Introdução ao Método dos Elementos Finitos
J. A. J. Avila
Departamento de Matemática e Estatística - DEMAT, UFSJ 36307 – 904, São João Del - Rei, MG
RESUMO
Neste minicurso aprenderemos a importância do Método dos Elementos Finitos
em relação aos outros métodos numéricos e sua aplicabilidade em problemas
da ciência e da engenharia. Em particular, resolveremos numericamente, pelo
Método dos Elementos Finitos Galerkin, a Equação de Condução do Calor 2D
numa placa quadrada. Serão mostrados resultados numéricos da distribuição
de temperatura durante o regime transiente até o regime estacionário.
Palavras-chave:
Método de Galerkin, Método dos Elementos Finitos, Equação
1. INTRODUÇÃO
O estudo de muitos fenômenos físicos que acontecem na engenharia, biologia, oceanografia, astronomia, cosmologia, etc., usam domínios que são geometricamente muito complicados e difíceis de desenhar, o qual dificulta sua resolução. O Método de Diferenças Finitas, num primeiro momento, trataria de resolver-las com o uso de transformações conformes ou outras transformações, porém, isto não é fácil, pois, envolve sistemas de equações diferenciais parciais elípticas. É assim que uma nova técnica potentíssima chamada Método dos Elementos Finitos nos ajuda a resolver estes tipos de problemas. O objetivo deste minicurso é conhecer e saber aplicar o Método dos Elementos Finitos Galerkin na solução numérica de Equações Diferenciais Parciais. Para compreender este método resolveremos numericamente, por exemplo, a equação de condução do calor 2D numa placa quadrada unitária com condição inicial e de contorno. Começaremos com a formulação clássica da equação de condução do calor, logo passaremos à formulação integral, aproximaremos esta última formulação pelo Método de Galerkin e discretizaremos o domínio pelo Método de Elementos Finitos. Resultados numéricos serão apresentados.
2. EQUAÇÃO DE CONDUÇÃO DO CALOR EM 2D
Sabe-se que a transferência de calor é o transporte de energia num corpo material devido às diferenças de temperatura, ou seja, sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios ocorrerá transferência de calor. Este fenômeno acontece em três mecanismos diferentes:
Condução
Convecção
Radiação
Neste trabalho estudaremos a transferência do calor por condução, que é a troca de energia entre as partes de um meio continuo que, estando em diferentes temperaturas, transferem energia térmica pela transferência de energia cinética entre as partículas individuais ou grupo de partículas, no nível atômico.
2.1 Propriedades Físicas
Uma propriedade física do material (ou meio onde ocorre a condução) se chama condutividade térmica, k , que depende da natureza do material. Neste trabalho assumiremos que o material é isotrópico.
A difusividade térmica do metal é definida por: k
c
(1)
onde k é a condutividade térmica, a densidade e c o calor específico. As unidades de medidas para k , e c são
3
W/ m
o,
kg/m
,
J/ kg
ok
C
c
C
(2) Segundo a Eq.(1) e Eq. (2) a unidade de medida da difusividade térmica é,
2 2 2 3 W/ m Wm J/s m m J J s J/ kg kg/m o o C k c C
(3)Em forma geral sabemos que k depende da temperatura. Neste trabalho o é considerado constante. Em HOLMAN (1986) podemos encontrar valores das propriedades de alguns metais, veja Tabela 1.
Tabela 1. Propriedades de alguns metais a
20
oC
Metalk
W/ m
oC
kg/m3c
J/ kg
oC
m /s 2 Prata 41, 6563 10
Ouro1, 27 10
4 Cobre 386,0 8,954 383,1 41,1234 10
Alumínio 58, 418 10
Aço 52,3 10
2.2 Formulação Diferencial
O domínio,
R
2, para a Equação de Condução do Calor é definido como,
2
, : 0 1, 0 1
x y R x y
(4)
onde
pode ser, por exemplo, uma placa quadrada de um certo metal. Neste trabalho
será uma placa de cobre de1 [m ]
2 .O contorno de
é definido por,4 1
i i
(5)
Denote-se a distribuição transiente de temperatura pela função escalar uu x y t
, ,
. A formulação matemática do problema de Condução do Calor 2D e sem fonte é
1 2 4 3 , , , 0, , ,0 0, , 100o , 500o , 0, u u x y t T t u x y x y u u u C u C t T (6)Segundo a forma dada da Eq. (6) é chamada de Problema de Valor Inicial e de Contorno – PVIC. A temperatura nos cantos superiores da placa deve satisfazer:
0,1,
1,1,
100o ,
0,u t u t C t T (7)
Figura 2.1. O domínio
e suas condições de contorno.2.3 Formulação Integral
Na primeira equação de Eq. (6) multipliquemos por
x y,
e integremos em
,
,
,
u
dA
u
dA
x y
t
(8) Pela Eq. (1),
,
,
u
k
dA
u
dA
x y
t
c
(9)
,
,
u
c
dA
k
u
dA
x y
t
(10)
,
,
u
u
c
dA
k
ds
k
u
dA
x y
t
n
(11) ou equivalentemente,
,
,
u
u
c
dA k
u
dA
k
ds
x y
t
n
(12)onde n é o vetor normal à curva . Eq. (12) é a Formulação Integral da Equação de Condução do Calor 2D.
3. MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS GALERKIN
Não é intenção de este minicurso abarcar todos os casos que pode ser estudado pelo Método dos Elementos Finitos e sim elementos simples e com ordem de aproximação linear. Estudaremos os elementos triangulares de Lagrange, ou seja, com nós nos vértices do triângulo. No MEF existem dois tipos de estudos o global e o local.
3.1 Estudo Global
É quando se trabalha com todo o domínio do problema e com todos os nós que existem nele. Definamos a solução aproximada global de upor
1, ,
u
,
n N i i iu x y t
t
x y
(1)onde
N
n é o número de nós da discretização de e
Nn1 i i
as funções bases globais. Como Eq. Erro! Fonte de referência não encontrada. é valida para qualquer
então é valida para uma família finita
j,j
1,
N
n, isto é,j j j
u
u
c
dA k
u
dA
k
ds
t
n
(2)desse modo a Eq. (2) é, na verdade, um sistema de
N
n- equações. A derivada temporal deu
seria,
1, ,
u
,
N i i iu x y t
t
x y
t
(3)e suas derivadas parciais,
1 1, ,
,
, ,
,
u
,
u
N N i i i i i iu x y t
x y
u x y t
x y
t
t
x
x
y
y
(4)Substituindo Eq. (1) em Eq. (2),
1 1 1 u u u , 1, n n n N N N i i i j i i j j i n i i i c t dA k t dA k t ds j N
n (5) ou equivalentemente,
1 1 1 u u u , 1, n n n N N N i i i j i i j i j n i i i t c dA t k dA t k ds j N
n
1 1 1 u u u , 1, n n n N N N i i j i i j i j i n i i i c dA t k dA t k ds t j N
n Assim, temos
1 1 u u 0, 1, n n N N i i j j i j j j n j j c dA t k dA k ds t i N
n (6)Sejam as matrizes globais,
n n ij N N i j M m c dA
(7)
1 1+
n n j j i i ij N N i jK
k
k
dA
k
dA
x
x
y
y
(8)
2 2 n n i ij N N j K k k
ds
n (9)onde M é a matriz massa e 1 2
KK K a matriz rigidez. Logo,
1 2
u u 0 ij j ij ij j m k k (10) ou equivalentemente,
u
u
u 0
0
M
K
f
(11)onde f f x y
, 0 é o termo fonte. Podemos observar que Eq. (11) representa um sistema linear de EDO.3.2 Estudo Local
Chamado, também, estudo Elementar e é quando se trabalha com um elemento arbitrário do domínio e com todos os nós que existem nele.
Na Figura 1 temos um elemento arbitrário e de cujos nós são,
1 1, 1 , 2 2, 2 , 3 3, 3
Figura 1. Elemento arbitrário e com seus respectivos nós.
Defina-se a solução aproximada elementar de
u
e por
3
1, ,
u
,
e e i i iu
x y t
t w x y
(13)onde as bases locais lineares para cada elemento e são:
1 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 2 2 1 1 2 2 1 1 , 2 1 , 2 1 , 2 e e e w x y x y x y y y x x x y A w x y x y x y y y x x x y A w x y x y x y y y x x x y A (14)onde
A
e é a área de cada elemento e. Para cada elemento arbitrário, e, definamos1 3 2 1 2 3 1 2 3 3 2 2 1 3 2 3 1 2 3 1 1 3 3 2 1 3 1 2 3 1 2 2 1
a
x
x
b
y
y
d
x y
x y
a
x
x
b
y
y
d
x y
x y
a
x
x
b
y
y
d
x y
x y
(15)O Jacobiano de um elemento arbitrário, e, é definido por
3 2 2 3
e
J a b a b (16)
e
J
e
2
A
e.Substituindo equações (15) e (16) em Eq. (14) temos que as bases locais ficam
1
, , 1, 2,3 i e i i i w x y d b x a y i J (17)Com a única finalidade de simplificar os cálculos de integrais sobre e, transformaremos o triângulo e num triangulo
ˆe
centrado na origem, tal como mostra a Figura 3.Figura 2. Transformação do triangulo e no triangulo
ˆe
.Considerando esta transformação, temos
1 2 3 , 1 , , w w w (18)Fazendo alguns cálculos encontramos as coordenadas de área (ou coordenadas naturais),
1,
2,
3
dadas por
1 , 1, 2,3 i e di b xi a yi i J (19)De aqui temos que as bases locais coincidem com as coordenadas de área,
1 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 3 , , , , , , w w w (20)Desse modo, o cálculo da integral de uma função
f
f x y
,
sobre um elemento qualquer, e, seria
, ˆ
, ˆ
1, 2, 3
1 2e e
ef x y dxdyJ e f
d d
J e f
d d
(21)As derivadas das coordenadas de área seriam
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 e e e e e e b a x J y J b a x J y J b a x J y J
(22)e para calcular a integral de
f x y
,
x
sobre e, temos 1 2 3 1 2 ˆ 1 2 3 1 2 3 1 2 ˆ 1 2 3 + + e e e e f f f f dxdy J d d x x x x f f f b b b d d
(23)De forma análoga para a seguinte integral
1 2 3 1 2 ˆ 1 2 3 + e e f f f f dxdy a a a d d y
(24)A fórmula para calcular a integral sobre um elemento
ˆe
é dada por
1 2 3 1 2 0 ˆ ! ! ! , , , 2 ! p q r e p q r d d p q r p q r
(25)Seja ei um segmento do contorno de e. Definimos o comprimento de e i por
L
i, 2 2 2 2 2 2 1 3 3,
2 1 1,
3 2 2L
a
b
L
a
b
L
a
b
(26)A fórmula para calcular a integral de linha sobre o segmento e i é dada por
ˆ 1 2 1 2 0 ! ! , , 1 ! e e i i p q p q i i p q w w ds L ds L p q p q
(27)Procedendo de forma análoga, como no caso global, chegamos ao seguinte sistema linear de EDO
u u u 0 0 e e e e e e M K f (28)onde
f
e
0
é o termo fonte.3.3 Cálculo das Matrizes e Vetores Elementares
Agora calcularemos as matrizes elementares: a matriz massa e a matriz de rigidez e os vetores elementares: vetor carga.
3.3.1. Matriz “Massa”
3 3 e e ij e i j M m
c w w dA
(29)1 2 e e i j i j i j e e e
c w w dxdy
cJ
w w d d
cJ
d d
Então,
3 3 e e e ij ijM
m
cJ I
(30)onde Iij
e i j d d 1 2 é calculada pela formula dada em Eq. (25), isto é,1 2 1 se 12 1 se 24 ij e i j i j I d d i j
(31) 3.3.2. Matriz “Rigidez”A Matriz “Rigidez” elementar é dada por
1 2 e e e
K
K
K
(32) Cálculo de K1e
1 1 3 3 e e ij e xi xj yi yj K k k
w w w w dA (33) então
1e 1 2 ij xi xj yi yj xi xj yi yj ij ij e e e k k
w w w w dAk
w w dA
w w dA k I I (34) onde, 1 ij e xi xjI
w w dA
(35) e 2 ij yi yj eI
w w dA
(36) Calculando 1 ij I temos que 1 1 2 3 1 2 3 ˆ 1 2 3 1 2 3 1 i i i j j j ij e xi xj e e I w w dA b b b b b b dA J
(37)
ˆ ˆ 1 1 j i k s e e k s k ik s js e e b b dA J b b dA J
ˆ 1 ˆ 1 1 1 2 e ij e e i j e i j e i j I b b dA b b A b b J J J
(38) Por tanto, 11
2
ij e i jI
b b
J
(39)De forma análoga temos para
ˆ 2 ˆ 1 1 1 2 e ij e e i j e i j e i j I a a dA a a A a a J J J
(40) ou seja, 2 1 2 ij e i j I a a J (41)Substituindo equações (39) e (41) em Eq. (34),
1 1 3 3 1 1 2 2 2 e e ij e i j e i j e i j i j k K k k b b a a b b a a J J J (42) Cálculo de 2e KCom ajuda da Eq. (12), calculemos a normal exterior em cada lado do elemento e, veja Figura 4:
1 2 1 2 1 2 1 3 3 1 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 3 2 2 3 2 2 , , n , , , n , , , n , v n n x x y y a b b a v n n x x y y a b b a v n n x x y y a b b a (43)Como as normais que precisamos devem ser unitárias, então
3 3 11 12 1 1
n
, n
,
n
n
b
a
(44) 1 1 21 22 2 2n
, n
,
n
n
b
a
(45) 2 2 31 32 3 3n
, n
,
n
n
b
a
(46)Figura 3. Fronteira de um elemento arbitrário.
Seja
n
o vetor normal à curva 3 1 e e i i
. Então
2 2n
e e e i ij N N j ijw
K
k
k
w ds
kII
(47) onde
1 1 2 2 3 3n
n
n
n
n
e e e e e i ij j i j i j i j i jw
II
w ds
w
w ds
w
w ds
w
w ds
w
w ds
(48)Para calcular a matriz IIij devemos saber qual é o lado do elemento que faz parte da fronteira
do domínio . Suponhamos que 1 e , então
1 11 12 n + n e a ij ij xi yi j I II w w w ds
Calculo deI
ija
ˆ 1 1 ˆ 1 1 11 12 11 12 1 1 11 12 11 12 1 11 12 1 11 1 12 1 11 1 12 1 2 11 2 12 2 11 2 12 n + n n + n 1! n n n n 1 1 ! n n 2 n n n n 0 n n n n 0 2 0 0 0 e e e a ij xi yi j e i i j i i j i i e e i i e e L I w w w ds b a ds J L L b a ds b a J J L b a J b a b a L b a b a J
Suponhamos que 2 e , então
2 21 22 n + n e b ij ij xi yi j I II w w w ds
Calculo deI
ijb
2 2 21 22 21 22 2 2 21 2 22 2 21 2 22 3 21 3 22 3 21 3 22 n + n n n 2 0 0 0 0 n n n n 2 0 n n n n e b ij xi yi j e i i e L I w w w ds b a J L b a b a J b a b a
Suponhamos que 3 e , então
3 31 32 n + n e c ij ij xi yi j I II w w w ds
Calculo deI
ijc
2 3 31 32 31 32 1 31 1 32 1 31 1 32 3 3 31 3 32 3 31 3 32 n + n n n 2 n n 0 n n 0 0 0 2 n n 0 n n e c ij xi yi j e i i e L I w w w ds b a J b a b a L J b a b a
3.4 Domínio Discretizado
Na Figura 4, observamos uma malha para . Esta malha nos fornece os seguintes dados:
12,
11,
3,
8
e n i c n i
N
N
N
N
N
N
(49)onde Ne é o Número de elementos, Nn é o Número de nós, Ni é o Número de incógnitas e c
N é o Número de nós no contorno.
Por exemplo, para o elemento 1 , como mostra a Figura 5,
Figura 5. Elemento número 1 da Malha.
temos que para i9, j3 e k7 definimos a seguintes matriz elementar e o vetor derivada elementar, respectivamente,
(1) (1) (1) (1) 99 93 97 9 (1) (1) (1) (1) (1) (1) (1) 39 33 37 3 3 3 (1) (1) (1) (1) 79 73 77 7 u , u u u ij m m m m m m m m m m m (50)Na Fig. 5, a escolha do nó i coincidir com o nó 9 é feita pelo software gerador de malha. De forma análoga, temos para
1(1) 1(1) 1(1) 2(1) 2(1) 2(1) 99 93 97 99 93 97 1(1) 1(1) 1(1) 1(1) 1(1) 2(1) 2(1) 2(1) 2(1) 2(1) 39 33 37 39 33 37 3 3 3 3 1(1) 1(1) 1(1) 2(1) 2(1) 2(1) 79 73 77 79 73 77 , ij ij k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k (51) e (1) (1) 9 9 (1) (1) (1) (1) 3 3 (1) (1) 7 7 u u u , u f f f f (52)Do mesmo modo faz para todos os elementos da malha.
3.5 Ensamblagem
Consiste em montar todas as Ne matrizes elementares numa única matriz chamada de matriz
global cuja ordem é NnNn.
3.5.1 Montagem
Uma maneira de visualizar todas as matrizes elementares numa única matriz é como mostramos a continuação
1 (1) 2 (2) ( ) 1 1 1(1) 2(1) 2 2 1(2) 2(2) 1( ) 2( )
u
0
0
0
0
u
0
0
u
u
0
0
0
0
0
0
0
0
u
0
0
0
0
u
e e e e e e N N N N N Nm
m
m
f
k
k
k
k
f
k
k
f
(53)3.5.2 Obtenção da Matriz e Vetor Global
O gerador de malha nos fornece um arquivo de dados, assim como mostra a Tabela 1. Tabela 1 Elemento i j k 1 9 3 7 2 6 3 9 3 5 2 9 4 9 2 6 5 10 1 5 6 8 1 10 7 5 9 10 8 7 4 11 9 11 4 8 10 11 9 7 11 11 8 10 12 9 11 10
Como o Ne 12, então devemos elaborar 12 tabelas cada uma com sua respectiva matriz elementar. A seguir estas tabelas,
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11
Observe que a cor escura, em cada tabela, representa as componentes das matrizes elementares. O passo seguinte é imaginar-se que estas tabelas representam matrizes de ordem 11 11 . Compreendido isso, agora só temos que somar estas 12 matrizes, resultando em uma única matriz (ou tabela). Esta matriz é chamada matriz global.
Tabela 2. Matriz global de ordem 11 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 511+611 0 0 0 515 0 0 618 0 51,10+61,10 0 2 0 322+422 0 0 325 426 0 0 329+429 0 0 3 0 0 133+233 0 0 236 137 0 139+239 0 0 4 0 0 0 844+944 0 0 847 948 0 0 84,11+94,11 5 551 352 0 0 355+555 +755 0 0 0 359+759 55,10+75,10 0 6 0 462 263 0 0 266+466 0 0 269+469 0 0 7 0 0 173 874 0 0 177+877 +1077 0 179+1079 0 87,11+107,11 8 681 0 0 984 0 0 0 688+988 +1188 0 68,10+118,10 98,11+118,11 9 0 392+492 193+293 0 395+795 296+496 197+1097 0 199+299 +399+499 +799+1099 +1299 79,10+129,10 109,11+129,11 10 510,1+610,1 0 0 0 510,5 +710,5 0 0 610,8 +1110,8 710,9+ 1210,9 510,10+ 610,10+ 710,10+ 1110,10+ 1210,10 1110,11 +1210,11 11 0 0 0 811,4+ 911,4 0 0 811,7+ 1011,7 911,8+ 1111,8 1011,9+ 1211,9 1111,10 1211,10 811,11+911,11 +1011,11+ 1111,11+1211,11
A estrutura da matriz global tem a seguinte forma
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
onde os quadradinhos brancos representam os zeros da matriz. De forma análoga, devemos elaborar 12 colunas cada uma com seu respectivo vetor elementar. A seguir estas colunas,
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tabela 3. Vetor global de ordem 11 1 1 51+61 2 32+42 3 13+23 4 84+94 5 35+55+75 6 26+46 7 17+87+107 8 68+98+118 9 19+29+39+79+109+129 10 510+610+710+1110+1210 11 811+9110+1011+1111+1211
Agora expressemos em forma matricial
11 15 18 1 10 22 25 26 29 33 36 37 39 44 47 48 4 11 51 52 55 59 5 10 62 63 66 69 73 74 77 79 7 10 81 84 88 8 10 8 11 92 93 95 96 97 99 9 10 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 1 2 3 4 5 6 7 8 1 9 10 1 10 5 10 8 10 9 10 10 10 11 10 11 4 11 7 11 8 11 9 11 10 11 11 11 u u u u u u u u u 0 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 u m m m m m m m m m m m m + 11 15 18 1 10 22 25 26 29 33 36 37 39 44 47 48 4 11 51 52 55 59 5 10 62 63 66 69 73 74 77 79 7 10 81 84 88 8 10 8 11 92 93 95 96 97 99 9 10 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 9 9 10 1 10 5 10 8 10 9 10 10 10 11 10 10 11 4 11 7 11 8 11 9 11 10 11 11 11 11 u u u u u u u u u 0 0 0 0 0 u 0 0 0 0 0 u f f f f f f f f f k k k k k k f k k k k k k f
1 2
u u g g g g g g M K K f (54)u u
g g g g g
M K f (55)
onde g
0
f
eK
g
K
1g
K
2g.3.5.3 Obtenção da Matriz e Vetor a Resolver
Análise na matriz M . Usando as condições de contorno
11 m 0 0 0 m15 0 0 m18 0 m1 10 0 0 m22 0 0 m25 m26 0 0 m29 0 0 0 0 m33 0 0 m36 m37 0 m39 0 0 0 0 0 m44 0 0 m47 m48 0 0 m4 11 51 m m52 0 0 m55 0 0 0 m59 m5 10 0 0 m62 m63 0 0 m66 0 0 m69 0 0 0 0 m73 m74 0 0 m77 0 m79 0 m7 10 81 m 0 0 m84 0 0 0 m88 0 m8 10 m8 11 92 93 95 96 97 10 1 10 5 1 1 99 9 10 9 11 10 9 10 10 10 11 11 9 11 1 0 8 11 4 11 7 11 8 0 11 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 u 0 0 0 0 m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m 2 u 3 u 4 u 5 u 6 u 7 u 8 u 9 10 11 u u u
De forma análoga para a matriz K. Desse modo temos
99 9 10 9 11 9 99 9 10 9 11 9 9 10 9 10 10 10 11 10 10 9 10 10 10 11 10 10 11 9 11 10 11 11 11 11 9 11 10 11 11 11 11 u u u u u u i i N N m m m k k k f m m m k k k f m m m k k k f 92 93 95 96 97 10 1 10 5 10 8 11 4 11 7 11 8 92 93 95 1 2 3 4 5 6 7 9 8 u u u u u u u u 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 i c M N N m m m m m m m m m m m k k k k 6 97 10 1 10 5 10 8 11 4 11 7 11 8 1 2 3 4 5 6 7 8 u 0 0 0 0 0 0 0 u u u u u u 0 0 u 0 0 i c K N N k k k k k k k ou equivalentemente
u u u u M K f M K (56) onde
f
0
. Assim,u
u f
M
K
(57) onde f f M u K u3.6 Solução do Sistema de EDO
Malha temporalO tamanho de passo temporal é definido por:
T
t
N
(58) e os nós temporais, por 0,
1,
nt
t
n t
n
N
(59)onde
t
0
0
é o tempo inicial.Condição Inicial
0 0u t (60)
Regra do Médio ponto Generalizado De Eq. (60), temos que
0
0
u
(61) Faça paran
1,
N
1
1 1 u f 1 f un n n n M t K M t K t (62)Observe que Eq. (62) representa um Sistema de Equações Lineares, veja LEWIS et. al (2004).
Ax
b
(63) onde
1
1u
1
u
f
1
f
n n n nA
M
t K
x
b
M
t K
t
(64)Para resolver o Sistema Linear em Eq. (63) usamos o método SOR. Lembrando que
0
1
. Neste trabalho usamos
0,5
.4. RESULTADOS NUMÉRICOS
O código computacional foi implementado na Linguagem Fortran (Compaq Visual Fortran). Os programas foram rodados num laptop T6500 Processador Intel CoreTM 2 Duo. Para a geração da malha se uso o software (livre) Gmsh 2.5.0 e para pós-processamento se uso o software (comercial) Tecplot 360.
4.1
Malha Estruturada e não Estruturada
As Figuras 4.1 e 4.2 mostram dois tipos de malhas que foram geradas com o software Gmsh, uma Malha Estruturada e uma Malha não Estruturada.
Figura 4.1 Malha Estruturada. Figura 4.2 Malha não Estruturada
A Tabela 4.1 mostra o Número de elemento e o Número de nós das duas malhas. Tabela 4.1 Elementos e nós das malhas
Tipo de Malha Ne Nn
Estruturada 1024 545
Não Estruturada 824 449
4.2
Resultados Numéricos
O Número de incógnitas que resultou da malha estruturada foi Ni481 e da malha não estruturada foi Ni377. O tempo CPU após atingir o estado permanente é mostrado na Tabela 4.2.
Tabela 4.2 Número de incógnitas e tempo CPU. Tipo de Malha Ni Tempo CPU em [s]
Estruturada 481 22
As Figuras 4.3 e 4.4 mostram a convergência ao longo do tempo da distribuição de temperatura em ambas as malhas. Usou-se um 3
5 10
t
e se atingiu o estado estacionário em 2 [s] com N400. Também, pode-se observar que a distribuição de temperatura na placa quadrada começa a diminuir uniformemente desde a parte superior até um pouco mais da metade da placa em forma de elipses concêntricas. Por exemplo, o valor da temperatura no centro da placa, isto é, em
0.5,0.5
é de 195,84[oC].Figura 4.3 Distribuição de temperatura na malha estruturada.
Figura 4.4 Distribuição de temperatura na malha não estruturada.
A seguir mostraremos alguns quadros, em instantes de tempo diferentes, do estado transiente da condução do calor até atingir o estado estacionário.
0 [ ] t s
0,5 [ ] t s 1 [ ] t s 2 [ ] t s
Figura 4.5 Distribuição de temperatura em alguns instantes de tempo, desde o tempo inicial até o tempo em que atingiu o estado estacionário.
5. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HOLMAN J. P. Heat Transfer. 6a Edição. McGraw-Hill Book Company, New York, 1986.
LEWIS Roland W, NITHIARASU Perumal e SEETHARAMU, Kankanhally N. Fundamentals of the Finite Element Method for Heat and Fluid Flow. John Wiley and Sons, 2004
