Teorema de Green e Aplicação

Teorema de Green e Aplicação

Alcimar de Souza Braga

Universidade Católica de Brasília Departamento de Matemática

Resumo: O teorema de green é uma ferramenta muito útil no cálculo de áreas de figuras planas fechadas. Seu

principio é utilizado para a demonstração de outros teoremas. Neste trabalho contamos um pouco da história do Teorema de Green e de George Green embora tenha-se pouco sobre a vida pessoal deste grande matemático e físico inglês que escreveu e demonstrou o teorema , ainda mostra que o principio do teorema de Green é utilizado num aparelho que calcula áreas de figuras planas apenas se movendo sobre o contorno da curva fechada.

Palavras-chaves: Planímetro e Green. Introdução

Este trabalho apresenta um estudo interessante do teorema de Green. Utiliza como fonte e instrumento de pesquisa livros didáticos e artigos.

George Green nasceu em 1973 e morreu em 1841. Não existe nenhum registro de imagem deste grande matemático e físico inglês. George Green era filho de um padeiro que vivia em Notingham onde funcionava o estabelecimento de seu pai e foi ai que passou grande parte de sua vida trabalhando. A história diz que ele freqüentou apenas dois anos do ensino elementar e não fica bem claro como George Green obteve o conhecimento matemático já que não freqüentou nenhuma instituição de ensino regular. Com 30 anos, Green tornou-se membro da Subscription Library, Notingham, instituição fundada em 1816 e o objetivo claro desta instituição era o encontro de não-acadêmicos para discutir questões de avanço da ciência. Quando completou 35 anos publicou seu primeiro e mais importante trabalho: uma obra sobre a aplicação da análise matemática à eletricidade e ao magnetismo, onde o teorema de Green foi utilizado, mas passou desapercebido pela pequena tiragem do trabalho. Como esta obra teve uma tiragem bastante reduzida, por que foi financiada pelo autor e amigos da Subscription Library, não teve grande repercussão. George Green foi a primeira pessoa a usar o termo potencial na teoria do campo e introduziu vários teoremas de análise vetorial que permitiram calcular o potencial eletrostático. Com 40 anos ingressou na Universidade de Caius, em Cambridge como estudante de licenciatura. Algum tempo depois cerca de 4 anos, formou-se com desempenho desapontador possivelmente por estar engajado em sua pesquisa, então voltou para sua casa em Notingham para cuidar de seus filhos e do moinho de seu pai, onde alguns anos mais tarde ficou doente e faleceu aos 48 anos. Posteriormente (1850-1854), William Thomson (Lord Kelvin), descobriu o trabalho de George Green e conseguiu publica-lo num jornal importante de grande circulação e respeitado na época, com a publicação descobriu-se que outros cientistas já tinham chegado a resultados obtidos por George Green, entre eles Gauss, e de forma independente. O trabalho de George Green teve influência em Thomson, Stokes e Maxwell.

A vida de George Green é um exemplo impressionante de um fenômeno nato que o ser humano pode ter, o talento matemático, este se apresenta e firmar-se mesmo em circunstancias desfavoráveis. Qualquer um com todas as pretensões a ser um matemático está bem ciente que as funções de George Green é de suma importância e muitos de nós fizemos uma vida fora de sua exploração. O teorema de Green relaciona efeitos do volume aos efeitos de superfície, é um resultado bonito, fundamental às teorias gravitacionais e eletromagnéticas. Toda esta teoria veio de alguém que teve quinze meses de educação formal e cujo os anos de adolescência foram gastos trabalhando na padaria e no moinho de seu pai. Esta é a história de um extraordinário gênio que sobre todas estas dificuldades venceu.

1. Teorema de Green

O teorema de green é um ferramenta da matemática utilizada para o cálculo de áreas de figuras planas limitadas e fechada; Além disso seu principio é utilizado para formulação de outros teoremas como por exemplo o teorema de Stokes e Gauss, suas aplicações são extensas e extremamente úteis nas áreas da física, química, nas engenharias, geologia e etc.

Antes de demonstrarmos o teorema é preciso sabermos um pouco a respeito Campos vetoriais e da integral de linha, vamos ter uma idéia do que se trata a integral de linha, pois o teorema de Green também calcula esse valor de uma maneira bem mais rápida e direta.

1.1. Campos vetoriais

O campo vetorial associa um vetor a um ponto no espaço. Se uma função F com valores vetoriais é definido numa bola aberta B em R3 ela é dada da seguinte forma, F(x,y,z)=M(x,y,z)i+N(x,y,z)j+R(x,y,z)k, então F é um campo vetorial. E o domínio do campo vetorial é um subconjunto de R3.

1.2. Integral de Linha

Suponha uma força exercida sobre uma partícula no ponto (x,y), em algum disco aberto B em R², seja dada pelo campo de forças F(x,y)=M(x,y)i + N(x,y)j, onde M e N são continuas em B. Seja C a curva que está em B e tem a equação vetorial R(t)=f(t)i + g(t)j, a≤ t ≤b, as funções g e f tem

derivadas g´ e f´ continuas em [a,b]. Vamos definir caminho de F ao mover a partícula ao longo de C, do ponto (f(a),g(a)) até (f(b),g(b)). Em um ponto qualquer de C ,por exemplo, (f(t),g(t)) a força é dada assim: F(f(t),g(t))=M(f(t),g(t))i+N(f(t),g(t))j, com

b

t

t

t

t

t

a

=

<

<

<

...

<

<

=

Figura 1 – representação vetorial de integral de linha. i

P é o ponto (xi,yi)=(f(ti),g(ti)) em C, considerando a figura acima temos que ) ( ) ( ) (Pi−1Pi =R ti −R ti−1 V _{; logo} ] ) ( ) ( [ ) ( ) ( ) (P ₁P f t i g t j f t ₁ i g t ₁ j V _{i− i} = _i + _i − _i− + _i− )] ( ) ( [ )] ( ) ( [ ) (P 1P f t f t 1 i g t g t 1 j V i− i = i − i− + i − i− (1)

com f´ e g´ são continuas em [a,b] existem c e i d no intervalo aberto i (ti−1,ti), de modo que:

) )( ´( ) ( ) (t_i − t_i−1 = f c_i t_i −t_i−1 f ) )( ´( ) ( ) (t_i − g t_i−1 = g d_i t_i −t_i−1 g

expressando ∆it =ti −ti−1 , e substituindo em (1) temos que:

) )( ´( ) )( ´( ) (Pi−1Pi = f ci ti −ti−1 +g di ti −ti−1 V ) )]( ´( ) ´( [ ) (Pi−1Pi = f ci +g di ti −ti−1 V t j d g i c f P P V( _i−1 _i)=[ ´( _i) + ´( _i) ]∆_i

Para cada i consideremos o vetor

j d g d f N i c g c f M F_i = ( ( _i), ( _i)) + ( ( _i), ( _i))

Cada um dos vetores Fi =(i=1,2,3,...,n) é uma aproximação do vetor F(f(t),g(t|)). O valor

dos vetores na variação de i no intervalo aberto são os vetores muito próximos de F . i

Uma aproximação da medida do trabalho realizado por F(f(t),g(t|)) ao longo de C é dada pela

= ∆ n i iw 1 , onde ∆ iw = [ M ( f ( c i), g ( c i)) i + N ( f ( d i), g ( d i) j ][ f ´( c ) i + g ´( d ) j ] ∆ it it d g d g d f N it c f c g c f M iw= _{i i i} ∆ + _{i i i} ∆ ∆ [ ( ( ), ( ) ´( ))] [ ( ( ), ( ) ´( )]

como são vários i então a somatória

= = ∆ + ∆ n i i i i n i i i i it d g d g d f N it c f c g c f M 1 1 )] ´( )) ( ), ( ( [ )] ´( )) ( ), ( ( [

crescer sem limitação podemos chegar à + a b i i i i i i g t f t N f t g t g t dt t f M( ( ), ( )) ´( )) ( ( ), ( )) ´( )] [ , usaremos F( tR( )) para F(f(t),g(t)).

Chegamos a seguinte definição: C é uma curva contida num disco aberto B em R², com a equação R(t)=f(t)i + g(t)j, onde obrigatoriamente f` e g` tem que serem continuas em [a,b], consideremos também um campo de forças em B definido por F(x,y)=M(x,y)i+N(x,y)j, onde M e N são continuas. Então a medida do trabalho realizado por F ao mover uma partícula ao longo de C, de (f(a),g(a)) até (f(b),g(b)) é W. + = a b i i i i i i g t f t N f t g t g t dt t f M w [ ( ( ), ( )) ´( )) ( ( ), ( )) ´( )] + = a b i i i i g t N f t g t f t g t dt t f M w ( ( ), ( )) ( ( ), ( ) . ´( ), ´() , ou; = a b dt t R t R F w ( ( ). ´()

A integral de linha mede o trabalho realizado para movimentar uma partícula ao longo de uma curva. E é calculada utilizando-se de duas notações a primeira w(trabalho) é medida pelo campo de forças F ao se mover ao longo de C(Notação Diferencial)e a outra usando a notação vetorial. Agora vamos fazer a demonstração do teorema de Green, observe no gráfico abaixo: A região R fechada é dividida em duas curvas C1 e C2_, C1 começa no ponto a e vai até o b e C2 vai de b até

a, fechando assim todo o contorno da região.

Figura 2 – Representa uma curva fechada dividida em C e 1 C . 2

0 a x b ) ( 2 x f ) ( 1 x f y x R y

A figura representa uma curva fechada simples e seccionalmente suave. As funções que M e N representam possuem derivadas primeiras diferente de zero, C e 1 C tem derivadas parciais 2 primeiras continuas em um disco aberto B em R².

dA dy dM dx dN dy y x N dx y x M R − = + ( , ) ) , (

Prova: vamos considerar que a função intercepta no máximo dois pontos tanto na horizontal como na vertical.

A demonstração consiste em mostrar que:

− = C R dA dy dM dx y x M( , ) e = C R dA dx dN dy y x N( , ) Para − = C R dA dy dM dx y x M( , ) (2) )} ( ) ( , / ) , {(x y a x b f₁ x y f₂ x R= ≤ ≤ ≤ ≤

Considerando a integral de linha.

C dx y x M( , ) . + = 1 2 ) , ( ) , ( ) , ( C C C dx y x M dx y x M dx y x M (3) + = C b a a b dx x f x M dx x f x M dx y x M( , ) ( , 1( )) ( , 2( )) (4) − = C b a b a dx x f x M dx x f x M dx y x M( , ) ( , 1( )) ( , 2( )) (5) dx x f x M x f x M dx y x M C b a ))] ( , ( )) ( , ( [ ) , ( = 1 − 2 (6) Considerando agora a integral dupla

∂ ∂ R dA y M , onde R é a região. ∂ ∂ = ∂ ∂ b a x f x f R dx dy y M dA y M ( ) ) ( 2 1 (7) dx dy y M dA y M b a x f x f R ∂ ∂ = ∂ ∂ ( ) ) ( 2 1 (8)

]

− = C R dA dy dM dx y x M( , ) A demonstração para = C R dA dx dN dy y x N( , ) é análoga. Outra região:

Figura 3 – Representa uma R1 fechada.

Regiões como a da figura 3 podem ser trabalhadas sem grandes dificuldades. A equação (2) ainda se aplica.

Figura 4 – Representa a uma Região R que é igual a R1+ . R2

A região da figura 4 também pode ser calculada com o Teorema de Green, aplicando a equação (2) (andando sempre no sentido anti-horário).

O teorema de Green facilita o cálculo de áreas de regiões limitadas por uma curva seccionalmente suave, simples e fechada.

Isso pode acontecer utilizando o seguinte teorema que é conseqüência do teorema de Green. Se R for uma região tendo por fronteira uma curva C fechada simples e seccionalmente suave e A unidades de área for a área de R, então

− = C ydx xdy A 2 1 _. (11)

Prova: seja M x y y e N x y x 2 1 ) , ( 2 1 ) , ( =− = . Então, dA y y x x xdy ydx R C − ∂ ∂ − ∂ ∂ = + − 2 1 2 1 2 1 2 1 dA xdy ydx R C + = + − 2 1 2 1 2 1 2 1 = + − R C dA xdy ydx 2 1 2 1 Como R

dA é a medida da área de R, então

= − C A ydx xdy 2 1

Vamos ver um exemplo da aplicação deste teorema para calcular a área dada por uma elipse que tem como equação ₂2 + ₂2 =1

b y a x

.

As equações paramétricas da elipse são:x=acost, y =bsent, 0≤ t≤2π

logo a derivada dx=−asentdt e dy=bsentdt. Se C for a elipse e A for a área da região da elipse, teremos: − = c ydx xdy A 2 1

(

)(

)

(

(

)

)

[

]

0 cos cos sen sen

2

1 _{a t b tdt b t a tdt}

A , multiplicando as parênteses obteremos,

(

)

A , como cos2_t+sen2_{t =}1 logo, = 2π

0

2

1_{ab dt}

A , então teremos que, A=πab unidades de área. (Louis Leithold, p. 1100-1106) 2. Aplicação

2.1 O Planímetro:

Em 1854, o matemático Jacob Amsler inventou um instrumento mecânico que era capaz de medir área de regiões planas limitadas. Como a dificuldade para se medir áreas de figuras planas e irregulares era muito difícil a invenção de um aparelho pequeno e tão fácil de ser manuseado foi extremamente inovadora, encarado com muito entusiasmo na ocasião e até hoje é visto como um instrumento inovador. Vamos estudar um pouco sobre seu manuseio e funcionamento.

Mecanicamente, o Planímetro tem uma construção muito simples, possui dois braços de tamanhos iguais ou podem ser de tamanho diferente, ambos feito de metal. Os braços são capazes

de variar o ângulo entre eles, desde 0º a 180º graus. Na extremidade de um dos braços, temos uma ponta que pode ser fixada na superfície plana. Na outra ponta temos uma rodinha que gira perpendicularmente ao braço na qual é fixada. Na ponta dessa rodinha temos um contador, que mede o número de voltas que ela dá quando a ponta móvel do instrumento se desloca sobre o contorno da figura plana a ser medida. Quando a ponta se desloca sobre todo o contorno da figura plana fechada, o contador indicará a área cercada pela curva.

Ao pensarmos em um instrumento tão simples, a nossa imaginação é induzida a princípios simples de funcionamento, mas por trás deste instrumento tem um principio e um grau de complexibilidade muito grande. É ai que entra o teorema de Green.

O Teorema de Green aliado ao Planímetro, os dois juntos tem sido de grande importância para o calculo de áreas de figuras planas fechadas. Uma área R a ser medida pelo Planímetro não deve conter a extremidade fixa do aparelho e podemos fixa-la em qualquer lugar desde que fora da área a ser medida, depois com a extremidade móvel do aparelho devemos percorrer a curva C que é fechada, sempre no sentido anti-horário(por causa do marcador) e após percorrer todo o contorno da figura é calculada a área.

Para explicar como o Teorema de Green entra na historia, precisamos descrever o campo de direções definido pelo instrumento. Para tal vamos definir as coordenadas x e y. Escolhemos para a origem do eixo a ponta do Planímetro que esta fixa, a partir daí, dois eixos perpendiculares x e y são traçados. Como a rodinha gira perpendicularmente ao braço no qual está fixada, o campo F(x,y) definido pelo Planímetro é perpendicular ao braço móvel e suponhamos que ele tenha módulo 1.

Figura 5 – Representação de uma região sendo medida por um planimetro.

Agora definiremos a equação, primeiro considere que os braços do Planímetro tenham tamanhos iguais a r. o primeiro esta com o centro na origem(0,0), e o braço móvel em (a,b). chamemos de

v o vetor que representa o braço móvel do Planímetro. F(x,y)

0 y

Figura 6 – Representa os braços de um planimetro um centrado na origem e o outro em (a,b). Temos então v =(x-a,y-b) e um vetor perpendicular é w =(-(y-b),x-a). como os braços tem comprimento r temos v = w =

(

) (

)

(

) (

)

F , , precisamos determinar a e b. Considerando a equação dos círculos que podem ser descritos por cada um dos braços do Planímetro.

= − + − = + 2 2 2 2 2 2 ) ( ) (x a y b r r b a

Desenvolvendo a Segunda equação acima temos que: b y xa y y x + _{= +} 2 2 2 , logo y xa y x b 2 2 2 2 _{+ −}

= , substituindo esses valores na equação do circulo com centro em (0,0) e desenvolvendo, teremos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 _{( ) 4 4 ( ) 4} 4y a + x + y + x a − xa x +y = y r 0 4 ) ( ) ( 4 ) ( 4 _x2 _{+ y}2 _a2 _{− x x}2 _+y2 _{a+ x}2 _+y2 2 _{− y}2_r2 ₌ Usando _R2 ₌(_x2 _{+ y}2) _temos: 0 4 4 2 2 2 4 2 _{− +} − ₌ R r y R xa a e logo, R r y R x R x a 2 4 2 2 2 4 2 2 _{− +} + = ou seja, 1 4 2 2 2 2 2 − + + = y x r y x a (a,b) v (x,y) F(x,y) 0 y x

Com a escolha de um valor positivo para a implica simplesmente que o caminho a ser percorrido pelo braço móvel do Planímetro é o sentido anti-horário(sentido padrão de funcionamento do aparelho). Com o valor de a definido, o valor de b aparece, consequentemente, como sendo:

Ry r y R x R x y b 2 4 2 2 2 4 2 2 _{− +} + = ou seja, 1 4 2 2 2 2 2 − + + = y x r x y b

Calculados os valores de a e b temos que o campo para o Planímetro é:

− + + − = − − = 4 1 2 2 1 ) ( 1 ) , ( ₂ 2 ₂ y x r x y r b y r y x f − + − = − = 4 1 2 2 1 ) ( 1 ) , ( ₂ 2 ₂ y x r y x r a x r y x g

Derivando as duas equações acima vamos obter:

1 4 2 8 2 1 2 2 2 2 2 2 − + + + = ∂ ∂ y x r y x xyr x g r 1 4 2 8 2 1 2 2 2 2 2 2 − + + + − = ∂ ∂ y x r y x xyr y f r fazendo, 1 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ y f x g r y f r x g r e, 1 = ∂ ∂ − ∂ ∂ = y f x g r k , logo r y f x g k =1 ∂ ∂ − ∂ ∂ =

Percebemos que se aplicarmos o Teorema Green ao Planímetro, a constante que multiplica a área só depende do comprimento dos braços, ou seja

= + c C por cercada área r dy y x g dx y x f( , ) ( , ) 1*

Então para o funcionamento do Planímetro é necessário sabermos o comprimento dos braços, o diâmetro da rodinha colocada perpendicularmente ao braço móvel e o número de voltas dada pela rodinha, que é marcado pelo contador ao percorrer a curva fechada C no sentido anti-horário, essas medidas são dadas pelas variáveis r para comprimento dos braços, d para diâmetro e k o número de voltas dada pela rodinha. O campo determinado pelo Planímetro é F(x,y)=(f,g). Então

C por cercada área r gdy fdx d k c * 1 = + =

π ou seja: Área cercada por

r d k

C = π . (Rabelo, Adriano Borges.; Manso, Fernando Ferreira. O Planímetro e o Teorema de Green)

Conclusão:

Existem varias maneiras de calcular áreas de figuras geométricas regulares como a do quadrado, retângulo, etc., mas outras áreas irregulares como as que vimos nas figuras deste trabalho, são mais difíceis para se calcular, no entanto com as ferramentas apresentadas no trabalho pode ficar bem mais fácil o calculo destas áreas, tanto o teorema de Green como o planimetro pode fazer este calculo. No século XIX quando foi inventado o planimetro baseado num teorema relativamente simples(teorema de Green), este instrumento(o planimetro) tão simples mas inovador foi visto com muito entusiasmo, já que podia calcular a área de regiões irregulares e tudo isso se utilizando do mesmo principio do teorema de Green. Estas duas ferramentas causou muito entusiasmo na época de suas invenções e ainda hoje são vistos com o mesmo entusiasmo de antes, tendo aplicações extensas e extremamente úteis na engenharia, na física, etc. São estas as conclusões que chegamos que o teorema e o planimetro são úteis no dia a dia de um engenheiro, um físico e outros profissionais.

Abaixo temos fotos de planimetro.

Figura 7 – Planimetro analógico. (Rabelo, Adriano Borges.; Manso, Fernando Ferreira. O Planímetro e o Teorema de Green. <.http://www.mat.ufmg.br/comed/2004/e2004/planimetro.pdf>)

Figura 8 – Planimetro digital. (http://www.haff.de/planimeter_e.htm)

Referência Bibliográfica:

LEITHOLD, Louis. O Cálculo Com Geometria Analítica. São Paulo: Harbra, 1986. 2v, p.1100-1006.

SWOKOWSKI, Earl Willian; FARIAS, Alfredo Alves de (Trad.). Cálculo Com Geometria Analítica. 2.ed São

Paulo: Makron, 1995. v . ISBN 8534603081

Rabelo, Adriano Borges.; Manso, Fernando Ferreira. O Planímetro e o Teorema de Green. Disponível em: <.http://www.mat.ufmg.br/comed/2004/e2004/planimetro.pdf>

Villate, Jaime. George Green. Disponível em: <http://paginas.fe.up.pt/~villate/electromagnetismo/pioneiros/green.html> Polkinghorne FRS, Dr. John. George Green and mathematics. Disponível em: