A equação de difusão e sua aplicação ao problema de transferência de calor

JÉSSICA ANDREZA MANGHI DOS SANTOS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

CURSO DE GRADUAÇÃO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

NITERÓI 2018

JÉSSICA ANDREZA MANGHI DOS SANTOS

AEQUAÇÃODEDIFUSÃOESUAAPLICAÇÃOAOPROBLEMADE

TRANSFERÊNCIADECALOR

Monografia apresentada à Coordenação do Curso Graduação de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal Fluminense como requisito parcial para aprovação na disciplina Monografia (GGT 00013) .

Orientador: JUAN BAUTISTA LIMACO FERREL

Niterói 2018

Agradecimento

Primeiramente a Deus, por ter me guiado em todos os momentos da minha vida. A minha mãe e ao meu padrasto, por todo amor e incentivo nessa minha caminhada. Obrigada por todo esforço. Eu os amo incondicionalmente.

A minha irmã, por jamais me deixar sozinha e pela força nos momentos mais difíceis e ao meu irmão pelas palavras amigas nos momentos precisos.

Ao meu namorado, por me apoiar e me fazer acreditar que é possível. Obrigada pela paciência, pela compreensão e pelo amor.

Ao meu orientador, professor Juan Limaco, pela excelente orientação acadêmica. Ao coordenador da Matemática- Licenciatura, professor Wanderley, pelo apoio constante.

Aos meus professores do Instituto de Matemática da Universidade Federal Fluminense, pelos conhecimentos compartilhados.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é deduzir e resolver o modelo de transferência de calor usando para isso as leis da física e ferramenta de análise e também propor atividades didáticas, para professores e alunos do Ensino Médio, com conceitos matemáticos de logaritmo, exponencial e funções trigonométricas relacionadas a esse modelo. Tal modelo é representado por uma equação diferencial parcial com condições de contorno e condições iniciais que será resolvido usando o método de séries e transformada de Fourier. Será deduzido um modelo para transferência de calor em uma barra e em uma membrana, utilizando as leis da física. Posteriormente faremos um estudo de análise de Fourier que é necessário para achar mediante separação de variáveis a solução do modelo. Propondo atividade matemática para professores e alunos da educação básica utilizando a Modelagem Matemática que acreditamos ser uma tendência no ensino da matemática já busca interpretar e compreender fenômenos do nosso cotidiano, pois é uma ferramenta didática cujo o foco são os alunos, fazendo da aprendizagem muito mais que algoritmo e aplicação, estimulando os alunos a interagir e desenvolver um melhor raciocínio logico.

PALAVRAS – CHAVE: Matemática. Modelagem Matemática. Aprendizagem significativa

Abstract

The objective of this work is to deduce and solve the heat transfer model using the laws of physics and analysis tool and also to propose didactic activities, for teachers and high school students, with mathematical concepts of logarithm, and trigonometric functions related to this model. This model is represented by a partial differential equation with contour conditions and initial conditions that will be solved using the Fourier transform and series method. A model will be deducted for heat transfer in a bar and on a membrane, using the laws of physics. Subsequently we will do a Fourier analysis study that is necessary to find by separating variables the solution of the model. Proposing mathematical activity for teachers and students of basic education using the mathematical modeling that we believe is a tendency in teaching mathematics already seeks to interpret and understand phenomena of our daily life, because it is a didactic tool whose focus is the students, making learning much more than algorithm and application, stimulating students to interact and develop a better logico reasoning.

Sumário

Introdução - - - -- - - 1

Um pouco da história das equações diferenciais - - - 4

A modelagem matemática - - - 7

A aprendizagem significativa - - - 9

Modelagem matemática no ensino de forma significativa - - - -- - - -12

Séries de Fourier - - - - - - 14

Teorema de Fourier - - - - - - 15

Função Par e Ímpar - - - -- - - 15

Extensão periódica de uma função - - - 16

Equação do calor - - - 17

Método de separação de variáveis - - - -- - - - - - 18

Equação do calor com condições de contorno não homogêneo - - -- - - 20

Equação do calor em uma Barra com extremidades isoladas - - - - - - - 23

Transformada de Fourier e o espaço S - - - -- - - 25

Produto de convolução - - - -- - - 28

Teorema de Plancherel - - - 29

Problema de Cauchy para a equação do calor - - - -- - - 32

Propostas didáticas - - - 34

Introdução

O processo de difusão é a ação de propagar, é o processo físico no qual diferentes substancias se movem de modo aleatória e espontâneo, movendo-se de um meio mais concentrado para um menos concentrado. Isto é facilmente observado na física, na química, na biologia, em finanças, entre outros.

Na matemática a equação de difusão, é representada por uma equação em derivadas parciais que descreve flutuações de densidade em um material que se difunde, é usada para modelar problemas de poluição em rios e lagoas, processos de finanças, transferência de calor, problemas de bio-matemática, entre outros.

Nesse trabalho vamos estudar a transferência de calor apresentando a partir de leis da física a dedução do modelo de transferência de calor em uma barra e em uma membrana, também desenvolveremos os conceitos teóricos necessários para a resolução das equações diferenciais que aparecem.

Também iremos propor atividades didáticas para os alunos e professores da educação básica. Para os alunos abordaremos exemplos particulares da equação do calor, nas quais só é necessário conceitos matemáticos de logaritmos, exponencial e função trigonométrica. Para os professores procuramos mostrar que a modelagem matemática e a interdisciplinaridade como motivação em suas aulas podem ajudar na compreensão dos conceitos matemáticos.

As dificuldades apresentadas pelos alunos no aprendizado da matemática e as adversidades observadas no ensino acontecem, muito das vezes, em migrar do abstrato para o concreto.

O caráter abstrato dos estudos matemáticos surpreende os principiantes nos primeiros contatos com o mundo de ideias e representações, desprovidas das particularidades das coisas materiais. Apesar de a matemática ser utilizada e estar presente na vida diária, exceto para quem já compartilha desse saber, as ideias e os procedimentos matemáticos parecem muito diferentes dos utilizados na experiência prática ou na vida diária (MICOTTI, 1999, p.162).

Isso decorre porque os professores ainda ensinam matemática sem relacioná-la com outros saberes, matemáticos ou não, que em partes os alunos já dispõem.

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Infelizmente, não é só na álgebra que isso ocorre, mas, como também, na trigonometria, geometria, aritmética e etc. Ou seja, nesse tipo de abordagem o conhecimento matemático permanece como se fosse separado em “blocos”. Levando a um entendimento de que talvez fosse necessário retomar aos primórdios do ensino básico. Com relação aos conhecimentos prévios que a criança absorve antes de iniciar sua vida escolar, Vygotsky afirma que,

[...] o aprendizado das crianças começa muito antes delas frequentarem a escola. Qualquer situação de aprendizado com a qual a criança se defronta na escola tem sempre uma história prévia. Por exemplo, as crianças começam a estudar aritmética na escola, mas muito antes elas tiveram alguma experiência com quantidades – elas tiveram que lidar com operações de divisão, adição, subtração e determinação de tamanho. Consequentemente, as crianças têm a sua própria aritmética pré-escolar, que somente psicólogos míopes podem ignorar (VYGOTSKY, 1989, p. 94-95).

Assimilar um conhecimento que não faz nenhuma conexão, ou melhor, que não associa outro conteúdo já aprendido anteriormente pelos alunos torna tal aprendizagem um processo mais árduo. Até porque o conhecimento matemático é de fato abstrato e se o aluno não vê sentido no que faz o mesmo sente-se desestimulado a aprender sobre o que é ensinado. Sabendo disso, os professores devem atentar-se e procurarem novas maneiras de abordar o assunto de modo que alcance, em sua totalidade, os alunos. Para tanto, uma das maneiras é incentivar os conteúdos matemáticos junto a aplicação prática das mesmas a partir das proposições algébricas. Não é de hoje que a álgebra tem sido abordada nas escolas brasileiras, em contrapartida esse não é um assunto comum a todas as séries de ensino. Segundo a Base Nacional Comum Curricular – BNCC tal conteúdo se inicia, impreterivelmente, no 7º ano do Ensino Fundamental II (BRASIL, 2017, p.261). É possível analisar historicamente, nos diferentes livros didáticos de matemática do 7º ano, o uso da álgebra para denotar um valor de um item desconhecido em paralelo a ideia de que o cálculo algébrico é somente uma solução aritmética com letras.

Atualmente há uma percepção mais profunda do conhecimento algébrico quanto a aplicação prática da matemática, que vai além das descobertas de incógnitas. Os avanços da pesquisa em um ensino que aporte a aprendizagem significativa, inclusive

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na matemática, delinearam “novos ares”. Assim também, com o passar do tempo, a própria álgebra tomou novos rumos. Como, por exemplo, a ideia de percepção de regularidade, do processo de generalização (quanto as formas de aplicar em um meio ou um fim), tentativa de expressar a estrutura de um problema e, por fim, a percepção de aspectos não variantes.

A Matemática é uma ciência exata que está em constante evolução com esse fato a abordagem das estratégias de ensino na sala de aula deve trazer novas propostas didáticas com o objetivo de possibilitar o melhor aproveitamento no processo ensino-aprendizagem.

Incluir metodologias que busquem inovar e contextualizar o ensino na sala de aula no intuito de levar o estudante a construir e compreender a matemática e seus procedimentos que o auxilie na formalização de diferentes conceitos da disciplina parece ser uma alternativa para desmistificar ou “descomplicar” a matemática. (SILVEIRA et al, 2011)

Como estratégia de no processo ensino-aprendizagem a modelagem matemática é uma forte tendência no ensino da matemática já que essa metodologia aproxima o aluno, pois nessa proposta é fundamental relacionar o conteúdo abordado com o cotidiano, tendo assim uma aprendizagem significativa. Essa abordagem torna o estudo em matemática mais interessante já que estimula o aluno sair da maneira tradicional e ser mais ativo, já que se faz necessário um trabalho de investigação e indagação, facilitando a abordagem de novos conteúdos e melhorando a aprendizagem.

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Um pouco da história das equações diferenciais

O estudo das Equações Diferenciais começa no século XVII com o estudo do Cálculo Diferencial e Integral, inicialmente, ligado a problemas de mecânica das partículas. O destaque nesta época está para as três leis de Newton e a lei da gravitação universal que possibilitaram obter equações diferenciais ordinárias. Associadas a três fenômenos distintos:

1) processos de difusão; 2) processos oscilatórios;

3) processos independentes do tempo ou estacionários.

O que tornam essas equações fundamentais em muitos ramos da física e um grande estimulo aos matemáticos do século XVIII em procurar modelos para problemas, por exemplo, da mecânica contínua e da termologia, que expressam os fenômenos em termos de Equações Diferenciais.

O estudo das equações diferenciais começou por Newton e Leibniz, as descobertas de Newton datam 1665, porém elas só foram publicadas mais tarde em seu livro em 1687. Leibniz desenvolveu a notação de derivada e integral, usadas até os dias de hoje, além disso em 1691 descobriu o método de separação de variáveis e em 1694 o método de resolução de equação de linear de primeira ordem.

No decorrer do século XVIII surgiram as equações diferencias parciais, após ímpares teses sobre equações diferenciais, definidas a partir das aplicações e teorias discriminadas nas equações lineares de segunda ordem.

Alguns pensadores contribuíram para a evolução dos estudos acerca da matemática e utilizaram as equações diferencias como uma ferramenta importante para destrinchar problemas de mecânica, por exemplo. Entre tais estudiosos pode-se citar Johann Bernoulli e Jakob Bernoulli, tendo o segundo desenvolvido equações para o movimento do planeta, sendo o primeiro na atualidade a utilizar a expressão “integral” e os princípios de Newton.

Daniel Bernoulli, filho de Johann também estudou as equações diferenciais, mas focado nas parciais e suas aplicações. Onde escreveu a solução do problema da

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corda vibrante em forma de series trigonométricas. Sua contribuição fez com que seu nome fosse associado a Equação de Bernoulli da Mecânica dos fluidos.

Leonhard Euler é o matemático que mais se destacou na época, deixando uma imensurável contribuição à matemática. Foi um estudioso da física, teologia, astronomia e medicina. Contribuiu para inúmeras áreas da matemática, como o estudo das funções, criando minuciosas notações incluindo o e, o símbolo do i, do sigma e o i. Integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em análise matemática.

Com o começo do século XIX um pensador, chamado Joseph Fourier, contribuiu para os estudos sobre propagação de calor, gerando assim, uma nova área matemática, onde ele observou a propagação do calor em corpos rígidos em condições inicias para formular sua teoria. Exemplificando, problema da condução de calor em uma barra, a temperatura u(x,t) do ponto x da barra, no instante t, deve satisfazer a equação do calor,

𝑢_𝑡 = 𝑘𝑢_𝑥𝑥

Todos esses nomes contribuíram para proporcionar à Análise uma solidez teórica. Pois permite uma explicação matemática a um certo fenômeno físico, através de uma equação diferencial. O que possibilitou o engrandecimento da matemática como uma aplicação essencial para o entendimento de problemas básicos e práticos que envolve muitas outras ciências.

O objetivo das equações diferenciais é representar situações reais, isso faz com que com frequência exista uma associação entre as equações diferenciais e a física, entretanto as equações são muito utilizadas também na modelagem de problemas químicos, biológicos e financeiros, nessa área frequentemente usadas como forma de proteção contra as flutuações dos valores de preços de produtos e bens.

Podendo aparecer em didáticas físicas como, na propagação de ondas, na condução de calor entre outras questões. As equações parciais e suas aplicações compõem um sistema no qual é possível representar com uma aproximação maior o fenômeno que está sendo observado. A modelagem de problemas com Equações Diferencias está aquém de limitada apenas ao uso em questões de física, mas contribui abundantemente para a evolução e desenvolvimento de impares âmbitos.

Devido a essa inesgotável fonte de possibilidades e aplicações as equações diferencias exercem uma grande importância, pois estabelecem uma ligação entre a

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rigorosidade matemática com conceitos e aplicações da realidade. Em suma elas auxiliam de maneira eficaz outras áreas do saber, não se restringindo apenas às ciências exatas.

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A Modelagem Matemática

A Modelagem Matemática é definida na procura por um padrão, um protocolo que auxilie na representação de um fenômeno, de qualquer âmbito de conhecimento, sendo comumente utilizada como ferramenta na didática de aprendizagem. Para Bassanezi o modelo pode ser definido da seguinte forma.

Quando se procura refletir sobre uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender, ou de agir sobre ela – o processo usual é selecionar, no sistema, argumentos ou parâmetros considerados essenciais e formalizá-los através de um sistema artificial: o modelo (BASSANEZI, 2011, p. 19).

A modelagem é uma forma diferente de enxergar a matemática, pois através dela é possível transformar problemas matemáticos em situações do cotidiano, com isso o professor ministra aulas interdisciplinares quebrando a divisa que existe entre a matemática e as outras disciplinas, mostrando a aplicação desta com outros setores, inclusive com o meio socio cultural.

Modelagem Matemática é a arte de expressar por intermédio de linguagem matemática situações problemas de nosso meio. Tem estado presente desde os tempos mais primitivos. Isto é, a modelagem é tão antiga quanto a própria Matemática, surgindo de aplicações na rotina diária dos povos antigos (BUENBENGUT E HEIN, 2005, p. 7).

.A Modelagem Matemática como auxiliadora, servido para motivar e incentivar os alunos durante as aulas além de facilitar a compreensão dos conceitos abordados em sala de aula. Deste modo, proporciona que o aluno absorva com mais facilidade o conteúdo, pois os conceitos “conversam” com outras áreas estudadas, possibilitando que o aluno seja capaz de interpretar as situações apresentadas, analisando os caminhos e os resultados.

Desta forma, a modelagem é utilizada como uma estratégia de ensino que faz a ligação de conceitos formais matemáticos com uma situação real conhecida. Assim, a Matemática se torna uma aprendizagem significativa

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A aprendizagem significativa

Normalmente o ensino de equações diferenciais tem uma abordagem mais técnica, que podemos dividir em duas etapas. A primeira delas aborda a resolução das equações diferenciais e a segunda etapa aborda a aplicação de equações em base a formulação de e resolução de problemas fazendo uma iniciação à modelagem de problema em Matemática.

A aprendizagem significativa acontece quando o aluno consegue estabelecer relações com o conhecimento adquirido anteriormente, desenvolvendo um pensamento crítico, analisando o que foi estudado. Para Ausubel a aprendizagem significativa ocorre quando um novo conhecimento se relaciona a outro já existente, neste processo os conhecimentos já adquiridos dos alunos são utilizados e valorizados fazendo com que se torne possível a construção de “pontes mentais” facilitando a aprendizagem.

A essência do processo de aprendizagem significativa, tal como já se verificou, consiste no facto de que novas ideias expressas de forma simbólica (a tarefa de aprendizagem) se relacionam àquilo que o aprendiz já sabe (a estrutura cognitiva deste numa determinada área de matérias), de forma não arbitrária e não literal, e que o produto desta interação ativa e integradora é o surgimento de um novo significado, que reflete a natureza substantiva e denotativa deste produto interativo. (AUSUBEL, 2003, p.71)

Para existir a aprendizagem significativa, entretanto é necessário que o conteudo seja passado de forma significativa, possibilitando que o aluno relacione o novo com outros conhecimentos já adquiridos, além de um conhecimento previo do aluno para conseguir fazer essa associação.

Para todas as finalidades práticas, a aquisição de conhecimento na matéria de ensino depende da aprendizagem verbal e de outras formas de aprendizagem simbólica. De fato, é em grande parte devido à linguagem e à simbolização que a maioria das formas complexas de funcionamento cognitivo se torna possível. (AUSUBEL, 1968, p. 79)

Evitando assim que os alunos memorizem os conteúdos tornando a aprendizagem mecânica, já que a aprendizagem significativa possibilita ao aluno associar o

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conhecimento matemático com o conhecimento do seu cotidiano, que está aquém do âmbito matemático.

A estrutura cognitiva compreende um complexo organizado de informações na mente do sujeito que aprende, e a forma como se encontra organizada essa estrutura determina uma aprendizagem mais ou menos facilitada. A não-arbitrariedade indica que a nova informação deve se relacionar com um aspecto relevante da estrutura cognitiva de quem aprende e não com um aspecto arbitrário qualquer. A substantividade significa que é a essência da nova informação que deve ser interiorizada pela estrutura cognitiva, e não um conjunto de símbolos usados para expressá-la. (BORSSOI; ALMEIDA, 2004) Por outro lado além dos conhecimentos prévios e das associações com o cotidiano é fundamental que o aluno tenha predisposição para uma melhor compreensão conceitual do conhecimento estudado.

A atitude do aluno é de crucial importância para o processo de aprendizagem significativa O aluno deve manifestar um esforço e disposição para relacionar de maneira não arbitraria o novo material potencialmente significativo à sua estrutura cognitiva. Significando que não importa o quanto o material seja potencialmente significativo, se o aluno apenas tiver interesse de “decorar” a nova informação, não haverá a aprendizagem significativa do material. [TAVARES, 2005]. A abordagem feita pelo professor de situações-problemas da vida habitual e interesse dos alunos facilitam a associação feita entre os conteúdos, já que esse tipo de abordagem aumenta o interesse do aluno para o estudo, permitindo um melhor conhecimento da matemática, e o prepara para outras disciplinas.

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Modelagem Matemática no Ensino de Forma Significativa

O conteúdo de Equações Diferenciais, pode se dizer que atende aos modelos de uma aprendizagem significativa, tendo em vista que elas nasceram da necessidade de compreender e analisar os fenômenos corriqueiros. Suas teorias foram desenvolvidas devido à busca incessante por novos modelos.

Em sala de aula a modelagem matemática se faz necessária na medida que

É um processo de abertura onde se podem aprender, questionar e relembrar conceitos matemáticos. É um processo de abertura para compreender situações reais, do cotidiano. É um processo que funciona como uma motivação para surgir a aprendizagem, tanto da Matemática como também de outras áreas do conhecimento. (GUSTINELI, 1990, p.18)

Modificando a abordagem do conteúdo para conseguir passar o conhecimento de forma mais significativa para o aluno, a modelagem matemática é uma estratégia fundamental para motivar o aluno, fazendo com que este pense criticamente sobre o tema, facilitando a compreensão dos métodos desenvolvidos.

Quando o professor usa a Modelagem ele está ‘se abrindo’ a novas perspectivas, dando a seu aluno a chance de ‘participar’ de sua aula. Está se arriscando, pois o mesmo não possui domínio dos ‘caminhos’ que as discussões geradas pelas atividades vão tomar, logo, as chances de ‘aprender’ enquanto ‘ensina’ são maiores do que quando se ministra uma ‘aula pronta’.( ROSA e KATO, 2014, p.7)

Com isso, uso da modelagem em sala de aula o professor e os alunos aprendem mais do que apenas a matemática, como conceitos e aplicações, como também desenvolve a capacidade de trabalhar em grupo e respeitar a visão do outro, proporcionando a contextualização e reflexão.

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Séries de Fourier

Se f(x) for periódica 2L, a série de Fourier é definida por:

𝑆[𝑓](𝑥) =𝑎0 2 + ∑ (𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋𝑥 𝐿 + 𝑏𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑚 Onde: 𝑎0 = 1 𝐿∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐿 −𝐿 , an = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝐿 −𝐿 , bn = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 𝐿 −𝐿 Considere o espaço 𝐿²(− 𝐿, 𝐿) = {𝑓 ∶ (−𝐿, 𝐿) → 𝐼𝑅 / ∫ |𝑓|2 < ∞ 𝐿 − 𝐿 }

munido do produto interno

(𝑓 , 𝑔) = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑞(𝑥) 𝐿 − 𝐿 𝑑𝑥 Observação 1; Em 𝐿²(− 𝐿, 𝐿) , 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥 𝐿 , 𝑐𝑜𝑠 𝑚𝜋𝑥

𝐿 são ortogonais pois

∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝜋𝑥 𝐿 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑥 𝐿 = { 0 𝑚 ≠ 𝑛 𝐿 𝑚 = 𝑛 𝐿 − 𝐿 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑚𝜋𝑥 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 = 0 ∀ 𝑚, 𝑛 𝐿 − 𝐿 ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜋𝑥 𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑛𝜋𝑥 𝐿 = { 0 𝑚 ≠ 𝑛 𝐿 𝑚 = 𝑛 𝐿 − 𝐿

Uma função 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 será seccionalmente continua se ela tiver apenas um número finito de descontinuidades (todas de primeira espécie) em qualquer intervalo limitado. Em outras palavras, dados 𝑎 < 𝑏 existem 𝑎 ≤ 𝑎₁ < 𝑎₂ . . . < 𝑎_𝑛 ≤ 𝑏, tais que 𝑓 é contínua em cada intervalo aberto (𝑎𝑗, 𝑎𝑗+1), 𝑗 = 1, . . . , 𝑛 − 1 e existem os limites laterais

𝑓(𝑎_𝑗+ 0) = lim

𝑥→𝑎_𝑗+𝑓(𝑥) e 𝑓(𝑎𝑗 − 0) = lim𝑥→𝑎_𝑗 − 𝑓(𝑥) É claro que toda função contínua é seccionalmente contínua.

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Uma função 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 será seccionalmente diferenciável se ela for seccionalmente contínua e se a função derivada 𝑓 ′ também for seccionalmente contínua. Observe que a derivada 𝑓 ′ não está definida em todos os pontos: com certeza 𝑓 ′(𝑥) não existe nos pontos 𝑥 onde 𝑓 é descontínua, e mais, 𝑓 ′(𝑥) pode não existir, mesmo em alguns pontos onde 𝑓 é contínua.

Teorema 1: (Teorema de Fourier):

Seja 𝑓 ∶ 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 uma função seccionalmente diferenciável e de período 2𝐿. Então a série de Fourier da função 𝑓 converge em cada ponto 𝑥, para

1

2[𝑓(𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0)] Isto é,

𝑆[𝑓](𝑥) =1

2[𝑓(𝑥 + 0) + 𝑓(𝑥 − 0)]

Funções pares e ímpares

Uma função f é par, se f(x) = f(-x). Uma função f é ímpar, se f(x) = - f(x). Observação 2:

a. O produto de duas funções pares, é par.

b. O produto de uma função par e outra ímpar, é ímpar. c. O produto de duas funções ímpares, é par.

d. ∫ 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_−𝐿𝐿 ₀𝐿 , se f é par.

e. ∫ _{− 𝐿}𝐿 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0, se f é ímpar.

Assim;

i) Se f é uma função periódica ímpar, f(x) cos 𝑛 𝜋 𝑥

𝐿 é ímpar e f(x) sen 𝑛 𝜋 𝑥

𝐿 é par, assim pela observação 2 e dos itens d e e, tem-se

an = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥)𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 𝑑𝑥 = 0 𝐿 −𝐿 e bn = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 = 2 𝐿∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 𝐿 0 𝐿 −𝐿

- 15 - ii) Se f é uma função periódica par, f(x) sen 𝑛 𝜋 𝑥

𝐿 é ímpar e f(x) cos 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 é par tem-se, bn = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑒𝑛 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 = 0 𝐿 −𝐿 , an = 1 𝐿 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 = 2 𝐿∫ 𝑓(𝑥) 𝑐𝑜𝑠 𝑛 𝜋 𝑥 𝐿 𝐿 0 𝐿 −𝐿 Extensão periódica de uma função

Suponha f definida no intervalo [0,L] podemos estender 𝑓 a uma função periódica par de período 2 L por.

𝑓̃(𝑥) = { 𝑓(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 𝑓(−𝑥) − 𝐿 < 𝑥 < 0

Também podemos estender 𝑓 a uma função periódica ímpar de período 2 L por.

𝑓̂(𝑥) = {

𝑓(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 0 𝑥 = 0 , 𝐿 − 𝑓(−𝑥) − 𝐿 < 𝑥 < 0 e estender 𝑓 a uma terceira forma por

𝑓̅(𝑥) = {𝑓(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 0 − 𝐿 < 𝑥 < 0

Observa-se que a série de Fourier de 𝑓̃(𝑥) é série de cossenos. A série de Fourier de 𝑓̂(𝑥) é uma série de senos e

𝑓̅(𝑥) tem uma série com senos e cossenos, essas três extensões coincidem com 𝑓 no intervalo [0, 𝐿] e consequência a série de Fourier dessas três extensões aproximam-se a 𝑓 em [0, 𝐿] .

Observação 3: A série de Fourier de 𝑓̂(𝑥) e 𝑓̃(𝑥) restritas ao intervalo [0, 𝐿] são chamadas séries de senos e séries de cossenos respectivamente para a função 𝑓(𝑥) no intervalo [0, 𝐿].

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Equação do calor

Estudaremos o problema da condução do calor em uma barra com extremidades mantidas à temperatura zero. O problema consiste em determinar uma função 𝑢(𝑥, 𝑡) que mostra a temperatura do ponto x no tempo 𝑡, definida para 𝑡 ≥ 0 e 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, tal que satisfaz: | 𝑢𝑡 − 𝛼2𝑢𝑥𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 𝐿 𝑢(0, 𝑡) = 0 , 𝑢(𝐿, 𝑡) = 0 , 𝑡 > 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 (1)

onde a constante 𝛼² e a função 𝑓 são dadas. Esse tipo de problema chama-se problema de valores inicial e de fronteira. Utilizando o método de separação de variáveis chegamos a solução do problema.

Onde 𝑠 = 𝑐𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑟𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 ∝2= 𝑑𝑖𝑓𝑢𝑠𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 ∝2= 𝐾 𝜌𝑠 𝐾 = 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑐𝑎 𝜌 = 𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

Na tabela podemos observar os valores típicos de ∝2 Material ∝2 _{(𝑐𝑚²/𝑠)} Prata 1,71 Cobre 1,14 Alumínio 0,86 Ferro fundido 0,12 Granito 0,011 Tijolo 0,0038 Água 0,00144

Tabela 1Valores de Difusidade Térmica para Alguns Materiais Comuns Figura 1: Barra sólida condutora de calor

Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3 %A7%C3%A3o_do_calor

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Método de Separação de variáveis

Seja 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) Logo 𝑢𝑡(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) (2) 𝑢_𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑋′(𝑥)𝑇(𝑡) (3) 𝑢_𝑥𝑥(𝑥, 𝑡) = 𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) (4) Logo de (2), (3), e (4) em (1) tem-se 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) = 𝛼2𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) ⇒ 𝑋′′(𝑥) 𝑋(𝑥) = 𝑇′(𝑡) 𝛼2_𝑇(𝑡)= − 𝜆 = 𝑐 𝑡𝑒

assim essa igualdade nos dá as equações diferenciais ordinárias seguintes

𝑋′′(𝑥) + 𝜆𝑋(𝑥) = 0 (5) 𝑇′(𝑡) + 𝛼2𝜆𝑇(𝑡) = 0 (6) Como 𝑢(0, 𝑡) = 𝑋(0)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑋(0) = 0 Como 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑋(𝐿)𝑇(𝑡) = 0 → 𝑋(𝐿) = 0 de (5) temos que 𝑟2_{+ 𝜆 = 0 → 𝑟 = ±√− 𝜆} se 𝜆 < 0, 𝑋(𝑥) = 𝑐₁𝑒√ − 𝜆𝑥 _{+ 𝑐} 2𝑒− √ − 𝜆𝑥 0 = 𝑐1+ 𝑐2 → 𝑐1 = 𝑐2 = 0 0 = 𝑐1𝑒√ − 𝜆 𝐿+ 𝑐2𝑒 − √ − 𝜆 𝐿 Se 𝜆 = 0 , 𝑟2 _{= 0 , 𝑟} 1 = 𝑟2 = 0

- 18 - se 𝜆 > 0, 𝑟 = ±𝑖√𝜆 assim, 𝑋(𝑥) = 𝑐₁ 𝑐𝑜𝑠√𝜆 𝑥 + 𝑐₂ 𝑠𝑒𝑛√𝜆 como de (1)₂ 𝑋(0) = 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0 = 𝑐₂𝑠𝑒𝑛√𝜆 de onde √𝜆𝐿 = 𝑛𝜋 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝜆_𝑛 =𝑛²𝜋² 𝐿² assim 𝑋𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) também de (6) 𝑇′(𝑡) +𝛼²𝑛²𝜋² 𝐿² 𝑇 = 0 cuja solução é 𝑇_𝑛(𝑡) = 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝛼²𝐿² 𝑡 assim, 𝑢_𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝛼²𝑡𝐿² _{𝑠𝑒𝑛 (}𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) satisfaz (1)₂ 𝑒 (1)₂ mas não necessariamente satisfaz (1)₃. Logo procura-se 𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑∞ 𝑐_𝑛 𝑛=1 𝑒 − 𝑛²𝜋²𝛼²𝑡 𝐿² 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) (7) de forma a satisfazer (1)₃, isto é,

𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥, 0) = ∑ 𝑐_𝑛 ∞ 𝑛=1 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ⏟ 𝑆[𝑓](𝑥)

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pela observação 3, essa igualdade será valida se os coeficientes 𝑐𝑛 são os coeficientes de extensão ímpar de 𝑓, isto é,

𝑐𝑛 = 2 𝐿∫ 𝑓(𝑥) 𝐿 0 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) 𝑑𝑥 (8) assim (7) satisfaz (1)₁, (1)₂ e (1)₃ e logo é a solução do problema.

Exemplo: Encontre a temperatura 𝑢(𝑥, 𝑡) em qualquer instante em uma barra de metal com 50 cm de comprimento isolada nos lados, inicialmente a uma temperatura uniforme de 20° em toda a barra e cujas as extremidades são mantidas a 0°C, considerando 𝛼² = 1.

Nesse exemplo 𝐿 = 50 e 𝛼² = 1. Assim de (8), tem-se

𝑐_𝑛 = 2 50∫ 20 50 0 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 50 ) 𝑑𝑥 𝑐𝑛 = 40 50 ( − 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥₅₀) 𝑛𝜋 50 | 0 50 =4 5( 50 𝑛𝜋(1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜋))) ) = 40 𝑛𝜋(1 − ( − 1) 𝑛₎

Logo a solução dada por (7) é

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑40 𝑛𝜋(1 − ( − 1) 𝑛_)𝑒− 𝑛²𝜋²𝑡_{50² 𝑠𝑒𝑛 (}𝑛𝜋𝑥 50 ) ∞ 𝑛=1

Equação do calor com condições de contorno não homogêneo

Considere o problema de transferência de calor em uma barra onde os extemos da barra se encontram a temperaturas 𝑇₁ e 𝑇₂. O problema de valor inicial e de fronteira tem a seguinte forma:

[

𝑢𝑡 − 𝛼²𝑢𝑥𝑥 = 0

𝑢(0, 𝑡) =𝑇1 , 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝑇2

𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥)

(18)

Seja a função auxiliar

v(x) = (𝑇₂ − 𝑇₁) x

L+ 𝑇1 (19) v(x) satisfaz,

- 20 - 𝑣(0) = 𝑇₁ , v(L) = 𝑇₂ 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒 𝑢 = w + 𝑣(x) assim w = u − v(x) satisfaz 𝑤_𝑡 = 𝑢_𝑡 (20) 𝑤𝑥 = 𝑢𝑥+ (𝑇2 − 𝑇1) 𝐿 (21) 𝑤_𝑥𝑥 = 𝑢_𝑥𝑥 (22) Logo de (20) , (22) e (18). w satisfaz, 𝑤_𝑡 − 𝛼²𝑤_𝑥𝑥 = 0 (23) pois 𝑢𝑥 − 𝛼²𝑢𝑥𝑥 = 0 Também de (18)2 tem-se 𝑤(0, 𝑡) = 0 , 𝑤(𝐿, 𝑡) = 0 e de (18)₃ temos, 𝑤(𝑥, 0) = 𝑢(𝑥, 0) − 𝑣(𝑥) 𝑤(𝑥, 0) = 𝑢₀(𝑥) − 𝑣(𝑥) assim 𝑤(𝑥, 𝑡) satisfaz | 𝑤𝑡 − 𝛼²𝑤𝑥𝑥 = 0 𝑤(0, 𝑡) = 0 , 𝑤(𝐿, 𝑡) = 0 𝑤(𝑥, 0) = 𝑢₀(𝑥) − 𝑣(𝑥) (24)

Este problema tem a forma do problema (1) com 𝑓(𝑥) = 𝑢0(𝑥) − 𝑣(𝑥), assim por (7) a solução de (23) é dada por

𝑤(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑐_𝑛𝑒 − 𝑛²𝜋²𝛼²𝑡 𝐿² _{𝑠𝑒𝑛 (}𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 onde

- 21 - 𝑐_𝑛 = ∫ (𝑢0(𝑥) − (𝑇2 − 𝑇1) 𝑥 𝐿 − 𝑇1) ⏟ 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥𝐿 ) − 𝑣(𝑥) 𝐿 0 (25) Como 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝑣(𝑥) logo tem-se 𝑢(𝑥, 𝑡) = (𝑇2 − 𝑇1) 𝑥 𝐿+ 𝑇1 ⏟ 𝑣(𝑥) + ∑ 𝑐𝑛𝑒 − 𝑛²𝜋²𝛼²𝑡 𝐿² 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 ⏟ 𝑤(𝑥) (26) Exemplo 2

Considere o problema de condução de calor em uma barra com condição de contorno não homogenea | 𝑢_𝑡 − 𝑢_𝑥𝑥 = 0 0 < 𝑥 < 30 , 𝑡 > 0 𝑢(0, 𝑡) = 20, 𝑢(30, 𝑡) = 50 , 𝑡 > 0 𝑢(𝑥, 0) = 60 − 2𝑥 0 < 𝑥 < 30 logo de (19) tem-se 𝑣(𝑥) = (50 − 20) 𝑥 30+ 20 = 𝑥 + 20 (27) e de (25) 𝑐_𝑛 = ∫ [(60 − 2𝑥) − (𝑥 + 20)]𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥 30) 30 0 𝑐_𝑛 = ∫ (40 − 3𝑥)𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝜋𝑥₃₀) = 1 𝑛𝜋(1200 + 1500(−1) 𝑛₎ 30 0 (28)

assim de (26) , (27) e (28) a solução é dada por

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑥 + 20 + ∑ 𝑐_𝑛𝑒− 𝑛²𝜋²𝑡900 ∞

- 22 -

Equação do calor em uma barra com extremidades isoladas

Um problema um pouco diferente acontece quando as extremidades da barra estão isoladas, de modo que não existe transferência de calor através delas assim não existe fluxo de calor nas extremidades, logo tem-se

𝑢_𝑥(0, 𝑡) = 0 , 𝑢_𝑥(𝐿, 𝑡) = 0 , 𝑡 > 0 Logo a equação tem a forma

|

𝑢_𝑡− 𝛼²𝑢_𝑥𝑥 = 0 𝑢𝑥(0, 𝑡) = 0 , 𝑢𝑥(𝐿, 𝑡) = 0 𝑢(𝑥, 0) = 𝑢₀(𝑥)

(29)

Resolvendo por separação de variáveis, fazendo 𝑢(x, t) = x(x) T(t) tem-se 𝑢𝑡(x, t) = x(x) T′(t) (30) 𝑢_𝑥(x, t) = x′(x) T(t) (31) 𝑢_𝑥𝑥(x, t) = x′′(x)T(t) (32) Logo de (29) , (30) , (32) tem-se 𝑥(x) T′(t) = α²x′′(x) T(t) logo T′(t) α2_T(t)= x′′(x) x(x) = −λ (33) assim de (33) , (29)₂ tem-se as seguintes equações diferenciais ordinarias

𝑇′(𝑡) + 𝜆𝛼2_{𝑇(𝑡) = 0 → 𝑇(𝑡) = 𝑒} − 𝜆𝛼²𝑡 ₍₃₄₎

|x′′(x) + λx(x) = 0

x′(0) = 0, x′(L) = 0 (35) Solução de (35),

tem-se que o polinômio associado é

- 23 - cujas raízes são r = ±√−λ Se λ< 0, a solução é dada por

x(x) = c1e√ − λ x+ c2e− √ − λ x logo x′(x) = c₁√−λ e√ − λ x _{− c} 2√−λ e− √ − λ x Como x′(0) = 0 → c1√−λ − c2√−λ ⇒ c1 = c2 Como x′(L) = 0 → c1(√−λ (e√ − λ L − e− √ − λ L)) = 0 → c1 = 0

assim X(x) = 0 logo esse caso de λ< 0 é descartado

se λ = 0 → 𝑟1 = 𝑟2 = 0. Logo a solução de (35) é dada por 𝑋(𝑥) = c₁+ c₂𝑥 de onde, 𝑋′(𝑥) = c₂ Como 𝑋′(0) = 0 → c2 = 0 assim 𝑋(𝑥) = c1 é solução Se λ> 0 r= ±i√λ Assim a solução de (35) é dada por

x(x) = c₁ cos√λx + c₁sen√λx logo

x′(x) = c₁√λ sen √λx + c₂√λ cos√λx Como

- 24 - x′(0) = 0 → c₂√λ= 0 → c₂ = 0 Como x′(L) = 0 → 0 = −𝑐₁√λ sen√λ L → √λ L = nπ → λ_𝑛 = 𝑛²𝜋² L² assim 𝑋𝑛(x) = 𝑏𝑛 cos ( n π x L ) → 𝑇𝑛(t) = e n² π²α²t L² logo 𝑢𝑛(𝑥, 𝑡) = 𝑥𝑛(𝑥)𝑇𝑛(𝑡)

satisfaz (29)1 e (29)2 mais não necessariamente (29)3, logo procura-se

𝑢(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑏𝑛𝑒 − 𝑛²𝜋²𝛼² 𝐿² 𝑡 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 𝐿 ) ∞ 𝑛=1 (36)

de forma a satisfazer (29)3, assim como

𝑢(𝑥, 0) = 𝑢₀(𝑥) → 𝑢₀(𝑥) = ∑ 𝑏_𝑛𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝜋𝑥 𝐿 )

∞

𝑛

assim considerando 𝑏𝑛 como os coeficientes da série de cossenos da extensão de 𝑢₀(𝑥) 𝑎 ( −𝐿, 𝐿) tem-se bn = 2 L ∫ u0(x) L 0 cos ( n π x L ) dx (37) assim finalmente a solução é dada por (36) onde bn é dado por (37)

Transformada de Fourier e o Espaço S

Definimos 𝑆 = {𝑓: 𝐼𝑅 → ℂ/ 𝑓 é 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑐∞ 𝑒 lim |𝑥|→∞𝑥 𝑚_𝐷𝑛_{𝑓(𝑥) = 0 ∀ 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ} +} Observação 4: |𝑥𝑚𝐷𝑛𝑓(𝑥)| ≤ 𝑀(𝑛, 𝑚) ∀𝑥

S é chamado o espaço de Schuartz de função de decrescimento rápido para 𝑓 ∈ 𝑆 define-se a transformada de Fourier por

𝐹(𝑓)(𝜀) = 1

√2𝜋(∫ 𝑒

− 𝑖𝜀𝑥_{𝑓(𝑥)𝑑𝑥} ∞

- 25 -

Para 1 ≤ 𝑝 < ∞. Define-se o espaço 𝐿𝑝_{(𝐼𝑅) = {𝑓 ∶ 𝐼𝑅 → ℂ / ∫}∞ _|𝑓|𝑝 _{< ∞}

− ∞ }

Observação 5: Se 𝑓 ∈ 𝑆 então 𝑥𝑚𝐷𝑛𝑓(𝑥) ∈ 𝐿¹(𝐼𝑅) ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℤ,isto é,

∫ |𝑥𝑚𝐷𝑛𝑓(𝑥)|𝑎𝑥 ∞ − ∞ < ∞ em particular 𝑓 ∈ 𝐿¹(𝐼𝑅). Assim |𝐹(𝑓)(𝜀)| ≤ ∫ _{− ∞}∞ |𝑒 − 𝑖𝜀𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥| ≤ ∫ |𝑓(𝑥)𝑑𝑥| = |𝑓|𝐿¹(𝐼𝑅) ∞ − ∞

Assim a transformada de Fourier está bem definida para funções 𝑓 ∈ 𝑆 e também para 𝑓 ∈ 𝐿¹(𝐼𝑅) Proposição 1 Se 𝑓, 𝑔 ∈ 𝑆 então 𝐹[𝛼𝑓 + 𝛽𝑔] = 𝛼𝐹[𝑓] + 𝛽𝐹[𝑔] (39) Prova 𝐹[𝛼𝑓 + 𝛽𝑔] = 1 √2𝜋∫ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥_{(𝛼𝑓 + 𝛽𝑔} ∞ − ∞ )(𝑥)𝑑𝑥 = 1 √2𝜋[𝛼 ∫ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥 ∞ − ∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝛽 ∫ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥_𝑔 ∞ − ∞ (𝑥)𝑑𝑥] = 𝛼𝐹[𝑓] + 𝛽𝐹[𝑔]

Proposição 2: Se 𝑓: 𝐼𝑅 → ℂ é uma função de S então 𝐹[ 𝑓 ] será infinitamente derivável e 𝐷_𝜀𝑛_{𝐹[𝑓] = 𝐹[(− 𝑖𝑥)}𝑛_{𝑓(𝑥)] (40)} mais geralmente se 𝑃(𝑥) é um polinômio então

𝑃(𝐷𝜀)𝐹[𝑓] = (𝑖𝜀)𝑛𝐹[𝑓] ∀ 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑛 ≥ 1 (41) Se 𝑃(𝑥) é um polinômio então

𝐹[𝑃(𝐷)𝑓] = 𝑃(𝑖𝜀)𝐹[𝑓] Prova

- 26 -

Basta provar para n=1, o caso geral segue por indução, usando integração por partes tem-se,

∫_{− ∞}∞ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥𝑓(𝑥)]_{− ∞}∞ + 𝑖𝜀 ∫_{− ∞}∞ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 (42)

Como 𝑓 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑐𝑒 𝑎 𝑆 o primeiro termo do lado direito é zero assim 𝐹[ 𝑓 ′] = 𝑖𝜀𝐹[𝑓] Proposição 3

Se 𝑓: 𝐼𝑅 → ℂ é uma função de S então a transformação de Fourier de 𝐹: 𝐼𝑅 → ℂ também será de S Prova ∀ 𝑚, 𝑛 inteiros tem-se 𝜀𝑚_𝐷 𝜀𝑚𝐹[𝑓] = 𝜀𝑚𝐹[(− 𝑖𝑥)𝑛𝑓] = 𝐹[(− 𝑖𝐷𝑥)𝑚{(− 𝑖𝑥)𝑛𝑓}]

Mas pela observação 2, (− 𝑖𝑥)𝑚_{(− 𝑖𝑥)}𝑛_{𝑓 = (− 𝑖)}𝑚+𝑛_𝐷𝑚_{𝑥𝑛_{𝑓} 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑚 𝐿′(𝐼𝑅)} assim,

𝐹[(− 𝑖𝐷_𝑥)𝑚_{((− 𝑖𝑥)}𝑛_𝑓)] é limitada e em consequências

𝐹[𝑓] ∈ 𝑆

Teorema 2: (Fórmula inversa de Fourier). Seja 𝑓: 𝐼𝑅 → ℂ uma função de S e seja 𝐹(𝜀) sua transformada de Fourier, então

𝑓(𝑥) = 1

√2𝜋∫ 𝑒

𝑖𝜀𝑥_{𝐹(𝜀)𝑑𝜀} ∞

− ∞ (43) Observação 6: A expressão (43) nos motiva a definir um operador 𝐹̅ de S em S por

𝐹̅(𝑔)(𝑠) = (2𝜋) − 12∫∞ 𝑒 − 𝑖𝑡𝑥𝑔(𝑡)𝑑𝑡

− ∞ (44) que tem propriedades semelhantes a transformada de Fourier, mostra-se que

𝐹̅(𝐹(𝑓)) = 𝑓 , 𝑓 ∈ 𝑆 (45) e essa relação (45) estabelece injetividade de

- 27 -

𝐹 ∶ _{𝑓 → 𝐹[ 𝑓 ]}𝑆 → 𝑆 (46)

Para provar a sobrejetividade de F para 𝐺(𝜀) ∈ 𝑆 dado definimos 𝑔(𝑥) = 𝐹̅(𝐺(𝜀)), verifica-se que 𝐹(𝑔(𝑥)) = 𝐺(𝜀). Com efeito, 𝐹(𝑔(𝑥)) = (2𝜋)− 12_{∫ 𝑒} − 𝑖𝑥𝜀(2𝜋)− 1 2 ∞ − ∞ ∫ 𝑒 − 𝑖𝑥𝜇𝐺(𝜇)𝑑𝜇 ∞ − ∞ 𝑑𝑥 = (2𝜋)− 12_{∫ 𝑒}𝑖(−𝑥)𝜀_{𝐹[𝐺](−𝑥)𝑑𝑥} ∞ − ∞ = 𝐺(𝜀) (temos usado (43)) O visto a cima pode se juntar no seguinte teorema

Teorema 3: 𝐹 ∶ 𝑆 → 𝑆 é um isomorfismo com 𝐹 − 1 = 𝐹̅.

Produto de Convolução

Dadas duas funções 𝑓 𝑒 𝑔 𝑒𝑚 𝑆 definimos seu produto de convolução pela expressão

(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥 − 𝑦) 𝑔(𝑦) 𝑑𝑦 ∞

− ∞

verifica-se que a integral impropria converge uniformemente pois

|(𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥)| ≤ 𝑀 ∫ |𝑔(𝑦)|𝑑𝑦 < ∞ ∞ − ∞ onde 𝑀 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓(𝑥)| Proposição 5: Se 𝑓 , 𝑔 𝜀 𝑆 então (i) (𝑓 ∗ 𝑔) = 𝑔 ∗ 𝑓 (ii) (𝑓 ∗ 𝑔) é 𝑐∞ tem-se 𝐷𝑛(𝑓 ∗ 𝑔) = (𝐷𝑛𝑓) ∗ 𝑔 = 𝑓 ∗ 𝐷𝑛_{𝑔 ∀ 𝑛 ∈ ℤ} + (iii) 𝑓 ∗ 𝑔 ∈ 𝑆

- 28 - Teorema 4: Se 𝑓 , 𝑔 𝜀 𝑆 então (i) 𝐹[𝑓 ∗ 𝑔] = (2𝜋)12 𝐹[𝑓] 𝐹[𝑔] (ii) 𝐹̅[𝑓 ∗ 𝑔] = (2𝜋) 1 2 𝐹̅[𝑓 ] 𝐹̅[ 𝑔] (iii) 𝑓 𝑔 ∈ 𝑆 e 𝐹̅[𝑓 𝑔] = (2𝜋)− 12 𝐹̅[𝑓] ∗ 𝐹̅[𝑔] Teorema 5: (Plancherel). Dadas 𝑓 , 𝑔 𝜀 𝑆 tem-se (i) ∫_−∞∞ 𝑓(𝑥)𝑔̅(𝑥)𝑑𝑥 = ∫_{− ∞}∞ 𝐹[𝑓] 𝐹[𝑔]̅̅̅̅̅̅ 𝑑𝜀 (ii) ∫ |𝑓(𝑥)|2 _{= ∫}∞ _|𝐹(𝑓)|2_𝑑𝜀 − ∞ ∞ − ∞ Transformada de Fourier em 𝐿²(𝐼𝑅) Em geral se 𝑓 ∈ 𝐿¹(𝐼𝑅) esta bem definido

𝐹[ 𝑓 ](𝑠) = 1

√2𝜋∫ 𝑒

− 𝑖𝜀𝑥_{𝑓(𝑥) 𝑑𝑥} ∞

− ∞ pois, como visto anteriormente

|𝐹( 𝑓 )(𝑠)| = | 1 √2𝜋∫ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥_{𝑓(𝑥) 𝑑𝑥} ∞ − ∞ | ≤ 1 √2𝜋∫ |𝑒 − 𝑖𝜀𝑥_{𝑓(𝑥)|𝑑𝑥} ∞ − ∞ = 1 √2𝜋∫ |𝑓(𝑥)|𝑑𝑥 ∞ − ∞

Mas se 𝑓 ∈ 𝐿²(𝐼𝑅) não necessariamente está definida 𝐹[ 𝑓 ], entretanto sabemos que S é denso em 𝐿²(𝐼𝑅), assim podemos extender por continuidade a transformada de Fourier para 𝑓 ∈ 𝐿²(𝐼𝑅) i.e. se 𝑓 ∈ 𝐿²(𝐼𝑅) existe 𝑓𝑛 ⊂ 𝑆 tal que 𝑓𝑛 → 𝑓 em 𝐿²(𝐼𝑅) logo 𝑓𝑛 é de Cauchy em 𝐿²(𝐼𝑅) e pelo teorema 5 de Plancherel, 𝐹[𝑓𝑛] é de Cauchy e como 𝐿²(𝐼𝑅) é completo 𝐹[𝑓𝑛] → 𝐻 define-se 𝐹[𝑓] = lim

𝑛→∞𝐹[𝑓𝑛] = 𝐻 e tem-se que 𝐹 é isomorfismo de 𝐿2 _{𝑒𝑚 𝐿}2

- 29 - ( i ) ∫ 𝑒− 𝑎𝑥²_{𝑑𝑥 = √}𝜋 𝑎 ∞ − ∞ ( ii ) 𝐹[𝑒− 𝑎𝑥²_{](𝜀) =} 1 √2𝑎𝑒 − _4𝑎𝜀² (iii) 𝐹−1[𝑒 − 𝑏𝜀²](𝑥) = 1 √2𝑏𝑒 − 𝑥² 4𝑏 Prova ( i ) Seja 𝐼 = ∫∞ 𝑒− 𝑎𝑥²_𝑑𝑥 − ∞ logo, 𝐼² = (∫ 𝑒− 𝑎𝑥²𝑑𝑥 ∞ − ∞ ) (∫ 𝑒− 𝑎𝑦²𝑑𝑦 ∞ − ∞ )

usando o Teorema de Fubini tem-se

𝐼² = ∫ ∫ 𝑒 − 𝑎(𝑥²+𝑦²)𝑑𝑥 𝑑𝑦 ∞

− ∞ ∞ − ∞

usando transformação a coordenada polares temos

𝐼² = ∫ ∫∞ 𝑒 − 𝑎(𝑥²+𝑦²)_{𝑑𝑥 𝑑𝑦} − ∞ ∞ − ∞ = 2𝜋𝑒− 𝑎𝑟² − 2𝑎]₀ ∞ =𝜋 𝑎 assim 𝐼 = √𝜋 𝑎 (ii) 𝐹[𝑒− 𝑎𝑥²](𝜀) = 1 √2𝜋∫ 𝑒 − 𝑖𝜀𝑥_𝑒− 𝑎𝑥²_𝑑𝑥 ∞ − ∞ = 1 √2𝜋(∫ (𝑐𝑜𝑠 𝜀𝑥 − 𝑖𝑠𝑒𝑛𝜀𝑥)𝑒 − 𝑎𝑥²_𝑑𝑥 ∞ − ∞ )

como 𝑠𝑒𝑛(𝜀𝑥) é ímpar e 𝑐𝑜𝑠(𝜀𝑥) é par pela observação 2 itens d e e tem-se

𝐹[𝑒− 𝑎𝑥²_{](𝜀) =} 2 √2𝜋∫ 𝑐𝑜𝑠(𝜀𝑥)𝑒 − 𝑎𝑥²_𝑑𝑥 ∞ 0 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋 0 ≤ 𝑟 ≤ ∞ 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 y = r senθ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

- 30 - Seja 𝛹(𝜀) = ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝜀𝑥)𝑒− 𝑎𝑥²_𝑑𝑥 ∞ 0 𝛹(𝜀) satisfaz 𝛹′(𝜀) + 𝜀 2𝑎𝛹(𝜀) = 0

logo resolvendo essa equação diferencial ordinária, tem-se

𝛹(𝜀) = 𝑐𝑒− ∫2𝑎𝜀𝑑𝜀 _{= 𝑐𝑒}− 𝜀² 4𝑎

também do item (i)

𝑐 = 𝛹(0) = ∫ 𝑒− 𝑎𝑥²𝑑𝑥 ∞ 0 = √𝜋 𝑎 assim 𝛹(𝜀) = √𝜋 𝑎𝑒 − _4𝑎𝜀² de onde 𝐹[𝑒− 𝑎𝑥²_{](𝜀) =} 1 √2𝜋√ 𝜋 𝑎𝑒 − _4𝑎𝜀² ₌ 1 √2𝑎𝑒 − _4𝑎𝜀²

(iii) Pelo item (ii)

𝐹−1₍ 1 √2𝑎𝑒 − _4𝑎𝜀²_{) = 𝑒}− 𝑎𝑥² assim considerando 𝑎 = 1 4𝑏 tem-se, 𝐹−1[𝑒 − 𝑏𝜀²](𝑥) = 1 √2𝑏𝑒 − _4𝑏𝑥²

- 31 -

Problema de Cauchy para a equação do calor

O problema de condução do calor em uma barra infinita consiste em determinar uma função

𝑢: 𝐼𝑅 𝑥 [0, +∞) → 𝐼𝑅 que satisfaça a equação do calor

|𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥 = 0 𝑥 ∈ 𝐼𝑅, 𝑡 > 0

𝑢(𝑥, 0) = 𝑢0(𝑥) (47) Tomando transformada de Fourier na variável x (𝐹𝑥) tem-se

𝐹_𝑥[𝑢𝑡 − 𝑘𝑢𝑥𝑥] = 𝐹𝑥(0) de onde

𝐹_𝑥[𝑢_𝑡] − 𝑘𝐹[𝑢_𝑥𝑥] = 0 assim tem-se

(𝐹_𝑥(𝑢))_𝑡 − 𝑘(𝑖𝜀)²𝐹(𝑢) = 0 de onde tem-se a equação ordinária na variável t

[𝐹(𝑢)]_𝑡+ 𝑘𝜀²𝐹[𝑢] = 0 onde estamos denotando

𝐹𝑥= 𝐹 a solução desta equação ordinária é

𝐹(𝑢)(𝜀, 𝑡) = 𝑐𝑒− ∫ 𝑘𝜀²0𝑡 = 𝑐𝑒− 𝑘𝜀²𝑡 ₍₄₈₎

também de (47)2 tem-se,

𝐹[𝑢(𝑥, 0)](𝜀) = 𝐹[𝑢₀(𝑥)](𝜀) (49) assim de (48) e (49) tem-se que

𝑐 = 𝐹[𝑢₀(𝑥)](𝜀) logo

- 32 -

assim, tomando transformada inversa e usando o teorema 3(iii) e a proposição 6 (iii) com 𝑏 = 𝑘𝑡 tem-se 𝑢(𝑥, 𝑡) = 1 √2𝜋𝑢0(𝑥) ∗ 𝐹 −1_(𝑒 − 𝑘𝜀²𝑡₎ = 1 √2𝜋𝑢0(𝑥) ∗ 1 √2𝑘𝑡𝑒 − 𝑥² 4𝑘𝑡 = 1 √4𝜋𝑘𝑡∫ 𝑒 − (𝑥−𝑦)²_4𝑘𝑡 ∞ −∞ 𝑢0(𝑦)𝑑𝑦

- 33 -

Proposta Didática

Será apresentada uma proposta didática para os professores de matemática do ensino médio, para que estes possam trabalhar com modelagem matemática nas suas salas de aulas. Como já mencionamos a Equações Diferenciais Parciais surgiram com a necessidade de modelar fenômenos em diversas áreas. Com essa proposta desejamos despertar no professor de matemática a vontade de continuar estudando modelos matemáticos e motivar o aluno a estudar matemática, invertendo a ordem tradicional da aula de modo que possa ter significado na construção da aprendizagem. O objetivo da proposta é analisar duas estruturas feita de alumínio com diferentes espessuras, onde na parte superior, de cada uma, estará pequenos pedaços de velas apagados distribuídos uniformemente. Na parte de baixo da estrutura estará uma vela acessa.

Analisaremos um modelo matemático para a propagação do calor através de dois exemplos do fenômeno físico, seria interessante inclusive que esta aula fosse ministrada juntamente com o professor de física, assim o aluno teria um aprendizado sobre o fenômeno de uma forma mais completa.

Como a proposta apresentada é o Ensino Básico a abordagem e discussão do tema se dará informal de forma que a compreensão do aluno seja favorecida. Assim apresentamos o seguinte plano de aula:

Público: 3º ano do Ensino Médio

Duração: Duas aulas de 50 minutos cada Conteúdo: Modelagem matemática Recursos Didáticos:

• Uma barra metálica fina cerca de 30 cm de comprimento e 5 cm de largura; • Um suporte para fixar a barra;

• Uma vela de parafina;

- 34 - Procedimentos:

O professor deverá dividir a turma em grupos de 3 alunos para que montem e observem o experimento na sala de aulas ou no laboratório.

Com a vela acesa, deixe pingar algumas gotas parafina na barra metálica. Coloque um dos pedaços pequenos de vela em cima dessas gotas.

“Cole” os cinco pedaços pequenos de vela igualmente separados em cada barra, mas deixe as extremidades livres.

Prenda uma das extremidades livre da barra horizontalmente no suporte. Coloque uma das velas acesa sob a extremidade livre da barra metálica.

Fonte:https://es.slideshare.net/kurtmilach/transferencia-de-calor-2537502

Observação: Se o professor achar melhor, ele poderá fazer uma aula demonstrativa para toda a turma.

Com a estrutura pronta, a vela que se encontra a baixo da barra deve ser acessa. Nessa hora o professor deve questionar os alunos, pode-se fazer as seguintes perguntas a fim de instigar a curiosidade dos alunos

1) O que aconteceu depois que a vela foi acessa? 2) Em qual sentido o calor flui?

3) Em qual ordem as velinhas caíram?

- 35 -

Após a discussão das questões o professor, o professor deve perguntar para os alunos o que eles entendem por modelo matemático. E em seguida explicar que esse fenômeno se relaciona com a estabilidade do sistema.

Durante toda a aula é extremamente importante que o aluno seja motivado a expor suas hipóteses e conclusões.

Segunda Proposta didática

Para a segunda atividade a construção e o material utilizado será o mesmo, a única diferença estão nas barras metálicas que deverão ser de materiais diferentes e com as mesmas medidas de largura e comprimento, por exemplo pode ser usada uma de cobre e uma de alumínio. Os alunos devem responder ao mesmo questionário acima e acrescentar a quinta pergunta:

5) O que as duas barras apresentaram em comum?

Avalição: A avaliação deverá ocorrer durante toda aula, através de observação do

professor, em relação a participação do aluno. E no final com as respostas do questionário.

- 36 - Referências

Boyce, W.R; DiPrima, R.C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de

Contorno. 9ªEdição. Editora:LTC

Figueiredo, D.G..Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais.Editora:Projeto Euclides-Impa Medeiros/Andrade..Iniciação às Equações Diferenciais Parciais..Editora:S.A.

Medeiros,L.A.;Límaco,J.F;Biazutti..Métodos Classicos em Equações Diferenciais

Parciais.Universidade Federal do Rio de Janeiro.

Faria, José Angelo-Transferencia de Calor e equilíbrio térmico-disponivel em<http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?aula=34508>

Medeiros, Elisa Ferreira, Uma introdução ao estudo das Equações Diferenciais Parciais usando o

modelo de Euler-Bernoulli para a vibração transversal de uma barra flexível-2016- Universidade

Federal do Rio Grande

AUSUBEL, D.P. (1968). Educational psychology: a cognitive view. New York, Holt, Rinehart and Winston.

BASSANEZZI, R. C. Ensino – aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia.

São Paulo: Editora Contexto, 2002.

ROSA,C.C; KATO, L.A. A Modelagem Matemática e o Exercício do Professor Reflexivo: a

experiência de Elias. REVISTA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL (UFMS). Volume 7, Número 14 – 2014 – ISSN 2359 – 2842

VIANA, MARCOS JOSÉ. Modelagem Matemática Aplicada na Fabricação de Uma Camiseta- 2015- Universidade Estadual de Goiás

Milachay, Yuri. Transferência de calor – disponível em

<https://es.slideshare.net/kurtmilach/transferencia-de-calor-2537502>