ANÁLISE DE EQUAÇÕES DO COEFICIENTE DE PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÃO COM ÁGUA

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Revista Interdisciplinar de Ensino, Pesquisa e Extensão vol. 4 n°1

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ANÁLISE DE EQUAÇÕES DO COEFICIENTE DE PERDA DE CARGA

EM TUBULAÇÃO COM ÁGUA

PIMENTA, D. Bruna1; ROBAINA, D. Adroaldo2; PEITER, X. Marcia3; BRUNING, Jhosefe4; RODRIGUES, A. Silvana4; GIRARDI, B. Leonita5; LOREGIAN, V. Marcos6; RODRIGUES, C. E. Pablo4; KAYSER, P. Luiz7; FLORES, R. Yesica8.

Resumo: Um dos parâmetros mais importantes para o dimensionamento de sistemas de

irrigação é a estimativa de perda de carga das tubulações. Essa verificação pode ser realizada através de várias equações, como a de Darcy- Weisbach, que é utilizada para qualquer líquido e regime de escoamento. Essa utiliza um coeficiente de perda de carga que pode ser mensurado por diversas equações, como a equação implícita de Colebrook-White (CW). O objetivo desse trabalho foi analisar as equações explícitas de Churchill, Swamee-Jain, Chen, Barr, Haaland, Robaina e Sousa-Cunha-Marques e verificar o desempenho das mesmas em relação à equação de Colebrook-White. Através do índice de desempenho foi possível comparar e classificar as equações. A equação de Robaina demonstrou melhor relação com a padrão CW, apresentando elevado grau de associação entre as variáveis, elevada exatidão dos dados e enquadramento na classe de desempenho “ótimo”, além de ser uma equação que não necessita de procedimento iterativo para sua resolução.

Palavras-Chave: Equações explícitas. Darcy-Weisbach. Colebrook-White. Sistemas de

irrigação. Índice de desempenho.

Abstract: One of the most important parameters for the design of irrigation systems is the

estimated loss of load of pipes, and, your check can be performed by equation Darcy- Weisbach. However, this uses a pressure loss coefficient which can be measured by various equations, as implied Colebrook-White equation. The aim of this study was to analyze the explicit equations of Churchill, Swamee-Jain, Chen, Barr, Haaland, Robaina and Sousa-Cunha-Marques and check the performance of the same in relation to the equation of Colebrook-White. Through the performance index was possible to compare and classify the equations. The equation Robaina proved to be the most suitable for determining the pressure loss coefficient, because it showed a high degree of association between variables, high accuracy of the data and framework in the performance class "great", and is an equation that does not require iterative procedure for its resolution.

Keywords: Explicit equations. Darcy- Weisbach . Colebrook -White . Irrigation systems .

Performance Index.

1

Engª Agrônoma. Mestranda em Engenharia Agrícola, Universidade Federal de Santa Maria, UFSM/ Santa Maria, RS, Fone (055) 32209663, bruhpimenta@hotmail.com.

2

Engº Agrônomo. Prof. Doutor, Dpto. Engenharia Rural, UFSM/ Santa Maria, RS, diasrobaina@gmail.com. 3

Engª Agrônoma. Profª. Doutora Dpto. Engenharia Rural, UFSM/ Santa Maria, RS, mpeiter@gmail.com. 4

Mestrando(a) em Engenharia Agrícola – Universidade Federal de Santa Maria, RS. 5

Doutora em Engenharia Agrícola – Universidade Federal de Santa Maria, RS. 6

Graduando em Agronomia – Universidade Federal de Santa Maria, RS. 7

Doutorando em Engenharia Agrícola – Universidade Federal de Santa Maria, RS. 8

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INTRODUÇÃO

O sucesso na obtenção de sistemas de irrigação depende da otimização do projeto hidráulico, ou seja, buscar menor soma dos custos fixos e variáveis (Andrade e Carvalho, 2001). Neste caso, um dos parâmetros mais relevantes é a perda de carga, a qual deve ser determinada com precisão, resultando no sistema de recalque mais econômico. Darcy e Weissbach apresentaram uma expressão geral (Eq. 1) de perda de carga válida para qualquer líquido e regime de escoamento em condutos forçados (Azevedo Neto et al., 1998). Entre as variáveis empregadas nesta fórmula, o fator de atrito (f) é o parâmetro de mais difícil determinação (Macintyre, 1987; Vianna, 1997; Azevedo Neto et al., 1998).

(Eq. 1)

Em que: hf é a perda de carga na tubulação; f é o coeficiente de perda de carga (adimensional); L é o comprimento da tubulação (m); D é o diâmetro interno da tubulação (m); V é a velocidade de escoamento (m²/s) e g é a aceleração da gravidade (9,81m/s²).

Para escoamento laminar (Re < 2000), o cálculo do fator de atrito é feito pela equação de Hagen- Poiseuille (f = 64/Re), sendo apenas uma função do número de Reynolds (Re), o qual depende exclusivamente das propriedades do fluido, do diâmetro do tubo e da velocidade do escoamento. Porém, para escoamento permanente turbulento (Re > 4000), a estimativa do fator de atrito é mais complexa, pois f é uma função da rugosidade relativa (ε/D) das paredes do tubo e do Número de Reynolds (Romeo et al., 2002; Sonnad e Goudar, 2006).

Para o cálculo da perda de carga unitária autores como Allen (1996), Gomes (1999) e Alazba & Elnesr (2011), recomendam as equações de Darcy-Weisbach, Hazen-Williams e Scobey. Contudo, Rettore Neto (2009) afirma que as equações de Hazen-Williams e Scobey são adotadas simplesmente pela facilidade de cálculo, e para Kamand (1988) uma importante limitação dessas duas equações é que um fator de rugosidade constante é assumido para todos os diâmetros e velocidades de escoamento. Em decorrência dessa suposição a perda de carga calculada por tais equações pode diferir significativamente daquela calculada pela equação de Darcy-Weisbach, na qual o fator de atrito varia com as condições de escoamento (Bombardelli e Garcia, 2003).

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453 Muitas equações para predizer o fator de atrito da equação de Darcy-Weisbach têm sido apresentadas nos últimos 80 anos. As primeiras equações requeriam técnicas de soluções implícitas, como a equação de Colebrook-White (1938) (Eq. 2). As equações introduzidas a partir de 1960 já apresentavam técnicas de soluções explícitas (Allen 1996 e Mello et al. 1999).

(Eq. 2)

Em que: Ɛ é a rugosidade absoluta da tubulação (m); Re é o número de Reynolds (adimensional).

Nos estudos de escoamento turbulento uniforme em tubos comerciais rugosos, a equação de Colebrook-White é a mais utilizada para calcular f (Porto, 1988; Romeo et al., 2002; Yoo e Singh, 2005; Sonnad e Goudar, 2006), sendo válida para 2000 <R< 108 e 0 ≤ ε/D ≥ 0,05. Esta equação relaciona o fator de atrito com a rugosidade relativa e com o Número de Reynolds. Ela pode ser utilizada em substituição ao diagrama de Moody, uma vez que simula praticamente todas as curvas do diagrama (Haktanir e Ardıçlıoğlu, 2004). No entanto, é uma fórmula implícita, envolvendo cálculo de iteração para estimar o coeficiente de perda de carga (f). Reconhecendo estas dificuldades, vários autores propuseram aproximações explícitas, tornando-as conveniente para implementações computacionais.

Segundo Brkić (2011), todas as paredes do tubo têm fisicamente superfícies ásperas. O grau de rugosidade varia de acordo com o processo de fabricação, acabamento de superfície, tipo de material de tubo (Hammad, 1999), idade, condições de exploração, etc.

Em meio a infinidade de equações explícitas existentes, algumas são mais específicas, englobando, além do número de Reynolds, a rugosidade do tubo (ɛ), como Churchill (1973), Swamee-Jain (1976), Chen (1979), Barr (1981), Haaland (1983), Robaina (1992), Sousa-Cunha-Marques (1999).

O fato é que, diante dessa diversidade de equações existentes, ocorre dúvidas em qual utilizar para o dimensionamento da perda de carga nos sistemas de irrigação. Diante do exposto, esse trabalho tem como objetivo analisar algumas equações explícitas do coeficiente de perda de carga e verificar o desempenho das mesmas em relação à equação implícita de Colebrook-White.

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FIGURAS E TABELAS

Figura 1. Coeficiente de atrito f calculado pelas equações de (a) Colebrook-White, (b) Churchill, (c) Swamee-Jain, (d) Chen, (e) Barr, (f) Haaland, (g) Robaina, (h) Sousa-Cunha-Marques, em função do número de Reynolds

e da rugosidade. y = 0,9738x-0,331 R² = 0,9722 0,015 0,020 0,025 0,030 0,00 10,00 20,00 f Co lebro o k -White Número de Reynolds (a) x 10000 y = 0,2083x-0,213 R² = 0,9996 0,015 0,018 0,021 0,024 0,00 10,00 20,00 f Churchill Número de Reynolds (b) x 10000 y = 0,2079x-0,213 R² = 0,9996 0,015 0,020 0,025 0,00 10,00 20,00 f Sw a m ee -J a in Número de Reynolds (c) x 10000 y = 0,1714x-0,197 R² = 0,9998 0,015 0,017 0,019 0,021 0,023 0,00 10,00 20,00 f Chen Número de Reynolds (d) x 10000 y = 0,2016x-0,211 R² = 0,9996 0,015 0,017 0,019 0,021 0,023 0,00 10,00 20,00 f B a a r Número de Reynolds (e) x 10000 y = 0,2065x-0,213 R² = 0,9996 0,015 0,020 0,025 0,00 10,00 20,00 f H a a la nd Número de Reynolds (f) x 10000

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455 Tabela 1- Critério de interpretação dos valores do índice desempenho e as respectivas classes

de desempenho (Camargo e Sentelhas, 1997).

Critério de interpretação do índice de desempenho Classes de desempenho

0,85 < Id Ótimo 0,75 < Id ≤ 0,85 Muito Bom 0,65 < Id ≤ 0,75 Bom 0,60 < Id ≤ 0,65 Mediano 0,50 < Id ≤ 0,60 Sofrível 0,40 < Id ≤ 0,50 Mau Id ≤ 0,40 Péssimo

Tabela 2 – Coeficiente de correlação (r), índice de desempenho (Id) e classe de desempenho da equação de Colebrook-White (f1) em relação às equações de Churchill (f2), Swamee-Jain (f3), Chen (f4), Barr (f5), Haaland

(f6), Robaina (f7) e Sousa-Cunha-Marques (f8). Equações r Id Classificação* f1 0,9867 0,35 Péssimo f2 f1 0,9866 0,34 Péssimo f3 f1 0,9800 0,24 Péssimo f4 f1 0,9865 0,31 Péssimo f5 f1 0,9866 0,32 Péssimo f6 y = 1,0896x-0,341 R² = 0,9694 0,015 0,020 0,025 0,030 0,00 10,00 20,00 f Ro ba ina Número de Reynolds (g) x 10000 y = 0,2083x-0,212 R² = 0,9997 0,015 0,017 0,019 0,021 0,023 0,00 10,00 20,00 f So us a -Cunh a -M a rques Número de Reynolds (h) x 10000

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Revista Interdisciplinar de Ensino, Pesquisa e Extensão vol. 4 n°1 456 f1 0,9999 0,99 Ótimo f7 f1 0,9862 0,38 Péssimo f8 *Camargo e Sentelhas (1997) MATERIAL E MÉTODOS

O trabalho foi desenvolvido no Laboratório de Hidráulica Agrícola do Departamento de Engenharia Rural do Centro de Ciências Rurais da Universidade Federal de Santa Maria.

O fornecimento de água para o desenvolvimento do experimento foi realizado com um sistema de bombeamento de água em circuito fechado, utilizando cano de Ploricloreto de Vinila (PVC) rígido com junta soldável de coloração marrom (utilizado para água fria, NBR 5648), com diâmetro externo de 40mm, espessura de parede de 2,35mm e comprimento padrão de 6 metros. A utilização de tubulação de PVC é comumente usada para condução da água (SILVA et al., 2013; RIBEIRO et al., 2014; PERRONI et al., 2015) devido ao fácil acesso, melhor custo benefício e baixa necessidade de manutenção.

A motobomba utilizada foi do modelo Centrífuga BC – 20R, da marca Schneider, trifásica, com 5CV de potência e vazão máxima de 17m³.h-1. Através do hidrômetro (tipo turbina, de vazão nominal 20m3h-1 para uma pressão nominal de 10 metros de coluna de água), a vazão foi obtida a partir do tempo decorrido (medida por um cronômetro) da passagem de um volume de 100 litros de água pelo medidor, sendo esse volume indicado por uma volta completa do ponteiro do instrumento. Houve repetibilidade de execução experimental, efetuando-se oito aberturas do registro. Utilizando-se manômetro diferencial de mercúrio, foi determinada a perda de carga da tubulação em um trecho de 4 metros de distância.

Os cálculos foram executados em planilhas do MS-Excel®. Combinando as velocidades de escoamento com o valor do diâmetro interno do cano (35,3mm), obtiveram-se valores do número de Reynolds variando entre 44.272 e 155.136. A viscosidade cinemática utilizada foi 0,000001m²s-1, sendo que este valor se refere à água com temperatura próxima de 20 ºC. A rugosidade absoluta, que variou entre 0,0001074 e 0,0000129, foi calculada com os valores medidos de perda de carga em cada velocidade de escoamento. Segundo Andrade e Carvalho (2001), os valores da rugosidade absoluta encontrados em bibliografias técnicas são

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457 muito variáveis para um mesmo tipo de material, apresentando uma ampla faixa de valores, dificultando a tomada de decisão pelo técnico projetista.

Para a realização desse trabalho, utilizaram-se as seguintes equações para cálculo do fator f de Darcy-Weisbach: Churchill 1973, (Eq. 3), Swamee-Jain 1976, (Eq. 4), Chen 1979, (Eq. 5), Barr 1981, (Eq. 6), Haaland 1983, (Eq. 7), Robaina 1992, (Eq. 8), Sousa-Cunha-Marques 1999, (Eq. 9). (Eq. 3) (Eq. 4) (Eq. 5) (Eq. 6) (Eq. 7) (Eq. 8) (Eq. 9)

Em que: f é coeficiente de perda de carga (admensional); Ɛ é a rugosidade absoluta da tubulação (m); Re é o número de Reynolds (admensional) e D é o diâmetro interno da tubulação (m).

Os valores da equação de Colebrook-White (valores observados) foram comparados com os valores das demais equações (valores estimados). A exatidão, relacionada ao afastamento dos valores estimados em relação aos medidos, foi determinada pelo índice de Willmott (1981). Seus valores variam de zero, para nenhuma concordância, a um, para a concordância perfeita. O índice de concordância fornece o grau de exatidão entre as variáveis

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458 envolvidas. Com o conjunto de dados foi determinado o índice de concordância de Willmott, calculado por:

(Eq. 10)

Em que: Ei são os valores estimados, Oi são os valores observados, E a média dos

valores estimados e O é a média dos valores observados.

O coeficiente de correlação (r) permite quantificar o grau de associação entre as duas variáveis envolvidas na análise (Schneider et al., 2009), pode ser estimado por:

(Eq. 11) Em que: Ei são os valores estimados, Oi os valores observados, E a média dos valores estimados e O a média dos valores observados.

O grau de associação, representada pelo valor de r, pode ser diretamente proporcional (valores positivos), inversamente proporcional (valores negativos) ou nenhuma associação (zero).

O campo de variação do coeficiente de correlação é de -1 a 1 e quanto maior o seu valor absoluto maior o grau de associação entre as variáveis envolvidas (variável dependente e independente).

A avaliação do desempenho das equações foi feita pelo índice de desempenho (Id), proposto por Camargo e Sentelhas (1997) cujo valor é o produto do coeficiente de correlação e o índice de concordância.

(Eq. 12)

Os mesmos autores propuseram um critério de interpretação do índice de desempenho e das respectivas classes de desempenho que é apresentado na Tabela 1, e foi utilizado neste trabalho.

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RESULTADOS E DISCUSSÕES

A Figura 1 mostra os valores dos coeficientes de perda de carga em função do diâmetro interno do tubo e da rugosidade absoluta. Uma análise visual da mesma permite observar que todas as equações apresentaram valores elevados do coeficiente de determinação (R²), para mesmos valores de número de Reynolds. Porém, os valores obtidos pela equação de Robaina (Figura 1-g) se ajustam melhor aos valores padrões de Colebrook-White (Figura 1-a). De maneira geral, os valores do coeficiente de perda de carga calculados pelos diferentes métodos tendem a se aproximar à medida que aumenta o número de Reynolds (Re), o que corrobora o trabalho de Robaina (1992). Da mesma forma, os valores de rugosidade tendem a ser constantes com o aumento de Re.

A Tabela 2 demonstra o coeficiente de correlação (r), índice de desempenho (Id) e classe de desempenho da equação de Colebrook-White (valores observados) quando comparada com as demais equações (valores estimados). O coeficiente de correlação (r) de todas as análises apresentou valores superiores a 0,98, demonstrando elevado grau de associação entre as variáveis envolvidas. Já o índice de desempenho (Id), que relaciona a exatidão dos dados com o grau de associação entre as variáveis, apresentou valores praticamente uniformes entre as equações analisadas (valores entre 0,24 e 0,38), com exceção da equação de Robaina (f7), a qual seu valor foi superior a 0,99.

A Tabela 1, proposta por Camargo e Sentelhas (1997), apresenta a classe de desempenho das equações comparadas. A classificação do desempenho entre a equação de White e Robaina é “ótimo”, e as demais equações comparadas com Colebrook-White apresentaram desempenho “péssimo”, demonstrando assim, que a melhor opção para cálculo do coeficiente de perda de carga, para a tubulação aqui estudada, é a equação de Robaina (1992).

CONSIDERAÇÕES FINAIS

De acordo com a metodologia proposta nesse estudo, a equação de Robaina demonstrou melhor desempenho quando comparada com a equação de Colebrook-White, para determinação do coeficiente de perda de carga de Darcy-Weisbach, pois apresentou elevado grau de associação entre as variáveis e elevada exatidão dos dados, além de ser uma equação que não necessita de procedimento iterativo para sua resolução.

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