).

Intervalo Razão entre o comprimento das cordas

Oitava 2:1 Quinta 3:2 Quarta 4:3 Sexta 27:16 Terça 81:64 Segunda 9:8 Sétima 243:128

Quadro 2: os intervalos e as suas respectivas proporções.

Resumindo, em uma corda de comprimento 12 unidades, 6 unidades representa a Oitava, 8 unidades representa a Quinta e 9 unidades representa a Quarta, ou seja, são harmônicas se tocadas simultaneamente.

Pode-se observar ainda que o produto de 2/3 (fração associada à quinta) por 3/4 (fração associada à quarta) resulta 1/2 (fração associada à oitava):

2 1 4 3 3 2 = ×

E ainda que a divisão (subtração de intervalos) de 2/3 (fração associada à quinta) por 3/4 (fração associada à quarta) resulta 8/9:

9 8 3 4 3 2 4 3 3 2_{÷ = × =}

8/9 é a fração que representa (ou está associada) um tom, diferença de uma quinta e uma quarta, ou seja, o intervalo entre duas notas não acidentais, por exemplo, entre Sol e Lá. Mais ainda, temos que

2 1 9 8 4 3 4 3_{× × =}

Ou seja, que uma oitava é composta por duas Quartas e um tom.

Essas relações (estudo de proporções e médias) abriram espaço para que os filósofos interpretassem algumas particularidades matemáticas na geometria, como o fato de o cubo ter 6 faces, 8 vértices e 12 arestas, e por isso ser considerado um Sólido Harmônico. Isto, mais

paralelismos sutis entre geometria e aritmética conduziram a civilização clássica à doutrina da

Música das esferas, sintetizada na expressão de Aristóteles: “todo o céu é número e harmonia”.

Essa filosofia clássica distinguia três tipos de música: musica intrumentalis (produzida pela

e por isso inaudível) e musica mundana (produzida pelo cosmo e conhecida como música do universo) da qual a Harmonia Celeste de Kepler é um bom exemplo.

4.2 A Harmonia Celeste de Kepler

A astronomia grega atingiu seu ápice com Claudio Ptolomeo (século II), com a obra

Mathematike syntaxis, mais conhecida como Almagest. Esta obra influenciou o ocidente por

quatorze séculos. Ptolomeo escreveu ainda sobre mecânica, óptica, mas é o tratado

Harmonica onde ele aprofundou a tese dos intervalos entre notas musicais associados às

razões de números. No livro III da mesma obra, Ptolomeo escreveu sobre semelhanças entre o sisitema harmônico e o ciclo associado ao zodíaco, as modulações tonais e o movimento dos astros.

Esse modelo de Ptolomeo voltou a ser analisado no Renascimento, com a retomado da teoria heliocêntrica por Copérnico, com a publicação em 1543 da obra De Revolutionibus Orbium

Celestium. Para Joannes Kepler (1571-1630) o movimento dos planetas era uma música

emanada pela perfeição divina. Mas isso não o impediu de elaborar as três leis do movimento, publicadas no seu livro Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo) de 1619:

Primeira: os planetas giram em torno do sol em órbitas elípticas, tendo-o por um dos focos; Segunda: As suas áreas orbitais são percorridas proporcionalmente ao tempo (o que implica

aceleração no periélio e retardamento no afélio);

Terceira: Os quadrados dos períodos de revolução de cada planeta são proporcionais aos

cubos das suas distâncias médias ao sol.

Kepler especulou no seu Mistério Cosmográfico sobre a “admirável proporção entre corpos

celestes” e a “bela harmonia que existe entre as partes do cosmo”. Comparando as razões

das esferas inscritas e circunscritas nos cinco sólidos platônicos, o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro (limitado por doze pentágonos) e o icosaedro (limitado por vinte triângulos eqüiláteros), com as razões das órbitas dos seis planetas até então conhecidos, associando-os aos cinco intervalos das respectivas esferas (orbes), ele imaginou ter encontrado a chave do universo.

Muito místico que era, na sua descrição da Harmonia do Mundo, Kepler concluiu, após enunciar a terceira lei do movimento, que “os modos ou tons musicais são produzidos de certa maneira nas extremidades dos movimentos planetários”. Assim, considerando os sete intervalos consonantes da oitava de seu tempo 1:1 (uníssono), 1:2 (oitava), 2:3 (quinta), 3:4 (quarta), 4:5 (terça maior), 5:6 (terça menor), 3:5 (sexta maior), 5:8 (sexta menor), Kepler estabeleceu, calculando as razoes afélio/periélio de cada um deles, as seguintes harmonias dos seis planetas conhecidos (quadro 3):

Planetas Intervalos consonantes

Saturno 4:5 (uma terça maior) Júpiter 5:6 (uma terça menor)

Marte 2:3 (uma quinta) Terra 5:16 (um semitom) Vênus 24:25 (um sustenido)

Mercúrio 5:12 (uma oitava e uma terça menor)

Quadro 3

Por exemplo, Saturno percorre um arco de 106 segundos por dia quando esta no seu ponto mais afastado do sol, o afélio, e percorre um arco de 135 segundos por dia quando está no ponto mais próximo do sol, o periélio. Assim temos que:

5 4 135 106

≈

Veja o frontespício da obra “Mysterium Cosmographicum” (1596) (figura 5), onde Klepler faz

os “encaixes” do cubo (Saturno-Júpiter), tetraedro (Júpiter-Marte), dodecaedro (Marte-Terra), icosaedro (Terra-Vênus) e o octaedro (Vênus-Mercúrio).

Figura 5. (RODRIGUES, José Francisco 200?).

Os estudos de kepler o levou a propor, ainda na obra Harmonices Mundi, que Mercúrio está associado ao soprano, Vênus e Terra ao alto, Marte ao tenor e Júpiter e Saturno ao baixo. Kepler ainda afirma que “a Terra canta as notas Mi, Fá e Mi, de modo que delas se possa conjecturar que no nosso seio prevalecem miséria (MIseria) e fome (FÁme)”.

Laplace não concordava com os métodos keplerianos, pois Kepler, respeitado e grande contribuidor (com suas leis) para teoria da gravitação de Newton, baseou as suas especulações astronômicas em dados experimentais. Em 1821, Laplace chegou a afirmar sobre Kepler que “como é aflitivo para o espírito humano ver este grande homem realmente comprazer-se nestas quimeras especulativas, e encará-las como a alma e a vida da astronomia”.

5. ÁLGEBRA DOS TONS

Uma das grandes preocupações de músicos e matemáticos até perto do fim da Idade Média era a necessidade de uma escala musical que permitisse a transposição, ou seja, tocar uma música de tonalidade Ré em Sol, por exemplo; isto é, trocar o tom da música. A escala Pitagórica, como veremos a seguir, era a mais usada no ocidente, e ela não permitia a transposição de músicas. Esse problema foi resolvido com o advento da escala temperada por volta do século XVII.

5.1 Escala Pitagórica

A Lira foi o instrumento musical mais influente da cultura grega, mas os gregos não tinham ferramentas técnicas ou conceituais para analisar a fundo os fenômenos musicais, como vibração e freqüência dos sons. Centrada nas noções de proporcionalidade antes visto, como a Oitava, Quinta e Quarta, a Escala Pitagórica forma-se a partir de um som inicial f₀ = f e do som f1 =32 f uma quinta acima na escala (ou seja, acima da primeira oitava, na segunda

oitava), do som f2 =34 f1 = 98 f que está uma quarta abaixo de f1 (ainda na segunda oitava).

A partir daí encontramos outros sons que são possíveis, como exemplo o f3 =23 f2 = 34 f

uma quinta abaixo de f₂ (aqui já na primeira oitava). Sendo assim temos que

n n f       = 8 9 2 e n n f       = + 8 9 2 3 1 2 , n∈

{

0,1,2,3,K

}

.

Portanto, podemos construir uma sucessão f , sendo f₀ = f um som inicial, assim

n n f f 2 3 1 = + se fn 2f 2 3 _< n n f f 2 3 2 1 1 = + se fn 2f 2 3 ≥

A condição 3₂ f_n <2f _{significa que o som ainda está na mesma Oitava. Já a condição} f

f_n 2

2

3 ≥ _{significa que o som está uma Oitava acima.}

f f p n n             = 2 1 2 3 ,

com p o inteiro tal que f_n∈

[

f,2f

)

. Matematicamente isto não pode ser um verdadeiro ciclo, pois teríamos que ter n,p inteiros tais que 3n =2n+p, já que deveríamos ter n p

n

2 2

3 = _,

sendo 32 a fração associada à quinta enquanto que a fração 21 é associada à oitava, o que não

ocorre, pois 3 é sempre ímpar enquanto que n 2n+p é sempre par, exceto quandon= p=0. A partir daí vemos que o processo para encontrar os sons sucessivos da Escala Pitagórica pode tornar-se infinito, ou seja, podemos encontrar quantas notas diferentes quisermos.

A figura 6 mostra o processo descrito. Nela a sucessão das quintas das notas é feita a partir do Dó. Veja que a escala passa por Mi# e Si# que são diferentes em freqüência de Fá e Dó respectivamente

Figura 6: “espiral de quintas”. (RODRIGUES, José Francisco 200?).

Em Teoria Musical afirma-se que “12 Quintas correspondem a 7 Oitavas”, matematicamente é falsa esta afirmação, pois 312 ≠219, como no caso descrito acima, em que não se pode ter

p

n n

2 2

3 = _{com n,p inteiros exceto quando n}= _p=_{0. Como se quer n}=_{12 e p}=_7, dever-se-ia ter 3 _{2 2}7

12 12

= , o que não pode ocorrer. Mas em termos auditivos pode ser encarada como certa, pois 531441₅₂₄₈₈₈ 1,0364326... 1 2 3 19 12 ≅ = = .

A diferença 1,0364326...−1=0,0364326... é chamada coma pitagórica, número irracional e incompreensível para os gregos daquela época, o que mostra a impossibilidade de uma escala musical perfeita ou bem temperada. Apenas baseado nas razões 3/2 e 4/3 temos as razões dos tons a um tom de referência, representados por

τ

0 =1,

τ

,

τ

2,

τ

3,...,

τ

12 =2, pois a escala ocidental é formada por 12 notas, e não conseguimos calcular, de modo “natural”,

=

τ

12

2 =1,059463..., que nos daria a divisão exata do intervalo de cada nota, formando um ciclo perfeito.

O interessante é que a Escala Musical Pitagórica apresenta algumas dissonâncias na medida em que se sobe ou desce na escala em instrumentos como o Violino e o Trombone (figuras 7.1 e 7.2), fenômeno causado justamente por essa coma Pitagórica.

Figura 7.1: Violino

Figura 7.2: Trombone

A Escala Pitagórica até o Renascimento correspondia a tonalidades das freqüências dos sons do Dó = f , Ré = 9₈ f _{, Mi = f} 64 81 _{, Fá f} 3 4 = , Sol =3₂ f _{, Lá f} 16 27 = , Si =243₁₂₈f _{e Dó} f 2

= . Mais tarde vemos a substituição das freqüências das notas Mi, Lá e Si por f 5₃ f

4

5 _{, e}

f

8

15 _{respectivamente, ou seja, frações mais simples.}

5.2ESCALA TEMPERADA

Por volta do século XVII, com o uso de logaritmos, uma solução matematicamente simples foi encontrada, o temperamento igual, que consistia em dividir a Oitava em doze partes

proporcionais. Essa teoria é encontrada na obra “De musica”, de F. Salinas, publicada em Salamanca em 1577. Essa teoria considera

τ

o intervalo separando dois tons consecutivos, isto é n

2

=

τ

representa a razão da respectiva progressão geométrica, sendo n o número de partes que queremos dividir a oitava. Como a proposta foi dividir a oitava em doze partes,

12 =

n , as freqüências resultantes associadas às sete notas principais são Dó= f , Ré =6

2 f , Mi 3 f 2 = , Fá 12 f 32 = , Sol 12 f 128 = , Lá 4 f 8 = f, Si 12 f 2048 = e Dó =2f (figura 8).

Figura 8: relação entre as freqüências das notas (JULIANI. Juliana Pimentel 2003)

A Escala Temperada, também classificada como Escala Artificial ou Cromática, possui a Oitava divida em doze notas exatas:

Dó, Dó#, Ré, Ré#, Mi, Fá, Fá#, Sol, Sol#, Lá, Lá#, Si

Vale notar que na Escala Temperada o Dó# (Dó Sustenido) é igual ao Réb (Ré Bemol), Ré# é igual à Mib, Fá# é o mesmo que Solb e Lá# é o mesmo que Sib (figura 9).

Figura 9: Distribuição das notas musicais no ciclo (RODRIGUES, José Francisco. 200?).

A escala musical padrão é a Escala Temperada com as freqüências das notas já definidas (ver Quadro 3).

Notas Freqüência em hertz (Hz) Lá 220 Si 247,5 Dó 264 Ré 297 Mi 330 Fá 352 Sol 396 Lá 440 Si 495 Dó 528 Ré 594 Mi 660 Fá 704 Sol 783 Lá 880

Quadro 3: freqüências de cada nota. Note que o Lá de 440 Hz é padrão para afinação de pianos, entre outros.

Como curiosidade, o músico e compositor Johann Sebastian Bach (século XVIII) escreveu uma série de 24 prelúdios e fugas (24 por considerar todas as tonalidades maiores e menores), passando por todas as tonalidades possíveis na Escala Temperada, cuja obra tem o nome “o cravo bem temperado”.

Outros cientistas do século XVII que contribuíram para a teoria musical foram Galileu, Descartes e Huygens. Filho de compositor assim como Galileu, Christiaan Huygens (1629-1695) propôs a divisão da oitava em trinta e um (31) intervalos iguais com auxilio dos logaritmos. Mas apesar de ser uma divisão matematicamente atraente, era musicalmente inacessível e não aceita.

Em 1619 Descartes, na obra Compendium Musicae, fez estudos sobre razões dos intervalos consonantes através de segmentos de comprimentos variáveis. No século XVIII, o matemático Leonhard Paul Euler (1707-1783) no seu ensaio Tentamen novae theoriae musicae (Ensaio de uma nova teoria da música), de 1739, argumenta que as proporções geram um prazer musical, via a ordem e a perfeição, “a música é a ciência de combinar os sons da qual resulta uma harmonia agradável”. Assim, para Euler um objeto musical é um simples objeto aritmético. A teoria musical elaborada por Euler acabou não tendo uma reação favorável por parte dos músicos da época, mas não deixa por isso de ser uma grande incursão matemática na música feita por um grande matemático.

6. ÁLGEBRA MODERNA E MÚSICA

A preocupação matemática com a Música não se reduz aos problemas envolvendo apenas temperamento. Ela suscita questões importantes na estrutura dos sons e até na composição musical. Trabalhando com a Escala Temperada podemos agrupar as notas em classes de

por um número exato de oitavas. Isto jamais ocorre com a Escala Pitagórica. Assim, dizer que duas notas são equivalentes é o mesmo que dizer que se as notas tiverem freqüências p e q , o intervalo entre elas é da forma q k

p

2

= , onde k é um inteiro. Logo podemos associar o sistema temperado de 12 notas ao conjunto Ζ12 =

{

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

}

, ou conjunto das classes dos restos da divisão por 12, ou conjunto das classes de congruência módulo 12, onde cada classe x=

{

n∈Z |n=12q+x

}

é o conjunto dos inteiros que deixam resto x

quando divididos por 12. Esse conjunto pode também ser construído a partir da relação de congruência sobre os inteiros definida por

) 12 (mod

b

a≡ se 12 divide a−b.

Como veremos, esse conjunto é uma estrutura especial chamada de grupo para a adição módulo 12.

Definição: Um sistema matemático constituído de um conjunto não vazio G e uma operação

( )

x_,y a x∗y _{sobre G é chamado grupo se essa operação se sujeita aos seguintes axiomas}

(tem as seguintes propriedades):

a) Associatividade:

(

a∗b

)

∗c=a∗

(

b∗c

)

, quaisquer que sejam a,b,c∈G;

b) Existência do elemento neutro: existe um elemento e∈G tal que a∗e=e∗a =a, qualquer que seja a∈G;

c) Existência de simétricos: para todo a∈G existe um elemento a'∈G tal que

e a a a

a∗ '= '∗ = .

Se, além disso, ainda se cumprir o axioma da comutatividade: a∗b=b∗a, quaisquer que sejam a,b∈G, o grupo recebe o nome de grupo comutativo ou abeliano (em homenagem a

Abel).

Tal grupo será indicado apenas por

( )

G,∗ .

Proposição:

(

Z12,+

)

, com a operação adição definida por a+b=a+b, é um grupo comutativo (abeliano).

Demonstração: a) A adição em Z12 é associativa:

( )

b c a b c a b c

(

a b

)

c

( )

a b c

a+ + = + + = + + = + + = + + , para quaisquer a,b,c∈Z₁₂; Isto está baseado no fato que o resto da divisão de uma soma é a soma dos restos das parcelas somadas.

b) A adição possui elemento neutro:

0 = ⇒ − = − + ⇒ − = − + ⇒ = + = +e e a a e a a a a e a a a a e a , para qualquer a∈Z₁₂;

c) Todos os elementos são simetrizáveis (têm inverso aditivo): dado a∈Z₁₂, procuramos seu simétrico

( )

a . Mas sendo o simétrico, se existir, um elemento de ' Z12, devemos ter

( )

a = y

'

. Daí, a+y=a+y =0 e, portanto, a+y≡0(mod12) ou y≡−a(mod12). De onde

( )

a ' =−a =12−a. De fato, isso mostra que todo elemento a∈Z12 é simetrizável para a

adição e seu simétrico é 12−a.

Para concluir a demonstração, mostremos que a operação é comutativa:

a b a b b a b

a+ = + = + = + , quaisquer que sejam a,b∈Z₁₂. Portanto,

(

Z₁₂,+

)

é um grupo abeliano e a proposição está demonstrada.

Quando se tem afinidade com a teoria dos inteiros módulo m (no caso, m=12), escrevemos os elementos x sem a barra, representando apenas por x, mas lembrando que x não é um inteiro e sim o conjunto de todos os inteiros que divididos por m deixam resto x. No nosso caso, poderemos representar Z12 por Z12 =

{

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

}

.

Apliquemos isto à nossa teoria musical: considere o conjunto dos 12 semitons da escala musical padrão e ponha cada número de 0 a 11 correspondendo a um intervalo de semitons. Assim, compondo um intervalo de 7 semitons (Quinta) com um intervalo de 10 semitons (Sétima menor) resulta em um intervalo de 17 semitons que é uma Oitava mais um Quarta, ou

) 12 (mod 5 10

7+ ≡ . Analogamente, compondo um intervalo de 7 semitons (Quinta) com um intervalo de 5 semitons (Quarta) temos um intervalo de 12 semitons ou uma Oitava:

) 12 (mod 0 7

5+ ≡ , ou seja, uma Quinta e uma Quarta são inversas uma da outra. A operação de soma de intervalos de semitons tem um comportamento análogo ao grupo aditivo Z12.

Observação: não estão se compondo as notas e sim os intervalos de semitons, pois não faria sentido somar duas notas. A álgebra aqui trabalha na composição e não na proporção, pois se pensasse em somar notas, cairíamos no problema de somar freqüências, o que fugiram da definição de grupo aqui empregada.

7. DISCUSSÃO E CONCLUSÕES

A importância da matemática na vida das pessoas, muitas vezes, não é percebida pela maioria, fazendo com que ela seja encarada como inútil para o cotidiano. Vemos a aplicação matemática em diversas áreas como Economia, Administração, Química, Física e até mesmo nas Artes, entre outros. Pois a arte nos mostra a beleza através de vários ângulos, como formas e expressões. A música entra neste contexto como uma arte universal praticada ou apreciada por quase todos.

Relações matemáticas são encontradas e servem como ferramenta para o aperfeiçoamento musical tanto teórico como artístico, Por que não? Há aí uma bela coexistência entre as duas vertentes, pois a partir daí poderíamos muito bem, e despretensiosamente, encarar a matemática como um tipo de arte. Pitágoras conseguiu estabelecer relações matemáticas que

hoje são tidas como básicas, mas que foi uma revolução pra época. E ainda muitas pessoas desconhecem esses fatos tão importantes.

A evolução está intimamente ligada com o desenvolvimento científico e neste a matemática está sempre inserida. Muito tem que ser visto e revisto com um olhar matemático em diversos assuntos complexos ou não como engenharia, robótica, genética, artes, etc.

Tanto mais fica evidente a necessidade da matemática para uma nação se desenvolver como da música para divertimento. Foi assim que a sociedade evoluiu através do tempo. Todos precisam dos dois.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

DOMINGUES, Hygino H; IEZZI, Gelson. Álgebra moderna. 4. ed. São Paulo, SP: Atual. 2003. 368p. JULIANI, Juliana Pimentel. Matemática e música. São Carlos, SP. 2003. 85p.

MED, Bohumil. Teoria musical. 4. ed. Brasília, DF: Musimed. 1996. 412p.

MINGATOS, Danielle dos Santos. Matemática e música a partir do estudo do monocórdio e de figuras

musicais. São Paulo. SP. 2006. 1p. disponível em:

<http://www.ime.ufg.br/bienal/2006/poster/daniellemingatos.pdf>. Acesso em: 16 abr. 2008. RATTON, Miguel. Música e matemática. 2002. Disponível em:

<http://www.tvebrasil.com.br/salto/boletins2002/ame/ametxt5.htm>. Acesso em: 3 nov. 2008.

RODRIGUES, José Francisco. A matemática e a música. Lisboa, PT. 200?. 15p. <http://cmup.fc.up.pt/cmup/musmat/MatMus_99.pdf>. Acesso em: 16 abr. 2008.

ROEDERER, Juan G. Introdução á física e psicofísica da música. 1. ed. São Paulo, SP: Edusp. 1998. 311p.

Marcos Vinícius Gomes Morais (matemarcos00@gmail.com) Curso de Matemática, Universidade Católica de Brasília