Teoria Clássica das Placas Finas 2.1. Capítulo 2

Capítulo 2

Teoria Clássica das Placas Finas

2.1 Introdução

As placas são elementos estruturais limitados por duas superfícies planas distanciadas entre si de uma grandeza designada por espessura. No caso da dimensão da espessura ser muito menor que as dimensões das superfícies planas limitantes, as placas são designadas por placas finas. O plano equidistante das superfícies planas externas é designado por plano médio da placa.

No caso das placas finas é possível estabelecer a chamada Teoria Clássica das Placas Finas 1,2, 3, 4_{, desenvolvida por Lagrange em 1811, para a qual são consideradas}

válidas as chamadas hipóteses de Kirchhoff. Considere-se o sistema de eixos coordenadas Ox₁ x₂ x_{3 representado na figura} 2.1, o qual é definido de tal modo que o plano Ox₁ x₂ seja

1 _{Timoshenko S. and Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells ,McGraw-Hill.}

2 _{Mansfield, E, The Bending and Stretching of Plates, Pergamon Press.}

3 _{Courbon, Plaques Minces Elastiques, Eyrolles - Paris.}

coincidente com o plano médio da placa antes da deformação e o eixo Ox₃ seja normal ao plano médio da placa.

O p

e

x1 x2 x3 x1 x3

As hipóteses de Kirchhoff que são consideradas válidas para placas finas, com isotropia total e submetidas a acções normais ao plano médio, são:

(i) A superfície média da placa é plana e indeformável, ou seja, as deformações no plano

Ox₁ x₂ são nulas:

ε11 = ε22 = ε12 = 0 para x3 = 0 2.1

(ii) Os pontos pertencentes à normal ao plano médio da placa antes da deformação

permanecem na normal à superfície média flectida.

(iii) A tensão na direcção normal ao plano médio, σ33 é irrelevante quando comparada com

as tensões σ11 e σ22 pelo que se considera:

σ33 ≅ 0 2.2

O tensor das tensões toma neste caso a forma seguinte:           = 0 23 13 23 22 12 13 12 11 ij σ σ σ σ σ σ σ σ σ 2.3

como se mostra na figura 2.2 num ponto a uma distância x3 do plano médio, para um

elemento de dimensões infinitamente pequenas, dx1 dx2 e de altura igual à espessura, sendo

σ₁₁ = σ₂₂= σ₁₂ = 0 para pontos sobre a superfície média da placa, de acordo com a hipótese (i) de Kirchhoff.

e

σ11 σ13 σ21 σ₁₂ σ23 σ22

o

x1 x2 x3 _dx 1 x3 x d 2

Figura2.2:Estado de Tensão num Ponto

Tendo em conta a hipótese (ii) os deslocamentos, u₁ e u₂, de um ponto P da placa, situado a

uma distância _x3do plano médio, podem ser calculados a partir do deslocamento transversal ω (x_1,x₂) do ponto contido na normal que passa pelo ponto e situado na superfície média. Entendendo-se por deslocamento transversal o deslocamento sofrido por um ponto do plano médio na direcção normal ao plano médio. Na figura 2.3 representa-se, a

deformada de um segmento linear sobre a normal à superfície média e o campo de deslocamentos, no plano Ox1 x3, para o ponto P cuja posição é sobre a normal ao plano

médio antes de deformado. A consideração da hipótese (ii) implica que as componentes do vector de deslocamentos,PP´ que se podem designar por{u1, u2, u3} T, sejam:

(

)

ω ω ω φ ω φ = = ∂ ∂ − = − = ∂ ∂ − = − = _{3 1 2} 2 3 2 3 2 1 3 1 3 1 ;u x ,x x x x u ; x x x u 2.4

Os deslocamentos u1 e u2 dependem só da distância do ponto P ao plano médio, x₃

e do deslocamento transversal, ω(x1,x2), da superfície média como resulta das

considerações feitas. φ1 φ₁ φ2 φ₂ x1 x3 x2 x ; x1 2 2 1 _∂ ∂ = ∂ ∂ = ω φ ω φ x3 ω ω P P´ P´

Figura 2.3: Deslocamentos no Ponto P e no Plano Ox1x3.

As deformações no plano Ox₁ x₂ a uma distância x

3 do plano médio da placa

x x x x x x x 2 1 3 12 2 2 3 22 2 1 3 11=− _∂ ε =− _∂ ε =− _{∂ ∂} ε ; ; 2.5

Na superfície média a coordenada x_{3 = 0 e portanto é:}

ε

11 =

ε

22 =

ε

21 = 0

o que implica que a superfície média seja uma superfície neutra, uma vez que não sofre qualquer deformação.

As deformações nos planos paralelos ao plano Ox1 x2 variam linearmente ao longo

da espessura da placa o que está de acordo com as hipóteses de Kirchhoff atrás referidas. Note-se que de acordo com o campo de deslocamentos definido, as deformações ε₂₃ e ε₁₃ são nulas, esta situação não é totalmente consistente com a realidade, no entanto estas deformações poderão ser calculadas a partir dos esforços unitários, como se verá posteriormente. O campo de deslocamentos resultante da consideração das Hipóteses de Kirchhoff apresenta esta incongruência nas deformações de corte.

A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos com comportamento linear elástico, estabelece uma relação entre as tensões e deformações no plano Ox1 x2 com

a forma seguinte:                       − − − − + =           ε ε ε ν ν ν ν ν ν ν σ σ σ 12 22 11 12 22 11 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 E 2.6

sendo E o modulo de Young e ν o coeficiente de Poisson.

Tendo em conta as equações (2.5) e (2.6) é possível relacionar as tensões com os deslocamentos transversais do seguinte modo:

         ∂ ∂ ∂ + − = =       ∂ ∂ + ∂ ∂ − − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ − − = x x x 1 E x x x 1 E x x x 1 E 2 1 2 3 21 12 2 1 2 2 2 2 3 2 22 2 2 2 2 1 2 3 2 11 ω ν σ σ ω ν ω ν σ ω ν ω ν σ 2.7

As tensões σ₁₁, σ₂₂ e σ₁₂ variam linearmente ao longo do eixo dos x₃ x₃ como se representa na figura 2.4, sendo nulas para x₃= 0, como seria de esperar tendo em conta a hipótese de Kirchhoff (i).

2.2 Esforços Generalizados e Curvaturas

Na análise de placas à flexão, é conveniente considerar os esforços unitários que são: os momentos flectores unitários, M11 e M22, o momento torsor unitário, M12 e os

esforços transversos unitários, T1 e T2.

O momento flector unitário M11 é o momento resultante por unidade de

comprimento da direcção Ox1, das tensões normais σ11 ao longo da espessura da placa, ou

seja : 3 3 11 2 / e 2 / e 11 x dx M = _∫ σ − 2.8

De modo semelhante se definem momentos unitários, M₂₂e M₁₂ ou seja:

3 3 22 2 / e 2 / e 22 x dx M = _∫ σ − e _{12 3 3} 2 / e 2 / e 12 x dx M = _∫ σ − 2.9-2.10

Os esforços transversos unitários calculam-se a partir das tensões σ13 e σ23 do

seguinte modo: 3 23 2 / e 2 / e 2 3 13 2 / e 2 / e 1 dx e T dx T = _∫ σ = _∫ σ − − 2.11

O x1 x2 x3 σ12 σ22 σ11

Figura 2.4: Distribuição de tensões ao longo da espessura da placa.

Integrando as expressões (2.8) a (2.10) para os momentos unitários, tendo em conta as

equações (2.7) que definem as tensões em termos do deslocamento transversal ω, obtém-se:

         ∂ ∂ ∂ − − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ − = x x ) 1 ( D M x x D M x x D M 2 1 2 12 2 1 2 2 2 2 22 2 2 2 2 1 2 11 ω ν ω ν ω ω ν ω 2.12

sendo D = E e3_{/12 (1 - ν}2_{), o modulo de rigidez à flexão da placa. Note-se que a simetria}

do tensor das tensões σ₁₂ = σ₂₁ implica que seja: M₂₁ = M₁₂.

As segundas derivadas do deslocamento transversal, ω, x x e x , x12 2 22 2 1 2 2 _{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂}

superfície média flectida 1_{, no caso de se admitir que a inclinação da superfície média}

flectida em qualquer direcção é pequena de tal modo que o seu quadrado é pequeno quando comparado com a unidade. As curvaturas podem ser designadas por χ11, χ22 e χ12

respectivamente. Portanto as equações (2.12) podem ser escritas com a forma seguinte:

                    − − =           χ χ χ ν ν ν 12 22 11 12 22 11 1 0 0 0 1 0 1 D M M M 2.13

em função das curvaturas da superfície média flectida.

Os esforços unitários, M11, M22, M12, resultantes das tensões estão representados

na figura 2.5.

Os esforços no plano médio são M11, M22, M12, T1 e T2, como se indicou. As

tensões σ₁₁, σ₂₂ e σ₁₂ podem ser calculadas a partir dos momentos tendo em conta as equações (2.7) e (2.12) e são determinadas a partir das seguintes expressões:

e e e3 3 3 x M 12 ; x M 12 ; x M 12 12 3 12 3 22 22 3 11 11=− σ =− σ =− σ

Na face superior da placa corresponde a um valor de x₃ = e / 2, as tensões σ₁₁e σ₂₂ são tensões de compressão no caso dos momentos flectores serem positivos e têm como valores e e2 2 M 6 e M 6 22 22 11 11=− σ =−

σ , estes são um dos valores extremos das tensões

normais ao longo da espessura da placa .

1 x x 1 x 2 1 2 1 2 3/2 2 1 2 11 _∂ ∂ − ≈                 ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ω ω ω χ

θ2 2 22 M , M = θ1 1 11 M , M = θ12 12, M

Figura 2.5: Representação de Momentos.

2.3 Equações de equilíbrio. Equação de Lagrange.

As equações de equilíbrio podem ser estabelecidas em termos dos esforços

unitários que resultam das tensões actuantes num elemento paralelepipédico da placa de dimensões dx₁, segundo Ox1, dx2 segundo Ox2 e sendo segundo Ox3 considerada uma

dimensão igual à espessura da placa. O estado de tensão no referido elemento tem as componentes que foram representadas anteriormente na figura 2.2 às quais correspondem

esforços unitários definidos de acordo com as expressões (2.8-2.11). Considere-se um

elemento ABCD de dimensões dx₁, dx2 no plano médio do elemento paralelepipédico, os

esforços unitários actuantes neste elemento e relevantes para efeitos de equilíbrio estático de esforços estão representados na figura 2.6.

A B D C O ) x , x ( p 1 2 x1 x2 x3 M11 M22 M12 M21 M1 11 T1 T2 M1 22 M1 21 T12 M1 12 T1 1

Figura 2.6: Esforços Unitários num Elemento do Plano Médio dx1, dx2.

Na figura 2.6 os esforços, M1 11, T11, M121, M112, M122 e T12, são definidos do seguinte modo:       ∂ ∂ + =       ∂ ∂ + =       ∂ ∂ + =       ∂ ∂ + =       ∂ ∂ + =       ∂ ∂ + = x d x T T T x d x T T T x d x M M M x d x M M M x d x M M M x d x M M M 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 21 21 1 21 1 1 12 12 1 12 2 2 22 22 1 22 1 1 11 11 1 11

Para se obterem as forças que actuam sobre o elemento de dimensões infinitésimais têm de multiplicar-se os esforços unitários pelo comprimento do lado elemento de área em que actuam. As equações de equilíbrio estático a considerar são três: equilíbrio de momentos em relação aos eixos Ox1 e Ox2 e equilíbrio de forças segundo o

A equação de equilíbrio de momentos em relação ao eixo Ox2 é: 0 x d x d T x d x d x M M x d M x d x d x M M x d M 2 1 1 1 2 2 21 21 1 21 2 1 1 11 11 2 11  + =      ∂ ∂ + − +       ∂ ∂ + −

simplificando esta equação, obtém-se:

T x M x M 1 2 21 1 11 ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2.14

De modo análogo se obtém a equação de equilíbrio de momentos em relação ao

eixo Ox₁ que é: T x M x M 2 1 12 2 22 ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2.15

Finalmente considerando o equilíbrio de forças na direcção do eixo Ox3 e

admitindo que são irrelevantes os infinitésimos de ordem superior à primeira, obtém-se:

) x , x ( p x T x T 2 1 2 2 1 1 ₌₋ ∂ ∂ + ∂ ∂ 2.16

onde p(x1, x2) representa a resultante das acções externas, por unidade de superfície,

normais ao plano médio no elemento dx1× dx2.

Substituindo as equações (2.14) e (2.15) na equação (2.16) obtém-se:

) x , x ( p x M x M x x M x M x 1 1 2 12 2 22 2 2 12 1 11 1 − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ +       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ 2.17

que é a equação de equilíbrio num ponto de uma placa rectangular submetida à acção de forças normais ao plano médio. Note-se que os esforços unitários M₁₁, M₂₂, M₁₂ são

independentes entre si e que os esforços Transversos unitários T₁ e T₂ dependem dos momentos flectores e torsor unitários.

Os esforços unitários M11, M22 e M12 podem ser calculados a partir dos

deslocamentos transversais ω, recorrendo às expressões (2.12) e nesse caso a equação de

equilíbrio (2.17) toma a forma seguinte:

D ) x , x ( p x x x 2 x 2 1 4 2 4 2 2 2 1 4 4 1 4 − = ∂ ∂ + ∂ ∂∂ + ∂ ∂ ω ω ω 2.18

Esta equação (2.18) é conhecida por Equação de Lagrange e pode escrever-se

duma maneira mais concisa do seguinte modo:

D ) x , x ( p 1 2 − = ∇∇ω 2.19

onde o símbolo ∇designa o Laplaciano,

x x12 ∂ 22 ∂ + ∂ ∂ .

Substituindo nas equações de equilíbrio de momentos (2.14) e (2.15) as expressões

(2.12) para os momentos unitários, obtém-se para os esforços transversos unitários as

expressões seguintes:

( )

ω ω ω _∇ ∂ ∂ − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = x D x x x D T 1 2 2 2 2 1 2 1 1 e (2.20)

( )

ω ω ω _∇ ∂ ∂ − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − = x D x x x D T 2 2 2 2 2 1 2 2 2

Sendo conhecida a solução da Equação de Lagrange é possível calcular os

esforços unitários a partir das expressões (2.12) e (2.20). A solução da referida equação para o domínio da placa vai depender das condições de contorno.

2.4.1 Reacções de Apoio

O deslocamento transversal ω deve satisfazer a equação de Lagrange e as condições ao limite sobre o contorno da placa. Antes de se considerarem as condições de contorno propriamente ditas devem calcular-se as reacções que têm de ser consideradas na presença e na ausência de ligações ao exterior. Considere-se um elemento infinitésimal de dimensão dx1 no contorno da placa como se representa na figura 2.7 de tal modo que a

direcção normal ao contorno, no elemento infinitésimal considerado, tenha a direcção do eixo dos x2 x2; os esforços actuantes no elemento são os seguintes: M₂₂dx1 resultante das

tensões σ₂₂; M₁₂dx1 resultante das tensões σ_{12 e T2} dx1 resultante das tensões σ₁₃.

Estes esforços vão tender a ser equilibrados por esforços de reacção que são em geral momentos flectores e forças na direcção normal ao plano médio da placa. No caso do apoio não poder desenvolver momentos flectores que equilibrem o momento flector M_n, o momento normal à faceta, tem de ser considerado igual a zero ou igual ao momento aplicado caso exista.

O binário representado na figura 2.7b, ± M'₁₂, é capaz de equilibrar o momento

torsor M₂₁dx1 considerado na figura 2.7a, o qual actua num elemento do contorno de

comprimento dx₁, desde que seja:

M M21 = 121

Supondo que a placa está apoiada ao longo do contorno num apoio tal que não possa produzir uma reacção de apoio que seja um momento torsor, este pode ser substituído por uma distribuição de forças ao longo do contorno do tipo representado na figura 2.7b, M1

O (a) (b) x1 x2 _x3 x d M , 21 1 21 σ _x dx ,M M_x dx1 1 21 21 1 1 21 21 ∂ ∂ + ∂ ∂ + σ σ x d 1 dx1 dx T2 1 T2dx1 dx T2 1 − _−T2dx1 x d x M M 1 1 1 21 1 21 _∂ ∂ − − M1 21 − x d x M M 1 1 1 21 1 21 ∂ ∂ + M1 21

Figura 2.7: Distribuição das Tensões nos Bordos.

Considerando um elemento contínuo ao anteriormente referido, nele actua um momento torsor: x d x d x M M 1 1 1 21 21       ∂ ∂ +

o qual pode ser equilibrado por um binário de forças do tipo representado na figura 2.7. As

forças M1₂₁ e dx x M M 1 1 1 21 1 21 ∂ ∂ −

− que actuam segundo o lado comum aos 2 elementos infinitésimais adjacentes, eliminam-se em parte, dando origem a uma força dirigida para cima de grandezas dx x M 1 1 1 21 ∂ ∂ , no caso do incremento dx x M 1 1 1 21 ∂ ∂ ser positivo.

A consideração dos momentos equilibrados atrás referidos só provoca alterações ao comportamento estático da placa na vizinhança do contorno.

Portanto as reacções verticais por unidade de comprimento do contorno não

são iguais ao esforço cortante T1 ou T2, mas são iguais à soma destes esforços com a

x M T R e x M T R 1 21 2 2 2 21 1 1 ∂ ∂ + = ∂ ∂ + = 2.21

Estas reacções podem exprimir-se, em função das derivadas de ω atendendo às expressões (2.5) e (2.20), do seguinte modo:

      ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = x x ) 2 ( x D R ₂ 2 1 3 3 1 3 1 ω ν ω       ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − = x x ) 2 ( x D R 2 2 1 3 3 2 3 2 ω ν ω 2.22

Nas placas rectangulares o contorno não é contínuo e apresenta arestas; na vizinhança destas arestas há uma variação brusca do momento torsor, como se representa na figura 2.8.

A-ε

V

A+ε

A

M1´´ M´´2

Quando o momento torsor varia bruscamente de direcção num ponto A, como se representa na referida figura, desde um valor M"₁ até um valor M"₂, no elemento infinitésimal compreendido entre A - ε e A +

ε

, a força de substituição tem valor seguinte:

[ ]

M

[ ]

M M M dx x M dx x M V 21 2 1 A A 21 A A 2 A A ₂ 12 1 A A ₁ 12 _{∫ = + =} ´´₋ ´´ ∂ ∂ + ∫ ∂_∂ = +ε _−ε ε − ε + 2.23

Portanto num canto da placa existirá uma força de substituição dada por (2.23), se o ângulo

for recto M´´₂ é igual a M´´_{1 e de sentido contrário, portanto a reacção concentrada a ser} considerada no canto é:       ∂ ∂ ∂ − = − = x x D ) 1 ( 2 M 2 R 2 1 2 12 v ω ν 2.24

Esta força de reacção é negativa, dirigida para baixo devendo ser transmitida pelo apoio para evitar que a placa levante no canto, é o resultado da existência da força de levantamento V.

2.4.2 Condições de Fronteira Propriamente Ditas 2.4.2.1 Bordo simplesmente apoiado

Para as condições de bordo simplesmente apoiado, o movimento segundo o eixo dos x3 x3, está impedido, podendo no entanto rodar livremente. A notação gráfica mais

usual para este tipo de apoio em placas é a que se representa nas figuras 2.9.

As condições de contorno simplesmente apoiado são: ω= 0 e M_{n= Maplicado}

bordo simplesmente apoiado.

Em termos analíticos estas condições de contorno para a placa rectangular da figura 2.9 e para os lados paralelos ao eixo dos x1 x1, AB e CD ,são as seguintes na ausência

de momentos exteriores aplicados:

u3 = ω = 0 e M2 = 0 2.25

e para os lados paralelos ao eixo dos x₂ x₂, AC e BD, na ausência de momentos exteriores aplicados são: u3 = ω = 0 e M1 = 0 2.26 O A B O=C D Mt Mn x1 x2 x2 x2

Figura 2.9: Bordo Simplesmente Apoiado

Considerar M₂ = 0 ao longo de AB e CD, se se tiver em conta que ω = 0 ao longo de AB e CD, é equivalente a considerar que:

0 x22 2 = ∂ ∂ ω _2.27

Ao longo do lado AC e BD, considerar que M₁ é igual a zero , implica que seja:

0 x12 2 = ∂ ∂ ω _2.28

As condições (2.25) e (2.26) resumem-se portanto à condição u₃ = ω = 0 e às

condições (2.27) e (2.28), no caso das placas de bordos ortogonais paralelos aos eixos

coordenados.

2.4.2.2. Bordo perfeitamente encastrado

No bordo perfeitamente encastrado os deslocamentos e as inclinações têm valor nulo e um dos modos de representação do bordo é o que se indica na figura 2.10. A placa representada nesta figura é considerada rectangular com os lados paralelos aos eixos coordenados.

As condições de fronteira ao longo dos lados AB e CD, paralelos ao eixo dos

1

x ,são representadas através das seguintes igualdades:

ω = 0 e 0 x2 = ∂ ω ∂ 2.29

e ao longo dos lados AC e BD traduzem-se do seguinte modo:

ω = 0 e 0 x1 = ∂ ω ∂ 2.30

Tendo em conta que a equação de Lagrange é em termos de ω, as equações anteriores que representam as condições de contorno são um complemento da referida equação.

2.4.2.3. Bordo Livre.

Se a placa tiver um ou mais lados livres, em todos os pontos do bordo livre devem de ser nulos os momentos flectores M_{11 ou M22} e as reacções R₁ e R₂. Estes esforços serão não nulos caso exista algum esforço ou momentos aplicados no bordo, nesse caso serão iguais a uma função de x₁ ou x₂ conhecida. No caso de bordo livre sem cargas aplicadas e

paralelo a um dos eixos coordenados, as condições de contorno exprimem-se analiticamente do seguinte modo:

R₁ = 0 e M₁₁ = o para x₁ = 0

R₂ = 0 e M₂₂ = 0 para x₂ = 0 2.31

As condições anteriores em termos dos deslocamentos ω, são para x₁ = 0: 0 x x ) 2 ( x e 0 x x D ₂ 2 1 3 2 1 3 2 2 2 2 1 2 =       ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ =       ∂ ∂ + ∂ ∂ − ω ν ω ω ν ω 2.32 Bordos Encastrados

A deformada ω deve satisfazer simultaneamente a equação de equilíbrio ou seja a equação de Lagrange (2.18) e as condições de fronteira (2.31) e (2.32).

2.5. Flexão Pura de Placas Rectangulares 2.5.1 Determinação da Equação da Deformada

A placa rectangular representada na figura 2.11 tem espessura constante, e, e está submetida à acção de momentos uniformemente distribuídos ao longo dos bordos paralelos aos eixos dos x2 x2 e dos x1x1. Os momentos por unidade de comprimento são

respectivamente M₁ e M₂.

A placa sob a acção dos momentos M1 e M2, como se representa na figura 2.11,

fica submetida à flexão nos planos x1 x3 e x2 x3. O plano médio Ox₁ x₂, assim como

qualquer plano paralelo a este, transforma-se numa superfície de dupla curvatura, após a ocorrência de deformação. A B D x₁ x₂ C M2 M₁ M₁ M2

Figura 2.11: Placa Rectangular em Flexão Pura.

Para esta solicitação os esforços transversos unitários são nulos em qualquer

ponto da placa. Podem considerar-se também momentos torsores M12 aplicados ao longo do

A

B x₂

M₁₂

M₁₂

Figura 2.12:Placa Rectangular Submetida à Torção.

As tensões σ₁ σ₂ e σ₁₂ na face superior da placa, para uma placa submetida à acção dos momentos M1, M2 e M12, são neste caso constantes e são, em qualquer ponto da placa

pertencente à faceta superior que está à compressão, iguais a:

e e e 2 12 12 21 2 2 2 2 1 1 M 6 e M 6 , M 6 _{=− = =−} − = σ σ σ σ 2.33

As curvaturas normais do plano médio em relação aos eixos dos x1 x1 e dos x2

x2 e o empenamento são determinadas a partir da Lei de Hooke generalizada 2.12. Essas

curvaturas são:

(

)

(

)

(

ν

)

ω ν ν ω ν ν ω 2 12 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 D M x x e 1 D M M x , 1 D M M x ∂ ∂ = − ∂ − − = ∂ ∂ − − = ∂ ∂ 2.34

Atendendo a que M1, M2 e M12 são constantes e escolhendo a origem das

coordenadas no ponto de coordenadas x1 = 0 e x2 = 0, no plano médio Ox1 x2, a equação

da deformada obtida por integração das equações 2.34, é:

(

)

(

)

(

)

x x 1 D M 2 x 1 D M M 2 x 1 D M M 2 1 2 12 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ν ν ν ν ν ω − + − − + − − = 2.35

(

x x

)

) 1 ( D 2 M ₂ 2 2 1+ + = ν ω 2.36

e a superfície média flectida é neste caso, um paraboloide de revolução, que no caso de ω ser muito pequeno, se pode considerar uma esfera de raio:

R= M ) 1 ( D +ν 2.37

podendo então dizer-se que a flexão é esférica. A inconsistência destes resultados resultam só da consideração de expressões aproximadas para as curvaturas.

2.5.2 Determinação das Direcções Principais de Flexão

Para determinar o momento flector M e o momento torsor, M_t, por unidade de comprimento numa secção normal ao plano médio, figura 2.13, orientada de tal modo que a

normal faça um ângulo θcom o sentido positivo do eixo dos x₁ x₁, basta considerar o equilíbrio de momentos no elemento triangular ABC da placa. As dimensões deste elemento são: BC = ds, AB = ds senθ e AC = ds cosθ. Obtém-se assim a equação vectorial:

θ θ ( _M i _M j)sen )cos j M i M ( ´j M ´i Mt + = − 12 + 1 + − 2 + 12 2.38 Atendendo a que: θ θ ´jsen cos ´ i i= − θ θ ´jcos en s ´ i j= + 2.39

x₂ x₁ M₁₂ M₂ M₁₂ M₁ C A B M M_t x₁ 2 O j j' i i' θ x'₁ x'₂

Figura 2.13.: Orientação dos Sistemas de Eixos

M = M_{1 cos}2_{θ + M}

2 sen2θ + 2 M12 sen θ cos θ

Mt = (M1 - M2) sen θ cos θ - M12 (cos2θ - sen2θ) 2.40

Existem duas direcções principais para as quais o momento torsor M_t é nulo e que são definidas, partindo da equação (2.40) fazendo M_t = 0 e tendo em conta que:

sen θ cos θ = ½ sen2θ e cos2θ - sen2θ = cos2 θ

Nestas condições a equação (2.40) toma a forma:

M M M 2 2 g tan 2 1 12 − = θ 2.41

Os momentos flectores principais correspondentes são as raízes da equação

seguinte:

(

M M

)

M

(

M M M

)

0

M2− 1+ 2 + 1 2− 122 = 2.42

(

)

              − + ± + = 2 M M M M M 2 1 M 22 11 2 2 12 2 / 1 22 11 2.43

No caso do momento torsor aplicado, M₁₂, ser igual a zero, as direcções principais correspondem aos ângulos θ = 0 e θ = π/2, ou sejam as direcções paralelas aos eixos dos x_{1 x1 e dos x2} x_{2 considerados são direcções principais. Os momentos flectores}

principais são neste caso particular M₁ e M₂ sendo M₁₂ = 0.

As direcções principais dos momentos correspondem às direcções principais do

tensor das curvaturas e portanto às direcções principais de flexão correspondem curvaturas principais da superfície média flectida.

2.6. Trabalho Virtual das Tensões e Energia de Deformação

O trabalho virtual das tensões _{σij numa deformação virtual εij} tem por expressão:

dV ) 2 2 2 ( dV T 22 22 33 22 12 12 13 13 23 ₂₃ V 11 11 ij Vσijε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε σ ε δ =∫ = ∫ + + + + +

ou no caso das placas 2.44

dV x x M 2 x M x M x e 12 T 2 1 2 12 2 2 2 22 2 1 2 11 V 2 3 3       ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫ = ϖ ϖ ϖ δ

sendo ϖ o deslocamento virtual e sendo o integral é estendido ao volume da placa,V. No caso da placa estar sujeita a acções externas normais ao plano médio, as deformações neste caso são devidas ao efeito de flexão, a placa pode ser tratada como um estado plano de tensão. A equação (2.44) pode ser modificada, tendo em conta as equações (2.5) e (2.7) e integrando ao longo da espessura, por forma a obter equação seguinte:

(

)

dS x x x x 2 x x x x 1 x x x x D T _S 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 ∫      ∂ +∂ ∂ + ∂ − − ∂ ∂ +∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂  = ν δ 2.45

onde ω=δω, representa o deslocamento virtual.

O trabalho virtual das forças exteriores deve igualar o trabalho virtual de deformação, δT, como resulta do chamado Teorema dos Trabalhos Virtuais. O trabalho virtual das forças exteriores é:

x d x d ) x , x ( p T 2 1 2 S 1 ω δ =_∫ 2.46

A energia de deformação da placa é:

dV ) 2 2 2 ( 2 1 dV 2 1 U 22 22 33 22 12 12 13 13 23 23 V 11 11 ij Vσijε = ∫ σ ε +σ ε +σ ε + σ ε + σ ε + σ ε ∫ = 2.47

Integrando ao longo da espessura, tratando a placa como um estado plano de tensão e tendo em conta as definições (2.5) e (2.7), obtém-se:

dS x x x x ) 1 ( 2 x x 2 D U _S 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 ∫                       ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − −       ∂ ∂ + ∂ ∂ = ω ω ν ω ω ω 2.48

A energia potencial total, ∏, é a soma da energia de deformação interna,U, com a energia potencial devida às forças exteriores,T, ou seja:

(

x ,x

)

dx dx ) x , x ( p U−∫S 1 2 ω 1 2 1 2 = ∏ 2.49

2.50

Aplicando o teorema de Green ao integral de superfície contido nesta expressão e considerando que o contorno é definido por segmentos ortogonais paralelos aos eixos coordenados, obtém -se:

2.51

Tendo em conta as equações (2.12), a equação (2.51) toma a forma:

(

)

_∫ − ∂ ∂ + ∫ ∂_∂ − ∫ ∇ − dx x ) ( M D x d x ) ( M D x d x d p D 1 C 2 22 2 C 1 11 2 1 S 2_{ω δω} δω δω − ∫ ∂_∂ + ∫ ∂_∂ − dx x ) ( M D x d x ) ( M D 1 C 1 12 2 C 2 12 δω δω

( )

2

( )

2 2

( )

2 2

( )

2 22 2

( )

2 22 2 2 S 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 S ( ) D (1 ) 2 dS x x x x x x x x x x p p( , )_{x x} d d_{x x} 0  _∇ω ∂ δω ₊∂ δω _{− − ν} ∂ δω ∂ω₊∂ δω ∂ω₋ ∂ω ∂ δω  ₋   _{∂ ∂}   _{∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂}         − δω =

∫

∫

( )

( )

₋ ∂ ∂ ∫ _      ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∫ _      ∂ ∂ + ∂ ∂ − dx x x x ) 1 ( D x d x x x D 2 2 C 1 2 2 2 2 C 12 2 2 2 2 _{ω δω} ν δω ω ν ω

(

)

( )

− ∂ ∂ ∫ _      ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∫ ∇ − dx x x x D x d x d p D 1 1 C 22 2 2 1 2 2 1 S 2_{ω δω} ω _ν ω δω

( )

₋ ∫ _      ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫ _      ∂ ∂ ∂ − − dx x x x D x d x x x ) 1 ( D 2 C 2 12 3 3 2 3 1 1 C 1 2 2 δω ω ν ω δω ω ν − ∫ _      ∂ ∂ ∂ − + ∫ _      ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − dx x x ) 1 ( D x d x x x D 1 C 12 2 3 2 C 1 22 3 3 1 3 δω ω ν δω ω ν ω 0 x d x x ) 1 ( D 1 C 1 22 3 = ∫ _      ∂ ∂ ∂ − − ν ω δω

x d x M x M D 1 C 1 12 2 22 _δω ∫       ∂ ∂ + ∂ ∂ − 2.52 0 x d x M x M D 2 C ₂ 12 1 11 ₌ ∫       ∂ ∂ + ∂ ∂ + δω

Fazendo uso das equações de equilibro (2.14) e (2.15) a equação anterior toma a forma:

(

)

−∫ ∂_∂ +∫ ∂_∂ − ∫ ∇ − dx x ) ( M x d x ) ( M x d x d p D 1 2 22 2 1 11 2 1 S 2_{ω δω} δω δω 0 x d T x d T x d x ) ( M x d x ) ( M 1 1 1 2 1 1 12 2 2 12 = ∫ + ∫ − − ∂ ∂ ∫ + ∂ ∂ ∫ − δω δω δω δω 2.53 ou ainda:

(

)

_∫ − ∂ ∂ + ∫ ∂_∂ − ∫ ∇ − dx x ) ( M x d x ) ( M x d x d p D 1 2 22 2 1 11 2 1 S 2_{ω δω} δω δω 0 x d x M T x d x M T 2 2 12 2 1 1 12 1 ∫  =      ∂ ∂ + −       ∂ ∂ + ∫ + δω δω

donde se infere que por minimização da energia potencial se obtém a equação de Lagrange que resulta de se igualar a zero o integrando do integral estendido à superfície e um conjunto de condições de fronteira que resultam da anulação dos integrandos dos integrais estendidos ao contorno da placa.

A teoria das placas referida é suficientemente precisa para fins práticos no caso das placas serem finas. Na vizinhança de esforços transversos concentrados, junto de cantos e de orifícios de diâmetro com uma dimensão da ordem de grandeza da espessura da placa

esta teoria mostra-se pouco precisa sendo necessário considerar uma teoria exacta 1 _de

placas.

2.7. Aplicação da Teoria de Placas Finas a Placas Ortotrópicas

O sistema de eixos a ser considerado é um sistema de eixos Oxyz definido por forma a considerar-se o plano Oxy coincidente com o plano médio e o eixo dos zz normal a esse plano como foi referido na Teoria das Placas Finas. Note-se que: x = x₁, y = x₂ e z = x₃.

O campo de deslocamentos, {u = u₁, v = u₂, w = u₃} e deformações {ε_xx= ε₁₁, ε_yy=ε₂₂, ε_xy = ε₁₂}, considera-se definido de modo análogo ao considerado na Teoria de Flexão de Placas Finas isotrópicas, ou seja:

[

u,v,w

] [

T _{= −}z_∂ω/_∂x;₋z_∂ω/_∂y;_ω(x,y)

]

T

[

, ,

]

[

z 2 / x2; z 2 / y2; z 2 / y x

]

T xy yy xx T ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ω ω ω ε ε ε

As relações tensões - deformações ainda se regem pela Lei de Hooke, no caso de existir ortotropia do material e no caso de os eixos materiais coincidirem com os eixos de referência, esta Lei toma a forma:

) ( 1 E yy 21 xx 12 21 1 xx ε ν ε ν ν σ + − = ) ( 1 E xx 21 yy 12 21 1 yy ε ν ε ν ν σ + − = ε σxy=G12 xy

de Hooke toma a forma:       ∂ ∂ + ∂ ∂ − = y x 1 E 2 2 21 2 2 12 21 1 xx ω ν ω ν ν σ       ∂ ∂ + ∂ ∂ − = x y 1 E 2 2 12 2 2 12 21 2 yy ω ν ω ν ν σ y x G 2 12 xy ∂ ∂ ∂ = ω σ

Os esforços unitários de flexão determinam-se a partir das tensões do seguinte modo:

dz y x z 1 E dz z M 2 2 21 2 2 2 e 2 / e 2 12 21 1 2 / e 2 / e xx xx       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫ − − = ∫ = − − ω ν ω ν ν σ dz x y z 1 E dz z M ₂ 2 12 2 2 2 e 2 / e 2 12 21 2 2 / e 2 / e yy yy       ∂ ∂ + ∂ ∂ ∫ − − = ∫ = − − ω ν ω ν ν σ dz y x z G dz z M 2 2 e 2 / e 2 12 2 / e 2 / e xy xy ∂ ∂ ∂ ∫ − = ∫ = − − ω σ

Procedendo às integrações envolvidas, obtém-se:

(

ν ν

)

ω ν ω 21 12 3 1 1 2 2 21 2 2 1 xx 1 12 e E D onde y x D M − =       ∂ ∂ + ∂ ∂ − =

(

ν ν

)

ω ν ω 21 12 3 2 2 2 2 12 2 2 2 yy 1 12 e E D onde x y D M _ = ₋      ∂ ∂ + ∂ ∂ − =

12 e G D onde y x D M 3 12 3 2 3 yy = ∂ ∂ ∂ − = ω

As equações de equilíbrio de esforços são:

T y M x M x xy xx ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ T x M y M y xy yy ₌ ∂ ∂ + ∂ ∂ ) y , x ( p y T x Tx y ₌₋ ∂ ∂ + ∂ ∂

Eliminando Tx e Ty na 3ª equação fazendo uso da 1ª e 2ª equações, obtém-se a equação de equilíbrio de forças segundo o eixo dos zz em termos dos momentos unitários de flexão e torção, ou seja:

) y , x ( p y M y x M 2 x M 2 xx 2 xy 2 2 xx 2 − = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂

Substituindo nesta equação os momentos flectores em função das curvaturas obtém-se: ) y , x ( p y D y x ´ D 2 x D ₄ 4 2 2 2 4 3 4 4 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ω ω ω

onde D₃ = D´₃ + ν₁₂D₁ = D´₃ + ν₂₁ D₂. Está determinada a equação de Lagrange para

placas ortotrópicas. As condições de fronteira são definidas de modo análogo às condições de fronteira consideradas no caso das placas isotrópicas.

1. Mostre que as curvaturas se relacionam com os momentos unitários através das seguintes expressões:

(

)

(

)

) 1 ( D D´ onde ´ D / M ) 1 ( ´ D / M M ´ D / M M 2 12 12 11 22 22 22 11 11 ν ν χ ν χ ν χ − = + = − = − =

2. Mostre que a forma da deformada de uma placa com valores constantes da curvatura é:

x 2 1 x x x 2 1 ₂ 2 22 2 1 12 2 1 11 χ χ χ ω= + +

com um movimento de corpo rígido da forma (Ax₁ + Bx₂ + C)

3. Considere os sistemas de eixos representados na figura e mostre que as curvaturas no

sistema de eixos OXYZ se relacionam com as curvaturas no sistema de eixos Oxyz do seguinte modo: O x X Y y φ φ

φ χ φ φ χ φ χ

χ cos 2 xysen cos yysen2

2 xx XX= + + φ χ φ φ χ φ χ

χ sen 2 xysen cos yycos2

2 xx

YY= − +

(

)

_sen cos (_cos2 _sen2 )

xy yy

xx

XY χ χ φ φ χ φ φ

χ = − + −

Note-se que OZ = Oz . Pode fazer uso da expressão da deformada referida na questão 2.

4. Mostre que são invariantes das curvaturas as grandezas:

(

χxx χyy

)

2 1 ₊ ; _      − + 2 yy xx 2 2 xy χ χ χ ;-χxxχyy−χ 2 xy

5. Mostre que o momento torsor máximo para uma placa rectangular é:

( )

              − + = 2 M M M M x y 2 2 xy 2 / 1 T max 6. Mostre que: M M M yy xx xy yy xx xy − = − χ χ χ

7. Considere uma placa rectangular sujeita a um estado de flexão pura. Os momentos

aplicados são M₁ e M₂ sendo M₁₂ = 0. Determine a energia de deformação da placa em termos do deslocamento transversal ω.

Resposta:           ∂ ∂ ∂ ∂ +         ∂ ∂ +           ∂ ∂ = y x 2 y x DA 2 1 U 2 ₂ 2 ₂ 2 ₂ 2 2 2 2 ω ω ν ω ω

a) Deduza a equação de equilíbrio de forças segundo o eixo normal ao plano Ox*y*, tendo em conta que as coordenadas x*e y* se relacionam com as coordenadas x e y do seguinte modo: φ = φ + = x ycotg e y y/sen x* * O x y φ x* y* P y* x, x*

b) Deduza a equação de Lagrange no sistema de eixos Ox*y*.

9. Considere uma placa de espessura variável segundo a direcção do eixo dos yy, como se representa na figura, de acordo com uma lei do tipo:

t t b 3a e espessura a representa t onde e t t 0 1 a 3 y 0 / ln π = α = απ a z, W x t₁ y O t_o b