Sistemas de Equações Lineares Algébricas

Sistemas de Equações

Lineares Algébricas

A11x1+ A12x2+ ... + A1nxn = b1 A21x1+ A22x2+ ... + A2nxn = b2 ... ... ... ... ... An1x1 + An2x2+ ... + Annxn = bn A₁₁ A₁₂ ... A_1n x₁ b₁ A₂₁ A₂₂ ... A_2n x₂ b₂ ... ... ... ... ... ... A_n1 A_n2... A_nn x_n b_n A x= bbbb Incógnitas =

Métodos de Solução:

Métodos diretos: resolvem um problema equivalente, obtido através de operações

elementares;

Métodos Diretos:

Eliminação de Gauss: A x= b U x= c

Eliminação de Gauss-Jordan: A x= b I x= d

Decomposição LU: A x= b L U x= b

onde: Ué uma matriz triangular superior (upper);

Lé uma matriz triangular inferior (lower) e

Ié a matriz identidade.

O Método da Eliminação de Gauss

4 x₁-2 x₂+ x₃ = 11 -2 x1+ 4 x2-2 x3 = -16 x₁-2 x₂+ 4 x₃ = 17 Fase de eliminação: 4 -2 1 x1 11 -2 4 -2 x₂ -16 1 -2 4 x3 17 4 -2 1 11 -2-(-1/2)4=0 4-(-1/2)(-2)=3 -2-(-1/2)1=-3/2 -16-(-1/2)11=-21/2 1-(1/4)4=0 -2-(1/4)(-2)=-3/2 4-(1/4)1=15/4 17-(1/4)11=57/4 Equação Pivô. L = -2/4 = -1/2 L = 1/4

4 -2 1 11 0 3 -3/2 -21/2 0 -3/2 15/4 57/4 4 -2 1 11 0 3 -3/2 -21/2 0-(-1/2)0=0 -3/2-(-1/2)3=0 15/4-(-1/2)(-3/2)=3 57/4-(-1/2)(-21/2)=9

Fase de Solução (retrosubstituição):

3x₃= 9 x₃= 3 3x2– 3/2 3 = -21/2 x2= -7/2 + 3/2 = -2 4x1– 2(-2) + (1)(3) = 11 x1= (11 – 3 – 4)/4 = 1 Equação Pivô L = -3/2 /3 = -1/2

O Método da Eliminação de

Gauss-Jordan

A x= b I x= c Matriz Identidade

A transformação de A em I pode ser feita da mesma forma que no Método da Eliminação de Gauss tradicional, onde A é transformada em U. A diferença é que a equação-pivô

transforma todas as outras linhas, mesmo as acima dela própria. As soluções surgem ao se dividir todas as equações pelos valores das diagonais:

A= L U

Os Métodos por Decomposição LU

Triangular superior Triangular inferior A₁₁ A₁₂ A₁₃ A21 A22 A23 = A31 A32 A33 L₁₁ L21 L22 L31 L32 L33 U₁₁ U₁₂ U₁₃ U22 U23 U33 L₁₁U₁₁ L₁₁U₁₂ L₁₁U₁₃ L21U11 L21U12+ L22U22 L21U13+ L22U23 L31U11 L31U12+ L32U22 L31U13+ L32U23+ L33U33 =

12 incógnitas e 9 equações leque de possibilidades de decomposição!

Dependendo das restrições impostas às equações, obtém-se, por exemplo, os seguintes métodos mais comuns:

Decomposição de Doolittle: Lii= 1

Decomposição de Crout: Uii= 1

Decomposição de Choleski: U= LT

Decomposição de Banachiewicz: U= D LT

A solução é realizada assim:

A x= b L U x= b L y= b y U x= y x substituição progressiva retro-substituição

A= L U Lii= 1 A₁₁ A₁₂A₁₃ A21 A22 A23 = A₃₁ A₃₂ A₃₃ 1 L21 1 L₃₁ L₃₂ 1 U₁₁ U₁₂ U₁₃ U22 U23 U₃₃ U₁₁ U₁₂ U₁₃ L21U11 L21U12+ U22 L21U13+ U23 L31U11 L31U12+ L32U22 L31U13+ L32U23+ U33 =

O Método de Decomposição

LU de Doolittle

U11 U12 U13 L₂₁U₁₁ L₂₁U₁₂+ U₂₂ L₂₁U₁₃+ U₂₃ L₃₁U₁₁ L₃₁U₁₂+ L₃₂U₂₂ L₃₁U₁₃+ L₃₂U₂₃+ U₃₃ U₁₁ U₁₂ U₁₃ 0 U₂₂ U₂₃ 0 U22L32 U23L32+ U33 U₁₁ U₁₂ U₁₃ 0 U₂₂ U₂₃ 0 0 U33 A= L = L21U11/ U11= L21 L = L31U11/ U11= L31 L = L32U22/ U22= L32 Os pivôs são os elementos da matriz L! A matriz U.

U11 U12 U13

L₂₁ U₂₂ U₂₃ L31 L32 U33

L\U = O resultado pode ser armazenado assim:

O algoritmo de decomposição é idêntico ao da Eliminação de Gauss. Somente a fase de solução é que apresenta uma etapa a mais:

A= L U U_ii= 1 A11 A12 A13 A14 A₂₁ A₂₂ A₂₃ A₂₄ A31 A32 A33 A34 A41 A42 A43 A44 L₁₁ L₁₁U₁₂ L₁₁U₁₃ L₁₁U₁₄ L21 L21U12+ L22 L21U13 + L22U23 L21U14+ L22U24 L31 L31U12+ L32 L31U13+ L32U23+ L33 L31U14+ L32U24+ L33U34 L₄₁ L₄₁U₁₂+ L₄₂ L₄₁U₁₃+ L₄₂U₂₃+ L₄₃ L₄₁U₁₄+ L₄₂U₂₄+ L₄₃U₃₄+ L₄₄ = L11 L₂₁ L₂₂ L31 L32 L33 L41 L42 L43 L44 = 1 U12 U13 U14 1 U₂₃ U₂₄ 1 U34 1

O Método de Decomposição

LU de Crout

L₁₁= A₁₁ L₂₁= A₂₁ L₃₁= A₃₁ L₄₁= A₄₁ U12= A12/ L11 U13= A13/ L11 U14= A14/ L11 L₂₂= A₂₂– L₂₁U₁₂ L₃₂= A₃₂– L₃₁U₁₂ L₄₂= A₄₂– L₄₁U₁₂ L33= A33– (L31U13+ L32U23) L43= A43– (L41U13+ L42U23) U₂₃= (A₂₃– L₂₁U₁₃) / L₂₂ U₂₄= (A₂₄– L₂₁U₁₄) / L₂₂ U₃₄= (A₃₄– (L₃₁U₁₄+ L₃₂U₂₄)) / L₃₃ L44= A44– (L41U14+ L42U24+ L43U34) Li1= Ai1 i = 1 →n U1j= A1j/ L11 j = 2 → n Ajk-∑LjiUik Lnn= Ann-∑LnkUkn k = 1 n -1 Lij= Aij-∑LikUkj k = 1 j -1 U_jk= L_jj i = 1 j -1

Aqui, nada precisa ser feito!

O Método de Decomposição

LU de Choleski

A= L U U = LT A11 A21 A31 A₂₁ A₂₂ A₃₂ = A₃₁ A₃₂ A₃₃ L11 L₂₁ L₂₁ L₃₁ L₃₂ L₃₃ L112 SIMÉTRICA L₁₁L₂₁ L₂₁2_{+ L} 222 L L L L + L L L 2_{+ L} 2_{+ L} 2 = L11 L12 L13 L₂₂ L₂₃ L₃₃ Simétrica e positivo-definida

L₂₁= A₂₁/ L₁₁ L31= A31/ L11 L32= (A32– L31L21) / L22 Lij= (Aij-∑LikLjk) / Ljj i = j+1 →n k = 1 j -1 L₁₁= A₁₁ L₂₂= A₂₂- L₂₁2 L33= A33– (L312+ L322) Logo: Ljj= Ajj-∑Ljk2 j = 2 →n k = 1 j -1

O Método de Decomposição

LU de Banachiewicz

A= L U U = D LT _L ii= 1 A₁₁ A₂₁ A₃₁ A₂₁ A₂₂ A₃₂ = A31 A32 A33 1 L₂₁ 1 L31 L32 1 D₁ D₂ D3 D_{1 SIMÉTRICA} L21D1 L212D1+ D2 L31D1 L31L21D1+ L32D2 L312D1+ L322D2+ D3 = 1 L₁₂ L₁₃ 1 L₂₃ 1 Simétrica 1 L₂₁ 1 L31 L32 1 D1 D1L12 D1L13 D₂ D₂L₂₃ D3 =

L21= A21/ D1 L31= A31/ D1 L₃₂= (A₃₂– L₃₁L₂₁D₁) / D₂ L_ij= (A_ij-∑L_ikL_jkD_k) / D_j k = 1 j -1 D1= A11 D2= A22– L212D1 D₃= A₃₃– (L₃₁2_D 1+ L322D2) Logo: D_i= A_ii-∑L_ik2_D k k = 1 i -1

O Método Iterativo de Gauss-Seidel

A₁₁x₁+ A₁₂x₂+ A₁₃x₃+ A₁₄x₄ = b₁ A21x1+ A22x2+ A13x3+ A24x4 = b2

A₃₁x₁+ A₃₂x₂+ A₃₃x₃+ A₃₄x₄ = b₃ A₄₁x₁+ A₄₂x₂+ A₁₃x₃+ A₄₄x₄ = b₄

Processo de solução: Calcular [bi-ΣAijxj] / Aii j ≠i j =1 n Escolher x Comparar

Obs.: O processo de convergência pode ser acelerado através de uma técnica conhecida como RELAXAÇÃO. Para o uso desta técnica, a expressão para os xideve ser reescrita assim:

[bi-ΣAijxj] ω/ Aii + (1 -ω) xi

j ≠i j =1 n

Um fator de relaxação, ω, ótimo pode ser encontrado através do seguinte procedimento:

1) Realizar k iterações com ω= 1, ou seja, sem relaxação (k pode ser considerado, por exemplo, igual a 10), e armazenar ∆x(k)₌

abs(x(k-1)_–x(k)_);

2) Realizar mais p iterações com ω= 1 (tomar p igual a 1, por exemplo) e armazenar ∆x(k+p)_{= abs(x}(k+p-1)_–x(k+p)_);

3) Um ωótimo, ou seja, para ser usado em todas as seguintes iterações seria dado por:

Exemplo de Aplicação:

Analisar a estrutura treliçada dada, determinando suas reações vinculares (H2, V2e V3) e as solicitações internas em seus elementos componentes (esforços normais N12, N13e N23). 1 2 ₃ 1000 kN 60o 30o H2 V2 V3 Solução:

Procedendo-se de acordo com o método dos nós:

1 1000 kN N12 N13 60o 30o 2 H2 V2 N12 30o N23 3 60o V3 N13 N23 -N12cos 30o+ N13cos 60o= 0 -N12sen 30o- N13sen 60o- 1000 = 0 N12cos 30o+ N23+ H2= 0 N12sen 30o+ V2= 0 -N13cos 60o- N23= 0 N13sen 60o+ V3= 0

Todas as equações juntas formam o seguinte sistema: -cos 30o _{cos 60}o _{0 0 0 0 N} 12 0 sen 30o _{sen 60}o _{0 0 0 0 N} 13 -1000 cos 30o _{0 1 1 0 0 N} 23 0 sen 30o _{0 0 0 1 0 H} 2 0 0 -cos 60o _{-1 0 0 0 V} 2 0 0 sen 60o _{0 0 0 1 V} 3 0 =

A penúltima equação é realocada para a terceira linha, de forma que não ocorram pivôs nulos:

-cos 30o _{cos 60}o _{0 0 0 0 N} 12 0 sen 30o _{sen 60}o _{0 0 0 0 N} 13 -1000 0 -cos 60o _{-1 0 0 0 N} 23 0 cos 30o _{0 1 1 0 0 H} 2 0 sen 30o _{0 0 0 1 0 V} 2 0 0 sen 60o _{0 0 0 1 V} 3 0 =

Utilizando-se, por exemplo, o Método da Eliminação de Gauss, obtém-se que:

N₁₂ -500 N₁₃ -866 N23 433 H₂ 0 V₂ 250 V3 750 =