PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN - TRẦN BÁ HÀ

Trần Bá Hà

Giảo viên chuyên Toán Tu nghiệp tại: Instiỉut de Recherche Pour ưenseignement ơes Mathématiques

Paris-France

Phuoìig phấp

Giải toán

TÍCH PHÂN

v ' Dành cho HS lớp 12 chương trình cơ bản vằ nâng cao.

■/" Nâng cao kĩ nãng giải các dạng .bậi thường gập.

Chuẩn bị cho các kì thí quốc gia do Bộ GD&ðT tổ chức.

3DG_MÃ

NHÀ XUẤT bAM SẠI1ỌC QDÍCIIA HÀ NÚI

LỜI NÓI ðẦU

Nhằm giúp học sinh tự học, tựbồi dưỡng kiên thức, Ịárịănggiải tọần tích phân lớp 12 theo chưcmg trình phân ban của bộ giáo ñục và ñảo tạo. Chửng tôi biên soạn tập sách: "Phương phấp giải toấn Tích phân". Sách ñược soạn theo ñúng câu trúc của sách giáo khoa phân bán cùa Bộ giáo dục ñào tạo. Tập sách này gồm 2 phần:

Phần 1: Gồm các vân ñề cơ bản của Nguyên hàm và tích phân, trong phần này chứng tôị tành bày các vâỉh ñề theo trình tự của sách giáo khoa, mỗi vẵh ñề ñều ñược .trình bày các phần: '

- TÓÌXI tắt K thuyết.

- Các dạng bài tập áp dụng (mỗi dạng ñểu có: phương pháp giải, bài tập áp dụng - bài tập tự luyện (có hướng ñẫn - ñáp sổ).

- Bài tập tổng hợp.

Phầii 2: Cấc chụyên ñề liên quan các vấn ñề cơ bấn.'ñể bổ trợ kíềh thức và phương pháp giải toán nhằm giúp học sình ĩuỹện tập giải quyết

tốt các vâri ñê' ở phần 1. 'r

Râìt mong sự góp ý của ñộc giả và ñổng nghiẹp.ñể lẩn xuâ't bản sau

ñược tốt hơn. ■ ■

Mọi ý kiên ñóng góp xin liên hệ:

- Trung tâm sãeh giáo ãục Ânpha

225C Nguyễn Tri Phương, P.9, Q.5, Tp. HCM. - Công ti sách - thiết bị giấo ảục Anpha

- 50 Nguyễn VănSăng, Quận Tân Phú, TP.HCM

ðT: 08.62676463, 38547464.

Email: alphabookcenter@yahoo.com .

Xin trân trọng. cảm <m! ’ >

Trần Bá Hà Giáo viên THPTChyên Lê Quý ðôn-ðà Nang

• Tu:nghiệp.tại:ĩusfịỳutâ£^ểchercỉĩệ

• ■-V V-'’ Pour É^r^ệỉ^ểmeniẩesẶíai^ti^tícịụếs

: ■ '■ ^ ' : Páris-Fráhcé

PHẦN I:

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

VÀ ÚNG DỤNG

§1. NGUYỄN HÀM

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. ðịnh nghĩa; cho biựĩi số ý = f(x} Iiên tục trên khoảịig p ' "

F(x) là ngiiyên hànỊ CUá JỆx) trên ð khi và ñ ẩ khi: F'(x) =^f^x) Vx e D 2. Tính chất CO'bản: ;

+ Nếu F(x) là một ĩ^ỹên- hàrá cùà f(x)§tren ð::thì F(x) + C cùng là nguyên hàm của f(x) trên-D (C là hằng số)

+ Neu F(x) và G(x) ià các iígụýên hàm của hàm số f(x) ửện -ðthi tồn tại

hằng số c ñể

0

(x) = F(x) G

; - V

:i c;

ị :"

+-Ký hiệu: ff(x)dx-: F(x) + c (là ho hgùỵêÌỊ^ham cuầíhạm sồ f(x))

' '■4í:^NTếii‘íCx)--y!^ . A ' '

: . Í Ị ^ x ) ; ^ ' i g ( x ) d x / : •

:/‘:-:-v; • : Ệ:-&ỆíịỂ : •

' •-•••-*’Neụ ff(x)cbế= F(x) 4 c?thi jf(ax + b)dx = J-'f / ■■ ■}* £.

+ Mọi ham sọ ỉiên ịụể treii D: ñều cọ nguyên'hàm trên ð: : \:

3 . B ả n g c ồ n g t h ứ c n g ụ y ê n h à m c c r : b ầ n : Ị - y f ) ỳ ù . ■'íñx W 'Ệ S ể : ỷ í 'Ế ị k -, ' a+i A.’V'V' ■ Jxañx = ■. ■ -T.C (a ^*1) . :Ja^dx - ^ & Ế C . . . J— = l n | x | + C - ' ■ ■ • .'-'-v c lhac ' _{2. -■ •■•■ ...■ ■}■ • ' V fer-sr- dx:= tan x + c . ■ ■ - Jsinkxdx - —— coskx t 'G (kr^M))^ . .. •:...k, . ;}^cosy%}& •ầỊrỉ.^.;0'í::u"- •' .,. - - - 7.d^=,^GC>ix.+, c -^7ỷy::sư-ỷ'r ■£‘Ỳ'/'~~À* 4 ^V'T

n. CÁC DẠNG TOÁN c ơ BẢN:

Bài 1: Chứng minh: F(x) = ln(x + VX2 + 1 ) là một nguyên hàm cùa:

f(x) = -p = i= tr ê n R. Giải: Dy = R vì X + Vx2 + ĩ > 0, Vx e R 1 x 1 + - ị -F ’(x) = ---- y- = = . = .. - = f(x) Vx € R •XH-Vx2 +1 VX2 + 1

Vậy F(x) = ln(x +Vx2 +1) là một nguyên hàm cùa f(x) trên R. Bài 2: Chứng minh F(x) = xsinx + cosx là một nguyên hàm của:

f(x) = xcosx trên R.

Giải:

F ’(x) = sinx + xcosx — sinx = xcosx Vx e. R.

Vậy: F(x) = xsinx + cosx là một nguyên hàm của f(x) = xcosx.

2 ' 1

Bài 3: Chứng minh F(x) = — J= là mội nguyên hàm của hàm sô f(x) = ——=

yjx xvx

trên (0; co)

Giải;

F '(x) = -2 iV = - 2 Í - i | x 3 = - ± = = f(x), Vx s (0; oo)f i ì - 1

—2 1

Vậy F(x) = —Ị-~ AU iu y t lig u j VII IICUII wua M/VS là một nguyên hàm của f(x) =

----VX XV X

Bài 4: Chứng minh hàm số F(x) = — Ỉ-T--- — là một nguyên hàm của 3 cos X cos X

hàmsố:f(x) = ^ 4 ^ ưênmiềnD = R \ { - + k 7t;k eZ }

cos X 2

Vx ^ — + k7t, ta có: 2

•n >y'„\ _ s i n x s i n x s i n x ( l - COS2 x ) s i n 3 x _ .

--- 2 = ---— = 4~ = f (x) COS X COS X COS X COS X

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Bài 5: Chứng minh F(x) = X In + 21n(4 - X2) là môt nguyên hàm của

2 - x hàm số: f(x) = ln 2 + x ữên (-2; 2) 2 “■ X Giải: rp i , 2 + x 4x 4x , 2 + x v ^ ^ _ Ta có: F (x) = ln^— + ■ - = ln^—- = f(x), Vx e (-2; 2) 2 - x 4 - x 4 - X 2 - x Do ñó: F(x) là một nguyên hàm của f(x). Giải:

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = cosxcos3x

Giải:

f(x) = — [cos4x + cos2x]

Jf(x)dx = — J(cos4x + cos2x)ñx = — [—sin4x + Ìsin2x] + c.

2 2 4 2

- ™ , V , „ X x - 1

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của f(x) =

f(x)= 1 -x + 1 Giải: 2 x + 1 íf(x)dx = J(1 -— -—)dx = X — 21n Ị X + 1 1 + c. x + 1

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = xe*2.

Giải:

Ixe*2 dx = — fe*2 d(x2) = — e*2 +c.

J 2 J 2

r 2 ' 7C

Bài 1: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm sô f(x) = cot X biêt F( —) = 0. 4 Giải: 1 sm2 X jcot2 xdx = j(l + cot2 X - l)dx =

J(-“

---- l)dx = -cồíx — X +

c

F(x) = -cotx - X + C; F(—) = 0 o —1 — “ +

c

= 0 4 4

Hay

c

= 1 + —. Vây: F(x) - -cotx - X + 1 + —.

4 ' 4

Bài 2: Cho f(x) = sin3x(l + cotx) + cos3x(ĩ + tanx) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(—) = 1.

4

Giải:

Rút gọn f(x) ta cỏ: f(x) = sinx + cosx

íf(x)dx = sinx — cosx +

c

=> F(x) = sinx — cosx +

c

F(—) = 1 0 SÙI— - cos— +

c

= l < » c = l

4 4 4

Vậy.F(x) = sinx — cosx + 1.

Bài 3: Cho f(x) = --- --- . Tìm nguyên hàm F(x) biết F(— ) = 0.

l + cos2x 3

Giải:

f(x) = — ỉ— = — L _ l + cos2x 2cos X

2 J cos X F(x) - — tanx + c 2 F ( - ) = 0 < » i.V 3 + c = 0 = > c = - — v 3 ' 2 2 Vậy F(x) = ita n x - y .

Bài 4: Cho f(x) = — -, F(x) là môt nguyên hàxn của f(x) tìioả: F(2) X — 1 TínhF(5). Giải: f(x) = —-— => F(x) = ln Ị X — 1 1 + c x - 1 F(2) = l o C = 0=> F(x) = In IX — 1 í Do ñó F(5) = ln4 = 2In2.

Bàỉ 5: Cho f(x) = Vcos4 x + 4sin2 x .

Tun nguyên hàm F(x) của f(x) biét: F(—) =

4 4

Giải:

f(x) = yjCOS4 X + 4(1 - cos2 x) - 2 — cos^ = — (3 — cos2x) 2 F(x) = - (3x - - sin2x) + c F ( - ) = — - - + c = - - < * c = ~ — 4 8 4 4 8 Do ñó F(x) = — (3x - — sin2x) - — . 2 2 8 Bài 6:

a) Chung minh F(x) = tanx ln(sinx) + X là một nguyên hàm của: f(x) = (1 + tan^) ln(sìnx) ừên (0; —)

2 b) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(— ) - —

4 4

a) Vx e (0; —) , F'(x) = —\ —ln(sinx) - - ^ ^ tanx +1 2

Giải:

COS2 X sm x

F '(x) = (1 + tan2x) ln(sinx) = f(s) Vậy F(x) là một nguyên hàm cùa f(x)

1 V ^ \ _ TU , _TU 4 / • 71 V 7Ĩ . n _ 7Ĩ b) F(—) = — <=> tan— ỉn(sin—) + — +

c

= — 4 4 4 4 4 4

c = - Jn— = ln ^

2 Do ñó F(x) = tanx ln(srâx) + In V2 . Bài 7: Cho f(x) = — . s i n X

Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết ñồ thị hàm số y = F(x) ñi qua ñiểm

6 f ( x ) = -s i n 2 X Giải: F(x) = -cotx + c ðỒ thị y = F,(x) ñi qua M (- ; 0 )^ > F (-) = 0 7 6 6 <=> -co t— + c = 0 c = cot— = \Ịầ 6 v 6 Vậy F(x) = -cotx + \/3.

Bài 8: Cho biết F(x) = ——- ỉà nguyên hàm cùa f(x). Tìm. f(x -1 ) x + 1

f(x) = F'(x) == Ỉ £ z i í = 2

Vx + l J ( x + 1)2

Giải:

Do ñó: f(x - 1) =

B àil: Tính / ( x - l ^ - ^ d x

Giải:

ðặt u = X2 — 2x + 3 => u' = 2(x — 1)

J(x - l)ex2~2x+3dx = - Jeuu'dx = - JeMu = ~ e ^ - 2x+3 + c.

2 2 2 Bài 2: Tính f(l + còtz2x) e^^dx Giải: 2 u = C0t2x => u' = --- 9— = — 2(1 + cot22x) sin 2x

1(1 + cot22x) eMt2xcLx = —— íea.u'dx = eMt2K+ c

2 2

Bài 3: Tínhlxsinxdx

Giải:

ðặt u = X => d u d x

dv = sinxdx n>v = -cosx

Do ñỏ: Ịxsinxdx = —xcosx + jcosxdx = —xcosx + sinx + c

Bài 4: Tính J(x - l)exdx

Giải:

ðặt: u = X — ĩ => ñu = dx

d v = e xd x => V = e x

Do ñó: J(x — l)exdx = (x — De* — Je*dx = (x — l)ex — e* + c = (x — 2)ex + c. Bài 5: Tính Jxlnxdx Giải: ðặt u = Inx => du = — X dv = xdx => V = — 2 Doñó: fxlnxdx = — ln x - Ị—dx = — l n x - — + C. ■» 2 J2 2 4 Bài 6: Tính jx3(2 - 3x2)8dx

ðặt t = (2 — 3X2) => dt = -6xdx Íx3(2 - 3xz)sdx = íx2 (2 - 3x2)8xdx = = — t10——t9 + c = — (2 -3 x 2)10——(2 -3 x 2)5 + c. 180 81 180 81 m. BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ NGUYÊN HÀM A. BÀI TẬP Tự LUẬN

Bài 1: Cho f(x) = x-v/3-x . Tìm a, b5 c ñể hàm số F(x) = (ax2 + bx + c) V 3- X là một nguyên hàm của f(x).

Giải:

Ta có: Dy = (—oo; 3]

F'(x) = (2ax + b) a*2+_bx+c + (12a- 3b)x + 6b- c

2^3- X 2V3- X F(x) là nguyên hàm của f(x) <=> F '(x) = f(x), Vx e Dy o -õax2 + (12a — 3b)x + 6b — c = 2x(3 — x), Vx í 3 r\x 1*4.+ _ 2 u _ 2 _ 12 ðông nhât ta có: a = —; b = - —; c = . 5 5 5

Bài 2: Cho f(x) = cos4x - sin^x. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(— ) = 0

Giải:

f(x) = cos^x — sinSc = Sícos^ — sin2x)(cos2x + sin2*:) <=> f(x) = cos2x => F(x) = — sin2x + c

2

F(—) = 0 <=> — sin— + c = 0 <=> c =

6 2 3 4

Vậy F(x) = -sin 2x

Bài 3: Cho f(x) = -■ - * - . Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết V5x + 3 - v ỗ x + l

F(0) = 0.

Giải:

Giải: Do ñó: F(x) = — v 15 1 1 (5x + 3)2 + (5x + 1)2 3 3 (5x + 3)z -^5x + ĩ )2 F(0) = 0<3> — v ' 15 3 3 32 +12

+ c = 0

« • — Ĩ3>/3+lT+C = 0 o C = - — — 15*- J 15 Vậy F(x) = — |^(5x + 3>\/5x + 3 + (5x + l)Võx + lJ - ^. Bài 4: Tìm hàm số y = f(x) nếu biết:

f ’(x) = ax + Ặ ; f(-l) = 2; f(l) = 4 và f ’(1) = 0. X Giải: Ta có: f ’(x) = BX+ \ f(x) = —— — + c X 2 X Từ giả thiết ta cỏ:

— + b + c = 2

2

—- b + c

=4 2 a + b = 0 Giải hê ta có: a - 1, b = -1 ,

c

= — 2 V 2 1 ^ V âyf(x)= — + ■ 2 x 2

Bài 5: Tim hàm số y - f(x) biết ràng: f '(x) = 4 Vx - X và f(4) = 0.

Giải, ỉ '(x) = 4x2 -x = > f(x ) = 4.“ - — +

c

3 2 2 f(4) = 0 O “ 8 + C = 0 o C = -3 40 3 Bài 6: Tìm hàm số y - f(x) biết rằng: f ’(x) = ệ/x + X3 + 1 và f(l) = 2. f'(x) = Xs + X3 +1 => f(x) = ” + — + x + c 4 4 3 f(x) = - x \ / x + —X4 + X + C 4 4

f(l) = 2 < » - + - + l + c = 2 « > c = l

, 4 4 . Vây f(x) — — xy/x + —X4 + X + 1. 4 4

Bài 7: Chứng minh F(x) =

ị

X

ỉ

— ln(l +

Ị

XI) là một nguyên hàm của:

Giải. . Khi X > 0: F '(x) — 1 — Giải: 1 X _{= f(x)} 1+x 1+x Tại X = 0: . Khi X < ( l n í i 4-Ax ) — = 1 -1 = 0

Do ñó: F '(0) = 0. Vậy F '(x) = --- khix> 0 1

+ x

0

khi X =

0 khi X < 0 1 — X

Hay: F '(x) -

= f(x)

l+lxl

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Bài 8: Tim hàm số y — f(x) biết rằng f '(x) = tanx.sin2x và f(

Giải:

f '(x) = tanx.sừi2x = sm x

cosx -2sinxẹosx = 2sin2x 1 . o f T(x) = 1 - cos2x => f(x) = X - — sin2x +

c

r/ ft V _ 71 71 1 . s-ị _ ft , _ 1 f(—) = - » - - - + C = - « C = - - 4 4 4 2 4 2

Vây: f(x) = X - Ỉsin

2

x - —.

2 2

Bài 9: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số , V _ sin X - cos X

a) f(x) = —

sin X + cos X

b) f(x) = cot

2

(

2

x + —)

4

Giải:

a) íf(x)ñx = - fã(sm x —cosx) = -In ỉsin X + COS x| +

c

J J sinx + cosx b) f(x) = cot2 Í2x + —ì = ---sin (2x + —) 4 1 d(2x + —) Do ñó: |f(x)d x= — J--- — d x-Jd x

sin x(

2

x + —)

íf(x)ñx =

cot(

2

x + — ) - X + c.

Bài 10: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: cotx a) f(x) = cot5x; b) f(x) = 1 + sin X Giải: \ fCos5x ,_ f(l - sin2 x)2 ,, . . a) icot xdx = —~ - d x = --- d(sinx) J J sin X J sin X = .(ỊtTTT---- ^ - + ~ \ - ) d ( s i a x ) sinx sin X sin x )

= lnỊsinxl

+—\ ---

^-7

— + c.

sin X 4sin X

.. r cotx - r cosx . r cosxsừis x ,

b) ■ ■ dx= ---—--- 5— dx= — --- g— àx

^ I s u x X cìvi v / 1 _1_ e i n " o i n V f 1 ± c ì n V I

Bài 11: Tính 1 =

* sin x(l + sin9 x) ■* sin9 x(l + sin9 x) _ 1 / d(sin9 x) ì _ _1 / __Ị_______1

9 -^sin9x(l + sin9x)J 9 *^sin9 X 1 + sin9 5 _ 1, sin9 X ^ = - I n — z + c. 9 1 + sin X dx

rínhl =

- 7 = --- — ---v2 + sin X — cos X Giải: dx _ I dx

yỈ2 - V2cos(x + VãỊ^l-cos(x + —)j J/X . dx 1 ị- 2 + 8 2V2 sin2(— + —) ^ sin2(— + —) 2 8 2 8 1 - J I

_&

1 o t f * + l ì + C.

_u

_s)

Bài 12:. TínhJ= J- ^ T COS X. cos(— + x) Giải: ‐ rc ì sin — = 1 4 • ! 71 J

sin — cos X cos(x + —)

d(sin9 x)

J= J= V2 1 _r -d(cos(x + —)₄ . n sin — 4 J 7E cos(x + —) •d(cosx) cosx ln|cos x |-ln cosf x + —

+ c

J= V2 In cosx cos(x + —

+ c.

Giải: k = — |(V2x +T - 42x - l)dx \ J(2x +1)2 d(2x +1) - ị J(2x -1)2 d(2x -1) 2 J ■ 2 = — £(2x

+

l)-\/2x + 1 - ( 2 x - l ) \ / 2 x - l j

+ c .

Bài 14: Tính A = J- dx x l n 5 X Giải: ðăt t = Inx => dt = — X A ' _ r d t 1 n 1 n A - I—T" —----—+ C —--- 7— f"c. J t 5 4t 4 In X Bài 15: Tính B = Jx2V 2 -x 3dx Giải: ðặt t — 2 - X3 => dt = -3 x 2dx o - x2dx = - —dt 3 B = - - ft2dt = - Í Ĩ - Ậ + c = - - ( 2 - x3)n/2-x3 + c. _{s J 3 3 Q 7}

dx Bài 16: Tính

c = f— = _

J(l-x )v /ĩ Giải: ðặt t = yjx => t2 = X ==> 2tdt = dx Q= Ị 2tdt - g f dt J ( l - t 2)t J ( i- t ) ( l + t)~ 1 + t „ , 1 + Vx jf — + - M _{i - t j} dt = ln 1 - t

+ c = ln

l~ V x Bài 17: Tính D =

+ c.

( x - l ) a Giãi: ðặt t = x - l o x = t+ l= > dx = dt - rf‘ ± £ dt . j t e - 4 4 t5 Ji ts t4 t5 dt D = - - L ~ L _ J _ + C = - 2t 3t 4t Bài 18: Tính E = /sin3xcos4xdx. 1 2 - J _ + C 2 (x -1 )2 3(x - 1)3 4(x - 1)4 Giải:

E = -jsin2x cos4xd(cosx) =-1(1 - cos^cos^dCcosx)

ðặt t = cosx => E = -J(l — t^tMt — j(-t4 + te)dt E = —— t5 + — t7 +

c

= ——cos5x + — cos7x + c.

5 7 5 7

Bài 19: Tiah I Ịsin X"s/2cosx-ldx.

Giải: ðặt t = 2cosx — 1 => dt = —2sinxdx sinxdx = - — dt 2 3

1

=

- ị h * ả t = - ~ + c = - í t J t + c

_{2 J 2 3 3} 2

Hay I

=

(2cos

X

- l)V2cosx

-

1 4-

c.

3

.ta n s Bài 20: Tính f— -—dx. J cos X ðặt t = tanx => ñt = Giải: dx COS2 X f - ^ - d x = fetdt = et +C = etanx+C. J COS X J

Bài 21: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hãy tìm họ nguyên hàm của các hàm số: a )y = Vxlnx b) y = X.e-x. Giãi: _ a) ðặt u = lnx => du = — X dv = Vx dx :=> V = W x 3 jVxlnxdx = —xVx l n x - — jVxdx ỊVx In xdx = —xVx In X- —x-s/s + c. J 3 9 b) ðặt u = X => du = dx dv = e~*dx => V = - e “*

íxe^ñx = —xe-* + Je~*dx = —xe-* — e“* + c = —(x + 1)6“* + c.

Bài 22: Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần hãy tìm họ nguyên hàm của: a) y = X sin— b) y = x^lnSx. Giải: a) ðặt u - X => du = dx dv = sm ^ dx => V = —2cos(^r) 2 2

Íxsin-Ẹdx = —2xcos— +2jcos—dx - —2xcos— + 4sin— + c .

2 2 2 2 2

b) ðặt u = ln3x => ñu = — X , 21 = X3 dv = x d x = > v = — 3 fx2 ln3xdx = — ln 3 x - — fx2dx + c = — ln3x- J 3 3 J 3 Bài 23: ðặt In = jxnexdx a) Chứng minh: In = x“ex - , Vn e N* b)TmhI2. Giải: a) I_ 1 = Jxa~1eKdx => (In_j)' = Xn-1.ex

Ta CÓ: [x“ex — nljjJ' = Ĩ1.X0"1. ex + e*xn — n.x11-1. Do ñó: - nlj^j = je^ d x = In (ñpcm).

b) I3 = Jx3exdx

11 = xex —10 = xex — ex = (x — l)ex +

c

12 = X2ex — 2Ij = — 2(xex - e*) +

c

ĩ2 = (x2 - 2x + 2) ex + c. Bài 24: Tính J-xdx sin2 X Giải: ðặt u = X => ñu = ñx , _ dx „ ^ dv = — ị — => V = —cotx sin X Do ñó: f xc^ - _ xcotx + fcotxdx = -sc o tx + J sin X : Bài 25: Tính J- f o ^ dx. = —xeotx + In I sinx ị + c. fln(sin x) cos2x Giải: ðặt u = ln(sinx) => du = cotxdx , dx dv = — r— => V = tanx c o s X Do ñó: x) (Jx _ tan x x) - X + c, J COS X ;x = ex. X11 d(sin x) sin x

B à i 2 6 : T í n h ĩ = J- cosx . Xét 3= 1 t cosx + sinx sinx ■dx. Giải: ■ñx 'cosx+sinx Ta có: I + J = ídx = X + c T T _ f C o s x - s i n x , r, ( s i n x + c o s x ) I . I _

I - J = —— ---- ;----dx= Id----= In Ị sinx + cosx I +

J c o s X + s i n X J c o s X + s i n X Do ñó: I = — (x + In I sinx + cosx I) + c. z B à i 2 7 : T ín h I = f s i n ^x g+ d x ( a là h ằ n g số ). J COS X Giải: SŨ1X. COS a + sin a COS X

c o s 2 X dx - d ( c o s x ) f d ( s i n x ) 1 + sinx — c o s a I---7--- + s i n a — — Jl-s i: cos2 X S1Ĩ12 X cos a 1 _ , --- + —sin a In c o s x 2 1 — sin X

+ c.

B à i 2 8 : T ín h I = Jexl n ( l + e*)dx. ð ặ t u = l n ( l + e x ) d v = e xd x d u =• l + e x Giải: ■dx I = e xl n ( l + e*) - p V = e x\2 (ex) -dx = e * l n ( l + e*) -+ e e * (e x + l ) - e * dx + e = e xl n ( l + e*) - e x + f - i — d x J 1 + e x

= 6*111(1 + e*) - e* +

l n ( e x

+

1

) + c

=

(e x + l ) l n ( e x

+

1

)

- e x

+ c.

Bài 29: Tính A = f— J ỠỈ1 s i n 4 X ñ x . Giải: XétB = f -sin4 X + cos4 X Ta có: A + B = Jdx = X + c A __ f cos4 X - sin 4X , A - B = j— 7---—7— dx cos4 X + s i n 4 X A r» _ f COs2x , _ f COS A - B = — ---- dx = 2 I——— 1 I * 2 n ^ 2 — s i 1 s i n 2 X 2 cos2x 2 - sin2 2xdx _ r_______ d(sin2x)_______ _ 1 ^(sin2x-V 2)(sin2x + V2) 2>/2 Bài 30: a) Tim a, b, c ñể: —— ~ —- = — --- — x(x - 1 ) X X +1 X — 1 sin 2x - >/2 s i n 2 x + -\/2 b) Tinh: r*2 f x -d x. ; •* J x(x2 -1) Giải: V x2- 2 x - l a b c (a +b + c)x2 + (c - b ) x -a a) —--- --- ---—--- ---x(x -1 ) X x + 1 x - 1 x(x + l)(x - 1) ðồng nhất ta có: a + b + c = l -b + c = -2 <=> -a = - l a = 1 b = l c = —1 .V fX2 —2x —1 , fdx r dx f dx b) h s & d x = J T + & / ĩ r r = In IXI + In IX + 1 1 - l n | x - l | +

c=

In x(x +1) X — 1 Bài 31: Chóng minh trên ñoạn [-2; 2] hàm số F(x) = - ~ V ( 4 - X 2)3

3 nguyên hàm của f(x) = 2x. V 4 -x 2 .

+ c.

+ c.

là một

Giải: Vx e (-2; 2) ta có: F ’(x) = - —.—(4 - X2) 2 (-2x) F '(x) = 2x ^ 4 - x 2 = f(x) F ,(“ 24) - lim F ,(“ 24) = lim --- = Um - ( x - 2 ) V 4 - x 2 =0 == lim — (x - 2)V4 -X 2 = 0 = f'(—2) _ 2 / / ._ 2ýỉ ____ F '(21 = lim — ---- ---= lim —(x + 2)^4-X 2 =0 =f'(2) Do ñó F(x) là một nguyên hàm của f(x) ừên [-2; 2]; Giải: dx = 21nIX2

+

5x.+ 6 1 +1hỊx

+

2| -.lnỊx

+

3

| + c.

Bài 33: Tìm một nguyên hàm F(x) cùa hàm sổ f(x) = sin2x. e00^ x biết rằng:

Ịsin 2xecosS Xdx

-

- |e cos2 *ñ(cos2 x)

=

-e 005’x

+ c

F(x) = - e"*'1 + C = > F (-) = - l + C = 0 o C = l 2

v ậ y F (x )-~ e “**x + 1 .

Bài 34: Tim a, b, c ñể F(x) = (ax2 + bx + c)e“x là một nguyên hàm của hàm số: f(x) = (—2X2 + 7x — 4)e-1.

Giải:

F '(x) = {2ax + b)e“x - (ax2 + bx + c)e"x = (-ax2 + (2a - b)x + b - c)e_x x‘ + 5x + 6

Giải:

Bài 35: Cho f(x) = ( W x ~ f )sin2x

l- 2 s m x

Tìm một nguyên hàm F(x) của f(x) biết F(0) = 1.

Giải;

\ - ( l - 4 s i n 2x)sin 2x ,, _ .

f(x)--- — ---- --- = (1 + 2sin x)sin2x 1 — 2 SÙI X

<=> f(x) = sin2x + 2sin2xsinx = sin2x + cosx — cos2x /f(x)dx = —— cos2x + sinx — Ậsữi2x +

c

= F(x).

2 2

F(0) = - - + c = 0<=>c= -

2 2

Vậy F(x) = — cos2x + sinx— — sin2x + Ạ.

2 2 2

Bài 36: Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = sinx^/cosx biết nguyên hàm triệt tiêu khi X = n.

Giảiĩ 4 Jf(x)dx = - J(cos x)^d(cos x) = - C0^ X- +

c

3 F(x)= - - C O S X %/cosx +

c

4 F ( , r ) = - | ( - I ) $ = ĩ j + c = - | + c 4 4 F(tc) = 0 <=> c = — 4

Bài 37: Chứng minh rằng F(x) = -ỊxVl+x2 + ln(xWl+x2)Ị là một nguyên hàm của f(x) = VI + X 2 .

Giải: F '(x) = — 2 1 + ■v/l + x2 + Vĩ + x Vl + X2 x +Vĩ + X2 — Vl + X2 = f(x ), Vx € R Vi-t-x2 +-pS— + — L = V l + X2 V l + X2

Vậy F(x) là một nguyên hàm của f(x).

Bài 38: Cho f(x) = sin3x(l + cotx) + cos3x(l + tanx) (0 < X < — )

Tim nguyên hàm F(x) biết F(—) = 0.

Giải:

___ . 3 COSX^I 3 ( s i n x 'i

f(x) = sin X 1 + ——— + COS X 1 + ■

^ sinx^ V cosx^

= sin3x + cos3x + sin2xcosx + cos2xsinx

= sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + cosx) = sinx + cosx

F(x)

=

sinx — cosx

+ c

F(—) = 0 <»

c

= 0 => F(x) = sinx - cosx. 4

Bài 39: ðê F(x) = (ax + b)ex là nguyên hàm của f(x) = X.ex thì giá trị của a, b bang bao nhiêu?

Giải:

F '(x) = (ax + b + a)ex

ðể F(x) là nguyên hàm của f(x) ta phải có

ía = 1 fa =1 F '(x) = f ( x ) V x e R « ( a x + b + a)ex = xex o ị k I b - -1 Bài 40: Tính I = ị dx xln x „ dx ðặt t = lnx => dt = — X

1= J—

=lnt +

c

Giải: Do ñó: I dx xln x = ln In x

+ c.

Bài 41: Cho biết íf(x)dx = ln2x + c tím f(x).

Giải:

íf(x)dx = l A + c => F(x) = ln2x => f(x) = F ’(x) = . X

Bài 42: Tim họ nguyên hàm của hàm số f(x) = V x.

Giải:

1, ọ — ọ _

jVxdx = Jx2d x X 2 +C = — XVX + c. Bài 43: Cho biết íf(x)dx = — -—- + c tìm f(x).

J (x + l f Giải: Vì F(x) = — ~ = (x + 1)“2 => F '(x) = —2(x + l)-3 ( x + 1)2 Hay: f(x) = ~2 -j . (x + 1) X — X Bài 44: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = ---- -.

x + 1 ■

Giải:

f(x) = 1 ---— => F(x) = X — 2In

Ị

X + 1 Ị + c.

x + 1

Bài 45: Cho f(x) = sinx + cosx. Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) = -1 . 2

Giải:

F(x) = sinx - cosx + c

F ( j ) = - l o l + C = - l o . C = -2

Vậy F(x) = sinx —co sx -2 .

Bài 46: Cho f(x) = sin2x. Tìm nguyên hàm F(x) biết F(—) — 0. 6 Giải: f(x) = sití2x => F(x) - - —cos2x + c 2 F ( - ) = 0 « - - - C O S - + c = 0 < £ > c = —. 6 2 3 4 => F(x) = cos2x + —. • 2 4

Bài 47: Cho Jf(x)dx = ex+1“ +

c.

Tìm f(x).

Giải:

Ta có: F(x) = ex+lnx — e^.e11^ = xex f(x) = F '(x) = (x + l)ex.

Bài 48: Tìm nguyên hảm của f(x) = - x ~ + ^ + ^ 1 + Vx

Giải:

f(x) = xVx - 1 => F(x) = — - X + c.

5 Bài 49: F(x) = ln X — 1

X + 1 là một nguyên hàm của hàm số nào?

Giải: F(x) = ln X — 1 x + 1 F ' M ‐ (x + l) _ 2_ Ỉ W X-1 x* - r x + 1

Vây F(x) là nguyên hàm của f(x) = - f -—

X - 1

B à i50: Tình Jesỉn2x.sừi2xdx.

Giải:

Je™1** sin2xdx

=

Je^M Csin2 x)

=

e5* 2*

+ c.

Bàỉ 51: Cho f(x) = --- --- Tìm nguyên hàm F(x) của f(x) thoả F(—) = 73 .

1 - COS 2x 6 Giải: „ 1 1 f(x) = --- --- = ---- —5— l “ C0s2x 2sin X F(x) = - ” COtX*í-C F(—) = & < = > --.& + c - Vã <=>c= V3+— - — 6 2 2 2 Vậy F(x)“ - — cotx+ 2 2

Bài 52: Tim nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = sưix—COSX ứioả F(—) = 0.

sin X + cos X 4

Giải:

n, , _ sin X - cos X (sin X + COS x)'

f(x) = r „ _{sin X + cos X} = _{sin X + COS X} F(x) = —In I sinx + cosx I + c

F(—) = -ln-v/2

+C

= 0 o h ’>/2 = c o c = Ỉln2

4 2

F(x) = -In sinx + cosx + — ln2. 2 Bài 53: Cho Jf(x)ñx = In x +Vx2 + 1 Giải: ff(x)dx = in---JL= ' + C => F(x) = In--- ?-.... ;• x + vx2 + 1 x + vx2 + l F(x) “ -ln(x + Vx2 +1) f(x) = F'(x)= - (x + ^xZ + 1)' - 1 Bài 54: Cho f(x) = -X W x 2 +1 Vx2 +1 1 sin2 X cos2 X f(x) = -. Tìm nguyên hàm của f(x)-. Giả/: 1 sin2 X cos2 X sin2 X COS2 X F(x) = -cotx + tanx +

c.

dx Bài 55: Tính J' f(x) = X - 3x + 2 1 1 Giải: 1 X - 3x + 2 x - 2 X - 1 Jf(x)dx = In i X - 2 1 - In IX - 1 1 +

c

= In Bài 56: Tính Ịxcosxdx. X - 2 X — 1

+ c.

Giải:

íxcosxdx = jxd(sinx) = xsinx - ísinxdx = xsinx + cosx +

c.

Bài 57: Cho biết F(x) là nguyên hàm của f(x) = — và F(2) = 2 tìm F(-2). Giải: f(x) = - => F(x) = In IX — 11 +

c

X—1 F(2) = 2 <=>ìnl + c = 2 <=>c = 2=> F(x) = 2 + In IX - 1 1 F(-2) = 2 + In I -3 Ị = 2 + ln3. Bài 58: Tính fX-^ -dx. 1+ X Giải:

|x M x = ljdO ±iE!) = l ln|1 + x4| + c .

X + X 4 J 1 + X 4 ' 1

Bài 59: Cho biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = — và ñồ ứiị y = F(x)

COS X cắt Ox tại ñiểm X = — xác ñịnh F(x). Giải: f(x) = => F(x) = tanx +

c

COS X ðồ thị y = F(x) cắt Oxíại x = — « • F(—) = 0 <=> c = —1 F(x) = tanx— 1.

Bài 60: Cho biết F(x) là một nguyên hàm của f(x) = tanx.sin2x thoả F ( ĩ ) = í .T ì m F ( x ) . 4 4 Giẩi: f(x) = tanx.sin2x = 2sìn2x = 1 - cos2x F(x) = X — — sin2x + c 2 F ( ) = <=> ỉ + c = -4 4 4 2 4

c - — =>

F(x)

=

X

- —

sín2x

+ —

. 2 w 2 2

Bài 61: Tìm nguyên hàm của f(x) = sin3x sin2x. Giải: f(x) - sin3x.sin2x = 2sin4x.cosx Jf(x)dx = 2jsin4xd(sinx) = — sin5x + c. 5 Bài 62: Tính jW x + lñx . Giải: ðặt t = Vx+1 o X = t2 - 1 => dx = 2tdt jW x + ldx = 2 J(t2 - l)t2dt =—t5 ——t3 + c 5 3 =—(x + l)2VxTĨ - —(x + l)Vx + l + c. 5 3 Bài 63: Tính h — ^ yjx + l + y j x - l Giải: c dx rVx + l - V x - 1 2 7 = 7--- = --- dx = — V x+1+V X -1 2 3 3 3" (x + 1)2 - ( x - 1 ) 2 + c. Bài 64: Cho jf(x)ñx = Inịcoskxị + c . Tim f(x).

J£ Giải: F(x) = -ilnfcosk x! =>f(x) = F'(x) = — [ k kv coskx ) <=> f(x) = tankx. Bài 65: Tính p ^ Ễ - ñ x . VX Giải: ðặt u = Vx => -^r = 2ñu VX rsinVx , _ e . ^ _ Ị— „

— 7==—dx = 2 sin udu = - 2 eos u + c = - 2 COS VX + c.

Vx J Bài 66: Tính r xdx COS 2x2 ðặt u = 2s2 du = 4xdx J— 2X 2 dx = Ặ I = —tanu + c = —tan2x2+ c. J COS 2x 4 J cos u 4 4

B. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1: Tìm họ nguyên hảm của các hàni số sau:

a) f(x) = x(l - 2X2)2001 1 b)f(x) = ■n/x + 1 + V x-1 c) f(x) = X + Vx + 1 d) f(x) = - ñ) f(x) = — e)f(x) = 2x X W x 2 - 1 2x K + Vx2 - 1 1 1 + 8*

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số: a) f(x) = cos3x.cos3x sinx b) f(x) = l + sin2x c) f(x) = (sin6x + cosex)cos4x. Bài 3: Chứng minh F(x) = — 2 xVx2 + a + a ln |x -h/x2 +aj hàm của f(x) = VX2 4- a

Suy ra họ nguyên hàm của g(x) = Vx2 +1. -3 x 2 + 3x + 5 Bài 4: Cho y = X3 -3 x + 2 a) Um A, B,

c

ñể y -(x-1)2 b) Tìm Ỉ1Ọ nguyên hàm của y. B

c

+— — + ■ x -1 X + 2 Bài 5: Chứng minh F(x) = là nguyên hàm của f(x) X2 X2 ——ln x ---- khi X > 0 khi X = 0 x l n x - —- kid X >0 4

Bài 6: Tim họ nguyên hàm của f(x) =

khi X = 0

x z - 1

là một nguyên

(x + 5x + l)(x - 3x +1)

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của f(x) = tan Ịx + u cot ụx + — J . Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của:

a)f(X) = | ị ^ b ) f ( x ) = - ^ —

X -X X -X

\ r / \ — x f / ^ — x<í + x2 + ^

c f(x) = d) f(x) - — ■

Vx +1 X + X +1

Bài 9: Tìm họ nguyên, hàm của f(x) = sinỊ^x-—j (2 + sin2x).

HƯỚNG D Ẫ N -ð Á P S Ó Bài 1: a) íf(x)dx = --- — ( l- 2 x 2)2002 + c. J 8008 b) Jf(x)dx = —(x + lWx + l - —( x - l) V x - l + c. 3 3 c) Jf(x)dx = — + —(x + l)VxTĨ + C. d) Jf(x)dx = - - X 3 + ~(x2 - ĩ)Vx2 -1 + c. 3 3 ñ) Jf(x)dx= -x3 - - ( x 2-l) v x 2- l- r 0 . 3 3 e) ðăt t = 1 + 8X^ [f(x)dx = —-— ìn — --- hC. J 31n2 1 + 8S Bài 2: 1 3 3 _ 1 a) F(x) - — sin6x + “—sìn4x + —-sin2x+—+ c . 48 32 16 8 M fr \ = 1 s*n x + C0S x + ^ x — C0S x 2 (sin X + COS x)2 _______ 1______ 1 sin X - cos X - 2V 2sin|x + —ì 2(sin x + c0sx)2

F(x) =

2>/2.In tan 2(sinx + cosx) c) F(x) = — sin4x + — sin8x

+ — + c .

32 128 16 Bài 3: Tính F '(x) rút gọn jVx2 + ldx = — x-v/x2 +1 + ln(x + Vx2 +1) 2 -Bài 4: ðồng nhất ña thức ta ñược A = 3, B - 2 , C - 1 + c F(x) = ---+ ln(x - 1)2 + In i X + 2 ị +

c.

X — 1 Bài 5: Vx>0,F'(x) = x ln x + — — = xlnx = f(x) 2 x 8 F'((T) = lim f - l n x - - Ì = lim f ^ Ins - lim — x-»0+ 4 lim —”—_o x->o z = 0 . Bài 6: nu* ư u x2- l A x + B Phan tích —5--- ‘ —--- +* (x + 5x + l ) ( x - 3x +1) X + 5x +1 ðồng nhất ta có A = —, B = ,

c

= —, D = — 4 8 4 8 F(x) = - —In v 8 X + 5 x + 1 X — 3x +1 + c

+ c .

Cx + D ? - 3x +1

s r n f x + —i . c o s i x + —ì s i n Í 2 x + —1 + s i n - ^

Bài 7: Biến ñỗi f(x) = — I— 3( )— = — ; ; -cosỊx + lỊ s in Ị x + l ) sm [2x + | ] - s i n |

cos2x + Ậ

2 - 1 I 1 - 1 I COS2 x

1 1 3

cos2x“ — COS2 x - — 2COS2 x ^

-2 2 2 = 1 + ---£SEJÉ---= 1 + . 2 - —(ĩ + tan2x) - - — tan2 2 2 2 d(tan x) => jf(x)dx = x + 2 [---- Q^an. ; ---J(l-v 3 ta n x )(l + v3 tanx) = x + -j=r ịf---f t---1 d ( ~ j s tan x) v3 \ l - v 3 t a n x 1 + V 3tanxj _ 1 - 1 + v3 tan X _ -X + —I n ---------- + c . 3 1 + —v/3 tan X Bài 8: . rx4 - 2 , fX2 + l , _ f dx a) -T--- dx = ---— d x - ---- r-— J X - X •* X ■* x(x -1 ) y2 1 ! ( = — + 2 1 n |x Ị --ln x 2 - l + C . 2 2 b) f - J £ _ = L £ ^ _ f * U A l n |x 2- l | - l n y + C. X — X X — 1 X 2 I I 11 cl f. xdx - r X+1 dx f dx \/x + l WX + 1 = | ( x + 1)V(k + 1)s— f ^ (x + l)s + c. ư 2 d) f(x) = x2—X + 1 =>F(x) = —— — + X + C. 3 2 Bài 9:

F(x) = - 2 cosỊx - — + —sin^x

-

— +

—

sin^3x - —'Ị +

c.

§2. TĨCH PHÂN

I. TÓM TẮT LÝ T H Ư Y Ể r

a ỉiai. số; bất kỳ

thụộc: I. NếiijRi^) ỊặỊjn g ^ ạ íiàiii của j'(x) thì tíẹú :^Ố’: -F(b) - F(a) ñược' • gội là tích phân củá f(x) íừ a ñến b vả kýỉủệir: Jf(x)dx = F(x)|b .

-2. ðịnh ty 1 Ghò'hàm! số ỵ ^:f(x) liên tịié^ộng âm trên khoảng I và a, b là hai sô thuộc I (a < b);. Diea ticli 'hinh tìiảng ;eong gÌðfi hạn; bơiUĩỒ thi V = f(x),

j ".;írục Ox yàĩiai ñương ihãng x = a, X- 0 là: yỵ/'-' ' ..

í ' — ụ- ) : : Jf(x)dx. _{•' - •}

3. Tmh chất cũa tích phân:

Giả sử f(x) va g(x)"ịíien tục ừên l và ã, b, c ĩã ba số Mtkỳ thuộc I. Khi ñó

ta c ó : ' . ‘ , ■; ; | ị r ■ ■' ,■ ■ : ■ ->j\.\-.. •' ỉ. • / rij- 4-, rjf(x}dx = - Ji( x) d x. . ; ; -Ạ >.! -kềỆfiì^xỆi-.- i^ lổ íý ■: - 'r - •• i' - ~ ; . f' .'iff(xidx (x)dx =T Jf ( x ) d x f a. ■■'.! b ■ ‘a- ■ ■ ■V ■ ■ ■ í‘--P; ' -i\- , b / .b y - i - / : ! ■' ■ -; .-; . fkf(x)dxi= k (x)dx vớik (=.R .. '£-■ Í' ■ ■ ■■ ■■■ .V- . O , ' &„ ■ ¥ :- - ; b r.i^i /V. '■

■ - ' _{; .} • > f ( f (_{I \V:/- , b} - _I-1-ff f e ) d y :-& ;fgffijr

n. CÁC DẠNG TOÁN C Ơ BAN:

D ạ n g J : 7i n h |f c h rp h q n Q c ^ b â ĩỊ b ằ n g cT m hfighia. ,

Ịẳ ^ Ệ íc ĨỊ /ịp lí^ l^ ỉ^ ^ Q ^ ^ M ệ u -1 .'Ệ* ;-r - f í ' ' r:^';

iÈÊÊÊẾÈÊÈăÊÈÊÊÊằẾỉầM ÊịỉM

BỒI DƯỠNG TOÁN - LÍ - HÓA CẤP 2+3 1000B TRẦN HƯNG ĐẠO TP.QUY NHƠN

Bài 1: Tính I = J 2 _ 3 X + X - 2 x + 1 _dx. = —+ l n 2 . 8 ĩ Ă Giải:

I= ]H-Ặ+ẶMx+lllH+ỉ-£)

2. (Ịx Bài 2: Tính I = f , 1 VX + 1 + \ X - 1 Giải: I = R TĨTĨ V ĩ^ ĩ)(fa = ị í(x + i y j ĩ ĩ ĩ (X -2 1 3 1 = —(3>/3 - 2yỈ2 - 1 ) . . 3 . k/2 Bài 3: Tínhl =

J

sin3x.cosxdx 0 Giải: 1 31/2 1 f 1 1 'ì

1= — J [sin4x + sin2x]dx = - l - - - cos4x--ậsin2xj

Bài 4: Tính ĩ = "f4- ^ ci Kf6 s m 2 x c o s 2 x 1 = Giải: Ị = - ì + l + S - ^ = - j 3 . 3 3 l - c o s 2 x , Giải: Bài 5: Tínlil = f ị COS X rr. l-c o s 2 x 2sin2x nj_ 2 1 T a c ó : ---~ Ỷ— = --- — = 2 t a n X.— -c o s X c o s X c o r 2

Do ñó : I ~ 2 j tan2 xd(tanx) = —tan3 X

0 3

cos2 X k/ 4

7c/2 ________

Bài 6: Tính I = J COSxvsin2 x d x .

j i/ 3

Giải:

7c/ 2 2 t t / 2 2

I = J COS x(sin x)3dx = J (sin x)3d(sin x)

r c / 3 7 t / 3 5 - __ (sinx)3

I

3 Bài 7: Tinlil = k/2 o . 3/ ■ 2 = —sin XV sin X «/. 3 \ : £ j r ■- --./» 5 ,/3 5 2 V 4

j ( £ W F ) d x .

Giải: I — Je 2xdx+je2dx 0. 0 I = - I j e-2*ñ(-2x) + 2 j e M Ộ 0 0 ^ I = —- e -2x + 2.e2 2 = — L + 2 >/ e + - - 22e 2 2e 2 3 4 4 Bài 8: CỈ10 Jf(x)dx = 3 và Jf(u)du = 7 - Tính Jf(t)dt -a 0 3 Giải: Ta CÓ: |f(x)dx + jf(t)dt = jf(u)du 0 3 0 <=> Jf(t)dt = Jf(u)du - jf(x)dx = 7 - 3 = 4. 3 0 0 m KÍỈ 4 sin3 x Bài 9: Tính I = f 4 dx ị 1 + cosx

I = 4 ' f* ạ ■- 00 < a*in xte = 4? ( 1 - cosX) sin xda

J l + cosx 0J

I = 4 I (sin X - sin X COS x)dx = 4 I sin xd x-2 J sin2xdx

0 0 0 1= (-4cosx + cos2x)|g/2 = - 1 + 4 - 1 = 2. Giải: 2 Bài í: Tính I = jjx2 - 3x + 2|dx. 0 ðể ý: Giải: X —00 1 2 +CO X2- 3x + 2 + 1 0 -1 0 + I = J(x2 - 3x + 2)dx + J(-x2 + 3 x - 2)dx 0 I 1= Í £ L 3 x ^ + 2xÌ J _ Ể -iỀ Ể — 2x u 2 ) 0 \ 3 2 , 1= 1. • i t / 2 Bài 2: Tính I = J Vl -sin 2x d x . . 0 Giải: 51/ 2 ________________________ Í t / 2

1= J v(cosx-sinx)2dx= J Ịcos X - sin xỊ dx

0 0

MB P i 111 wM

Its

Hi

n

i n Ệ&B t z/ 4 j z/ Z

1= f (cos X - sin x)dx + f (sinx-cosx)dx

0 ■ Jz / 4

I = (sinx + cosx)|*/4 -(s in x + cosx)|’t/2 = 2V2 - 2.

r t / 3 _______________________________

Bài 3: Tính I = I Vtan2 x + cot2x - 2 d x .

rc/6 Giải: J t / 3 _________________________ x i 3 1= I i/(tanx-cotx)2dx = I |cotx-tanxjdx tc/6 tc/6 t c/ 3 j ĩ/ 4 3 t / 3 O — I = 2 f ịcot2x|ñx = 2 f — dx- f C0S —-dx Á U / 6 S ừ l2 x * /4 S Ì n 2 x 1= 2 lnịsin2x|Ị7C|4-ln|sin2x[|,c/3 =-21n— . Bài 4: Tính I “ I Vx4 - 2x2 + ldx -2 G/ảĩ: 1= j / ( x 2- l ) 2dx= J|x2-l|d x -2 -2 ‐ 1 1 2 = J(xz -l)d x + j ( l - x 2)d x + j(x 2 “ l)dx -2 -1 1 ( s > f „ 3 Y ( s V _ X I X X = —— X + X - I + “—-X = 4 J-2 V 3 J-1 V3 ) 1 Vậy 1 = 4. I t / 2

Bài 5: Tính I = J (VI + cos2x - V l-cos2xjds

—r c / 2 Giải: rc/2 I = y

/2

J (Ịcos x| - Ịsin x|)dx - I t/ 2 ' 0 s/2

= yỈ2 J (cos X + sin x)dx 4- J (cos X - sin x)dx

_ -je/2 0

= >/2^(sinx-cosx)|° /2 + (sin x + cosx)p/2j-= >/2(-l + l +1 -1 ) = 0.

Bài 6: Tính I = jjln x| dx. 1 e 1 e I = J-lnxdx+ Jlnxdx ỉ 1 e Giải: ðể ý rằng nguyên hàm của lnx là x(lnx - 1) Ị ĩ ie Do ñó: I — —x(lnx -1 ) Ịị + x(lnx —1) I ^ c o s í x ^ ì ‘ Bài 7: Tính I = f - v ; dx. 0 Vl + sin2x Giải:

Ta có: Vl + sin2x =yỊ(sìnX + cosx)2 = Ịsinx + cosxỊ =

* / 4

I= V2

Ị.

0 , cosíx + —ì l 4j COS siní X + — l 4 I t / 4 " ' ' “ I ■ . ị dx= s“ ( x + ĩ ] dX ’ r ■% TU _ 7T TZ . , ^ 7C w A x e [ 0 ; - ] <=> — < X + — < — => sừi (x + —) > 0. 4 4 4 2 4 Do ñó: I = I ■ = lnsinl õ sin(x + —) V, 4 i r / 4 = - ln 7t Bài 8: Tính I = jVl + cosxdx. -v/2 sin X

Bài 9: Tính I = f— J X -1 X — X -1 2 -dx. Giải: = 2/ ( ^ - 4 ^ + 3 ) = f l f e - ? T ĩ ) fa - 7 * X2 - 4 X +3 2 1 3 = —ln—. 7 4 ■ 4 B à il: Tính I = jmaxjx2 + l;4 x -2 |d x . 0 Giải: Xét f(x) = X2 + 1 - (4x - 2) — X2 - 4x + 3 trên [0, 4] 0 1 3 4 Ta CỎ: f(x) _{+ 0 — 0 +} Do ñó: maxfx2 + 1, 4x - 2} = X2 + 1 trên [0; 1] u [3; 4] và maxix2 + 1, 4x - 2}»= 4x - 2 trên [1; 3] 1 3 4 a n Vậy I = J(x2 + l)dx 4- J(4x - 2)dx + J(x2 + l)dx = ——. 0 1 z ^ 4 Bài2:TứửiI= JmaxỊx2;4x-3|.dx 2 Giải: Xét g(x) = X2 — 4x + 3 ữên [2; 4] ta có: X 1 2 3 4 f(x ) + o — 0 +

Do ñó: max-Ịx2; 4x - 3} = X2 trên [3, 4]

max{x2; 4x — 3} = 4x — 3 ừên [2, 3} Í4X-3

Hay maxỊx2; 4x - 3} = Ằ 2 xe[2;3]

X e [3; 4] 3 4 £ 0 I = J(4x - 3)dx +jx2dx = — 2 3 ^ 3 Bài 3: Tính I = JminỊx;x2Ịdx. 0 ðể ý: min(x; X2) = Giải: xe[0;ĩ] |x xe[l;3] \ % X3 1 X2 Do ñó: I = Jx2dx+Jxñx = -Ỵ + -^-0 ' 1 0 1 9 _ 1 . = X3 3 + 2 2 6 ■ 1 Bài 1: Chứng minh j 0 C0S7ĨX -l+x l + x , Vs e [0, 1] Do ñó: (C0SĩĩX ds < [ ^ = lnỊx+l|* = ln 2. ị 1+ x ổ1+x Bài 2: Chứng minh —- < ị ^ 0 CLX n 4 + 3cos2 X 8

Giải: X e [0, — ] => 0 < cos2^ < 1 => ị ^ - - — ---< — 2 7 4 + 3 cos X 4 Do dó: > f ; - o V j — 4 Í ; - 0 Ì 71,2 J 0J 4 + 3cos?x ế U J ji/2 J = > J l á f Ị * <£. 14 J 4 + 3cos X 8

Bài 3: Chứng minh — < f e"sinZxdx < 4 .

2e J 2 G/ảí’: x e [0, - ] = > - l á - s i n Í E < 0 => - á e_sin2x < 1 2 e Do ñó: - - / f ẽ ^ â x í l . - e2 J 2 ĩt/2 _ «►— < f e W x d x < - . 2e 0J 2 1 Bài 4: Chứng minh : 2 í JV4 + x2ñx á Võ . 0 (?zả/: x e [0, 1 ] ^ 4 < 4 + X2 ẩ 5 o 2 < V 4 + X2 < Võ 1 _____ Do ñó: 2(1- 0 ) < |v 4 + x2dxá>/5(l-0) 0 1 .____ <=> 2< jV4 + x2dx< Vs. 0 ir/2 J tt/2 1 Bài 5: Chứng minh: f --- =— ầ f — ft—. 5 1 + sin X 0J 1 + sin X Giải: x e [0, — ] => 0 ú s i n X < 1 <=> 1 + s i n 5x ằ l + s i n 8x 2 1 t Jt/2 - 1 - < ___ ! _ = » f - J í — < f . 1 + sin5 X 1 + sin8 X ■ 1 + sin5 X ị 1 + sin8 X

m. BÀI TẬP TỔNG HỢP

A. BÀI TẬP Tự LUẬN B à i 1 : T í n h c á c t í c h p h â n s a u : e X3 + x 2 - 2 x + l 1 a) A = J ( l - x - x 2)2dx b) B = J 0 . 1 c ) c = f , f e y _____ _ d ) D = f e W e ' - l d x . 0JV x 7 ĩ - V ĩ ^ ĩ 0J Giải: 1 ' 1 a) A = JCL + X2+ x4 -2 x + 2x3 -2 x 2)dx= J(x4 +2x3-X 2 - 2 x + l)dx 0 0 r _ X 5 X 4 X 3 2 5 2 3 11 30 2e3 + 4e - 1 3 2e2 2

b) B=ị(1 + x - | + ẩ )dx = (x + lnx + f " ^

c)

c

- [—T.-.-V— — . = — [í-v/x + 1 + fVx + l - V ^ I 2 P ; = ỉ J(x + 1)1/2 d(x +1) + J(x - 1 )1/2 d(x -1) 2 Li I = ỉ [ ( x +1 ) ^ / ^ ĩ + (x - ĩ) V ^TỊỊ2 = |(3 V ã - 2n/2 + 1 ).

d) D = jex>/ex - ld ( e x) = lJ[(e‘ - l ) + l]Vex - ld ( e x)

0 0

* J(e“

- 1)3’2

d(e* _1) + F

_1)1/2

d(e* _1)

0 0

-

-1)5'2+l(e’ - c Ị = ( l( e‘ -1),^

+1(Í

D = —( e - l ) 2 + - (e -1 ) V ẽ-L

5 3

Bài 2: Tính các tích phân

Jt/2 ji/2

a) I = I sin2x.sin7xñx b) J = [ sin2 X. COS3 xdx.

-JC/2 0 Giải:. a) I = — J (cos5x-cos9x)dx =—p 1 s in õ x - - ^ 1 X 4 SỈĨ13 X s i n 5 -it/2 i t / 2 _2_ 15 n i z / í

b) J = I sin2 X (l - sin2 xỊ d(sin x) = —

0 V Bài 3: Tính các tích, phân sau: 2 n / 2 a) H = j|X2 + 3x — ề|dx b) K = I Ịcos X — sin xị d x. 0 • 0 Giải: 1 2 a) T acó:H = J(-x2 -3 x + 4jdx+ J(x2 + 3x-4 jdx 0 1 í X3 3x2 = + 4x + 1--- 1--- 4 x =ỉ >.

1 3

2

J0 u

2

j i/ 4 J t / 2 b) K = Ị (c o s x -sin x )d x + J (sin x -c o sx )d x 0 • i t / 4

= (sinx + cosx)|*/4-(cosx -sin x )['*

= 72 - 1 - 1 + V2 = 2 ^ 2 - 2 = 2(72 - 1). Bài 4: Tính các tích phân 2 1 a) L = Jmax|x;x2Ịdx b )K = Jm in|ex;e-X|d x . 0 ‐1 Giải: . X3 3x:2 . ^ + — + — — 4x , 3 2 , 0 ^ ' 1 a) max{x;x2} = , 2X 0 ^ X <, 1 X2 1 <X ^ 2 1 2 2 Do ñó: L = íxdx + fx2dx = — 0 1J 2

b) min{e*;e-x}= K 1< x< 0 [e"x 0 < x< 1

K — Jexdx+ Je"xdx = ex| - e -x|

- 1 0 1 1 . . . 2 K - 1 - - - - + 1 = 2 — —. e e e K Bài 5: Tìm K ñể: j(K - 4x)dx = 6 - 5K . 1 Giải: J(K -4x)dx = (K x-2x2)| = K2 — 2K2 — K + 2 j(K -4 x )d x = 6 — 5K —K2 — K + 2 = 6 — 5K 1 <=>K2-4 K + 4 = 0<=>K = 2.

Bài 6: Tìm m ñê I = j l^sin—“ COS—J dx = 7t + m. Giải: /2 I = J (l - sin x) dx = (x + cos x)!* = % + m 0 <£> — - + -(1 + —). 2 2

Bài 7: Giải phương trình: ĩ = 'lỊsin21 - ỉ j dt = 0.

Giải: ■—ìdt 1* 1 — — jcos2tdt = —— sin2t I = 0 o s in 2 x = 0 '» 2 x = K j t o x = —- (K e Z). 2

B ài8: Tìmxthoả: J(2t-4)d t = 5. 0 Giãi: J (2 t-4 )d t = 5<=> (t2 -4 t)|x =5 o x z- 4 x - 5 = 0 o 0 0 1

Bài 9: Tim số thực Kthoả: J(ex - e _x)dx = K - —.

-1 e

Giảỉ:

j ( e ‘ -e-*)dx = (e‘ + e - f i = l + l - ỉ - e = 2 - ỉ - e

Do ñó ta CÓ: K - —= 2 - —- e c > K = 2 - e .

e e

Bài 10: Tính các tícỉipMn sau:

a) I = J (é51** + cosxjcosxds b) J = — d x. 0 0e +1 Giải: tĩ/2 1C/2 a) 1= j eSÌEXd(sins)+ J 0 0 X = -1 X = 5 l + cos2x b) = e ^ r ' 2 + — X + —sin2x lo 2|_ 2 J 0 _ _ l[jí"| Jt -= e - l + — — -= —+ e - l . 2[_2j 4 I . d ( 6 X + l ì I i l l ( 0 -Ị. 2. J = = In e* +1 = In J e* +1 I llo ^ 2 Bài 11: Tỉnh các tích phân: a) A = ”? — dx £ l + cos X t c/ 4 b ) B = J 0 cos2x 1 + sin 2x■dx Giải: lt/2-dfcos2x + l) l - y d ( l + sin 2x)= i l n |l + sin 2 ;, } 2 J 1 + sin 2x 2 1 1 = - In 1 + cos X = In 2. I"'4 = —In 2. lo 2

1 + cos2x dx Bài 12: Tính I = sin X Giỗ/.* ir/2 J \2

I = f cot4 X. COS2 xdx = f — -r--- 1 cos2 xdx

*/4 ,/A sm X ; = f ( c o t 2 x

—\

---2cot2 x +COS2 X |dx sin2x ) z/2 rc/2/- * \ Ttl 21 I = - J cot2 xd(cotx)-2 J —7-^--- ljcbs: + J —-s / 4 J i / A s * n x ' s / 4 f -v-jit/2 1 = c o t3 x + 2 c o t x + 2 x + 4 x + —s i n 2 x L 8 . 2 l x 2 4 , 4 _ + 71 _j_ 1 2 - 71 n ^ = 5 U ^ 4 3 ” ~ 2 ~ 8 ~ 4 8 ~ 12' Bài 13: Tính các tích phân sau: a) A = J^x + —+ 2dx b) B = jVx3 -2 x 2 + xdx. Giải:

a) A=‘il^ỹdx=?(VI+í)x

= p W Ĩ +

2

^ ĩ

16

;

2

-tu/2 6 _ = - —+ 4 - —- 2 3 3 A = — + 2. 3 b) B = ịyjx(x - 1)2 ñx = J]x - lj'Vxdx 0 0 1 2 B — |( l - x) yfxdx + J(x — l) Vxdx 0 1 = J(x1/2 - x 3/2Ịdx+ J(x3/2 - x 1/2)dx

= ± s ^ ~

15 15

a) I = Jx^(x +1)3dx 0 Bài 14: Tính các tích phân sau: b)J= J. dx ị x (x + 1) Giải: a) 1= J(x + l - l ) ( x + l)3/2 dx = jf(x + l)5/2- (x + l)3/2]dx 0 0 J = ^ ( x + 1)3 Vx+T--g(x + l)2 V xT lj 7 5 7 5 35 35 8 2 X2 - K2 + 1 2

dx=J.

2 2 24 r ị _4 + 35 2 2 1 d x - f- x 1 ' x2(x + l) ^x2(x + l) j*x2(x + l) 2 J 2 1 2 2 _ .. = p Ề L _ p z l d x . t t . f i z i d x {X+l I X 'x + l ị X J = ^ ln |x + l | - l n | x | - ỉ j dx = L n 3 -In 2 -—- ln 2 + l 2 J = ln3 —21n2 + 2 Bài 15: Tính các tích phân \ T _ V dx 2x —3 X + 4x + 4-dx. Giải: \ ĩ = 3f x + l ~ x H - 3f X + '*' J x ( x - l ) ( x + l ) ~ J x ( x - l ) ( x + l) • 1= j f—ỉ — j f—ỉ --- -—ìdx ^ x - 1 x j 2 ' t x - l X + 1J 3 3 , x - l 1. x - 1 1 = In - — - —In ——- X 2 2 x + l 2 I = ln—- I n — In—+ —In— 3 2 2 2 2 3 x ( x - l ) ( x + l) dx I = —ln 2 - —In 3. 2 2

b) J= lJ _ 2 ^ d x = | ! í i l ậ l Z dx= 2 Ì - ^ - 7 j r ^ - ĩ + 4X + 4 J (x + 2) 0 X + 2 (x + 2) “ ( 21“ l*+2l+ 7 ĩ ã ) _ « 1 3' 7 = 2 I n — — 2 6 Bài 16: Tính các tích phân 2tĩ a) A = I Vl + sin xdx 0 4 b) B = J|x2-3 x + 2|dx. -1 Giải: X X sm—+ COS— d x 271 17 - \ 2 2 « a) A = f J sin— + cos— dx = f — 0J \ l 2 2 ) J 2 2

= ^ H ( f - f )*= = 2^2 ll^ tf

" â

,, . X 71 ðătt = — 2 4 3JI/4 A= 2V2 J ỊcostỊdt -ít/ 4 r t / 2 3t i/ 4 = 2V2 J costdt- J costdt - i t / 4 t c/ 2 = 2>/2[sint|^4 -s in t|“ 4] = 4,/2. b) B — J(x2 -3 x + 2^dx+ J(“X2 + 3 x - 2 j ñx + J(x2 -3 x + 2jdx - 1 1 2 B = I —— — + 2x 3 2 B - H . ^ 3 x 1 Q ' —T- + -T— 2x v 3 2 ‐ 1 ^ 2 ĩ e/ 2

Bài 17: Chứng minh: — < Je"“ *rd x ắ - .

2e £ 2

Giải:

-1 < -s in 2 X < 0 => e-1 < e~s“2* < e°

ĩc/2 it/2 jc/ 2 w/2

<=> j e-1dx< j V sin2xdx< J ld x = — ầ J e-shl2xd x < —.

0 0 0 0 ^

í r:

1 V *

Bài 18: Chứng minh: 1 - — < fe'x dx < 1. e 0 Giải: X e [0,1] = > 0 < X 2 < X = > 1 > e"*2> e' Do ñó: - X 1 1 1 1 1 1 1

Je-Xdx < Je_xSdx < Jdx<=> -e -xỊ < Je_x2dx < 1<=>1 - — < Je~

0 0 0 0 e 0

9 2

Bài 18: Chứng minh: ~ < íex ”xdx £2.e2. Ve 0

Giải:

Xét f(x) = X2 - X trên [0, 2] ta có: < f(x) < 2 4

Do ñỏ: e 4 ^ e**-* < e2 => |e “1/4dx £ |e*2_xñx < Je2dx

0 0 0

ọ 2

4 = <. fe dx<2e2.

ỉ

jt/2 rc/2

Bài 19: Chứng minh: I sin2xdx < 2 J sin xdx.

0 0 Giải: n 0 < sin X < 1 X e [0 ,-1 => 2 0 < cos X ắ 1 r t/2 tt /2

sin2x = 2sinxcosx < 2sinx do ñó J sin 2xdx á 2 I sin xdx.

0 0 ỉt/2 J 20: Chứne minh: — < f --- 7— < —. B ài20: Chứng minh: — < j 4 0 4 + 3co s2 X 8 Giải: ~ , 1 1 1 Ta có: — £ ----—-—T— < — 7 4 + 3cos X 4 D o ñ 6 : i í i - o ) s ' f — ^ - s ỉ í i - o ì 7^2

J jỊ

4 + 3cos X 4^2

J

1ÍỈ2 1 _ ĩí f dx TU <=> — ^ I 14 ₀J4 + 3c o s2x 8 ;2d x ^ l.

Bài 21: Chứng minh: rCOSTCX ' 1 + x dx Giải: < In 2. Ta có: Do ñó: rCOSTCX I 1 + X rCOSTCX l + x dx o l1 + x o(x + 1) o x + 1 álnịx + llị1 =ln2. 0

Bài 22: Cho f và g là các hàm số liên tục trên [0,1] và có miền giá trị là [0,1].

Jf(x)g(x)ñx < Jf(x)dxlí Jg(x)dxì.

.0

J lo

/ V.0

)

Chứng minh: Giải: fo á f(x).g(x) á f(x) Ịo < f(x).g(x) < g(x) Ta có: V x e [ 0 #l]=> | ° ẩ f( x ) á l [0 < g ( x ) < 1 1 1 Do ñó: Jf(x).g(x)dx < Jf(x)dx 0 0 1 1 Jf(x).g(x)dx < |g(x)dx 0 0 'l I2 fl W1 => Jf(x)g(x)dx < |f(x)dx . |g(x)dx

.0

J

lo

/Lo

Bài 23: Tính I = JmaxỊx3;4x2-3 x |d x . 0 Giải: Xét f(x) - X3 — (4X2 - 3x) = X3 — 4X2 + 3x f(x) = ^(x2 - 4x + 3) Vx <E [0, 1] => f(x) > 0: m axfx^x2 — 3x} = X3 Vx e [1, 3] => f(x) < 0: max{x3;4x2 — 3x} = 4X2— 3x 1 3 Do ñó: I = Jx3dx + j(4x2 -3x)ñx ft 1

Bài 24: Cho f(x) = Vx + 2-n/x^T + Vx ~ 2 V x ^ T. Tính: I = jf(x)dx . 1 G/ỏ ỉ; f(x)= J ( v * - l + l)7 +

y jf jx - l - ĩ f =

V x - l + l + | V x - l- l| í 2 khi 1 < X <: 2khi 1 < X < 2 2 yỊ x - l khi 2 < X<3 2 3 o 1= J2ñx+ j2-\/x-ldx=.2xỊ* +2—(x -l)> /x -l 1 2 3 1= 3 + - ( 2 V 2 - l ) = - + — . . n/ 2 B à i25: Tính A = j min{sinx;cosx}dx. 0 Giải:

.

, . . fsin x k h i x e f0,71/4 Ì min{sinx;cosx} = < , , . r , ,«1 [cosX kỈLÌ x s p 4,TU/2] t c/ 4 h/ 2

Do ñó: A = J sin xñx 4- j cosxdx = -COS xị* 4 + sin

x\f

0 j e/ 4

A = l - ^ + l - ^ = 2 -^ 2 .

2 2

:« /2 4

Bài 26: Cho G(x) = Je'^dt. Tính G'(x). 0

Giải:

Ta có: G(x) là inột nguyên hàm của hàm số f(x) do ñó G’(x) = f(x) = e' Vậy: G’(x) = e'*2.

sinx Bài 27: Cho f(x) =

a) Tim giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của f(x) ừên ñoạn /3 ĩ % % 6 ’i b) Chứng minh: - — < Ị; «/3 ■_____ V 3 r sin x i t / 6 ñ x < Ậ . 2

a) Xétf(x) sinx f(x) =

Giảiỉ

X cos X — sin X

X X“

Xét g(x) — xcosx — sinx => g’(x) = —xsinx

Vx € % % 6 }3 g’(x) < 0 => g(x) nghịch biến X > — > 0 => g(x) < g(0) = 0 => f (x) < 0: hàm số f(x) nghìch biến toên 6 %7C 6'"3 maxf(x) = f 6j 3V | 2tc , V 3-73 < v v 3 2ti 7U

2* u 6

J Je

n

6

■v/3 n/f sin X 1 ——< — — d x < —. 4 , / s - * 2 Bài 28: Tính các tích phân sau: dx a)I=J- 0 b)J= J-X +7x + 10 dx 0 (x2 + 3x + 2)2 Giải: a) 1= f 5 ' --- - W = ì l n '(x + 2)(x + 5) 3 ^ x + 2 x + 5/ 3 b) J= J. X + 2 x + 5 = —lri—. 3 4 x+1 x+ 2 ổ[(x + l)(x + 2)] ổ = Vd( * +1) , Vd(*+2) V 1______ 1 o(x + l)2 o(x + 2)2 j l x + l x + dx 1 1 OI | x + l 7--- r ---- ----2 In——-(x + l) x + 2 jx + 2 = —- 21 n—. 3 3