INCLUINDO PROBLEMAS COM SUPERriCIES LlVR S USANDO MEr

Mecanica Computacional Vol 20. pp. 30 - 37 - -C6mpilado poi FernaIido G. Flores

-C6A~D.JIltl~~dj)~~

DE FLUIDOS INCOMPRESSMIS

INCLUINDO PROBLEMAS COM

SUPERriCIES

LlVR£S

USANDO

MEr

PaaIct Roberto de freit. Teixeira

F~ Uniwrsidade Foderaldo Rio Gnmde. DEpto de Materiais e ~ . 96203~·· Rio Grande. RS. Brasil

e-mail:

cbgcprft@epd.fpq.br

Armando MipeI Awrueh

Universidade Federal do Rio Gnmde do SuI. Curso de P6II-Gracfua9io em Engenbaria Civil 90035-190· Porto Alegre. RS. BIISil

&-mail: !Y!.!M.h@edpf ••

f.m.br

Neste trabalho apresenta-ile um aJgoritmo de simulaQio numerica de esooemeotos de fluidos incompressiveis utilizando 0metodo de el8lllllltos finitos. As ~ difereociais govemaotes do fluido sio discretizadas DO ~o e no ~ por IUD metodo semi.implicito de Taylor-Galerkin de dois passos usando elementos tetraedricos lineans. A eq~ de Poisson para a pressio e solucionada implicitamente pelo metodo dosgradieates cmjugados. Adota""88uma clescri9io arbibiria Jagnmgeana euleriana (ALE), sendo que 0movimento cia malba esti baseado em um esquema de suaviza9io das .velocidades. Alguns exemplos de vali~ sio apresentados, incluindo 0 problema cIassico de -movimento de uma onda solit8ria.

0

c6digo

esta

escrito na linguagem FORTRAN e e ~migdo para

obter-se as vantageos do processamento vetorial existeotes nos atuais supercomputadores.

A numerical algorithm to simulate incompressible flows employing the finite element method is presented in this work. Space and time discretization of the complete set of di1ferential equations are -carried out using a semi-implicit two-step Taylor-Gaierkin scheme and linear tetrahedJal element. The Poisson equation for pressure is solved by the cmjugated gradient method. An Arbitraty Lagrangean Eulerian (ALE) description is adopted, in which the mesh movement is based ClIla velocity smoothing scheme. Some numerical examples are presented, including the classic problem of movement of a solitary wave. The code is written in FORBAN language and is optimised in ord« to take advantages of vectorial processors existing in modem supercomputers.

A an8lise de escoamentos viscosos incompressiveis atraves do MBF £oj introduzida por Oden e Welford [1] atraves dos mcltodos mistos, 08quais utiliram difereotes fun90es de ~ para as componentes de velocidade e para a pressio. com0(1)jetivo de evitar modos eflIlUrios de pressiQ. Os dtamados mcltodos fracionados foram iotroduzidos par Chorin [2] e ap6II foram apresentados par diversos outros autores tais como Donea et 01. [3] e Kim e Main [4]. Nesses metodos, primeiramente caIcula-se 0campo de velocidades com a equa(:io de movimento. omitindo os gradientes de pressio. Calcula-se a pressio attllves de uma equa(:io de Poisson. usando as componentes de velocidade aproximadas obtidas do passo anterior e. finalmente. 0campo de velocidades e corrigido usando a pressio obtida pela ~o de Poisson. Os. esquemas que analisam os -escoamentos viscosos incompressiveis desta .fbrnJa. permitem 0 UIOde ~ de interpo~ de mesma ordem para a pressio e para as componeotes de velociclade. Esses mitodos furam empregados por muitos autores tais como Gresho et 01. [5], ReI! e Utnes [6] e Kovacs e Kawahara [7], entre outros.

OeOdigo do presente tmbaJho pennite a ~ de esooemeotos de fluidos incompressiveis utilizando um metodo ftacionado de Taylor-Galerkin de dois passos para discretizar no tempo e no ~ as equa90es de Navier-stokes [8]. Adota-ile um elemeoto tlIl:IMdrico linear. 0 qual tem a vantagemde 58adaptar aos dominios de geometrias cooiplexas e

e

um elemeoto de Otima efici&cia

computacicaal. Vma fbrmula9io arbitdria ••••••• euleriaDa (ALE)

e

utilizada para permitir a soIu\'lIode problemas que envolvem grandes IDOYimeatoa reIatiYosenbe cmpos e superficies.

o MtroDo JI1lAOONADO DE TA YLOR-GALUKIN DE BOIS PASSOS

As equa95es flllldament.eisque govemam0 tlIIC08JDl!IJtO dos fluidos sio as eq~ de Navier-Stokes

00IIIp08ta8peIas equ~ cia c:ontinuidade.da quMtidede de movimento e dB energia. upressas. na ~ arbitniria Jagrageaoa eulerilma (ALE). da forma:

q, =1..

4J

=_tu,

(l c2(l

it;

cade

'r,

=

Jl(::

+ ::

)+l::

6,

sio as ~ do tensor desviador.

Jl

e

l

sio as visoosida'des

cinemitK:a de cisaJbamento e wIumetrica. respec:tivamtlllte. ~

e

0 delta de Kroenecker. Vi

=

PVI sio as variawisdecampo

ef,

=Vj(PVi)=VJU,.

Nas Eq. (l)a(3). V,

eo

wtorde veIocidade dofluido. Wj

e

0wtor de velocidade da maIba de elemeotos finites. c

e

a ~dade do som. pea pnlSlio term.odiDimica.

po

a maua eIpeCifica do fluido. Tea t.eq)er8t.UIa.

e

= Cv Tea energia intema especl6ca. Cv 00calor especifico a wlume ooostante.ke a condutividade temuca e g;

e

a acel~ cia gnlVidade.As Eq. (1) a (3).lICIIIIM:idas das ccmdi¢es de CQDtOmo e iniciais, deftnem unicamente 0 problema a •. solucicnado. Em problemas de escoeDJeDtosde tluicb incompressiveis a ~ cia energia. Eq. (3). pode see soluciooada de forma independente, ap6s 0 campo de velocidades lei' estabelec:ido.

~ DOtempo eD8 eIp8fO du equ~ IOftI'DUUt

A ~ no dominio do tempo • ~ atraw. de uma expansio em sene de Taylor das variaveis

u,.

Primeiramente, determina•• as wriaYeis U, no inatantetMtl2 ou

n+

112da seguinte forma [8]:

onde, a variavel

U;112

Dio consid«a 0 tenno de ~ de preBSio /!p =prl+l_ p". A ~

no tempo da ~ da cootiDuidade, Eq. (1). pennite 0 c8lculo de /!p, resuJtando na seguinte expr.uo:

1

,OU---

112 At iJ

fMp]

!1p=-/!p =- -,--- Q= 1,2,3)

c2 (k, 4 0%1 (k,

As variaveis de campo em

n+

112, conigidas com0termo de ~ de pressio. sio expressas da forma:

·ur

m

= u~t/2-~~

(1=1.2.3)

(6)

• 4 &,

o

passo seguinto c:cnailte em determinar as vari&wis lit DOiDItante t+M au n+ 1 da seguinte maneira:

url=U7+Mour"2

=U7- J.

or;I12 _

Orr

l12+ lJpa+112

_wfJl2OUrI/2).

(1=1,2.3)

~

~l~

~

~

~

Na ~ espaciaJ. aplicHe a tecniea padrio de GaIerkin. utilizando para as varmwis no instante de tempo t+M2 OIl n+1/2 uma ~o de intefpola~ cmstante no elemento

p.

e para as variaveis em t e t+M OIln e n+l, respec::tivamente, uma fun~ de inteIpoJa9io linear N. ApJicando este procedimento nas Eq. (4) a (7), tem-se [8):

onele as variawis com barra. superior que estio nos instantes n e n+1 npresemam wares nodais, enquanto que aquelas que estio no instante n+ 1/2 representant valores c:onstantes. no elemento. As matrizes e vetores que envolvem as Eq. (8) a (11) do resu1taDtes das integrais de volume e de superficie obtidas peIa ap~ da tkaica padrio de OOedDn [8]. e queWIlldada por:

n'!c'"IIJ

=-

f.

...rP

an

••~ Jri"-1I.rE E

A ~ da CXlDtinnidade,Eq. (9),

e

soluciooada pelo metodo iterativo dos gradieotes oonjugados [9] utilizando-se um ~dicioname:nto diagooal. 0 tneIIIlOprocedimento de ~ teq)oraI e espacial apresentado Ii utifuado na ~ da eoergia intema, Eq. (3) ..

A lei de movimeato da malha

No preseme trabalho, as velocid8des no interior do dominio do suavizadas attaves de ~ que ponderam a intlu&tcia da veloeidade de c:ada no pertencente as superficies de eootorno. A atlia1i~ da velocidade da maIba, nos pontos ido interior do dominio, _ baseada na velocidade da maIba DOS

pontosj, pertencentes as superficies de contomo da seguiDte fbnna [8]:

IV LOiiwi i j=1 w=

••

La"

_j=1

oode

ns

e

0mimero total de pootos pertenc:elltes

as

superficies e

a"

do 01ooeficieotes de influencia entre01pontos no interior do clominio e os de superficio. dados peJa seguinte expressio:

1

alj=-4

sendo

t4

a dildncia entre os poatoa i ej. Na realidade. OJrepresema o peso que cada ponto j da superficie tem sobre 0valor da velocidade da maIba nos pontoaido interior do dominio.

o

cOdigo do presente trabaIho utiJiza variaveis adimensiooais. definidas em ~ de L..,e Vrq que do 0comprimeato e a velocidade de refer&cias, respectivameote e de Trqque

e

a temperatura de reftrincia. Este exemplQ coosiste no escoameoto com Re=100 em tomo de uma esfera de diimetro adimensional igual a 1.0. As COIq)OJ1eotesde wlocidade adimeosiooal em regime nio-perturbado

VI

=

VI/V,., sio (l ,0,0). 0 mUnero de Prandtl

e

Pr=O.706, a viscosidade cinematica volumetrica

e

;'=0 e a velocidade do SOlD

e

igual a 340m/s.

t

adotada uma superlicie esferica de diimetro adimensiooal igual a 22.0 como superficie de cootomo extemo. A esfera possui uma temperatma adimeosional prescrita igual aT0=1.0, eoquanto que a ~ do fluido em regime de escoamento nio-perturbado

e

de

T~.O. A temperatwa adimeosiooal

e

calculada com a expressio:

f

=

(r

-T

,.,)/(ro

-T ,.,).Devido

a

simetria do escoamento,

utiliza-se

apeoas um. quarto do dominio. A ma1ha

e

nio-estruturada com 206722 elementos tetllI6dricos e 37997 nOs (ver Fig. I).

t

adotado urn passo de tempo adimensional de At=O.OOI5.As Fig. 2 eFig.3 apreseotam as linbas de

oorrtlIte 01 w.tri~o

de pressio em regime

pennantI1te.

respectivamente. Os contomos

de

P 15 O.!illll 14 0.462 13 O.3ll7 12 0.343 11 0.288 '0 0.2315 9 0.1ll' 8 0.127 7 0.1173 8 0.018 5 -o.ll!5 4 -0.18) 3 -0.144 2 -0.1. 1 -0.252

Figura 3 - Escoamento soble uma esfera: ~ de pressio.

T 15 0.937 14 0.874 13 0.811 12 0.747 11 0.884 10 0.621 9 0.5S8 8 0.«15 7 0.432 6 0.368 5 O.3ll5 4 0.242 3 0.179 2 0.116 1 0.053

A Fig. 2 mostra os pmtos de ~. c:arae:terizIdo pe10 iogulo de ~ ~ e a regiio de rec~. caracterizadapelo comprimellto de ~ ·1". N. Tab. I. estes vaJores sio comparados com aqueles obtidos por ~ e AsIan [11]. Tamb6m

sio

comparados os valores do coeficiente de armto total (CD)e sua ~ com 0 coet'iciente devido apeoas 80Sefeitos de fti~

(CDJ>. Nesta tabela. D tepreseuta 0diimetro cia esfera. Observa-se a concordincia dos resultados obtidos pelo presente trabalho e pela Refiriocia [11].

TabeJa 1 - Alguns pariimetr08 do escoemento sobre uma esfera

R.efer&1cia CD Co/CD I,/D 4(deg)

Presentetrabalho 1.07 0.53 0.94 55

0iil9at e Asian[U] 1.07 0.51 0.93 5S

o regime

permanente foiatmgido no instlinte de tempo adimensional de 1=12.0 e a performance foi de 636 Mflops no supercomputador Ctay T -94IUFRGS.

OnduolitUia

em·QDltuque

retugular

Com0objetivo de demonstrar a lItiJia9io do pnsente algoritmo em problemas com superftcie livre,

e

aoalisada a propesa~ de uma anda soIit.in.em um taDque retanguIar (ver Fig. 5). A simu~ num6rica do problema c:oneistena __ de pRllJ88ll9iodo uma anda soIiWia com uma el~ inicial da coda deH=O.Sm. 0 comprimento dotanque

e

c1eL=300m e a protbndidade

e

de d=1Om. Na Fig. S. Y.

e

altura do niwl da 8aua, '1

e • ~

da ODda, g

e

a acele~ da-gravidade e H

e

a altura inicial da ooda.

B

utiIizada uma maIba regular de elementos fiDit.os(128x8x2), com 3483 nOs e

10240 elomeotos· tetraedricos. Sic ac:badas as seguintes propriedades: massa especifica

p= 1000

Kg1m3,

viscosidades cinem8ticas de cisaJhamentop= 0e vo1umIi\trica..t=O, ~o da gravidade g=9.8 m/t} e um passo de tempo adimeosiODalde lit= 0.005. As ~ iniciais sio calcuJadas a partir das ~ aoaIiticas definidas por La*lne [121, considerando a velocidade de p~ da ODdaigual a c

=

J

gd(1

+

HId).

Na Fig. 66 represeotada a maIba de elementos flnitos na sua coo~ inicial, sendo que as dimeosaes na ~ x estio reduzidas em10vezes.

L

L

vrO.O

Figura

5-

Geometria e ccndi~de contomo do exemplo ooda solitaria

Na Tab. 2 tem-se os valores obtidos para a altura da crista da mda nos instantes em que a onda atinge a perede direita. volta para 0centro. do taaque, atiop a ••.• esquerda e, finalmente, retoma

a

posi~ inicial. Os NS!'1tados aoaliticol ciaRe&riacia [12] e as ~ percentuais entre as alturas da crista da <mda.obtidas peIa aimul~ JlUDlerica e peIa ap~ analitica. considerando esta Uhima como referiocja, t.ambem do apreseotadOl DB Tab. 2. As Fig. 7, 8 e 9 mostram as ~ da JDllJha. no iostante em que a coda atiDgeas paredes direita e esquerda e quando volta para0 centro do tanque. respectivameme. As dimens6esDB ~ x, estio reduzidas em10vezes. Observa-se que 0 algoritmo obteve eltCeIeates resliltadcs emtodol os iostantes de tempo, com

pequenas

diferenca

em

re1II;io

801 nsoltadoIlDIliticaa

da J.erermcia

[12}.

Al6m disso, forma da

oncla foi Preservada.ao101180 cia sua trajetOria. Este exemplo atingiu urn desempenho de760 Mflops no supercomputador Cray T-94/UFRGS. Este algoritmo tambem foi testado com a imposi9io da equa9io cinem8tica cia mda na superficie livre, apresentando resultados semelhantes. A referida

~

e

cJeftnidada tbrma 113}:

av/CX+\(I)y(

('),,)8,/&,=O~"1~),

cade (I)YI0

(1)"

do

as ~ de veIocidade do f1uido e cia maIba JIllsuperficie livre, respectil'8llleDte. TabeJa 2 -lleeubdos doeumplo onda soIitaria

Aigoritmo AJtara cia oada ••••• de tempo ~

(m) (8) (%)

I".,. ••

fIIe ••••• ~.,...."., •••• _

Presentetrat.lbo 1.0330 15.19 2.02

AnaIitico 1.0125 14.79

IIt1ItfIIW ••

f'" •

tJIIUIiI ,.".". i potIif;bcetbYII

Presentetrahalbo 0.4980 30.28 0.40

Analitico 0.5000 29.57

11I6IIIIIttl_ fU"DlUitlIItbtge" J1fIHtk., ••••• IIe

Presentetrahalbo 1.0233

45.31

2.14

.AnaIftico 1.0125 44.36

11I6ttI1*eMfile" 011. t't!1DnU14 ptJtdr/Io btldM

Preseotetrabalbo 0.4932 60.36 2.0S

AnaIiti<:o O.SOOO 59.15

I ~r1r,I~\' '11/1' 1!l' ,f \

::H::

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1/1111\/11IfHI'Ipnl \fl1" 11'I 11~' 1I 1111\/11",,1 H :11111 11

i'

1/fr','r L"'/\!'Ill'! '/ If 111''':/'' II ill'I!If" \11/1/1' lPIII II If

(till il II II jlJdt Ji Ii Iid/Illjl iI Jill Jl 'i il slll/\!l ji H II ,IllIIi\1i,,,J' Ii i'1\II H II illl;l H /lH H ildII II /i II/IoillJi,utillil IO!1If!1'! !tHI~V11\!\1"" I) lI'l!i q'l H~nIH '1i',HItllln,",1"1 H 11HI"I'1n nlP'11 11.111'~Ilf \J.IIU1i~11! IIH,1I1rif,'nil

HI'II IIII JI IU\!\ II il /1Jill /illjlJlIInil 'I d11".1IIjlllh II <Iii'11l1ill1\n,11laltll 11111lllllll1lJllilinil HHIUUlJlII il

!',"111111'1 \1 llir 1~II 1', "l'lll! I ,I'11 I 'Iif,ll ,1/ 1/\111 ~~,If"~ If 1/.,11 If"~ 11 """ H 1/1' H If 11 II ,H 11-'f If I' II1r 11 II I' If II lr,1rt~\'I't) "

I II II 1111JI 4tJl II H JI/i il Ji i1 II /III HJI II H Hj~ijIlllnll jt /I h llli JIIIIiH H jllill illl ii/I H ji H /111 H /Ill II JI H H Ii H llll lalij

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Jl Ii HIIj[Hil ~l ,I H;, Jll\"It 1L!l/l 111111 H,j,.IL d /1.1/' H ,\ I' ~l ,I Ii ,I liilllltjl:, Ill'•. ;1'1 HlI"•• ,~/i H" II d ,111,,:~ '.,1H

1f111f1nnrll1pWllnfl/11 ~rHlrpHill! H HHIIlIII 11.11.1'I!'r,,,'n, 11H\I I'll1/1! HIll'" IrIll"'" '/1'11 U 1!l'HI'Inllpr

lli<lII IllL JI il Ii j I tLI, Jlll d h tIllIi tillJIj,Ii h i'oJII jll!il i\,!j; III'Jl d H IIj~'",

i'

/I H II II ;1'\ 'Ill,IIItll' II Jl Jl~: .:J,,I Ii;

'1'.u l' " I'"'I l' 11\/1'lr II If 111/ II 11II" ,r I' Ir'r1~'/~'II \11rl/ II,fl1 "1f"II III r If If11"" 11" H ,/ If l' I r Ift,I' 'r!l " If" 1111111

II HJi'Iiit i:II IIilililriIlll Iiii/Id!i I"Ulli 'I:~hIi l~It 'I Ii IIiLi,l"~Itl:i ,i /"1 Ii: II ii~lli II ,:.' Ii ,Iii 1111<t jj Iij~II 'llill il \I ,II1,1'1/ If \fl' " I' If I/'~ 11lr',,!',~f I'!!" If1/1/1111If ,1(lJ ,II1111,""II 111'If1/11l,lf11\11' If 1/\/11l1', ,!rlr ,If ,If IIpI'"lrU It ,'I II IJlll Hilalljl'lJI n Ii/!rL1111 Jl ,I iI /IllJI il JJ II l\ ,!/l,IIIIII' n j, Ill' ilLd lilt'11J .Illlill d H !Illh j'JlJ, jll',Jill1\ 'I H Hd1

Neste trabalho aprMllltou-ee a e6cien<:ia e a precido

do

esquema

fiaciooado de

Taylor-Galerkin

de

cloia

plIlllIOI.

Fomm

utiJiados

elementOI tetraedricoIlineanI

com

as •••••••

~

de ~

pam as componcmtel

de

wIocicIadee ,...Bo. 0.

mementol de prtIlIio

foram

obtidos soJucicmndo

uma ~

de

Poiaoo

_WI do m6tocIo de ••••••.•

~

com p~

diapal. <*e"" Ie UIllbom deIempedho •• execu;io dot -..lot. ltingindo-te em tomo de 700

Mftcpa no

Cay

T-941UFRQS. A lei de

movidaeato

de maIM. utiliZIda

DO

~Io

cia 0Ilda IOIit8riJ.

proporciooou movimentos

butaote suaviJadoI, CCIIIl

oonfisu.n'98es

80

Ionso

do·

tempo

de

6tima

qualidade.

B

poIIivel a exteodo

deste c6diao

pam

prob1emu

de 1ICOIImeat08 de fluidos QOIIlPRIIUiwis. Pam S, Ii necess8rio apeoas

modificar

a ~

eta

~dIlde e

adicicnar

a ~ ecp189io de estado [8,10).

[1) 0...

J. T., Welford.

L

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s..

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Inle1'a¢o de

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tie

Jltddoa

compN88iwls eiItcoIIIptw8ltreia e e't1'JltUTaS

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