Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas
Departamento de Matemática
Introdução à Álgebra Linear - MTM 112
Prof. Fabiana Fernandes Lista 02 Sistemas Lineares
1. Resolva e classi que os sistemas a seguir utilizando o método de Gauss.
(a) x + y + 2z = 8 −x − 2y + 3z = 1 3x − 7y + 4z = 10 (b) 2x + 2y + 2z = 0 −2x + 5y + 2z = 1 8x + y + 4z = −1 (c) − 2y + 3z = 1 3x + 6y − 3z = −2 6x + 6y + 3z = 5
2. Quais das matrizes abaixo estão na forma escalonada reduzida?
(a) A = 1 0 0 0 3 0 0 1 0 −4 0 0 0 1 2 (b) B = 0 1 0 0 −4 0 0 1 0 5 0 0 0 −1 2 (c) C = 1 0 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 (d) D = 0 0 0 0 0 0 0 1 2 −4 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
3. Os sistemas lineares abaixo possuem a mesma matriz dos coe cientes A. Resolva-os utilizando o método de Gauss-Jordan. Observe que dois sis-temas podem ser resolvidos simultaneamente escalonando a matriz au-mentada [A | B1 | B2], em que B1 e B2 são as matrizes dos termos
independentes. (a) x − 2y + z = 1 2x − 5y + z = −2 3x − 7y + 2z = −1 (b) x − 2y + z = 2 2x − 5y + z = −1 3x − 7y + 2z = 2 4. Seja A = 1 0 5 1 1 1 0 1 −4
. Encontre a solução geral dos sistemas homogê-neos a seguir.
(a) (A + 4I3)X = 0. (b) (A − 2I3)X = 0.
5. Para quais valores de k o sistema
x − y = 3
2x − 2y = k não possui solução?
6. Para cada sistema linear, determine os valores de a para os quais o sistema possui solução única, in nitas soluções ou nenhuma solução.
(a) x + 2y − 3z = 4 3x − y + 5z = 2 4x + y + (a2− 14)z = a + 2 (b) x + y + z = 2 2x + 3y + 2z = 5 2x + 3y + (a2− 1)z = a + 1
7. Encontre condições sobre os termos independentes b0
is para que os sistemas
a seguir sejam possíveis.
(a) x − 2y + 5z = b1 4x − 5y + 8z = b2 −3x + 3y − 3z = b3 (b) x − 2y − z = b1 −4x + 5y + 2z = b2 −4x + 7y + 4z = b3
8. Seja o sistema linear x + y + 2z = a x + z = b 2x + y + 3z = c .
Mostre que a, b e c devem satisfazer a realação c = a + b para o sistema admita solução.
9. Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B. Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas do insumo A e 1 grama do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e, para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada um dos produtos X, Y e Z é R$ 3,00, R$ 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 kg de B, essa indústria arrecadou R$ 2900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos foram vendidos.
10. Resolva os sistemas lineares pelo método de Gauss-Jordan.
(a) x1 + 2x2 − 3x4 + x5 = 2 x1 + 2x2 + x3 − 3x4 + x5 + 2x6 = 3 −
(b) x1 + 3x2 − 2x3 + 2x5 = 0 2x1 + 6x2 − 5x3 − 2x4 + 4x5 − 3x6 = −1 5x3 + 10x4 + 15x6 = 5 2x1 + 6x2 + 8x4 + 4x5 + 18x6 = 6
11. Determine os coe cientes do polinômio p(x) = ax3+ bx2+ cx + d cujo
grá co passa pelos pontos P1 = (0, 10), P2 = (1, 7), P3 = (3, −11) e
P4= (4, −14).
12. Seja a ∈ R e considere a matriz
A = 1 1 1 1 1 3 −2 a 2 2a − 2 −a − 2 3a − 1 3 a + 2 −3 2a + 1 .
Determine o conjunto solução do sistema AB = X, para todos os valores de a, em que B = 4 3 1 6 t . 13. Sabendo que det a b c d e f g h i = −6,
calcule os determinantes das matrizes a seguir, justi cando os resultados.
(a) d e f g h i a b c ; (b) 3a 3b 3c −d −e −f 4g 4h 4i ; (c) a + g b + h c + i d e f g h i ; (d) −3a −3b −3c d e f g − 4d h − 4e i − 4f .
14. Calcule o determinante de cada matriz abaixo usando operações elementares para transformá-las matrizes triangulares superiores.
(a) 1 −2 3 1 5 −9 6 3 −1 2 −6 −2 2 8 6 1 (b) 2 1 3 1 1 0 1 1 0 2 1 0 0 1 2 3
15. Seja A uma matriz 4 × 4. Suponha que a matriz B foi obtida a partir A através da aplicação das seguintes operações elementares:
• Multiplicação da linha L1 por 2.
• Troca da linha L2 pela linha L3.
• Substituição da linha L4 por L4+ 2L1.
(a) Sabendo que det A = 1, calcule det B.
(b) Se C = 3 2 1 −1 0 4 20 5 0 0 15 35 0 0 0 1 , calcule det(BC −1Bt).
16. Calcule o determinante das matrizes a seguir e, se possível, utilize opera-ções elementares sobre linhas para encontrar suas inversas.
(a) A = 1 −3 0 −2 4 1 5 −2 2 . (b) B = 1 −2 3 1 5 −9 6 3 −1 2 −6 −2 2 8 6 1 . (c) C = 2 −3 2 5 1 −1 1 2 3 2 2 1 1 1 −3 −1 . (d) D = 2 1 0 0 1 0 −1 1 0 1 1 1 −1 0 0 3 . 17. Sabendo que A−1= 3 2 1 3 e B−1= 2 5 3 −2 , calcule AB.
18. Na Lista 01, você mostrou que a matriz A é invertível. Agora, calcule sua inversa. (a) A = cos θ sen θ 0 −sen θ cos θ 0 0 0 1 (b) A = k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k , ∀ k ∈ R ∗.
19. Suponha que A seja uma matriz 3 × 3 e que X = 1 2 3 seja solução do sistema homogêneo AX = 0. A matriz A é singular ou não? Justi que.
20. Considere a matriz A = 1 − λ 0 1 1 1 0 1 1 1 − λ .
(b) O sistema AX = B possui solução única quando λ = 0?
(c) Substitua λ = 0 na matriz A, encontre A−1 e resolva o sistema
AX = B, em que B = 1 1 1 . 21. Sejam A = 1 −1 −4 1 , P = 1 1 −2 2 e D = 30 −10 .
Veri que que A = PDP−1 e determine Ak para k ∈ N.
22. Para cada matriz A abaixo, determine os valores de λ para os quais existe X = x y z
6= 0 tal que AX = λX ou, equivalentemente, determine os valores de λ para os quais o sistema homogêneo (A − λI)X = 0 admite solução não trivial.
(a) A = 2 0 0 3 −1 0 0 4 3 (b) A = 2 3 0 0 1 0 0 0 2 (c) A = 1 2 3 4 0 −1 3 2 0 0 3 3 0 0 0 2 (d) A = 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 1 1 0 0 0 1
23. Para as matrizes do exercício anterior e os valores de λ encontrados, de-termine a solução de AX = λX ou, equivalentemente, encontre a solução geral do sistema homogêneo (A − λI)X = 0.
24. (a) Sejam X1e X2soluções do sistema homogêneo AX = 0. Mostre que
αX1+ βX2 também é solução para quaisquer escalares α e β reais.
(b) Sejam X1 e X2 soluções do sistema AX = B. Mostre que, se, para
quaisquer escalares α e β, αX1+ βX2 é solução, então B = 0.
(c) Mostre que se X1 é uma solução do sistema AX = B e Y1 é uma
solução do sistema homogêneo associado AX = 0, então X1+ Y1 é
RESPOSTAS 1. (a) S = {(3, 1, 2)} (b) S = −1+3α 7 , 1−4α 7 , α ; α ∈ R (c) S = ∅ 2. A e C. 3. (a) S = (9 − 3α, 4 − α, α); α ∈ R (b) S = ∅ 4. (a) S = (−α, 0, α); α ∈ R (b) S = (5α, 6α, α); α ∈ R 5. k 6= 6 6. (a) SPD: a 6= ±4 SPI: a = 4 SI: a = −4 (b) SPD: a 6= ±√3
SPI: não admite SI: a = ±√3 7. (a) b1− b2− b3= 0 (b) b1, b2, b3∈ R 8. 9. 500 kg de X, 300 kg de Y, 200 kg de Z. 10. Vide abaixo. 11. a = 1, b = −6, c = 2 e d = 10. 12. Se a 6= 1 e a 6= 5, então S =n4a−11a−5 , − 4 a−5, − 4 a−5, − 1 a−5o. Se a = 1, então S =(2 − α, 1, 1, α) | α ∈ R . Se a = 5, então S = ∅. 13. (a) -6 (b) -6 (c) 72 (d) 18 14. (a) 39 (b) 6
15. (a) det B = −2 (b) det C = 1 45 16. (a) det A = −17 (b) det B = 39 (c) det C = 1 (d) det D = 1 17. AB = 0 1/7 1/19 −11/133 18. (a) cos θ −sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 (b) 1 k 0 0 0 −1 k2 1 k 0 0 1 k3 − 1 k2 1 k 0 −1 k4 1 k3 − 1 k2 1 k 19. A é singular. 20. (a) λ = 1 (b) Sim. (c) X = 1 0 0 21. Vide abaixo. 22. (a) -1,2,3 (b) 1,2 (c) -1,1,2,3 (d) 1,2 23. (a) λ = −1 : (0, −α, α); α ∈ R λ = 2 :(−α, −α, 4α); α ∈ R λ = 3 :(0, 0, α); α ∈ R (b) λ = 1 : (−3α, α, 0); α ∈ R λ = 2 :(α, 0, β); α, β ∈ R (c) λ = −1 : (−α, α, 0, 0); α ∈ R λ = 1 :(α, 0, 0, 0); α ∈ R λ = 2 :(−29α, −7α, −9α, 3α); α ∈ R λ = 3 :(9α, 3α, 4α, 0); α ∈ R (d) λ = 1 : (3α, −3α, α, 0); α ∈ R λ = 2 :(α, 0, 0, 0); α ∈ R 10. (a) S = (−2α + 3β + γ, α, 1 − 2γ, β, 2 − γ, γ); α, β, γ ∈ R (b) S = −3α − 4β − 2γ, α, −2β, β, γ,1 3 ; α, β, γ ∈ R 21. Ak=1 4 23k+ (−1)k (−1)k− 3k 4(−1)k− 3k 23k+ (−1)k