VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-O problema da trissecção
do ângulo
FRANCISCOMEDEIROS1 LUCAS GUANABARA2 20 de abril de 20171IFRN Campus Natal-Central,
docente.ifrn.edu.br/franciscomedeiros
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Sumário
1 Introdução 5 1.1 Contextualização . . . 51.2 Um pouco mais de história . . . 6
2 Construção por meio de régua e compasso 11
2.1 Os Instrumentos e as Regras . . . 11
2.2 Construções básicas . . . 12
2.3 Linguagem algébrica . . . 15
3 Solução do problema 23
3.1 Algumas ferramentas do Cálculo . . . 23
3.2 cos 20◦não é construtível . . . 26
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-4 SUMÁRIOVIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Lista de Figuras
1.1 Solução de Arquimedes para a trissecção do ânguloAOB. . . . .d 8
2.1 Construção de um ponto C fora da reta r. . . . 12
2.2 Construção de uma reta paralela a r passando por P /∈ r. . . . 13
2.3 Losango AP SQ. . . . 13
2.4 Construção de uma reta perpendicular a r passando por P /∈ r. . . 14
2.5 Construção da mediatriz de um segmento AB. . . . 14
2.6 Construção da bissetriz do ânguloAOB. . . .d 15 2.7 Construção de Z a partir de 0 e 1. . . 16
2.8 semirreta de origem em 0 passando por C. . . . 17
2.9 Construção do número 1/a. . . . 18
2.10 Ângulo α. . . . 19
2.11 Construção do ângulo de 60 graus. . . 20
2.12 Relação entre a construção de α e a do cos α. . . . 20
2.13 Trissecção do ângulo de 90◦. . . 21
3.1 TVI: dado f (a) < d < f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d. . . 24
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-6 LISTA DE FIGURASVIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Prefácio
Essas notas são parte de um trabalho de Iniciação Científica do estudante Lucas Matheus Augusto Olimpio Guanabara, graduando do curso de Licenciatura em Matemática do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte, Campus Natal-Central (IFRN-CNAT).
O trabalho se resumia em uma pesquisa sobre (i) a história da geometria na Grécia Antiga, especialmente sobre os três problemas clássicos; (ii) a vida e a obra de matemáticos como Gauss e Abel; (iii) as diferenças entre a régua e o compasso euclidianos com os instrumentos de mesmo nome usados atualmente; e (iv) a histó-ria da solução do problema da trissecção do ângulo. Com base na leitura de [3], vi que poderia acrescentar à pesquisa alguns tópicos de Cálculo Diferencial para que o estudante pudesse usá-los no entendimento de algumas partes da solução clássica do problema da trissecção. Daí a ideia de se preparar um minicurso com essa abor-dagem do Cálculo Diferencial na solução de um problema clássico da Geometria, cuja solução se deu, concomitantemente, com o desenvolvimento da Álgebra.
Portanto, o trabalho aqui apresentado é uma exposição elementar, sem muitas formalidades, sobre a solução de um dos mais famosos problemas da Grécia An-tiga, com algumas pitadas de Cálculo Diferencial. O conhecimento do Cálculo Diferencial de uma variável e noções básicas de Geometria Euclidiana Plana são suficientes para o entendimento dessas notas.
Quanto à confecção das notas em si, o estudante Lucas Guanabara contribuiu com a construção do Capítulo1, que conta um pouco da história do problema da trissecção, e elaborou boa parte das figuras espalhadas ao longo do texto, todas elas geradas no GeoGebra1. No Capítulo2, apresentamos os instrumentos euclidianos, a noção de números construtíveis e algumas de suas propriedades, necessárias à solução do problema da trissecção. Deixamos para o Capítulo3o arcabouço da prova da impossibilidade de trissecção de um ângulo arbitrário com o uso de apenas régua e compasso, além de uma breve explanação dos principais resultados de Cálculo Diferencial que utilizamos na solução do problema.
Natal, abril de 2017 Francisco Batista de Medeiros
1https://www.geogebra.org/about
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2 LISTA DE FIGURASVIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Agradecimentos
Agradecemos o apoio do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte, Campus Natal-Central (IFRN-CNAT), em especial, às di-retorias de Pesquisa (DIPEQ/CNAT) e de Atividades Estudantis (DIAES/CNAT), que por meio de auxílio financeiro, tornaram possível nossa participação na VIII Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática. O segundo autor também gostaria de deixar registrado seu agradecimento ao Programa de Educação Tutorial (PET) da Física. É com satisfação que agradecemos também ao nosso colega Ailton Dan-tas de Lima, professor de Língua Portuguesa, pela leitura e pelas diversas corre-ções.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-4 LISTA DE FIGURASVIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Capítulo 1
Introdução
“No processo mecânico se perde irremediavelmente o melhor da ge-ometria.”
– Platão (427 – 347 a.C.), p. 200 de [5]
1.1
Contextualização
Os problemas matemáticos da Grécia Antiga formavam um conjunto de pro-blemas geométricos em que se procuravam as soluções usando apenas régua e compasso, ou seja, problemas de construções geométricas, para usar um termo mais moderno. Para os gregos, construir significava construir apenas com régua e compasso. Esses problemas surgiam quando os gregos esbarravam na dificuldade de, apenas com régua e compasso, realizar algumas construções, como a de um heptágono regular.
Podemos dizer que há três desses problemas muito famosos e já bem estudados pela comunidade matemática: o problema da Quadratura do Círculo, em que se buscava construir um quadrado cuja área fosse igual à área de um círculo dado; o problema da Duplicação do Cubo, em que se tentava construir um cubo cujo volume fosse o dobro do volume de um cubo dado; e o problema da Trissecção do Ângulo, em que se buscava construir o ângulo α/3 a partir de um dado ângulo
α. Porém, os gregos não tinham ainda o instrumental matemático necessário para
mostrar que tais construções eram, na verdade, impossíveis, o que viria ocorrer somente nos tempos modernos, mais de 2.000 anos após suas formulações. Deve ser ressaltado que os instrumentos utilizados pelos gregos eram diferentes daque-les com mesmo nome dos dias de hoje. Por exemplo, diferentemente das réguas atuais, a régua utilizada por eles não possuía marcações e servia apenas como um instrumento que permitia ligar dois pontos de um plano. Já o compasso, quando é retirado do plano, se fecha (vide Seção2.1para os detalhes sobre os instrumentos e as regras).
Apesar de a história do completo esclarecimento deste problema ser uma das 5
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO mais interessantes e instrutivas da história da Matemática(J. P. Q. Carneiro em [10]), vamos nos ater aqui a apenas uma pequena parte da viagem no tempo sobre o problema da Trissecção do Ângulo. Escolhemos esse problema devido a uma peculiaridade dele em relação aos problemas da Quadratura do Círculo e da Du-plicação do Cubo. A saber, além da origem do problema da trissecção ser pouco clara, temos também o fato de alguns ângulos admitirem trissecção, como o ân-gulo de 90◦ (vide Exemplo 3), enquanto não podemos quadrar um círculo nem duplicar um cubo, usando apenas régua e compasso, quaisquer que sejam seu raio e sua aresta, respectivamente. Esses fatos, de certa forma, tornam o problema da trissecção um pouco mais instigante em relação aos demais.Não poderíamos terminar essa pequena introdução sem antes dizer que um dos nossos objetivos é mostrar como podemos usar algumas ferramentas do Cálculo Diferencial, como o Teorema do Valor Intermediário, na resolução do problema da trissecção do ângulo. Talvez seja esse o único tratamento pouco usual (para a solução desse problema) apresentado nessas notas. Para isso, usamos [3], como principal referência, além dos livros [2,7,10].
1.2
Um pouco mais de história
Algumas teorias sobre o surgimento do problema
Os problemas da quadratura do círculo e da duplicação do cubo possuem suas lendas, e até mesmo origens (veja, por exemplo, Cap. 4 de [4] ou [9]), bem aceitas pelos historiadores. Porém, as origens do problema da trissecção do ângulo são obscuras. Acredita-se que ele tenha surgido no contexto de problemas de cons-trução de polígonos regulares, tendo em vista que a conscons-trução de um polígono de nove lados envolve a trissecção do ângulo de 60◦ e que há evidências na lite-ratura que levam a supor que a construção de polígonos regulares foi um assunto bastante estudado pelos matemáticos da Grécia Antiga, talvez incentivados pela descoberta da construção do pentágono regular pelos Pitagóricos. Por exemplo, os antigos gregos achavam que podiam dividir ângulos em qualquer número de partes iguais por acharem ser possível construir um polígono regular com qualquer nú-mero de lados, por meio da divisão de um círculo em n lados iguais (problema de construção do n-ágono). Os gregos antigos conseguiram construir n-ágonos para
n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16 . . . . Note que tanto o heptágono (n = 7) quanto
o eneágono (n = 9) não aparecem na lista. Isso porque, muito tempo depois, já no século XIX, o matemático alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) mostrou que alguns polígonos regulares não eram construtíveis por meio de apenas régua e compasso, através da publicação do seguinte teorema:
O n-ágono regular pode ser construído por meio de régua e compasso se e somente se
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-1.2. UM POUCO MAIS DE HISTÓRIA 7 onde r ≥ 0 e p1 < p2 < · · · < ps são números primos da forma
22m+ 1. (Gauss, 1801)
Assim, por exemplo, não era possível construir polígonos regulares com 7, 9, 11, 13, 14 e 18 lados.
Há também suspeitas que o problema da trissecção do ângulo tenha ocupado os matemáticos no período do problema da duplicação do cubo:
É provável que o terceiro problema célebre, a trissecção do ângulo, tenha também ocupado a atenção dos geômetras no período do pro-blema da duplicação do cubo. Não há dúvida que os egípcios conhe-ciam como dividir um ângulo ou o arco de um círculo, em duas partes iguais; assim eles também deviam saber como dividir um ângulo reto em três partes iguais. Nós já vimos, além do mais, que a construção do pentágono regular era conhecida de Pitágoras e podemos inferir que ele podia dividir um ângulo reto em cinco partes. Deste modo, nessa altura, o problema da trissecção de um ângulo, ou o de dividir um ângulo num número qualquer de partes iguais, podia surgir natu-ralmente. (ALLMAN, 2005)1
No entanto, não podemos excluir a hipótese de esse problema ter nascido como uma extensão natural da bissecção de um ângulo, tarefa extremamente fácil e pos-sível de executar com régua e compasso (vide Problema5). A divisão de um seg-mento de reta em várias partes iguais com esses instruseg-mentos é simples (vide Exer-cício5) e poderia, também, ter levado ao problema da trissecção do ângulo, num esforço de transpor para ângulos o que era possível efetuar em segmentos de reta.
Algumas “soluções” do problema
Tendo em vista o simples enunciado dos três problemas, parecia que suas solu-ções seriam uma tarefa trivial. Talvez por esse fato tenha sido difícil os gregos da antiguidade aceitarem que não era possível encontrar soluções usando aqueles ins-trumentos. Então, é natural que se encontrem, ao longo do tempo, várias tentativas para resolver o problema. Por exemplo, parece ter sido Hipócrates (por volta de 430 a.C.) quem fez a primeira contribuição aos problemas clássicos da Grécia An-tiga, inclusive apresentando uma solução para o problema da trissecção do ângulo, porém com uma construção impossível de se realizar por meio das ferramentas dos gregos antigos. No entanto, há autores que defendem ser Nicomedes, matemático grego do século II a.C., o primeiro matemático a apresentar uma solução para os três problemas. Para isso, construiu uma curva mecânica que ficou conhecida como Conchoide de Nicomedes, tornando sua solução fora do universo das construções geométricas permitidas pelos gregos antigos. A construção dessa curva e a solução de cada um dos três problemas (por Nicomedes) estão bem detalhadas em [5].
1
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Existe também uma solução para o problema da trissecção do ângulo dada por Arquimedes (287 – 212 a.C.), fazendo uso de uma régua com marcações (inexis-tente no problema original): seja \AOB o ângulo a ser trisseccionado usando umarégua com marcas (indicando segmentos de comprimento igual a r). Primeiro, tra-çamos um círculo de raio r e centro O, com OA = OB = r. Vejamos como marcar os pontos C e D, como na Figura1.1, de modo que CD = r. Para tanto, observe que, mantendo uma extremidade da régua no ponto B, temos que a distân-cia entre pontos alinhados com B, um sobre o círculo e o outro sobre a reta OA, varia de zero (quando ambas coincidem com o ponto de interseção do círculo com a reta OA) até o infinito (no caso em que a régua passando por B está pararela a
OA). Assim, existem pontos C e D tais que CD = r. Não é difícil mostrar que
\
CDO = \COD = 13AOB (deixamos a cargo do leitor a verificação desse fato,\ assim como a determinação do terço do ângulo no próprio ângulo).
Figura 1.1: Solução de Arquimedes para a trissecção do ângulo \AOB.
Na prática, Arquimedes toma uma reta que passa por B e, tendo o cuidado para que ela passe sempre por esse ponto, movimenta-a para que o segmento CD seja igual ao raio r do círculo. Isso é exatamente o que se chama de construção neusis: ajusta-se um segmento (o raio r) entre o círculo e a linha reta que passa por B e por D.
Apesar da comunidade matemática se debruçar durante um longo tempo (cerca de dois mil anos) na tentativa de resolver o problema da trissecção, não se conse-guiu encontrar uma solução apenas com o uso da régua e do compasso. O pro-blema só foi resolvido no final do século XIX, depois dos trabalhos de Gauss e do matemático norueguês Niels Henrik Abel (1802 – 1829) relativos à resolução de equações algébricas por meio de radicais. Mais especificamente, ao se traduzir o problema da trissecção para o universo algébrico, notou-se que a solução depende da teoria das equações cúbicas, i.e., de conceitos algébricos que foram sendo de-senvolvidos ao longo do tempo. O primeiro avanço considerável na solução do problema foi o teorema de Gauss, publicado em 1801, que caracteriza os n-ágonos regulares construtíveis (vide início dessa seção). Contudo, Gauss apenas mostrou que se n é um número da forma 2rp1p2· · · ps, com r ≥ 0 e p1 < p2 < · · · < ps
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-1.2. UM POUCO MAIS DE HISTÓRIA 9 primos de Fermat, então o n-ágono regular é construtível por régua e compasso, i.e., não mostrou que essa condição também é necessária.
A primeira demonstração efetiva da impossibilidade da trissecção do ângulo foi apresentada pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1848) no artigo [11], publicado em 1837. Neste trabalho seu principal objetivo era mostrar porque algumas construções podem ser efetuadas com régua e compasso, enquanto outras não. O caminho seguido por Wantzel foi, em primeiro lugar, traduzir o pro-blema geométrico para uma linguagem algébrica, i.e., como sair de um propro-blema de construção geométrica para um problema sobre número construtível (vide Se-ção2.3). Em seguida, ele determinou que as construções com régua e compasso são efetivamente aquelas tais que os números que as compõem possam ser obtidos por meio de uma quantidade finita de operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas. Isso porque com régua e compasso é possí-vel efetuar, finitamente, todas essas operações (vide Exercícios2e3da Seção2.3). É justamente esse o caminho que seguimos nessas notas.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃOVIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Capítulo 2
Construção por meio de régua e
compasso
Neste capítulo apresentamos os instrumentos, as construções permitidas com eles e alguns exemplos, como a construção da mediatriz de um segmento e da bis-setriz de um ângulo. Apresentamos também a noção de números construtíveis, jun-tamente com a tradução de alguns problemas de construção geométrica para pro-blemas de natureza algébrica, assim como alguns resultados sobre números cons-trutíveis (úteis para a resolução do problema da trissecção). Para sua elaboração, usamos [10] como referência principal.
2.1
Os Instrumentos e as Regras
A régua é um objeto reto sem qualquer marcação, que serve apenas para ligar dois pontos de um plano, mas não para medir ou marcar distâncias. Isto é, se conhecemos dois pontos distintos de um plano, então a régua nos permite (apenas!) traçar uma reta passando por esses pontos. Já o compasso, podemos dizer que é um objeto sem rigidez (i.e., não preserva sua abertura quando alguma de suas extremidades é retirada do plano) que nos permite traçar um círculo a partir de dois pontos distintos, sendo um deles o centro e o outro um ponto do círculo. Esses instrumentos são comumente chamados de instrumentos euclidianos.
Com base nesses instrumentos e regras, diremos que um ponto A é construtível se podemos determinar A através da interseção de duas retas, da interseção de uma reta com um círculoou da interseção de dois círculos, tendo as retas e/ou círculos previamente construídos. Estas são o que chamamos de construções elementares. Cabe ainda resaltar aqui alguns tipos de construções não permitidas:
• traçar um círculo de raio ou centro arbitrários;
• usar uma graduação previamente preparada da régua ou do compasso1;
1Como, por exemplo, usou Arquimedes na sua solução (vide construção da Figura1.1na Seção 1.2).
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-12 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO POR MEIO DE RÉGUA E COMPASSO • tomar sobre uma reta um ponto arbitrário;
• deslizar a régua até uma certa posição; etc.
2.2
Construções básicas
Vejamos abaixo alguns exemplos de construções possíveis, todas elas bem co-nhecidas pelos gregos antigos (há mais de 2000 anos). Para facilitar o entendi-mento, sugerimos ao leitor acompanhar os passos da solução na respectiva ima-gem.
Construção de um ponto fora de uma reta
Problema 1. Construa um ponto fora da reta r determinada por A e B.
Solução. Trace os círculos de centro A passando por B2e de centro B passando por A3(Figura2.1). A interseção desses dois círculos determina um ponto C (não arbitrário!) fora da reta r.
Figura 2.1: Construção de um ponto C fora da reta r.
Construção de uma reta paralela
Problema 2. Seja P um ponto fora de uma reta r, determinada por A e B, cons-trua uma reta que passe porP e seja paralela a r.
Solução. Construa os seguintes círculos de mesmo raio: (i) o círculo de centro A passando por P (raio AP ), que determina um ponto Q sobre r; e (ii) o círculo de centro Q passando por A (raio QA) – Figura2.2. Com a interseção desses dois círculos no semiplano que contém P , contrói-se um ponto S que, juntamente com o ponto P , determina uma reta paralela a r.
2
Isto é, o círculo de centro A e raio AB. 3
VIII
Bienal
da
Sociedade
Br
asileir
a
de
Mateamática
-Rio
de
Janeir
o
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Br
asileir
a
de
Mateamática
-Rio
de
Janeir
o
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Soci
edade
Br
asileir
a
de
Matemática
Rio
de
Janeir
o-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2.2. CONSTRUÇÕES BÁSICAS 13Figura 2.2: Construção de uma reta paralela a r passando por P /∈ r. De fato, como os dois círculos têm o mesmo raio, por construção, então o quadri-látero AP SQ é um losango e, portanto, seus lados P S e AQ são paralelos (Figura
2.3).
Figura 2.3: Losango AP SQ.
Construção de uma reta perpendicular
Problema 3. Seja P um ponto fora de uma reta r, determinada por A e B, cons-trua uma reta que passe porP e seja perpendicular a r.
Solução. Trace o círculo de centro P e raio P A para construir um ponto C (dife-rente de A) na interseção desse círculo com r. Em seguida, construa dois círculos de centros A e C, ambos passando por P , para determinar um ponto Q (diferente de P ) na interseção desses círculos (Figura2.4). Então, a reta que liga os pontos
P e Q é perpendicular a r.
De fato, basta notar que o quadrilátero CPAQ da Figura2.4 é um losango com diagonais P Q e AC, as quais são perpendiculares entre si.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-14 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO POR MEIO DE RÉGUA E COMPASSO
Figura 2.4: Construção de uma reta perpendicular a r passando por P /∈ r.
Construção da mediatriz de um segmento
A mediatriz de um segmento AB é a reta perpendicular a AB que contém seu ponto médio.
Problema 4. Construa a mediatriz do segmento AB.
Solução.Basta traçar a reta determinada pelos pontos da interseção dos dois círcu-los construídos na solução do Problema1(por quê?) – Figura2.5.
Figura 2.5: Construção da mediatriz de um segmento AB.
Construção da bissetriz de um ângulo
A bissetriz de um ângulo \AOB é a semirreta OC que divide o ângulo em dois
outros iguais, isto é, tal que [AOC = \COB. Esse processo é chamado também de
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2.3. LINGUAGEM ALGÉBRICA 15 Problema 5. Construa a bissetriz do ângulo \AOB.Solução.Trace um círculo de centro O passando por um ponto X sobre a semirreta
OB e considere Y como sendo o ponto da interseção desse círculo com o outro lado
do ângulo \AOB, como indicado na Figura2.6. Em seguida, trace dois círculos de mesmo raio com centros em X e Y e ambos passando por O4. A interseção desses círculos determinam um ponto C para a construção da bissetriz OC (Figura2.6).
Figura 2.6: Construção da bissetriz do ângulo \AOB.
De fato, basta observar que a construção acima determina dois triângulos congru-entes (pelo caso LLL): OXC e OY C.
Divisão de um segmento em partes iguais
Exercício 1. Divida um segmento AB em três partes iguais. Generalize sua cons-trução paran partes iguais.
A partir de agora, quando e se necessário, podemos utilizar livremente essas construções apenas mencionando-as, como, por exemplo, “trace uma paralela a reta r passando pelo ponto P ”.
2.3
Linguagem algébrica
A formulação algébrica de um problema de construção geométrica é especi-almente útil quando não conseguimos resolvê-lo a partir das construções básicas
4
Note que é “necessário” indicar o centro e outro ponto, pois não podemos simplesmente dizer “trace dois círculos de mesmo raio com centros em X e Y ” tendo em vista que os instrumentos eucli-dianos não nos permitem transportar medidas usando marcações na régua e/ou abertura do compasso. Colocamos aspas na palavra necessário porque é sabido que qualquer construção realizada com um compasso modernotambém pode ser feita com o compasso euclidiano (vide, por exemplo, Exercício 4.1 de [4], p. 149, ou Exercício 10 de [8], p. 84), mesmo que para isso seja necessário dar um número maior de passos.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Br
asileir
a
de
Mateamática
-Rio
de
Janeir
o
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Br
asileir
a
de
Mateamática
-Rio
de
Janeir
o
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Soci
edade
Br
asileir
a
de
Matemática
Rio
de
Janeir
o-RJ
-IMP
A/UFRJ
-16 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO POR MEIO DE RÉGUA E COMPASSO apresentadas. Queremos dizer com isso que podemos adotar, como incógnita, al-gum segmento desconhecido e tentar obtê-lo em função dos dados conhecidos no problema, para então efetuar manipulações algébricas na fórmula obtida. Uma consequência interessante desse tipo de abordagem é a possibilidade de trabalhar-mos com números construtíveis em vez de segmentos construtíveis, como veretrabalhar-mos a seguir.
Números construtíveis
Antes de iniciar o tópico em si, é bom ressaltar que o exposto a seguir é apenas um resumo superficial da teoria dos números construtíveis. Isso porque um estudo detalhado dessa teoria nos tomaria muito tempo e espaço, além de fugir dos obje-tivos destas notas. Para quem quiser se aprofundar e tiver algum conhecimento de Álgebra Moderna, sugerimos a leitura de [8]. Se ainda não fez um curso de Álge-bra, sugerimos a leitura do Apêndice de [10], que aborda o assunto de forma clara e, ao mesmo tempo, sem formalismos algébricos. Além disso, essas duas obras trazem as justificativas dos resultados citados abaixo.
Vamos começar fixando uma reta r determinada pelos pontos A(0, 0) e B(1, 0) (eixo das abscissas do plano cartesiano), de modo que cada ponto de r determina um único número real, e vice-versa. Assim, diremos que um número real x é construtívelquando o ponto P (x, 0) sobre r for construtível (a partir de AB). Por exemplo, o número racional 12 é construtível porque o ponto médio do segmento
AB tem coordenadas (12, 0). É dessa forma que podemos substituir segmentos
constutíveispor números construtíveis.
A partir de agora, a menos que haja menção em contrário, estamos assumindo
r como sendo a reta determinada pelos pontos A(0, 0) e B(1, 0).
Exemplo 1. É fácil ver que os inteiros são construtíveis, como mostra a Figura
2.7.
Figura 2.7: Construção de Z a partir de 0 e 1.
Exercício 2. Generalize o Exemplo1mostrando que sea e b são números
VIII
Bienal
da
Sociedade
Br
asileir
a
de
Mateamática
-Rio
de
Janeir
o
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Br
asileir
a
de
Mateamática
-Rio
de
Janeir
o
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Soci
edade
Br
asileir
a
de
Matemática
Rio
de
Janeir
o-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2.3. LINGUAGEM ALGÉBRICA 17 Exercício 3. Sejam a 6= 0 e b dois números construtíveis, mostre que:(a) 1/a é construtível; e (b) a · b é construtível.
Solução. Faremos (a) e deixamos (b) como exercício. Suponha, sem perda de generalidade, que a > 1 e considere a seguinte sequência de passos:
• construa uma semirreta com origem em A(0, 0) passando por um ponto C fora da reta r (Figura2.8);
Figura 2.8: semirreta de origem em 0 passando por C.
• com o compasso centrado em A e abertura AB, onde B é o ponto (1, 0), construa um ponto A0sobre a semirreta AC de modo que AC0 = AB = 1; faça o mesmo para determinar sobre AC um ponto D cujo segmento de origem em A tem comprimento a (Figura2.9);
• ligue o ponto B ao ponto D (Figura2.9); e
• trace uma paralela a BD passando por A0(Figura2.9).
Então, a interseção da última reta construída com r produz um ponto de abscissa
x = 1/a. De fato, como os dois triângulos da Figura2.9são semelhantes, temos
que x/1 = 1/a.
Disso podemos concluir que todos os números racionais são construtíveis5. Porém não são os únicos, como mostra o exercício abaixo.
Exercício 4. Mostre que se a > 0 é número construtível, então√a também será
construtível. Use isso para mostrar que
q
1 +√2 é construtível.
5Na verdade, costumamos dizer que as propriedades obtidas nos Exercícios2e3dão uma estru-tura algébrica de corpo para o conjunto do números construtíveis.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-18 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO POR MEIO DE RÉGUA E COMPASSO
Figura 2.9: Construção do número 1/a.
Note que se a = p/q é um racional positivo, entãopp/q é um número
cons-trutível dado por uma das raízes da equação do segundo grau qx2− p = 0, com coeficientes inteiros. Já
q
1 +√2 é um número construtível que é uma das raízes da equação polinomial x4− 2x2− 1 = 0, também com coeficientes inteiros. Esses
dois casos não são fatos isolados, mas casos particulares do resultado abaixo. Teorema 1. Todo número construtível é raiz de uma equação polinomial de coefi-cientes inteiros.
O leitor mais experiente deve lembrar que números (reais ou complexos) que são raízes de polinômios com coeficientes inteiros são chamados de algébricos, enquanto os outros são ditos transcendentes6. Então, do teorema anterior, podemos concluir que todo número construtível é algébrico e que todo número transcendente não é construtível. Por exemplo, π é transcendente (vide, por exemplo, [6]) e, portanto, não é construtível. Mas será que é verdadeira a recíproca do Teorema1, isto é, será que todo número algébrico é construtível? A resposta é não, conforme indica o resultado abaixo.
Teorema 2. Um número algébrico e irracional será construtível somente se ele for raiz de um polinômioirredutível cujo grau é uma potência de 2.
Antes dos comentários sobre o teorema, lembremos o significado de polinômio irredutível: um polinômio com coeficientes inteiros é dito irredutível quando não pode ser escrito como produto de dois outros polinômios (com coeficientes intei-ros) de graus positivos menores. Por exemplo, x2− 2 é irredutível (por quê?), mas
x4− 2x2não o é, pois x4− 2x2= x2· (x2− 2).
6
A obra [6] contém uma exposição interessante sobre a teoria dos números algébricos e transcen-dentes. Cabe ressaltar que, para um bom entendimento do texto, é necessário que o estudante tenha conhecimento do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2.3. LINGUAGEM ALGÉBRICA 19 Sobre o Teorema 2, note que o resultado em si não garante a existência de números algébricos que não são constru´tiveis, pois precisamos mostrar que existe algum irracional que é raiz de um polinômio irredutível (com coeficientes inteiros) com grau diferente de uma potência de 2 (vide Exercício5abaixo). Note também que 3 deve ser o menor grau de um polinômio nestas condições.Exercício 5. Mostre que x3− 2 é irredutível e conclua que √3
2 é um irracional algébrico não construtível.
Ângulos construtíveis
Vimos, na seção anterior, como construir, usando apenas régua e compasso, a bissetriz de um ângulo arbitrário. Porém, até o momento, não falamos nada sobre “ângulo construtível”.
Inicialmente, lembremos que, naquele momento, a construção da bissetriz do ângulo \AOB se deu através da construção de um ponto C, fora de OA e OB,
necessário para a determinação da semirreta OC (vide Figura2.6). Na prática, o que fizemos foi resolver o seguinte problema: a partir de duas semirretas de mesma origem, construímos uma nova semirreta que dividiu na metade o ângulo formado pelas duas semirretas dadas. Logo, temos a seguinte definição: dizemos que um ângulo α é construtível quando, a partir de uma dada semirreta OA, de origem
O, é possível construir uma semirreta OB, de mesma origem, tal que \AOB = α
(Figura2.10).
Figura 2.10: Ângulo α.
Exemplo 2. Vejamos como construir um ângulo de 60 graus a partir de uma se-mirretaOA. Trace dois círculos de mesmo raio, um centrado em O passando por A e o outro de centro A e passando por O. Eles se interceptam num ponto B
fora da semirretaOA (Figura2.11). Como o ∆AOB é equilátero, então o ângulo \
AOB = 60◦, como queríamos construir.
Note que a construção acima é praticamente a mesma dada para a determinação do ponto médio de OA, i.e., análoga à construção do número 12 se considerarmos
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-20 CAPÍTULO 2. CONSTRUÇÃO POR MEIO DE RÉGUA E COMPASSO
Figura 2.11: Construção do ângulo de 60 graus.
OA como unidade. Queremos dizer com isso que a construção do ângulo de 60
graus é equivalente à construção do seu cosseno (cos 60◦ = 12). De forma geral, um ângulo α será construtível se e somente se cos α for um número construtível (vide Figura2.12).
Figura 2.12: Relação entre a construção de α e a do cos α.
Note que, com isso, estamos transportando um problema geométrico para o universoalgébrico.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-2.3. LINGUAGEM ALGÉBRICA 21 Exemplo 3. Vamos usar isto para mostrar que o ângulo de 90 gruas pode ser trisseccionado. Primeiro, note que dividir o ângulo de 90◦ em três ângulos de mesma medida é o mesmo que construir o ângulo de30◦a partir de uma semirreta ou de duas semirretas de mesma origem que formam um ângulo reto, que pode ser feito usando a linguagem algébrica (porque seu cosseno,cos 30◦ =√ 3 2 , é um
número construtível pelosExercícios 2 e 3) ou usando, efetivamente, a régua e o compasso, como ilustrado na Figura2.13 (deixamos para o leitor a tarefa de entender e explicar a construção). Cabe ressaltar novamente que a trissecção do ângulo de90◦, por meio de régua e compasso, era conhecida pelos gregos antigos.
Figura 2.13: Trissecção do ângulo de 90◦. Exercício 6. Mostre que o ângulo de 45◦pode ser trisseccionado.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Capítulo 3
Solução do problema
Apresentamos neste capítulo um esboço da prova da impossibilidade de tris-secção de um ângulo arbitrário com o uso de apenas régua e compasso. Mais espe-cificamente, veremos que, por meio desses instrumentos, o ângulo de 60◦não pode ser dividido em três ângulos iguais, i.e., que 20◦não é um ângulo construtível. Para que possamos fazer isso e, ao mesmo tempo, cumprir um dos nossos objetivos, va-mos começar o capítulo com uma explanação dos principais resultados de Cálculo Diferencial que utilizamos na solução do problema. Por exemplo, comentamos sobre o Teorema do Valor Intermediário e usamos a Série de Taylor de algumas funções elementares, a fim de estudar os zeros de uma função polinomial e de de-duzir uma identidade trigonométrica do cosseno do arco triplo, respectivamente. Para o leitor familiarizado com estes conceitos, a Seção3.1pode ser evitada sem maiores prejuízos.
3.1
Algumas ferramentas do Cálculo
Todas as definições e propriedades dos objetos apresentados podem ser encon-tradas em [2].
Teorema do Valor Intermediário (TVI)
O TVI trata de uma propriedade importante das funções contínuas estudadas em cursos de Cálculo Diferencial e de Análise Matemática, sendo neste último com o rigor matemático necessário.
Teorema 3 (TVI). Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a, b], com
f (a) 6= f (b). Então, dado qualquer número d compreendido entre f (a) e f (b),
existec ∈ (a, b) tal que f (c) = d.
Em outras palavras, o TVI garante que para uma função contínua f : [a, b] → R, f (x) assume todos os valores compreendidos entre f (a) e f (b), com x variando em (a, b) – vide Figura3.1.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-24 CAPÍTULO 3. SOLUÇÃO DO PROBLEMA
Figura 3.1: TVI: dado f (a) < d < f (b), existe c ∈ (a, b) tal que f (c) = d. Esse resultado tem importantes aplicações, tanto teórica quanto prática. Por exem-plo, ele pode ser aplicado para estudar os zeros de uma função contínua e, em particular, as raízes de uma função polinomial. De fato, se p é uma função polino-mial tal que p(x0) e p(x1) tem sinais opostos, então o TVI garante (e não é difícil
acreditar1) que o gráfico de p, ao passar de um lado para o outro do eixo dos x, necessariamente tem de cortar esse eixo, i.e., existe uma raiz de p compreendida entre x0 e x1. Esse procedimento pode ser aplicado quantas vezes for necessário
para determinar todas as raízes (ou raízes aproximadas) de uma dada função poli-nomial – como propomos no exercício abaixo, útil numa das etapas da solução do problema da trissecção.
Exercício 7. Seja p : R → R a função polinomial dada por p(x) = 8x3− 6x − 1. (a) Use oTVI para mostrar que p(x) possui três raízes reais distintas, uma em
cada um dos intervalos(−1, −1/2), (−1/2, 0) e (1/2, 1).
(b) Mostre que seb/a é uma raiz racional de p(x), então a é um divisor de 8 e b
um divisor de−1. Use isso para concluir que as possíveis raízes racionais dep(x) são ±1, ±12, ±14, ±18.
(c) Use (a) e (b) para mostrar quep(x) tem três raízes irracionais e que, em
particular, é irredutível2.
1
Segundo ÁVILA (2004), “até o final do século XVIII esse resultado foi aceito como evidente, sem que ninguém pensasse em demonstrá-lo e foi Bolzano o primeiro matemático a fazer uma ten-tativa séria de demonstrar esse teorema, num trabalho de 1817”.
2
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-3.1. ALGUMAS FERRAMENTAS DO CÁLCULO 25
Série de Taylor & Identidades Trigonométricas
Como já adiantamos, vamos deduzir a fórmula de Euler a partir da Série de Taylor das funções seno, cosseno e exponencial, a partir das quais obteremos uma expressão algébrica para o cosseno do arco triplo, necessária à resolução do pro-blema. Para tanto, primeiro lembremos dessas séries (em torno da origem). Para cada x ∈ R, ex = ∞ X n=0 xn n! = 1 + x + x2 2 + x3 3! + · · · (3.1) cos(x) = ∞ X n=0 (−1)n· x2n (2n)! = 1 − x2 2! + x4 4! − x6 6! + · · · (3.2) sen(x) = ∞ X n=0 (−1)n· x2n+1 (2n + 1)! = x − x3 3! + x5 5! − x7 7! + · · · (3.3) Então, podemos considerar i = √−1 como uma constante para encontrar a série de Taylor de eix a partir de (3.1), reduzindo todas as potências de i a ±i ou ±1. Vejamos: eix = 1 + ix +i 2x2 2! + i3x3 3! + i4x4 4! + i5x5 5! + i6x6 6! + i7x7 7! + · · · (3.4) = 1 + ix −x 2 2! − ix3 3! + x4 4! + ix5 5! − x6 6! − ix7 7! + · · · (3.5) Como a série de eix é absolutamente convergente, então é comutativamente convergente (vide [2], por exemplo) e, portanto, podemos rearranjar os termos de (3.5) da forma eix = (1 −x 2 2! + x4 4! − x6 6! + · · · ) + i · (x − x3 3! + x5 5! − x7 7! + · · · ), (3.6) da qual, juntamente com as séries (3.2) e (3.3), obtemos a fórmula de Euler
eix = cos x + i · senx. (3.7) Exercício 8. Use a igualdade (3.7) para deduzir a equação matemática eiπ+1 = 0 (considerada por muitos como a mais bela identidade matemática).
Finalmente, usaremos a fórmula de Euler para deduzir identidades trigonomé-tricas envolvendo o cosseno e o seno do arco triplo. Para tanto, basta observar que
ei(3x)= (eix)3 e desenvolver os dois lados dessa igualdade usando (3.7):
ei(3x)= cos 3x + i · sen3x (3.8)
(eix)3 = (cos x + i · senx)3 (3.9) = (cos3x − 3 sen2x · cos x) + i · (3 senx · cos2x − sen3x) (3.10)
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-26 CAPÍTULO 3. SOLUÇÃO DO PROBLEMA Igualando o segundo membro das igualdades (3.8) e (3.10), obtemos as seguintes identidades trigonométricas:
cos 3x = cos3x − 3 sen2x · cos x (3.11) sen3x = 3 senx · cos2x − sen3x. (3.12) Note que podemos usar identidade trigonométrica fundamental, sen2x+cos2x =
1, para reescrever as identidades (3.11) e (3.12) da seguinte forma:
cos 3x = 4 cos3x − 3 cos x (3.13) sen3x = 3 senx − 4 sen3x. (3.14)
3.2
cos 20
◦não é construtível
Finalmente, apresentaremos uma prova da impossibilidade da trissecção do ângulo de 60◦com o uso de apenas régua e compasso (instrumentos euclidianos). Como indicado no próprio título da seção, faremos isso traduzindo o problema para o universo algébrico.
Se fosse possível trisseccionar o ângulo de 60◦, então o ângulo de 20◦ seria construtível e, portanto, cos 20◦ seria um número construtível. No entanto, fa-zendo a = cos 20◦e θ = 20◦na fórmula trigonométrica do cosseno do arco triplo cos 3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ (vide (3.13), por exemplo), temos que
1 2 = cos 60 ◦ = cos 3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ = 4 cos320◦− 3 cos 20◦ = 4a3− 3a,
isto é, a = cos 20◦é uma raiz da equação do terceiro grau 8x3− 6x − 1 = 0. Logo, cos 20◦é número algébrico irracional de uma função polinomial cúbica 8x3−6x−1 irredutível – a irracionalidade de cos 20◦ e a irredutibilidade de 8x3 − 6x − 1 seguem do Exercício7– e, portanto, temos do Teorema 2que cos 20◦ não é um número construtível. De onde podemos concluir que o ângulo de 60◦não pode ser trisseccionado por meio de apenas régua e compasso.
VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasil
eira
de
Mateamática
-Rio
de
Janeiro
-RJ
-IMP
A/UFRJ
-VIII
Bienal
da
Sociedade
Brasileira
de
Matemática
Rio
de
Janeiro-RJ
-IMP
A/UFRJ
-Referências Bibliográficas
[1] ALLMAN, George J. Greek Geometry from Thales to Euclid. New York: Kessinger Publishing, 2005.
[2] ÁVILA, Geraldo. Cáculo das funções de uma variável, v.1 & v.2. Rio de Janeiro: LTC, 2004.
[3] AWTREY, Chad. Impossible Geometric Constructions: A Calculus Writing Project. PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Under-graduate Studies, v. 23, n. 2, p. 141-149, 2013.
[4] EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2004.
[5] FERREIRA, Eduardo S. Nicomede e os três Problemas Cássicos Gregos. Re-vista Brasileira de História da Matemática, v. 10, n. 20, p. 197-216, 2010. [6] FIGUEIREDO, Djairo G. de. Números Irracionais e Transcendentes. Rio de
Janeiro: SBM, 2011.
[7] GONÇALVES, Adilson. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: IMPA, 2013. [8] JONES, A., MORRIS, S. e PEARSON, K. Abstract Algebra and Famous
Impossibilties. New York: Springer-Verlag, 1991.
[9] The MacTutor History of Mathematics archive. Ancient Greek mathematics.
http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Greeks. html
[10] WAGNER, Eduardo. Construções Geométricas. Rio de Janeiro: SBM, 2007. [11] WANTZEL, Pierre L. Recherches sur les moyens de reconnaître si un Pro-blème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas. Journal de Mathématiques pures et appliquées, v. 2, p. 366-372, 1837.
