Matemática Caderno 5

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 1

2

FUNÇÃO LOGARÍTMICA:

Dado um número real a positivo e diferente de um (a > 0 e a ≠ 1), denominados função logarítmica de base a à função f(x) = loga x definida para todo x real positivo.

Domínio e Imagem: D (f) = IR*+

Im (f) = IR

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 2 PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

log

a

b = x ↔ b = a

x

NOMENCLATURA

Elementos/ Operação Potenciação Logaritmação

a base base do logaritmo

b potência logaritmando

x expoente Logaritmo

P1.

log

b

(a.c) = log

b

a + log

b

c

P2.

log

b =

log

b

a - log

b

c

P3.

log

b

√

= log

b

=

. log

b

a

P4.

log

b

a

n

= n. log

b

a

P5.

= b P6. log

a

1 = 0 P7. log

a

a = 1

P8.

log

a

a

m

= m

P9.

log

b

x = log

b

y ↔ x = y , ∀ (x,y,b)



IR

* +

, e b≠ 1

Cologaritmo de um número

colog a b = - log a b = log a

b

1

Mudança de base

log a b =

consequências → log ab . logb a = 1 e loga b. log ca = logc b Equações logarítmicas

Equações com logaritmos, em que as variáveis podem aparecer no logaritmando ou na base, são chamadas equações logarítmicas.

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 3

Para resolvê-las, aplicamos a definição, as condições de existência e as propriedades dos logaritmos. Exemplos: Resolva em IR as equações: a) log x (2x + 15) = 2 b) log 2 (2x +3) = log 2 x2 Exercícios 1

01. O logaritmo de um certo número numa certa base é 3. O logaritmo desse mesmo número numa base igual a metade da anterior é 6. Determinar o número procurado.

02. A solução da equação

√

=

é um número k. Determine o logaritmo de k na

base √ .

03. Calcule o valor da expressão log 1/2 32 + log10 0,001 – log 0,1 √ .

04.(Mús/Saúde) Sabendo que log P = 3Log a – 4Log b + log c, assinale a alternativa que representa

o valor de P. (dados: a = 4, b = 2 e c = 16)

a) 1 2 b) 5 2 c) 1 6 d) 2 4 e) 73 05. Resolva a equação log2 (x + 2) + log2 (x - 2) = 5

06. Resolva a equação log2 (x – 1) + 1 = log2 (x + 2) + log2 (7 - x) - log2 3

07. (URI) Considere a expressão A = - log 0,1√ - (- log

+ log 6 36). O valor de A é:

08. Sabendo que log b a = 4 , calcular b6 .

09. Resolva a equação: log 5 x + log 25 x = 3

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 4

11. Calcule o valor de x em cada uma das equações: a) log ₂ (3x – 1) + log ₂x = 2

b) log 3 (x2 – x – 6) = log 3 4 + log 3 ( x – 3)

c) log 16 x + log 4 x + log 2 x = 7

d) log 1/3 (x + 2) + log 3 (2x – 1) = 0

Gab: 1)64 2)8 3)-13/2 4) 5)6 6)4 7) -7/6 8)3/4 9) 25 10) 3 11)a.1 b.{} c.16 d.3

Exercícios 2 01. (PUC) Se log _{2 2}512 = x, então x vale:

a) 6 b) 3/2 c)9 d)3 e)2/3

02. (UFRGS) O valor de log 3 18 + log 3 6 - log 3 12 é:

a) 1 b)2 c)12 d)

12

log

24

log

3 3 e) log 312

03. (UFRGS) Se log a = 4, então log

1000

a

é: a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2

04. (UFSM) Se log 5 = a e log 7 = b, então log 122,5 é: a) a + b

b) a + b + 1 c) a + b – 1 d) 2a + 2b -1 e) 2a + 2b

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 5

05. (PEIES) Supondo satisfeitas as condições de existência dos logaritmos e sendo log c a = b e log c d =

2, a expressão log d

dc

a

é equivalente a: a)

2

b

_-

2

1

b)

4

b

-

2

1

c)

4

b

-

2

3

d)

4

b

+ 1 e)

2

b

_-

2

3

06. (UFSM) Se x



IR e x > 1 , então a expressão y = _{5 4 2}

2 3

log

2

log

4

log

4

log

2

log

3

log

4

x

x

x

x

x

x









é equivalente a) 9/10 b)15/21 c) 1/2 d) -20 log x e) 1

07. (PUC) A potência 9log32 é igual a: a) 2

b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

08. (PUC) Se log 2 m = k, então log 8 m será:

a) 2k b) k/3 c) 3k d) k/2 e) k + 6

09. (PEIES) Sabendo que log 10 3 = 0,4771 e log 10 6 = 0,7781, a solução da equação 10x = 9.16 é:

a) 1,5128 b) 2,5128 c) 2,8215 d) 2,1582 e) 1,1582

10. (PUC-RS) Na igualdade x = 7log75log72 , o valor de x é: a) 7

b) 10 c) 14 d) 35 e) 49

11. (UFSM) Se log m = 2 – log 4, então m é: a) 0,04

b) 1,5 c) 20 d) 25 e) 96

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 6

12. (UFSM) O valor de log 3 4 x log 4 5 x log 5 27 é:

a) 1/5 b) 1/4 c) 1/3 d) 2 e) 3

13. (UFRGS) O valor de log (217,2) – log (21,72) é: a) -1 b) 0 c) 1 d) log (217,2 – 21,72) e)

)

72

,

21

log(

)

2

,

217

(

log

14. (UFRGS) O logaritmo de um número na base 16 é 3/2. Então, o logaritmo deste número na base 1/4 é: a) -4/3 b) -3/4 c) 3/8 d) -3 e) 6

15. (EsPCEx). Na figura abaixo, está representado o gráfico da função y=log x. Nesta representação estão destacados três retângulos cuja soma das áreas é Igual a:

a) log2 + log3 + log5 b)log30 c) 1+log30 d) 1 + 2log 30 e) 1 + 2log15

16. (UFSM) Seja k a solução da equação log 4 (log 2 x) = -1. O valor de k4 é :

a) 1/8 b) 1/2 c) 1 d) 4 e) 2 17. (UPF) A expressão

x

log

1

+ log













x

1

é igual a: a)

x

2

log

1

1



b)

x

x

log

log

1

_

2 c)

x

x

log

log

1



₂

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 7 d) ₂

log

2

1

x

e) – log x2

18. (EsPCEx) A figura abaixo fornece a representação gráfica da função y = log b x

y

0.25 1 x

-1



Nestas condições, o valor de b é:

a) 1/4 b) 2 c) 3 d) 4 e) 10

19. (UNICRUZ) Dados log 2 = a e log 3 = b , encontrar o valor de log 15 = ?.

a) a + b b) a + b + 1 c) a – b + 1 d) a – b – 1 e) 1 – a + b

20. (EsPCEX) Seja

O conjunto solução da desigualdade ₍ ) no intervalo [ , é igual a: a) [0, ). b) * + c) [ . d) [ ). e) [ ) 22. (EsPCEx) A função

 

_         2 1 log x x x

f tem por domínio:

a)



2,1



b)

 

2 c)



2,1



d)



,2

 

1,



e)

23. (EsPCEx) Considere a soma S = log



























































1

log

..

.

4

5

log

3

4

log

2

3

n

n

, em que n é um numero natural. O menor valor de n para o qual S > 1 é:

a) 20 b) 21 c) 22 d) 25 e) 29

24. (EsPCEx) Há números reais para os quais o quadrado de seu logaritmo decimal é igual ao logaritmo decimal de seu quadrado. A soma dos números que satisfazem essa igualdade é:

a) 90 b) 99 c) 100 d) 101 e) 201

25. (ESPCEx) Acrescentando 48 unidades a um numero, seu logaritmo na base 5 aumenta de 2 unidades. Esse número é:

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 8

26. (EsPCEx) Um satélite será levado ao espaço por um foguete que tem seu consumo de combustível calculado pela função C(t) = log2(t2 + 7)2 + 2 log2

7

1

, em que C é o consumo em toneladas e t é o tempo

em horas. Para colocar o satélite em órbita, o foguete deverá percorrer uma distância de 56.000Km a uma velocidade média de 8.000Km/h.

Com base nessas informações, o físico responsável pelo cálculo chegou a conclusão de que o foguete, para cumprir a missão, terá um consumo de combustível igual a:

a) 1 tonelada d) 7 toneladas b) 2 toneladas e) 8 toneladas c) 6 toneladas

27. (EsPCEx) A curva da figura representa o gráfico da função f(x) = log2x.

Dados log102 = 0,30 e log1012 = 1,08.

Com base nesses dados, as somas das áreas dos dois retângulos hachurados é, aproximadamente,

a) 1,60 b) 2,10 c) 2,08 d) 2,60 e) 3,60 28 – (EsPCEx) A figura abaixo representa o gráfico

f

:











tal que f(x) = log a x,

onde a > 1.

Estão locados no gráfico os logaritmos de três abscissas: “a” (que é a própria base), “b” e “c”. Sabendo que OA = BC, podemos afirmar que

a) log a b = c

b) a c _{= b}

c) a.b = c d) a + b = c

e) 10 a _{+ 10}b _{= 10}c

29. (EEAR) Se x e y são números reais positivos, co

= x, e

256 = 4, então x + y é igual a a) 2 b) 4 c) 7 d) 9 e)12

30. (EEAR) Sejam x, y e b números reais maiores que 1. Se

x = 2 e

y = 3, então o valor de

(x² y³) é

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 9

31. Os pontos

 

0,3 e

 

1,5 pertencem ao gráfico da função

f

 

x

_

2

xb

_

c

,

_{onde b e c são naturais.}

Então o valor de

b 2

c

2

1 

é: a)

2

3

b)

2

3



c)

2

d)

2

5

e) 0 32. Se loga 2 = M e loga 3 = N, então loga 12 é:

a) 2M + N b) M² + N c) M²N d) 2MN e) Nda

33. Se log3 4 = a e log4 5 = b, então o valor de log3 5 em função de a e b é:

a) b a  1 _b) a b _c) ab 1 _{d) a.b e)} b a

34. Sejam x, y e b números reais maiores que 1. Se

x = 2 e

y = 3, então o valor de

(x² y³) é

a) 13 b) 11 c) 10 d) 8

35. A razão entre o logaritmo de 16 e o de 4, numa mesma base b, sendo 0 < b ≠ 1, é a) 1/4. b) 1/2. c) 4. d) 2 36. Considerando n > 1, se log a n = n, então o valor de a é

a) n b) nn _{c) d)}

37. (EsSA) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de cada fator, mantendo-se a mesma base. Identifique a alternativa que representa a propriedade do logaritmo anunciada.

a) logb (a.c) = log b a + log b c b) logb (a.c) = log b (a +c)

c) logb (a+ c) = (log b a) . (log b c) d) logb (a+ c) = log b (a.c)

e) loge (a.c) = log b a + log f c

38. (EsSA) Sabe-se que 1, a e b são raízes do polinômio p(x) = x³ - 11x² + 26x – 16, e que a > b. Nessas condições, o valor de ab _{+ log b a é}

a) 49/3 b) 67 c) 193/3 d) 19 e) 64

39. (EsSA) Aumentando-se um número x em 75 unidades, seu logaritmo na base 4 aumenta em 2 unidades. Pode-se afirmar que x é um número

a) irracional b) maior que 4 c) divisor de 8 d) menor que 1 e) múltiplo de 3 40. (EsSA) Se f(x) = _√ , com x real e maior que zero, qual o valor de f(f(5))?

a)

b)

c)

d)

e)

41. (EsSA) Se 5 x +2 _{= 100 então 5}2x _{é igual a:}

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 10

42. (EsSA) Se log 2 3 = a e log 2 5 =b Então o valor de log 0,5 75 é: a) a – 2b b) –a – 2b c) -a +2 b d) a - b e) a + b

43.( Mús/Saúde) O conjunto solução da equação exponencial 4x_-2x _{= 56 é} a) { - 7 , 8 } b) { 3 , 8 } c) { 3 } d) { 2 , 3 } e) {8}

44. (UFRGS) Aproximadamente por 0,301, verificamos que o número 1610 _{está entre:}

a) 109 _{e 10}10_.

b) 1010 e 1011.

c) 1011 _{e 10}12_.

d) 1012 _{e 10}13_.

e) 1013 _{e 10}14_.

45. (UFRGS) O número está entre: a) 0 e 1

b) 1 e 2 c) 2 e 3 d) 3 e 4 e) 4 e 5

46. (UFSM) Suponha que um campo de futebol seja colocado em um sistema cartesiano ortogonal, conforme mostra a figura.

Para que o ponto A (log10 (x + 1) + 1, log10 (x2 + 35)) tenha abscissa e ordenada iguais, é necessário e

suficiente que

a) x > -1. b) x = 5. c) x < -1. d) x = -5. e) x > 5. 47. (EsSA) Dados log 3 = a e log 2 = b , a solução de 4x_{=30 é}

a) (2a+1)/b b) (a+2)/b c) (2b+1)/a d) (a+1)/2b e) (b+2)/a 48. Se o gráfico da função f(x) = log b x passa pelo ponto ( ), então o valor da expressão

é igual

a:

a) 3 b) 2 c) d) - e) -4 49. (UPF) Dado

log

ax

= 2

,

log

bx

= 3

e

log

cx

= 5

, então podemos dizer que

log

abcx vale:

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 11

50. (EsPCEx) Um dos modelos matemáticos de crescimento populacional é conhecido como “Modelo Malthusiano” (Thomas Malthus, 1766-1834). Neste modelo, a evolução de uma população é dada pela função P(t) = Po. Kt em que Po é a população inicial, k indica a taxa de crescimento (considerada constante e não negativa neste modelo) e t é o tempo decorrido.

Um biólogo que estudava uma cultura de bactérias observou que, oito horas após o início do experimento, a população era de 8000 indivíduos e que, duas horas depois dessa observação, a população era de 16000 indivíduos. Podemos afirmar que a população inicial era de:

a) 250. b) 500. c) 512. d) 1000. e)1024.

51. (EsPCEx) O número N de bactérias de uma cultura é dado em função do tempo t (em minutos), pela fórmula

N(t)=(2,5)

1,2t. Considere log10 2=0,3, o tempo (em minutos) necessário para que a cultura tenha

1084 bactérias é:

a) 120 b) 150 c) 175 d)185 e)205

52. Daqui a y anos o valor de uma motocicleta será de

V = 2000.(0,75)

Ydólares. A partir de hoje, daqui a quantos anos ela valerá a metade do que vale hoje? (Adote log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48)

a) 3 anos b) 2,5 anos c) 2 anos d) 4,5 anos e) 6 anos

53. (EsSA). Utilizando os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, encontramos para log √ o valor de:

a) 0,32 b) 0,35 c) 0,31 d) 0,33 e) 0,36

Gabarito: 1)a 2)b 3)d 4)d 5)c 6)c 7)c 8)b 9)d 10)b 11)d 12)e 13)c 14)d 15)e 16)e 17)b 18)d 19)e 20)b 21)b 22)a 23)b 24)d 25)b 26)c 27)d 28)c 29)d 30)a 31)d 32)a 33)d 34)a 35)d 36)d 37)a 38)b 39)b 40)a 41)a 42)b 43)c 44)d 45)c 46)b 47)d 48)e 49)b 50)b 51)c 52)b 53)b

Exercícios de Log Enem

01. (Enem 11) A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. e se relacionam pela fórmula:

= -10,7 + ( )

Onde é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina·cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica

internacional. Teve magnitude = 7,3.

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico do terremoto de Kobe (em dina.cm)? (e)

a) b) c) d) e)

02. (Enem 13) Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza a metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A . (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k uma constante negativa.

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 12

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? (e)

a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 /2013

03. (Enem 15) Um engenheiro projetou um automóvel cujos vidros das portas dianteiras foram desenhados de forma que suas bordas superiores fossem representadas pela curva de equação y = log (x), conforme a figura. (e)

A forma do vidro foi concebida de modo que o eixo x sempre divida ao meio a altura h do vidro e a base do vidro seja paralela ao eixo x. obedecendo a essas condições, o engenheiro determinou uma expressão que fornece a altura h do vidro em função da medida n de sua base, em metros.

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 14 Inequação Logarítmica:

Chama-se inequação logarítmica aquela que apresenta a incógnita no logaritmando ou na base de um logaritmo.

Exemplos

a) log 2 (3x – 1) > 3 b) log 1/2 (x – 1) + log 1/2 (x +5)



-4 c) log x 9 > 1

As inequações logarítmicas são resolvidas por meio das seguintes propriedades: P1. Sendo (x1, x2, b)



IR*+ , log b x2 > log b x2 ↔ x2 > x1, com b > 1.

P2. Sendo (x1, x2, a)



IR*+ , log b x2 > log b x2 ↔ x2 < x1, com 0< b < 1. Determinação do Domínio de Funções Inequações

Inequações são sentenças matemáticas do tipo:

);

(

)

(

);

(

)

(

);

(

)

(

);

(

)

(

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f

x

g

x

f









Resolver uma inequacão significa determinar os valores de x que satisfazem tal desigualdade. Para facilitar sua aprendizagem, vamos separar as inequações em dois tipos diferentes.

1º Tipo:

Inequações do 1º Grau e do 2º Grau

1) Resolva a seguinte inequacão: - 2x < x – 90 2) Resolva a seguinte inequacão: x2 _{- 5x + 6}



₀

3) Resolva a seguinte inequacão: - 2x2 _{+ 3x + 2 < 0} 2º Tipo:

Inequações Produto ou Quociente

4) Resolva a seguinte inequacão: (x – 2) . (x2 _{– 4x + 3)}



₀

5) Resolva a seguinte inequacão:

2

3

²

²







x

x

x

x



0

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 15 Domínio

Determinar o domínio de uma função f(x) significa achar os valores de x para os quais a função existe.

É importante lembrar da aritmética dos números reais que um denominador nunca poderá se anular e que não existe raiz com índice par de um número negativo.

Em resumo

b

a 

b0

par_{coisa  coisa0}

log b a



a



0

,

b



0

e

b



1

par fração fração



0

1) Determine o domínio da seguinte Função: f(x) =

x

x

x







10

6

5

²

2) Determine o domínio da seguinte Função: f(x) =

x x x 2 ² 1   3) Determine o domínio da seguinte Função: f(x) =

28

11

²

100







x

x

x

Testes

1 – o intervalo que corresponde à solução da inequação x² - x -2 >0 é:

a) (-1; 2) b) (-2; 1) c) (-



; -1)



( 

2

;

)

d)



;2

  

 1; e) (-2; 2) 2 – As soluções de x2 _{– 2x < 0 são valores de x pertencentes ao conjunto:}

a) (0,2) b) (-



, 0) c) (2,



) d) (-



,0)



( 

2

,

)

_{e) (0,}



)

3 – (UFRGS) As soluções reais da desigualdade x2 _{+1 > 2x são os números x, tais que.}

a) x  0 b) x



1 c) x > 1 d) x  1 e) x < 1 4 - A menor solução inteira de x2 _{– 2x – 35 < 0}

a) -5 b) -4 c) -3 d) -2 e) -1 5 – O Conjunto solução de x2 _{– 4x + 4}



_{0 é :} a)



_x

_

_

/

_x

2

_

0



b)



x/2 x2



c) { 2 } d) { 4 } e) {x/ x 2



CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 16

6 – O conjunto solução da inequacão

(x2 _{– 7x + 12 ) . (x}2 _{– 16) < 0 é:} a) (-4,3) b) (-



,

3

)



( 

4

,

)

c)

 

3, d)

 

3,4 e)

 

4, 7. Os valores de x que satisfazem a inequação

0

:

12

7

4

4

2 2

são

x

x

x

x

_









a)2 x3 b)2 x4 c)3 x4 d)x3 e) x < 3 OU x > 4

8 – (PEIES) A solução da inequação

( 3 – x ) ( x -₂3 _{) < 0 é o conjunto} a)

 

₂3,3 b)

 

₂3,3 c)(_,₂3

 

_ 3,_) d) ( -_,₂3

 

_ 3,_) e) (₂3

,

3

]

9 – O conjunto solução da inequacão (x + 3 ) ( x – 2 )



0

a) {x/ x3



b) {x/ 2 x3



c) {x/ x2oux3



d) {x/ 3x2



e) {x/ 2 x3



10 – O número de soluções inteiras da inequação (_x2_2_x7)(_x2_7_x6)_0_é:

a)6 b)5 c)4 d)7 e)3 11(PUC) Os valores de x que verificam

0

2

6

5

2









x

x

x

são: a) x < 3 b) 2 < x < 3 c) x < 2 ou x > 3 d) x  2 e) x < 3 e x  2

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 17

12 – (UFSM) Seja a inequação

0

2

5

2







x

x

_{, com x}

_

₂

_{. Sua solução é :}

a) ] -, 5 ]



]

2

,

5

]

b) ] -2,-5]



]2,5 ] c) ] 2,+



[

d) [ -5,5 ] e) 

13 – O conjunto solução da inequação

9

0

:

2

é

x

x 



a)x3 b)



3



x



3

e

x



0

c) d) os reais negativos e)

x





3

ou

0



x



3

14 - O conjunto de todos os números reais que satisfazem a inequação

1

:

1

2

é

x





a) { 0 } b) {0,₂1 _} c)



x,1x1



d) {x





, 

x

0

}

e) {x





,

x



1

ou

x



3

}

15 – (PEIES) – Dadas as funções reais expressas por: f(x) = 2x -4 e g(x) = -x + 4, a intersecção dos intervalos tais que f(x) > 0 e g(x)



0

é:

a) *   ={x/ x 0 b) ]2,4] c) *   ={x/ x 0 d) [2,4[ e) ]2,4[ 16 – O domínio da função f(x)= 2 9 : por dado é x  a)



x/x3ou x3



b)



x/3x3



c)



x/ x 3



d)



x/x3



e)  17 – (FURG) O domínio da função f(x)=

x

x

x







1

10

3

2 é: a) (1,2] b) (-



, 5] c) (-



, -5)



(1,2) d) (-



, -5) e) (-



, -5]



(1,2]

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 18 18 - Dada a função f(x)= 1  x x _{o seu domínio é:} a)



x/x0oux1



b)



x/x0oux1



c)



x/x0ou x1



d) { x € IR/ 0≤ x ≤ 1 e)



x/0 x1



19 – (URI) Se f(x)=



x1



.x3



,o domínio de f(x) será: a)



x/ x 1



b)



x/3x1



c)



x/x3



d)



x/x3ex1



e)



x/x3ex1



20 – (PEIES-95)O domínio da função f(x)=

2 2 1 x x   é a) ]-2, 1[ b) ]0,



[ c) [-2, 1[ d) ]-



, -2[



[1,



[ e) ]-



,

-2[



]1,



[

21 – (PEIES-96)O domínio da função f(x)=

x x   1 2 _é a) (-1,2) b) [-1,2] c) (-



, 1]



[2,



] d) (-



, -1]



(2,



) e) (-



, -1)



[2,



) 22 – (PEIES-97)O domínio da função f(x)=

)

3

2

).(

1

(

1





x

x

é a) ]-₂3 _,1[ b) (-_,23_[



_]1,



₎ c) (-



,- [ [1,



) d) [-₂3 _,1] e) (-



, -₂3 _{] [1,}



₎

23 – (PEIES) O domínio da função f(x)=log_{10 }

        2 3 4 2 x x

x _{é o conjunto de números reais dado por}

a) ]-,[ b) ]-3, -2[



[-1,3] c) ]-3, -2[



]-1,+



[ d) ]-3, -1]



[3,+



[ e) ]-2,+



[ 2 3





CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 19

24–(PEIES) O domino da função real f(x)=

9 1 3  2 _  x x x _{é o conjunto:} a) ]-



,-3[



_{]-3, 0]}



] 3,



[ b) ]-



,-3[



]3,



[ c) ]3,



[ d)



_x:_x2 _9_0



e) ]-



,



[

25 – (UFSM) Seja f:A tal que f(x)=























2

1

log

2

3

2

x

x

x

x

Então o domínio da função é a) (-



, -2)



[2,



)

b) (-



,-2)



(2,



) c) (-2, 2] d) (-



, -2]



(2,



)

e) (-



, -2]



[2,



)

26 – (PEIES) O domínio da função f(x)=

log

(

5

6

)

1

1

2 10











x

x

x

x

em ,é o subconjunto a) ]-



, -1[



[1,2[



]3,+



[ b) ]-



,+



[ c) ]-



,1]



[2,+



) d)



x/x1oux1



e)



x/x1oux3



27 – (UFSM) Seja f: A x



y

=

₂

₃

₂

2

1

2

1

x

x

x









onde A.

Então , o domínio da função f é: a)

















2

1

b)

_







_





_

 

,

1

_



2

1

2

1

,

4

c)

















,

2

2

1

d)

_

  2,

_



2

1

e)

_









_





 

2

,



2

1

,

28. (EsSA) A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio da função definida por g(x) = 4 2 1 2

₃

9

1

  

_

x x é: a) 3 b) 1 c) -1 d) 5 e) 7

29. (EsPCEx) Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função

f (x) =

√ √

.

a) ıR – [-2, 2] b)(- c)(- d)(- e)(-

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 20

30. (EsPCEx 15) Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √ +4 e f(g(x)) = x2 _{– 5, onde g(x) é não}

negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado.

a) IR - ] -3, 3[ b) IR - ] -√ , √ [ c) ] -√ , √ [ d) ] -3, 3[ e) IR - ] -∞, 3[

GAB: 01)C 02)A 03)D 04)B 05)C 06)A 07)E 08)C 09)D 10)A 11)E 12)A 13)E 14)E 15)B 16)A 17)E 18)A 19)E 20)A

21)E 22)B 23)C 24)A 25)A 26)A 27)D 28)D 29)C 30)A

Logaritmo natural

Quando nos deparamos com logaritmos em grande parte estudamos os logaritmos decimais que são logaritmos cuja base é representada pelo número 10 - que normalmente oculta-se o mesmo em sua representação. Os logaritmos Naturais são logaritmos representados pela base “e” que é um número irracional denominado de constante ou número de Euler equivalente a (e=2,71828..).

Matematicamente representamos o logaritmo natural por;

Ln(x) = logex

Portanto, algumas consequências de sua definição podem ser representadas:

 Ln 1 = 0

 Ln e = 1

 Ln (en_{) = n}

Também podemos listar aqui suas propriedades operacionais importantes.

1. Logaritmo natural de um produto

 ln (x · y) = ln x + ln y

2. Logaritmo natural de um quociente

 ln (x/y) = ln x - ln y

3. Logaritmo natural de uma potência

 ln (xn_{) = n . ln x}

Muitos exercícios referentes a logaritmos naturais podem ser resolvidos a partir de técnicas utilizadas para facilitar a resolução dos mesmos. Vejamos;

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 21

Demonstração Ln x = logex

Fazendo a mudança de base para a base decimal Logex= Log10x / log10e

Resolvendo

Logex =Log10x /0,434

“Desmembrando” Logex= 1 /0,434 . Log10x

Logex = 2,31 Log10x ( Obs: Valor aproximado, uma vez que o valor de” log10e”foi truncado) Agora vejamos algumas aplicações em exercícios sobre o conceitos descritos acima.

Exemplo 1) Se Log 8=0,90, determine o valor de Ln(8). Resolução

Ln8= Loge8 = 2,31 log108 = 2,31 x 0,90= 2,1.

Exemplo 2) Se Ln 3=1,1 e Ln 6=1,8. Determinar o valor de Ln 18. Resolução

Aplicando a regra do produto Ln 18= Ln(3 . 6)= Ln 3+ Ln6 = 2,9

Nota: Não devemos confundir os termos referentes a logaritmo natural e logaritmo neperiano, muita das vezes ambos são tratados como sinônimos, mas na verdade o logaritmo neperiano refere-se a um logaritmo na qual sua base é denotada por “a”, onde se segue;

107 _{. log a (x/10}7₎

a= (1-10-7₎10^7 _{= limn->∞(1-1/n)}n_{= 1/e}

107 _{.log1/e (x/10}7₎

CURSOS MIGUEL - Centro Preparatório Para Concursos 22 Exercícios

01. (Enem 2009) Suponha o modelo exponencial y = 363 e0,03x_{, em que x = 0 corresponde ao ano 2000,} x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou m ais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando

e0,3 _{= 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre: (e)} a) 490 e 510 milhões

b) 550 e 620 milhões c) 780 e 800 milhões d) 810 e 860 milhões e) 870 e 910 milhões

02. O número de bactérias N em um meio de cultura que cresce

exponencialmente pode ser determinado pela equação ekt _{em que é a quantidade inicial,} isto é, N= N (0), e k é a constante de proporcionalidade. Se inicialmente havia 5000 bactérias na cultura e 8000 bactérias 10 minutos depois, quanto tempo será necessário para que o número de bactérias se torne duas vezes maior que o inicial? (c)

(Dados: In 2 = 0,69 In 5 = 1,61) a) 11 minutos e 25 segundos. b) 11 minutos e 15 segundos. c) 15 minutos. d) 25 minutos. e) 25 minutos e 30 segundos.

03.(EsPCEx) Fazendo x=ln5 temos que y = ex _{– e}-x _{= , a ϵ Z e b ϵ Z}*_{, a e b primos entre si. Logo a + b é}

igual a: (b)

a) 28 b) 29 c) 40 d) 51 e) 52

04. Em quantos anos 500g de uma substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão a 100g? Use Ln 5 = 1,609 e

Q = Q

o

.e

-rt

,

em que Q é a massa da substância, r a taxa e t é