Crescimento das gotas por Colisão e Coalescência

Crescimento das gotas por

Colisão e Coalescência

Colisões podem ocorrer a partir de diferentes respostas das gotículas com as forças gravitacional, elétrica e aerodinâmica.

O efeito gravitacional predomina nas nuvens, ou seja, as gotas grandes caem mais rápido que as pequenas, logo passando e capturando uma fração das gotículas que ficam ao longo do seu caminho.

O efeito elétrico e turbulento necessário para produzir um número comparável de colisões, deve ser muito maior do que usualmente existe na natureza. Em tempestades entretanto, campos elétricos intensos criam efeitos locais significativos

Uma vez que a gota cai, ela irá colidir com somente uma fração das gotículas em seu caminho, porque algumas gotículas serão expelidas pelo fluxo de ar em volta da gota.

Dessa maneira, podemos definir a eficiência de colisão como a razão das gotículas com raio “r” que serão varridas ao longo do caminho pela gota coletora que irá colidir com elas.

Neste sentindo temos que a eficiência de colisão depende do tamanho da gota coletora e do tamanho das gotículas a serem coletadas

A colisão não garante

coalescência, pois quando um par de gotas colide várias

interações são possíveis: 1) Rebatem a parte;

2) Coalescem;

3) Coalescem temporariamente e se separam, aparentemente retendo suas identidades

inicias;

4) Coalescem temporariamente e se quebram em várias

gotículas menores

Para gotas com raios menores que 100 m as interações (1) e (2) são as mais importantes

Dessa maneira podemos definir a Eficiência de Coalescência como sendo a razão entre o número de gotículas que coalesceram pelo número de colisões que ocorreram na gota coletora.

O crescimento de gotas pelo processo de colisão-coalescência é

governado pela eficiência de coleta, que é o produto das eficiências de colisão e de coalescência.

Observações em laboratório indicam que para gotículas com raios menores que 100 μm a eficiência de coalescência é ~ 1 e a eficiência de coleta é igual a de colisão.

Definindo a velocidade de queda dos

hidrometeoros

a) Velocidade Terminal das gotículas

temos que a Força de Fricção em um fluido viscoso pode ser definida como:

onde  é a viscosidade, “r” é o raio da gota e V é a velocidade.

Já a Força gravitacional pode ser definida como:

Sendo _l a densidade do liquido e _ar a densidade do ar e g a aceleração da gravidade

m

r

rV

F



6



,



50







g

r

g

r

F



4











4





Quando F_D=F_G temos que Velocidade da gota (V) atinge a velocidade terminal, V_T

Logo temos que V_T pode ser expresso como: R (m) V_T (cm/s) 1 0,012 10 1,2 30 10,9 50 30,2

g

r

V





9

2



Em termos do número de Reynolds 

onde  é a viscosidade dinâmica, Re é o número de Reynolds, C_D é o coeficiente de arrasto.

Para gotas bem pequenas, a solução de Stokes para um fluxo ao longo de esferas mostra que:

g

R

C

r

V



















24

9

2

1

24



R

C





_













24

R

C

logo, temos que a velocidade terminal pode definida como:

onde K₁ ~ 1,19 x106 cm-1s-1.

Esta dependência quadrática da velocidade terminal é conhecida como lei de Stokes e aplica-se para gotículas com raios menores que 30 m. 2 1 2

9

2

r

K

g

r

V









Para raios no intervalo de: 40 m à 0.6 mm, , sendo que

r

K

V



)

(

,

10

8



x

s

K

Para gotículas com raios no intervalo de: 0.6 mm à 2 mm, temos que C_D é alto, e torna-se independente do Re e pode ser aproximado a C_D ~ 0.45, logo

, sendo que

onde  é a densidade do ar e _o = 1,20 kg/m3 à P = 101.3 kPa e T = 20 oC 2 / 1 2

r

K

V



2

,

2

10















x

cm

s

K





(b) Eficiência de Colisão Xo é a distância do colisão

A eficiência de colisão é

igual a fração das gotículas com raio “r” que são

varridas pela gota coletora de raio “R” que colide com elas.

A E(R,r) pode ser

interpretada como sendo a probabilidade de colisão de uma gotícula se ela

estivesse em um volume cheio de gotículas aglutinadas.

 



 







Gota

Colet

ora

Gota coletada Got a Col et or a

Equação de Crescimento por

Colisão/Coalescência

Suponha uma gota coletora de raio R e velocidade Terminal V₂, caindo em

uma população uniforme de gotículas menores com raio “r” e velocidade terminal V₁.

Durante uma unidade de tempo, a gota coletora irá coletar diversas gotículas de raio “r” em um volume descrito por:



R

r

 

V

V



dt

dV









Assumindo que durante esta coleta tenhamos um crescimento contínuo, a massa da gota coletora irá crescer:

onde W_l é o conteúdo de água líquida (massa de água líquida por unidade de volume)

dV

W

dM





R

r

 

V

V



W

dt

WdV

dM











como a gota coletora somente coleta uma fração das gotículas, temos que:

onde E(R,r) é a eficiência de coleta que é o produto da eficiência de colisão pela eficiência de coalescência,

quando as gotículas são iguais em tamanho e menores que 100 microns, é usualmente assumido que a eficiência de coalescência = 1, logo eficiência de coleta = eficiência de colisão.



R

r

 

V

V

  

W

E

R

r

dt

dM









,

 





,

r

R

X

r

R

E





Dessa maneira temos:

mas como a massa da gota coletora pode ser expressa por:



R

r

 

V

V

  

W

E

R

r

dt

dM

,









R

M





3

4



dR

R

dR

R

R

d

dM

3

4

3

4

3

4

_

_

_

_

_















então



R

r

 

V

V

  

W

E

R

r

dt

dR

R

dt

dM

,

4















 

_{  }

W

r

R

E

V

V

R

r

R

dt

dR

,

4









Assumindo que E(R,r) e W_l são constantes e que a V2 >> V1 e que

A equação de crescimento pode ser descrita como:





1





R

r

R

EW

V

dt

dR



4



MODELO DE BOWEN

Por exemplo, para sabermos como uma gota cresce a partir de um processo de colisão coalescência, podemos assumir que a gota coletora segue a lei de Stokes, logo

2 2

CR

V



4

4

K

R

EW

CR

EW

V

dt

dR











cte

CEW

K







4

Então integrando de um estágio inicial Ro até R(t) podemos saber qual será o raio da gota no instante t







dt

K

R

dR

t

R

K

R

t

R

1

)

(





Porém se queremos saber qual o tamanho da gota quando ela esta dentro de uma nuvem analisamos a sua variação com a altura, ou seja, dR/dz Assumindo que





₁





R

r

R



u

V



dz

dR

dt

dz

dz

dR

dz

dz

dt

dR

dt

dR









Velocidade = vel. Vertical

Integrando de R0 até R(t) a gota sai de uma altura Z0 e chega a Z









)

(

4

z

f

W

dz

W

dR

E

V

V

V

u

















 



EW

V

V

V

u

dz

dR

dt

dR



4









Agora se quisermos saber qual é o raio que emerge da base da nuvem, temos que:

Assumindo que V2 >> V1 e

0





dz

W

CR

V



C

R

u

R



o raio final depende somente da velocidade da corrente ascendente.

1 m/s 0,5 m/s R₀ = 20 um W_l = 1 g/m3 Gotas coletadas r=10 um Eficiência de Coalescência= 1 2,5 km 1,1 km

1 m/s 0,5 m/s 2,5 km 1,1 km R₀ = 20 um W_l = 1 g/m3 Gotas coletadas r=10 um Eficiência de Coalescência= 1 2,25 X

Distribuição de Gotículas S₁ = 10 m S₂ = 20 m

(a) Todas as colisões possíveis

Distribuição de Gotículas S₁ = 10 m S₂ = 20 m

(c) Somente colisões entre as goticulas S1 e S2 (d) Somente colisões entre as goticulas S2

Condensação e Coalescência via

processo Estocástico

(a) Sem Condensação

(b) Com Condensação

Fig 8.12. Yau e Rodgers, Adaptado De Ryan, 1974)