UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. Yuri Tsai

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Yuri Tsai

AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E O SISTEMA MASSA MOLA

São Carlos 2019

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Yuri Tsai

AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS E O SISTEMA MASSA MOLA

Trabalho de conclusão de curso apresentado como parte das atividades para obtenção do título de especialista, do curso de Especialização em Ensino de Matemática no Ensino Médio da Universidade Federal de São Carlos.

Orientadora: Profa. Dra. Yuriko Yamamoto Baldin.

São Carlos 2019

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AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, pelo cuidado e fortalecimento em todo o tempo. A minha família, por todo o apoio e compreensão. Aos colegas do curso de Especialização da UFSCar, pela colaboração e amizade. Aos professores do curso da UFSCar, pela contribuição e incentivo ao ensino. A minha orientadora, Profa. Dra. Yuriko Yamamoto Baldin pela disponibilidade e dedicação.

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RESUMO

O presente trabalho apresenta uma proposta didática sobre o tema funções trigonométricas. A prática docente tem demonstrado que o assunto é complexo e de difícil compreensão para a maioria dos estudantes do ensino médio que, de forma geral, não relacionam o conhecimento teórico matemático com situações reais. Para que estas dificuldades sejam superadas, propusemos trabalhar a construção de modelos que envolvem fenômenos periódicos, em especial, a modelagem matemática de um fenômeno físico que consiste na oscilação de uma mola num sistema massa mola vertical. Planejamos uma sequência didática com 06 (seis) aulas em três etapas, nas quais os estudantes em dupla realizam um experimento, registram os dados coletados e realizam os cálculos, respondem a um questionário com o objetivo de modelar o fenômeno ondulatório e analisam as representações gráficas no software GeoGebra. A sequência didática foi aplicada numa sala da segunda série do ensino médio de uma escola estadual localizada no interior do Estado de São Paulo. Os estudantes tiveram bom desempenho nas atividades propostas, sendo necessária a intervenção da docente nos processos de resolução das questões, aprovaram a realização de experimentos nas aulas de matemática e afirmaram ter interesse em participar de outros experimentos em aulas futuras. A proposta didática está em conformidade com as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).

Palavras- chave: funções trigonométricas, modelagem matemática, sistema massa

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ABSTRACT

This work presents a didactic proposal on the topic trigonometric functions. The teaching practice has shown that the subject is complex and difficult to understand for most high school students who, in general, do not relate mathematical theoretical knowledge to real situations of their daily life. To overcome this learning issue, our proposal considers the construction of models involving periodic phenomena, in particular, the mathematical modeling of a physical phenomenon consisting of the oscillation of a spring in a vertical spring mass system. We planned a didactic sequence with six (6) classes in three stages, in which the students in pairs perform an experiment, record the data collected and perform the calculations, answer a questionnaire with the purpose of modeling the wave phenomenon and analyze the graphic representations in GeoGebra software. The didactic sequence was applied in a classroom of the second high school series of a state school of a São Paulo state inland city. The students performed well in the proposed activities, needing the intervention of the teacher in some steps in the processes to solve the questions, approved the accomplishment of experiments in the mathematics classes and reported that they are interested in participating in other experiments in future classes. The didactic proposal is in accordance with the guidelines of the National Curriculum Standards (NCS).

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 11

2 PLANEJAMENTO DA AULA INÉDITA 12

2.1 Características da escola e perfil da turma 12

2.2 Escolha, descrição e importância do tema 13

2.3 Objetivos 13

2.4 Estratégia pedagógica 14

2.5 Descrição da sequência didática 14

2.6 Conexão da proposta didática com o PCN

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3 APLICAÇÃO E ANÁLISE DA AULA INÉDITA 23

3.1 A aplicação da aula 23 3.2 Análise da aplicação 30 3.2.1 Análise quantitativa 30 3.2.2 Análise qualitativa 42 3.2.3 Sugestões de Modificações 43 4 CONCLUSÃO 44 5 REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA 45 6 ANEXO 46

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1. INTRODUÇÃO

Leciono na educação básica de escolas públicas estaduais desde o ano de 2012 e em diversas situações constatei que os estudantes têm dificuldade com relação à trigonometria, especialmente, com o tema funções trigonométricas seno, cosseno e tangente. O assunto é abordado na segunda série do ensino médio, no primeiro bimestre, e costumeiramente sem uma contextualização que permite uma aprendizagem mais significativa.

Os livros didáticos1, em sua maioria, trazem os conteúdos relacionados ao tema com pouca ou quase nenhuma aplicação em situações reais ou que estejam próximas ao cotidiano do estudante.

Considerando esta experiência e supondo que as dificuldades encontradas pelos estudantes na compreensão do tema derivam da falta de relação do conhecimento teórico matemático com as situações reais, considerei importante tratar na minha dissertação de especialização o tema

“As funções trigonométricas e o sistema massa mola”

O presente trabalho é realizado com o objetivo de promover uma aprendizagem real sobre o tema funções trigonométricas, considerado difícil e complexo pelos estudantes, através da utilização de uma metodologia de ensino que permite a aplicação de conceitos matemáticos em situações reais.

Nos próximos capítulos, descrevemos o planejamento da aula inédita, os objetivos, a metodologia utilizada e aspectos que foram relevantes para o planejamento e elaboração da sequência didática, descrevemos a sequência didática e fazemos breves considerações sobre a conexão do tema com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN); relatamos a aplicação, fazemos a análise da aplicação da aula, quantitativa e qualitativa; encerramos com a conclusão e disponibilizamos, no anexo, as folhas de atividades utilizadas na sequência didática.

1

Livro didático adotado pela escola: IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações, Volume 2: ensino médio. 9ed. São Paulo: Saraiva, 2016.

Outros livros didáticos utilizados para consulta e disponibilizados aos estudantes constam nas referências deste trabalho.

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2. PLANEJAMENTO DA AULA INÉDITA

2.1 Características da escola e perfil da turma

A escola está localizada no interior do Estado de São Paulo e pertence à rede estadual pública de ensino. Situa-se em uma região tradicional da cidade, tendo nas proximidades pontos relevantes da cidade e no seu entorno uma comunidade pertencente à classe média e grande variedade de comércio, porém isso não reflete a atual clientela da unidade, os jovens matriculados na escola variam da classe média à baixa.

A escola já ofereceu anteriormente o Ensino Fundamental Anos Finais e o Ensino Médio. No presente ano passou a integrar o programa Escola de Período Integral (PEI), mantendo apenas as turmas de Ensino Médio, oferecendo as disciplinas da Base Nacional Comum mais a Parte Diversificada. Atualmente, a escola atende três turmas da primeira série, três turmas da segunda série e três turmas da terceira série com horário de funcionamento, de segunda-feira à sexta-feira, das 7 horas às 16 horas. Por muitos anos a escola atendeu famílias domiciliadas no entorno de seu prédio, mas as características do público que procura matrícula em suas turmas já vinham se alterando de forma significativa com o passar do tempo, uma vez que a escola se situa em um bairro antigo da cidade e a comunidade nos arredores da escola consiste em pessoas idosas. A unidade escolar atualmente tem a grande maioria dos alunos oriundos de outros bairros, por ser uma escola que oferece fácil acesso, pela proximidade com avenidas importantes e movimentadas da cidade.

É uma escola que possui boa infraestrutura, com sala de informática e acesso à internet, sala de vídeo, duas salas multimídia, laboratório de ciências, uma quadra poliesportiva coberta, biblioteca/sala de leitura, anfiteatro, uma cantina e cozinha.

A turma que participa da aplicação da sequência didática pertence à segunda série e possui 10 alunos. É uma sala bastante heterogênea, com estudantes que apresentam defasagens relacionadas aos conteúdos de matemática de anos anteriores.

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2.2 Escolha, descrição e importância do tema

A prática docente tem demonstrado que o tema é complexo e de difícil compreensão para a maioria dos estudantes do ensino médio. A constatação desta dificuldade em experiências anteriores trouxe a necessidade de buscar formas alternativas de ensino e novas metodologias que proporcionassem aprendizagem mais significativa ao estudante.

O tema é trabalhado em uma sequência didática que consiste na realização de um experimento sobre fenômeno ondulatório, em particular, em um sistema massa-mola e posterior modelagem com a função trigonométrica cosseno com o parâmetro real de tempo, escalado no círculo trigonométrico. As propriedades matemáticas gráficas relacionadas aos conceitos do fenômeno físico são exploradas no software de geometria dinâmica GeoGebra.

O entendimento dos conceitos e propriedades das funções trigonométricas permite a construção de uma base para a compreensão das aplicações nas ciências e tecnologia. O tema além de fazer parte do conteúdo do primeiro bimestre da segunda série do ensino médio do Currículo Oficial de Matemática do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2011) possibilita a contextualização de conceitos matemáticos proporcionando maior interesse por parte dos educandos.

2.3 Objetivos

A sequência didática é elaborada com o intuito de proporcionar melhor compreensão das principais características das funções trigonométricas e de suas representações gráficas através da aplicação nos diversos contextos.

Busca-se também proporcionar aulas mais dinâmicas e despertar o interesse do estudante para as aulas de matemática e motivá-lo para o estudo e aprofundamento na disciplina com o conhecimento das diversas situações reais nas quais os conteúdos matemáticos podem ser utilizados e explorados.

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2.4 Estratégias pedagógicas

A modelagem matemática é utilizada como estratégia pedagógica nesta sequência didática. O sistema massa mola será utilizado como modelo para aplicação dos conceitos e propriedades matemáticas das funções trigonométricas.

A modelagem matemática é considerada num contexto em que os estudantes têm ciência de que se trata de um fenômeno que será modelado por uma função trigonométrica, uma vez que este conteúdo deve ser trabalhado no primeiro bimestre na segunda série do ensino médio de acordo com o currículo oficial. Portanto, nesta sequência didática há uma delimitação prévia dos modelos matemáticos que são restritos às funções trigonométricas e a proposta de modelagem envolve identificar a função trigonométrica e encontrar os seus parâmetros.

O ensino e aprendizagem através da modelagem matemática possibilita ao estudante relacionar o conhecimento teórico com situações reais estimulando a aprendizagem através de um processo investigativo no qual o aluno assume uma postura crítica e reflexiva.

A professora em todo o processo deve atuar como uma facilitadora da aprendizagem, com intervenções mínimas, orientando o estudante em todo o processo e favorecendo a sua autonomia.

2.5 Descrição da sequência didática

A sequência didática é realizada em três etapas e cada uma tem a duração de duas aulas de cinquenta minutos cada, totalizando 06 (seis) aulas. A primeira etapa consiste na realização do experimento e registro dos dados, a segunda, no preenchimento de um questionário – folha de respostas e a terceira na construção e análise dos gráficos das funções com a utilização do software GeoGebra. A sequência didática traz um processo de modelagem matemática estruturado e apresenta-se como uma possibilidade de caminho a ser percorrido pelos estudantes na solução do problema previamente proposto, uma vez que estes não têm familiaridade com o processo. No início da sequência, o problema deve ser colocado para o aluno: modelar matematicamente o fenômeno estudado.

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Para isso, é necessário encontrar o período T, em segundos, de oscilação de um objeto de massa conhecida num sistema massa mola. Sabemos que o período T, no movimento harmônico simples (MHS), depende apenas da massa m e da constante elástica 𝐾_𝑒𝑙, 𝑇 = 2𝜋√_𝑘𝑚

𝑒𝑙. Para encontrar o valor de T é necessário saber o valor de m e

o valor da constante 𝐾_𝑒𝑙. O valor médio da constante elástica 𝐾_𝑒𝑙 é encontrado através dos dados coletados na realização do experimento em que são utilizados cinco objetos com massas diferentes de acordo com os passos descritos a seguir.

1º passo - As massas, em gramas, de cada um deles são medidas da menor para

a maior em uma balança digital e anotadas em uma tabela, na folha de registro dos dados. Os objetos fornecidos têm as seguintes massas, em gramas: 25, 38, 45, 56 e 70.

2º passo - A posição inicial da mola é anotada com o auxilio de uma régua

milimetrada devidamente posicionada no sistema. No sistema massa mola utilizado nesta sequência didática, a posição inicial da mola é 10,2 cm.

Figura 02 – Posição inicial da mola

Fonte: PhET Interactive Simulations

A primeira etapa tem o objetivo de mostrar ao estudante um fenômeno periódico, o vai e vem da mola, num sistema massa mola vertical e relacioná-lo às funções trigonométricas.

Figura 01: Sistema massa mola vertical

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3º passo - Cada um dos cinco objetos é posicionado no sistema e é feita a

medição da posição final da mola para cada um deles. Por exemplo, ao ser colocado o objeto com massa igual a 25 g, a posição final é 11,2 cm.

Figura 03 – Posição final da mola

Fonte: PhET Interactive Simulations

4º passo - O valor do deslocamento da mola, em centímetros, é encontrado

fazendo-se a diferença entre a posição final e a posição inicial. Por exemplo, para um objeto com massa igual a 25 g:

Deslocamento = (posição final – posição inicial) = 11,2 – 10,2 = 1 cm.

5º passo - O valor da força peso atuante sobre cada um dos objetos é encontrado,

em Newtons. Para encontrar a força peso utilizamos a fórmula: 𝐹_𝑝 = 𝑚 . 𝑎 , em que 𝐹_𝑝 é a força peso, em Newton, 𝑚 é a massa, em quilograma, e 𝑎 é a aceleração da gravidade, em metros por segundo ao quadrado. Por exemplo, a força peso atuante sobre o objeto de massa 25 g é 𝐹_𝑝 = 𝑚 . 𝑎 = 0,025 . 9,8 = 0,245 𝑁 .

Os dados coletados no experimento e valores das grandezas encontrados são anotados numa folha de registros.

Figura 04: Atividades da folha de registros

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Na segunda etapa, um questionário com dez questões baseado em Mattos, Rosa e Giraldo (2013) foi elaborado com o intuito de levar o estudante a relacionar os dados e as informações obtidas no experimento com as funções trigonométricas, especialmente, com a função cosseno e fazer a modelagem matemática.

Na questão 01, o valor médio da constante elástica 𝐾𝑒𝑙 da mola é solicitado e

espera-se que encontrem a média das razões entre as forças peso e os deslocamentos da mola que será o valor da constante 𝐾𝑒𝑙 com as informações da etapa anterior.

Os valores da constante elástica para cada um dos cinco objetos (𝐾₁, 𝐾₂, 𝐾₃, 𝐾₄𝑒 𝐾₅) são encontrados com a utilização da fórmula 𝐹 = 𝑘. 𝑥, em que 𝐹 é a força peso, em Newton, 𝑘 é a constante elástica, em Newton por metro, e 𝑥 é o deslocamento, em metros. Por exemplo, para encontrar 𝐾1 fazemos:

𝐹 = 𝑘₁ . 𝑥 → 𝑘₁ =𝐹_𝑥 = 0,245_0,01 = 24,5 N/m.

E o valor médio da constante elástica pode ser encontrado através da expressão: 𝐾𝑒𝑙= 𝐾1+ 𝐾2+𝐾₅3+𝐾4+ 𝐾5 .

Figura 05: Questionário - Questão 01

Fonte: Autora

Na questão 02, os valores da amplitude e do período T de oscilação do movimento harmônico simples devem ser encontrados, sendo os valores da massa de um objeto e da constante 𝐾_𝑒𝑙 da mola conhecidos. Espera-se a utilização da fórmula 𝑇 = 2𝜋√_𝑘𝑚

𝑒𝑙, a identificação da amplitude e a verificação de que o período T não

depende da amplitude. É proposta a utilização de um objeto com massa igual a 70 g e o deslocamento da mola de um centímetro da posição de equilíbrio para início do movimento periódico. Por exemplo, supondo um valor de 𝐾_𝑒𝑙 = 25,63 N/m, temos 𝑇 = 2𝜋√_𝑘𝑚

𝑒𝑙 = 2𝜋√

0,070

25,63 = 0,33 segundos.

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Na questão 03, a frequência deve ser encontrada e a relação entre o período T e a frequência pode ser utilizada para encontrar o valor desta ultima. Por exemplo, 𝑓 =1_𝑇=

1

0,33= 3,03 Hz.

Fonte: Autora

Nas questões 04 e 05, as tabelas precisam ser preenchidas considerando o movimento harmônico simples (MHS) e o movimento circular uniforme (MCU), ou seja, o MHS como projeção do MCU. No MHS, os valores do período e da amplitude encontrados anteriormente são utilizados e relacionados para preenchimento da primeira tabela e, no MCU, o valor do período deve ser utilizado relacionando-o com as posições angulares na segunda tabela.

Na questão 04, as relações entre o período T, em segundos, e os deslocamentos, em centímetros, são solicitadas. Espera-se a identificação da amplitude como as elongações máximas da mola até o ponto de equilíbrio: +1 (mola esticada), 0 (posição de equilíbrio), -1 (mola comprimida) e relação com o período T, por exemplo, 0 (tempo inicial), 0,0825 (𝑇₄), 0,165 (𝑇₂), 0,2475 (3𝑇₄) e 0,33 (T). No início do movimento, a mola está esticada 1 cm da posição de equilíbrio.

Fonte: Autora

No MCU, os deslocamentos são angulares e medidos através da grandeza angular 𝜑, em radianos, calculando-se a diferença entre a posição angular final e a posição angular inicial.

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Na questão 05, as relações entre as posições angulares 𝜑, em radianos, e o período T, em segundos, são pedidas. Espera-se os mesmos valores de T da questão anterior e a identificação das posições angulares, em um período completo de 2𝜋, nos períodos apresentados na tabela.

Por exemplo, no início do movimento periódico temos t = 0 e 𝜑₀= 0, decorridos

1 4 𝑇 , temos t = 𝑇 4 s e 𝜑 = 𝜋 2 , decorridos 1 2 𝑇 , temos t = 𝑇 2 s e 𝜑 = 𝜋 e assim sucessivamente.

Fonte: Autora

Com as informações das tabelas, a relação entre a elongação x, no movimento harmônico simples (MHS), e a posição angular 𝜑, no movimento circular uniforme (MCU), é solicitada na questão 06 através da sua representação no círculo trigonométrico. Espera-se a construção do círculo trigonométrico com os valores das elongações -1 (distância da mola à origem do eixo/ mola comprimida), 0 (origem do eixo e mola no ponto de equilíbrio) e 1 (distância da mola à origem do eixo/ mola esticada), no eixo horizontal e, no círculo, os valores das posições angulares 0, 𝜋 ₂ , 𝜋, 3𝜋₂ , 2𝜋 e a compreensão de que num período completo 2𝜋 temos os números reais 0,

𝜋 2 , 𝜋,

3𝜋

2 , 2𝜋 e as respectivas projeções no eixo horizontal 1, 0, -1, 0 e 1, por exemplo,

para o deslocamento angular 𝜋₂ rad ( 𝜋₂− 0) , temos o deslocamento linear de 1 cm (1-0) projetado no eixo horizontal.

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Fonte: Autora

A representação gráfica da função trigonométrica é solicitada na questão 07. Algumas hipóteses podem ser levantadas como, por exemplo, as funções seno, cosseno ou tangente. Espera-se a identificação da função cosseno através da visualização de que o movimento periódico e oscilatório representado no círculo trigonométrico tem, no início do movimento em que 𝑡0 = 0, a projeção no eixo horizontal (eixo x) igual a 1.

Sugere-se a relação entre as grandezas tempo t (s) e o deslocamento x(t) (cm).

Fonte: Autora

A questão 08 solicita a expressão algébrica que representa a função trigonométrica. Espera-se que o aluno encontre a expressão algébrica que representa a função cosseno ao utilizar a relação trigonométrica do cosseno no círculo trigonométrico, 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒_{ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎} , considerando a elongação x, no eixo horizontal, como a medida do cateto adjacente e a amplitude A (raio da circunferência) como a medida da hipotenusa. Ao encontrar a expressão 𝑥 = 𝐴𝑐𝑜𝑠𝜑, espera-se a substituição de 𝜑 pela expressão 𝜑 = 𝜑₀+ 𝜔𝑡 chegando em 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑₀+ 𝜔𝑡).

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Esta expressão representa de forma genérica o deslocamento da mola em função do tempo num sistema massa mola vertical.

Sugere-se uma breve explanação da relação trigonométrica do cosseno no círculo trigonométrico.

Figura 12: Relação trigonométrica do cosseno

Fonte: Autora

E, finalizando, a expressão algébrica que representa o fenômeno estudado deve ser encontrada na questão 09 e espera-se que sejam substituídos os valores da velocidade angular 𝜔 (que pode ser encontrado através da fórmula fornecida), 𝜑0 = 0 e

A = 1 cm em 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑₀+ 𝜔𝑡).

Fonte: Autora

cos 𝜑 =𝑥 𝐴

𝑥 = 𝐴 cos(𝜑₀+ 𝜔𝑡).

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Na questão 10, exemplos de três fenômenos periódicos que podem ser modelados pelas funções trigonométricas seno ou cosseno são solicitados e espera-se que o estudante pesquise livremente, encontre e explore situações reais que possam ser dadas como exemplo.

Fonte: Autora

Na terceira etapa, as representações gráficas da função trigonométrica modelada na questão 09 e da função trigonométrica básica cosseno devem ser feitas através do software GeoGebra para melhor interpretação e fixação dos conceitos trabalhados e as noções de período, amplitude e frequência encontradas nas questões 02 e 03 são exploradas. Espera-se que sejam identificados e comparados os períodos, amplitudes e frequências das funções.

A construção do sistema massa mola vertical foi feita pela docente de forma caseira. O suporte pode ser encontrado em lojas especializadas em máquinas de costura. Diversos tipos de molas também são encontrados nestes estabelecimentos. Os objetos cujas massas são medidas podem ser comprados em lojas de artigos para pesca.

Os estudantes são avaliados através de observação de sua participação nas atividades propostas, análise das folhas de registros preenchidas, dos questionários respondidos e das representações gráficas realizadas e analisadas. Após o encerramento, os estudantes realizam a avaliação da sequência didática através da coleta de opiniões.

Os materiais necessários para a aplicação da sequência didática são: um sistema massa-mola vertical com uma régua milimetrada, uma mola elástica, cinco objetos com massas diferentes, uma balança digital, uma folha para registro dos dados, um questionário (folha de respostas) e computador com software GeoGebra instalado.

Figura 16: Materiais utilizados

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Figura 17: Avaliação dos discentes – coleta de opiniões

Fonte: Autora

2.6 Conexão da proposta didática com o PCN

A proposta didática proporciona o desenvolvimento de habilidades e competências descritas nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN).

Outro tema que exemplifica a relação da aprendizagem de Matemática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigonometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações para enfatizar os aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. Especialmente para o indivíduo que não prosseguirá seus estudos nas carreiras ditas exatas, o que deve ser assegurado são as aplicações da Trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis, e na construção de modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Nesse sentido, um projeto envolvendo também a Física pode ser uma grande oportunidade de aprendizagem significativa. (BRASIL, p.44)

3 APLICAÇÃO E ANÁLISE DA AULA

INÉDITA

3.1 Aplicação da aula inédita

A sequência didática foi apresentada aos alunos de forma resumida na semana anterior à aplicação. Neste momento, os estudantes informaram que os conteúdos de

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física envolvidos no experimento não foram vistos por boa parte deles nos anos anteriores ou não se lembravam. Por este motivo e para relacionar os conceitos de física ao experimento que seria trabalhado, uma aula expositiva foi elaborada, baseada em Guimarães, Piqueira e Carron (2014), e aplicada antes do início da sequência didática. A aula expositiva sobre os conceitos físicos envolvidos no experimento ocorreu antes da aplicação da sequência didática, com duração de cinquenta minutos, e possibilitou introduzir brevemente conceitos e noções gerais sobre movimento harmônico simples (MHS), a lei de Hooke, período, frequência e movimento circular uniforme (MCU).

Figura 18: Resumo aula de física

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Figura 19: Resumo aula de física

Fonte: Autora

Nas aulas que se seguiram, iniciamos a aplicação da sequência didática.

Aplicação da Etapa 01

Inicialmente, o problema foi colocado para os estudantes e estes realizaram o experimento em duplas e registraram os dados coletados na folha de registros. No começo do experimento, foram apresentadas três molas com constantes elásticas diferentes possibilitando ao estudante verificar as oscilações das molas com cada uma das massas. Após escolher uma mola para a realização do experimento, este foi feito e os estudantes anotaram os dados coletados na folha de registros. As oscilações foram vistas para cada uma das massas medidas. Não houve dificuldade para medir as massas, em gramas, e medir os deslocamentos ocorridos, em centímetros, nem tampouco para encontrar os valores das grandezas solicitadas. O material mostrou-se adequado para a realização do experimento.

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Figura 20: Realização do experimento pelas alunas e registros

Aplicação da Etapa 02

Os alunos responderam o questionário em duplas, com o auxílio da folha de registros, fizeram os cálculos necessários, preencheram as tabelas e construíram o gráfico relacionando o experimento à função trigonométrica cosseno, modelando matematicamente o fenômeno ondulatório. A professora auxiliou os estudantes em todo o processo, tirando as dúvidas e esclarecendo as questões nas quais apresentavam mais dificuldades.

Figura 21: Aluno realizando experimento. Figura 22: Aluna fazendo medições

Fonte: Autora _{Fonte: Autora}

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Nas questões 01, 02 e 03, os estudantes não demonstraram dificuldade para a realização dos cálculos e utilizaram a calculadora do celular para agilizá-los. As conversões das unidades necessárias para encontrar a constante elástica foram feitas sem percalços e foi relativamente fácil encontrar o período e frequência do movimento periódico com as fórmulas apresentadas.

Nas questões 04 e 05, os estudantes não conseguiram fazer sozinhos as relações entre as grandezas envolvidas no movimento periódico, ou seja, entre o tempo (s) e o deslocamento da mola (cm) na questão 04 e entre o tempo(s) e as posições angulares (𝜑) na questão 05 e consequentemente preencher as tabelas. A partir deste instante, foi necessária a intervenção da professora em alguns momentos através da leitura e interpretação dos enunciados, retomada de conteúdos, perguntas direcionadas, explicações dos significados de termos ou fórmulas contidas nas questões, relação entre as informações dos enunciados e o que estava sendo pedido. Após o início da intervenção, os alunos preencheram as tabelas. Na questão 06, os estudantes não relacionaram, à primeira vista, a elongação, no movimento harmônico simples (MHS), com a posição angular, no movimento circular uniforme (MCU), no círculo trigonométrico. Com o auxílio da professora e após explicações mais detalhadas, foi feita a construção do círculo trigonométrico e a relação entre as grandezas e mostrado que os pontos que representam as posições angulares no círculo são projetados no eixo horizontal e representam as posições da mola no MHS.

A questão 07, que solicitava a construção do gráfico da função trigonométrica, foi facilmente compreendida e resolvida pelos estudantes através da elaboração coletiva de uma tabela com as grandezas envolvidas na lousa. Identificaram que tratava da função cosseno, uma vez que estavam cientes de que o movimento era periódico e oscilatório e no início do movimento 𝑡0 = 0 e a projeção no eixo x era igual a 1. Foi

sugerido que relacionassem as grandezas tempo (s) e deslocamento (cm).

Na questão 08, com a leitura e interpretação da questão,retomada de conteúdos, explanação na lousa pela professora e perguntas direcionadas os estudantes encontraram a expressão algébrica encontrada de forma coletiva e escrita no quadro. E a partir da expressão algébrica 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑₀+ 𝜔𝑡), encontraram a expressão que modela o fenômeno estudado, 𝑥(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡), com valor de 𝜔. Ao encontrar a função cosseno que modela o movimento do vai e vem da mola, os alunos fizeram os cálculos e

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“testaram” a lei da função com os valores do tempo t encontrados, em segundos, e verificaram que a função cosseno modelava matematicamente o movimento periódico estudado. Para a questão 10, poderiam utilizar os livros didáticos que trazem exemplos (IEZZI et al, 2016; SMOLE e DINIZ, 2010; GIOVANNI e BONJORNO, 2005) e foram disponibilizados para consulta ou acessar sites na internet. Na sala de informática, os estudantes fizeram a pesquisa sobre movimentos periódicos que poderiam ser modelados por funções trigonométricas.

Aplicação da Etapa 03

Na sala de informática, os estudantes fizeram as representações gráficas, no mesmo plano cartesiano, da função modelada na questão 09, 𝑥(𝑡) = cos (𝜔𝑡), com o valor encontrado para 𝜔, e de 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 no GeoGebra. O período, amplitude e frequência encontrados nas questões 02 e 03 foram visualizados na representação gráfica da função modelada e comparados com o período, frequência e amplitude da função trigonométrica básica cosseno. Não demonstraram dificuldade com o manuseio, provavelmente, pelo fato do software ter sido apresentado a eles em atividades anteriores.

Fonte: Autora

Figura 24: Construção dos gráficos no GeoGebra Figura 23: Construção dos gráficos no GeoGebra

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Avaliação da sequência didática

Após o término da sequência didática os alunos fizeram a avaliação das aulas, destacando aspectos positivos e negativos e novas sugestões para futuras aplicações foram solicitadas.

Figura 25: Avaliação dos discentes

Fonte: Autora

Os estudantes escreveram que gostaram da aplicação da sequência didática e disseram que gostariam de fazer outros experimentos nos próximos bimestres. Fizeram alguns apontamentos com relação às fórmulas de física, o tempo para resolução, ao nível de dificuldade e à contextualização do conhecimento matemático.

A sequência didática proporcionou aprendizagem mais significativa das principais características das funções trigonométricas, em especial, da função cosseno e sua representação gráfica através da construção do modelo.

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3.2 Análise da aula inédita

3.2.1 Análise quantitativa

O planejamento da sequência didática foi realizado com base no conhecimento das dificuldades dos alunos no tema escolhido em experiências anteriores. A escolha da modelagem matemática como estratégia de aprendizagem foi feita com o intuito de relacionar o conteúdo escolhido com situações reais e proporcionar uma aprendizagem mais significativa. Conforme veremos nos próximos parágrafos, os objetivos da sequência didática foram parcialmente alcançados, uma vez que era esperado que os estudantes encontrassem as soluções com o mínimo de intervenção da professora.

Análise da Etapa 1

Na folha de registros, após a realização do experimento, deveriam ser registradas as medições das massas e posições iniciais e finais da mola para cada uma das massas anotadas na folha de registros. Em seguida, os cálculos dos deslocamentos, em centímetros, e da força peso, em Newton, atuante em cada uma delas. Nenhum aluno apresentou dificuldade e para a transformação das unidades foram necessárias breves explicações da professora. Na Figura 26, a estudante preenche os espaços destinados para a Força com os valores das constantes, porém encontra corretamente os valores das grandezas (ver Figura 28).

Figura 26: Registro dos dados por uma aluna

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Figura 27. Alunos cumpriram as atividades iniciais do trabalho.

Fonte: Autora

Análise da Etapa 2

Na resolução do questionário, a questão 01 solicitava a constante média elástica da mola. Esperava-se que os estudantes encontrassem a média dos valores das constantes elásticas 𝑘1, 𝐾2, 𝐾3, 𝑘4 𝑒 𝑘5, sendo 𝐾 = _𝑚𝐹, que seria o valor da constante

média elástica 𝐾_𝑒𝑙. Nenhum aluno encontrou dificuldade.

Figura 28: Questão 1 – Cálculos realizados por uma estudante

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Figura 29: Questão 1 – Cálculos realizados por um estudante

Fonte: Autora

Figura 30: Questão 2 - Valor da constante média elástica encontrada

Fonte: Autora

Figura 31. Desempenho ao encontrar a constante K da mola.

Fonte: Autora

A questão 02 solicitava o valor do período T do movimento harmônico simples e amplitude (A). Esperava-se que fosse encontrado o valor de T através da fórmula 𝑇 =

2𝜋√_𝑘𝑚

𝑒𝑙 e A = 1 cm, uma vez que foi escolhido um objeto com massa igual a 70 g e para

o movimento de oscilação da mola houve o deslocamento de 1cm da posição de equilíbrio. Os estudantes não apresentaram dificuldade.

0 20 40 60 80 100 120 Responderam satisfatoriamente Não responderam Desempenho na questão 01 Quantidade Porcentagem

(35)

Figura 32: Questão 2 - Valor do período e amplitude encontrados

Fonte: Autora

Figura 33: Questão 2 - Valor do período encontrado

Fonte: Autora

Figura 34. Desempenho ao encontrar o período e a amplitude do MHS.

Fonte: Autora

A questão 03 fornecia a fórmula para encontrar a frequência. Esperava-se o cálculo com a utilização do valor do período encontrado na questão anterior. A totalidade dos estudantes achou o valor da frequência.

Figura 35: Questão 2 - Valor do período e amplitude encontrados

Fonte: Autora 0 20 40 60 80 100 120 Responderam satisfatoriamente Não responderam Desempenho na questão 02 Quantidade Porcentagem

(36)

Figura 36. Desempenho ao encontrar a frequência do movimento periódico.

Fonte: Autora

A questão 04 solicitava o preenchimento da tabela com os valores dos deslocamentos da mola, em centímetros, e período, em segundos. Os valores esperados para as elongações eram 1, 0, -1, 0 e 1 e os valores correspondentes dos períodos, em segundos, a cada 1

4 de T. Apenas uma aluna tentou resolver e não obteve êxito em sua

resolução. Os demais estudantes disseram que não sabiam fazer. Houve intervenção da professora, explicação e resolução coletiva.

Figura 37: Questão 4 - Preenchimento da tabela correto

Fonte: Autora

Figura 38: Questão 4 - Preenchimento da tabela incorreto

(37)

Na Figura 38, o preenchimento da tabela foi considerado incorreto. Nos campos destinados para os valores das elongações foram colocados os valores dos períodos e os campos destinados para os valores dos períodos foram deixados em branco.

Figura 39. Desempenho ao encontrar e relacionar os valores dos deslocamentos e período no MHS.

Fonte: Autora

A questão 05 solicitava o preenchimento de uma tabela com os valores das posições angulares, em radianos, e período, em segundos. Esperava-se os valores das posições angulares 0,𝜋₂, 𝜋,3𝜋₂ 𝑒 2𝜋 e os valores correspondentes dos períodos, em segundos, a cada 1 ₄ de T. Os alunos disseram que não sabiam resolver a questão. Houve intervenção, auxílio da professora e resolução coletiva.

Fonte: Autora

Fonte: Autora 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Resolução coletiva e satisfatória Resolução insatisfatória Desempenho na questão 04 Quantidade Porcentagem

(38)

Figura 42: Questão 5 - Preenchimento da tabela incorreto

Fonte: Autora

Na Figura 42, o preenchimento da tabela está incorreto. Os campos destinados para os valores dos períodos foram deixados em branco e no último campo destinado ao valor da posição angular para um período completo 2𝜋 foi colocado o valor 0.

Figura 43. Desempenho ao encontrar e relacionar as posições angulares e o período do MCU.

Fonte: Autora

A questão 06 solicitava a relação entre a elongação x, num determinado instante t, e a posição angular 𝜑. Esperava-se a construção do círculo trigonométrico com os valores das elongações -1, 0 e 1, no eixo horizontal e, no círculo, os valores das posições angulares 0, 𝜋 ₂ , 𝜋, 3𝜋₂ , 2𝜋 e a compreensão de que num período completo 2𝜋 temos os números reais 0, 𝜋 ₂ , 𝜋, 3𝜋₂ , 2𝜋 e as respectivas projeções no eixo horizontal 1, 0, -1, 0 e 1. Os estudantes disseram que não entenderam o que estava sendo pedido na questão e não tentaram resolvê-la. A professora fez a leitura e interpretação do enunciando e auxiliou os alunos na resolução coletiva.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Resolução coletiva e satisfatória Resolução insatisfatória Desempenho na questão 05 Quantidade Porcentagem

(39)

Figura 44: Construção do círculo trigonométrico por uma aluna

Fonte: Autora

Figura 45. Desempenho ao relacionar a elongação e posição angular e construção do círculo trigonométrico.

Fonte: Autora

A questão 07 pedia a construção do gráfico da função trigonométrica correspondente. Esperava-se que os alunos construíssem o gráfico utilizando os valores do tempo, em segundos, e das elongações, em centímetros. Todos fizeram facilmente após a elaboração coletiva da tabela com os valores das grandezas envolvidas.

Figura 46: Construção do gráfico

Fonte: Autora 0 20 40 60 80 100 120 Resolução coletiva e satisfatória Resolução insatisfatória Desempenho na questão 06 Quantidade Porcentagem

(40)

Figura 47. Desempenho na representação gráfica da função trigonométrica.

Fonte: Autora

A questão 08 pedia a expressão algébrica que representa a função trigonométrica. A resposta esperada era 𝑥 = 𝐴. cos(𝜑0+ 𝜔𝑡), sendo A a amplitude. Os

estudantes disseram que não compreenderam o enunciado e que não sabiam resolver. A professora fez a leitura e interpretação do enunciado com explicações e foi feita resolução coletiva da questão.

Figura 48: Resolução coletiva

Fonte: Autora

(41)

Figura 50. Desempenho ao encontrar e escrever a expressão algébrica.

Fonte: Autora

A questão 09 solicitava a expressão algébrica que descreve o fenômeno estudado. Esperava-se que fosse encontrado o valor da velocidade angular 𝜔, com a fórmula fornecida e, com 𝜑0 = 0 e A = 1, alcançasse a expressão 𝑥(𝑡) = cos (𝜔𝑡), com

a substituição do valor encontrado para 𝜔. A questão não foi respondida espontaneamente por nenhum aluno e houve a intervenção, explicação da professora e resolução coletiva. Respostas encontradas: 𝑥(𝑡) = cos (19,14 𝑡), 𝑥(𝑡) = cos (19,24 𝑡) e 𝑥(𝑡) = cos (19,12 𝑡). As resoluções que apresentavam apenas o cálculo do valor de 𝜔, sem as devidas substituições na expressão 𝑥 = 𝐴. cos(𝜑₀+ 𝜔𝑡) foram consideradas insatisfatórias.

Fonte: Autora

Após encontrar a função trigonométrica que modelava o fenômeno periódico, os estudantes substituíram os valores de t em segundos para verificação.

Figura 52: Questão 9 – Testando a expressão algébrica encontrada

Fonte: Autora 0 20 40 60 80 100 120 Resolução coletiva e satisfatória Resolução insatisfatória Desempenho na questão 08 Quantidade Porcentagem

(42)

Figura 53. Desempenho ao encontrar e escrever a expressão algébrica do fenômeno ondulatório estudado.

Fonte: Autora

A questão 10 solicitava três exemplos de fenômenos ondulatórios que poderiam ser modelados pelas funções trigonométricas. Esperava-se que pesquisassem livremente sobre situações reais que poderiam ser dadas como exemplos. A questão foi respondida pela totalidade dos estudantes após pesquisa na internet.

Figura 54: Questão 10 – Exemplos de outros fenômenos ondulatórios

Fonte: Autora

Figura 55. Desempenho ao encontrar exemplos de fenômenos ondulatórios que podem ser modelados por funções trigonométricas seno e cosseno.

Fonte: Autora 0 10 20 30 40 50 60 70 Resolução coletiva e satisfatória Resolução insatisfatória Desempenho na questão 09 Quantidade Porcentagem 0 20 40 60 80 100 120 Responderam satisfatoriamente Não responderam Desempenho na questão 10 Quantidade Porcentagem

(43)

Análise da Etapa 3

Na sala de informática, a professora solicitou que construíssem, no GeoGebra, o gráfico da função modelada na questão 09 e o gráfico de 𝑓(𝑥) = cos 𝑥, no mesmo plano cartesiano. Solicitou, ainda, que visualizassem o período, a frequência e amplitude, encontrados nas questões 02 e 03, na representação gráfica da função encontrada e comparassem com o período, frequência e amplitude da função trigonométrica básica cosseno. Esperava-se que os estudantes identificassem e comparassem os períodos, as frequências e amplitudes das funções. A professora solicitou que explicassem oralmente o que observaram. A totalidade dos alunos realizou as atividades de forma satisfatória.

Figura 56. Atividades no software GeoGebra

Fonte: Autora

A análise quantitativa das três etapas mostra que os objetivos da proposta didática foram parcialmente alcançados. A necessidade da intervenção da docente em algumas questões do questionário da segunda etapa, em especial, na questão 08 que solicitava a expressão algébrica que representa a função trigonométrica ocorreu de forma mais frequente que o planejado. Apesar deste fato, podemos dizer que houve melhor compreensão das principais características das funções trigonométricas e de suas representações gráficas, uma vez que o próprio processo de resolução das questões, ainda que coletivamente, proporciona esta compreensão.

As análises quantitativas das etapas foram resumidas nas tabelas 1, 2 e 3 discriminando a quantidade de alunos que atingiu os resultados esperados, que atingiu parcialmente ou não atingiu os resultados esperados. Nas questões em que houve a intervenção da docente e resolução coletiva correta, os resultados foram considerados parcialmente atingidos. Consideramos como intervenção a leitura e interpretação dos enunciados com explicações dos significados de termos ou fórmulas, a retomada de

0 20 40 60 80 100 120

Realizaram satisfatoriamente Não realizaram

Desempenho na etapa 03

Quantidade Porcentagem

(44)

conteúdos e conceitos relacionando-os com as informações da questão, os esclarecimentos sobre o que estava sendo pedido no problema, a indicação das relações entre as grandezas envolvidas e as orientações mais específicas para encontrar as respostas.

Tabela 1 – Resultados da etapa 1

Folha de registros Resultados atingidos

Resultados parcialmente atingidos Resultados não atingidos Queatão 1 10 0 0 Fonte: Autora

Tabela 2 – Resultados da etapa 2

Questionário Resultados atingidos

Resultados parcialmente atingidos Resultados não atingidos Questão 01 10 0 0 Questão 02 10 0 0 Questão 03 10 0 0 Questão 04 0 8 2 Questão 05 0 8 2 Questão 06 0 10 0 Questão 07 10 0 0 Questão 08 0 10 0 Questão 09 0 6 4 Questão 10 10 0 0 Fonte: Autora

Tabela 3 – Resultados da etapa 3 Atividades no GeoGebra Resultados atingidos Resultados

parcialmente atingidos Resultados não atingidos Atividade 1 10 0 0 Fonte: Autora

3.2.2 Análise qualitativa

Os estudantes, ao final da aplicação da sequência, escreveram suas opiniões sobre a sequência didática e foram observados com relação às suas reações, impressões, interesses e falas. Os relatos estão disponíveis na Figura 25.

Os alunos gostaram da sequência didática e escreveram que “foi legal”, que “podia ter mais experimentos”, que “foi legal, poderia ter mais só que ser mais fácil”.

(45)

Com relação às dificuldades encontradas, houve relato que “o tempo foi curto para raciocinar as fórmulas de física” que “só foi muito cansativo, havia muitas fórmulas de física que não dava pra entender”. Porém, um estudante escreveu “não vi dificuldade [na resolução], pelo menos não uma muito complexa”.

Os estudantes acharam interessante a sequência pelo fato de proporcionar contextualização dos conteúdos vistos em sala afirmando que foi bom “o sistema de aulas seguidas na prática para aprender o que tinha trabalhado em sala. Sendo assim, foi bom para ver o que falamos.”, “Vimos o movimento massa mola na vida real e assim relacionar [sic] com cosseno”. E relataram de forma unânime que foi a primeira vez que participaram de um experimento numa aula de matemática.

Trata-se de uma sala com número reduzido de alunos que, com certa frequência, tem demonstrado apatia e desinteresse pelos estudos. Durante a aplicação da sequência, cerca de quatro estudantes pareciam bem dispersos e desatentos sem indicar muito interesse nas atividades. Uma estudante que tem pouco domínio das quatro operações mostrava-se em alguns momentos desinteressada. Os demais mantiveram interesse e atenção nas atividades desempenhadas.

3.2.3 Sugestões de Modificações

As análises sobre a sequência didática permitiram refletir e elaborar algumas modificações que são sugeridas com o intuito de proporcionar melhor aproveitamento dos alunos.

Na questão 06 da segunda etapa, sugere-se constar mais pontos no círculo trigonométrico. Este acréscimo poderá impedir o estudante de utilizar uma régua na construção do gráfico, por exemplo, e levá-lo a associar o gráfico erroneamente a uma função modular, na questão 07.

A sequência didática também poderá ser trabalhada de forma interdisciplinar com um professor de física que terá a oportunidade de auxiliar e explorar os principais conceitos de física envolvidos.

Sugere-se também a alteração da duração da sequência didática para sete (07) aulas distribuídas da seguinte forma: duas aulas para a primeira etapa, quatro aulas para a segunda etapa e uma aula para a terceira etapa.

(46)

4 CONCLUSÃO

Neste capítulo, faremos um breve resumo da pesquisa e da análise da aula inédita, daremos sugestões de novas aulas e apresentaremos uma conclusão final.

O trabalho foi desenvolvido tendo como ponto de partida as dificuldades encontradas pelos estudantes na compreensão do tema funções trigonométricas. Buscamos formas alternativas e metodologias diferentes que pudessem contribuir para a solução deste problema didático. Planejamos e aplicamos uma sequência didática que tinha como objetivo promover maior compreensão sobre o assunto, despertar interesse e motivação do estudante para as aulas de matemática com a utilização da modelagem matemática como estratégia pedagógica. A intervenção da docente deveria ser mínima com o propósito de favorecer a autonomia dos estudantes.

A análise da aplicação da sequência didática mostra que os estudantes, de forma geral, apresentaram bom desempenho. A intervenção da docente ocorreu de forma mais frequente que o planejado. Os alunos tiveram dificuldade na leitura e interpretação de alguns enunciados, na relação entre as grandezas físicas e entre as informações contidas nas questões. Demonstraram facilidade na realização do experimento, na elaboração dos cálculos, na construção dos gráficos das funções e unanimemente afirmaram que gostariam de ter mais aulas com experimentos.

A elaboração, aplicação e análise da sequência didática trouxeram novas possibilidades para o ensino da matemática e mostraram ser um caminho viável para trabalhar os conteúdos matemáticos de forma mais contextualizada. Proporcionaram a reflexão sobre a possibilidade de utilizar aplicações matemáticas em aulas futuras com os temas sobre funções exponenciais e logarítmicas para despertar a motivação e interesse dos alunos para a área das ciências exatas.

A proposta didática trouxe bons resultados e será utilizada em turmas subsequentes. A metodologia empregada apesar de inédita para os estudantes possibilitou a abordagem dos conteúdos matemáticos relacionando-os às aplicações, gerando mais interesse e motivação para as aulas de matemática.

A sequência didática juntamente com as folhas de atividades (folha de registro e questionário) ficará disponível para consulta de colegas professores que poderão utilizá-las ou modificá-utilizá-las conforme as suas necessidades sem qualquer ônus.

(47)

5 REFERÊNCIAS E BIBLIOGRAFIA

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS (ENSINO MÉDIO). Disponível em:<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf>. Acesso em: 21/06/2019. GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática completa. 2ª ed. renov. São Paulo: FTD, 2005.

GUIMARÃES, P; PIQUEIRA, J.R.; CARRON, W. Física 1. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2014.

GUIMARÃES, P; PIQUEIRA, J.R.; CARRON, W. Física 2. 1ª ed. São Paulo: Ática, 2014.

IEZZI, Gelson et al. Matemática: ciência e aplicações, Volume 2: ensino médio. 9ed. São Paulo : Saraiva, 2016.

MATTOS, F. R. P.; ROSA, M. B.; GIRALDO, V.A.; Matem@tica na Pr@atica. Conteúdo e Prática: Olhar conceitual na sala de aula: Módulo II. Cuiabá/MT: Central de Texto, 2013.

SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo do Estado de São Paulo: Matemática e suas tecnologias. 1. ed. atual. São Paulo: SE, 2011. Disponível em:<

https://www.educacao.sp.gov.br/a2sitebox/arquivos/documentos/238.pdf.> Acesso em: 15/04/2019.

SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. de S. V. Matemática : ensino médio : volume 2. 6 ed. São Paulo : Saraiva, 2010.

WIEMAN, C.. Projeto PhET Interactive Simulations. 2002 Disponível em <https://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/math> Acesso em: 03/08/2019.

(48)

6 ANEXO

A folha de registro dos dados e o questionário - folha de respostas utilizados na sequência didática são anexados ao trabalho para eventuais consultas ou reformulações.

(49)

Folha de Registro dos Dados

Registro dos Dados

1) Na tabela abaixo, com a utilização da balança digital, anote os valores das massas de cada bola. Anote a posição inicial da mola com o auxílio da régua milimetrada e, em seguida, posicione devidamente cada uma delas no sistema massa mola vertical e anote as posições finais, e calcule os deslocamentos, em centímetros, e a força peso, em Newton (N) atuante em cada uma delas.

Bolas Massa (g) Força (N) Posição inicial (cm) Posição final (cm) Deslocamento (cm) 01 02 03 04 05

(50)

Questionário – Folha de respostas

Questionário - Folha de Respostas

1) Após o registro dos dados acima, encontre um valor médio para a constante k da mola.

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 2) Considerando uma bola de massa conhecida, encontre o período T desse movimento harmônico simples (MHS) e a amplitude (A).

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 3) Sabendo que a frequência é o número de oscilações que o corpo realiza por unidade de tempo, encontre o seu valor.

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 4) Considerando o Movimento Harmônico Simples (MHS), preencha a tabela com os valores dos deslocamentos da mola, em centímetros, e período, em segundos.

Movimento Harmônico Simples (MHS)

Período T (s)

0 T

Elongações (cm)

(51)

5) Considerando o Movimento Circular Uniforme (MCU), preencha a tabela com os valores das posições angulares da bola, em radianos, e período, em segundos.

Movimento Circular Uniforme (MCU)

Período T (s)

0 T

Posição angular φ (rad)

6) Relacione a elongação x, posição da bola num determinado instante t, no movimento harmônico simples (MHS), com a posição angular da bola φ num determinado instante t, no movimento circular uniforme (MCU), e construa um círculo trigonométrico que represente esta relação.

(52)

8) Com base nas relações feitas no círculo trigonométrico e sabendo que φ = φ0 + ωt,

em que φ = posição angular, φ0 = posição angular inicial, ω = velocidade angular e t =

tempo, escreva a expressão algébrica que representa a função trigonométrica.

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 9) Encontre a expressão algébrica ou lei da função que descreve o fenômeno ondulatório estudado.

ω = frequência angular ou velocidade angular T = período f = frequência ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 10) Cite pelo menos três exemplos de fenômenos ondulatórios que podem ser modelados por funções trigonométricas seno ou cosseno.

______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________